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演習1 まず、「ウミノサチ」の5文字を10個のアルファベットで表しています
演習１ まず、「ウミノサチ」の５文字を１０個のアルファベットで表していますから、２個のアルファ ベットでカタカナ１文字を表していることがわかります。つまり、 「Ａｃ」が「ウ」 、 「Ｇｈ」が「ミ」 を表していると考えられます。 ５０音の行と段を考えると、Ａはア行、ｃはウの段を表すことが予想できます。Ｇは、アルファ ベットの７番目のでこれはマ行にあたりますから、この予想が正しいものと考えられます。しかし、 ミはイの段ですから、アルファベット２番目のｂを使って、 「Ｇｂ」となっていれば解決ですが、 残念ながら「Ｇｈ」で表されています。ｈがなぜ２番目を表すのかが問題です。ここでｈはＧから 数えて２番目であることに気がつくかどうかが、分かれ目です。「Ｇｈ」はＧでマ行を表し、Ｇか ら２番目のｈでイの段を表して、「ミ」を表していることになります。 そうすると、 「ヒラメ」の「ヒ」は、まずハ行を表すＦとＦから２番目のｇで「Ｆｇ」と表され、 「ラ」は、ラ行を表すＩとＩから１番目のｉで「Ｉｉ」と表されることがあります。この段階で、 選択肢の中で「ＦｇＩｉ」となっているものが、３の選択肢しかありませんから、「メ」を考える ことなく、３が正解であることが分かります。 演習２ この場合、２桁の数字と上下を向いている矢印とでカタカナが表されていますが、矢印は２桁の 数字の間にあって、３個しかないという特徴があります。ということは、矢印は前後の２桁の数字 の関係を表していると考えるのが自然です。 矢印は上向きと下向きの二とおりですから、二つの文字の間の関係を示していると想像できます。 ５０音順にヒからマまでを数えると、フ、ヘ、ホ、マと４番目になります。マからワまでは、ミ、 ム、メ、モ、ヤ、ヰ、ユ、ヱ、ヨ、ワと１５番目、ワからリまでは、逆に数えて、ロ、レ、ル、リ と４番目になります。これで、１５がヒを表し、 「↓０４↓１５↑０４」が「マワリ」を表してい ることが分かりました。 ここまでで、「ナノハナ」を考えると、ナからノまではニ、ヌ、ネ、ノの４番目ですから「ノ」 は「↓０４」ということになり、選ぶべき選択肢は１であるということになります。 この場合は、これでも正解を導くことができましたが、一応、１５がなぜ「ヒ」を表すのか考え ておきましょう。どこかから数えて１５番目ということになりますが、普通に数えると、シから数 えて１５番目、ヒから１５番目はリですからうまくいきません。「ナ」が０４で表されていること が説明できません。 色々な数え方をしてみる必要がありますが、５０音を横に、つまり各段から先に数えると、アか ら数えはじめて、カ、サ、タ、ナ、ハ、マ、ヤ、ラ、ワ、イ、キ、シ、チ、ニ、ヒと、１５番目が 「ヒ」になります。このように「ナ」を数えると、４番目ですから、選択肢１の最初の０４が「ナ」 を表すことも説明ができます。 演習３ 「古い家並みである」をＡ、「落ち着きがある」をＢ、「整然としている」をＣ、 「感動をもたら す」をＤと書くことにすると、集合の包含関係で次のように表せます。 条件から Ｂ Ｄ Ａ Ｃ この図をもとに選択肢を検討すると １は、「ＤのうちにＡに含まれるものが存在する」ということですが、ＢはＤに含まれており、 同時に一部はＡに含まれていますから、ＤでかつＢのものはＡに含まれますから、正しいことがわ かります。 ２は、「ＣとＢの両方に含まれるものが存在する」ということですが、そのような要素が必ずし も存在するとは限りません。 ３は、「ＡとＢの両方に含まれれば、Ｃにも含まれる」ということですが、２と同様に、ＢとＣ の両方に含まれるものがあるかどうかは、確かではないので、この選択肢も確実に言えるものでは ありません。 ４は、「ＡとＣの両方に含まれれば、Ｄにも含まれる」ということですが、ＣとＤの両方に含ま れるものがあるかどうかは、確かではありませんから、この選択肢も確実には言えません。 ５は、「ＡとＤの両方に含まれれば、Ｂにも含まれる」ということですが、Ｂに含まれればＤに 含まれますが、逆であるＤに含まれればＢに含まれるということは言えませんから、この選択肢も 確実には言えません。 ということで正解は１ということになります。 演習４ まず、与えられている二つの条件を図に表してみると、合宿不参加者は海外旅行しておらず、帰 省しなかった者はみな海外旅行しているわけですから、下図のようになります。 全体 海外旅行 合宿不参加 帰省せず この図にもとづいて、選択肢を検討すると、 １は、海外旅行した者の集合は合宿に参加しなかった者の集合と交わりを持たないから、皆合宿 に参加していますから、間違いになります。 ２は、海外旅行しなかった者の集合は合宿に参加した者の集合と参加しなかった者の集合の両方 にまたがっていますから、これも間違いになります。 ３は、海外旅行しなかった者の集合は帰省についても、した者の集合、しなかった者の集合、両 方にまたがっていますから、これも間違いです。 ４は、帰省した者の集合は、合宿については、参加者の集合、不参加者の集合の両方にまたがっ ていますから、これも間違いです。 ということで、５が正解の選択肢ということになりますが、実際に見てみると、帰省しなかった 者の集合は、海外旅行した者の集合に含まれ、海外旅行した者の集合は合宿不参加者の集合とは交 わりを持ちませんから、帰省しなかった者は合宿不参加の集合に入ることはなく、皆合宿に参加し たことになります。 演習５ この問題も、条件を図示して見ると、わかりやすくなります。 まず、ＡとＦは２階、ＧとＬは１階に住んでいることがわかりますから、それぞれの発言の内容 を平面図にして考えてみます。 Ｂ Ｃ Ｅ （階数は不明） Ｉ Ｈ Ｌ （１階） Ｇ Ｋ Ｊ （１階） したがって、１階は Ｉ Ｈ Ｇ Ｌ Ｋ Ｊ さらに２階は、 Ｇの上がＡ、Ｌの上がＦですから、 Ｂ Ｃ ここに Ｅ をはめ込むと となります。 Ａ となりますが、 Ｆ Ｃ Ａ Ｆ Ｂ Ｅ または Ｅ Ｂ Ａ Ｆ Ｃ となります。 したがって、Ｋの真上に住んでいる可能性があるのは、ＢかＣですから、正解の選択肢は１です。 演習６ まず「Ａの本とＤのテープを借りた人」はＡ、Ｂ、Ｄではないから、ＣかＥということになりま す。 また、「Ｄの本とＥのテープを持ったいる人」は、Ａ、Ｄ、Ｅではないから、ＢかＣということ になります。 ＡがＢから本、Ｃからテープを借りたとすると、Ｂがテープを借りたのは、Ａ、Ｄ、Ｃではない から、Ｅということになります。となるとＢが「Ｄの本とＥのテープを持ったいる人」になります が、Ｂが本を借りたＤが「Ａの本とＤのテープを借りた人」となって、これは、自分以外の人と交 換をしたという条件に矛盾します。したがってＡは「Ｃから本、Ｂからテープを借りた」ことにな ります。 ＡがＣから本、Ｂからテープを借りていますから、Ｂが本を借りた「Ａの本とＤのテープを借り た人」は、ＣではありませんからＥということになります。 すると、「Ｄの本とＥのテープを持ったいる人」は、Ｃとなり、ＤはＢから本を借り、またＡの テープを借りたのはＢではありませんからＤ、ＢはＣからテープを借りたことになります。 以上から 借りた人 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ 本 Ｃ Ｅ Ｄ Ｂ Ａ テープ Ｂ Ｃ Ｅ Ａ Ｄ となります。 したがって、選択肢のうち、この条件に合うのは５であることがわかります。 またこの問題の場合、与えられた条件から考えることが難しい場合、これにそれぞれの選択肢の 条件を加えて矛盾が生じないかどうかを見るという方法とることもできます。 １の場合、Ａの本をＣが借りたなら、Ｃの本をＢが借りたこと になります。するとＡはＢの本を借りたことになり、Ｄの本はＥ が借りたことになりますが、同時にＥのテープを持っていなけれ ばならず、矛盾します。したがって、１の選択肢は間違いという ことになります。 ２、３の場合はＡがＢから本を、Ｃからテープを借りたことに なりますが、先に示したように、これは条件に合いません。 借りた人 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ 本 Ｂ Ｃ Ａ Ｅ Ｄ テープ Ｃ Ｂ Ｄ Ａ Ｅ 借りた人 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ 本 Ｂ Ｄ Ａ テープ Ｃ Ｅ Ｄ ４の場合は、ＤのテープをＣが借りたとすると、ＡはＣからは 本を借りたことになりますが、一方、Ｂも「Ａの本とＤのテープ 借りた人 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ を借りた人」であるＣから本を借りていなければいけませんから、 本 Ｃ Ｃ Ａ 条件に合いません。 テープ Ｂ Ｄ こうして５の場合だけが、条件に合致することがわかります。 借りた人 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ 本 Ｃ Ｅ Ｄ Ｂ Ａ テープ Ｂ Ｃ Ｅ Ａ Ｄ 演習７ まず、ＤとＥのどちらか１人だけがウソをついているのですから、Ｄに対する「Ｅがどう答えた か」という質問に対する答えは、ＥがうそをつきＤがその通りに伝えても、逆にＥが本当のことを 言ってＤがうそを伝えても、いずれにしても事実に反しています。ですから、Ａは赤ではないとい うことです。 そこでもし、Ａが白なら、自分の他に２人白がいるのですが、Ｂが白でなければ、ＢからはＡを 含めて白が３人見えることになります。したがってＡが白ならＢも白ということになり、Ｄも白と いうことになります。すると、どの色の帽子も、誰か１人はかぶっているわけですから、ＣとＥは それぞれ赤と青のどちらかをかぶっていることになります。つまり青１人、赤１人、白３人という ことです。 また、Ａが白でなければ、Ｂ パターン２ Ａ パターン１ Ａ も白ではありませんから、Ｄも 青 白 白ではなく、ＣとＥの２人が白 白 Ｅ Ｂ 赤 Ｂ 白 Ｅ ということになります。 Ａが白ならＢとＤも白で、 白 赤 白 Ｄ Ａが青なら、ＣとＥが白、Ｂ Ｄ Ｃ Ｃ とＤは赤をかぶっていること になります。つまり青１人、赤 ２人、白２人ということです。 これら二通りの場合が考えられますが、与えられている条件からはどちらの場合もあり得ますか ら、確実にいえるのは青が１人ということだけです。つまり、１が選ぶべき選択肢ということにな ります。 演習８ この問題の場合、最後にＣが３位になったことがわかっていますか ら、このことから始めて、逆にさかのぼって考えていくと分かること が増えてきます。 最後には、右の図のようになっているわけですが、Ｃが抜く前には ２番目の図のようになっていたことになります。Ｂが２人を抜いた後 ですからＢがは１位か２位ということになりますが、後で抜いたのが 白組ですから、白組が２位Ｂが１位になります。 Ｂが抜く前には、Ｂが３位で、１位は白組、２位は青組、４位はＣ ということになります。 この前にＡが黄組を抜いていますから、Ａの後に黄組が並ぶ可能性 があるのは、Ａが青で３位のＢが黄組の場合だけです。 こうして、最初の順位は右の図のようになります。 また最後の順位は、最初から順に考えていくと右の図のようになり ますから、これらのことから、選択肢を見てみると、２の「Ｃが赤」 １位 ２位 ３位 Ｃ ４位 青 Ｂ Ｃ 白 青 Ｂ Ｃ 白 青 Ｄ 白 Ｂ 黄 Ａ 青 Ｃ 赤 Ｂ 黄 Ｄ 白 Ｃ 赤 Ａ 青 という説明が、当てはまります。正解は２ということになります。 演習９ Ａの側から考えると、折り返しの時点で自分より前にいるランナーとは折り返し点の前に擦れ違 い、自分より後ろにいるランナーは折り返し点の後に擦れ違います。このことを使って、折り返し の時点で、Ａの順位と全体のランナーの数を考えてみます。 Ａは、中間点で折り返すまでに、６人と擦れ違っていますから７位で折り返しています。折り返 してからは、１４人と擦れ違っています。あわせて２０人と擦れ違っているわけですから、これに 自分自身をあわせて全員で２１人になります。Ａ自身を数に入れることを忘れないように気をつけ てください。 折り返し点を過ぎてから、２人に追い越され、１人抜き返していますから、１位順位が下がって、 ８位になっています。 ２１人中８位ですから、正解は４になります。 演習１０ まず正しい時刻を基準とするために。正しい時刻に対して条件からわかることを探してみます。 すると、イの条件から、次のようなことが推論できます。 Ｂは自分の腕時計が２分遅れていると思っていましたから、４時６分に到着したと思っていたと き、腕時計は４時４分を示していたことになります。実際には５分進んでいますから、正しい時刻 は３時５９分だったことになります。 次にエの条件から、ＤはＢの２分前に到着していますから、３時５７分に到着しています。この とき、Ｄの腕時計は３時５９分を示し、会議室の掛時計は３時５５分か４時３分を示していました。 したがって、Ｄの腕時計は２分進んでおり、掛時計は２分遅れているか、６分進んでいるかのどち らかということになります。また、Ｄは最初に到着した人ではありません。 アの条件から、Ａの到着した時刻はＤの腕時計で４時５分だから、正しい時刻では４時３分とい うことになります。 ウの条件から、Ｃが到着した時刻は会議室の掛時計で４時２分だったから、４時４分か、３時５ ６分のどちらかということになります。 以上から、到着した順番にその時刻を整理すると ① Ｄ ３時５７分 Ｂ ３時５９分 Ａ ４時３分 Ｃ ４時４分 か ② Ｃ ３時５６分 Ｄ ３時５７分 Ｂ ３時５９分 Ａ ４時３分 であることになります。 しかし、Ｄの前に到着している人がいたのですから、②の場合しか当てはまりません。 したがって、選択肢を検討すると、３だけが当てはまりますから、３が正解の選択肢です。 演習１１ この問題は、どの条件を加えれば並び方が決まるかという問題ですから、まず与えられている条 件でどこまで並び方をしぼることができるかを検証し、その上で、選択肢に示されたどの条件を加 味したら一通りに確定するかを調べるということになります。 １ ２ 10 Ａを基準として考えることにします。Ａから右に時計回りに、Ａを１とし ３ ９ て順に番号を振ってみます。すると、 Ａ２３Ｆ５６７８９10 となります。ここで、ＧはＦと隣り合っていま ８ すから、３番か５番ということになりますが、一方、ＧはＢの右側２人目で ４ すから、３番ではなく、５番でなければなりません。 ７ ５ Ａ２ＢＦＧ６７８９10 ６ また、Ｃ○Ｈ、Ｄ○Ｉ、Ｅ○Ｊという並びがありますが、ＣとＥが隣り合 っていますから、 ＣＥＨＪ か ＥＣＪＨ という並び方があることになります。ですから、Ｃは、前者の並び 方なら６番か７番、もしくは後者の並び方なら７番か８番でなければなりません。 また Ｄ○Ｉ という並び方が入らなければなりませんから、Ｄは６，７，８，１０のどれかで なければなりませんが、先ほど見たようにＣ、Ｅ、Ｈ、Ｊの４人は並んでいますから、６，７，８ には入れず、１０番でなければならなくなります。 以上をまとめると、 ① ＡＩＢＦＧＣＥＨＪＤ か ② ＡＩＢＦＧＥＣＪＨＤ の２通りの並び方しかあり得 ないことがわかります。 ここで選択肢を見てみると、１，２，３，５の選択肢の条件は、①も②もどちらもみたしていま すから、これではどちらか確定できません。 ４の選択肢、ＢとＨは向かい合っているという条件を加えると、①の場合にしか当てはまらない ことがわかります。したがって、選ぶべき正解の選択肢は４であるということになります。 演習１２ Ｃ Ａ Ｄ Ｆ Ａ ア、イ、ウの条件から、右のような位置関係がわかります。 この３つを組み合わせると、下の４通りの場合が考えられます。 Ｅ Ｈ ここで、エの条件をみたすためには、①か②の場合でなければなりま Ｇ せん。③や④の場合では、２部屋空いている階の下の階にＪが入れる 部屋がありません。 さらに、オの条件から、①の場合はＫが１階に入りますが、するとＪと隣り合うことになってし まいますから、②の場合であることがわかります。 ただし、４階には、Ｂ、Ｉ、Ｌが住んでいますが、誰がどの部屋かは特定できません。 Ｄ Ｆ Ｅ Ｃ Ａ Ｈ Ｄ Ｇ Ｅ Ｃ Ａ Ｄ Ｆ Ｈ Ｅ Ｃ Ａ Ｆ Ｈ Ｇ Ｇ Ｃ Ｈ Ｄ Ｆ Ｇ Ｅ ① ② ③ 以上にもとづいて、選択肢を検討すると、 Ａは３３号に住んでいますから、１は間違いです。 Ｃは３２号に住んでいますから、２も間違いです。 Ｄは２１号に住んでいますから、３も間違いです。 Ｋは１２号に住んでいますから、４は正しい選択肢です。 Ｌは住んでいる部屋は特定できませんから、５も間違いです。 このようにして、４が正解であることがわかります。 Ａ ④ Ｊ Ｃ Ａ Ｄ Ｆ Ｈ Ｅ Ｋ ② Ｇ 演習１３ Ｃの得点は、Ａの得点の１５倍、Ａの得点は、Ｂの得点の２倍なのですから、Ｃの得点はＢの得 点の３０倍です。 ３個のサイコロを同時に振って出る目の合計数は、３～１８ですが、３の時は、すべての目が１ ですから、得点は３０点になります。また、４や５の時は、２つのサイコロが同じ目ですから、２ ０点になります。 そのようにして考えると、得点は６点から１８０点の範囲にあることになります。 １８０は６の３０倍ですから、ＣとＢの得点は、１８０点と６点であることがわかります。そう でなければ、３０倍よりは小さくなってしまうからです。つまり、Ｃは６が３つ、Ｂは１と２と３ が出たことになり、Ｃの出た目の合計数は１８、Ｂの合計数は６ですから、合わせると確かに２４ になります。 これで、答えは４の選択肢であることはわかってしまいますが、念のため、Ａの点数も見ておき ましょう。 Ａの得点は１２点ですから、１，５，６または２，４，６または３，４，５であったことになり ます。 演習１４ 注にあるように、取り出した玉は、全部で６３個ですから、全部１０ｇであると仮定したら、６ ３０ｇのはずですから、実際の重さとの差は、２５ｇです。つまり、１１ｇの玉は２３個入ってい るわけです。 ２５個の玉がどの箱に入っているのかを定めなければなりませんが、１、２、２２、２３、２４、 ２５の中からいくつかを選び出し、その和が２５になるような組合せを考えるには、２で割ってい き、その余りを求めることで見つけることができます。 すると、２５＝１＋２３＋２４ と書けますから、№１、№４、№５の箱には１１ｇの玉が入って いるということになります。 このことから、選択肢を検討すると、１の「№２の箱には１０ｇの玉が入っている。 」だけが正 しいことがわかります。選ぶべき選択肢は１です。 演習１５ 右の図のように、Ａから３方向に１ｍ 進むことができますから、その頂点をＢ， Ｄ Ｄ Ｄ Ｃ，Ｄとします。ここまでで３本塗るこ Ｂ とができます。 Ｃ Ｂ 続いて、それぞれの先端からまた３方 Ｂ Ｃ Ａ Ｃ 向に１ｍずつ進むことができますから、 Ａ Ａ ３×３で９本新たに塗ることができます。 さっきの分を合わせて１２本塗ることができました。 しかし、このとき、最初の時とは違うのは、例えばＢから上方向に１ｍ進んだ先と、Ｄから１ｍ ＡＢと平行な方向に進んだ先は、同じ点になるということです。これをまとめてみると、図にある ように、次の先端は６カ所になります。ですから次に塗れるのは、それぞれから３方向で、６×３ となり、１８本ということになります。ですから先ほどまでの１２本と合わせると、３０本塗れる ことになります。したがって、正解は２の選択肢ということになります。 演習１６ この問題こそ、方程式の手法を使って考えることで、比較的容易に回答にたどり着ける問題です。 それぞれの任期をそのままａｂｃｄｅの文字で表すことにします。すると、ア～ウの条件は次の ように表されます。 ｂ＝２ｃ …① ｄ＝２ｅ …② ｅ＝ａ＋２ …③ また、５人の任期は合わせて２５年ですから ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＝２５ …④ であることもわかります。これら４本の式から、５人の任期 の年数に関する関係を求めることができます。 まず、②と③から、ｄ＝２ａ＋４ が得られます。 これと①③を、④に代入すると、ａ＋２ｃ＋ｃ＋（２ａ＋４）＋（ａ＋２）＝２５ となります。 整理すると ４ａ＋３ｃ＝１９ですが、ａもｃも整数ですから、あり得る組合せは、 （ａ，ｃ）＝（１，５） （４，１）の２通りに限られます。 ここで、残されている条件エを考慮に入れます。 １１年目とその後１０年目に元首の交替があったのですから、５人の任期を何人かずつ加算して、 １１年、１０年、４年と分けられなければなりません。 もし、ａが１、ｃが５であるなら、ｂは１０、ｄは６、ｅは３ となりますが、このとき、ｃと ｄで１１、ｂだけで１０、ａとｅで４になりますから、 ｃ，ｄ，ｂ，ａ，ｅ の順で元首になっていれば条件ア～エをすべてみたすことになります。 この場合は、ｃとｄ、ａとｅがそれぞれ入れ替わっていても条件に影響は与えませんから、かまい ません。 次に、ａが４、ｃが１の場合は、ｂは２、ｄは１２、ｅは６ となりますが、ｄの１２年はエの 条件に合いませんから、答えとして当てはまりません。 以上から、ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅは、１，１０，５，６，３であることがわかりますが、先程述べ たように、順序は、 （ｃまたはｄ） 、 （ｄまたはｃ） 、ｂ、 （ａまたはｅ） 、 （ｅまたはａ） 、という順番 になるわけです。 これをもとに、選択肢を検討してみますと、１はａの任期は１年ですから間違いです。２は確か にｂは３番目以外ではあり得ませんから正答です。３はｃの任期は５年ですから間違い。４はｄは 最初の元首だった可能性はありますが、２番目だった可能性もあるため、確実に言えることには当 たりません。５もｅは５番目に元首になっていれば１９９２年からですが、４番目に就任している 可能性もあり、この場合は１９９１年に就任していますから、これも確実に言えることには当ては まりません。 こうして、選ぶべき選択肢は２であることがわかります。 演習１７ 下の図のように、折ったものを逆に開きながら、切り取られる線がどのようになるかを考えてい きます。 すると、左端の図のように切られることがわかります。これも実際に書いてみた方が間違いは少 なくてすむでしょう。 ｍ ｎ ｌ そこで、それぞれの面積を考えますが、一番内側の正方形の１辺の長さは、斜辺の４分の１です から、８× 2 ÷４で２ 2 ｃｍであることがわかります。したがって、面積は８ｃｍ２ です。 演習１８ 図１の正方形の１辺の長さを１とすると、円の半径は 1 、 2 この円に内接する正方形は、その対角線の長さが１という ことですから、面積は１×１÷２で 1 です。 2 一方、 正三角形を考えますと、外接する正三角形の各辺の中点が内接する正三角形の頂点に当 1 であることがわかります。 4 3 3 ですから、内側の正三角形の面積は です。 １辺の長さが１の正三角形の面積は 2 8 1 3 したがって、内側の正方形と内側の正三角形の面積の比は、 : となり、分母をはらうと、 2 16 ８： 3 であることがわかります。つまり、選択肢の２が正解です。 たりますから、内側の正三角形の面積は外側の正三角形の面積の、 演習１９ まず、円ですから、４分の１の範囲で考えて、４倍す ればよいことはわかると思います。 さて、円の中心から５cm の距離にあるマスが塗りつぶ されるわけですから、中心から上下左右に５マス目を通 り、また、縦横に３マス、４マスまたは４マス、３マス 離れた方眼点を円周が通りますから、これらの点の間を 結んで考えれば分かりやすいでしょう。 つまり、上端の点から左に３マス下に１マスの点を通 るわけですから、その間の３マスが塗りつぶされます。 次に左に１マス、下に１マスの点を通りますから、その 間の１マスが塗りつぶされます。また、先ほどと同じよ うに３マスが塗りつぶされますから、この４分の１円の 範囲で、７マスが塗りつぶされます。したがって４倍し て２８マスが塗りつぶされますから、２の選択肢が正解 の選択肢ということになります。 演習２０ この種の問題は、色がわかるところを、順番に特定していくことを積み重ねていくことによって 解明していくという方法を採ることになります。多く見えている色からその 緑 ８ ２ 赤 色の残りの場所を特定していくか、多く見えている行、列、対角線から、そ １ 青 の空欄に入る色を特定していくか、どちらかの方法を採りながら、埋めてい ３ Ａ ６ Ｂ ３ くという方法です。 黄 ７ ５ 図を見ると、黄のタイルが２枚見えていますから、ここから推理を始めていく のが妥当です。２番目の行のどこかに黄がなければなりませんが、 黄 ４ １番目の列と真ん中の列には、下に黄がありますし対角線を考える と、４列目にも置けませんから、黄は１の所でなければなりません。 すると１行目では、２に黄を置くしかありませんし、３行目では３が黄ということになります。 すると、左の上に緑があるために、４番に緑は置けないことから、４は茶、５が緑になります。 次に、左上からの対角線を考えます。空いている２つの場所に入るのは赤と 緑 黄 赤 青ですが、中央に赤が入ると右上からの対角線上に赤が２枚になりますから、 黄 青 真ん中は青（８） 、７が赤ということになります。 Ａ 青 Ｂ 黄 ここで、Ｂは青、黄、赤ではありませんから、緑か茶です。Ｂが緑なら横 黄 赤 緑 に考えて、Ａは赤か茶、Ｂが茶なら、１列目に緑が入りませんから、Ａは緑 茶 でなければなりません。 （赤、緑） （茶、緑） （緑、茶）の組あわせのうち、選 黄 択肢の中にあるのは、Ａが緑でＢが茶という組合せだけですから、正解は５であることがわかりま す。 解答は得られましたが、一応、推論を進めて全体を明らかにしてみましょ 緑 青 茶 黄 赤 う。 １番上の行で青を入れられるのは、２列目の８の場所ですから、ここが青 茶 黄 赤 緑 青 で、１行目の真ん中は茶。右上からの対角線を考えて、４行目２列目には緑 赤 緑 青 茶 黄 が入れないので、茶が入り、２行目４列目は緑になります。４列目を考える 青 茶 黄 赤 緑 とＢが茶、５行目が青。３行目を考えてＡが緑で１列目は赤。４行目の１列 黄 赤 緑 青 茶 目が青ですから、２行目の１列目は茶、３列目は赤。最後に５行目も確定し て、右の図のようになります。 違う順番でも、解答にたどり着けますが、先ほど解説した順で見ていくのが、比較的早く正解に たどり着ける方法です。 演習２１ 点Ｅ，Ｆは、それぞれ三角形ＡＣＤ、三角形ＡＢＤの重心に当たり Ａ ます。ですからＡとＥ、Ｆを結ぶとその延長はそれぞれＣＤ、ＢＤの 中点を通ります。 それをそれぞれＭ、Ｎとすると、まず三角形ＢＣＤと三角形ＮＭＤ Ｆ Ｅ が相似ですから、ＭＮの長さはＢＣの長さの１／２で、３になります。 Ｅ、Ｆ、は重心ですから、ＡＭ、ＡＮをそれぞれ２：１に内分する Ｄ Ｎ Ｍ 点になります。つまり、ＡＥ：ＡＭ＝ＡＦ：ＡＮ＝２：３です。 したがって、三角形ＡＥＦと三角形ＡＭＮも相似で、相似比は２： Ｂ Ｃ ３です。このことから、ＥＦの長さは、ＭＮの長さの２／３で２にな ります。 選択肢を見ると、３が２となっていますから、正解の選択肢は３ということになります。 三角形には重心の他に、内接円の中心である内心や外接円の中心である外心、垂線の交点の垂心 などもあります。それぞれの性質をもう一度おさらいしておいてください。 また正四面体では、１つの頂点の側から見ると、頂点は底面の正三角形の重心であり、同時に外 心であり内心である点の真上にありますから、このことも思い出しておいてください。 演習２２ ２面を青に塗りますから、この２面の位置関係が異なるものの種類の数を 求めればよいことになります。 八面体の１つの面、例えば左上手前の面を基準に考えると、各辺で三つの 面と接しており、他の３つの面と頂点で接しています。そして向かい側の１ つの面とは接していません。すべての面は正三角形でできていますから、こ れらの３種類の面との関係は、回転させれば同じものになることはわかると 思いますので、選択肢１が正解ということになります。 なお、正八面体は考えにくい場合、それぞれの面の中点を結んだ図形を考 えると、これは立方体、正六面体になりますから、立方体の頂点を色分けする問題と考えても良い でしょう。 すると、右の図から、ある頂点を基準に取ると、隣り合っている頂点が３個、 面の対角にある頂点が３個、立方体の対角線に当たる頂点が１個あることがわ かります。転させれば、前者の２種類の頂点はそれぞれ重なり合いますから、 結局３種類に分類できることがわかります。 このように、立体の問題は、わかりやすい立方体や正四面体などに転換させ て考える方がわかりやすい場合もありますから、問題によっては、これを活用 してください。 演習２３ 正面図と平面図から全体を組み立てる問題です。この場合、選択肢が３つですから、それぞれの 側面図を正面図、平面図と組み合わせて、どのような立体になるのか鳥瞰図で考えてみることがで きれば、そこから選択肢を選ぶことができます。この方法は、具体的にいろいろな立体に関して正 面図、平面図、側面図を書く練習をしておくことでより早くつかむことができるよう になります。 さて、与えられている正面図と平面図から立体を組み立ててみましょう。今、正面 図で見えているのはこちら側だけですから、隠れている後ろ側はわからないわけです。 前面の部分が、右の図のようになることは、わかりやすいと思います。 問題は後ろの部分ですが、右の下の左端の図のように、前半分が 逆になった形を考えがちですが、一番後ろのたての辺は見えていま せんから、その長さは、前の角の辺の長さより短ければ、どのよう な長さもあり得るわけで、したがって、右の図のように、真ん中か ら平らに後ろにのびている場合や、極端な場合は、後ろのたての辺がない場合、一番右端の図のよ うな場合もあり得るわけです。 こうしたことから、アとイがあり得る形であることがわかりますから、正解は４の選択肢という ことになります。 演習２４ この問題では、平面図、正面図、側面図からもとの立体を完成させ、その上で、辺の数を数える という作業を行うことになります。 側面図から前の部分は下半分が前に出た形をしていることがわかります。さらに平面図からはそ の部分は三角形をしていることもわかります。 次に、右の側面図から、奥の部分は平面図で右下の部分が高く左上の部分が低くなっていること もわかります。 これらのことから、右の図のようになっていることがわかります。 これにもとづいて辺の数を数えますが、左手前の縦の高さの辺と 右奥の高さの辺は、途中で構成する面が変わっていますから、２ 本ということになります。したがって、上の三角柱の分が８本、 下の底面が台形の形をした四角柱の部分が１２本で合わせて２０ 本になります。選択肢の中では、３番が正解の選択肢ということ になります。 演習２５ すべての道を通るということで、一筆書きの問題と考えてしまうかもしれませんが、この道はす べての道を１回ずつだけ通って元に戻ることはできません。 各点での道の数は、ＡとＥで２本、Ｂ、Ｃ、Ｄで３本、Ｘでは５本になっていますから、一筆書 きでは書けません。Ｘから出発してＸに戻る一筆書きの道を作ると、Ｂ、Ｃ、ＤおよびＸで１本ず つ道が残ります。この４カ所を２カ所ずつ結ぶ道をもう１回余分に通らなければならないことにな ります。 したがって、Ｘから出てＸに戻る道の長さは、すべての道の長さの合計にさらにその２本の長さ を加えた長さになります。余分な２本の長さが最短であればよいわけです Ｃ から、ＸＢ間の１２ｍの道とＣＤ間の１０ｍの道を選べば最短になります。 10ｍ 13ｍ すると、全体の長さは、すべての道の合計１１４ｍに２２ｍを足した１３ 14ｍ Ｄ Ｂ ６ｍであることになります。つまり、選択肢の中では３が正解の選択肢に 12ｍ 15ｍ なります。 Ｘ 17ｍ 14ｍ 実際にはＸＢ間、ＣＤ間に同じ長さの道がもう１本あると考えて、一筆 8ｍ 11ｍ 書きを書けばよいことになります。例えば、ＸＡＢＸＢＣＸＤＣＤＥＸの Ｅ Ａ 順に回ってくれば、最短距離ですべての道を通ってきたことになるわけで す。あるいは、ＸＡＢＸＥＤＣＢＸＣＤＸの順であっても同じことです。 演習２６ この区画は、Ａの区画を境として、右と左に４つずつに分けられることに注目してください。こ の左と右の区画の間を行き来するためには、必ずＡを通らなければ行けません。したがって、右の 区画から出てまた右の区画に戻るためには、Ａを必ず２回通らなければなりませんし、その２本の 道は、右と左を結ぶ道でなければなりません。Ａの区画のうち、左の辺は左側と接し、右と下の辺 は右側の区画と接していますから、左の辺と右または下の辺を結ぶ２本の道がなければいけないこ とが分かります。 この点から、ア～オを吟味すると、アとウがこの条件を満たしていますから、この２つが適切で あることになります。つまり、選択肢の中では１番が正解の選択肢というわけです。 演習２７ 立体の表面を通る直線の長さを求めるには展開図を活用して考えるのがよいでしょう。 立方体の展開図を書きますが、C からＣに戻るということと、すべての面 ＢＣＡ を通るということに注意しなければなりません。 立方体の展開図というと、右の図のうち左の方の 図を書いてしまいがちですが、これでは問題の条件 に合う直線を書くことができません。そこで、この 図の正方形を位置を変えて考えてみると、右端の図 のような展開図を得ることができます。 ＢＣ Ａ そこで、Ａ、Ｂ、Ｃの対応する点を書き込んで、直線で２つの C を結ぶと図のような直線になり ます。するとこの線分を斜辺とする直角三角形を考えると、等辺が３０の直角二等辺三角形になり ますから、斜辺である線分の長さは 30 2 になります。すなわち選択肢の中では１が正解の選択肢 です。 青 青 緑 緑 演習２８ 赤 黄 赤 黄 正四面体を展開してつなげたものを考えてみます。 この時、ポイントになるのは、正三角形を４個１列につなげると、これは正四面体の展開図です から、４色が順に出てくることになるということです。下 の図のように、列を延ばしていけば、順に色が出てきます。 そうでなければ、転がした面を元に戻しても４色の正四面 体を作ることができません。 緑 このことを元に、Ａの所から右上がりと右下がりに底面 赤 青 赤 の色を決めていき、次に縦に色を埋めていくと、次の図の ような展開図が得られます。これに沿ってＢの位置に当た 黄 緑 緑 黄 る色を調べてみると、その場所の色は青に定まることが分 青 赤 赤 青 青 かります。 黄 緑 以上から、２の選択肢が正しい選択肢であることが導か 緑 黄 れます。 赤 青 赤 黄