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演習1 まず、「ウミノサチ」の5文字を10個のアルファベットで表しています

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演習1 まず、「ウミノサチ」の5文字を10個のアルファベットで表しています
演習1
まず、「ウミノサチ」の5文字を10個のアルファベットで表していますから、2個のアルファ
ベットでカタカナ1文字を表していることがわかります。つまり、
「Ac」が「ウ」
、
「Gh」が「ミ」
を表していると考えられます。
50音の行と段を考えると、Aはア行、cはウの段を表すことが予想できます。Gは、アルファ
ベットの7番目のでこれはマ行にあたりますから、この予想が正しいものと考えられます。しかし、
ミはイの段ですから、アルファベット2番目のbを使って、
「Gb」となっていれば解決ですが、
残念ながら「Gh」で表されています。hがなぜ2番目を表すのかが問題です。ここでhはGから
数えて2番目であることに気がつくかどうかが、分かれ目です。「Gh」はGでマ行を表し、Gか
ら2番目のhでイの段を表して、「ミ」を表していることになります。
そうすると、
「ヒラメ」の「ヒ」は、まずハ行を表すFとFから2番目のgで「Fg」と表され、
「ラ」は、ラ行を表すIとIから1番目のiで「Ii」と表されることがあります。この段階で、
選択肢の中で「FgIi」となっているものが、3の選択肢しかありませんから、「メ」を考える
ことなく、3が正解であることが分かります。
演習2
この場合、2桁の数字と上下を向いている矢印とでカタカナが表されていますが、矢印は2桁の
数字の間にあって、3個しかないという特徴があります。ということは、矢印は前後の2桁の数字
の関係を表していると考えるのが自然です。
矢印は上向きと下向きの二とおりですから、二つの文字の間の関係を示していると想像できます。
50音順にヒからマまでを数えると、フ、ヘ、ホ、マと4番目になります。マからワまでは、ミ、
ム、メ、モ、ヤ、ヰ、ユ、ヱ、ヨ、ワと15番目、ワからリまでは、逆に数えて、ロ、レ、ル、リ
と4番目になります。これで、15がヒを表し、
「↓04↓15↑04」が「マワリ」を表してい
ることが分かりました。
ここまでで、「ナノハナ」を考えると、ナからノまではニ、ヌ、ネ、ノの4番目ですから「ノ」
は「↓04」ということになり、選ぶべき選択肢は1であるということになります。
この場合は、これでも正解を導くことができましたが、一応、15がなぜ「ヒ」を表すのか考え
ておきましょう。どこかから数えて15番目ということになりますが、普通に数えると、シから数
えて15番目、ヒから15番目はリですからうまくいきません。「ナ」が04で表されていること
が説明できません。
色々な数え方をしてみる必要がありますが、50音を横に、つまり各段から先に数えると、アか
ら数えはじめて、カ、サ、タ、ナ、ハ、マ、ヤ、ラ、ワ、イ、キ、シ、チ、ニ、ヒと、15番目が
「ヒ」になります。このように「ナ」を数えると、4番目ですから、選択肢1の最初の04が「ナ」
を表すことも説明ができます。
演習3
「古い家並みである」をA、「落ち着きがある」をB、「整然としている」をC、
「感動をもたら
す」をDと書くことにすると、集合の包含関係で次のように表せます。
条件から
B
D
A
C
この図をもとに選択肢を検討すると
1は、「DのうちにAに含まれるものが存在する」ということですが、BはDに含まれており、
同時に一部はAに含まれていますから、DでかつBのものはAに含まれますから、正しいことがわ
かります。
2は、「CとBの両方に含まれるものが存在する」ということですが、そのような要素が必ずし
も存在するとは限りません。
3は、「AとBの両方に含まれれば、Cにも含まれる」ということですが、2と同様に、BとC
の両方に含まれるものがあるかどうかは、確かではないので、この選択肢も確実に言えるものでは
ありません。
4は、「AとCの両方に含まれれば、Dにも含まれる」ということですが、CとDの両方に含ま
れるものがあるかどうかは、確かではありませんから、この選択肢も確実には言えません。
5は、「AとDの両方に含まれれば、Bにも含まれる」ということですが、Bに含まれればDに
含まれますが、逆であるDに含まれればBに含まれるということは言えませんから、この選択肢も
確実には言えません。
ということで正解は1ということになります。
演習4
まず、与えられている二つの条件を図に表してみると、合宿不参加者は海外旅行しておらず、帰
省しなかった者はみな海外旅行しているわけですから、下図のようになります。
全体
海外旅行
合宿不参加
帰省せず
この図にもとづいて、選択肢を検討すると、
1は、海外旅行した者の集合は合宿に参加しなかった者の集合と交わりを持たないから、皆合宿
に参加していますから、間違いになります。
2は、海外旅行しなかった者の集合は合宿に参加した者の集合と参加しなかった者の集合の両方
にまたがっていますから、これも間違いになります。
3は、海外旅行しなかった者の集合は帰省についても、した者の集合、しなかった者の集合、両
方にまたがっていますから、これも間違いです。
4は、帰省した者の集合は、合宿については、参加者の集合、不参加者の集合の両方にまたがっ
ていますから、これも間違いです。
ということで、5が正解の選択肢ということになりますが、実際に見てみると、帰省しなかった
者の集合は、海外旅行した者の集合に含まれ、海外旅行した者の集合は合宿不参加者の集合とは交
わりを持ちませんから、帰省しなかった者は合宿不参加の集合に入ることはなく、皆合宿に参加し
たことになります。
演習5
この問題も、条件を図示して見ると、わかりやすくなります。
まず、AとFは2階、GとLは1階に住んでいることがわかりますから、それぞれの発言の内容
を平面図にして考えてみます。
B C
E
(階数は不明)
I H
L
(1階)
G
K J
(1階)
したがって、1階は
I H G
L K J
さらに2階は、
Gの上がA、Lの上がFですから、
B C
ここに
E
をはめ込むと
となります。
A
となりますが、
F
C A
F B E
または
E B A
F C
となります。
したがって、Kの真上に住んでいる可能性があるのは、BかCですから、正解の選択肢は1です。
演習6
まず「Aの本とDのテープを借りた人」はA、B、Dではないから、CかEということになりま
す。
また、「Dの本とEのテープを持ったいる人」は、A、D、Eではないから、BかCということ
になります。
AがBから本、Cからテープを借りたとすると、Bがテープを借りたのは、A、D、Cではない
から、Eということになります。となるとBが「Dの本とEのテープを持ったいる人」になります
が、Bが本を借りたDが「Aの本とDのテープを借りた人」となって、これは、自分以外の人と交
換をしたという条件に矛盾します。したがってAは「Cから本、Bからテープを借りた」ことにな
ります。
AがCから本、Bからテープを借りていますから、Bが本を借りた「Aの本とDのテープを借り
た人」は、CではありませんからEということになります。
すると、「Dの本とEのテープを持ったいる人」は、Cとなり、DはBから本を借り、またAの
テープを借りたのはBではありませんからD、BはCからテープを借りたことになります。
以上から
借りた人
A
B
C
D
E
本
C
E
D
B
A
テープ
B
C
E
A
D
となります。
したがって、選択肢のうち、この条件に合うのは5であることがわかります。
またこの問題の場合、与えられた条件から考えることが難しい場合、これにそれぞれの選択肢の
条件を加えて矛盾が生じないかどうかを見るという方法とることもできます。
1の場合、Aの本をCが借りたなら、Cの本をBが借りたこと
になります。するとAはBの本を借りたことになり、Dの本はE
が借りたことになりますが、同時にEのテープを持っていなけれ
ばならず、矛盾します。したがって、1の選択肢は間違いという
ことになります。
2、3の場合はAがBから本を、Cからテープを借りたことに
なりますが、先に示したように、これは条件に合いません。
借りた人 A B C D E
本
B C A E D
テープ
C B D A E
借りた人 A B C D E
本
B D
A
テープ
C E
D
4の場合は、DのテープをCが借りたとすると、AはCからは
本を借りたことになりますが、一方、Bも「Aの本とDのテープ 借りた人 A B C D E
を借りた人」であるCから本を借りていなければいけませんから、 本
C C A
条件に合いません。
テープ
B
D
こうして5の場合だけが、条件に合致することがわかります。
借りた人 A B C D E
本
C E D B A
テープ
B C E A D
演習7
まず、DとEのどちらか1人だけがウソをついているのですから、Dに対する「Eがどう答えた
か」という質問に対する答えは、EがうそをつきDがその通りに伝えても、逆にEが本当のことを
言ってDがうそを伝えても、いずれにしても事実に反しています。ですから、Aは赤ではないとい
うことです。
そこでもし、Aが白なら、自分の他に2人白がいるのですが、Bが白でなければ、BからはAを
含めて白が3人見えることになります。したがってAが白ならBも白ということになり、Dも白と
いうことになります。すると、どの色の帽子も、誰か1人はかぶっているわけですから、CとEは
それぞれ赤と青のどちらかをかぶっていることになります。つまり青1人、赤1人、白3人という
ことです。
また、Aが白でなければ、B
パターン2 A
パターン1 A
も白ではありませんから、Dも
青
白
白ではなく、CとEの2人が白
白 E
B 赤
B 白
E
ということになります。
Aが白ならBとDも白で、
白
赤
白
D
Aが青なら、CとEが白、B
D
C
C
とDは赤をかぶっていること
になります。つまり青1人、赤
2人、白2人ということです。
これら二通りの場合が考えられますが、与えられている条件からはどちらの場合もあり得ますか
ら、確実にいえるのは青が1人ということだけです。つまり、1が選ぶべき選択肢ということにな
ります。
演習8
この問題の場合、最後にCが3位になったことがわかっていますか
ら、このことから始めて、逆にさかのぼって考えていくと分かること
が増えてきます。
最後には、右の図のようになっているわけですが、Cが抜く前には
2番目の図のようになっていたことになります。Bが2人を抜いた後
ですからBがは1位か2位ということになりますが、後で抜いたのが
白組ですから、白組が2位Bが1位になります。
Bが抜く前には、Bが3位で、1位は白組、2位は青組、4位はC
ということになります。
この前にAが黄組を抜いていますから、Aの後に黄組が並ぶ可能性
があるのは、Aが青で3位のBが黄組の場合だけです。
こうして、最初の順位は右の図のようになります。
また最後の順位は、最初から順に考えていくと右の図のようになり
ますから、これらのことから、選択肢を見てみると、2の「Cが赤」
1位
2位
3位
C
4位
青
B
C
白
青
B
C
白
青
D
白
B
黄
A
青
C
赤
B
黄
D
白
C
赤
A
青
という説明が、当てはまります。正解は2ということになります。
演習9
Aの側から考えると、折り返しの時点で自分より前にいるランナーとは折り返し点の前に擦れ違
い、自分より後ろにいるランナーは折り返し点の後に擦れ違います。このことを使って、折り返し
の時点で、Aの順位と全体のランナーの数を考えてみます。
Aは、中間点で折り返すまでに、6人と擦れ違っていますから7位で折り返しています。折り返
してからは、14人と擦れ違っています。あわせて20人と擦れ違っているわけですから、これに
自分自身をあわせて全員で21人になります。A自身を数に入れることを忘れないように気をつけ
てください。
折り返し点を過ぎてから、2人に追い越され、1人抜き返していますから、1位順位が下がって、
8位になっています。
21人中8位ですから、正解は4になります。
演習10
まず正しい時刻を基準とするために。正しい時刻に対して条件からわかることを探してみます。
すると、イの条件から、次のようなことが推論できます。
Bは自分の腕時計が2分遅れていると思っていましたから、4時6分に到着したと思っていたと
き、腕時計は4時4分を示していたことになります。実際には5分進んでいますから、正しい時刻
は3時59分だったことになります。
次にエの条件から、DはBの2分前に到着していますから、3時57分に到着しています。この
とき、Dの腕時計は3時59分を示し、会議室の掛時計は3時55分か4時3分を示していました。
したがって、Dの腕時計は2分進んでおり、掛時計は2分遅れているか、6分進んでいるかのどち
らかということになります。また、Dは最初に到着した人ではありません。
アの条件から、Aの到着した時刻はDの腕時計で4時5分だから、正しい時刻では4時3分とい
うことになります。
ウの条件から、Cが到着した時刻は会議室の掛時計で4時2分だったから、4時4分か、3時5
6分のどちらかということになります。
以上から、到着した順番にその時刻を整理すると
① D 3時57分
B 3時59分
A 4時3分
C 4時4分
か
② C 3時56分
D 3時57分
B 3時59分
A 4時3分
であることになります。
しかし、Dの前に到着している人がいたのですから、②の場合しか当てはまりません。
したがって、選択肢を検討すると、3だけが当てはまりますから、3が正解の選択肢です。
演習11
この問題は、どの条件を加えれば並び方が決まるかという問題ですから、まず与えられている条
件でどこまで並び方をしぼることができるかを検証し、その上で、選択肢に示されたどの条件を加
味したら一通りに確定するかを調べるということになります。
1
2
10
Aを基準として考えることにします。Aから右に時計回りに、Aを1とし 3
9
て順に番号を振ってみます。すると、
A23F5678910 となります。ここで、GはFと隣り合っていま
8
すから、3番か5番ということになりますが、一方、GはBの右側2人目で 4
すから、3番ではなく、5番でなければなりません。
7
5
A2BFG678910
6
また、C○H、D○I、E○Jという並びがありますが、CとEが隣り合
っていますから、
CEHJ か ECJH という並び方があることになります。ですから、Cは、前者の並び
方なら6番か7番、もしくは後者の並び方なら7番か8番でなければなりません。
また D○I という並び方が入らなければなりませんから、Dは6,7,8,10のどれかで
なければなりませんが、先ほど見たようにC、E、H、Jの4人は並んでいますから、6,7,8
には入れず、10番でなければならなくなります。
以上をまとめると、
① AIBFGCEHJD か ② AIBFGECJHD の2通りの並び方しかあり得
ないことがわかります。
ここで選択肢を見てみると、1,2,3,5の選択肢の条件は、①も②もどちらもみたしていま
すから、これではどちらか確定できません。
4の選択肢、BとHは向かい合っているという条件を加えると、①の場合にしか当てはまらない
ことがわかります。したがって、選ぶべき正解の選択肢は4であるということになります。
演習12
C A
D F
A
ア、イ、ウの条件から、右のような位置関係がわかります。
この3つを組み合わせると、下の4通りの場合が考えられます。
E
H
ここで、エの条件をみたすためには、①か②の場合でなければなりま
G
せん。③や④の場合では、2部屋空いている階の下の階にJが入れる
部屋がありません。
さらに、オの条件から、①の場合はKが1階に入りますが、するとJと隣り合うことになってし
まいますから、②の場合であることがわかります。
ただし、4階には、B、I、Lが住んでいますが、誰がどの部屋かは特定できません。
D
F
E
C
A
H
D
G
E
C
A
D
F
H
E
C
A
F
H
G
G
C
H
D
F
G
E
①
②
③
以上にもとづいて、選択肢を検討すると、
Aは33号に住んでいますから、1は間違いです。
Cは32号に住んでいますから、2も間違いです。
Dは21号に住んでいますから、3も間違いです。
Kは12号に住んでいますから、4は正しい選択肢です。
Lは住んでいる部屋は特定できませんから、5も間違いです。
このようにして、4が正解であることがわかります。
A
④
J
C
A
D
F
H
E
K
②
G
演習13
Cの得点は、Aの得点の15倍、Aの得点は、Bの得点の2倍なのですから、Cの得点はBの得
点の30倍です。
3個のサイコロを同時に振って出る目の合計数は、3~18ですが、3の時は、すべての目が1
ですから、得点は30点になります。また、4や5の時は、2つのサイコロが同じ目ですから、2
0点になります。
そのようにして考えると、得点は6点から180点の範囲にあることになります。
180は6の30倍ですから、CとBの得点は、180点と6点であることがわかります。そう
でなければ、30倍よりは小さくなってしまうからです。つまり、Cは6が3つ、Bは1と2と3
が出たことになり、Cの出た目の合計数は18、Bの合計数は6ですから、合わせると確かに24
になります。
これで、答えは4の選択肢であることはわかってしまいますが、念のため、Aの点数も見ておき
ましょう。
Aの得点は12点ですから、1,5,6または2,4,6または3,4,5であったことになり
ます。
演習14
注にあるように、取り出した玉は、全部で63個ですから、全部10gであると仮定したら、6
30gのはずですから、実際の重さとの差は、25gです。つまり、11gの玉は23個入ってい
るわけです。
25個の玉がどの箱に入っているのかを定めなければなりませんが、1、2、22、23、24、
25の中からいくつかを選び出し、その和が25になるような組合せを考えるには、2で割ってい
き、その余りを求めることで見つけることができます。
すると、25=1+23+24 と書けますから、№1、№4、№5の箱には11gの玉が入って
いるということになります。
このことから、選択肢を検討すると、1の「№2の箱には10gの玉が入っている。
」だけが正
しいことがわかります。選ぶべき選択肢は1です。
演習15
右の図のように、Aから3方向に1m
進むことができますから、その頂点をB,
D
D
D
C,Dとします。ここまでで3本塗るこ
B
とができます。
C B
続いて、それぞれの先端からまた3方
B
C
A
C
向に1mずつ進むことができますから、
A
A
3×3で9本新たに塗ることができます。
さっきの分を合わせて12本塗ることができました。
しかし、このとき、最初の時とは違うのは、例えばBから上方向に1m進んだ先と、Dから1m
ABと平行な方向に進んだ先は、同じ点になるということです。これをまとめてみると、図にある
ように、次の先端は6カ所になります。ですから次に塗れるのは、それぞれから3方向で、6×3
となり、18本ということになります。ですから先ほどまでの12本と合わせると、30本塗れる
ことになります。したがって、正解は2の選択肢ということになります。
演習16
この問題こそ、方程式の手法を使って考えることで、比較的容易に回答にたどり着ける問題です。
それぞれの任期をそのままabcdeの文字で表すことにします。すると、ア~ウの条件は次の
ように表されます。
b=2c
…①
d=2e
…②
e=a+2
…③
また、5人の任期は合わせて25年ですから
a+b+c+d+e=25 …④ であることもわかります。これら4本の式から、5人の任期
の年数に関する関係を求めることができます。
まず、②と③から、d=2a+4 が得られます。
これと①③を、④に代入すると、a+2c+c+(2a+4)+(a+2)=25 となります。
整理すると 4a+3c=19ですが、aもcも整数ですから、あり得る組合せは、
(a,c)=(1,5)
(4,1)の2通りに限られます。
ここで、残されている条件エを考慮に入れます。
11年目とその後10年目に元首の交替があったのですから、5人の任期を何人かずつ加算して、
11年、10年、4年と分けられなければなりません。
もし、aが1、cが5であるなら、bは10、dは6、eは3 となりますが、このとき、cと
dで11、bだけで10、aとeで4になりますから、
c,d,b,a,e の順で元首になっていれば条件ア~エをすべてみたすことになります。
この場合は、cとd、aとeがそれぞれ入れ替わっていても条件に影響は与えませんから、かまい
ません。
次に、aが4、cが1の場合は、bは2、dは12、eは6 となりますが、dの12年はエの
条件に合いませんから、答えとして当てはまりません。
以上から、a,b,c,d,eは、1,10,5,6,3であることがわかりますが、先程述べ
たように、順序は、
(cまたはd)
、
(dまたはc)
、b、
(aまたはe)
、
(eまたはa)
、という順番
になるわけです。
これをもとに、選択肢を検討してみますと、1はaの任期は1年ですから間違いです。2は確か
にbは3番目以外ではあり得ませんから正答です。3はcの任期は5年ですから間違い。4はdは
最初の元首だった可能性はありますが、2番目だった可能性もあるため、確実に言えることには当
たりません。5もeは5番目に元首になっていれば1992年からですが、4番目に就任している
可能性もあり、この場合は1991年に就任していますから、これも確実に言えることには当ては
まりません。
こうして、選ぶべき選択肢は2であることがわかります。
演習17
下の図のように、折ったものを逆に開きながら、切り取られる線がどのようになるかを考えてい
きます。
すると、左端の図のように切られることがわかります。これも実際に書いてみた方が間違いは少
なくてすむでしょう。
m n
l
そこで、それぞれの面積を考えますが、一番内側の正方形の1辺の長さは、斜辺の4分の1です
から、8× 2 ÷4で2 2 cmであることがわかります。したがって、面積は8cm2
です。
演習18
図1の正方形の1辺の長さを1とすると、円の半径は
1
、
2
この円に内接する正方形は、その対角線の長さが1という
ことですから、面積は1×1÷2で
1
です。
2
一方、 正三角形を考えますと、外接する正三角形の各辺の中点が内接する正三角形の頂点に当
1
であることがわかります。
4
3
3
ですから、内側の正三角形の面積は
です。
1辺の長さが1の正三角形の面積は
2
8
1 3
したがって、内側の正方形と内側の正三角形の面積の比は、 :
となり、分母をはらうと、
2 16
8: 3 であることがわかります。つまり、選択肢の2が正解です。
たりますから、内側の正三角形の面積は外側の正三角形の面積の、
演習19
まず、円ですから、4分の1の範囲で考えて、4倍す
ればよいことはわかると思います。
さて、円の中心から5cm の距離にあるマスが塗りつぶ
されるわけですから、中心から上下左右に5マス目を通
り、また、縦横に3マス、4マスまたは4マス、3マス
離れた方眼点を円周が通りますから、これらの点の間を
結んで考えれば分かりやすいでしょう。
つまり、上端の点から左に3マス下に1マスの点を通
るわけですから、その間の3マスが塗りつぶされます。
次に左に1マス、下に1マスの点を通りますから、その
間の1マスが塗りつぶされます。また、先ほどと同じよ
うに3マスが塗りつぶされますから、この4分の1円の
範囲で、7マスが塗りつぶされます。したがって4倍し
て28マスが塗りつぶされますから、2の選択肢が正解
の選択肢ということになります。
演習20
この種の問題は、色がわかるところを、順番に特定していくことを積み重ねていくことによって
解明していくという方法を採ることになります。多く見えている色からその
緑 8
2 赤
色の残りの場所を特定していくか、多く見えている行、列、対角線から、そ
1
青
の空欄に入る色を特定していくか、どちらかの方法を採りながら、埋めてい
3
A 6 B 3
くという方法です。
黄 7 5
図を見ると、黄のタイルが2枚見えていますから、ここから推理を始めていく
のが妥当です。2番目の行のどこかに黄がなければなりませんが、 黄
4
1番目の列と真ん中の列には、下に黄がありますし対角線を考える
と、4列目にも置けませんから、黄は1の所でなければなりません。
すると1行目では、2に黄を置くしかありませんし、3行目では3が黄ということになります。
すると、左の上に緑があるために、4番に緑は置けないことから、4は茶、5が緑になります。
次に、左上からの対角線を考えます。空いている2つの場所に入るのは赤と 緑
黄 赤
青ですが、中央に赤が入ると右上からの対角線上に赤が2枚になりますから、
黄
青
真ん中は青(8)
、7が赤ということになります。
A 青 B 黄
ここで、Bは青、黄、赤ではありませんから、緑か茶です。Bが緑なら横
黄 赤 緑
に考えて、Aは赤か茶、Bが茶なら、1列目に緑が入りませんから、Aは緑
茶
でなければなりません。
(赤、緑)
(茶、緑)
(緑、茶)の組あわせのうち、選 黄
択肢の中にあるのは、Aが緑でBが茶という組合せだけですから、正解は5であることがわかりま
す。
解答は得られましたが、一応、推論を進めて全体を明らかにしてみましょ
緑 青 茶 黄 赤
う。
1番上の行で青を入れられるのは、2列目の8の場所ですから、ここが青 茶 黄 赤 緑 青
で、1行目の真ん中は茶。右上からの対角線を考えて、4行目2列目には緑 赤 緑 青 茶 黄
が入れないので、茶が入り、2行目4列目は緑になります。4列目を考える
青 茶 黄 赤 緑
とBが茶、5行目が青。3行目を考えてAが緑で1列目は赤。4行目の1列
黄 赤 緑 青 茶
目が青ですから、2行目の1列目は茶、3列目は赤。最後に5行目も確定し
て、右の図のようになります。
違う順番でも、解答にたどり着けますが、先ほど解説した順で見ていくのが、比較的早く正解に
たどり着ける方法です。
演習21
点E,Fは、それぞれ三角形ACD、三角形ABDの重心に当たり
A
ます。ですからAとE、Fを結ぶとその延長はそれぞれCD、BDの
中点を通ります。
それをそれぞれM、Nとすると、まず三角形BCDと三角形NMD
F
E
が相似ですから、MNの長さはBCの長さの1/2で、3になります。
E、F、は重心ですから、AM、ANをそれぞれ2:1に内分する
D
N
M
点になります。つまり、AE:AM=AF:AN=2:3です。
したがって、三角形AEFと三角形AMNも相似で、相似比は2: B
C
3です。このことから、EFの長さは、MNの長さの2/3で2にな
ります。
選択肢を見ると、3が2となっていますから、正解の選択肢は3ということになります。
三角形には重心の他に、内接円の中心である内心や外接円の中心である外心、垂線の交点の垂心
などもあります。それぞれの性質をもう一度おさらいしておいてください。
また正四面体では、1つの頂点の側から見ると、頂点は底面の正三角形の重心であり、同時に外
心であり内心である点の真上にありますから、このことも思い出しておいてください。
演習22
2面を青に塗りますから、この2面の位置関係が異なるものの種類の数を
求めればよいことになります。
八面体の1つの面、例えば左上手前の面を基準に考えると、各辺で三つの
面と接しており、他の3つの面と頂点で接しています。そして向かい側の1
つの面とは接していません。すべての面は正三角形でできていますから、こ
れらの3種類の面との関係は、回転させれば同じものになることはわかると
思いますので、選択肢1が正解ということになります。
なお、正八面体は考えにくい場合、それぞれの面の中点を結んだ図形を考
えると、これは立方体、正六面体になりますから、立方体の頂点を色分けする問題と考えても良い
でしょう。
すると、右の図から、ある頂点を基準に取ると、隣り合っている頂点が3個、
面の対角にある頂点が3個、立方体の対角線に当たる頂点が1個あることがわ
かります。転させれば、前者の2種類の頂点はそれぞれ重なり合いますから、
結局3種類に分類できることがわかります。
このように、立体の問題は、わかりやすい立方体や正四面体などに転換させ
て考える方がわかりやすい場合もありますから、問題によっては、これを活用
してください。
演習23
正面図と平面図から全体を組み立てる問題です。この場合、選択肢が3つですから、それぞれの
側面図を正面図、平面図と組み合わせて、どのような立体になるのか鳥瞰図で考えてみることがで
きれば、そこから選択肢を選ぶことができます。この方法は、具体的にいろいろな立体に関して正
面図、平面図、側面図を書く練習をしておくことでより早くつかむことができるよう
になります。
さて、与えられている正面図と平面図から立体を組み立ててみましょう。今、正面
図で見えているのはこちら側だけですから、隠れている後ろ側はわからないわけです。
前面の部分が、右の図のようになることは、わかりやすいと思います。
問題は後ろの部分ですが、右の下の左端の図のように、前半分が
逆になった形を考えがちですが、一番後ろのたての辺は見えていま
せんから、その長さは、前の角の辺の長さより短ければ、どのよう
な長さもあり得るわけで、したがって、右の図のように、真ん中か
ら平らに後ろにのびている場合や、極端な場合は、後ろのたての辺がない場合、一番右端の図のよ
うな場合もあり得るわけです。
こうしたことから、アとイがあり得る形であることがわかりますから、正解は4の選択肢という
ことになります。
演習24
この問題では、平面図、正面図、側面図からもとの立体を完成させ、その上で、辺の数を数える
という作業を行うことになります。
側面図から前の部分は下半分が前に出た形をしていることがわかります。さらに平面図からはそ
の部分は三角形をしていることもわかります。
次に、右の側面図から、奥の部分は平面図で右下の部分が高く左上の部分が低くなっていること
もわかります。
これらのことから、右の図のようになっていることがわかります。
これにもとづいて辺の数を数えますが、左手前の縦の高さの辺と
右奥の高さの辺は、途中で構成する面が変わっていますから、2
本ということになります。したがって、上の三角柱の分が8本、
下の底面が台形の形をした四角柱の部分が12本で合わせて20
本になります。選択肢の中では、3番が正解の選択肢ということ
になります。
演習25
すべての道を通るということで、一筆書きの問題と考えてしまうかもしれませんが、この道はす
べての道を1回ずつだけ通って元に戻ることはできません。
各点での道の数は、AとEで2本、B、C、Dで3本、Xでは5本になっていますから、一筆書
きでは書けません。Xから出発してXに戻る一筆書きの道を作ると、B、C、DおよびXで1本ず
つ道が残ります。この4カ所を2カ所ずつ結ぶ道をもう1回余分に通らなければならないことにな
ります。
したがって、Xから出てXに戻る道の長さは、すべての道の長さの合計にさらにその2本の長さ
を加えた長さになります。余分な2本の長さが最短であればよいわけです
C
から、XB間の12mの道とCD間の10mの道を選べば最短になります。
10m
13m
すると、全体の長さは、すべての道の合計114mに22mを足した13
14m
D
B
6mであることになります。つまり、選択肢の中では3が正解の選択肢に
12m
15m
なります。
X
17m
14m
実際にはXB間、CD間に同じ長さの道がもう1本あると考えて、一筆
8m
11m
書きを書けばよいことになります。例えば、XABXBCXDCDEXの
E
A
順に回ってくれば、最短距離ですべての道を通ってきたことになるわけで
す。あるいは、XABXEDCBXCDXの順であっても同じことです。
演習26
この区画は、Aの区画を境として、右と左に4つずつに分けられることに注目してください。こ
の左と右の区画の間を行き来するためには、必ずAを通らなければ行けません。したがって、右の
区画から出てまた右の区画に戻るためには、Aを必ず2回通らなければなりませんし、その2本の
道は、右と左を結ぶ道でなければなりません。Aの区画のうち、左の辺は左側と接し、右と下の辺
は右側の区画と接していますから、左の辺と右または下の辺を結ぶ2本の道がなければいけないこ
とが分かります。
この点から、ア~オを吟味すると、アとウがこの条件を満たしていますから、この2つが適切で
あることになります。つまり、選択肢の中では1番が正解の選択肢というわけです。
演習27
立体の表面を通る直線の長さを求めるには展開図を活用して考えるのがよいでしょう。
立方体の展開図を書きますが、C からCに戻るということと、すべての面
BCA
を通るということに注意しなければなりません。
立方体の展開図というと、右の図のうち左の方の
図を書いてしまいがちですが、これでは問題の条件
に合う直線を書くことができません。そこで、この
図の正方形を位置を変えて考えてみると、右端の図
のような展開図を得ることができます。
BC A
そこで、A、B、Cの対応する点を書き込んで、直線で2つの C を結ぶと図のような直線になり
ます。するとこの線分を斜辺とする直角三角形を考えると、等辺が30の直角二等辺三角形になり
ますから、斜辺である線分の長さは 30 2 になります。すなわち選択肢の中では1が正解の選択肢
です。
青
青
緑
緑
演習28
赤
黄
赤
黄
正四面体を展開してつなげたものを考えてみます。
この時、ポイントになるのは、正三角形を4個1列につなげると、これは正四面体の展開図です
から、4色が順に出てくることになるということです。下
の図のように、列を延ばしていけば、順に色が出てきます。
そうでなければ、転がした面を元に戻しても4色の正四面
体を作ることができません。
緑
このことを元に、Aの所から右上がりと右下がりに底面
赤
青 赤
の色を決めていき、次に縦に色を埋めていくと、次の図の
ような展開図が得られます。これに沿ってBの位置に当た
黄 緑
緑 黄
る色を調べてみると、その場所の色は青に定まることが分
青 赤
赤 青
青
かります。
黄 緑
以上から、2の選択肢が正しい選択肢であることが導か
緑 黄
れます。
赤
青 赤
黄
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