En X

線形代数
城大学理学部
２０１０年度後学期
①シラバス説明、数
２!９
【シラバス説明】
① シラバス説明、数
② 線形空間
③ 一次独立と一次従属
④ 直交系
⑤ 外積とこれまでの問題
⑥ 線形写像
⑦ 同型写像と表現行列
⑧ 次元定理
⑨ 固有値と固有ベクトル
⑩ 行列の対角化
⑪ 行列の三角化
⑫ ２次形式と２次曲線
⑬ ２次曲面と正値２次形式
⑭ 線形微分方程式
⑮ まとめ
定期試験
教科書：水田義弘、理工系線形代数（サイエンス社）
【数】
集合と写像
・集合
X = { x : P(x)}
集合に属するかどうか決める規則
・要素
要素でない
・部分集合
・空集合
・和集合（合併集合）
・積集合（共通部分）
P(x)
x! X
x" X
X#Y
$
A %B
A &B
A
B
A
B
・定義域
f (x) = y x ! X, y ! Y
X
・値域
Y
・写像、対応、関数
・像（Xのfによる）
f (X) = { f (x) : x ! X}
実数
自然数
1, 2, 3,...
自然数の全体
N = {1, 2, 3...}
整数の全体
Z = { 0,±1,±2,±3,...}
有理数
#p
&
Q = $ : p ! Z, q ! Z, q " 0 '
%q
(
無理数
整数の比で表せない数
実数
R
有理数＋無理数
複素数
・虚数単位
・複素数、複素数の全体
・実数部分
・虚数部分
・共役複素数
i
z = a + bi, C
a
b
z = a ! bi
z1 = z2 ! a1 = a 2 , b1 = b2
z1 + z2 = (a1 + a 2 ) + (b1 + b2 )i
z1 " z2 = (a1 " a 2 ) + (b1 " b2 )i
z1z2 = (a1a 2 " b1b2 ) + (a1b2 + a 2 b1)i
z1 z1z2 (a1a 2 + b1b2 ) + (a 2 b1 " a1b2 )i
=
=
z2 z2 z2
a 22 + b22
複素数演算
z = a 2 + b2
絶対値
zz = a 2 + b 2 = z
第２余弦定理
2
!
A
!
!
2
2
z1 + z2 = z1 + z2 + 2 Re(z1z 2 )
第１余弦定理 第２余弦定理
B
c
2
a
b
C
a = b cos ! + c cos "
a 2 = b 2 + c 2 # 2bc cos $
b = c cos $ + a cos !
b 2 = c 2 + a 2 # 2ca cos "
c = a cos " + b cos $
c 2 = a 2 + b 2 # 2ab cos !
複素数平面、ガウス平面、極形式
A(a,b)
z = a + bi
平面上で、複素数 に点 を対応さ
せると、複素数と平面上の点がうまく対応する。点Ａを
複素数ｚで表す時、この平面を複素数平面またはガウス
平面と言う。複素数を次のようにあらわす時、この形式
を極形式と呼ぶ。
y
r= z
! = "xOA
b
z = r(cos ! + i sin ! ) = re i!
# x = r cos ! , y = r sin !
Ｏ
!
" n!1 x
n= 0
!
ix
e =
"
n= 0
!
n
, cos x =
1 n
i
x =
n!
n
" (#1)
m= 0
!
"
m= 0
m
1
x 2m ,
(2m)!
1
(#1)
x 2m +i
(2m)!
m
r
!
a
e i! = cos ! + i sin !
!オイラーの公式：
ex =
A
!
sin x =
m= 0
!
" (#1)
m= 0
" (#1)
m
m
1
x 2m +1
(2m + 1)!
1
x 2m +1 = cos x + i sin x
(2m + 1)!
x
練習問題１
５．複素数平面において、次の式を満足する複素数ｚの
集合を図示せよ。
z=z
①
x + iy = x ! iy
" y=0
実軸
② z+z = 0
(x + iy) + (x ! iy) = 2x = 0
" x=0
虚軸
③ z !1 = z +1
④ z!3 = 2 z
(x ! 3 + iy)(x ! 3 ! iy) = 4(x + iy)(x ! iy)
" (x ! 3)3 + y 2 = 4(x + iy)(x ! iy)
" x 2 + 2x + y 3 = 3
⑤ z + z!2 = 4
(x + iy ! 1)(x ! iy ! 1) = (x + iy + 1)(x ! iy + 1) z ! 2 = 4 ! z
x + iy ! 1 = x + iy + 1
" (x ! 1) 2 + y 2 = (x + 1) 2 + y 2
" x = 0 実軸
③
z !1 = 2
円
" (x + 1)2 + y 2 = 4
" (z ! 2)(z ! 2) = (4 ! z )2
2
z ! 2z ! 2z + 4 = 16 ! 8 z + z
8 z = 12 + 2z + 2z
2
" 8 x 2 + y 2 = 12 + 4x
2 x 2 + y 2 = 3 + x " 4(x 2 + y 2 ) = 9 + 6x + x 2
(x ! 1+ iy)(x ! 1! iy) = 4
3x 2 ! 6x + 3 + 4y 2 = 9 + 3
" (x ! 1) 2 + y 2 = 4 円
3(x ! 1)2 + 4y 2 = 12
#
(x ! 1)2 y 2
+
=1
4
3
楕円
! =1
z "! = !z "1
６． のとき、 となることを示せ。
(z ! " )(z ! " ) ! (" z ! 1)("z ! 1) = zz ! "z ! " z + "" ! " "zz + " z + "z ! 1
= (zz ! 1) ! "" (zz ! 1) = !(zz ! 1)("" ! 1) = 0
! = " = # =1
７． のとき、次式が成り立つことをを示せ。
! + " +# =
1 1 1
+ +
! " #
2
! + " + # = (! + " + # )(! + " + # ) = 3 + !" + ! " + "# + " # + #! + #!
1 1 1 !" + "# + #!
+ + =
! " #
!"#
2
$
1 1 1
(!" + "# + #! )(! " + " # + # ! )
+ +
=
= (!" + "# + #! )(! " + " # + # ! )
! " #
!"#! " #
= ! " + " # + # ! + !"#" + !#! " + "#! " + "#! # + !#! " + !#" #
= 3 + !" + ! " + "# + " # + #! + #!
休憩室：次の式はどこが間違っている？
!1
1
=
1
!1
!1 = !1 "
!1
1
=
1
!1
"
" ( !1) 2 = ( 1) 2
" !1 = 1
の変形が許されない。これは、次のように極形式で考えると分かりやすい。
!1 = e i" ,e !i"
（誤）
!1
1
=
1
!1
!1 = !1 #
# ( !1) 2 = ( 1) 2
（正）
#
e
i
"
2
1
# i 2 = 12
e i"
1
= !i"
1
e
!1 = !1 #
1
=
e
!i
"
2
!1
1
=
1
!1
#
# e
#
$" " '
i& ! )
%2 2(
# !1 = 1
e i"
1
=
1
e !i"
=1 # 1=1
②線形空間
８０!８５
【線形空間】
線形空間
線形空間の基礎体＊（係数体）
線形空間の基礎体が実数
線形空間の基礎体が複素数
K
K=R
K =C
V
x :x!V
W :W " V
集合
集合の要素
集合の部分集合
Ｗの要素が全てＶに含まれる
＊体、基礎体等についてはこれ以上述べない
＊線形空間の性質
① 和の定義
② 積の定義
以下、
１）交換法則
２）結合法則１
３）唯１つの零元の存在
４）唯１つの逆元の存在
５）分配法則１
６）分配法則２
７）結合法則２
８）係数体Kの単位元との演算
集合Vにおいて、①、②が定義され、１）から８）
の性質が成立するときVはK上の線形空間である。
x + y ! V,
"x ! V,
for x ! V, y ! V
for " ! K, x ! V
for x, y, z,0 !V and " , # ,1 !K
x+y= y+x
(x + y) + z = x + (y + z)
線形空間の台集合V
for $ x x + 0 = x
$
%
0 !V
の要素の演算
%
for x x + y = 0 y !V
(" + # )x = " x + # x
" (x + y) = " x + " y
("# )x = " ( # x)
1x = x
線形空間の係数体K
の要素の演算
y = !x
x + (!y) = x ! y
!上記４）の逆元は と表し、 と書くことができる。
＊線形部分空間
K上の線形空間Vの部分集合Wが空集合でなく、次の二つの
条件を満たせとき、WはVの線形部分空間という。
①
②
x ! W, y ! W " x + y ! W
# ! K, x ! W " #x ! W
定理１．１：K上の線形空間Vの線形部分空間WはK上の 線形空間である。
証明
上記定義によりWが線形空間の性質を満たす
例題１．１：次のことを示せ。
①
②
①
②
0x = 0
：零元
(!1)x = !x ：逆元
1x = (1+ 0)x = 1x + 0x, !0x = 0
1x + ("1)x = (1+ ("1))x = 0x = 0,
!x + ("1)x = 1x + ("1)x = 0, !("1)x = "x
問題１．１：
!0 = 0
! 0 = ! (0 + 0) = ! 0 + ! 0 "! 0 = 0
問題１．２：
!
x,! y " V について
となるzがただ一つ存在する
x+z=y
!x + (x + z) = !x + y
"(!x + x) + z = !x + y
"z = !x + y
!V
問題１．３：
線形部分空間は０を含む。
for x
x+0=x
例題１．２：有限個の要素で張られる空間
a1, a 2 ,...a n
K上の線形空間Vの要素 に対して
K a1,a 2 ,...a n = {!1 a1 + ! 2 a 2 + ...+ ! n a n : !1 " K,...! n " K}
は線形部分空間である。また、このとき K a1,a 2 ,...a n
a1, a 2 ,...a n
は、 で張られる線形部分空間という。
x = !1a1 + ! + ! n a n
!1,...! n " K
y = #1a1 + ! + # n a n
#1,...# n " K
$ x, y " K < a1,...a n >
x + y = (!1 + #1)a1 + ! + (! n + # n )a n
!x = (!!1 )a1 + ! + (!! n )a n
% x + y, !x " K < a1,...a n >
K < a1,...a n >
したがって、 は線形部分空間である。
なお、 を省略して と書くこともある。
K
< a1,...a n >
問題１．４：
!1 $
! 2$
!4$
# &
# &
# &
a1 = # 2&, a 2 = # 3&, a 3 = # 7 &
空間ベクトル に対して
# &
# &
# &
" 3%
"4 %
"10 %
R < a1,a 2 >
① はこの空間における平面上のベクトル 全体を表す。この平面の方程式を求めよ。
!x$
# &
ax + by + cz = 0
：平面の方程式 平面上の点：r = # y &
# &
"z%
a + 2b + 3c = 0
2a + 3b + 4c = 0
! b = "2c, a = c # x " 2y + z = 0
a 3 ! R < a1, a 2 >
② を示せ。
a 3 = 2a1 + a 2
a 3 ! R < a1, a 2 >
であるから
R < a1, a 2 >= R < a1, a 2 , a 3 >
③ を示せ。
a3
a1
a2
は と の線形結合だから。
線形空間の例
＊行列の作る線形空間
Mm,n (K) :
Ｋの要素からなる（ｍ，ｎ）行列の全体：：Ｋ上の線形空間
Mm,n (R) :
実数からなる （ｍ，ｎ）行列の全体：：Ｒ上の線形空間
Mm,n (C) :
Ｃの要素からなる（ｍ，ｎ）行列の全体：：C上の線形空間
＊ベクトルの作る線形空間
K n : Ｋの要素からなるｎ次列ベクトルの全体：：Ｋ上の線形空間
Rn :
ｎ次実列ベクトルの全体 ：：Ｒ上の線形空間
Cn :
ｎ次複素列ベクトルの全体 ：：Ｒ上の線形空間
Cn :
ｎ次複素列ベクトルの全体 ：：Ｃ上の線形空間
＊関数の作る線形空間
F(0,1) :
C(0,1) :
実数値区間（０、１）で定義された実数値関数全体：：Ｒ上の線形空間
∼仝∼ 実数値連続関数の全体：：Ｒ上の線形空間
C (0,1) : ∼仝∼ 実数値連続微分可能な関数全体：：Ｒ上の線形空間
1
C1 (0,1) ! C(0,1) ! F(0,1)
例題２．１：線形部分空間の例
R
R
次の の部分集合は の線形部分空間かどうか調べよ。
3
3
（１） W1 = { x : x1 + x2 + x3 = 0}
（２） W2 = { x : x1 + x2 + x3 = 1}
x=t [x1 x2 x3 ], y=t [ y1 y 2 y 3 ] ! W1
x1 + x2 + x3 = 0, y1 + y 2 + y 3 = 0
" (x1 + y1 ) + (x2 + y 2 ) + (x3 + y 3 ) = 0
" x + y ! W1
(#x1 ) + (#x2 ) + (#x3 ) = # (x1 + x2 + x3 ) = 0
" #x ! W1
R3
W1 は の線形部分空間である。
x=t [1 0 0] ! W2
2x =t [2 0 0] " W2
R3
W2 は の線形部分空間でない。
問題２．１：
R3
次の集合は の線形部分空間かどうか調べよ。
（１） W1 = { x : x1 = 0}
（２） W2 = { x : x1 > 0}
t
t
（１）x= [0 x2 x3 ], y= [0 y 2 y 3 ] ! W1
x + y=t [0 x2 + y 2 x3 + y 3 ] ! W1
W1 は の線形部分空間である。
R3
（２）x ! W2 " x1 > 0
# < 0 #x1 < 0
$ #x % W2
R3
W2 は の線形部分空間でない。
③一次独立と一次従属
８６!９３
一次独立と一次従属
Ｋ上の線形空間Ｖのｎ個の要素
a1, a 2 ,...a n
が、Ｋ上一次独立である。
x1a1 + x2 a 2 + !+ xn a n = 0, xj ! K (j = 1,2,...n)
ならば
x1 = x2 = ! = xn = 0
一次従属：一次独立でない
定理３．１： Ｋ上の線形空間Ｖのｎ個の要素 a1, a 2 ,...a n
A = [ aij ]
は一次独立とする。ｎ次正方行列 に
対して
b1 = a11a1 + a12 a 2 + !a1n a n
b 2 = a 21a1 + a 22 a 2 + !a 2n a n
"
b n = a n1a1 + a n 2 a 2 + !a nn a n
とおく。このとき、 が一次独立
b1, b 2 ,...b n
となる必要十分条件は
A!0
（証明）
ｂが一次独立であるから
x1b1 + x2 b 2 + !xnbn = 0
0=
(x
1
x2 ! xn
)
!
#
#
#
#
#"
ならば x1 = x2 = ! = xn = 0
b1 $
&
b2 &
=
" &
&
bn &%
(x
1
x 2 ! xn
ここで、ａが一次独立であるから
( x1
x2 ! xn ) A = ( 0 0 ! 0)
! x1 $
# &
t # x2 &
t
A
=0
A'0
#" &
# &
x=t (x1, x2 ,...xn ) = 0
" xn %
が唯一解であるために
)
!
#
A#
#
#
#"
a1 $
&
a2 &
" &
&
a n &%
!
#
#
#
#
#"
b1 $
&
b2 &
! &
&
bn &%
＜復習＞
行列式＿定理６．１：ｎ次正方行列Ａについて、次は同値である
AX = XA = E n
X
① Ａは正則（逆行列の存在、即ち、 となる の存在）
②
A!0
rank A = n
③ で、
˜
A!1
逆行列 は余因子行列 を用いて、次のように表せる。
A
テキスト
1 ˜
A =
A
A
!1
AA!1 = E n = 1
証明①⇨②
したがって、
A!0
A!0
証明②⇨①
AA!1 = A " A!1 = 1
行列式＿定理４．７より
˜ A
˜A
AA
=
= En
A
A
が成り立つときには、行列式＿定理５．３を使って、
1 ˜
A
!1
A =
A
となる逆行列 が存在する。
! = AA
! = AE
!定理５．３： AA
n
証明② ⇨③
rank A = n
⇨ Ａは単位行列に基本変形される ⇨
A!0
˜
!余因子 と余因子行列
Aij
A
a11
! !
"
a1j
"
a i"1,1 ! ! ai"1,j
! 0
1
Aij ! 0
a i +1,1 ! ! ai +1,j
"
"
a n1 ! ! a nj
t
" A11 A12
$
A21 A22
˜
A! $
$!
!
$
# An1 An 2
! !
a1n
"
! ! a i"1,n
0 !
0
! ! a i +1,n
"
! ! a nn
! A1n %
'
! A2n '
! !'
'
! Ann &
a11 !
"
"
= a i1
"
"
a n1
a1,j "1
0
!
"
0
1
!
!
ai,j "1
!
!
! a n,j "1
a1,j +1
!
a i,j +1
! a1n
!
!
"
"
ain
0
! ! "
"
"
0 a n,j +1 ! a nn
＊次元とｎ次元線形空間
a1, a 2 ,...a n
Ｖのｎ個の要素 で次の２項を満たすものが
存在するとき「Ｖの次元はｎである」といい、
dim V=n とあらわす。
① Ｋ上一次独立
② Ｖ＝ K a1,a 2 ,...a n
さらに、Ｖはｎ次元線形空間といい、
a1, a 2 ,...a n
はＶの基底という。
例題３．１：多項式の作る線形空間
Pn
高々ｎ次の多項式全体 が作る線形空間の次元を求めよ。
!高々ｎ次：せいぜいｎ次：ｎ次まで：：
x 0 = 1, x, x 2 ,...x n
n
p0 (x) = 1, p1 (x) = x,..... pn (x) = x
K上の多項式 を考える。
この多項式の組はK上１次独立である。
高々ｎ次の多項式は次式で表される。
a 0 + a1x + a 2 x 2 + ! + a n x n = a 0 p0 (x) + a1p1 (x) + ! + a n pn (x)
! Pn = K p0 , p1 ,... pn
従って、 dim Pn = n + 1
例題３．２：一次独立・一次従属
次のベクトルが一次独立となるような の条件を求めよ。
a
!a $
!1 $
!1 $
# &
# &
# &
a1 = #1 &, a 2 = # a &, a 3 = #1 &
# &
# &
# &
"1 %
"1 %
"a %
a1 , a 2 , a 3
ベクトル が一次独立である。
[x1 x2 x3 ] = [0 0 0]
x1a1 + x2 a 2 + x3 a 3 = 0
方程式 の解は
( a1
a2
a 3 ) ( x1 x2
! a1 a 2
a1
a2
x3 ) = 0
t
a3 " 0
a 1 1
a 3 = 1 a 1 = a 3 ! 3a + 2 = (a ! 1) 2 (a + 2) " 0
1 1 a
! a " 1, # 2
例題３．３： 次のベクトルは一次独立であるかどうかを調べ、
K a1,a 2 ,...a n
さらに、 の基底と次元を求めよ。
!1 $
! 2$
!1 $
! 2$
# &
# &
# &
# &
2
3
4
5
a1 = # &, a 2 = # &, a 3 = # &, a 4 = # &
# 3&
# 5&
#6&
# 3&
# &
# &
# &
# &
"1 %
"1 %
" 3%
" 3%
x1a1 + x2 a 2 + x3 a 3 + x4 a 4 = 0
（方針） の解を調べる。
(1)
(1)
x1a1(1) + x2 a (1)
2 + x3 a 3 + x4 a 4 = 0
!1 2 1 2$! x1 $
(1)
#
&# &
# 2 3 4 5&# x2 & = 0 (2)
# 3 5 6 3&# x3 &
(3)
#
&# &
1
1
3
3
x
(4)
"
%" 4 %
(2)
(2)
x1a1(2) + x2 a (2)
2 + x3 a 3 + x4 a 4 = 0
!1 2 1 2 $! x1 $
(5) = (1)
#
&# &
# 0 '1 2 1 &# x2 & = 0 (6) = (2) ' 2 ( (1)
# 0 '1 3 '3&# x3 &
(7) = (3) ' 3 ( (1)
#
&# &
0
'1
2
1
x
(8) = (4) ' (1)
"
%" 4 %
(3)
(3)
x1a1(3) + x2 a (3)
2 + x3 a 3 + x4 a 4 = 0
!1 0 5 4 $! x1 $
(9) = (5) + 2 ( (6)
#
&# &
# 0 1 '2 '1 &# x2 & = 0 (10) = '(6)
# 0 0 1 '4 &# x3 &
(11) = (7) ' (6)
#
&# &
(12) = (8) ' (6)
" 0 0 0 0 %" x4 %
)
(4 )
(4 )
x1a1(4 ) + x2 a (4
2 + x3 a 3 + x4 a 4 = 0
!1 0 0 24 $! x1 $
(13) = (9) ' 5 ( (11)
#
&# &
# 0 1 0 '9 &# x2 & = 0 (14) = (10 + 2 ( '(11)
# 0 0 1 '4 &# x3 &
(15) = (11)
#
&# &
(16) = (12)
" 0 0 0 0 %" x4 %
24a1 + (!9)a 2 + (!4)a 3 = a 4
a1, a 2 , a 3
基底： 次元：３
問題３．１：
次のベクトルが一次独立であるようなａ．ｂ．ｃ の条件を求めよ。
!1+ a $
! 1 $
! 1 $
#
&
#
&
#
&
x1 = # 1 &, x 2 = #1+ b&, x 3 = # 1 &
#
&
#
&
#
&
" 1 %
" 1 %
"1+ c %
x1 x 2
1+ a
1
1
x 3 = 1 1+ b
1 !0
1
1 1+ c
(1+ a)(1+ b)(1+ c) " (1+ a) " (1+ c) + 1+ 1" (1+ b) ! 0
# ab + ac + bc + abc ! 0
問題３．２：
次のベクトルで張られる線形部分空間の基底と次元
を求めよ。
"1%
"!1%
" 2%
"0%
$ '
$ '
$ '
$ '
!1
1
0
!1
a1 = $ ', a 2 = $ ', a 3 = $ ', a 4 = $ '
$1'
$!1'
$ 2'
$0'
$ '
$ '
$ '
$ '
#!1&
#1&
# 0&
#!1&
a1 + a 2 = 0
1
a2 + a3 + a4 = 0
2
! a 2 = "a1, a 4 = "a 2 "
1
1
a 3 = a1 " a 3
2
2
したがって、２次元で、基底は a1, a 3
線形部分空間の和と積
W1, W2
定理４．１： 線形空間Ｖの線形部分空間 に対して、
W1 !W2
共通部分 はＶの線形部分空間である。
これを と の積空間という。
W1
W2
W1
W2
! ０は にも にも含まれることに注意。
x, y ! W1 "W2
とする
x, y ! W1
x, y ! W2
W1, W2 は線形部分空間であるから
x + y ! W1
x + y ! W2 したがって、
x + y ! W1 "W2
! " K, x " W1 #W2
x " W1 $ !x " W1
x " W2 $ !x " W2
% !x " W1 #W2
定理４．２： 線形空間Vの線形部分空間 に対し
W1, W2
W1
W2
て、 と の要素の和から作られる
和空間 W1 + W2 = { x1 + x 2 : x1 ! W1, x 2 ! W2}
はVの線形部分空間である。
W1
" W1 #W2 " W1 + W2
W2
W1 !W2 = { x : x " W1 or x " W2 }
ここで、 は和集合（合併集合）。
! 次の関係に注意せよ
W1 !W2 "
x, y ! W1 + W2
" x = x1 + x 2 (x1 ! W1, x 2 ! W2 )
y = y1 + y 2 (y1 ! W1, y 2 ! W2 )
x + y = (x1 + x 2 ) + (y1 + y 2 ) = (x1 + y1) + (x 2 + y 2 )
x1 + y1 ! W1, x 2 + y 2 ! W2
" x + y ! W1 + W2
さらに、 にたいして、
!"K
!x = ! (x1 + x 2 ) = !x1 + !x 2 " W1 + W2
!和集合は必ずしも線形部分空間ではない。
W1 !W2 = { x : x " W1 or x " W2 }
x + y " W1 !W2 for x, y " W1
x + y " W1 !W2 for x, y " W2
x + y ? otherwise
x " W1 !W2 then #x " W1 !W2
for # " K
例題４．１：和空間と積空間
W1 = K e1 , W2 = K e 2
のとき、次のことを示せ。ただし、
!1 $
! 0$
e1 = # &, e 2 = # &
" 0%
"1 %
①
W1 !W2 = { 0}
②
W1 "W2
③
W1 + W2 = K 2
は線形部分空間ではない。
"! %
① とすると、 と表すことができる。
x = !e1 = $ '
x ! W1
#0&
x W2
が にも属するためには、 つまり、 。
!=0
x=0
②
③
e1 ! W1, e 2 ! W2 " e1 ! W1 #W2 , e 2 ! W1 #W2
$1'
$1'
e1 + e 2 = & ),
& ) * W1 #W2
%1(
%1(
これは明らか
問題４．１：
R3
W1 !W2 , W1 + W2
次の の集合に対して、 の基底と次元を求めよ。
{ t [x1 x2 x3 ] : x1 + x2 + x3 = 0}
W2 = { t [x1 x2 x3 ] : x1 = x2}
W1 =
① 積空間
W1 !W2 = { x : x1 + x2 + x3 = 0, x1 = x2 }
x2 = x1
2x1 + x3 = 0
" x1, x2 = x1, x3 = #2x1
$ x1 '
$1'
&
)
& )
x = & x1 ) = x1& 1 )
&
)
& )
%#2x1 (
%#2(
したがって、この空間は１次元である。
② 和空間
! x1 $
! y1 $
# &
# &
x = # x2 & ' W1 , y = # y 2 & ' W2 , W1 + W2 = { x + y : x1 + x2 + x3 = 0, y1 = y 2 }
# &
# &
" x3 %
" y3 %
! x1 $ ! y1 $ ! x1 $ ! y1 $ ! x1 + y1 $
# & # & #
& # & #
&
( x + y = # x2 & + # y 2 & = # x2 & + # y1 & = # x2 + y1 &
# & # & #
& # & #
&
" x3 % " y 3 % ")x1 ) x2 % " y 3 % ")x1 ) x2 + y 3 %
!1$
!0$
!1 $
! 0$
# &
# &
# &
# &
= x1# 0 & + x2 # 1 & + y1 #1 & + y 3 # 0& = x1e1 + x2 e 2 + y1e 3 + y 3 e 4
# &
# &
# &
# &
")1%
")1%
" 0%
"1 %
!1$
!0$
!1 $
! 0$
# &
# &
# &
# &
e1 = # 0 &, e 2 = # 1 &, e 3 = #1 &, e 4 = # 0&
ここで、 である。
# &
# &
# &
# &
")1%
")1%
" 0%
"1 %
! 0$
1
# &
e 4 = # 0& = ) ( e1 + e 2 ) 2e 3 )
ところで、 であるので、
2
# &
"1 %
1
1
x + y = (x1 ) y 3 )e1 + (x2 ) y 3 )e 2 + (y1 + y 3 )e 3 = ae1 + be 2 + ce 3
2
2
したがって、３次元である。
例題４．２：基底の拡張
ｎ次元空間Ｖのｐ次元部分空間Ｗの基底 a1,a 2 ,...a p
b1,b 2 ,...b n!p
にｎ!ｐ個の要素 を付け加えてＶの基底
を作ることができる。
a1, a 2 ,...a p ; b1
b1
Ｖの要素でＷに属さないもの があると、 は１次独立である。
すなわち、これらの一次結合は、x1a1 + x2 a 2
つまり、
+ ! + xp a p + y1b1 = 0
x1a1 + x2 a 2 + ! + xp a p = !y1b1
y1 = 0
この式で、左辺はＷに属し（ ）、右辺はＷに属さない。
a1,a 2 ,...a p
⇨ が一次独立で
したがって、この式が成立するのは
で、 x1, x2 ,...xp , y1 = 0
x1, x2 ,...xp = 0
x1a1 + x2 a 2 + ! + xp a p + y1b1 = 0
b1
ＷをW＋＜ ＞として、上の議論を繰り返す。
例題４．３：和空間と積空間の次元
W1, W2
ｎ次元空間Ｖの線形部分空間 に対して、
dim(W1 + W2 ) + dim(W1 !W2 ) = dimW1 + dimW2
p = dim(W1 !W2 )
積空間 はｐ次元であるとする。すなわち、
W1 !W2
a1, a 2 ,...a p
この空間の基底を とする。
W1
W2
線形部分空間 と の基底は、それぞれ、次のように作られる。
a1, a 2 ,...a p , b1, b 2 ,...b s ;
a1, a 2 ,...a p , c1, c 2 ,...ct
W1 + W2
このとき、 は次のベクトルによって張られる。
a1, a 2 ,...a p ; b1, b 2 ,...b s ; c1, c 2 ,...ct
ここで、これらのベクトルの一次結合が０になる条件を求める（次式）。
(x1a1 + x2 a 2 + ... + xp a p ) + (y1b1 + y 2 b 2 + ... + y s b s ) + (z1 c1 + z2 c 2 + ... + zt ct ) = 0
この式は、(x1a1 + x2 a 2 + ... + xp a p ) + (y1b1 + y 2 b 2 + ... + y s b s ) = !(z1 c1 + z2 c 2 + ... + zt ct )
W2
W1 !W2
W1
左辺は に属し、右辺は に属する。したがって、これらは に属する。
W1 !W2
W1 !W2
c1,c 2 ,...ct
右辺が に属するためには が のベクトルではないので でなければならない。すると、左辺が０になるので、 z1 = z2 = ! = zt = 0
である。
x1 = x2 = ! = xp = y1 = y 2 = ! = y s = 0
a1, a 2 ,...a p ; b1, b 2 ,...b s ; c1, c 2 ,...ct
したがって、 は一次独立である。
! dim(W1 + W2 ) = p + s + t = (p + s) + (p + t) " p
= dimW1 + dimW2 " dim(W1 #W2 )
V
W1
"p+s#
W1 !W2
"p#
W2
"p+t#
W1+W2
"p+s+t#
問題４．２：
W1, W2
W1, W2 , W1 !W2 , W1 + W2
以下に示す の集合 に対して、 の基底と
R4
次元を求めよ。
{ t [x1 x2 x3 x4 ] : x1 ! 2x2 + x3 = 0,x2 ! x3 + x4 = 0}
W2 = { t [x1 x2 x3 x4 ] : x1 = x2 = x3 }
W1 =
①
W1 :
②
< 1 > したがって、次元は２、基底は
<2>
!1 $
!'1$
# &
# &
< 1 > + < 2 > x1 ! x2 + x4 = 0
< 3>
1
# &, e = # 0 &
e
=
" x1 = x2 ! x4 , x3 = x2 + x4
2
4
#1 &
#1&
#
&
# &
# x2 ! x4 &
#1 &
#!1&
"!2%
" 0%
"1%
%
(
% (
% (
$ '
x
1
0
2
( = x % (+ x % ( < 4 >
!1
" x=%
2
4
なお、 e 4 ! e 2 = $ '
% x2 + x4 (
%1 (
%1(
$0'
%
(
% (
% (
$ '
$ x4 '
$0'
$1'
#1&
したがって、次元は２、基底は
W :
x1 ! 2x2 + x3 = 0
x2 ! x3 + x4 = 0
2
! x1 $ ! x1 $
!1 $
! 0$
# & # &
# &
# &
x
x
1
0
x = # 2 & = # 1 & = x1 # & + x4 # &
# x3 & # x1 &
#1 &
# 0&
# & # &
# &
# &
" x4 % " x4 %
" 0%
"1 %
!1 $
! 0$
# &
# &
1
0
e'1 = # &, e' 4 # &
#1 &
# 0&
# &
# &
" 0%
"1 %
③
W1 !W2 = { x : x1 " 2x2 + x3 = 0,x2 " x3 + x4 = 0,x1 = x2 = x3}
x1 " 2x2 + x3 = 0,x2 " x3 + x4 = 0,x1 = x2 = x3
# x1 = x2 = x3 , x4 = 0
!1 $
$1 '
したがって、次元は１、基底は
# &
& )
1
#1 &
# x = x1& )
e
=
1
&1 )
#1 &
& )
# &
%0(
" 0%
④
W1 + W2 = { x + y : x1 ! 2x2 + x3 = 0, x2 ! x3 + x4 = 0, y1 = y 2 = y 3}
x1 ! 2x2 + x3 = 0, x2 ! x3 + x4 = 0, y1 = y 2 = y 3
" x1 ! x2 + x4 = 0, x2 ! x3 + x4 = 0, y1 = y 2 = y 3
x1 = x2 ! x4 , x3 = x2 + x4 , y1 = y 2 = y 3
# x2 ! x4 & # y1 &
#1 &
#!1&
#1 &
# 0&
%
( % (
% (
% (
% (
% (
x2 ( % y1 (
1
0
1
0
" x+y=%
+
= x2 % ( + x4 % ( + y1 % ( + y 4 % (
% x2 + x4 ( % y1 (
%1 (
%1(
%1 (
% 0(
%
( % (
% (
% (
% (
% (
$ x4 ' $ y 4 '
$ 0'
$1'
$ 0'
$1 '
次元は３、基底は
#1 &
#!1&
# 0&
!1 $
!'1$
! 0$
% (
% (
% (
1(
0(
0(
# &
# &
# &
%
%
%
= x)2
+x
+y
x) = x2 + y1
1
0
0
%1 ( 4 % 1 ( 4 % 0 ( 2
e1 = # &, e 2 = # &, e 3 = # &
#1 &
#1&
# 0&
% (
% (
% (
# &
# &
# &
$0'
$1'
$1 '
0
1
" %
" %
"1 %
④直交系
９４!１０１
ｎ次元実ベクトル空間
： 上の線形空間
Rn
R
x ： n次元実ベクトル
! Rn
! x1 $
# &
x
t
x= ( x1,x2 ,...xn ) = # 2 &
#! &
# &
" xn %
内積の定義
(x, y)=t xy = x1 y1 + x2 y 2 + ! xn y n
for
x, y ! Rn
定理５．１：内積の性質
x, y, z ! Rn , " ! R
に対して次の性質がある。
１） (x,x) ! 0
(x,x) = 0 " x = 0
２） (x,y) = (y,x)
（対称性）
３） (x + y,z) = (x,z) + (y,z)
（線形性）
４） (#x,y) = (x,#y) = # (x,y)
（線形性）
n
x!R
内積を用いて の長さを次のように定義できる。
x = (x,x)
例題５．１：三角不等式
x+y ! x + y
!)
tx + y
2
= (tx + y,tx + y) = t 2 (x,x) + 2t(x,y) + (y,y)
2
2
= t 2 x + 2t(x,y) + y
"0
2
t
すべての実数ｔについてこれが成り立つためには、 の係数が非負であるから判別式が
０か負でなければならない。したがって、
(x, y) 2 ! x
2
y
2
(x,y) ! x y
すなわち、
"0
コーシー・シュワルツの不等式
(x
+ y ) ! x+y
2
2
2
= ( x + y ) ! ( x + y,x + y)
2
2
(
2
= x + 2 x y + y ! x + 2(x,y) + y
#
#
(x
+ y ) ! x+y
2
x + y " x+y
2
2
) = 2[ x
y ! (x,y)] " 0
"0
：三角不等式
コーシー・シュワルツの不等式から
は と のなす角である。
! x y
!1 "
(x, y)
"1 #
x y
(x, y)
= cos $ (0 " $ " % )
x y
(x, y) = x y cos !
問題５．１：
x= [1 2 ! 1 0]
y= [1 2 3 1]
R4
のベクトル と の長
t
t
さ、内積、なす角を求めよ。
x = (x, x) = 1 + 4 + 1 = 6
y = (y, y) = 1 + 4 + 9 + 1 = 15
(x, y) = 1 + 4 ! 3 = 2
cos " =
2
6 15
=
2 1
10
=
3 10
15
グラム・シュミットの直交化法
＊正規直交系
a1, a 2 ,...a m ! Rn が次式を満たすとき、正規直交系である。
(a i , a j ) = ! ij
(1 " i, j " m)
$1 (i = j)
!ij = %
& 0 (i # j)
：クロネッカーのデルタ
定理６．１：正規直交系の存在
x1, x 2 ,...x m
の列ベクトル が一次独立ならば、
Rn
a1, a 2 ,...a m
正規直交系 で
R x1, x 2 ,...x m = R a1, a 2 ,...a m
となるものが存在する。
（証明）グラム・シュミットの直交化法で具体的に構成。
＊グラム・シュミットの直交化法
x1, x 2 ,...x m
の任意の一次独立なベクトル列 から、
Rn
a1, a 2 ,...a m
次のようにしてベクトル列 を定義する。
a1 =
x1
x1
ak =
x k ! (x k ,a1 )a1 ! !! (x k ,a k!1 )a k!1
x k ! (x k ,a1 )a1 ! !! (x k ,a k!1 )a k!1
(2 " k " m)
このベクトル列は正規直交系で次式が成り立つ。
R x1, x 2 ,...x m = R a1, a 2 ,...a m
証明：数学的帰納法で正規直交系を構成する。
x1 ! 0
① k＝１の場合： であるので
x1 > 0
x
x1
a1 = 1
と定義すると は単位ベクトルで
a1
R < x1 >= R < a1 >
a1
したがって、k＝１の場合、正規直交系 は存在する。
k＝２の場合は、次のように考える。
b 2 = x 2 ! (x 2 , a1)a1
とおく。
b2
a2 =
x1, x 2 は一次独立であるから、 、そこで、 と定義する。
b2 ! 0
b
a2
2
は単位ベクトルで
R < x1, x 2 >= R < a1, a 2 >
さらに、次式を満たすことから、 は正規直交系である。
a1, a 2
(b 2 ,a1) = (x 2 ,a1) ! (x 2 ,a1)(a1,a1) = (x 2 ,a1) ! (x 2 ,a1 ) = 0
a1, a 2 ,...a k
② k＋１の場合：正規直交系 で、次式を満た
すものが定義されるとする。
R < x1, x 2 ,...x k >= R < a1, a 2 ,...a k >
b k +1 = x k +1 ! (x k +1, a1)a1 ! (x k +1, a 2 )a 2 ! ! ! (x k +1, a k )a k とおく。
b k +1 ! 0
x1,...x k , x k +1 は、一次独立だから、 。 また
(b k +1,a j ) = (x k +1,a j ) ! { (x k +1,a1)(a1,a j ) + (x k +1,a 2 )(a 2 ,a j ) + !+ (x k +1,a k )(a k ,a j )}
(1 ! j ! k)
(a i , a j ) = ! ij
(1 " j " k)
であるから、
(b k +1, a j ) = (x k +1, a j ) ! (x k +1 , a j ) = 0
(1 " j " k)
b k +1
a k +1 =
a1, a 2 ,...a k , a k +1
そこで、 とおくと、 は正規
b
k +1
直交系で、次式が成り立つ。
R < x1, x 2 ,...x k , x k +1 >= R < a1 , a 2 ,...a k , a k +1 >
問題６．１：
t
t
x1= [2 1], x 2 = [1 2]
のベクトル から、グラム・シュミットの直交化
R
2
a1, a 2
法により、正規直交系 を作れ。さらに、 のと
x= t [x y] = ua1 + va 2
x, y
u, v
き、 を で表せ。
a1 =
x1 ! 2 $ 1
=# &
x1 "1 % 5
!1 $
! 2$ 1 ! 2$ 1
b 2 = x 2 ' (x 2 ,a1)a1 = # & ' (1 2)# &
# &
" 2%
"1 % 5 "1 % 5
!1 $ 4 ! 2 $ 1 !'3$
= # &' # & = # &
" 2 % 5 "1 % 5 " 6 %
3
b2 =
5
! x $ u ! 2$ v !'1$
b
1 !'1$
# &=
# &+
# &
( a2 = 2 =
# &
b2
5 "1 %
5"2%
5"2%
"y%
2u ' v = 5x
u + 2v = 5y
a1 =
1 ! 2$
1 !'1$
# &, a 2 =
# &
5 "1 %
5"2%
u = (2x + y)
1
5
, v = (2y ' x)
1
5
問題６．２：
x1=t [2 1 1], x 2 =t [1 2 1], x 3 =t [1 1 2]
のベクトル から、グ
R3
ラム・シュミットの直交化法により正規直交系を作れ。
1
a1 =
6
! 2$
# &
#1 &
# &
"1 %
!1 $
! 2$
! 2 $ !1 $
! 2$
!'4 $
1 # & 1 # & # & 5# & 1# &
# &
b 2 = # 2& ' (1 2 1)
1
1 = 2 ' 1 =
7
6 ## && 6 ## && ## && 6 ## && 6 ## &&
# &
"1 %
"1 %
"1 % "1 %
"1 %
"1%
1
11
2
!1 $
! 2$
! 2$
!'4 $
!'4 $
b 2 = 2 (16 + 49 + 1) =
6
1 # & 1 # &
1 # & 1 # &
# &
6
b 3 = #1 & ' (1 1 2)
1
1 ' (1 1 2)
7
7
!'4 $
6 ## && 6 ## &&
66 ## && 66 ## &&
# &
b2
1 # &
" 2%
"1 %
"1 %
"1%
"1%
a2 =
=
7
b2
66 ## &&
!1 $
!2$
!'4 $
!'1$
"1%
# & 5# & 5 # & 4 # &
= #1 & ' #1 & ' # 7 & = #'1&
# & 6 # & 66 # & 11 # &
" 2%
"1 %
"1%
"3%
b3
2
! 4 $2
= # & 11,
" 11 %
b3 =
!'1$
b3
1 # &
a3 =
=
'1
b3
11 ## &&
"3%
4
11