ベクトル表記による光の反射・屈折の法則

大阪市立科学館研究報告 26, 31 - 34 (2016)
ベクトル表記による光の反射・屈折の法則
長 谷 川
能 三
＊
概 要
光 の反 射 や屈 折 の法 則 についてはよく知 られているが、通 常 は入 射 光 と反 射 光 や入 射 光 と屈 折 光 を
含 む平 面 内 での図 を用 いて入 射 角 と反 射 角 や屈 折 角 の関 係 が示 されている。しかし気 象 光 学 現 象 では、
この面 を考 えることが難 しい場 合 があり、そのため、現 象 の見 え方 が直 感 的 にわかりにくいことがある。
そこで、光 の反 射 や屈 折 の法 則 をベクトルで表 記 するとどのようになるかを示 し、その計 算 例 として気
象 光 学 現 象 の幻 日 環 や環 天 頂 アークに適 用 した。その結 果 、これらの現 象 が一 定 の高 さに見 えることが
簡 単 にわかるようになった。
１．はじめに
反 射 の法 則 は、図 １のように、入 射 角
物 質 の境 界 面 における光 の屈 折 や反 射 について、
が等 しいというものである。ここで、入 射 角
入 射 角 と反 射 角 や屈 折 角 の間 には、図 １および図 ２の
射角
よ う に 示 さ れ る 関 係 が あ る 。ここで、この図 の描 かれ
界 面 の法 線 との間 の角 である。
ている面 は、入 射 光 と、入 射 光 が境 界 面 にあたった位
置 での境 界 面 の法 線 （以 下 、単 に境 界 面 の法 線 とす
と反 射 角
および反
は、図 に示 したとおり入 射 光 および反 射 光 と境
一 方 屈 折 の場 合 には、図 ２の入 射 角
と屈 折 角
の間 には、スネルの法 則 で示 される次 の関 係 がある。
る ）を 含 む 平 面 であり 、反 射 光 や 屈 折 光 も 、こ の 平 面
sin
内 にある。
ここで、 と
=
sin
・・・（１）
は入 射 角 および 屈 折 角 で、それぞれ 入
射 光 および屈 折 光 と境 界 面 の法 線 との間 の角 である。
また
と
は、入 射 光 が通 っ ている部 分 の媒 質 （媒
質 １）の屈 折 率 と、屈 折 光 が通 っている部 分 の媒 質
（媒 質 ２）の屈 折 率 である。
図 １．反 射 の法 則
水 面 の よう に媒 質 の境 界 面 が水 平 であ る場 合 など
は、図 １や図 ２に示 している面 内 で入 射 角 や反 射 角 、
屈 折 角 を 考 え る こ とは 容 易 であ る 。しか し、気 象 光 学
現 象 では、空 中 にある六 角 柱 形 の氷 の結 晶 などを取 り
扱 う。そのた め、境 界 面 が 水 平 や垂 直 であるとは限 ら
ない。また、境 界 面 が垂 直 な場 合 であっても、この境 界
面 とも水 平 面 とも直 交 する面 内 に入 射 光 が含 まれると
は限 らない。このため、図 １や図 ２のような面 を考 えるこ
とは難 しい場 合 が多 い。
２．反 射 の法 則 のベクトル表 記
図 ２．屈 折 の法 則
反 射 の法 則 をベクトル表 記 するために、まず、必 要
な３つのベクトルを定 義 する。入 射 光 の進 行 方 向 の単
*
大阪市立科学館 学芸員
中之島科学研究所 研究員
ｈａｓｅｇａｗａ＠ｓｃｉ-ｍｕｓｅｕｍ．ｊｐ
位 ベクト ル（以 下 、入 射 光 ベクトル）を 、反 射 光 の進
行 方 向 の単 位 ベクトル（以 下 、反 射 光 ベクトル）を
- 31 -
、
長谷川 能三
境 界 面 の法 線 で境 界 面 から入 射 光 や反 射 光 がある媒
質 側 へ向 かう方 向 に取 った単 位 ベクトル（以 下 、境 界
面 の法 線 ベクトル）を
とする（図 ３）。
図 ３．反 射 の法 則 に関 わるベクトル
すると、− +
2 cos
は
図 ５．屈 折 の法 則 を考 えるための直 交 単 位 ベクトル
と同 じ向 きで、その大 きさは
となる。このことから、入 射 光 ベクトル
光 ベクトル
− +
と境 界 面 の法 線 ベクトル
と反 射
これより、屈 折 光 ベクトル
・・・（２）
の関 係 がある。これより、反 射 光 ベクトル
は
と
= sin
を
と表 わすことが できる。これ がベクト ル表 記 による反 射
の法 則 である。
反 射 の法 則 と同 様 に、入 射 光 ベクトルを 、屈 折 光
=
×
=
1
sin
=
1
sin
・・・（５）
1
sin
{ −( ∙ ) }
cos
=− ̇∙
sin
=
cos
=
{1 − ( ̇ ∙ ) }
1−
{1 − ( ̇ ∙ ) }
である。これより屈 折 光 ベクトル
=
すると、スネルの法 則 より、
( × )=
( × )
・・・（４）
の関 係 がある。しかし、ここから屈 折 光 ベクトル
を簡
単 に求 めることはできない。
と
を含 む面 内 にあり、
と
は
きは図 ５に示 すように取 る。
1
−
となる 。ここ で
1
と直 交 す
を考 える。ここで、
は
とも直 交 し、それぞれ向
{1 − ( ̇ ∙ ) }
( ∙ )+
( ∙ )+
−1+( ̇∙ )
−1+( ̇∙ )
・・・（８）
は媒 質 １に 対 する媒 質 ２ の比 屈 折 率
（以 下 、単 に屈 折 率 ）で、
そこで、入 射 光 が境 界 面 の法 線 ベクトル
る２つの単 位 ベクトル
=
−
・・・（７）
は、
{ −( ∙ ) }− 1−
=
図 ４．屈 折 の法 則 に関 わるベクトル
・・・（６）
=1−( ̇∙ )
sin
とする。
×
{( ∙ ) −( ∙ ) }
であり、また、
の進 行 方 向 の単 位 ベクトル（以 下 、屈 折 光 ベクトル）を
、境 界 面 の法 線 ベクトルを
− cos
= ×
・・・（３）
３．屈 折 の法 則 のベクトル表 記
を
と表 わすことができる。ここで、
用 いて、
= −2( ∙ )
と屈 折 角
用 いて、
との間 には、
= 2 (− ∙ )
は、 、
=
⁄
である。反 射 の法
則 のベクトル表 記 と比 べると複 雑 だが、屈 折 光 ベクトル
を入 射 光 ベクトル、境 界 面 の法 線 ベクトル、屈 折 率 で
表 わすことができた。ただし、
− 1 + ( ̇ ∙ ) < 0 の場
合 には全 反 射 となり、屈 折 光 は存 在 しない。
- 32 -
ベクトル表記による光の反射・屈折の法則
４．気 象 光 学 現 象 の計 算 例
そこで、太 陽 の高 度 を
４-１．幻 日 環
を
幻 日 環 （げんじつかん）は、太 陽 と同 じ高 さで空 を一
、鏡 の法 線 ベクトルの方 位
とすると、入 射 光 ベクトル
法 線 ベクトル
周 する白 い筋 が見 られる現 象 である。
と境 界 面 （鏡 の面 ）の
は、
= ( 0 , cos , −sin )
= ( sin
と表 わされる。
, − cos
・・・（９）
,0 )
・・・（１０）
すると、（３）式 のベクトル表 記 した反 射 の法 則 より、
反 射 光 ベクトル
は、
= 0 + 2 ∙ cos cos
= cos
sin 2
sin
= cos − 2 ∙ cos ∙ sin
= cos
= − sin
となる。
写 真 １．幻 日 環
cos 2
反 射 光 ベクトル
分が
幻 日 環 は、六 角 板 状 の氷 の結 晶 が、六 角 形 の面 を
・・・（１１）
は 単 位 ベ クト ルであ り 、そ の
成
によらないことから反 射 光 の俯 角 は一 定 である
ことがわかり、しかも入 射 光 と同 じ
である。また、その
水 平 にしている場 合 に、太 陽 の光 が氷 の結 晶 の側 面
方 位 角 は、鏡 の面 の方 位 角 の２倍 の角 度 となっている
で反 射 されることで見 えるとされている。
ことが わかる 。こ れ らのこと は、そ れぞ れ
ここで六 角 形 の面 が水 平 であるので、側 面 は鉛 直 に
や
= 0 の場 合
= 0 の場 合 に 成 り 立 つことは 直 感 的 にわかる 。し
なっている（その法 線 ベクトルは水 平 である）が、どちら
かし、反 射 の法 則 のベクトル表 記 を用 いて計 算 するこ
の方 角 を向 いているかは決 まっていない。このような側
とで、 ≠ 0 かつ
面 で光 が反 射 されるのであるから、鏡 の面 を垂 直 に保
ったまま水 平 方 向 の向 きを変 えていったとき、反 射 した
光 はどのように進 むかという問 題 に帰 着 する。
≠ 0 の場 合 にも成 り立 つことが、簡
単 に明 らかになった。
なお 、空 全 体 にこ のよう な氷 の 結 晶 が多 数 あり 、氷
の結 晶 で反 射 された光 の俯 角 が太 陽 の高 度 と同 じ角
度 でさまざまな方 位 を向 いている場 合 、地 上 にいる観
測 者 からは全 方 位 で太 陽 と同 じ高 度 から反 射 光 が来
ているのを見 ることになる。これはつまり、太 陽 と同 じ高
度 で空 を一 周 する輪 として見 える。
４-２．環 天 頂 アーク
環 天 頂 （かんてんちょう）アークは、太 陽 の高 度 が低
い時 に、太 陽 のずっと上 の方 に逆 さまになった虹 のよう
に見 える現 象 である。
図 ６．入 射 光 と鏡 の位 置 関 係
（上 が正 面 から、下 が上 から見 た図 ）
写 真 ２．環 天 頂 アーク
- 33 -
長谷川 能三
環 天 頂 アークは、幻 日 環 と同 じように、六 角 板 状 の
氷 の結 晶 が六 角 形 の面 を水 平 にしている場 合 に見 ら
れる現 象 である。ただ、環 天 頂 アークの場 合 は、太 陽
の光 が氷 の結 晶 の上 面 から屈 折 して結 晶 の中 に入 り、
側 面 から出 ていった光 によって見 える。
写 真 ４．天 頂 を中 心 に撮 影 した環 天 頂 アーク
また、環 天 頂 アークがどのくらの角 度 の広 がりがある
かは、全 反 射 にならない条 件 から計 算 することができる。
例 えば、太 陽 の高 度 が１５ 度 の場 合 、式 （１２）の入 射
角は
写 真 ３．環 天 頂 アークになる光 の経 路
度 の範 囲 は、
−1+( ̇∙ ) > 0
− 1+ cos
ここで、氷 の結 晶 の六 角 形 の上 面 は水 平 であるため、
上 面 で入 射 する場 合 の屈 折 については、側 面 がどち
cos
らの方 角 を向 いていても関 係 がない。そこで、上 面 から
氷 の結 晶 の中 に入 った後 の太 陽 の光 の俯 角 を
面 の法 線 ベクトルの方 位 を
と表 わされる。
と、側
は、幻 日 環 の場 合 と同 様 に、
= ( 0 , cos , −sin )
= ( sin
、側
とする。すると、氷 の結 晶
の中 から結 晶 の側 面 にあたる入 射 光 ベクトル
面 の法 線 ベクトル
, − cos
= 42.4° 、また氷 の屈 折 率 が１．３０９であるので、
= 1⁄1.309 と す る 。式 （ ８ ） が 全 反 射 を 起 こ さ ない角
・・・（１２）
>
1−
cos
cos φ > 0
となる。これより、−29.0° <
・・・（１５）
< 29.0° の範 囲 のときには
全 反 射 とならずに環 天 頂 アークとなる屈 折 光 が出 てく
る。ここで、全 反 射 と ならないぎりぎりの場 合 には屈 折
光 は境 界 面 に沿 って出 てくることから、屈 折 光 の方 位
は入 射 光 に 対 して±61.0° の範 囲 であり、環 天 頂 アー
クの広 がりは、計 算 上 、天 頂 を中 心 に１２２度 となること
,0 )
・・・（１３）
がわかる（実 際 には端 の方 は淡 いため、おそらくここま
での広 がりとしては見 えない）。
これを用 いて（８）式 のベクトル表 記 した屈 折 の法 則
より、氷 の結 晶 の側 面 から出 て行 く屈 折 光 ベクトル
５．考 察
を計 算 すればよいのであるが、簡 単 な計 算 で、
1
= − sin
・・・（１４）
このベクトル表 記 による反 射 の法 則 ・屈 折 の法 則 は、
ど ん な場 合 に でも 便 利 なわ けでは ない 。気 象 光 学 現
象 の中 でも、虹 は球 形 の水 滴 による現 象 であり、光 が
であることがわかる。幻 日 環 の場 合 と同 様 、屈 折 光 ベク
どこにあたるかによって境 界 面 の法 線 ベクトルの向 きが
トル
は単 位 ベクトルであり、その
によらな
異 なるので、この計 算 方 法 には向 かないかもしれない。
によらず一 定 であること
しかし、平 面 で囲 まれた氷 の結 晶 による気 象 光 学 現 象
が明 らかである。つまり、環 天 頂 アークも、幻 日 環 と同
の場 合 には、例 のように簡 単 な計 算 で物 理 的 イメージ
じように、高 度 一 定 で見 え ているのである。但 し、その
が掴 み易 くなる場 合 があり、この計 算 方 法 が有 効 であ
俯 角 は、式 （１４）から計 算 する必 要 がある。
る。
いことから、屈 折 光 の俯 角 は
成分が
しかし、実 際 に環 天 頂 アークを見 上 げると、虹 を逆 さ
また、入 射 光 や境 界 面 の法 線 ベクトルが、複 数 のベ
まにしたような形 、つまり、まん中 が低 く、両 端 が高 くな
クトルの演 算 で与 えられるような場 合 にも、ベクトルの公
っているように感 じる。ところが、天 頂 を中 心 にして環 天
式 である程 度 計 算 を進 められる場 合 も考 えられる。
頂 アークを撮 影 してみると、確 かに天 頂 を中 心 とした円
弧 になっており、高 度 一 定 であることがわかる。
ただ 、反 射 の法 則 は 比 較 的 簡 単 な式 である が 、屈
折 の法 則 は式 が複 雑 であるところが少 し難 点 である。
- 34 -