架空送電線の等価回路

架空送電線路の等価回路
(発送配変電二次説明問題に備える)
四端子回路形式とY行列形式
短距離、中距離π形回路、T形回路、長距離分布定数回路
参考資料 1.電気工学ハンドブック第6版
2.現代電力技術便覧
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1
1.四端子定数形式とY行列形式
(式の導入は次ページ以下参照)
中距離送電線(50∼100km)
短距離送電線(20∼30km) a.π形等価回路
&
& &
I&1
I&2 −I&2
I&1
Z&
Z& I I2 −I2
E&1
四端子定数形式
⎡ E&1 ⎤ ⎡1 Z& ⎤ ⎡ E& 2 ⎤
⎢& ⎥=⎢
⎥⎢ & ⎥
⎣ I1 ⎦ ⎣0 1 ⎦ ⎣ I 2 ⎦
A = 1, B = Z&
C = 0, D = 1
Y 行列形式
⎡ 1 − 1⎤
&
&
⎡ I1 ⎤ ⎢ Z&
Z& ⎥ ⎡ E1 ⎤
=
⎢ & ⎥ ⎢ −1 1 ⎥⎢ & ⎥
⎣− I 2 ⎦ ⎢
⎥ ⎣ E2 ⎦
&
&
⎣Z
Z ⎦
&
&
&
Y11 = Y22 = 1 / Z ,
Y& = Y& = −1 / Z& ,
12
E&1
E&2
21
Y&
2
Y&
2
E&2
四端子定数形式
⎡
Y&Z&
& ⎤
Z
1
+
⎥ ⎡ E& ⎤
⎢
⎡ E&1 ⎤
2
⎥⎢ 2 ⎥
⎢
⎢ & ⎥ = ⎛ Y&Z& ⎞
&
&
Y
Z
⎥ ⎣ I&2 ⎦
⎣ I1 ⎦ ⎢Y& ⎜1 +
⎟
1
+
⎢ ⎜⎝
4 ⎟⎠
2 ⎥⎦
⎣
A = 1 + Y&Z& / 2, B = Z&
C = Y& (1 + Y&Z& / 4 ), D = 1 + Y&Z& / 2
Y 行列形式
⎡ 1 Y&
−1 ⎤
&
⎡ I1 ⎤ ⎢ Z& + 2
& ⎥ ⎡ E&1 ⎤
Z
=
⎥
⎢ & ⎥ ⎢ −1
1 Y& ⎥ ⎢⎣ E& 2 ⎥⎦
⎣− I 2 ⎦ ⎢
+
⎢⎣ Z&
Z& 2 ⎥⎦
Y&11 = Y&22 = 1 / Z& + Y& / 2
Y& = Y& = −1 / Z&
12
21
長距離送電線(100km~)
b.T形等価回路
Z&
&I
1 2
E&1
E&
Y&
分布定数回路
Z&
& &
2 I2 −I2
I&1
A& B&
C& D&
E&2
四端子定数形式
⎡ Y&Z& & ⎛ Y&Z& ⎞⎤
⎜
⎟
⎡ E&1 ⎤ ⎢1 + 2 Z ⎜1 + 4 ⎟⎥ ⎡ E& 2 ⎤
⎝
⎠⎥ ⎢ ⎥
⎢& ⎥=⎢
&
&
I
YZ ⎥ ⎣ I&2 ⎦
⎣ 1 ⎦ ⎢ Y&
+
1
⎢⎣
2 ⎥⎦
A = 1 + (Y&Z& / 2 ), B = Z& (1 + Y&Z& / 4)
C = Y& , D = 1 + (Y&Z& / 2 )
I&2 −I&2
四端子定数
⎡ E&1 ⎤ ⎡ A& B& ⎤ ⎡ E& 2 ⎤ & & & &
⎢ & ⎥ = ⎢ & & ⎥ ⎢ & ⎥, AD − BC = 1
⎣ I1 ⎦ ⎣C D ⎦ ⎣ I 2 ⎦
において、
A& = cosh (α L ), B& = Z& sinh (α L )
0
C& = (1 / Z& 0 )sinh (α L ), D& = A&
α = z&y& , Z& = z& / y&
0
Y 行列形式
行列形式
Y　⎡ D&
1⎤
⎡ I&1 ⎤ ⎡Y&11 Y&12 ⎤ ⎡ E&1 ⎤
−
&
において、
=
⎢
⎥ &
⎡ I1 ⎤
⎢ & ⎥ ⎢&
& ⎥⎢ & ⎥
B&
B& ⎥ ⎡ E1 ⎤
=
⎢
⎣− I 2 ⎦ ⎣Y21 Y22 ⎦ ⎣ E2 ⎦
⎢ &⎥
A& ⎥ ⎢⎣ E& 2 ⎥⎦
⎣− I 2 ⎦ ⎢− 1
&
&
&
&
&
&
Y11 = Y22 = (1 / Z + Y / 2) / (1 + YZ / 4),
⎢⎣ B&
B& ⎥⎦
&
&
&
&
&
Y12 = Y21 = −1 /{Z (1 + YZ / 4 )}
Y&11 = D& / B& , Y&12 = Y&21 = −1 / B&
Y& = A& / B&
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2.架空送電線路の等価回路の導入
(距離分類の中間は前後の方式のいずれも使用可能)
(1)短距離 (亘長 20～30 km )、または
短距離送電線(20∼30km)
中距離 (亘長 50～100 km )の架空送電線路の線路
I&1
定数は 、
1 km 当りの インピ－ダンス z& = r + jx
および、アドミタンス
y& = g + jb をもとに
亘長 L km に対する値 Z& = z&L , Y& = y& L を求めておく。
短距離では Y& を無視して Z& のみで表し、
中距離では、 π 形回路 (Y& / 2 二つ と Z& )、
(2 )長距離 (亘長 200 km ～ ) 架空送電線路の線路定
数は 、
1 km 当りの インピ－ダンス z& = r + jx
および、アドミタンス
y& = g + jb をもとに右下図から、
d e& (l )
d e&(l )
= − i&(l ) z& ①
e& (l + d l ) − e& (l ) =
d l = − i&(l ) z& dl →
dl
dl
d i&(l )
d i&(l )
= − e& (l ) y& ②
d l = − e&(l ) y& dl →
i&(l + d l ) − i&(l ) =
dl
dl
d 2 e&(l )
= z&y& e&(l )
d l2
これから、 α = z&y& , Z& 0 = z& / y& として、次式を得る。
E& = E& cosh (α L ) + I& Z& sinh (α L )
1
2
2
0
I&1 = E& 2 sinh (α L ) / Z& 0 + I&2 cosh (α L )
E&1 = A E& 2 + B I&2
短距離、中距離を含め 、
I& = C E& + D I&
1
2
E&1
Y行列形式では、電流は
各端子に流入する向きに
とるので、四端子方式と
は I2 の向きが逆になる。
E&2
中距離送電線(50∼100km)
または、 T 形回路 (Y&と Z& / 2二つ )で表す。
①をもう一度微分して ②を代入すると、
I&2 −I&2
Z&
I&1
&
Z& I
E&1
Y&
2
Y&
2
Z&
I&2 −I&2
I&1 2
E&2
E&1
a.π形等価回路
E&
Z&
& &
2 I2 − I2
Y&
E&2
b.T形等価回路
長距離送電線(100km~)
I&1
I&2 −I&2
A& B&
C& D&
&
e& ( l ) z d l e& (l + d l )
i& ( l )
i&(l + d l )
y& d l
分布定数四端子回路
2
と表示した時、 A& , B& , C& , D& を四端子定数と呼ぶ。
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3.四端子およびY行列形式の導入(その１)
a.π形等価回路
I&1
I&2 −I&2
Z&
E&1
E&2
四端子定数形式
E& − E& 2
I&1 = I&2 = I& = 1
Z&
→ E& = E& + Z&I&
1
2
2
⎡ E&1 ⎤ ⎡1 Z& ⎤ ⎡ E& 2 ⎤
⎢& ⎥=⎢
⎥⎢ & ⎥
⎣ I1 ⎦ ⎣0 1 ⎦ ⎣ I 2 ⎦
A = 1, B = Z&
C = 0, D = 1
Y 行列形式
⎡ I&1 ⎤ ⎡Y&11 Y&12 ⎤ ⎡ E&1 ⎤
⎢ & ⎥=⎢&
& ⎥⎢ & ⎥
⎣ − I 2 ⎦ ⎣Y21 Y22 ⎦ ⎣ E 2 ⎦
長距離送電線の欄の
Y 行列形式と同様に、
Y& = D& / B& , Y& = A& / B&
11
I&1
22
Y&12 = Y&21 = −1 / B&
A, B , C , D を代入して Y
E&1
&
Z& I
Y&
2
Y&
2
I&2 −I&2
E&2
四端子定数形式
Y&
Y&
I&1 − E&1 = I&, I& − E& 2 = I&2
2
2
E& − E& 2
E&1 − I&Z& = E& 2 → I& = 1
Z&
⎡
⎤
Y&Z&
+
Z& ⎥ &
1
⎢
&
⎡ E1 ⎤
⎡ E2 ⎤
2
⎥
⎢ & ⎥ = ⎢ ⎛ Y&Z& ⎞
Y&Z& ⎥ ⎢⎣ I&2 ⎥⎦
⎣ I1 ⎦ ⎢Y& ⎜1 +
⎟
+
1
⎢⎣ ⎜⎝
4 ⎟⎠
2 ⎥⎦
Y&Z&
A = 1+
, B = Z&
2
⎛ Y&Z& ⎞
Y&Z&
⎟⎟, D = 1 +
C = Y& ⎜⎜1 +
4 ⎠
2
⎝
Y 行列形式
Y&11 = D& / B& , Y&12 = Y&21 = −1 / B&
Y& = A& / B&
分布定数回路
b.T形等価回路
Z&
I&1 2
E&1
E&
Z&
& &
2 I2 −I2
Y&
I&1
I&2 −I&2
A& B&
C& D&
E&2
四端子定数形式
Z&
Z&
E&1 − I&1 = E& 2 + I&2 = E&
2
2
⎛ YZ ⎞ &
I&1 − Y&E& = I&2 → I&1 = Y&E& 2 + ⎜1 +
⎟I 2
2 ⎠
⎝
&& ⎤
⎡ Y&Z&
& ⎛⎜1 + YZ ⎞⎟⎥
+
1
Z
⎢
&
⎜
⎡ E&1 ⎤
2
4 ⎟⎠⎥ ⎡ E2 ⎤
⎝
⎢& ⎥=⎢
⎢
⎥
Y&Z& ⎥ ⎣ I&2 ⎦
⎣ I1 ⎦ ⎢ Y&
1+
⎢⎣
2 ⎥⎦
A = 1 + Y&Z& / 2, B = Z& / 2(1 + Y&Z& / 2)
C = Y& , D = Y&Z& / 2
四端子定数
⎡ E&1 ⎤ ⎡ A& B& ⎤ ⎡ E& 2 ⎤ & & & &
⎢ & ⎥ = ⎢ & & ⎥ ⎢ & ⎥, AD − BC = 1
⎣ I1 ⎦ ⎣C D ⎦ ⎣ I 2 ⎦
A& = cosh (α L ), B& = Z& 0 sinh (α L )
C& = (1 / Z& )sinh (α L ), D& = A&
0
α = z&y& , Z& 0 = z& / y&
Y 行列形式
E& = A& E& + B& I&
1
22
22
が得られる。
2
2
2
2
= E&1 D& / B& − E& 2 / B&
⎡ D&
1⎤
−
&
⎢
⎥ &
⎡ I1 ⎤
B&
B& ⎥ ⎡ E1 ⎤
=
⎢
⎢ &⎥
⎢ ⎥
A& ⎥ ⎣ E& 2 ⎦
⎣− I 2 ⎦ ⎢− 1
⎢⎣ B&
B& ⎥⎦
Y&11 = D& / B& , Y&12 = Y&21 = −1 / B&
Y& = A& / B&
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2
→ − I&2 = − E&1 / B& + E& 2 A& / B&
I& = C& E& + D& I& = C& E& − D& (− I&
1
行列形式
Y　Y&11 = D& / B& , Y&12 = Y&21 = −1 / B&
Y& = A& / B&
2
4
)
3.四端子およびY行列形式の導入(その2)
I&1
Z&
E&1
I&2 −I&2
E&2
四端子定数形式
⎡ E&1 ⎤ ⎡ A& B& ⎤ ⎡ E& 2 ⎤
⎢ & ⎥ = ⎢ & & ⎥⎢ & ⎥
⎣ I 1 ⎦ ⎣C D ⎦ ⎣ I 2 ⎦
E& 2 = 0 (二次側短絡 )のとき、
E& = B& I& = Z&I& → B& = Z&
1
2
2
I&1 = D& I&2 = I&2 → D& = 1
I&2 = 0 (二次側開放 )のとき、
E& = A& E = E → A& = 1
1
2
2
I&1 = C& E& 2 = 0 → C& = 0
Y 行列形式
⎡ I&1 ⎤ ⎡Y&11 Y&12 ⎤ ⎡ E&1 ⎤
⎢ & ⎥=⎢&
& ⎥⎢ & ⎥
⎣ − I 2 ⎦ ⎣Y21 Y22 ⎦ ⎣ E 2 ⎦
E1 = 0 (一次側短絡 )のとき、
I& = Y& E& = − E& / Z& → Y& = −1 / Z&
1
12
2
2
12
− I&2 = Y&22 E& 2 = E& 2 / Z& → Y&22 = 1 / Z&
E 2 = 0 (二次側短絡 )のとき、
I& = Y& E& = E& / Z& → Y& = 1 / Z&
1
11
1
1
11
− I&2 = Y&21 E&1 = − E&1 / Z& → Y&21 = −1 / Z&
a.π形等価回路
I&1
四端子定数形式
⎡ E&1 ⎤ ⎡ A& B& ⎤ ⎡ E& 2 ⎤
⎢ & ⎥ = ⎢ & & ⎥⎢ & ⎥
⎣ I 1 ⎦ ⎣C D ⎦ ⎣ I 2 ⎦
E& 2 = 0 (二次側短絡 )のとき、
E& = B& I& = Z&I& → B& = Z&
1
2
E&1
&
Z& I
Y&
2
Y&
2
I&2 −I&2
E&2
2
I&1 = D& I&2 = E&1Y& / 2 + I&2 = I&2 Z&Y& / 2 + I&2 = (1 + Z&Y& / 2 )I&2 → D& = 1 + Z&Y& / 2
I&2 = 0 (二次側開放 )のとき、
E& = A& E& = E& + I&Z& = E& + E& Y&Z& / 2 = E& (1 + Y&Z& / 2 ) → A& = 1 + Y&Z& / 2
1
2
2
2
2
2
I&1 = C& E& 2 = E&1Y& / 2 + I& = E& 2Y& / 2(1 + Y&Z& / 2 ) + E& 2Y& / 2
= E& Y& / 2(1 + Y&Z& / 2 + 1) = E& Y& (1 + Y&Z& / 4 ) =→ C& = Y& (1 + Y&Z& / 4 )
2
2
Y 行列形式
⎡ I&1 ⎤ ⎡Y&11 Y&12 ⎤ ⎡ E&1 ⎤
⎢ & ⎥=⎢&
& ⎥⎢ & ⎥
⎣ − I 2 ⎦ ⎣Y21 Y22 ⎦ ⎣ E 2 ⎦
E1 = 0 (一次側短絡 )のとき、
I& = Y& E& = − E& / Z& → Y& = −1 / Z&
1
12
2
2
12
− I&2 = Y&22 E& 2 = E& 2 / Z& + E& 2Y& / 2 = E& 2 (1 / Z& + Y& / 2 ) → Y&22 = 1 / Z& + Y& / 2
E 2 = 0 (二次側短絡 )のとき、
I&1 = Y&11 E&1 = E&1 / Z& + E&1Y& / 2 = E&1 (1 / Z& + Y& / 2 ) → Y&11 = 1 / Z& + Y& / 2
− I& = Y& E& = − E& / Z& → Y& = −1 / Z&
2
21
1
1
21
あるいは、一次、二次 の回路の対称性から、
Y& = Y& , Y& = Y&
21
12
22
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3.四端子およびY行列形式の導入(その2)
Z&
I&1 2
E&
Z&
& &
2 I2 −I2
四端子定数形式
E&1 Y&
E&2
⎡ E&1 ⎤ ⎡ A& B& ⎤ ⎡ E& 2 ⎤
⎢ & ⎥ = ⎢ & & ⎥⎢ & ⎥
⎣ I 1 ⎦ ⎣C D ⎦ ⎣ I 2 ⎦
E& 2 = 0 (二次側短絡 )のとき、
E&1 = B& I&2 = E& + I&1 Z& / 2 = E& + E& (Y& + 2 / Z& )Z& / 2 = I&2 Z& / 2(2 + Y&Z& / 2 ) → B& = Z& (1 + Z&Y& / 4 )
I& = D& I& = E& Y& + I& = I& Z&Y& / 2 + I& = (1 + Z&Y& / 2 )I& → D& = 1 + Z&Y& / 2
1
2
2
2
2
2
I&2 = 0 (二次側開放 )のとき、
E&1 = A& E& 2 = E& 2 + I&Z& = E& 2 + E& 2Y&Z& / 2 = E& 2 (1 + Y&Z& / 2 ) → A& = 1 + Y&Z& / 2
I& = C& E& = E& Y& / 2 + I& = E& Y& / 2(1 + Y&Z& / 2 ) + E& Y& / 2
1
2
1
2
2
= E& 2Y& / 2(1 + Y&Z& / 2 + 1) = E& 2Y& (1 + Y&Z& / 4 ) =→ C& = Y& (1 + Y&Z& / 4 )
Y 行列形式
⎡ I&1 ⎤ ⎡Y&11 Y&12 ⎤ ⎡ E&1 ⎤
⎢ & ⎥=⎢&
& ⎥⎢ & ⎥
⎣ − I 2 ⎦ ⎣Y21 Y22 ⎦ ⎣ E 2 ⎦
E1 = 0 (一次側短絡 )のとき、
I&1 = Y&12 E& 2 = − E& 2 / (Z& / 2 + 1 / (Y& + 2 / Z& ))× (2 / Z& ) / (Y& + 2 / Z& ) = − E& 2 / (Z& (1 + Y&Z& / 4 ))
→ Y& = − 1 / {Z& (1 + Y&Z& / 4 )}
12
− I&2 = Y&22 E& 2 = E& 2 / (Z& / 2 + 1 / (Y& + 2 / Z& )) = E& 2 / {Z& (1 / + Y&Z& / 4 )}→ Y&22 = 1 / Z& (1 / + Y&Z& / 4 )
一次、二次回路の対称 性から、
Y& = Y& , Y& = Y&
21
12
11
分布定数回路
b.T形等価回路
22
I&1
I&2 −I&2
A& B&
C& D&
四端子定数
⎡ E&1 ⎤ ⎡ A& B& ⎤ ⎡ E& 2 ⎤ & & & &
⎢ & ⎥ = ⎢ & & ⎥ ⎢ & ⎥, AD − BC = 1
⎣ I1 ⎦ ⎣C D ⎦ ⎣ I 2 ⎦
A& = cosh (α L ), B& = Z& 0 sinh (α L )
C& = (1 / Z& )sinh (α L ), D& = A&
0
α = z&y& , Z& 0 = z& / y&
Y 行列形式
E& = A& E& + B& I&
1
2
2
→ − I&2 = − E&1 / B& + E& 2 A& / B&
I& = C& E& + D& I& = C& E& − D& (− I&
1
2
2
2
2
= E&1 D& / B& − E& 2 / B&
⎡ D&
1⎤
−
&
⎢
⎥ &
⎡ I1 ⎤
B&
B& ⎥ ⎡ E1 ⎤
=
⎢
⎢ &⎥
⎢ ⎥
A& ⎥ ⎣ E& 2 ⎦
⎣− I 2 ⎦ ⎢− 1
⎢⎣ B&
B& ⎥⎦
Y&11 = D& / B& , Y&12 = Y&21 = −1 / B&
Y& = A& / B&
22
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)