3 本の接線が引ける点の存在範囲

3 本 の接 線が 引ける 点の 存在 範囲
有名
問題
3 本の接線が引くことの
できる点の存在範囲
p.1
類題：チャート式 数学Ⅱ p.312 ３２
3 次関数 y ＝ x3－x のグラフに 3 本の接線が引くことのできる点 P の存在範
囲を図示せよ。
《解答》
y'＝ 3x2－1
3 次関数 y ＝ x3－x のグラフ上の点 (t，t3－t)における接線の方程式は
y ＝(3t2－1)(x－t)＋t3－t ＝(3t2－1)x－2t3
この接線が P(a，b)を通るとして、b ＝(3t2－1)a－2t3
＋
y＝f(x)
2t3－3at2＋(a＋b)＝ 0 … ①
β
3 次関数のグラフにおいては
α
x
(接線の本数)＝(接点の個数) であるので
－
①が異なる 3 つの実数解をもつ条件を求めればよい。
(α，β)＝(a，0)
または
(0，a)
f(t)＝ 2t3－3at2＋(a＋b) とおく。
f'(t)＝ 6t3－6at ＝ 6t(t－a)
求める条件は、a≠0 かつ f(0)f(a)＜ 0
⇔ a≠0 かつ (a＋b)(b－a3＋a)＜ 0
y
以上より、求める点 P の存在範囲を表す不等式は
(y＋x)(y－x3＋x)＜ 0
求める点 P の存在範囲は、右図の斜線部の領域で
境界を含まない。
《別法》 (途中から)
[1] a＜0 のとき
f(a)＞0 かつ f(0)＜0
⇔ －a3－a＋b ＞ 0 かつ a＋b ＜ 0
⇔ a3－a ＜ b ＜ －a
すなわち、x＜0 のとき、x3－x ＜ y ＜ －x
[2] 0＜a のとき
f(0)＞0 かつ f(a)＜0
⇔ a＋b ＞ 0 かつ －a3－a＋b ＜ 0
⇔ －a ＜ b ＜ a3－a
すなわち、x＞0 のとき、－x＜ y ＜ x3－x
O
y ＝ x3－x
[1]
＋
[2]
－
＋
－
x
y＝f(x)
a
0
y ＝ －x
y＝f(x)
0
a
x
x
《解説》
3 次関数のグラフにおいては、接線と接点は 1 対 1 に対応するので、接線の本数は
接点の個数と一致する。その接点の個数は、3 次方程式①の実数解の個数になる。
3 本 の接 線が 引ける 点の 存在 範囲
p.2
また、求める領域の境界は、元の 3 次関数 y ＝ x3－x のグラフと、
x＝0 のとき y'＝ －1 より、元の 3 次関数 y ＝ x3－x のグラフの原点(変曲点)におけ
る接線 y ＝ －x が境界になっている。別の言い方をすると、2 つの式の連立方程式を
解いて、x3＝0 ∴ x＝0 (3 重解) よって、2 つのグラフは原点で接している。
3 次方程式①が異なる 3 つの実数解をもつ条件は
｢(極大値)＞ 0 かつ (極小値)＜ 0｣ である。(本文の図 参照)
すなわち、x＝αで極大、x＝βで極小とすると
｢f(α)＞0 かつ f(β)＜0｣ ⇔ f(α)f(β)＜0 である。
《解答》 では、f(α)f(β)＜0 を用いた。x＝0，a のどちらで極大、極小をとるか分か
らないときは場合分けしないで済む。
《別法》 のように、x＝0，a のどちらで極大、極小をとるかをはっきりさせる場合分け
をした。この場合、3 本の接線が引くことのできる点 P の存在範囲を図示しやすいと
いう利点もある。
3 次関数に引ける接線の本数については、下記の 【参考】 を参照しよう。
【参考】 3 次関数に引ける接線の本数
一般に、3 次関数は、y ＝ ax3＋kx (a≠0 ) … ① の形をしていると仮定してよい。
このとき、点 P(p，q)から①に引いた接線の本数を考える。
接点を Q(t，at3＋kt)とおくと、接線の方程式は ( y'＝ 3ax2＋k )
y ＝ (3at2＋k)(x－t)＋at3＋kt ＝(3at2＋k)x－2at3
これが点 P を通るので、q ＝(3at2＋k)p－2at3
2at3－3apt2＋q－kp ＝ 0
3
2
f(t)＝ 2at －3apt ＋q－kp とおいて、f(t)＝ 0 の実数解の個数を考えると
(実数解の個数)＝(接点の個数)＝(接線の本数) である。
f'(t)＝ 6at2－6apt ＝ 6at(t－p) で、f'(t)＝0 より、t＝0，p
[1] p≠0 のとき、f(0)，f(p)は極値であり
① f(0)と f(p)が異符号、f(0)f(p)＜ 0
すなわち
(q－kp)(q－ap3－kp)＜ 0 のとき
3
q ＜ kp，q ＞ ap －kp
または
q ＞ kp，q ＜ ap3－kp
f(t)＝ 0 の実数解の個数は 3 個で
接線の本数は 3 本
② f(0)または f(p)が 0、f(0)f(p)＝ 0
すなわち
(q－kp)(q－ap3－kp)＝ 0 のとき
( q ＝ kp または q ＝ ap3－kp )
f(t)＝ 0 の実数解の個数は 2 個で
接線の本数は 2 本
a＞0 の場合
a＜0 の場合
f (t )
＋
f(t) ＋
α
β
－
β
α
t
－
a＞0 の場合
＋ f(t)
α
α
β t
β
f(t) －
a＜0 の場合
f(t) ＋
α
α
t
t
α＝0，β＝p
または
α＝p，β＝0
β
t
β
t
－ f(t)
α＝0，β＝p
または
α＝p，β＝0
3 本 の接 線が 引ける 点の 存在 範囲
③ f(0)と f(p)が同符号、f(0)f(p)＞ 0
すなわち
(q－kp)(q－ap3－kp)＞ 0 のとき
p.3
a＞0 の場合
a＜0 の場合
＋ f(t)
q ＜ kp，q ＜ ap3－kp
または
q ＞ kp，q ＞ ap3－kp
α
α
f(t)＝ 0 の実数解の個数は 1 個で
接線の本数は 1 本
f(t) ＋
＋
＋
β t
α
β
－
β
t
β
α
t
－
f(t) －
α＝0，β＝p
または
α＝p，β＝0
t
－ f(t)
[2] p＝0 のとき、f'(t)＝ 6at2 で
a＞0 のとき f(t)は単調増加
a＜0 のとき f(t)は単調減少
いずれにしても、f(t)＝ 0 の実数解の個数は 1 個で、接線の本数は 1 本
q ＝ ap3＋kp … ② は、曲線①と同じ 3 次関数、
q ＝ kp … ③ は、曲線②の原点 (変曲点)における接線であるので
[1],[2]より、接線の引ける本数で、平面を領域に分けると次のような図になる。
a＞0 の場合
③
1本
3本
a＞0 の場合
3本
③
O
1本
②
3本
a＜0 の場合
②
1本
3本
O
3本
3本
1本
O
1本
3本
1本
1本
a＜0 の場合
②
1本
3本
1本
3本
②
a＜0 の場合
②
3本
1本
③
O
1本
O
③
②
③
a＞0 の場合
O
3本
③
境界線上は 2 本、変曲点では 1 本
1本
3本