数学Ⅱ

教科:数学 科目:数学Ⅱ
学習指導要領
(1)
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i,ヽ 宙4
韭
ろ 倅
鵁,ﾈ
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謁ﾘ/
ろな
式
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ｨﾘx,
ﾈ
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ﾉ
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85
ｸ6
Jﾙ5z2
1.展開,因数分解の公式を活用できる○
顋ﾉd
ﾏh
ﾉZｩ
ﾈ淑
H
IZｨ
+Rﾈ+ｸ.ｨ.x/
w
,ﾈﾇh蠅
,ﾈﾏh
*(,H
例1(1)の式を展開せよoまた,(2)∼(5)の式を因数分解せよo
ｷ
?
ﾘ
,ﾉ5x､ｨ."
(1)(X+y+2)3(2)27X3+64(3)X3-125y3
(4)8X3-12X2+6X-1(5)X3-y3-23-3xyz
-ﾈ+ﾒﾉ 韭 ﾈ ﾉd ." Zｩ H ,ﾈ賈 Xﾇh螽, (*(,Iyﾘ +Rﾈｬ
(*(,Hﾇh螽/
+x.
,f
, 例2(a+2b)7を展開せよo
2.二項定理を活用できるo
例1(1+2a-3b)7の展開式におけるa2b3の係数を求めよo
例2(亮+1)5の展由式醸ける定数項を求めよo
例3次の等式が成り立つことを証明せよo
nco-辛+幸一..--+(-1)n掌一手 1
例4101100の下位5桁を求めよ○
例52951を900で割ったときの余りを求めよ0 3.整式の除法,割り算の基本等式を活用でき るo
例12X2-X-1で割ると,商が4X+5,余りが-2X+1
である整式Aを求めよo
例2X4+3X3+2X2-1を整式Bで割ると,商がX2+1,
余りが-3ズー2であるo整式月を求めよ0 4.分数式の四則計算ができるo
例1次の計算をせよo
X+lxl (1)而こす-手こす(2)X24.4-X_2十xi2
111 (3)(X+1)(X+3)+(X+3)(X+5)+(X+5)(X+7)
(4)ゼ±些±旦ゼ型 ∫+3∬+4
(5)芸を一誌至芸≡;.芸≡芸
例2次の式を簡単にせよo
1
`1)去(2)1-妄
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(1) 宙42
しヽ
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ろ 舒馮ｹ4
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85
ｸ6
Jﾙ5z2
5.恒等式の性質を理解し利用する○
,h/
ｸ
ﾈ+ｸ.ｨ.x,ﾂ
,
x/
例1次の等式が∬についての恒等式となるように,定数α,
w
*(,H
b,C,dの値を係数比較法を用いて定めよ○
ax3+25X2+bx+6-(X+3)(cx+1)(3X+d)
次の等式がXについて.の恒等式となるように,定数a,
冀,Cの値を数値代入法を用いて定めよo
X2-13X+13-a(X2-1)+b(X+1)(X-2)+C(X-2)(X-1)
1 例3等式(X.1,(X.2,(X+3,-7fT.諾2.ますが
Xについての恒等式となるように,定数a,b,Cの値を
定めよ○
例4次の等式がX,yについての恒等式となるように,定数
a,b,Cの値を定めよム
6X2+17xy+12y2-1lx-17y-7
-(axp+3y+b)(cx+4y-7)
6.等式の証明ができるo
例1次の等式を証明せよ○
(1)a5-b5-(a-b)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4)
(2)(a-b)2+(b-C)2+(C-a)2
-顎a+b+C)2-可ab+bc+ca)
例2a+b+C-0のとき,等式が成り立つことを証明せよo
(1)a2+2b2-C2+3ab+bc-0
(2)a3+b3+C3--耳a+b)(b+C)(C+a)
例3%-圭子のとき,等式篇-競器が
成り立つことを証明せよ0 7.比例式を条件とするときの式の値が求められるo
例1宇-y芸2-雪ヱ(≒o)のとき,Xy'yZ'ZX x2+y2+Z2
の値を求めよo
例2-ijiヱ土旦a+bのとき,この式の値を求めよo a=b=C
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(1)
Vヽ
ろ
な
式
ﾘ)9乂xﾕｨｧy￨ﾘ5
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8.不等式の証明ができる○
レヽ 剽
ろ
ﾉ
次の不等式を証明せよoまた,等号が成り立つのは
凾ﾇのようなときかo
1)X2-6xy+10y2≧4Jト-4
2)(a2+b2)(X2+y2)≧(ax+by)2
3)a≧0,b≧0のとき5J百十3JT≧耶
4)a≧0,b≧0のときJ訂+JF≦将了町
例2次の不等式を証明せよo
(1)a2十b2+C2≧ab+bc+ca
(2)a4+b4+C4≧abc(a+b+C)
(3)X20,y≧0のときlfx.1王,≧瑞
(4)X≧0,y≧0,2≧0のとき
lfx.1苦,.1三Z≧1.雲荒 9.絶対値の性質を利用して不等式の証明ができるo
例1次の不等式を証明せよo
(1)Ia+bl≦laL+lbI
(2)lal-lbl≦la+!bl
(3)la+b+cl≦laI+Fbi+lcl
10.相乗平均.相加平均の大小関係を利用して不等式の証明
や式の最小.最大の問題が解けるo
例1α,古か正の数のとき,不等式が成り立つことを証明せよ
また,等号が成り立つのはどのようなときれ
(1)a.2+ 品≧6(2)(a.i)(b.‡)≧18
例2X>0のとき,X+xl+62の最小値を求めよo
例3X,0,y,0のとき,(3X.2y,(主音)の最′順を
求めよo
例4X2.2X.‡-xi2.2は,X-ア口のとき,
最′順イ口をとるoただし,X,0とするo
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(1)
8ﾘ(鴿_ｹ/h
しヽ 宙4
ろ
しヽ
H/
Z
i
兒
i
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H,ﾈ賈
ﾉ
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ｸ6
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ll.複素数の加法,減法,乗法の計算ができる○負の平方根
H,i?
鴿_ｹ/h
H-ﾈ,Xｦy*8+x.
Xﾇh螽/
ろ な 式 俾 ﾈ ,ﾈ顥} ﾉKｹ¥ｨｷ
8ｶ
+x.
/
,f
の定義を理解し,負の平方根の計算ができるようになる○
yﾘ
+RﾉZ
-ﾈ+ﾒﾉ?
例1次の計算をせよo
鴿_ｹ/b
,hﾅy H,ﾈｭhﾅx, " *(,Iyﾘ +x.
(1)(4+5i)-(3-2i)(2)(2+i)2
,h ｲ (3)J-=27√=TF(4)(2+√二百)(3-√二百)
12.共役複素数の和,積の性質を利用して複素数の減法計算
ができ,さらに複雑な式の計算を工夫できるo
例1次の計算をせよ○
･1)32≡……(2)業苦一丁完(3)誌宗
(4)(2+i)3+(2-i)3(5)(JF+i)4+(J5--i)4
(6)(i-i)(i+i)i3(W.i2.i3..-...i50
例2X=二1±∠聖,y=二ヒ逆であるとき, 22
(1)X+y(2)xy(3)X2+y2
(4)X3+y3+X2y+xy2
13.複素数の相当条件を理解し,問題解法に利用できる○
例1等式を満たす実数X,yの値を,それぞれ求めよo
(3+2i)X+2(I-i)y-17-2i 例213吉芋が(1)実数(2)鵬数となるように,
実数∬の値を定めよo 例32乗すると6iになるような複素数2-X+yiを求めよ.
ただし,(X,yは実数)
14.係数が実数である二次方程式を複素数の範囲で解けるo
例1次の2次方程式を解け○
(1)3X2+5X-2-0(2)2X(3-X)-2X十3
(3)去X2-与X.圭o
(4)(J3--1)X2+2X+(JBL十1)-0
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(1)
Vヽ
ﾉ
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15.係数に虚数を含む二次方程式の問題が解けるo
剽
Xの方程式(i+1)X2+(A+i)X+ki+1-0が実数解を
ろ い ろ 凾烽ﾂとき,実数kの値を求めよ..i2--1とする0 16.二次方程式の判別式を理解し応用できるo
な 式 剽
2次方程式の解の種類を判別せよokは定数とするo
(1)X2-3X+1-0(2)4X2-12X+9-0
(3)-13X2+12X-3-0(4)X2-(k-3)X+k2+4-0
(5).X2-(k-2)X.考+5-0
17.2次方程式の解と係数の関係を問題解法に利用できるo
例12次方程式2X2+8X-3-0の2つの解を.α.βとする.
(1)α2β+αβ2(2)耳3-α)(3-β)
(3)α3+β3(4)α4+β4
(5)去.与(6)豊十号
例22次方程式X2-(k-1)X+A-0の2つの解の比が
2:3となるとき,定数kの値を求めよo
例3Xの2次方程式X2-2kx+k-0(kは定数)が異なる
2つの解α,α2をもつとき,αの値を求めよ0 18.2次方程式?解と2次式の因数分解の関係を理解し利用
するo
例1次の式を,複素数の範囲で因数分解せよo
(1)J3Lx2-2JTx+Jg(2)X4-81
(3)X4+2X2+49 19.2次方程式の解から2次方程式を作成できるo
例1二ユ±∠聖二ヒ塾を2つの解とする2次方程 22
式を1つ作れb
例2和が3,積が3である2数を求めよo
例32次方程式X2-2X+3-0の2つの解をα,βとする
とき,α+与,β亮を解とする2次方程式を1--
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(1) 宙42
i
しヽ
ろ
I.謁ﾘ,hﾘ(鴿_ｹ/h
ﾉ
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ｸ6
Jﾙ5z2
例42次方程式X2+Px+q-0の解をα,βとするとき,
数α2,β2を解とする2次方程式の1つが
儿2-4X+36-0であるという○
しヽ
な 式
ろ
凾ｱのとき,実数の定数?,qの値を求めよo
0.2次方程式の実数解の符号とその同値関係式を理解し利
用できるo解の存在範囲の問題ができるo
例12次方程式X2-(a-10)X+a+14-0が次のような解
をもつように,定数αの値の範囲を定めよ○
(1)異なる2つの正の解(2)異符号の解
例22次方程式∬2-2か+♪十2-0が次の条件を満たす解
をもつように,定数クの値の範囲を定めよo
(1)2つの解がともに1より大きいo
(2)1つの解は3より大きく,他の解は3より小さい0 21.剰余の定理を理解し問題の解答に応用できるo
因数定理について理解し,簡単な高次方程式 凭
韭
を,因数定理などを用いて求めることo 浮ﾓ(,XｨH.
式の解の種類の判別及び解と係数の関係につ 凭
いて理解することo
)
c5さYuﾘ.鑓+
ｒﾕ
bﾓYuﾘ.
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ｶ'ふ
h*ｲﾉ.
ｘ/
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ﾕさ8,XｨH.
ﾆ(,ﾉ&ﾈ/
,XｨH.
ｘ/
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cEふ9uﾘ.で
｢ﾂ
.f
ﾓH,XｨB
ｳ9zrｳ(,XｨB
つた余りを求めよo
例3整式P(X)をX+1で割ると余りが-2,X2-3X+2で
割ると余りが-3X+7であるというoこのとき,P(X)
を(X十1)(X-1)(X-2)で割った余りを求めよo
22.因数定理を理解し問題の解答に応用できるo
例1次の式を因数分解せよo
(1)∬3-∬2-10ズー8
(2)2X4-3X3-X2-3X+2
例2X-1+JTiのとき,次の式の値を求めよo
P(X)-X4-4X3+2X2+6X-7
例3次の方程式を解けo
(i)X3+3X2+4X+4-0
(2)2∬4+5∬3+5∬2-2-0
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(1)
ﾒ
4
しヽ
ろ
+ﾉ
剽
い
ﾈ,h冷
ﾉ
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ｸ6
Jﾙ5z2
23.高次方程式を因数分解を利用して解けるo
次の方程式を解けo
ろ
1)X3-27(2)34-X2-6-0(3)X4+X2+4-0
24.1の3乗根とその性質を理解し利用できるo
な
式
剽
(2)
1の3乗根を求めよ○
剽
1の3乗根のうち,
虚数であるものの1つをWとする○
(1)W2(2)dV7+a,8(3)(a,+2dI2)2+(2血+a,2)2
(3)忘+去.1の値をそれぞれ求めよ0 25.方程式の解から方程式の係数と他の解を求められるo
例1次方程式X3+X2+ax+b-0,の解のうち,2つが-1
と-3であるとき,定数α,あの値と他の解を求めよo
例2次方程式X3+ax2+bx十10±0の1つの解がX=2+i
であるとき,実数の定数α,∂の値と,他の解を求めよ0 26.3次方程式の解と係数の関係を理解し利用できるo
例13次方程式X3-3X十5-0の3つの解をα二β,γとする
とき,α2+β2+γ2,(α-1)(β-1)(γ-1),α3+β3+γ3
の値をそれぞれ求めよo
例23次方程式X3-2X2-X十3-0の3つの解をα,β,γと
するとき,α+β,β+γ,γ+αを解とする3次方程式を
1つ作れo 1.数直線上の線分の距離,内分点,外分点を求められるo
図 宙4
,i+ﾉ
形 俐
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Zｨ+x.
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,ﾈ見'X.)?
5
ﾈ+ﾒﾈﾜ
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式
例1数直線上の3点A(-2),B(1),C(5)について,線分AB
*(,Bﾉ[ﾙlｨ
方
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8,ﾉ+ﾉ
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ﾈ,ﾈ見'Xｭhﾅx,
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Zｨ+x.
Uﾈ+x+
ﾂ
,f
,YUﾈ+Rﾈ+ｲ
,乖駅
を3:2に内分する点をP,3:2に外分する点をQ,2:3
に外分する点をR,線分ABの中点をMとするo
(1)線分AB,CAの長さを求めよo
+x.
(2)点P,Q,R,Mの座標を,それぞれ求めよo
(3)点Aは,線分RBをア[=]:イ⊂コに内分し,
線分CQをウ□:エ[=]に外分するo
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(2)
図
形
と
方
程
ﾉ
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85
6
Jﾙ5z2
2.平面上の2点間の距離を理解し利用できるo
剽
2点A(1,-2),a(-3,4)から等距離にあるX軸上の
剴_Pの座標を求めよo
剽
3点A(8,9),ち(-6,7),C(-8,1)から等距離にあ
凾體_Pの座標を求めよ○
剽
3点A(4,0),B(0,2),C(α,∂)について,△ABC
式 凾ｪ正三角形であるとき,α,∂の値を求めよ0 3.平面上の線分の内分点,外分点,重心を求められるo
例13点A(5,4),B.(0,-1),C(8,-2)について,線分
ABを2:3に外分する点をP,3:2に外分する点をQ
とし,△A虻の重心をGとするo
(1)線分PQの中点Mの座標を求めよo
(2)点Gの座標を求めよo
(3)△PQSの重心が点Gと一致するように,点Sの
座標を定めよo
例23点A(1,2),B(5,4),C(3,6)を頂点とする平行四
辺形の残りの頂点Dの座標を求めよ○
例34点A(a,b),B(0,0),C(C,0)とP(X,y)があるo
Aに関してPと対称な点をQとし,Bに関してQと
対称な点をRとするoCに関してRと対称な点がPと
一致するとき,X,yをa,b,Cを用いて表せ○
4.直線の方程式と2直線の平行.垂直条件を利用できる○
例12直線ax+2y-a-0,X+(a+1)y-a-3-0は,
〟-ア口のとき垂直に交わるoまた,α-イ⊂コ
のとき,2直線は共有点をも読拒ウ[コのとき,
2直線は一致する○
例22直線X+y-4-0,2X-y十1-0の交点を通り,
点(-1,2)を通る直線の方程式を求め声
例3kは定数とするo直線(k+3)X-(2k-1)y-8k-3-0
は,kの値に関係なく定点Aを通るoその定点Aの座標
を求めよo
教科:数学 科目:数学Ⅱ
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(2) 宙42
図
形
と
方
程
式
剽
ﾉ_ｹ/h
ﾉ
ﾘ)9乂xﾕｨｧy￨ﾘ5
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ｸ6
Jﾙ5z2
5..共線条件.共点条件を理解し利用できる一〇
異なる3点(1,1),(3,4),(〟,α2)が同じ直線上に
凾
剽
るとき,定数αの値を求めよo
3直線5X-2y-3-0,3X+4y+19-0,
兮2X-ay+12-0(a≒0)が1点で交わるとき,
剪關買ｿの値を求めよ○
剽
異なる3直線2X+y-5.../①,4X+7y-5-②,
ax+by-5..--③が1点で交わるとき,3点(2,1),
(4,7),(α,a)は,同じ直線上にあるこ､とを示せo
6.線対称を理解し応用できるo
例1直線X+2Jト-3-0をRとするo次のものを求めよo
(1)直線Bに関して,点P(0,-2)と対称な点QQ)座標
(2)直線Rに関して,直線m:3X-y-2-0と対称な
直線nの方程式
例2xy平面上に2点A(3,2),B(8,9)があるo点Pが
直線B:y-X-3上を動くとき,AP+PBの最小値
と,そのときの点ーPの座標を求めよ. 7.点と直線の距離の公式を理解し応用できる○
例12直線5X+4y-20,5X+4y-60間の距離を求めよo
例2点(2,1)から直線kx+y+1-0に下ろした垂線の
長さがJ3-であるとき,定数kの値を求めよo
例3放物線y-X2上の点Pと,直線X-2y-4-0上の
点との距離の最′日直を求めよCまた,そのときの点Pの
座標を求めよ0 8.円の方程式を理解し応用できるo
座標平面上の円を方程式で表し,それを円 凭
と直線の位置関係などの考察に活用することo
$
95
$8,ﾈ､
ふ"ﾃb墜"
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ﾂﾓ2墜2コﾂﾓ
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ｸ
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ｲ
例2次の円の方程式を求めよo
(1)X軸とy軸の両方に接し,点A(-4,2)を通るo
(2)点A(1,1)を通り,y軸に接し,中心が直線y-2X
上にある○
例3方程式X2+y2+5X-3y+6-0はどんな図形を表すかo
例4方程式X2+y2+2px+3py十13-0が円を表すとき,
定数♪の値の範囲を求めよ∴
,h+x.
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(2)
図
ﾘ)9乂xﾕｨｧy￨ﾘ5
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ｸ6
Jﾙ5z2
9.円と直線関係を理解し応用できるo
剽
形
円X2+y2-50次の直線に共有点はあるれあるとき
凾ﾍその座標を求めよo
と
方
程
式
ﾉ
剽
儉(i)y--3X+20
2)y-X+10
3)X-2y+20-0
円(X+4)2+(y-1)2-4と直線y-ax+3が異なる
2点で交わるとき,定数αの値の範囲を求めよo
例3直線y-X+2が円X2+y2-5によって切り取られる
弦の長さを求めよ○
例4円(X-1)2+(y-2)2-25上の点P(4,6)における接線
の方程式を求めよo
例5点(2,1)を中心とし,直線5X+12y+4-0に按する
円の方程式を求めよo
例6円X2+y2-2X-4y-4-0に接し,傾きが2の直線
の方程式を求めよ○
例7点P(-5,10)を通り,円X2+y2-25に接する直線
･の方程式を求めよo
例8点(5,6)から円X2+y2-9に引いた2つの接線の接点
をP,Qとするとき,直線PQの方程式を求めよ0 10二2つの円の位置関係を理解し応用できるo
例1円X2+y2-r2(r>o)-①
X2+y2-8X-4y+4-0-②について
(1)■円①と円②が内接するとき,定数′の値を求めよo
(?)円①と円②が異なる2点で交わるとき,定数Yの値
の範囲を求めよo
例22つの円X2+y2-5-①
X2+y2+4X-4yT1-0.-②について
(1)2円の共有点の座標を求めよo
(2)2円の共有点と点(3,0)を通る円の中心と半径を求めよo
例3円X2+y2-25と直線y-X+1の2つの交点と原点0
を通る円の方程式を求めよ○
例4′円X2+y2-2kx-4ky+16k-16-0は定数kの値に
かかわらず2点を通るoこの2点の座標を求めよo
教科:数学 科目:数学Ⅱ
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(2)
8ｴ
X,i￨ﾈ暫
ﾉ
ﾘ)9乂xﾕｨｧy￨ﾘ5
85
ｸ6
Jﾙ5z2
例5円Cl:X2+y2-4と円C2:(X-5)2+y2-1の共通
図 形 と 方 程 式 剞ﾚ線の方程式を求めよ0 ll.色々な条件の軌跡の問題を解けるQ
軌跡について理解し,簡単な場合について 凭
軌跡を求めることoまた,簡単な場合につい
)5
8,(,ﾉ+
て,不等式の表す領域を求めたり領域を不等 凭
)_ｩZ
式の表す領域を求めたり領域を不等式で表し 防*｣
決
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,h+x.薬
,ﾈｴ
を求めよo
例3放物線C:y-X2と直線Q:y-m(X-1)は異なる
2点A,Bで交わっているo
(1)定数mの値の範囲を求めよo
(2)mの値が変化するとき,線分ABの中点の軌跡を求めよo
例4mが実数全体を動くとき,次の2直線の交点Pは
どんな図形を描くかo
mx-y-0-①,X+my一m-2-0-②
12.色々な不等式の表す領域を図示できるo
例1次の不等式の表す領域を図示せよo
(1)lx+2^≦6
(2)l叫+ly+lI≦2
(3)(X+y--2)(y-X2)>0
(4)(X2+y2-4)(X2+y2+4X-5)≦0
13.領域の最大.最小問題が解けるo
例lx,yが2つの不等式X2+y2≦10,y≧-2X+5を満
たすとき,X+yの最大値および最小値を求めよ.
例2連立不等式2X-3y≧-5,5X-y≦7,X+5y≧-9
の表す領域を.Aとするo点(∫,γ)が領域Aを動くとき
X2十y2-6yめ最大値と最小値,およびそのときの
X,yの値を求めよ.
14.図形の通過領域の問題が解けるo
例1直線y-2ax+a2-①で,aがすべての実数値を
とって変化するとき,直線(Dが通りうる領域を図示せよo
R
教科:数学 科目:数学Ⅱ
学習指導要領
(3)
轌
描 宙4
敬 倡y
関敬対
Hｭi
倡y
H/
H*
,f
ﾘ)9乂xﾕｨｧy￨ﾘ5
85
ｸ6
Jﾙ5z2
1.指数法則や累乗根の性質を利用して,対称式の計算や
H,ﾈｦy*2
8,ﾉ
yﾘ +x.
B
ﾉ
ytﾉyﾙ
乗法公式に活用できるo
Bﾘｦy*8+x.
8ｶ
例1α>0,∂>0とするo次の式を計算せよo
2倡y Hｭi H,h+ｸ,ﾈ4 8 B 轌 Hｭi H,h+ｸ,ﾈ4 8 H,ﾉ< *X, (*(,Iyﾘ
(1)(昨+昨)(挿 一身甘)(押+節+秤)
(2)(a毒+b一言Xa与+b弓)(aLb-i)
例2α>0で.9〃+9-〟-14のとき,次の式の値を求めよo
数
関 数
1)3〃+3-
〃(2)3〃-3-〟
3)27a+27-a(4)270-27-a 2.指数関数のグラフの特徴を理解しグラフをかけるo
し,それらを事象の考察に活用することo 凭
鵁,ﾈｭi
H,ﾈ4
8
H/
*
(1)y-2X+1
(2)y-(i-)X-1
(3)y-3X-1
3.累乗.累乗根の大小比較ができるo
例1次の各組の数の大小を不等号を用いて表せo
111
I(1)27,47,8官(2)J2-,拷,y6-
(3)230,320,1010(4)4,秤,2JT,3JF
141
(5)107,37,9;
4.指数方程式.指数不等式が解けるo
例1次の方程式,連立方程式,不等式を解けo
(l)4｣2X+2-32-0
･2,(≡.-,3=y2=7-6
(3)8∫-3.4ズー3.2∬丁1+8〒0
(4)耳3X+3-X)一列9X+9-X)+6-0
(5)2.4∬-17.2∬+8<0
(6)25ズー3.5ズー10≧0
(7)16X-1<45-∬<8X
教科:数学 科目:数学Ⅱ
学習指導要領
(3)
9
Hｭi
B
ﾉ
ﾘ)9乂xﾕｨｧy￨ﾘ5
85
ｸ6
Jﾙ5z2
5.指数関数の最大値.最小値問題が解ける○
描
剽
敬
刳ﾖ数y--4-X+a.2-X+2が最大となるXの値と,
関
aは定数とする.0≦X≦1のとき,
凾ｻのときの最大値を求めよo
数
剽
対
敬
関 敬
関数y-6(2'+2-X)-2(4X+4-X‖こついて,
X+2-X-tとおくとき,yをtを用いて表せo
また,yの最大値を求めよo
.対数の性質を用レナて,色々な計算ができるo
(ア)対数
凭
鵁,ﾈ
/
ｬ
対数の意味とその基本的な性質について理解 茶
免
,
s##r
f
s3cB
し,簡単な対数の計算をすること○ (イ)対数関数とそのグラフ 茶"中ﾆ
s#銚ﾆ
s
s#T･C#Rﾒ
茶
s3
s#s
bｶﾆ
s釘
(3)(10g53+log259)(log95-10g325)
例210g23-〟,10g35-あのとき,log210とlog1540を
α,古で表せo
例310g,a弓,log,b尋,l暇C-意のとき,
＼ lo■gabcXの値を求めよo
例4910g35の値を求めよ○
例52X-3y-62(xyz≒0)のとき,1+1-1の値を XyZ
求めよ0 7.aを底とするいろいろな対数関数のグラフとy-logax
対数関数とそのグラフの特徴について理解し
ﾈ4
それらを事象の考察に活用することo 凭
8
H,ﾈ見'Xｭhﾅx/
鵁,ﾈｭi
H,ﾈ4
8
yﾘ
H/
+Rﾈ4
*
8
H*ｨ*
ﾈ+ﾒﾈｭi
.薬
G椿ﾆ
グラフとの位置関係をいえo
∫-1 (1)y-logs(X-2)(2)y-log3去(3)y-10g3-1｢
8.複雑な対数方程式や対数不等式が解けるo
例1次の方程式を解け0.
(1)log3(ズー2)+10g3(2ズー7)-2
(2)log2(∬2-ズー18)-log2(ズー1)-3
(3)log4(X+2)+logiX-0
(4)(log3X)2-210g3X-3(5)log2X+610g,2-5
s5
ﾂ
教科:数学 科目:数学Ⅱ
学習指導要領
(3)
ﾘ)9乂xﾕｨｧy￨ﾘ5
85
ｸ6
Jﾙ5z2
例2次の不等式を解けo
指
敬
ﾉ
1)logo.3(2-〟)≧logo.3(3∬十14)
関
敬
対
数
関
2)log2(ズー2)<1+log与(ズー4)
(3)(log2X)2-10g24X>0(4)2-10g与X>(log3X)2
9.対数関数の最大値,最小値の問題が解けるo
例11≦∬≦8のとき,次の関数の最大値と最小値を求めよ○
関数y-(log2X)2+810g12X+log232 7
敬
剽
1≦X≦5のとき,関数y-210g5X+(10g5X)2の
最大値と最小値を求めよo
例3与≦X≦27のとき,関数y-(log33X)(log3昔)の
最大値と最小値を求めよo
例4X≧2,y≧2,xy-16のとき,(10g2X)(log2y)の
最大値と最小値を求,そのときのX,yの値を求めよ0 10.対数や指数の大小関係を求められるo
例1次の各組の数の大小を不等号を用いて表せo
(1)1.5,10g35(2)2,log49,10g25
(3)logo.53,logo.52,10g32,10g52 ll.常用対数を活用できるo
例110g102-0.3010,10g103-0.4771とするo
(1)log105,10g100.006,10g10J72-の各値を求めよo
(2)650は何桁の整数か○
･3)(i)100を小数で表すと,小楯何眺初めて0でない
数字が現れるれlog103-0.4771.とするo
(4)3nが10桁の数となる最小の自然数nの値を求めよo
(5)3進法で表すと1(氾桁の自然数Nを,10進法で表す
と何桁の数になるかo
(6)1260はア□桁の整数であるoまた,その最高位の
数はイ[=]で,､-の位の数はウ⊂コであるo
ただし,log102-0.3010,10g103-0.4771とするo
教科:数学 科目:数学Ⅱ
学習指導要領
(3)
指
9
Hｭi
宙4
数
H,ﾈ
関 数
B
B
j
Rﾈｬ
,h+ｸ,ﾈｮ馮ｹ4
,
ﾉ
ﾘ)9乂xﾕｨｧy￨ﾘ5
85
ｸ6
Jﾙ5z2
12.対数の性質を用いて,色々な計算ができるo
例1次の式を簡単にせよ○
ｸ
H,ﾈﾇh螽/
,
+x.
(*(,Iyﾘ
,f
(1)iog227.log/364.10g25JT25-.10g2781
｢
(2)(log29+log83)(10g316+log94)
(3)(log53+10g259)(log95-10g325)
対
敬
関
剽
10g23-a,10g35-bq)とき,log210と10g1540を
a,bで表せ.
例310g,a-与 ,logxb弓,logp意のとき,
敬
冤ogabcXの値を永めよo
例4910g35の値を求めよo
例52X-3y-62(xyzキ0)のとき,圭i言の値を
求めよ0 13.aを底とするいろいろな対数関数のグラフとy-logax
のグラフの位置関係を理解し,グラフがかけるo
例1次の関数q)グラフをかけoまた,関数y-10g3Xの
グラフとの位置関係をいえo
(1)y-logs(X-2)(2)y-log3去(3)y-log39 X-1 14.複雑な対数方程式や対数不等式が解けるo
例1次の方程式を解けo
(1)log3(X-2)+log3(2X-7)-2
(2)log2(X2-X-18)-log2(X-1)-3
(3)log4(X+2)+10g与Xと0
(4)(log3X)2-210g,X-3
(5)log2∬+610g∬2-5
例2次の不等式を解けo
(1)logo.3(2-X)≧logo.3(3X+14)
(2)log2(X-2)<1+log与(X-4)
(3)(log2X)2-10g24X>0
(4)2-10g与X>(10g3X)2
教科:数学 科目:数学Ⅱ
学習指導要領
(4)
角 乂
関
ｧ
,ﾈ･ID
,ﾈｦy*2
/
自Lｨｧ
ﾉ
ﾘ)9乂xﾕｨｧy￨ﾘ5
85
ｸ6
Jﾙ5z2
1.弧度法で扇形の面積や周の長さを多面的に考察できる○
-ﾈ,Xｦy*8+x.
h.乂 7 ﾉUﾈ+Y_ｸ, (*(,Iyﾘ +x.
,f
8ｶ
.(ﾌｩ7嬰
48蓼ｧ ｭi B
例1周囲の長さが12cmの扇形の面積が最大となるときの
倅 ｧ ｭi H,h+ｸ,ﾈ4 8 B 扇形の半径と中心角を求め,さらにその面積を求めよ○
敬 凾ｽだし,中心角はラジアンで解答せよ0 2.三角関数のグラフをかくことができるo
三角関数とそのグラフの特徴について理解 凭
潰6匁X,ﾈ4
8
H/
することo (イ)三角関数の基本的性質 三角関数について,相互関係などの基本
.
,h,鎚鵁,ﾈｭi
H,ﾈ4
8
H/
ﾇ潰6問 ﾖ鋳窿"ﾇ壷u 呈覲 ﾇ潰6冶
例2次の関数のグラフをかけoまた,その周期を求めよo
･1)y-2cos(20-W,(2)y-与sin(昔.昔) 3.基本対称式を利用し,対称式や交代式の値を求めるこ
的な性質を理解することo
ｨ,X*ｸ.
ｲ
例lsine.cose-与とするo次の式の値を求めよ.
(1)sinβcosβ,sin3β+cos3♂
(2)i打<C.<2打のとき,sine-cose 4.式の変形を利用して,三角関数を含む方程式や不等式
解を求めることができるo
例10≦e<27Tのとき,次の方程式,不等式を解け.
･1)JFsin(0.号)-1
(2)2cos2β+sin∂-1-0
･3,与≦cose≦去
･(4)tanβ≧寺
(5)2cos(2♂.一号)≦-1
(6)2sin2β+5cosβ-4>0
*
教科:数学 科目:数学Ⅱ
学習指導要領
(4)
ﾘ)9乂xﾕｨｧy￨ﾘ5
85
ｸ6
Jﾙ5z2
X蓼ｧ ｭi H,ﾈ d .謁ﾒ 蓼ｧ ｭi H,ﾈ d .謁ﾘ/ yﾘ +Rﾈ+ｸ.ｨ/ w *(,B 5.三角関数の最大や最小について考察できるo
角
剽
関
数
ﾉ
y-2acose.2-sin20(-号≦e≦号)の最大値を
刄ｿの式で表せo
剽
関数y-4sin20-4cose+1(0≦e<2汀)の最大値と
最小値を求めよoまた,そのときのβの値を求めよ0 6.加法定理を理解し,点の回転移動に応用できるo
2倍角の公式を導くことo 凭
5
ﾃ
ﾉ5
ﾃB
(i
8,h+X,Hﾘh+
させた点をQとするo
(1)点Aが原点0に移るような平行移動により,点Pが
点P′に移るとするo点P′を原点0を中心として号
だけ回転させた点Q′の座標を求めよo
(2)点Qの座標を求めよ0 7.加法定理を理解し,様々な問題を多面的に考察できる○
例1sinα-sinβ〒与,cosα.cosβ弓のとき,
cos(α+β)の値を求めよo
例2直線y-2X-1と言の角をなす直線の傾きを求めよo
例3号<e<汀,Sine-号のとき,
cos26,sin20,tan号の値を求めよ0 8.三角関数の合成を様々な問題の解法に利用できる○
例10≦e≦打のとき,次の方程式,不等式を解けo
(1)cose+J3-sine+1-0(早)cos20+sin20+1>0
例2関数の最大値と最小値と,.そのときのβの値を求めよo
ただし,0≦e≦打とするo
･1)y-cose-sine(2)y-sin(C.Lin)-coseb
例30≦e≦号のとき,関数y-Gsinecose+cos20
の最大値と最小値と,そのときのβの値を求めよo
5ﾒ
教科:数学 科目:数学Ⅱ
学習指導要領＼
(5) 微
OyZｨ,ﾈﾖﾈ*b
分 積 分 唳OyZｨﾅy
H.);
儖yZｨﾅy
ｭi
H,ﾈ
j
ﾉ
H,i;
,
ﾘ)9乂xﾕｨｧy￨ﾘ5
ｭi
B
(*(,Iyﾘ
数の定数倍,和及び差の導関数を求めるo ∼
85
ｸ6
Jﾙ5z2
1.微分係数の定義を理解し,関数の極限の問題が解けるo
+Rﾈｭb
.
例1関数f(X)-X2-Xの曲線y-I(X)上の点A(i,I(i))
ｩ
ﾈ,ﾈﾅ
ｸ*｢ﾓ
,h,
h*ｲﾆh,ﾉ&ﾈ/
ｸ
-
例2等式lim更土空士と=3を満たす定数a,bの値を求 ∬ー1ズー1
の
･考 え 剽
凾ﾟよ○
1imf(a-3h)-I(a)をf′(a)を用いて表せo h→Oh
2.さまざまな関数について,定義にしたがって導関数を
求めることができるoまた,積と累乗の微分公式を使
えるようになるo
例1開削-与を導関数の定義にしたがい微鮒よo
例2((ax+b)2)′-2a(ax+b),((ax+b)31′-3a(ax+b)2
tf(X)g(X))′-f′(X)g(X)+I(X)g′(X)であることを用いて,
次の関数を微分せよo
(1)y-(2X+1)2(2)y-(X-l)3(3)y-(-2X+1)3
(4)y-(X+1)(X2-3)(5)y-(4X-3)2(2X+3)
3.導関数の条件から関数を決定できる○
例1関数f(X)-2X3+3ヂ2-8Xについて,X--2に
おける微分係数を求めよo
例22次関数f(X)が次の条件を満たすとき,I(X)を求めよo
∫(1)ニー3,′′(1)ニー1,′′(0)-3
例32次関数f(X)-X2+ax+bが2f(X)-(X+1)f′(X)+6
を満たすとき,定数〃,みの値を求めよo
4.微分の考えを活用し応用問題が解けるo
例1地上から真上に初速度49m/Sで投げ上げられた物体の
t秒後の高さhはh-49i-4.9i2(m)で与えられる.
この運動について次のものを求めよo
(1)1秒後から2秒後までの平均の速さ
(2)2秒後の瞬間の速さ
例2半径10cmの球があるo毎秒1cmの割合で球の半径が
大きくなっていくとき,球の体積の5秒後における変化
率を求めよo
.h
ｲ
教科:数学 科目:数学Ⅱ
学習指導要領
(5)
2
微
剽
分
積
ｭi H,ﾈ咎w
ﾉ
ﾘ)9乂xﾕｨｧy￨ﾘ5
85
ｸ6
Jﾙ5z2
; ｭi H/ w *(,Hｭi H,ﾉ&ﾈ,ﾉ ﾘﾋ (ｼ R霈傅ﾂ 5.接線.法線の方程式が色々な条件で求められるo
曲線y-X3上の点(2,8)における接線の方程式
剽
曲線y--X3+Xに接し,傾きが-2の直線の方程式
例3点(2,-2)から,曲線y-ix3-Xに引いた-の
分
の
考
剳羽
ス_
剽
式
曲#y-ix3-号Xの点(2,-普)における-の
方程式
例52つの放物線y--X2,y-X2-2X+5の共通接線の
方程式 6.3次関数や4次関数,絶対値を含む関数の増減表が作
を調べ,グラフの概形をかくことoまた,微
｢ﾈ4
8
分の考えを事象の考察に活用することo 凭
鵁,ﾈｭi
H,ﾈ･Hﾆ
*ｨ*
H,ﾈ4
H/
8
.薬
*
ｲ
(1)y--X3.6X2-9X.2(2)y-ix3.X2+X.3
例2次の関数の極値を求め,そのグラフの概形をかけo
(1)y-3X4-16X3+18X2+5
(2)y-X4-8X3+18X2-ll
例3関数y-lx3-X2Iのグラフをかけo
7.3次関数のグラフの対称性を理解し応用できるo
例1a-は定数とするOf(X)-X3+ax2+ax+1が
X-α,β(α<β)で極値をとり,I(α)+I(β)主2
となるとき,定数〃値を求めよ0 8.3次関数について,いろいろな条件で最大値.最小値を
考えることができるo
例1aを正の定数とする03次関数f(X)-X3-2ax2+a2X
の0≦X≦1におけ奇最大値M(a)を求めよ○
例2f(X)-X3-6X2+9Xとするo区間a≦X≦a+1に
おける′(〟)の最大値〟(α)を求めよo
例30≦X<2打のとき,関数y-2sinxsin2X-cosx+2
の最大値と最小値,およびそのときのガの値を求めよo
教科1二数学 科目:数学Ⅱ
学習指導要領
(5)
9
Zｨ,ﾈﾖﾈ*b
微
儻9.
ﾉ
Zｨ,i.
ﾘ)9乂xﾕｨｧy￨ﾘ5
Z｢
85
ｸ6
Jﾙ5z2
9.具体的な事象の考察を微分の考え方を用いることができ
凾駮
分 積 分 剽
半径αの球に内接する円柱の体積の最大値を求めよo
また,そのときの円柱の高さを求めよ0 10.定数項や係数が文字の場合の3次方程式の実数解の個
の
剞狽
考
剽
ス_
剽
,曲線と直線の共有点を考えることで考察やきるo
方程式2X3-6X+3-0の異なる実数解の個数を求めよo
αは実数の定数とするo方程式2∬3-6∬+3-α-0
の異なる実数解の個数を調べよo
例33次方程式X3-3a2X+4a-0が異なる3個の実数解
をもつとき,定数βの値の範囲を求めよ0 ll.導関数と不定積分の関係を理解できるo
不定積分及び定積分の意味について理解し,
ｩ
ｼ
関数の定数倍,和及び差の不定積分や定積分 を求めることo I
ﾇ綴着ｘ*ｩ5
ﾃ
. ｩ ﾈ,ﾈﾅ ｸ*ｨ
,ｨ.なﾕ
て着ｒ
ﾓ ,X* . h*ｲﾈ r r
12.定積分の性質,偶関数.奇関数,(ax+b)n,1/6の
公式など,定積分の公式を利用し計算を工夫できるo
例1定積分の性質をを利用し,次の定積分を求めよo
(1)5:(X3-3xJ2-1)dx(2)52_1(3ト1)(i.1)di
(3)5:(X.1)2d弓:(X-1)2dx
(4)io_2(3X3.X2)dx｣:(3X3.X2)dx(1)
例2偶関数.奇関数,(ax+b)nの定積分の公式を利用し
次の定積分を計算せよo
(1)圭2(2X3-ズ2-3X.4)dx
(2)5:(3X-1)4dx
例31′6公式を利用し,次の定積分を求めよ○
･1,5;(X-2'(X-3'dx(2)にJfl(X2-2X-1)dx
ｸ - .f
教科:数学 科目:数学Ⅱ
学習指導要領
(5) 宙42冤ｩ
微
.
凾
ﾉ
ﾘ)9乂xﾕｨｧy￨ﾘ5
85
ｸ6
Jﾙ5z2
Zｨ/ w *(,I+ﾉ ﾈ.(ｭi H,ﾈ4 8 H,X鈷-ﾈ.｢ 13.定積分の値が定数になることを利用して,積分方程式
解くことができる○
分 積 分 剽
次の等式を満たす関数f(X)を求めよo
(1)I(X)-6X2-X.Slj(i)dt
(2)I(X)-臣f(i)di.5こtf(i)dt.1
の 考 ス_ 剽
次の等式を満たす関数′(∫)および定数αの値を求めよ○
(1)_5:I(Ddt-X2-3X-4(2)5:I(i)di-X3-3X
例3関数f(X)-仁2(t2.i-2)diの極値を求めよ0 14.放物線や直線で囲まれた面積を工夫して求めることが
た図形の面積を求めることo
X*ｸ.薬
例1放物線C:y-X2-4X+3上の点P(0,3),Q(6,15)に
おける接線を,､それぞれ2,mとするoこの2つの接線
と放物線で囲まれた図形の面積Sを求めよo
例2次の曲線や直線で囲まれた図形の面積Sを求めよo
(1)y-X2-X-1,y-X+2
(2)y-X2-2X,y--X2+X+2
例3αを正の実数とし,.2つの放物線
Cl:y-X2,C2:y-X2-4ax+4aを考えるo
(1)ClとC2の両方に接する直線Bの方程式を求めよo
(2)2つの放物線C1,C2と直線Rで囲まれた図形の
面積Sを求めよ0 15.絶対値を含む関数や3次関数など様々な関数について,
定積分が計算でき,さらにそれらのグラフで囲まれた
部分の面積を求めることができるこ
例1臣-2Ldxとi2.lx2+X-21dxを求めよo
例2曲線y-X3-2X2-X+2とX軸で囲まれた図形の
面積Sを求めよo
例3曲線y-X3-5X2+2X+6とその曲線上の点(3,-6)
における接線で囲まれた図形の面積Sを求めよ○
教科:数学 科目:数学Ⅱ
学習指導要領
(5)
微
分
ﾉ
ﾘ)9乂xﾕｨｧy￨ﾘ5
85
ｸ6
Jﾙ5z2
16.面積の等分問題,相当問題,最大.最小閉居などを
剄H夫して求めることができる○
積
剽
曲線y-X3-6X2+9Xと直線y-mxで囲まれた2つ
の図形の面積が等しくなるような定数mの値を求めよ.
ただし,0<m<9とするo
分
剽
放物線y--X(X-2)とX軸で囲まれた図形の面積が,
の
剪ｼ線y-axによって2等分されるとき,定数aの値を
考
刹≠ﾟよoただし,0<α<2とするo
ス_
剽
点(1,2)を通る,直線と放物線y-X2で囲まれる図形の
面積をSとするOSの最小値を求め串.
例4aを正の実数とし,点A(?,a.去)と
曲線C:y-ax2およびC上の点P(1,a)を考えるo
曲線Cとy軸,および線分APで囲まれる図形の面積を
S(a)とするとき,S(a)の最小値と,そのときのaの値
を求めよo