MathematicaによるDGEモデル・シミュレーション

福井県立大学経済経営研究 第 30 号 2014 年 3 月
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〔研究ノート〕
MathematicaによるDGEモデル・シミュレーション
―加藤（2007）の Matlab コードを変換して―
佐 野 一 雄
ただし，c は消費水準，l は労働時間，u は効
1 はじめに
用関数，b は主観的割引率，k は資本ストック，
加藤（2007）による動学的一般均衡モデルの
r は実質金利，w は実質賃金，d は資本減耗率
設定を概観し，RBC モデルおよび New IS-LM
であり，資本ストックの初期値 k0 は所与とす
モ デ ル の シ ミ ュ レ ー シ ョ ン・ プ ロ グ ラ ム を
る．
Matlab から Mathmatica に変換したプログラム
相対的危険回避度が一定である CRRA 型効用
コードを付録とする．Matlab と Mathematica の
関数を仮定する．この効用関数の形状を図 1 に
プログラムコードの相違を明らかにするため
示す．
に，できるかぎり加藤（2007）のコードと対照
u ^ct , lth =
させた．
c t1-i
-n$l t1+m
1-i
（2.2）
消費を決定する家計の 1 階の最適化条件から，
異時点間の限界効用を比較するオイラー方程式
2 RBC モデル
を得る．
完全情報，完全競争のもとで代表的個人を仮
定し，その最適化行動について分析するために，
ct+1 -i
1 = Et b ^1+rt+1 -dhc c m
t
最も基本的な RBC モデルから出発する．この
また，労働供給を決定する家計の最適化条件を，
RBC モデルは非現実的であり，パラメータの
消費の限界効用と労働の限界不効用を同時点で
統計的な推定や検定も現実的には無意味である
比較する次式であらわす．
が，外生的なショックに対する一般均衡モデル
の動学的な反応経路を分析することができるの
wt =
n ^1+mh l tm
ct-i
（2.3）
（2.4）
で，さまざまなタイプのマクロ均衡モデルのシ
労働市場の均衡 n=l および企業の生産関数
ミュレーション特性を調べるための理論的な基
にコブ・ダグラス型を仮定すると，所得の二面
礎となる．
等価により
最初に家計の効用最大化問題を設定する．
yt = zt kta n t1-a = wt lt +rt kt
が成り立つ．限界収入が限界費用に等しいとい
3
max E0
/ b u ^c , l h
t
t
t
う最適化条件から
t=0
（2.5）
s.t. kt+1 = ^1-dh kt +wt lt
+rt kt -ct
（2.1）
kt a-1
rt = zt a d n n
t
（2.6）
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福井県立大学経済経営研究 第 30 号 2014 年 3 月
図 1：CRRA 型効用関数
kt a
wt = zt ^1-ahd n n
（2.7）
t
が成り立つ．均衡点を動かす外生的な生産性
ショックを AR（1）であらわす．
zt+1 = zzt +p t+1
（2.8）
ただし，01z11，pt ∼ i.i.d. N(0, v) であり，初
期値および定常状態で z0=z*=1 である．（2.3），
（2.4），
（2.6），
（2.7），
（2.8）に（2.1）の制約条件を
加えた 6 本の連立方程式が RBC モデルである．
この RBC モデルは非線形の連立方程式であり，
解くのは困難である．シミュレーションでは，
線形近似によって定常的な均衡の近傍での動き
を調べる．
定常状態 z* からの乖離を表現する．
zt+1 = tzt +^1-th z)
（2.12）
（2.6）および（2.7）で n=l より
rt = zt a d
kt a-1
n
lt
（2.13）
kt a
n
lt
（2.14）
wt = zt ^1-ahd
を得る．
定常状態では ct=ct+1=c* が成り立つので，
（2.10）から期待値オペレータを削除して，定常
均衡における実質金利を得る．
r) =
1-b ^1-dh
b
（2.15）
したがって，（2.13）より，定常均衡における資
本装備率を得る．
2.1 RBC モデルの定常均衡
1
（2.4）を簡単に
wt
l =
nc ti
m
t
とする．（2.3）より
（2.9）
1）
ct-i = Et b ^1+rt+1 -dh c t-+i1
（2.10）
（2.1）および（2.5）より
k) c r) m a-1
=
az)
l)
（2.16）
これを（2.14）に代入して実質賃金を得る．
w) = z) ^1-ahc
a
r) m a-1
az)
（2.17）
同様にして，（2.11）より
kt+1 = ^1-dh kt +zt k l
a 1-a
t t
-ct
（2.11）
を得る．
（2.8） から誤差項を削除し，01t11 により
a
)
c)
k)
) k
) = z c ) m -d )
l
l
l
（2.9）より
（2.18）
佐野：Mathematica による DGE モデル・シミュレーション
-i
1
)
)
m+i
l) = < w c c) m F
n l
（2.19）
113
る．（2.26）および（2.27）より
Qxt+1 = K-1 Qxt
（2.28）
を得るので，固有値 mi21 は（2.28）を収束させ，
および
k
)
)
k = c l) m#l
)
)
c = c c) m#l)
l
)
（2.20）
（2.21）
を得る．以上で RBC モデルの定常均衡が記述
された．
固有値 mj 11 は発散させることがわかる．それ
ぞれの固有値に対応する固有ベクトルを分割し
て表示すると
f
Qm11
Qm21
p=f
Q A QB
QC Q D
p
（2.29）
（2.28）が収束するための必要条件は
^Q A QBh xt = 0
（2.30）
2.2 均衡近傍での挙動
であるので，（2.22）より
完全予見を仮定し，線形近似によって，均衡
近傍におけるモデルの動きを調べる．変数をベ
lt
kt
-1
f p =-Q A QB f p
ct
zt
クトル xt で表示する．
が成り立つ場合にのみ収束する均衡解を得る．
（2.31）を（2.28）の xt, xt+1 に代入して整理する
lt
xt =
fk p
ct
と，均衡解の経路
（2.22）
t
zt
モデルの均衡条件（2.9）∼（2.12） をベクトル z
で表示する．
J
N
w
K
O
l tm - ti
nc t
K
O
K ct-i -b ^1+rt+1 -dh ct-+i1 O
z =K
O
Kkt+1 -^1-dh kt -zt kta l t1-aO
KK
O
^1-th z) O
z
z
t
+
t
1
t
L
P
（2.31）
f
kt+1
zt+1
p = _Q D -QC Q -A 1 QBi-1 K-m21 1
1
_Q D -QC Q A Q B if
kt
zt
p
（2.32）
を得る．ただし，Km21 は 1 より大きい固有値か
らなる．
（2.23）
シミュレーションでは，定常状態からの乖離
率で評価するために，z*=1 に基準化して対数
線形近似する．
ゆえに均衡近傍においては次式が成り立つ．
uz
uz
dxt+1
ux dxt = ux
t
t+1
uz
uz ) dxt
dxt = d
x n )
uxt
uxt
x
（2.33）
（2.24）
ただし，uz/uxt，uz/uxt+1 はそれぞれ 4 行 4 列
のヤコビ行列であり，（2.24）を簡単に次式であ
らわすことにする．
3 New IS-LM モデル
金利およびマネーサプライの予期せぬ変化の
Bxt = Cxt+1
（2.25）
したがって，合理的期待均衡解の存在は，次式
影響を評価するために，裁量的な金融政策につ
いて二つのルールを設定する．
を満たす行列 A の存在を意味する．
xt = B-1 Cxt+1 = Axt+1
（2.26）
-1
A = Q
3.1 金利ルール
RBC モデルとは異なり，New IS-LM モデル
行列 A の固有値分解を
KQ
（2.27）
とおき，収束条件を課して均衡解の動きを調べ
はもともと線形モデルであり，ハイブリッド型
に一般化して示す 2）．
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福井県立大学経済経営研究 第 30 号 2014 年 3 月
yt = tEt yt+1 +^1-th yt-1
を得る．
-v ^it Et r t+1h+e t
（3.1）
r t = bEt r t+1 +^1-bh r t-1
3.2 マネーサプライ・ルール
+ayt +o t
（3.2）
マネーサプライ・ルールは，直感的にイメー
it = q1 yt +q2 r t +h t
（3.3）
ジしやすい金利ルールとは対照的である．マ
h t+1 = zh t +e t+1
（3.4）
ネーサプライが消費者の効用に影響するメカニ
01z11，pt ∼ i.i.d. N(0, v) であり，（3.3）
ただし，
ズムを導くためには，money in the utility の仮
が金利ルールである．モデルの変数を
J Et yt+1 N
K
O
KEt r t+1O
K
O
（3.5）
xt = K yt O
K
O
K rt O
KK
OO
L ht P
とおき，RBC モデルの（2.25）に対応して
定が不可欠である．モデルの単純化のため，効
J0
K
K0
K
B = K1
K
K0
KK
L0
0 t-1
0
a
0
0
1
0
0
0
サプライ m を変数として，便宜的に次の CRRA
型効用関数を仮定する 3）．
u ^ct , mth =
m 1- n
ct1-i
+ t
1-n
1-i
（3.8）
家計の実質純資産を次式で定義する．
at = bt +mt
vzN
O
b-1 0 O
O
0
0O
O
0
0O
OO
0
zP
0
Jb v -^1+vq h -vq
1
2
K
K0 b
-1
a
K
K
=
1
0
C
0
0
K
K0 0
0
1
KK
0
0
L0 0
用関数（2.2） から労働供給 l を削除し，マネー
（3.9）
ただし，bt は 1 期間満期の債券であり，初期値
b0，m0 は所与とする．貨幣を導入したことに
より名目値と実質値が区別されるので，RBC
モデルにおける家計の効用最大化問題（2.1）は
次のように修正される．
3
0N
O
0O
O
0O
O
0O
OO
1P
max E0
/ b u ^c , m h
t
t
t
t=0
s.t. ^1+r th^mt +bt +cth
= ^1+it-1h bt +mt
（3.10）
ラグランジュ乗数を mt とすると，1 階の最適化
条件
とおけば，New IS-LM モデルを次式で示すこ
ct-i = mt
（3.11）
とができる．
bit
-n
m t+1
m t = Et 1+r
t+1
（3.12）
Bxt = Cxt+1
（3.6）
収束条件が満たされれば，RBC モデルと同様
に，均衡解の経路
f
Et yt+1
b ^1+ith
m t+1
mt = Et 1+r
t+1
（3.13）
より，消費のオイラー方程式
p
-1
-1
-1
Et r t+1 = _Q D -QC Q A QBi K m21
Et h t+1
1+it
-i
c t = Et b 1+r
t+1
ct-+i1
（3.14）
を得る．RBC モデルの場合と同様に，定常均
yt
f p
-1
_Q D -QC Q A QBi r t
ht
衡近傍で対数線形近似すると
（3.7）
1
ln ct = Et ln ct+1 - i ^it -Et r t+1h
（3.15）
佐野：Mathematica による DGE モデル・シミュレーション
115
を得る 4）．
ムとして効率的ではない部分が含まれている．
マネーサプライ・ルールを導くために必要な
Matlab および Mathematica のマニュアルを参照
最後の仮定は
しながら，加藤（2007）のコードと対照すれば，
yt = ct
（3.16）
プログラムの詳細を理解することができる．い
である．（3.13）から mt+1 をもとめ，（3.12）に代
ずれもオンラインで利用可能である．
入すると
it
-n
-i
-i
m t = 1+i c t . it ct
t
（3.17）
したがって，LM 曲線
ln Mt - ln pt = ln mt =- 1 ln it + i ln yt
n
n
（3.18）
が得られる．変数を対数として表記すると
i
1
Mt -pt = mt =- n it + n yt
（3.19）
および
mt = mt+1 -DMt+1 +r t+1
注釈
1）加藤（2007）のシミュレーションでは，消費関
数に含まれるδが省略されている．
2）t=b=1 で通常の New IS-LM モデルである．
3）量的緩和の効果が現実の金融政策にかかわる問
題であるだけに，この仮定の成否はきわめて
重要である．しかし，マネーサプライの増加
が消費者の効用を高めるという仮定は，cash in
advance を考慮しても，現実的なイメージを結び
にくい．
4）it ≒ ln(1+it)，rt ≒ ln(1+rt) であり，定数項 ln b
は乖離率と無関係なので削除してある．
（3.20）
が 金 利 ル ー ル（3.3） に 代 わ る マ ネ ー サ プ ラ
参考文献
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Banking, vol.27, No.4, 975-984.
3Mt=Mt-Mt-1 は AR（1）
DMt+1 = zDMt +e t+1
（3.21）
に従い，誤差項が貨幣供給量の予期せぬショッ
クをあらわす．
マネーサプライ・ルールは，シミュレーショ
ンのためのモデル設定としては興味深いが，生
産，労働，資本，貯蓄といった重要な要素が含
まれないため，現実的なイメージを結ぶことは
困難である．
4 おわりに
本 稿 で は， 加 藤（2007）に よ る 動 学 的 一 般
均 衡 モ デ ル の 設 定 を 概 観 し た．Matlab か ら
Mathmatica に変換した RBC モデルおよび New
IS-LM モデルのシミュレーション・プログラ
ム を 付 録 と す る．Matlab と Mathematica の プ
ログラムコードの相違を明らかにするために，
できるかぎり加藤（2007）のコードと対照させ
た．そのため，Mathematica に固有のプログラ
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福井県立大学経済経営研究 第 30 号 2014 年 3 月
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佐野：Mathematica による DGE モデル・シミュレーション 付録 1
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付録 2
佐野：Mathematica による DGE モデル・シミュレーション 付録 2
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