光速にジャンプ

エネルギー機能材料学特論 第10回目
担当：西野信博
A3-012号室
[email protected]
1
プラズマ実験装置NSTX(Princeton)
授業の内容
•
プラズマ生成法
– 大別すると，電極，磁場を用いるかどうか?で分かれる。
•
電極を使用した方法
– 磁場なし
• アーク放電（常圧近辺）からグロー放電（低圧）
– 磁場有
• PIG放電（低圧）
•
電極を使用しない方法
– 磁場なし
• SWP放電, 低圧ICP放電（ともに低圧）
– 磁場有
• ECR放電，ヘリコン波（ともに低圧）
2
誘導結合プラズマ（inductively coupled plasma）
• コイル状またはループ状のアンテナに高周波電流を流す
と、アンテナの周囲には高周波磁界ができる。
• 磁界の時間変化は電界を誘起するためアンテナの周りに
は高周波電界が誘起される。
• 定常磁界がない状態でこの誘導電界を利用して高周波放
電を起こし、生成したプラズマを誘導結合プラズマ（ICP)と
呼ぶ。
• 通常、13.56MHzが利用されるが、数百kHzから100MHz
程度までの広い周波数帯で放電可能。
• 放電圧力は0.1Paから10kPaまでの広範囲が可能。
3
いくつかの装置の概要
•
放電アンテナの代表例を以下に示す。
(a) 誘電体(ガラスなど)の円筒の周りに螺旋状に巻いたヘリカルコイル形式
マッチングのためには、13.56MHzでは1-3回程度の巻き数、2MHzでは10回以上。
軸方向磁界の時間変化から方位角方向の誘導電界が発生し、この電界で電子を
加熱する。
基板より遠くの側のプラズマは用を成さないので、(b)のように基板より遠くのプラ
ズマ部分を省略したドーム型がある。
4
つづき
•
•
•
さらに進化した例として、(c)のように平面状のスパイラルコイルを設置し、
プラズマを基板の近くのみにするタイプ。ただし、大口径にすると大気圧
に耐えるためにガラスが厚くなり、高価となる。
この欠点をなくすために、アンテナを真空容器に入れたのが(d)である。こ
の場合、アンテナがプラズマに接すると静電結合のためにプラズマ電位
が上昇し器壁とプラズマの間でアークが発生し、不安定放電となる。
アンテナを誘電体で覆う、あるいは、アンテナとアースの間にコンデンサ
ーを入れて、アンテナを浮かすなどの工夫が必要。
5
高周波パワーの吸収過程
•
•
ICPにおけるパワーの吸収機構–簡単のために、Z軸に沿う半径aの
無限長ソレノイドコイル(単位長さ辺りのまき数n)に直流電流Iを流し
たとすると、コイル内部にZ軸方向の磁界Hz=nIと磁束Φ=μ0πr2Hz
(r<a)を生じる。
この電流が各周波数ωの高周波で振動すると、I=I0sinωtとおき、磁
束Φの時間変化が起電力V=2πrEθ=−∂Φ/∂tを生じさせる。
– θ方向の誘導電界は
Eθ (r , t ) =
•
µ0 r
2
ω nI 0 cos ωt
この電界がプラズマ中の電子を加速し、アンテナ電流が作る磁場を
打ち消すようにプラズマ内のうず電流を作らせる。
誘導電界により、電子は加速・減速を受けるが、
衝突がない限り時間平均の正味のエネルギー
授受は0となる。
6
つづき
•
電子とイオンや中性粒子との衝突周波数をνeとし、電子密度neとす
ると、プラズマの導電率σは
σ = e 2 ne / meν e
•
•
この場合、電子とイオンの衝突によってプラズマがジュール加熱され
る。
磁界は、表皮効果のために導体表面から指数関数的に減衰し、表皮
厚さδの深さまでしか入らない。
δ = ( 2 / ωµ0σ )
1/2
•
この式に、プラズマの導電率を入れると、
c  2ν e 
δ=
ω p  ω 
1/2
•
ただし、ωPは電子プラズマ角周波数で、ν e ω の時に成り立つ。
7
等価回路
•
•
前の(a)円筒形ヘリカル回路のコイルを一巻き取りだして、円形ルー
プアンテナと渦電流が流れているドーナッツ状のプラズマを考える。
ドーナッツの半径方向の厚さをδとし、断面積をS、円周方向の長さ
をl(エル)とする。
アンテナを一次巻線、プラズマを2次巻線とするトランスとみなせば、
等価回路は下図のようになる。
Ra, Laはそれぞれアンテナの抵
抗とインダクタンスMは相互インダ
クタンスLgは磁束と鎖交するドー
ナッツの形状で決まるインダクタ
ンスLp,Rpはそれぞれ電子の慣
性によるインダクタンスとプラズマ
の抵抗
8
つづき
• インダクタンスLa,抵抗Raのアンテナに高周波電流IRF
が流れると、相互インダクタンスMを介して2次回路のプ
ラズマと結合する。
2
L
=
l
/
S
m
/
n
e
(
)
(
)
• 電子によるインダクタンス p
e
e
• プラズマの抵抗 R p = ( l / S ) / σ
• の表式を用いると、プラズマが吸収するパワーは
Pabs =
ω 2 M 2 Rp
ω ( Lp + Lg ) R p 2
2
2
I RF 2
これは,
回路的にプラズマ抵抗Rpで発生す
るジュール熱であり，
物理的には,電子加熱のパワーを
表す
9
表面波プラズマ
• 電子プラズマ振動数(ωp)以上の電磁波は、プラズマに進
入する(体積波）
• しかし、電子プラズマ振動数(ωp)以下の電磁波はプラズ
マに反射されて中に進入できない。
• この時、プラズマの大きさが有限で、例えば円柱プラズマ
のような場合は、プラズマの表面に沿って波として伝わる
。この波を表面波という。
• 放電パワーが小さい場合は、低密度における体積波の衝
突減衰によってプラズマが維持される。
• しかし、パワーを大きくするとプラズマの密度が上がり、
ωp>ωの状態になり、表面波によって維持される表面波
プラズマが生成される。
10
大口径化する表面波プラズマ
• 近年の半導体プロセス技術は大口径(>0.4m)で低圧力(0.1
∼１Pa)のプラズマを必要とし、10年ほど前から大口径化の
研究が始まった。
• 大口径のプラズマをつくるには、マイクロ波を上部からZ軸
方向に照射する。
11
続き
2
2
• ωp=ωとなる電子密度ncは、nc = ε 0 neω / e
• 従って、nc>neのような低密度プラズマでは、波は体積波
として存在できる。
• 一方、nc<neである高密度プラズマでは、前ページの図の
ようにZ方向には波の振幅が指数関数的に減少し、r-θ
面内を伝わる表面波が励起される。
• よって、電磁波のエネルギーは上部のプラズマ表面に入
ることになる。
12
分散関係
• 伝播ベクトルkと角周波数ωの関係式を分散関係という。
これは波の性質を記述している式となっている。
exp [ −i (k ⋅ x − ωt ) ]
の形のX方向に進む波を考える。
すると
∂
→ iω
∂t
∂
→ −ik
∂x
という関係が成り立つ。
すなわち、ある波のｋとωの関係がわかれば、上の関係式から波の
満たす微分方程式がわかる。
–逆に、波の満たす微分方程式がわかれば、上の関係式から分散
関係がわかる。
–よって、
波を記述する微分方程式⇔分散関係
13
表面波の分散関係
• 比誘電率εの媒質中を伝わる電磁波(k、ω)の位相速度は
ω/k =c/ ε
、真空中の位相速度(光速)cとして、
2
2
• 冷たい無衝突プラズマの比誘電率εは、ε = 1 − ω p / ω
• よって、波の分散関係は、
ω
k
=
c
1 − ω p2 / ω 2
• この式から、低密度プラズマ(ωp<<ω)では、ω∼kc
• ωp=ωの時、k=0で波長が無限大となる(カットオフ、遮断)
• ωp>ωの高密度プラズマでは、波数kは純虚数となるので、
k = i /δ
とおけば、波の振幅は、exp[-z/δ]の形でプラズマ
表面からの距離ｚとともに減衰する。
14
表皮厚さ
• この特性長δを、表皮厚さといい、前の式から
δ=
c
ω p2 − ω 2
• ωp>>ωの時は、δ∼c/ωpとなる。
• このδをプラズマ表皮厚さと呼んでいる。
15
もう少し考察
• 一様なプラズマが半無限の誘電体板(誘電率εd)と接し
ている場合を考える。プラズマと誘電体の界面をz=0の面
として、界面に伝わる表面波を考える。
• 伝播ベクトルkを界面に沿うx方向成分と垂直なｚ成分に
2
2
2
k
=
k
+
k
分けると、
x
z
2
2


• すると、分散関係は 2
ω
ω
 
p
2
2
k = k x + k z =   1 − 2 
ω 
 c  
• 高密度の時は、ωp>ωであるから、右辺は負となる。
• 界面に沿って伝わるためには、kx2は正であるから、kz2が
大きな負になる必要がある。
• この時、kz=iαとおく。（波の振幅はz方向には減衰）
16
続き
• プラズマ内と同様に誘電体内でも波は減衰すると解を考
えるので、誘電体内ではkz=iβ
• 電磁界のz=0に対する境界条件を与えると、
kx =
ω
ε d (ω p 2 − ω 2 )
c
ω p 2 − (1 + ε d )ω 2
• 右辺の根号の分母が0の時、共鳴(kxÎ∞)となるから、
ω = ωp / 1+ εd
• の時に表面波共鳴が起こる。
2
2
ω
>
(1
+
ε
)
ω
• 右辺が実数となるのは、 p
d
• すなわち、表面波が伝播するのは、電子密度が
ne 2 > (1 + ε d )nc 2 , nc = ε 0 meω 2 / e 2
17
実際の例
• プラズマプロセスでは円筒プラズマを用いるので、表面波
の分散関係が計算されている。
• 計算モデル
18
モデルでの分散式
• 前頁のモデルでは、TMmnモードの表面波の分散式は、
ω p2
1
=
+
1
ω2
 kd 2  2
ω4
ω2
4
4c kmn
• ここに、 kd =
2
4
+  2 2  tan (kd d ) − 2 2
2c kmn
 ε d kmn 
ε d 2ω 2
c2
− kmn 2
• jmnをm次のベッセル関数のn番目の根とする時、
kmn = jmn / R
19
計算例
•
前頁の分散式
の計算例
縦軸：規格化した周
波数の2乗(ωR/c)2
横軸：電子密度の
パラメータ(ωpR/c)2
20
表面波プラズマの生成
•
•
•
•
•
•
•
誘電体窓を通して、マイクロ波
を照射する方法として、
1)誘電体線路を用いて窓の全
面から照射する。
2)矩形導波管の底面にスロット
を切って照射する。
3)円筒キャビティやリングキャ
ビティの底面にスロットを切って
照射する。
4)ラジアルスロットアンテナを用
いて照射する。
などがある。
右の写真は2)の方法で作成し
たプラズマ
21
その他
•
•
すでに述べたように、有限効果
によるkxのジャンプは結局モー
ドのジャンプとなる。
そのときには、プラズマ密度が
相応してジャンプすることがわ
かっている。
22
TEM,TE,TM波について
• 電磁波はMaxwell方程式で記述されることを思い出すと、
∂D
+ j = ∇×H
∂t
∂B
= ∇×E
∂t
∇⋅B = 0
∇⋅D = ρ
• ただし、 B = µ H, D = ε E
• 今、導電率σの一様な物質中では、j=σEなので、
∂H
∂t
∂E
∇×H = ε
+σE
∂t
∇ × E = −µ
23
つづき
• すると、以下の波動方程式を得る。
∂E
∂ 2E
∇ E = µσ
+ µε 2
∂t
∂t
2
• すなわち、電場(磁場も)は波動の形で伝播する。
• さて、ある周波数ωの正弦波で考える(フーリエ変換すれ
ば、ある単一周波数の挙動が重要となる。ただし、それぞ
れの周波数の電磁波が干渉しない場合)
∂
• すると、 より、
∇ × E = −i µω H ∇ × H = iωε E + σ E
→ iω
∂t
k ′2 = ω 2εµ − iωµσ
• 波動方程式は、 とおくと、
∇ 2 E + k ′2 E = 0
∇ 2 H + k ′2 H = 0
• の同型の方程式を得る。
24
Z方向の電磁波
•
•
一方向（Z方向)へ伝送される電磁波について考える。その解は、時間
exp(iωt )
exp [ −γ z ]
の振動解 以外に、 の因子があるはずである。
すると、 ∂
∂z
•
→ −γ
媒質の損失を無視(σ=0)として簡単化すると、
∂ 2 Ez ∂ 2 Ez
+
= − kc E z
2
2
∂x
∂y
∂2 H z ∂2 H z
+
= − kc H z
2
2
∂x
∂y
kc 2 = γ 2 + k 2 = γ 2 + ω 2εµ
25
続き
• すなわち、EｚとHｚはそれぞれ独立のヘルムホルツ方程
式の解である。また、その解がわかれば、他のすべての
電磁界成分が表せる。
∇ × E = −µ
∂H
∂t
∇×H = ε
∂E
∂t
• これらのことより、一方向に進む電磁波は以下の3つの基
本解が存在する。
• ｉ） Ez=Hz=0 TEM
• ii) Ez=0, Hz≠0 TE
• ｉｉｉ） Ez≠0, Hz=0 TM • 一般にはこれらの混合の形であろう。 26
続き
• i)は、進行方向に電磁場成分を持たないのでTEM
(transverse electric and magnetic wave)と呼ばれる。
• ｉｉ）は、進行方向に電場成分を持たないので、TE (transverse electric wave)、
• iii)は、進行方向に磁場成分を持たないので、TM (transverse magnetic wave)と呼ばれている。
• 実は、TEMはkc2=0以外では解がない。そして、伝播方
向に垂直なxy平面内の電界、磁界の模様は静電界及び
静磁界のそれと全く同一である。
• すなわち、導体で囲まれた導波管内では存在しない。
27
導波管
• 導波管とは、導体で囲まれた電磁波を通す管のことで、
代表的なものに方形（矩形）導波管、円形導波管がある。
• 簡単のため方形導波管を通る電磁波はTE,TMのみであ
るから、TEに関して説明する（TMも原則同じ)
• この場合、Hzのヘルムホルツの式
∂2 H z ∂2 H z
2
+
=
−
k
c Hz
2
2
∂x
∂y
• を管壁上で電場の接線成分が0の
境界条件を満たすように解けばよい
Ex ( y = 0, b) = 0, E y ( x = 0, a ) = 0
28
TEの解
• この解は変数分離方式で簡単に解けて、
mπ
nπ
H z = H mn cos
a
x cos
b
y
• の形になる。この整数(m,n)の組み合わせ
によって、いろいろな形態のTE波がある。
• これらをTEmnモードと呼んでいる。下に数例を示す。
いろいろなTEモードのHz
29
TMの解
• TMも同様にして、
Ez = Emn sin
mπ
nπ
x sin
y
a
b
• と解ける。但し、m,nの少なくとも一方が0である場合、
Ez=0となるため、解は存在しない。
• 従って、TMの最低次モードはTM11である。
• 下にその図を示す。
Ezの図
30