Mathematical Methods for Physics II

¨
¥ 物理数学 II 85 (2002/12/06)
先週の quiz の解答
§
¦
垂直抗力の大きさを N として, 運動方
程式は
z
-v 0
2
d x
m 2 (t) = + mg sin θ+µ0 N (142)
x
dt
d2 z
m 2 (t) = − mg cos θ + N
(143)
dt
初期条件は,
dx
dt (0)
+v0
θ
= −v0 .
斜面から離れない条件 z = 0 と (143) から, N = mg cos θ. (142) に代
入して解くと,
1
x(t) = g(sin θ + µ0 cos θ)t2 + C1 · t + C2 .
2
初期条件より,
dx
dt (0)
= C1 = −v0 .
(144)
静止する時刻 t = T は
物理数学 II 86
(2002/12/06)
dx
dt (T ) = 0 から
v0
.
T =
0
g(sin θ + µ cos θ)
と求まる. 時刻 t = 0 から t = T までに x 方向に進んだ距離は,
¯
¯
2
¯
¯
v
0
¯.
|x(T ) − x(0)| = ¯¯−
2g(sin θ + µ0 cos θ) ¯
(145)
(146)
登った高さは, cot θ = 1/ tan θ を用いて,
v02
|x(T ) − x(0)| sin θ =
.
0
2g(1 + µ cot θ)
(147)
¨
¥ 物理数学 II 87 (2002/12/06)
先週の quiz の解答 質量 M の重りをのせてぎりぎり動き出す場合を考
§
¦
えると,
d2 x
0 = (m + M ) 2 (t) =F − µN,
dt
d2 z
0 = (m + M ) 2 (t) =N − (m + M )g
dt
よって, F = µ(m + M )g すなわち, M =
る. 問題文の前半は,
F
µg
F
µg
(148)
(149)
− m 以上である必要があ
− m > 0 を保証している.
物理数学 II 88
(2002/12/06)
¨
¥
アンケートへの記入の一部とその返事
§
¦
• きょうのやり方はよかった.
• きょうのやり方はよくなかった.
• もっとゆっくり進んでほしい
• もっと問題をたくさん解いてほしい.
• .... してほしい.
• 空欄を埋めたプリントを web に置いてほしい.
• プチテストの答案のどこが間違っていたかわからない.
• 年令と出身は.
個別にお返事できませんが, すべて読ませてもらいました. ありがとう
ございます.
物理数学 II
89
(2002/12/06)
9 単振動 (調和振動) と減衰振動
¨
¥
quiz パチンコで, 玉の速さを 2 倍にするには, ひきがねは何倍ひけばよ
§
¦
いか. パチンコで, 玉の届く高さを 2 倍にするには, ひきがねは何倍ひけ
ばよいか. 空気抵抗がある場合はどうか.
¤
¡
9.1 ばねの運動
£佐本 4.4 ¢
バネの先についた物体 (質量 m) の運動を考えよう.
自然長 : 力が加わっていないときのバネの長さ
変位 : x(t) = (変化後のバネの長さ) − (自然長)
バネの復元力
F = −k × x(t) (フックの法則)
(150)
k > 0: バネ定数 . バネの強さを表す.
大きさは変位に比例. 変位を小さくするようにはたらく Ã −kx(t)
物理数学 II
90
(2002/12/06)
変位を小さくするようにはたらく (だからマイナス).
m
k
x=0,F=0
x
0
x>0,F<0
x
x
運動方程式は
x<0,F>0
d2 x
m 2 (t) = −kx(t).
dt
(151)
物理数学 II
すなわち
91
d2 x
2
(t)
+
ω
x(t) = 0.
2
dt
(2002/12/06)
(ω =
p
k/m)
(152)
これの解を教えちゃおう. C1 , C2 は積分定数として,
公式
56
(153)
はこの微分方程式の解. なぜなら
d2
d2
x(t) = 2 (C1 cos(ωt) + C2 sin(ωt))
2
dt
dt
d
= (−C1 ω sin(ωt) + C2 ω cos(ωt))
dt
=(−C1 ω 2 cos(ωt) − C2 ω 2 sin(ωt))
= − ω 2 (C1 cos(ωt) + C2 sin(ωt)) = −ω 2 x(t).
実は, これ以外の解はない (来年, 数理モデル基礎 I で学びます).
(154)
物理数学 II
92
(2002/12/06)
このような運動を 単振動 (調和振動) という.
例題 14 次の微分方程式を解き, 初期条件 x(0) = 1, dx
dt (0) = 0 から積分
定数を決めよう.
d2 x
(t) + x(t) = 0
(155)
2
dt
57
物理数学 II
93
(2002/12/06)
9.2 空気抵抗のもとでのばねの運動
速度に比例する空気抵抗 −c ·
dx
dt (t)
もある場合を考えよう.
d2 x
dx
m 2 (t) = −kx(t) − c (t).
dt
dt
d2 x
k
c dx
(t) +
(t) + x(t) = 0.
2
dt
m dt
m
(158)
(159)
このときの運動を 減衰振動 という.
一般に,
d2 x
dx
(t) + b · x(t) = 0.
(t) + a ·
2
dt
dt
というタイプの微分方程式を考えよう.
(a,b は定数)
(160)
物理数学 II
94
(2002/12/06)
例題 15
dx
d2 x
(t) + 3 ·
(t) + 2 · x(t) = 0.
2
dt
dt
58
dx
x(0) = 1,
(0) = 0.
dt
(161)
物理数学 II
95
(2002/12/06)
実は, 任意の C1 , C2 に対して,
x(t) = C1 x1 (t) + C2 x2 (t) = C1 e−t + C2 e−2t
(165)
も解になっている. なぜなら,
左辺
d2
= dt2 (C1 x1
=C1 ·
d2 x1
( dt2
d
+ C2 x2 ) + 3 dt
(C1 x1 + C2 x2 ) + 2(C1 x1 + C2 x2 )
+
1
3 dx
dt
+ 2x1 ) + C2 ·
d2 x2
( dt2
2
+ 3 dx
dt + 2x2 )
=C1 · 0 + C2 · 0 = 0
実は C1 , C2 は積分定数. 初期条件と x(t) = C1 e−t + C2 e−2t ,
dx
−t
−2t
(t)
=
−C
e
−
2C
e
から C1 = 2, C2 = −1 となり,
1
2
dt
x(t) = 2e−t − e−2t
(166)
¥
¨
quiz 配った紙にやってね.
§
¦
d2 x
dx
(t) + 2 ·
(t) − 3 · x(t) = 0.
2
dt
dt
dx
x(0) = 0,
(0) = 4
dt
(167)
物理数学 II
96
(2002/12/06)
9.3 だめな例
‘x(t) = eλt ’ とおいてみる, は超便利. これまで出てきた他の場合にも
使っちゃおう.
dx
(t) = 2x(t) − 1
(168)
dt
に x(t) = eλt を代入してみる.
λeλt =2eλt − 1.
(λ − 2)eλt = − 1.
任意の t について成立するためには, λ = 2 ととればいいというわけに
はいかない. λ が 定数にならない. t に依存してしまう. おかしい.
à 解は x(t) = eλt とは書けない.
別の解を推測するか, 別の方法で解くかしよう. この場合には, 前に習っ
た通りに変数分離法で解けばよい.
物理数学 II
97
(2002/12/06)
9.4 虚数の指数関数
‘x(t) = eλt ’ とおく, は超便利. 単振動にも使っちゃおう.
d2 x
(t) + x(t) = 0,
2
dt
dx
x(0) = 1,
(0) = 0
dt
は, a = 0, b = 1 の場合. やってみよう.
x(t) = eλt とおいてみる.
d2 x
2 λt
(t)
=
λ
e
2
dt
よって
d2 x
2
λt
(t)
+
x(t)
=
(λ
+
1)e
= 0.
2
dt
λ2 + 1 = 0 Ã λ = ±i (?????)
√
虚数単位 i = −1 は i2 = −1 を満たす. 複素数 x + iy の i.
(169)
物理数学 II
98
(2002/12/06)
知らん顔して計算すると,
x(t) = D1 eit + D2 e−it .
(170)
は解. 初期条件より,
x(0) = D1 ei0 + D2 e−i0 =D1 + D2 = 1.
(171)
dx
(t) = iD1 eit − iD2 e−it だから
dt
dx
(0) = iD1 ei0 − iD2 e−i0 =iD1 − iD2 = 0.
dt
ここで e0 = 1 を使った.
解いて, D1 = D2 = 12 .
(172)
物理数学 II
99
(2002/12/06)
この解は x(t) = cos t だったはず.
?
したがって,
x(t) = cos t = 12 eit + 12 e−it .
(173)
dx
? i it
(t) = − sin t = 2 e − 2i e−it .
dt
(174)
1
? it
(上) + · (下) = cos t + i sin t = e .
i
(175)
物理数学 II
100
(2002/12/06)
9.5 オイラーの公式
気分のために t を θ とかく.
定義. 実数 θ に対して
59
· · · オイラーの公式
(176)
定義. 複素数 z = a + iθ (a と θ は実数) に対して,
60
(177)
3 年で関数論を学ぶと, これで ‘よい’ というのが心から納得できます.
物理数学 II
101
(2002/12/06)
性質. 複素数 z = x + iy, w = u + iv に対して,
ez+w = ez × ew
証明.
ez+w =ex+iy+u+iv
=e(x+u)+i(y+v)
=ex+u ei(y+v)
=ex+u (cos(y + v) + i sin(y + v))
= · · · (加法定理) · · · = ex eu eiy eiv
=ez × ew
(178)
物理数学 II
102
(2002/12/06)
例題 16 微分方程式
d2 x
(t) + 4x(t) = 0.
2
dt
dx
x(0) = 4,
(0) = 0.
dt
を, x(t) = eλt (λ は一般には複素数) とおくことによって解こう.
61
(179)
物理数学 II
103
(2002/12/06)
62
¥
¨
quiz 微分方程式
§
¦
d2 x
(t) + 16x(t) = 0,
2
dt
dx
x(0) = 0,
(0) = −4.
dt
を, x(t) = eλt (λ は一般には複素数) とおくことによって解こう.
(184)
物理数学 II 104
(2002/12/06)
¨
¥
冬のプチテストのお知らせ
§
¦
日時 12 月 20 日 (金) 14:15–15:00 ( 13:30–14:15 は講義です)
場所 1-107 講義室. 講義の最初から座席指定します.
成績 この試験の成績は, 科目の成績 100 点のうち 25 点を占めます.
試験範囲 12 月 13 日 (金) の講義まで. 摩擦力のもとでの運動. 斜面に沿
d2 x
う運動. 単振動. dt2 (t) + a · dx
dt (t) + b · x(t) = 0 型微分方程式. 変数
分離型微分方程式.
成績の通知 冬のプチテストでもメールでの成績通知を行います. 秋のプ
チテストの成績も併記しますので, 登録がまだの人は登録しておき
ましょう.
¨
¥
補講のお知らせ
§
¦
日時 12 月 27 日 (金) 2 講時 (いつもと違います)
場所 1-107 講義室.