個人的確率に関するリンドレー氏のパズルについて

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Issue Date
個人的確率に関するリンドレー氏のパズルについて
園, 信太郎; 葛西, 俊治
經濟學研究 = ECONOMIC STUDIES, 39(2): 214-221
1989-09
DOI
Doc URL
http://hdl.handle.net/2115/31831
Right
Type
bulletin
Additional
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Information
39(2)_P214-221.pdf
Instructions for use
Hokkaido University Collection of Scholarly and Academic Papers : HUSCAP
経 済 繁 研 究 39-2
北海道華大学泌総. 9
個人的確率に関するリンドレー氏のパズんについて
器太郎
菌
葛西俊治
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斜字体は原文のまなあり
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コンマやピリオド念打つ流犠を遊
けている。
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付与するその個人の湾関の状況及びその借入の
心の状態安，断じて，無謀してはならない， と
いうのが他人的確率な重視する者の基本的館度
である。この確率韓からリンドレー誌のパズノレ
してみると，まず，智頭の段落のさ事象
1ち
，
悶の無差問性の使定，長]
戸(A)=ρ(B)ロ ρ(C)
にぶつかる。ム
B，及び Cの三つの事象に対
しでこのような関係をアラン自身が設定するな
2
1
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3
6
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)
39
・
2
室長済学研究
ということは，後アランが個人釣確率の付与
の為の努力を概端?と怠るか，或いは
Fアラン，
バーナード，及びチャーノレズの内のどの一入念
釈放するかが，
くじ引きの類に基づいて，最終
的に決定されるのである」と言う知識をアラン
えばだが，
r
チャ
-J
レズ」という名称に対して，
Jが，一種独特の敬農な連想を行うかもしれな
いと，アランが，襲うのならば，このような一
う
見つまらない援愈でさえも，後アランによる 1
の値の確定に影響， しかも大きな影響，なもた
或いは，
r
チ
が得ている場合以外にはまずあり袴ないでトあろ
らすことになるのである。また，
う。しかし，…方では， この三つの数債な確定
ャールズの年齢が大体 3の，もしいるとしてだ
することは極めて困難であり，少なくとも
が，恵子くらいの年齢ではないのか j とふとア
は，現実的には不可能であると判断せざるを得
ラ γ が「怒った J場合にも，とたんに，一息確
ないのである。アラン自身は，少なくとも，彼
したはずの 1
うの髄が，再び揺草寺し始めるので
らに対して最終的な斡断を下す組織や，また自
ある。さらには，罰人アランが，意額約か宥か
分違のdB罪践に対して，出来得る隈り綾密主主つ
は敢えて関わないとしても
r
パ…ナードはこ
理性的に考察しなければならな L、。このような
の俺から見ても突に残惑な奴で，チャールズは
考察を真剣に行えば行うほど， この確率の三三組
俺のかわし命、息子にイ訟でいて，あんたは神様の
の確定の関難さは増大するであろうから，我我
ようないし、潜守きんで…」などと欝て
Jに諮っ
ρ(
A
)， P
(
B
)， 及び会 (
C
) の問の大
たことがあることをアヲンが例故か記櫨してい
まかな犬小関係や，ぜいぜいのところ， この鐙
るのならば，彼は知らず知らずの内に，或いは
としては
Jの答えの方向を誘導してし
の三三組に対する緩めて粗い見積雪と，彼アランが
かなり意図的に，
確定出来ると仮定することが良識ある態度であ
まったのであり，潜荘意識の類宅ど彼が持ち出す
ると，筆者は判惑するの勺ある。だが，偲人的
か苔かは別としても，援は~然，
確率の観点にもし援にではあるが，真剣に立
自分のぞ?ったその誘導の効果をも党績もらねば
脚するのならば，ニ事象衛の無差別性，部えば
ならないのである。
PCbI
A
)， の確定は，
ρ(
A
)=
P
(
B
)
うのならば
Jに対する，
ところが…方
1
，
う 即ち
もしその確定を設かが行
r
密分が釈放されるというような
世界の状況を想定したうえで，もし叡にではあ
Jがバ
を舷定することが既に非現実的なのである。ア
るが，その釈放が事実であるのならば，
ランとパーナードとは鍔一人ではない，全く
ーナードは処刑されると器答ずるその確率 h
なる，緩めて「歴史的」な，
r
存在j である。
どうして釈放磯本が等しい，或いは少し弱めて
日制約等しい，などと，誰かから，判断され
なければならないのであろうか。「ρ(A)くρ(B)
或いは
ρ(B)くρ
C
A
)
J と食う判断が，
アラン
f言分が釈放される j ということをあたかも
るかのように，
絶えず，
つ，確定そよ J
， という，
念頭に寵きつ
アランが正にそのア
ラン自身に対して課さねばならない，規範的な
命令の下に，彼岳身によって，行われなければ
自身が溺己に対する誠実さを失わない隈りにお
ならないという，不可侵の，懇定が存在する。
いては，後アヅンにとっては， 自明なくらいに
うの{践を，
結馬 1
のである。
ところが
ρ P(biA) のアラン自身による
おお
つては， これは食く絶望的な状混である
と寄って良 L、少なくとも，アランは，
三人のほかに饗守，以下これをど
誰かが， 確定し得ると掠定す
ることは余りにも無謀なのである。
E
i
Jとする，の性
格を考麗しなければならなし、。あくまでーもたと
ところが P(A)，P(B)，及び P(C) からな
る確率の三組や条件付~獲率 ρ =þ(b IA) と比
較して，アランにとって，その見襲がより現実
的な織率である戸 (
b
) が存在している。これ
は，設の質問に対して，
Jがバーナードの処刑
1
9
8
9
.9
個人的確率に関するリ γ ドレ『氏のバズノレについて
を返答するという事象に対する，彼自身が付与
する，確率であるが， これは「自分の質問に対
Jはノミーナードの名前を告げるであろ
して，
園・蔦西
2
1
7(
3
61
)
ド，及びチャーノレズの内でその釈放が事実上不
可能な者は存在していない」と判断していると
仮定する。この仮定より
う」という予想に対して彼自身が賭ける場合
OくtA，0くρ
B且つ Oくか
の，しかもこの場合の賭けは勝負の結末を彼ア
前
f
的で・はなく，
ランが直ちに知り得るので，比R
本来の意味での賭けの勝ち目
(
b
e
t
t
i
n
go
d
d
s
)
が従う。一方
から，アランによって，評定され得るものなの
である。
さらにまたこの確率が，
r
条件付けを
行う事象を，明白な表現において，含んでいな
し
、J
という点において
式 1。ρ(AI
b
).
t
(
b
)=ρ
Aゆ 且 つ
式 2。ρ(
b
)=tA・
ρ+針。
r
条件付けを行う事象
を，明白な様式において，含んでいる」という
式 2より
=
ρ (bI
A
) よりもはる
意味での条件付き確率 ρ
かに単純であるという事実をここで確認するの
ならば，
ことは， ρに対する，アランに限らず，誰かに
よる，評定を想定することよりも，
このより現実的な確率である
が従う。これを式 1に代入して
より実体感
のある想定であると筆者は判断するのである。
ら
，
ρd・
ρ=t(b)ーρc
ρ(b) のアランによる評定を想定する
ρ(AI
b
)・
ρ(
b
)=
ρ(
b
)-ρ
c
ρ(b) の 視 点 か
リンドレ一氏のパズルにおける囚人アラン
の心の動きを，簡潔に再考することがこの論述
を得る。ところが 0豆ρ
A・
ρ 且つ Oくρa
. 故に
ρ(b)チ0。故に
の目的である。
ρ(
AI
b
)=ρ
((
b
)-ρa)/
ρ(
b
)
2
. 二つの式
が従う。ここで
まず表記法を正式に確定しておく。「バーナー
ドが釈放される」というアランによって考察さ
1
=
ρA+
ρB+ρc
れる事象を B と表記し，また A， C も同様で
ある。「バーナードが処刑される」というアラ
を利用すると
ンによって考察される事象を ~B と表記し，ま
た ~A，
。
~C も同様である。 rJ がバーナード
(
t
(
b
)-ρ)/t(b)
は処刑されると返答する」というアランによっ
て考察される事象を b と表記して，且つ
C
=1一 (ta/
ρ(
b
))
も
=ム +ρB十台一 (ta/
ρ(b))
同様とする。最後に
=れ・ (
1+一色士主; .(p(
b
)
ρA・
ρ(b)
ρA=ρ(A)，tB=ρ(B)，且つ ρa=ρ(C)
-~←))。
ρB+
ρc
と置く。
我我は，囚人アランは，看守 Jの答えを得る
前
，
つまり事前においては，
r
自分，
バーナー
ここで
2
1
8(
3
6
3
)
39-2
経済学研究
α=μ/(tB+
ρ0
)
が従う。故 t
こ
ρ
(
*
)=ρ(CIBo
rC)
=ρ (~BIB o
rC)
且つ
合併)=ρ0
/(
ρB+
ρ0
)
が従う。これより ρ(
め に 対 す る 第 1の解釈，
と置くと
「バーナード或いはチャールズが釈放されると
いう事象を，仮にではあるが，事実としてアラ
式 3。ρ(AI
b
)=tA・
(
1+
(
α・
ρ(b))一1.
ρ
((
b
)ーρ
(
*
)
))
ンが想定した場合の，
る」という事象，
r
バーナードが処刑され
これはアランが想定している
仮想的事実の下では「チャールズが釈放され
が従う。
る」という事象と同値であるのだが，に対して
，が従う。
アランが付与する確率である J
ρB+ ρ0=1- ρ A= ρ (~A)
第 2の解釈。「バーナード或いはチャールズが
より
釈放される」とし、う事象は，釈放唯一名の前提
より，
α=ρ (A)/þ(~A)
r
アランは処刑される」
値であり，
且つ，
とL、ぅ事象と同
同じ前提より
r
アランも
バーナードも共に処刑される」という事象は
が従うので， α は「自分が釈放されることに対
して，アラン自身が付与する賭け，但し， この
「チャールズは釈放される」と L、う事象と同値
である。即ち
賭けの結果は早晩アラン自身が体験することに
なるのだが，の勝ち目」にほかならなし、。一方
ρ B+ ρ 。 =ρ (~A) 且つ
ρ
(
*
) に対しては二つの解釈を提示する。
ρ c= ρ ((~A)
第 1の解釈。釈放される者は一人のみであるの
and (~B))
が従う。故に
で
ρ
(
*
)=ρ ((~A) and (~B))/ρ (~A)
ρB+
ρ。
=
ρ(
Bo
rC)
=ρ (~BI~A)
が従う。一方「バーナード或いはチャールズが
が従う。これより ρ(
め に 対 す る 第 2番目の解
釈放され，且つチャールズが釈放される」とい
釈
，
う事象は「チャールズが釈放される」という事
にではあるが，事実としてアラン自身が想定す
象と同値であり，また，釈放者唯一名の前提よ
る場合において
り，後者は「バーナード或いはチャールズが釈
という事象に対してアラン自身が付与する確
放され，且つバーナードが処刑される」という
，が従う。
率J
r
自分が処刑されると L、ぅ事象を，
もし仮
r
パーナードが処刑される」
事象と同値である。故に
以上二つの解釈を簡潔に表現すれば
rC) andC)=ρc
t((Bo
=
ρ ((Bo
rC) and ~B)
式 4 。 ρ (~BI~A)= ρ(*) =ρ (~BIB
o
rC)
1
9
8
9
.9
個人的確率に関するリンドレ一氏のパズルについて
となる。
2
1
9(
3
6
3
)
園・葛西
の値は大であるとアランによって判断されると
いう意味において，強い場合には，P(b) くρ(~
〔注意〕バーナード及びチャーノレズの役割を入
BI~A) が従う。つまり，
I
バーナードは処刑
れ換えた場合の式 3及び式 4に対応する式を示
される」という看守 Jの答えをアランが得る場
すと次のようになる。
合において，アランの釈放の，彼自身による，
確率は Jの返答を得る前よりも，その後のほう
ρ(AI
c
)=
ρ A.(
1+α
(・
ρ(
c
))ー 1.
が，低くなるのである。これは「向性格の犯罪
者バーナードの処刑が Jの返答によって事実上
ρ
((
c
)q(*)))
I
ρ (~C ~A)
=q(*)=ρB/(PB+PO)
=ρ (~CIB
o
rC)
確定することによって，アランとパーナードと
の連座的性格に気付いているアランの不安感が
増大し，且つ，また一方では，強力なライバル
C
注意終]
であるチャールズの釈放に対するアランの印象
が強化され，結局アランの絶望感が拡大する」
次に，上で導いた二つの式，式 3及び式 4，に
という状況である。
基づいて囚人アランの心の変化を，極めて単純
ではあるが，考察することにする。
b
)>
ρ
(
*
)の場合を考える。式 3及び式
次に ρ(
4の最左辺よりこの不等式と
3
. 心の三態
ρ(
b
)>P(~B I~A)
ρ(
b
)くρ
(
*
) の場合を考える。 この不等式は，
式 3より，
ρ(
AI
b
)くρ
A
と
ρ(AI
b
)>
PA
と同値である。一方，式 4の最左辺より ，P(*)
とは互いに同値である。これは例えば次のよう
=ρ (~B I
~A) 。故に後者の不等式は
な状況である。
ρ (b) くρ (~BI ~A)
「自分とチャールズとの犯罪の性格は酷似して
いるが， しかしバーナードとは明白に異なって
と同値である。このような場合がアランに訪れ
いる。しかも，
白分達の犯罪と向性格の犯罪に
る状況を一つ想像すると次のようになる。
対しては，我我の組織は，慣例としては，かな
り厳格に対処することになっている」とアラン
「自分とバーナードとは，チャールズとは異な
が思索する場合においては，
った，向性格の犯罪を犯している。しかも処分
を最終的に決定する我我の組織が， この種の性
ρ(~CI ~A)
格を持つ犯罪に対して寛容であった前例はな
い」とアランが思索する場合においては， ρ(~
は 1に近付く傾向に，アランによって，措かれ
BI~A) は I に近付かざるを得ない傾向に，ア
るであろう。従って，
ランによって，措かれるであろう。この傾向が，
ρ (b)
のアランによる見積よりも ρ (~BI ~A)
ρ (~B
IA)
，;"
2
2
0(
3
6
4
)
39-2
経 済 学 研 究
持っていない。しかし，一方では，仲間の二人
f
ま
の内のいずれかが釈放されるか，それとも自分
ρ (~BI~A)+ ρ (~CI~A)
=1
が釈放されるか，
ならば，
という制約の下でだが，
という一個の賭けを考えるの
よほどの金額の聞きがない限り，
自分
0に近付く傾向を持つ
は「自分」の方には賭けないことも， また確か
よりも ρ (~BI ~A)
にこの自分は，知っている。だが，チャールズ
に至る。この場合， ρ (b)
は Oに近いとアランによって判断されるという
は
，
意味において， ρ (~BI ~A) の O への傾向が強
が心配である…」とアランは思索する。この場
自分やバーナードよりも若年であり，行末
いのならば，
合アランが，
ρ(b)
の値を見積もることに情熱
を1
傾けるよりは，その値を
ρ(
b
)>þ(~B I
~A)
ρ (~BIB
o
rC
)
が従う。アランの釈放の，彼自身による，確率
r
パーナードは処刑される」
Jの返
に「ほぼ等しい」として一種の労力の節約を行
答によって高まることになる。これは「自分と
ったとしても，アランが自己に対する誠実さを
チャールズとが連座式に処刑されること及び強
欠いているとは，筆者には，思われなし、。この
は
，
という
Jの返答を得た後も，
力なライバル囚人であるバーナードが釈放され
場合アランは，
ることに関するアランの恐怖と不安とが，それ
命への予感を変更する必要がないことを，既に
らに関する限りにおいてだが
r
バーナードは
自分の運
悟っているのである。だがしかし，チャーノレズ
Jの返答によって事実上消
が釈放されることに対する，アランによって見
滅し，アランとチャールズとの関係が，連座的
積もられる事後の確率は，事前よりも増大して
状況から，釈放をめぐっての全面的対立へと転
いることを敢えて注意しておく。
処刑される」という
換することにより，結果としては，アランの釈
放への期待感が高まることになる」という状況
以上の分析結果を標語式にまとめると
である。
「囚人アランは，連座的状況においてはという
最後に
ρ(b)=ρ
(
*
)の場合を考える。式 3及び
式 4の最右辺より
ことだが，同類項の処刑の確定によって，益益
危機意識を高める傾向にあるが，だが，異分子
の処刑確定によっては，一瞬ほっとするのだ
ρ(
b
)= ρ (~BIB o
rC)
が
，
とたんに解放への期待に満ちた一種独特の
高揚感と共に，同類項との不倶戴天式暗闘を開
と
始する運命となる。一方，八方ふさがりの場合
には，或程度は観念して，若者へと期待を繋ぐ」
ρ(AI
b
)=ρA
となる。
とは同値である。これはどのような状況か?
単純明快ではあるが，このような再考を通して
「我我三人は仲間であり共犯者である。また自
リンドレ一氏のパズルを視るのならば，それは
分は彼らのボスである。だが自分の処刑を事実
パズルというよりは寧ろ，朝三暮四の!類に一喜
上確定するに足る知識を，確かにこの自分は，
一憂する衆人に対する，一個の算術的教訓とも
個人的確率に関するリンドレー氏のパズノレについて
1
9
8
9
.9
閤・嘉西
221α65)
なり得ると，筆者は，判断するのである。
執掛さと共に，首尾一貫して視ることが出来る
4
. 補遺
の余りにも安直な，
ように，少なくとも本来は，事象聞の無差別性
しかも余りにも有用な，処
世的利用と，事実を大集団へと没入させたが
この論述は，葛西俊治氏(北海道工業大学)に
る，余りにも高。遠な，しかも余りにも芸術的
よる，
な，欲念とに対して，あくまでも中立を守りつ
リンドレ一氏のパズルに対する或種の議
論への，率直な疑念表明を受けた筆者(園)が，
つ対抗して行こうとする，反時代的な，中庸の
同氏の疑念表明を，
自己の流儀によってではあ
精神が貫流していることを筆者はこの機会に指
るが，発展的に再構成したものである。そこで，
摘しておくことにする。これについては，園
同氏の承諾を得たうえで，同氏の氏名を共同研
[3J を経由して，そこで言及されている文献
究者として掲げることにしたのである。なお同
を参照することを勧める。またついでに，連続
氏の疑念を筆者式に要約すれば
な一様分布やその類似物を仮定することは，そ
の論理的基礎が，決して自明とは言い難いこと
「自分の実験家としての経験からすれば，通
常の人がなんとか見積もることが出来るのは
ρ(b) 及び ρ(c)
の二つの値とするのが正当で
あり，直接 ρ を評価することを，人に，
期待
することは事実上不可能と判断するのである。
ρの値を ρ(b) や ρ(c)
この
よりも先に，
し
をここで確認しておきたし、。これについては，
サヴェジ警の第 3章第 3節，及び園 [4J及び
[5J を参照することを勧める。
なお葛西氏からは，
リンドレ一氏のパズルに
関する，統計学の基礎とは別の、傾向にある，幾
つかの資料を頂いたが，それらの分野に対して
かも極めて天下り式に，確定した上で，人によ
筆者は殆ど門外漢であるので，無責任な論評を
る確率評価の問題を，統計的模型とベイズの公
行うことの可能性を最小化する為に，葛西氏自
I
式とによる没個性的な単なる処理へと転化する
身の論述をも含めて，一切言及 Lな い こ と に
流儀に対しては，科学的と言うよりは寧ろ，
した。だがこれは葛西氏自身の罪でないことは
種の教条的態度を直感する」
言うまでもなし、。
となる。「囚人アラン，
囚人バーナード，
囚人
チャールズ，そして正にその看守を我我は問題
にすべきなのであり，しかも，決して，囚人
rAj，囚人 rBj，囚人 rCj，そして「看守」
という記号の列によって象徴される多くの類似
の事例の処理を効率的に，従って，その処理の
過程に実際に直面する者たちが行い得るはず
の
，
自己への省察と克治とを，一切排除する様
式に基づいて，遂行するための手順の開発が，
本来の我我の課題とは，なり得ない」とするの
ならば，同氏の疑念は，全く健全であると，筆
者は，判断するのである。
個人的確率の概念を重視する算術家の立場の基
底には，サヴェジ書 [2J において，恐るべき
参考文献
[1J L
indley， Dennis Victor
， Making Deci
s
i
o
n
s，SecondR
e
v
i
s
e
dE
d
i
t
i
o
n，John Wi
1ey
& Sons
，London，1
9
8
5，但し第 1版は同社より
1
9
7
1年に出版されている。
[2J Savage， Leonard J
immie
， The Foundae
v
i
s
e
dE
d
i
t
i
o
n，
t
i
o
n
s01S
t
a
t
i
s
t
i
c
s，SecondR
DoverP
u
b
l
i
c
a
t
i
o
n
s
，NewYork
，1
9
7
2
，但し
第 1版は John Wi
1ey & Sons，NewYork，
よ
り 1954年に出版されている。
[3J 園信太郎 r
サヴェジ氏の哲学に対する簡潔な
る序説 j，経済学研究(北海道大学)，第'
3
7
巻第 4
号
， 48(488)-61(50
1
)
， 1
9
8
8
年 3月
。
[4J 園信太郎「ザヴ=ジ書における殆ど一様な分割
(
2
)定量的確率J
，経済学研究(北海道大学)， 第
3
8
巻第 4号
， 1
1
8
(
5
5
6
)
1
4
3
(
5
8
1
)，1
9
8
9
年 3月
。
[5J 園信太郎「サヴェジ書における殆ど一様な分割
(
3
)精密比較の公準J
. 経済学研究(北海道大学).
9巻第 1号
， 1
2
1
(
1
21
)
一1
4
3
(
1
4
3
，
) 1
9
8
9
年 6月
。
第3
(
1
9
8
9
年初夏，於北大毅養部，了)
司