光速にジャンプ

エネルギー機能材料学特論
第10回目
担当：西野信博
A3-012号室
[email protected]
1
プラズマ実験装置NSTX(Princeton)
授業の内容
•
プラズマ生成法 その２
– 大別すると，電極，磁場を用いるかどうか?で分かれる。
•
電極を使用した方法
– 磁場なし
• アーク放電（常圧近辺）からグロー放電（低圧）
– 磁場有
• PIG放電（低圧）
•
•
前回の続き
電極を使用しない方法
– 磁場なし
• 低圧ICP放電, SWP放電（ともに低圧）
– 磁場有
• ECR放電，ヘリコン波（ともに低圧）
• 導波管の説明
2
誘導結合プラズマ（inductively coupled plasma）
•
•
•
コイル状またはループ状のアンテナに高周波電流を流すと、アンテナの
周囲には高周波磁界ができる。
磁界の時間変化は電界を誘起するためアンテナの周りには高周波電
界が誘起される。
定常磁界がない状態でこの誘導電界を利用して高周波放電を起こし、
生成したプラズマを誘導結合プラズマ（ICP)と呼ぶ。
•
工業利用可能な周波数は、通常、13.56MHzが利用される。物理的に
は、数百kHzから100MHz程度までの広い周波数帯で放電可能。
具体的に使用する周波数は各国の法律で決まっている。日本は、総務
省の周波数割当表にある。
http://www.tele.soumu.go.jp/j/adm/freq/search/share/plan.htm
国際的な取り決めは、国際電気通信連合による。
•
放電圧力は0.1Paから10kPaまでの広範囲が可能。
•
•
3
いくつかの装置の概要
•
放電アンテナの代表例を以下に示す。
(a) 誘電体(ガラスなど)の円筒の周りに螺旋状に巻いたヘリカルコイル形式
マッチングのためには、13.56MHzでは1-3回程度の巻き数、2MHzでは10回以上。
軸方向磁界の時間変化から方位角方向の誘導電界が発生し、この電界で電子を
加熱する。
基板より遠くの側のプラズマは用を成さないので、(b)のように基板より遠くのプラ
ズマ部分を省略したドーム型がある。
4
つづき
•
•
•
さらに進化した例として、(c)のように平面状のスパイラルコイルを設置し、
プラズマを基板の近くのみにするタイプ。ただし、大口径にすると大気圧
に耐えるためにガラスが厚くなり、高価となる。
この欠点をなくすために、アンテナを真空容器に入れたのが(d)である。こ
の場合、アンテナがプラズマに接すると静電結合のためにプラズマ電位
が上昇し器壁とプラズマの間でアークが発生し、不安定放電となる。
アンテナを誘電体で覆う、あるいは、アンテナとアースの間にコンデンサ
ーを入れて、アンテナを浮かすなどの工夫が必要。
5
高周波パワーの吸収過程
•
•
ICPにおけるパワーの吸収機構–簡単のために、Z軸に沿う半径aの
無限長ソレノイドコイル(単位長さ辺りのまき数n)に直流電流Iを流し
たとすると、コイル内部にZ軸方向の磁界Hz=nIと磁束Φ=μ0πr2Hz
(r<a)を生じる。
この電流が各周波数ωの高周波で振動すると、I=I0sinωtとおき、磁
束Φの時間変化が起電力V=2πrEθ=－∂Φ/∂tを生じさせる。
– θ方向の誘導電界は
E (r , t ) 
•
0 r
2
 nI 0 cos t
この電界がプラズマ中の電子を加速し、アンテナ電流が作る磁場を
打ち消すようにプラズマ内のうず電流を作らせる。
誘導電界により、電子は加速・減速を受けるが、
衝突がない限り時間平均の正味のエネルギー
授受は0となる。
6
つづき
•
電子とイオンや中性粒子との衝突周波数をνeとし、電子密度neとする
と、プラズマの導電率σは
  e 2 ne / me e
•
•
この場合、電子とイオンの衝突によってプラズマがジュール加熱され
る。
磁界は、表皮効果のために導体表面から指数関数的に減衰し、表皮
厚さδの深さまでしか入らない。
   2 / 0 
1/2
•
この式に、プラズマの導電率を入れると、
c  2 e 

 p   
1/2
•
ただし、ωPは電子プラズマ角周波数で、 e   の時に成り立つ。
7
等価回路
•
•
前の(a)円筒形ヘリカル回路のコイルを一巻き取りだして、円形ルー
プアンテナと渦電流が流れているドーナッツ状のプラズマを考える。
ドーナッツの半径方向の厚さをδとし、断面積をS、円周方向の長さ
をl(エル)とする。
アンテナを一次巻線、プラズマを2次巻線とするトランスとみなせば、
等価回路は下図のようになる。
Ra, Laはそれぞれアンテナの抵
抗とインダクタンス，Mは相互イン
ダクタンスLgは磁束と鎖交するド
ーナッツの形状で決まるインダク
タンス，Lp,Rpはそれぞれ電子の
慣性によるインダクタンスとプラズ
マの抵抗
8
つづき
•
インダクタンスLa,抵抗Raのアンテナに高周波電流IRFが流れると、
相互インダクタンスMを介して2次回路のプラズマと結合する。
電子によるインダクタンス L p   l / S  me / ne e 2
•
プラズマの抵抗 R p   l / S  / 
•
の表式を用いると、プラズマが吸収するパワーは
•

Pabs 

 2 M 2 Rp
  Lp  Lg  R p 2
2
2
I RF 2
これは,
回路的にプラズマ抵抗Rpで発生す
るジュール熱であり，
物理的には,電子加熱のパワーを
表す
9
表面波プラズマ
•
•
•
•
•
電子プラズマ振動数(ωp)以上の電磁波は、プラズマに進入する(体積
波）
しかし、電子プラズマ振動数(ωp)以下の電磁波はプラズマに反射され
て中に進入できない。
この時、プラズマの大きさが有限で、例えば円柱プラズマのような場合
は、プラズマの表面に沿って波として伝わる。この波を表面波という。
放電パワーが小さい場合は、低密度における体積波の衝突減衰によ
ってプラズマが維持される。
しかし、パワーを大きくするとプラズマの密度が上がり、ωp>ωの状態に
なり、表面波によって維持される表面波プラズマが生成される。
10
大口径化する表面波プラズマ
•
•
近年の半導体プロセス技術は大口径(>0.4m)で低圧力(0.1～１Pa)のプ
ラズマを必要とし、10年ほど前から大口径化の研究が始まった。
大口径のプラズマをつくるには、マイクロ波を上部からZ軸方向に照射す
る。
Z
11
続き
•
•
•
•
2
2
ωp=ωとなる電子密度ncは、 nc   0 me / e
従って、nc>neのような低密度プラズマでは、波は体積波として存在できる
一方、nc<neである高密度プラズマでは、前ページの図のようにZ方向には
波の振幅が指数関数的に減少し、r-θ面内を伝わる表面波が励起される。
よって、電磁波のエネルギーは上部のプラズマ表面に入ることになる。
12
復習 分散関係
•
伝播ベクトルkと角周波数ωの関係式を分散関係といった。これは波
の性質を記述している式となっている。
exp  i (k  x  t )  の形のX方向に進む波を考える。
すると

 i
t

 ik
x
という関係が成り立つ。
すなわち、ある波のｋとωの関係がわかれば、上の関係式から波の
満たす微分方程式がわかる。
–逆に、波の満たす微分方程式がわかれば、上の関係式から分散
関係がわかる。
–よって、
波を記述する微分方程式⇔分散関係 であった
13
表面波の分散関係
•
比誘電率εの媒質中を伝わる電磁波(k、ω)の位相速度は真空中の位
相速度(光速)cとして、  / k  c / 
•
冷たい無衝突プラズマの比誘電率εは、
•
よって、波の分散関係は、
•
•
•
この式から、低密度プラズマ(ωp<<ω)では、ω～kc
ωp=ωの時、k=0で波長が無限大となる(カットオフ、遮断)
ωp>ωの高密度プラズマでは、波数kは純虚数となるので k  i / とお
けば、波の振幅は、exp[-z/δ]の形でプラズマ表面からの距離ｚとともに
減衰する。

k

  1   p2 /  2
c
1   p2 /  2
14
表皮厚さ
•
この特性長δを、表皮厚さといい、前の式から

•
•
c
 p2   2
ωp>>ωの時は、δ～c/ωpとなる。
このδをプラズマ表皮厚さと呼んでいる。
15
もう少し考察
•
•
一様なプラズマが半無限の誘電体板(誘電率εd)と接している場合を
考える。プラズマと誘電体の界面をz=0の面として、界面に伝わる表
面波を考える。
伝播ベクトルkを界面に沿うx方向成分と垂直なｚ成分に分けると、
k 2  kx2  kz 2
2



 
p
2
2
2
• すると、分散関係は k  k x  k z    1  2 
 
 c  
2
•
•
•
高密度の時は、ωp>ωであるから、右辺は負となる。
界面に沿って伝わるためには、kx2は正であるから、kz2が大きな負に
なる必要がある。
この時、kz=iαとおく。（波の振幅はz方向には減衰）
16
続き
•
•
プラズマ内と同様に誘電体内でも波は減衰すると解を考えるので、誘
電体内ではkz=iβ
電磁界のz=0に対する境界条件を与えると、
kx 

 d  p 2   2 
c
 p 2  (1   d ) 2
•
右辺の根号の分母が0の時、共鳴(kx∞)となるから、
•
•
•
の時に表面波共鳴が起こる。
2
2
右辺が実数となるのは、  p  (1   d )
すなわち、表面波が伝播するのは、電子密度が
  p / 1 d
ne 2  (1   d )nc 2 ,
nc   0 me 2 / e 2
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実際の例
•
•
プラズマプロセスでは円筒プラズマを用いるので、表面波の分散関
係が計算されている。
計算モデル
18
モデルでの分散式
•
前頁のモデルでは、TMmnモードの表面波の分散式は、
 p2
 1
2

1
4
4c 4 kmn 4
kd 2 
 d 2 2
 kd 2  2
2
  2 2  tan (kd d )  2 2
2c kmn
  d kmn 
 kmn 2
•
ここに、
•
jmnをm次のベッセル関数のn番目の根とする時、
c2
kmn  jmn / R
19
計算例
•
前頁の分散式
の計算例
縦軸：規格化した周
波数の2乗(ωR/c)2
横軸：電子密度の
パラメータ(ωpR/c)2
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表面波プラズマの生成
•
•
•
•
•
•
•
誘電体窓を通して、マイクロ波
を照射する方法として、
1)誘電体線路を用いて窓の全
面から照射する。
2)矩形導波管の底面にスロット
を切って照射する。
3)円筒キャビティやリングキャ
ビティの底面にスロットを切って
照射する。
4)ラジアルスロットアンテナを用
いて照射する。
などがある。
右の写真は2)の方法で作成し
たプラズマ
21
その他
•
•
すでに述べたように、有限効果
によるkxのジャンプは結局モー
ドのジャンプとなる。
そのときには、プラズマ密度が
相応してジャンプすることがわ
かっている。
22
導波管
•
•
•
導波管とは、高周波の電波（主に、マイクロ波の領域）を目的の場所
まで減衰を少ない条件で伝播させるための手段の一つ
金属の筒（通常、断面が矩形か円形）を使用する
筒の中は、通常は真空か空気か他のガス
図は（株）サンテックのHPから
23
TEM,TE,TM波について
•
電磁波はMaxwell方程式で記述されることを思い出すと、
D
 j  H
t
•
•
B
 E
t
B  0
D  
ただし、 B   H, D   E
今、導電率σの一様な物質中では、j=σEなので、
H
  E  
t
E
H  
E
t
24
つづき
•
すると、以下の波動方程式を得る。
E
 2E
 E  
  2
t
t
2
•
•
•
すなわち、電場(磁場も)は波動の形で伝播する。
さて、ある周波数ωの正弦波で考える(フーリエ変換すれば、ある単一
周波数の挙動が重要となる。ただし、それぞれの周波数の電磁波が
干渉しない場合)
すると、 
より、   E  i  H
t
•
 i
  H  i E   E
波動方程式は、 k 2   2  i とおくと、  2 E  k 2 E  0
 2 H  k 2 H  0
•
の同型の方程式を得る。
25
Z方向の電磁波
•
•
一方向（Z方向)へ伝送される電磁波について考える。その解は、時間
の振動解 exp(it ) 以外に、 exp   z  の因子があるはずである。
すると、 
z
•
 
媒質の損失を無視(σ=0)として簡単化すると、
 2 Ez  2 Ez

  kc E z
2
2
x
y
2 H z 2 H z

  kc H z
2
2
x
y
kc 2   2  k 2   2   2
26
続き
•
すなわち、EｚとHｚはそれぞれ独立のヘルムホルツ方程式の解であ
る。また、その解がわかれば、他のすべての電磁界成分が表せる。
H
  E  
t
•
•
•
•
•
E
H  
t
これらのことより、一方向に進む電磁波は以下の3つの基本解が存
在する。
ｉ） Ez=Hz=0 TEM
ii) Ez=0, Hz≠0 TE
ｉｉｉ） Ez≠0, Hz=0 TM
一般にはこれらの混合の形であろう。
27
続き
•
i)は、進行方向に電磁場成分を持たないのでTEM (transverse
electric and magnetic wave)と呼ばれる。
•
ｉｉ）は、進行方向に電場成分を持たないので、TE (transverse
electric wave)、
•
iii)は、進行方向に磁場成分を持たないので、TM (transverse
magnetic wave)と呼ばれている。
•
実は、TEMはkc2=0以外では解がない。そして、伝播方向に垂直なxy
平面内の電界、磁界の模様は静電界及び静磁界のそれと全く同一
である。
すなわち、導体で囲まれた導波管内では，TEMは存在しない。
•
28
導波管
•
•
導波管とは、導体で囲まれた電磁波を通す管のことで、代表的なも
のに方形（矩形）導波管、円形導波管がある。
簡単のため方形導波管を通る電磁波はTE,TMのみであるから、TE
に関して説明する（TMも原則同じ)
•
この場合、Hzのヘルムホルツの式
•
を管壁上で電場の接線成分が0の
境界条件を満たすように解けばよい
2 H z 2 H z
2



k
c Hz
2
2
x
y
Ex ( y  0, b)  0, E y ( x  0, a )  0
29
TEの解
•
この解は変数分離方式で簡単に解けて、
H z  H mn cos
•
•
m
n
x cos
y
a
b
の形になる。この整数(m,n)の組み合わせ
によって、いろいろな形態のTE波がある。
これらをTEmnモードと呼んでいる。下に数例を示す。
いろいろなTEモードのHz
30
TMの解
•
TMも同様にして、
m
n
Ez  Emn sin
x sin
y
a
b
•
•
•
と解ける。但し、m,nの少なくとも一方が0である場合、Ez=0となるため
、解は存在しない。
従って、TMの最低次モードはTM11である。
下にその図を示す。
Ezの図
31
レポート
•
導波管以外の電磁波の電波方法を調べて、A4で一枚以上でまとめ
てくること。