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第2回 数と計算の起源(2009年4月24日)

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第2回 数と計算の起源(2009年4月24日)
産業と技術の歴史
第2回 数と計算の起源
2009年4月24日
国際環境経営学部 大谷卓史
目次
ƒ 前回のコメントから
ƒ 授業スライドの閲覧について
ƒ 数と計算の起源
前回のコメントから
ƒ 毎回の授業で、前回授業コメントから興味深
いものを紹介していきます。
ƒ きちんとみなさんのコメントは読んでいますの
で、しっかりと書いてください。
ƒ コメントは、内容が課題にきちんと対応してお
り、分量が多ければ多いほど、評価します。
前回のコメントから
ƒ 冷蔵庫の温度をコンピュータで「支配」する。
ƒ 電子レンジの温度をコンピュータで「支配」す
る。
ƒ 日本語では、機械のcontrollは、「制御」といいま
す。
ƒ 電子レンジや冷蔵庫の複雑な温度制御は、確か
にマイクロコンピュータが行っています。
ƒ 空気清浄機やエアコンの制御。
前回のコメントから
ƒ 飛行機の自動航法システム。
ƒ 確かに、大型の飛行機は、離着陸以外、パイロットは何も
しなくてもよいといわれています。
ƒ 電車の制御システム。
ƒ デジタルATCでは、コンピュータが制御に使われています
。速度超過の監視、停止すべき場所の指定など。
ƒ エレベータの制御システム。
ƒ どの階から順番に回る課などはプログラムで決まってい
ます。
前回のコメントから
ƒ 電光掲示板
ƒ 情報の表示も確かにコンピュータが使われてい
ます。
ƒ インターネット
ƒ ゲームやメール、新聞、チャット、電話などさまざ
まな使われ方がしています。
ƒ ゲーム
ƒ Playstation3は、たんぱく質の遺伝子解析、発現
解析にも利用されている。
授業スライドの閲覧について
ƒ 授業スライドは、次のように閲覧できます。
ƒ 大学のトップページ(http://kiui.jp)にアクセス。
ƒ 「環境経営学科blog」バナーをクリック。
ƒ 環境経営学科ブログの一番下まで移動して、
右側の研究室ブログ一覧から「大谷研究室」
をクリック。
ƒ 「吉備国際大学大谷卓史研究室」ブログの
「授業関連」から「産業と技術の歴史2009」を
クリック。
授業スライドの閲覧について
ƒ 吉備国際大学大谷卓史研究室のURL
http://otanisemikiui.seesaa.net/
ƒ 実際に大学のトップページからたどってみま
す。
目次
ƒ 前回のコメントから
ƒ 授業スライドの閲覧について
ƒ 数と計算の起源
数・計算と計算の起源
ƒ 最古の数表現
ƒ 古代文明における数・計算
最古の数表現
ƒ 「イシャンゴ・ボーン」(紀元前18000∼20000
年)・・・数記号らしきものが刻まれたヒヒの骨
Ishango Bone from two different point of view , From
“Ishango Bone,” Wikipedia (by courtesy of Science Museum
of Brussels )
最古の数表現
ƒ イシャンゴ(Ishango)とはどこか?・・・
Googleマップで検索してみよう。
ƒ ザイールとの国境に近いコンゴ共和国の湖
「エドワード湖」の北湖畔。ヴィルンガ国立公
園内。
最古の数表現
ƒ 紀元前18000∼20000年って、どれくらい前?
ƒ その頃、世界は後期旧石器時代。
ƒ 前期旧石器時代・・・約250∼約12万年前(ホモ・ハビリス+ホモ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
エレクトゥス、ハンドアックス+剥片石器)
中期旧石器時代・・・約30∼約3万年前(ネアンデルタール人+現
生人類、ルヴァロワ技法による剥片製作)
後期旧石器時代・・・約3∼約1万年前(現生人類、狩猟・採集、石
刃技法による剥片製作、投げ槍、芸術・シンボルの登場)
中石器時代・・・約2万∼約9000年前(狩猟・採集、細石器・細石
刃)
新石器時代・・・約9000∼約5500年前(農耕、土器、石鏃、巨石
建造物)
最古の数表現
ƒ ラスコー洞窟(Lascaux)の壁画(フランス南
西部の遺跡、後期旧石器時代)
Photograpohy of Lascaux animal painting by Prof. Saxx. Wikimedia commonsより。
最古の数表現
ƒ ヴィレンドルフのヴィーナス(ローア・オースト
リアのヴィレンドルフ出土、後期旧石器時代)
Venus von Willendorf, Naturhistorisches Museum Wien by Oke.
Wikimedia Commonsより。
最古の数表現
ƒ “Great Leap Forward”:5万年前以降、人類
の文化が大きく飛躍したという仮説。
ƒ 生態学者(ethologist)のJared Diamondが提唱
(『人間はどこまでチンパンジーか?』(新曜社、
1993年))。
ƒ 抽象思考、計画、発想法、シンボル行動。
ƒ 「文化のビックバン」と称される。
ƒ しかし、人類の文化の発達は漸進的なもので、5
万年前以前にも現代的行動の痕跡が見られると
する人類学者もいる。
最古の数表現
ƒ イシャンゴ・ボーンの刻み目は、素数が記さ
れている。
ƒ 素数とは?
1と自分以外には約数を持たない数のこと。
たとえば、3、5、7、11、13、17、19・・・
最古の数表現
ƒ イシャンゴ・ボーンを詳細に見ると・・・
左側のカラム。
中央のカラム。
右側のカラム。
“Ishango Bone,” Wikipediaより。
最古の数表現
ƒ 「イシャンゴ・ボーン」は何を数えていたの
か?
ƒ 一種のそろばんのようなもの?
ƒ 天文現象(月の満ち欠け)を示している?(月齢カ
レンダー?)・・・古代においては、数学は天文学
や会計学と深く結び付いている。
古代文明における数・計算
ƒ メソポタミア文明ウルク後期(おそらく紀元前
3300∼前3100年頃)、粘土板による記録シ
ステムが誕生。
ƒ 「メソポタミア(Mesopotamia)」・・・ティグリス・
ユーフラテス川流域地方のこと。
ƒ 当時の文明の担い手は、「シュメール人」と呼
ばれる人々。
古代文明における数・計算
西側にユーフラテス川、東側にティグリス川。Wikimedia Commonsより。
古代文明における数・計算
ƒ 発掘されたウルク古拙文書の85%は、行
政・経済記録。
ƒ 残る15%は、職業、容器、地名などの語彙リスト。
ƒ 楔形文字の原型となる「古拙文字」を使用(前
川和也『世界の歴史1』(中央公論社、1998
年)158頁) 。
古代文明における数・計算
ƒ 複雑な公共組織である都市国家の成立が、
粘土板記録システム登場の背景。
ƒ 「公共的な大組織を管理、運営するために、
つまり奴隷、家畜や、物品の数をかぞえ、穀
物の量をはかり、土地面積を計算するために、
記録システムが成立したのである」(前川和
也『世界の歴史1』(中央公論社、1998年)
156頁)
古代文明における数・計算
ƒ 文字記録登場以前は、「もの」をどう数え、計
量していたか?・・・トークン・システム
ƒ トークン・・・2、3センチほどの粘土のかたまり。
古代文明における数・計算
トークンから粘土板記録へ
ƒ 前8000∼前7500年頃、家畜や収穫された穀物の
計量にトークンの使用が開始される(プレーン・トー
クン)。
ƒ 前4000年紀、交易や税の収納の必要上、より複雑
な形状のトークンが登場(コンプレックス・トークン)。
ƒ 数・計算表現が複数並行して存在する時代
ƒ 粘土ボール(ブラ)で包み印章で押印するシステムの登場。
ƒ 「トークン押印タブレット」の登場。平らな粘土板にプレー
ン・トークンを押し付けて数字ユニットを示す。
ƒ 粘土板記録システムへ(ウルク後期)。
古代文明における数・計算
ƒ シュメール文字(紀元前3300年∼紀元前24
世紀)における数の表現・・・60進法
ƒ 60進法とは?・・・59までは10と1の倍数の組
み合わせ。それ以上の数は、60の倍数と組
み合わせて表現。
ƒ 私たちの数のシステム・・・10進法。10の倍数
を単位として数字を表現する。例)
7532=7×1000+5×100+3×10+2×1
古代文明における数・計算
ƒ シュメール文字による60進数表現。
ƒ シュメール文字は位取り記数法。いちばん右が1
の位、次が60の位、その次が3600の位。
ƒ A×60n+B×60n-1+・・・・Y×60+Z×1
ƒ A∼Zは、0∼59までの値を取る(0の場合は、何
も書かない)。
古代文明における数・計算
ƒ アラビア数字をシュメール文字の数字に置き
換えてみよう。
① プリント2に、好きな数字をアラビア数字で書く。
② プリント1を参考にして、アラビア数字をシュメー
ル文字に置き換える。
③ プリント2のアラビア数字を隠して、隣の人にシ
ュメール文字を見せる。
④ 隣の人がシュメール文字からアラビア数字を当
てることができるか聞いてみよう。
古代文明における数・計算
ƒ 古代エジプトの算数ドリル・・・『リンド・パピル
ス』と『モスクワ・パピルス』
ƒ 『リンド・パピルス』・・・書記アアフ・メスが紀元前
1650年頃にそれよりも200年前の原本から筆写。
長さ約5.5m、幅約33cmの巻物。
ƒ 『モスクワ・パピルス』・・・同時期の遺物。長さ約
4.6m、幅7.62cm。
古代文明における数・計算
ƒ 古代メソポタミアから出土する計算問題も、現
実の測量や穀物量の計算ではなく、仮想の
問題と思われる問題が多数ある。
ƒ 古代において、測量術などの必要ばかりでな
く、大規模組織の管理者教育のために、数
学・算数が用いられた証拠と考えられる
(『カッツ数学の歴史』)
本日のまとめ
ƒ 最古の数表現とされるイシャンゴ・ボーンは、
一種のそろばんか月齢カレンダーと考えられ
ている。
ƒ 人類最初の記録システムは、大規模な公共
的組織を維持するために登場した。
ƒ 数や計算の記録は、経済・行政文書や天文
学などの必要性によって発達した。
ƒ 古代では、、数学・算数は、大規模組織の管
理者教育のために用いられた。
本日の課題
ƒ 任意のアラビア数字をシュメールの60進法で
表そう。
ƒ 3つのアラビア数字(3桁以上)と、それに対
応する3つのシュメール数字がどれかわかる
ように、出席票に書いて提出してください。
ƒ 桁数の大きな数字をうまく表わせれば、高く
評価します。
ちょっと時代は飛ぶけれど・・・
ƒ ローマ数字による数の表現に挑戦しよう。
アラビ
ア数字
ローマ
数字
1
I
5
V
10
X
50
L
100
C
500
D
1000
M
基本的な原則・・・大きな数字は原則的
に左に書く。すべての数字を合計する
と、表示する数になる。
減算則・・・4や9などの表現をするとき、
IV、IXと書く。90は、XCとなる。ただし、
右側の大きな数字は左の数の5倍もし
くは10倍でなければならない。
つまり、IV=5-1=4、VI=5+1=6、
IX=10-1=9、XCIX=100-10+10-1=99.
本日の課題
ƒ ヨーロッパ世界では、12世紀にアラビア数字(私た
ちが現在使っている数字)が導入されるまで、ロー
マ数字を使っていた。
ƒ ローマ数字は、位取りがないうえ、ある位が空っぽ
であることを示す0がない。したがって、筆算ができ
ない。
ƒ それでは、アラビア数字以前、ヨーロッパ人はローマ
数字を使って、どのように計算をしていただろうか?
想像してみてほしい。
ƒ 正答でなくてもよいが、題意を外した解答はNG。
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