解答例＋引用題PDF

2015 熊本大学（医系）前期日程
１
問題
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△ ABC の 3 辺 の 長 さ を BC = a , AC = b , AB = c と し , 条 件 a + b + c = 1 ,
9ab = 1 が成り立つとする。以下の問いに答えよ。
(1) a の値の範囲を求めよ。
(2)  = C とするとき, cos の値の範囲を求めよ。
－1－
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２
問題
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p, q, r を実数とする。空間内の 3 点 A (1, p, 0 ) , B( q, 1, 1) , C( -1, -1, r ) が一
直線上にあるとき, 以下の問いに答えよ。ただし, O を原点とする。
(1) p は 1 でも -1 でもないことを示せ。
(2) q, r を p を用いて表せ。
(3) p ¢, q ¢, r ¢ を 実 数 と し , 空 間 内 の 3 点 を A ¢ (1, p ¢, 0 ) , B¢ ( q ¢, 1, 1) ,
  

C¢ ( -1, -1, r ¢ ) とする。ベクトル OA ¢ , OB¢ , OC¢ がいずれもベクトル AB に垂直
であるとき, p ¢, q ¢, r ¢ を p を用いて表せ。
(4) (3)における 3 点 A ¢, B¢, C¢ は一直線上にないことを示せ。
－2－
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３
問題
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a と b を正の実数とする。△ABC において, B と C は鋭角とする。点 A を通り
辺 BC に直交する直線を引き, 辺 BC との交点を X1 とし, 線分 AX1 の長さを 1 とする。
また, BX1 = a , CX1 = b とする。各 n = 1, 2, 3,  に対して以下の操作を行う。
辺 BC 上の点 X n を通り辺 AC に平行な直線を引き, 辺 AB との交点を Yn とする。
また, 点 Yn を通り辺 BC に平行な直線を引き, 辺 AC との交点を Zn とする。点
Zn を通り辺 BC に直交する直線を引き, 辺 BC との交点を X n+1 とする。
線分 Zn X n+1 の長さを ln とするとき, 以下の問いに答えよ。
(1) l1 を a, b を用いて表せ。
(2) ln+1 を ln , a, b を用いて表せ。
(3) b = 8a の と き , ln > 1 と な る 最 小 の 奇 数 n を 求 め よ 。 必 要 な ら ば ,
2
3.169 < log 2 9 < 3.17 を用いてよい。
－3－
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４
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r を正の実数とする。数列 { an } を an =
ò
0
n
e-rx sin x dx ( n = 1, 2, 3,  ) と定
めるとき, 以下の問いに答えよ。
(1) an+1 - an を求めよ。
(2) { an } の一般項を求めよ。
(3)
問題
lim an を r を用いて表せ。
n¥
(4) (3)で求めた r の式を f ( r ) とおく。 lim r f ( r ) を求めよ。
r +0
－4－
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１
解答解説
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(1) △ABC の 3 辺の長さ a, b, c について, a > 0 , b > 0 , c > 0 ………①
a < b + c , b < c + a , c < a + b ………②
条件より, a + b + c = 1 ……③, 9ab = 1 ……④
③から c = 1 - a - b となり, ①に代入すると, 1 - a - b > 0 , a + b < 1 ………⑤
また, ②に代入すると, a < 1 - a , b < 1 - b , 1 - a - b < a + b となり,
a < 1 , b < 1 , a + b > 1 ………⑥
b
2
2
2
よって, ①②③をまとめると, ⑤⑥から,
0 < a < 1 , 0 < b < 1 , 1 < a +b <1
2
2 2
これを ab 平面上に図示すると右図の網点部となる。
そして, ④から b = 1 となり, この領域内で a のとり
9a
得る範囲を調べると, 2 < a < 1 である。
9
2
1
1
2
2
9
O
2
9
1
2
(2) C =  とおき, △ABC に余弦定理を適用すると, ③④から,
2
2
2
a 2 + b2 - (1 - a - b )2
= 9 ( -1 - 2ab + 2a + 2b )
cos = a + b - c =
1
2
2ab
2⋅
9
= 9 ( -1 - 2 + 2a + 2 ) = 9a + 1 - 11
a 2
2
9
9a
1
11
ここで, f ( a ) = 9a + とおくと, cos = f ( a ) となり,
a 2
2
2
1
f ¢( a ) = 9 - 12 = 9a 2-1
…
…
a
9
3
a
a
f ¢( a )
すると , 2 < a < 1 における f ( a ) の増減は
－
＋
0
9
2
1
f (a)

1 
右表のようになり, cos のとり得る範囲は,
2
1
a
1
2
1
1 ≦cos ＜1
2
［解 説］
三角形を題材とした図形の計量問題です。そこに, 微分と増減の内容が加えられて
います。(1)は不等式の処理ですが, 式変形だけではややこしそうだったので, 図を用
いています。
－1－
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２
(1)
解答解説
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A (1, p, 0 ) , B( q, 1, 1) , C( -1, -1, r ) に対して,


AB = ( q -1, 1 - p, 1) , AC = ( - 2, -1 - p, r )


A, B, C が一直線上にあることより, k を 0 でない実数として, AC = k AB
-2 = k ( q -1) ………①, -1 - p = k (1 - p ) ………②, r = k ………③
p = 1 のとき, ②は 0 ⋅ k = -2 となり実数 k は存在しない。また, p = -1 のとき,
②は 2k = 0 となり k ¹ 0 に反する。よって, p ¹ 1 である。
p +1
p +1
(2) ②より, k =
となり, ③から, r =
p -1
p -1
-2( p -1) - p + 3
p +1
=
( q -1) となり, q = 1 +
また, ①から -2 =
………④
p +1
p +1
p -1

-2( p -1)
(3) (2)より, AB = (
, 1 - p, 1 ) = 1 ( - 2 p + 2, - p2 + 1, p + 1)
p +1
p +1
 
 
ここで, A ¢ (1, p ¢, 0 ) に対して, OA ¢ が AB に垂直なので, OA ¢ ⋅ AB = 0 から,
-2 p + 2 - ( p2 -1) p¢ = 0 , -2 - ( p + 1) p¢ = 0 , p ¢ = -2 ………⑤
p +1
 
 
また, B¢ ( q ¢, 1, 1) に対して, OB¢ が AB に垂直なので, OB¢ ⋅ AB = 0 から,
( - 2 p + 2 ) q ¢ - ( p2 -1) + p + 1 = 0 , -2( p -1) q ¢ - ( p2 - p - 2 ) = 0
( p + 1)( p - 2 )
p2 - p - 2
………⑥
=2( p -1)
-2( p -1)
 
 
さらに, C¢ ( -1, -1, r ¢ ) に対して, OC¢ が AB に垂直なので, OC¢ ⋅ AB = 0 から,
よって, q ¢ =
2 p - 2 + p2 -1 + ( p + 1) r ¢ = 0 , ( p + 1) r ¢ + ( p2 + 2 p - 3 ) = 0
よって, r ¢ = (4)
( p -1)( p + 3 )
p2 + 2 p - 3
=p +1
p +1
A ¢, B¢, C¢ が一直線上と仮定すると, ④より q ¢ =
- p¢ + 3
となり, ⑤⑥から,
p¢ + 1
2 +3
( p + 1)( p - 2 )
( p + 1)( p - 2 ) 3 p + 5
p +1
=
, =
-2 + 1
2( p -1)
p -1
2( p -1)
p +1
まとめると, -( p + 1)( p - 2 ) = 2( 3 p + 5 ) から, p2 + 5 p + 8 = 0 ………⑦
すると, ⑦の判別式 D = 52 - 4 ⋅ 8 < 0 から実数 p は存在しない。
よって, A ¢, B¢, C¢ は一直線上にない。
［解 説］
空間ベクトルの成分に関する問題ですが, 図形的な意味を考えず, 数式の計算だけ
で押し通した解答例です。
－2－
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３
解答解説
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A
(1) 条件より, AX1 = 1 , BX1 = a , CX1 = b
そして, X1 Y1 // AC , Y1Z1 // BC より,
CZ1 : Z1 A = BY1 : Y1 A = BX1 : X1C = a : b
よって, l1 = Z1 X 2 = a AX1 = a
a +b
a +b
(2) Zn X n+1 = ln , Zn+1 X n+2 = ln+1 について , (1)と同様
Z1
Y1
X1
B
X2
A
に考えると,
Yn+1
CZn+1 : Zn+1 A = BYn+1 : Yn+1 A
= BX n+1 : Xn+1C ………①
Zn+1
ln+1
ここで, CX n+1 : CX1 = ln : 1 より,
ln
B
CXn+1 = bln
C
Zn
Xn+1
X1 Xn+2
C
すると , BXn+1 : X n+1C = ( a + b - bln ) : bln ………
②
①②より, CZn+1 : Zn+1 A = ( a + b - bln ) : bln となり,
a + b - bln
a + b - bln
= - b ln + 1
AX1 =
ln+1 =
a +b
( a + b - bln ) + bln
a +b
(3) b = 8a のとき, (1)(2)より, l1 = 1 , ln+1 = - 8 ln + 1 となり,
9
9
ln+1 - 9 = - 8 ( ln - 9 )
17
9
17
n-1
n-1
n
すると, ln - 9 = ( l1 - 9 )( - 8 ) = - 64 ( - 8 ) = 8 ( - 8 ) となり,
17
17
9
17 ⋅ 9
9
17
9
n
ln = 8 ( - 8 ) + 9
17
9
17
条件より, 奇数 n は k を自然数として, n = 2k -1 とおくと, ln > 1 から,
2
8 - 8 2k-1 + 9 > 1 , 8 - 9 - 8 2k > - 1 , 8 2k < 1
( 9)
( 8 )( 9 )
( 9 ) 18
17
17 2 17
2 ⋅17
両辺に底 2 で対数をとると, 2k ( log 2 23 - log 2 32 ) < - log 2 2 ⋅ 32 となり,
1 + log 2 9
4
=1+
2 2( log 2 9 - 3 )
2( log 2 9 - 3 )
4
ここで, 3.169 < log 2 9 < 3.17 から, 12.2 < 1 +
< 12.4
2 2( log 2 9 - 3 )
2k ( 2log 2 3 - 3 ) > 1 + 2log 2 3 , k >
よって, k≧13 となり, 求める最小の奇数 n は, 2 ⋅13 -1 = 25 となる。
［解 説］
漸化式の図形への応用です。平行線を利用した頻出の内容になっていますが, 最後
の詰めの計算は面倒です。
－3－
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４
解答解説
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(1) an =
ò
n
0
e-rx sin x dx に対し, n ≦x ≦( n + 1)  で sin x の符号は不変なので,
an+1 - an =
=
ò
( n+1 ) 
0
( n+1 ) 
ò
n
e-rx sin x dx -
ò
e-rx sin x dx =
n
e-rx sin x dx
0
( n +1 ) 
ò
n
e-rx sin x dx
ここで, ( e-rx sin x )¢ = -re-rx sin x + e-rx cos x ………①
( e-rx cos x )¢ = -re-rx cos x - e-rx sin x ………②
①×r＋②より, -( r 2 + 1) e-rx sin x = { e-rx ( r sin x + cos x ) }¢ となり,
1 é e-rx ( r sin x + cos x ) ù ( n+1 ) 
ê
úû n
r +1 ë
= 21
e- ( n+1 )  r cos( n + 1)  - e- n r cos n
r +1
= 21
e- n r e- r ( -1)n+1 - e- n r ( -1)n
r +1
- r
e- n r ( -1)n
=
- e- r -1 = e 2 + 1 e- n r
2
r +1
r +1
an+1 - an = -
2

- r
e-rx sin x dx = e 2 + 1 となり, n≧2 で,
0
r +1
n-1
- r
- r
e-  r (1 - e- ( n-1 )  r )
an = a1 + e 2 + 1 å e- k r = e 2 + 1 { 1 +
}
r + 1 k=1
r +1
1 - e-  r
(2) (1)より, a1 =
=
ò
(1 + e- r )(1 - e-n r )
( r 2 + 1)(1 - e-  r )
なお, この式は n = 1 のときも成立している。
(3) r > 0 から, n  ¥ のとき e-n r  0 より, lim an =
n¥
(4)
f (r) =
1 + e- r
( r 2 + 1)(1 - e-  r )
1 + e- r
1 + e- r ⋅
r
r
r
より
,
f
=
(
)
r 2 + 1 1 - e-  r
( r 2 + 1)(1 - e-  r )
ここで, g ( r ) = e- r とおくと, g ¢( r ) = - e- r となり,
- r
g(r )- g(0)
= - lim
= - g ¢( 0 ) = 
lim 1 - e
r +0
r +0
r
r
よって, lim r f ( r ) = 1 + 1 ⋅ 1 = 2 である。
r +0
1 

［解 説］
定積分と数列を融合した超頻出の有名問題です。このタイプの部分積分は計算ミス
を犯しやすいので, いつも①②のような式を先に立式しています。
－4－
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