解答例

　series
情報誌　第 16 号 ( 2014.4 )
１
「数学を楽しもう」no.8　解説編
三角関数の公式を使わず、図形による三角比の定義に基づいて 15, , 22.5, に対する sin, cos, tan の値を求めよ。
■15,について　C
右図のように、∠A=15, の直角三角形ABC を考える。
∠CDB=30, となるように点D をとり、辺BC=1 とする。
2
15, 2
A
1
30,
D
U3
BD=U 3 , CD= 2 となる。また∠ACD=15, より△ACD は二等辺三角形であり、AD=2 となる。
B
△ABC において三平方の定理より、AC=U 1 2 + 02 + U 3 1 2 = U 8 + 2U 12 = U 6 + U 2 よって
sin15, =
1
6 -U 2
=U
4
U 6 +U 2
cos 15, =
2+ U3
2 6 - 2 U 2 + 3U 2 - U 6
6 +U 2
=U
= U
4
4
U 6 + U2
tan 15, =
1
= 2- U 3
2 +U 3
C
■22.5, について
U2
右図のように、∠A=22.5, の直角三角形ABC を考える。
∠CDB=45, となるように点D をとり、辺BC=1 とする。
A
D
22.5,
U2
45,
1
B
1
BD=1, CD=U 2 ,となる。また∠ACD=22.5, より△ACD は二等辺三角形であり、AD=U 2 となる。
△ABC において三平方の定理より、AC=U 1 2 + 01 + U 2 1 2 = U 4 + 2U 2
sin22.5, =
cos 22.5, =
tan 22.5, =
よって
2-U 2
2-U 2
= U
=U
2
U 2 U 4 -2
U 4 +2U 2
1
1 +U 2
U 4 +2U 2
=0
1 + U 2 1U 2 - U 2
1 + U 2 1 2 02 - U 2 1
2 +U 2
= U0
=U
2
2
U 2 U 4 -2
1
= U 2 -1
1 +U 2
E
【解説】
15, については、右図の方法もある。∠A=30, の直角三角形ABCを
A
30,
2
U 3 -1 D
C
15,
U2
1
45,
1
B
考える。∠BDC=45, となる点Dをとり、DからAC に垂線DE をおろす。△CDE で求めていく。
２
円周率を pとする。3<p <
10
であることを証明せよ。(2001 岐阜大）
3
半径が 1 の円を考える。このとき、円周の長さは 2 p である。
A
これと、この円に内外接する正多角形の周の長さとを比較する。
■右図のように、内接する正六角形の周の長さは 6 であるから、
B
O
A
M
B
6 < 2p + 3 < p
■右図のように、外接する正八角形を考える（上手くいかなければ、正十、十二角形を考える）。
△OAB において、AB の中点をM とすると、OM=1, ∠AOM=22.5, なので
AM=tan 22.5, = U 2 - 1 +AB=2×AM=20U 2 -11
以上より、正八角形の周の長さは 8×AB=160U 2 -11 となるから、
2p <160 U 2 -1 1 + p <8 0U 2 - 11 このことから、80U 2 -11 と
10
を比較すればよい。U 2 <1.415 であるから、
3
80U 2 -11 < 8 % 0.415= 3.32=
9.96
10
<
3
3
【解説】
円周率の定義は「直径と円周の長さの比」であり、定義に基づいて長さの精度を議論する問題であ
る。東大入試問題（2003）では、「3.05<p を証明せよ」が出題されている。
歴史的にみると、内外接する正 n 角形の周の長さを考え、n.* とする試みがなされてきた。
３
パスカルの三角形について、次の問に答えよ。
1 段目
1 1
(1) n 段目にある数の和を求めよ。
2 段目
1 2 1
(2) 1 段目から n 段目までの数の和を求めよ。
3 段目
1 3 3 1
(3) n 段目がすべて奇数になるとき、n はどのような自然数か。
4 段目
1 4 6 4 1
(4) パスカルの三角形から偶数を除くとどんな図形になるか。　5 段目 1 5 10 10 5 1
■ n 段目にある数の和
二項定理より、01 + x 1 n = n C 0 + n C 1 x + n C 2 x 2 + … + n C n x n であり、これに x =1 を代入して
1 1
n C 0 + n C 1 + n C 2 + … + n C n = 2 n
1 0 1
■ n 段目までの数の和
1 1 1 1
1
0 0 0 1
2 1+ 2 2 + 2 3 + … + 2 n = 2 n +1 - 2 （等比数列の和）
1 1 0 0 1 1
1 0 1 0 1 0 1
■パスカルの三角形の偶奇性
1 1 1 1 1 1 1 1
二項係数を mod 2 で表すと、パスカルの三
………
1 1 1 …… … … …1 1 1 a n 段目
角形は右図になる。
0 が a 個 . 1 0 0 …… … … ……0 0 1
n 段目から n +1 段目を構成する方法は、
両端の 1 はそのまま、その他は隣接する 2 個
を足して下ろす（n Cr = n -1 C r-1 + n-1 C r）。
このとき、
F
n
0 が a n -1 個 .
………
…
…
0 が 1 個 .1 0 1 0…
1 0 1 …… 0 1 0 1
1 1 1 1 … … … ………… 1 1 1 1 a n+1 段目
0+0600 mod 2 1 , 1+060+1610 mod 2 1 , 1+1600 mod 2 1
より、奇数のみが並ぶ段の次の段は両端が 1 でその他は 0 が連続して並ぶ。その次の段では連続する
0 の個数が 1 減る。また、奇数が並ぶ段のひとつ上の段は 1, 0 が交互に並ぶ。以上から、奇数のみが
並ぶ段を a n 段目とすると、次の漸化式を満たす。
1 1
1 1
1 1 1 1
an +1 = a n + 0a n +11 = 2a n +1, a 1 = 1
1
1
1 1
1 1
1
1
1 1
n
1 1 1 1 1 1 1 1
これを解いて、an = 2 -1
1
1
1 1
1 1
■奇数からなるパスカルの三角形
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1
1 1
1
右図のように、1 ～ 7 段までの三角形
1 1
1 1 1 1
1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
のパターンが繰り返される図形を描く。
1
1
1 1
1 1
【解説】
これを無限に続けた図形はシェルピンスキーの
ガスケット（1882 ～ 1969, Sierpinski gasket）
と呼ばれており、図形の内部に自分自身の相似形
が無限に含まれる－自己相似形の－図形（フラク
タル図形:fractal）のひとつとして有名である。
① 最初に、正三角形の内部にで
きる半分の大きさの正三角形
4 つのうち、中央を切り取る。
② 次に、残った３隅の正三角形
で同じ操作をする。
③ ②を無限に繰り返す。
Sierpinski gasket