テイラー展開の応用 1 – 近似値の計算

テイラー展開の応用 1 – 近似値の計算 –
「微積分学入門 −例題を通して学ぶ解析学−」(培風館)
補充教材 No.1
本文 1.8 節では, テイラー展開の 2 次の項までを使って, 近似値の計算を行った. こ
こでは, テイラー展開を使った近似値の計算法について, もう少し詳しくみてみよう.
テイラー級数を用いて様々な関数の近似値を計算する際, 問題となるのが収束半径
である. 例えば, log(1 + x) を例にとろう. log(1 + x) のテイラー級数は本文 29 ペー
ジで求めたように
1
1
1
1
log(1 + x) = x − x2 + x3 − x4 + x5 − · · ·
2
3
4
5
となる. しかし, この式で x = 2 や x = 3 を代入することは出来ない. なぜなら, 上記
右辺の級数の収束半径は 1 であり, この等式は |x| < 1 においてのみ成立する. x = 2
や x = 3 は収束半径を超えたところにあり, 従って右辺の級数は発散する. では, テ
イラー級数を用いて log 3 を計算する方法はないだろうか？
例題
log
1+x
= log(1 + x) − log(1 − x) を用いて, 次の等式を示せ.
1−x
1 2 ³ 1 ´3 2 ³ 1 ´5 2 ³ 1 ´7
log 3 = 2 × + ×
+ ×
+ ×
+ ··· .
2 3
2
5
2
7
2
さらにこの等式により log 3 の近似値を計算せよ.
解答例
log
log (1 + x) の x = 0 におけるテイラー展開の式を使って
1+x
= log(1 + x) − log(1 − x)
1−x
1
1
1
1
1
1
= x − x2 + x3 − x4 + x5 − x6 + x7 − · · ·
3
4
5
6
7
½2
¾
1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7
− −x − x − x − x − x − x − x + · · ·
2
3
4
5
6
7
2
2
2
= 2x + x3 + x5 + x7 + · · · .
3
5
7
上記の式において x =
log 3 = log
1+
1−
1
2
1
2
1
2
を代入すると,
=2×
1 2 ³ 1 ´3 2 ³ 1 ´5 2 ³ 1 ´7
+ ×
+ ×
+ ×
+ ···
2 3
2
5
2
7
2
1
を得る. 右辺の第四項までの和を計算して,
1 2 ³ 1 ´3 2 ³ 1 ´5 2 ³ 1 ´7
+ ×
+ ×
+ ×
2 3
2
5
2
7
2
7379
=
; 1.098.
6720
log 3 ; 2 ×
補足
log 3 の真の値は log 3 = 1.09861228866 · · · なので, 例題の結果は比較的良い
近似を与えていることが分かるだろう.
問題 1
次の等式を示せ.
log 5 = 2 ×
2 2 ³ 2 ´3 2 ³ 2 ´5 2 ³ 2 ´7
+ ×
+ ×
+ ×
+ ··· .
3 3
3
5
3
7
3
さらにこの等式を使って log 5 の近似値を計算せよ.
問題 2
(1) 次の関係式を示せ.
π
1
1
= 4 arctan − arctan
4
5
239
(2) 円周率 π に関する次の等式を示せ.
¾
½
1 1 ³ 1 ´3 1 ³ 1 ´5
(−1)n−1 ³ 1 ´2n−1
π
+ ·
+ ··· +
+ ···
= 4
− ·
·
4
5 3
5
5
5
2n − 1
5
½
¾
1
1 ³ 1 ´3 1 ³ 1 ´5
(−1)n−1 ³ 1 ´2n−1
−
− ·
+ ·
+ ··· +
·
+ ··· .
239 3
239
5
239
2n − 1
239
さらにこの等式を使って π の近似値を計算せよ.
(ヒント：arctan x のテイラー級数を用いる.)
2