初等 ・ 中等教育における代数構造の指導

154
初 等 ・中等 教 育 にお け る代 数構 造 の指 導
Teaching of Primary and Takashi FuJlsAwA,
Hiroshi Hisao Sigeaki and Suteo Education
TAKAMURA,
ANBUTSU,
HASHIMOTO
慰 寒
ぶ だ な が ゑ
雄 隆 博 夫 昭 夫
Tsuji,
Secondary in
吉 久茂 捨
沢村 仏本 沢
Yoshio structures 辻 藤 高 安 橋 北
algebraic KITAZAWA
1 理 論 的 背 景
的 に は3人
とか3本
て で あ るが,や
とか3匹
とか い う形 に お い
が て そ れ ら に共 通 し た性 質 と し
「数 学教 育 の 現 代 化 」 を要 約 す る と現 代 数 学
の 考 え 方や 見 方 を数 学 教 育 に導 入 す る とい う こ
て3と
い う数 が抽 象 され, 「さ ん」 とい う数 詞
と で あ る。 そ れ に は た だ に数 ・式 ・図 形 に と ど
字 が 生 まれ た よ うに 思 われ る。 この よ うに数 と
が 生 まれ,記 号 化 され て3と かIIIとか とい う数
ま る こ とな く,お よ そ わ れ わ れ の 思 惟 の 対 象 に
して の3は
な る もの は すべ て 取 り上 げ て 問 題 に し,そ れ ら
的 な もの で あ る。 従 って3と
の もつ 性 質 を抽 象 し,必 要 に 応 ヒて 演 算 を定 義
い の で あ っ て,実 存 す るの は た だ3個
し て,そ れ らの 集 合 を構 造 化 して い こ う とす る
3本 の 鉛 筆 で あ る。 お よ そ抽 象,具
の で あ る。 そ して それ が 抽 象 的 で あ れ ば あ るだ
は 相 対 的 な もの で,や が て この 抽 象 的 な数 も,
け 一 般 的 で あ り,普 遍 的 で あ るか ら,そ の理 論
あ たか も具 体 的 な もの の よ うに扱 え る よ うに な
が 適 用 され る範 囲 も広 範 な もの とな るの であ る。
る。 す な わ ち数 を表 わ すa,b,cに
この よ うな 現 代 数 学 を外 に して 数 学 教 育 は考 え
3は 具 体 とな る の で あ る。
られ な い。 そ して 今 度 の指 導 要 領 に は,小 ・中
・高 を通 じて 「
事 象 を数 理 的 に と ら え,論 理 的
に 考 え,統 合 的,発 展 的 に考 察 し処 理 す る能 力
わ れ わ れ の 思 惟 の産 物 で あ っ て抽 象
い う数 は実 存 しな
のみか ん,
体 とい うの
対 して,1,2,
と こ ろ で,自 然 数 全 体 とは1か
ら始 ま る と
こ ろの
N一{1,2,3,…}
と態 度 を育 成 す る」 こ とが ひ ょ うぼ うさ れ て い
を い う の で あ る 。 小 学 校 で は 最:初 は こ れ に0を
る。 い ま数 ・式 の 指 導 に お い て,こ れ ら の ね ら
付 加 し た 数 系(whole い を どの よ うに具 現 して い け ば よい か を学 問 的
が,.減 法 に 関 し て 閉 じ て い る よ う に す る た め,
な裏 付け を しなが ら考 え,数 学教 育 の め ざす 方 向
高 学 年 で負 の数 が導 入 され る。 こ れ を うけ て 中
に ふ れ て み た い 。 た だ し主 と して代 数 構 造 の面
学 校 で は 整 数 全 体Zを
に 限 る こ とに す る。
う と す る の で あ る。
1 数
(1)整
number system)を
扱 う
構 造 的 に 把 握 して い こ
数 環Z
わ れ わ れ は 単 な る 集 合 で は な く,そ
の元 の 間
数 は,そ の最 初 は事 物 をか ぞ え る とい う行 為
に 演 算 が 定 義 さ れ て い る も の を代 数 系(alge-
に お い て現 わ れ て きた の で あ ろ う。 それ も具 体
braic system)と
事 附属 小 学 校
榊 附属 中学 校
'
呼 ん で い る。
初 等 ・中 等 教 育 に 於 け る代 数 構 造 の指 導(辻
自 然 数 全 体N((Z)の
加 法,乗
元a,b, c,… の 間 に
法 が 定 義 さ れ て い る 。 す な わ ちNは
法 ・乗 法 に 関 し て 閉 じて い る(closed).そ
加
して
(イ) (a十b)十c=a十(b十c)
(ab)c (結 合 法 則)
b-a≠a-b
(b-a)一c*b一(a-C)
述 の よ う に,引
し算b+(一a)と
き算b-aを
考 え る と,す
ab=ba
(・9・(b+C)=ab+ac
足
な わ ち減 法 が 加
法 で 統 一 さ れ て し ま う と,Z (ロ) aヨーb=b十a
155
と こ ろ で,
で あ る が,上
=a(be)
・他)
において つね に
(交換 法 則)
結 合 法 則,交
(分酉己法 貝U)
れ わ れ の 数 概 念 に 合 致 す る こ とが わ か る 。
を 満 た し て い る。 と こ ろ で
換 法 則,分
自 然 数 を 整 数 環Zの
a十b=x
配 法 則 が 成 り立 ち,わ
一 部 とみ る の が 統 合 的 な
………一 一 … ・
… … …①
に求 め る こ とが で き るが
考 察 とい う こ とに な る。
のxをN中
a+x=b Va, a+O=a のxをN中
に も とめ る こ とが つ ね に可 能 とは 限
で あ る 。 す な わ ち,ど
の よ う な 元aに
… …②
数0の
性 格 とは何 か 。 そ れ は
……④
加 えて も
ら な い。 つ ね に求 め られ る ため に は数 の領 域 を
不 変 に 保 つ も の で あ る 。こ の 性 質 を も つ も の を,
拡 大 して い か な け れ ば な ら な い。 そ の た め に は
加 法 の 単 位 元(零
0と 負 の 数 を創 り出 す必 要 が あ る。 とい う具 合
つ ぎに乗 法 の 単 位 元 とは
に,数
を た だ 自然数 だ け と固 定 して し まわ な い
Va, ae=a
で,あ
る 目的 の た め に領 域 を拡 大 して い くの が
を 満 た す 元eを
元)と
い う。 ま ぎ れ な い と き は こ のe
発 展 的 に 考 察 す る とい う こ とで あ る。
を1と
い ま0や 負 の 数 が,数 の 仲 間 と して考 え られ
Va, a・1=a る ため に は,わ
代 数 系Rが
れ わ れ が そ れ ま で の数 に対 して
か く。 す な わ ち
す な わ ちR∋a,b,C,…
こ とで あ る。 こ れ は 後 で 考 察 す る こ とに して,
a十bεR, ① のxを 求 め る の が加 法 で,②
で あ っ て,
が 減 法 で あ るが,一
体,代 数 系 に お い て 減 法 が
(2)a+b=b+a 加 法 的逆 元
(3)Va, a+0=aな
)が つ ね に その 代 数 系 に 存 在 す る こ とで あ る。
一aと は
(4)Va, a十x=0な
(5)(ab)c=a(be) い う。 従 って
a+(一a)=0 … …③
を変 形
と書 け る とい う こ とで あ るか ら,②
(a一}一x)十(一a)=b十(一a)
(結 合 法 則)
(分 配 法 則)
環(ring)を
つ く る,ま た は 環
を も っ と い う 。と こ ろ で,
環 を つ く っ て い る こ と に な る が,
お い て は 上 記(1)∼(6)以 外 に さ ら に,
(7)ab=ba
・)
(8)Va, .'. 0十x=b十(一a)
上 の 変 形 が 行 え る た め に は,負
るx(=・ 一a)εR
を 満 た す と きRは
定 され て い る とす る)
.・. x=b十(一a)(一b-aと
(零 元 の 法 則)
の 構 造(structure) Zに
一b+(一
(交 換 法 則)
る0εR (b十c)a=ba十ca
整 数 全 体Zは
・)}+・
(加 法 的 逆 元)
の両 辺 に 一aを 加 え る と(等 式 の基 本 条 件 は 仮
∴{・+(一
(結 合 法 則)
(6)a(b+c)=ab+ac ② がxに つ い て解 け る とい うこ とは,②
してx=…
に つ いて
(1)(a+b)+c=a+(b+c) う。 そ れ は 元aに 対 して 一a(aの
とな る元yを
……⑤
法 に 関 し て 閉 じて い て,
abεR
可 能 なの は ど うい う場 合 であ るの か を考 え て み よ
a十Y=0
加 法,乗
い だ い て い る数 概 念 に 合 致 す るか ど うか とい う
のxを 求 め るの
い う
(9)ab=ac, の 数(元)を
る1εZ
a*0一>b=c (消 約 律)
を満 た して い る。
カ・く)
め た 代 数 系 の 元 の 間 に 少 く と も交 換 法 則,結
a・1=a,な
含
こ れ ら9つ
合
域(integral 法 則 が 成 り 立 た な け れ ば な ら な い こ とが わ か る。
か え る と,整
の 性 質 を満 た して い る代 表 系 は 整
domain)を
つ く る と い う。 い い
域 と は 三 則 算 法(加
法 ・減 法 ・乗
156
法)が
第 21 滋 大 紀要
成 り立 つ 代 数 系 を い う。Zが
そ の 他 の 諸 種 の 演 算 法 則 は,こ
もっ て い る
れ ら9つ
の法則
か ら導 き 出 さ れ る の で あ る 。 例 え ば
(イ)一(一a)ニaで
と な るxを
あ る。 な ぜ な らa+x=0
一aと
書 くの で あ る か ら
a+(一a)・=0 ∴(一a)+a=0
よ り 一(一a)ニaを
(ロ)整
域 で は0は
た だ 一 つ で あ る。 な ぜ な ら
あ って
Vb, b十 〇'=b
層
な ら ば,必 然 的 に,と
{(一
・)(一b)+(一
・)b}+・b
一(一 ・){(一b)+b}+・b
=(一a)・0+ab
=0十ab
=ab (一
・)(一b)+{(一
・)b+・b}
一(一 ・)(一b)+{(一
得 る。
Va, a+0=a
い ま も う一 つ0'が
1971
号
・)+・}b
=(一a)(一b)十
〇・b
=(一a)(一b)十
〇
=(一a)(一b) ⑧,⑨
……⑧
……⑨
の左 辺 ど う しは 等 しい か ら
(一a)(一b)=ab
き も成 り立 つ か ら
ま たZの
あ る種 の 部 分 集 合 の 構 造 を し らべ る
の も興 味 が あ る 。
0'十
く にa=σ,b=0の
と
〇=0'
0十 〇'=0
例 えば
と こ ろ で0'+0=0+0'で
あ る か ら0'=0.同
2mmeZ=(2)
じ論 法 で 乗 法 の 単 位 元1も
た だ1つ
4mMEZ=(4)
である こ
8mmeZ=(8)
とが 導 け る。
(,9a+x=a+yな
ら ばx=yで
な ら 両 辺 に 一aを
則,零
加 え て,交
あ る。 な ぜ
換 法 則,結
合法
元 の 性 質 を用 い て
16mlm・Z}一
とす る と,包
⑯
含 関 係(inclusion (2))(4))(6))(8))(1⑤
(a十X)十(一a)=(a十y)十(一a)
が 成 り立 つ 。 実 は(1)=Zで
∴(一a)'+(a+X)=(一a)+(a+y)
一 般 に 整 域Dの
{(一 ・)・・}+・ 一{(一 ・)・・}・ ・
.'. 0十x=0十y
b(ま
た はc)はaの
きaはb(ま
x-b-aはa+x=bの
と い っ て,bla(ま
a十yニbな
解 で あ る こ とは 既
ま 一 つ の 解yが
あ って
ら
間に
た はc)の 倍 数(元),
約 数(元)と
た はc)で
書 く。こ の と き
mln⇔(m))(n)
と こ ろ で(m)中
の2元
の 差 も(m)に
中 の 元 の 任 意 の 倍 数 も(m)に
.。. yニX ('.●(ノ
・)より)
質 を もつ 集 合 は イ デ ア ル(ideal)を
……⑥
一方
……⑦
(0+0)aニOa=Oa+0
Oa十paニOa十
一 方(4)∩(6)=⑫
一般 に
つ く る とい
で あ る こ と は 直 ち に わ か る が,
(m)∩(n)=(1)
こ こ に1はmとnの
〇
る 。mとnの
りOa=0
(2)有
←)(一a)('一b)ニabで
と こ ろ でZに
あ る。
最:小公 倍 数(1,c. m.)で
最 大 公 約 数(g, c, m)dに
(d)=(m)+(n)と
同 じ論 法 でaO=0
なぜ なら
属 す る 。 こ の2性
質 を もつ こ と は 自 明 で あ る 。
(0+0)a-pa+Oa
よ り
属 し,(雨
う 。 上 の(2)は 偶 数 全 体 で あ る 。 こ れ が こ の2性
あ る。
なぜ な ら
⑥,⑦
い う。こ の と
割 り切 れ る(整 除 さ れ る)
た はcla)と
a十yニa十X
(ホ)0・a=a・0ニ0で
(・9よ
元a,b,cの
a=be
(⇒ 減 法 は 可 能 で 一 意 的 で あ る。
に 述 べ た が,い
あ る。
が 成 り立 つ と き,aはb(ま
.○. X==Y
relation)
あ
つ いては
な る。
理 数 体Q
お い て は 除 法 が 定 義 され て い な
い 。'除法 が 乗 法 の 逆 算 と い わ れ る の は
初 等 ・中等 教 育 に 於 け る代 数 構 造 の 指 導(辻
のxを
ab=x ……⑥
求 め る のが 乗 法 で
のxを
… …⑦
157
と 書 け る 商q,剰 余rは
ばmニ7と
ax=b(a≠0) ・他)
一 意 的 に存 在 す る 。 例 え
す る と剰 余rは0,1,2,3,4,5,6の
い ず れ か で あ る。 い ま 同 じ剰 余 を もつ2整
求 め る の が 除 法 で あ る こ とか ら きて い る。
a2(a,=7m,十r,a2=7m2十r) 一 体 除 法 が 可 能 な の は ど う い う場 合 で あ るの か 。
そ の 差a,一a2=7(m1-m2)と
そ れ はVa(キ0),as一'=1と
数 と な る 。 こ の よ う に2数a,bの
な る a'が
その
の 逆 元 とい う 。)なぜ な ら⑦ の 両 辺 にa冒1を
る と a-1(ax)=a一'b =a一
∴(a"'a)xニa曹lb 】b.こ のa-1bを
甚
=cbと
商
って 相 等 の定 義:甚=喜
で あ る。 従
← →ad=beを
(congruent)と
a≡b 立てな
倍数
法 と して合 同 で あ る
い って
(mod 7)
の 法 則 を満 た す。
(i)
反 射 律: (11)
対 称 律:a≡b(mod (mod ●●1
■-
)
(
の 元 の 商 全 体 か ら成 る集
差 が7の
倍
と書 く。 こ の 整 数 の 元 の 間 の 合 同 と い う関 係 は,
つ ぎ の3つ
と きax=bとcax
は 同値 で あ るか ら 吾=舘
け れ ば な ちな い。N かけ
... x
と 書 き, bとaの
と い う 。 と こ ろ で,c≠0の
な っ て7の
と な る と き,aはbに7を
代 数 系 に 存 在 す る こ と で あ る 。(こ のa'1をa
数al,
に つ い ては,
a≡a(mod 7)
7)≒>b≡
…a
y)
推 弄多律:a…
≡"=_b, b≡c≒>a≡c(mod?)
合 は 有 理 数体Qで
あ る。 こ こ に使 用 した 体 と
い う概 念 は,四 則 算 法 が 可 能 な代 数 系 とい うこ
以 上 の3つ
とで,そ
う。 同 値 関 係 で 同値 な もの を集 め て整 数 全 体Z
の よ うな代 数 系 の 総 称 で あ る。
一 般 に整 域Dの
商 体Q(D)と
元 の 商 全 体 か ら成 る集 合 を
を類 別 す る こ とが で き る。
い う。
とこ ろ で,Qは
その ま ま で はZの
拡張領域
とは い い切 れ な い 。 とい うの はQの
元は商 で
あ るがZの
Qの 部 頒
の法 則 を満 たす 関 係 を 同値 関 係 とい
そ れ は 商 で は な い か ら。 とこ ろが
合S一{号1・
間 に つ く っ た1対1対
・Z}とZの
元 との
応
Re一{・
・1・ ・≡ ・(m・d7)},
Re={b・lb・
≡b(m・d7)},…
こ れ らの 類R、,Rb,…
を7を 法 と し た と き の 剰
余 類 と い う。
(イ)反
射 律 よ り aεR。
a
aト
ー
→一
1
(ロ)剰
余 類 は 一 致 す る か,ま
な ぜ な らR。
Q
Z
∩R,≠
す る とc≡a(mod φ
7)か
っ てa… ≡b(mod 7).よ
× α
×旱
はbと
つc≡6(mod'7),従
っ てaと
合 同 に な りRSRb.同
Rb⊆R。.ゆ
ま
`
(ロ)よ り7を
た は 交 わ ら な い。
とす る 。共 通 元 をcと
合 同 な もの
じ論 法 で
え にR。=R、
法 と した と きの 剰 余 類 を
Ro,R1,R為R馬R4,RS,R6,
・+b・一 雫
・
・一
一号 ・与
と し て よ い 。 い ま剰 余 類 の 間 に 加 法,乗
各 剰 余 類 か ら代 表 元 を と っ て き て,そ れ ら の 和,
宇 一子 ・亭
積 を つ く り,そ
を 満 た す 。 す な わ ち 加 法,乗
こ の 対 応 の も と でSはZに
(isomorphic)。
法 を 保 持 す るか ら,
同型 で あ る
同 型 な もの を 同 一 視 す る とQは
の 和,積
が 入 っ て い る剰 余 類 層
と
定 義 す る。 例 え ば
R`十R;=R;+」,R`・R;=・R;;
と 定 義 す る と,こ
れ は 代 表 元 の と り方 に 依 存 し
Zの 拡 張 と な っ て い る。す な わ ち 整 数 を 有 理 数
な い 。 な ぜ な ら ∫≡ ガ,」 ≡j'今i+j≡
と し て 発 展 的,統
`1⇒'j'(mod 整 数bは1・X=bの
(3)剰
余
合 的 に 考 え る の で あ る。(注:
解 と み ら れ る)
a=mq十r, 7)と
ガ+」',
な るか ら。す る と剰 余 類 の
集 合{Ro,R1,R2,R3,R4,R5,R6}は
整域 を
つ く る こ と が 整 域 の 公 準(1)∼(9)を 検 す る こ と で
系
Z∋a,m(>0)に
法 を,
つ いて
0≦r<m
容 易 に わ か る。 そ し てR。 が 零 元 で,R1が.単
位
158
滋大紀要
元 で,R,の
第 21 加 法 的 逆 元 はR,で
法 も可 能 で,R3の
あ る。 実 は 除
逆 元 はRSで
か る 。 従 っ て{R。,R,,…, あ る こ とが わ
R6}は
体
をつ
く
って い る。
1971
号'
<≒ …>ab≡…0(modm)≒>a…
約 律)
た はb=0
(modm)⇔mlab=i>mlaま
た はmlb
こ れ が つ ね に い え る の はm=Pの
実 はm=Pの
上 述 の(9)(消
≡0(modm)ま
と き,す
もつ 。 こ れ は
と き に 限 る。
な わ ちZ,は
体 の 構造 を
「有 限 整 域 は 体 を つ く る 」 と い う
ab-ac a≠0≒>b=c
, 理 論 の 一 つ の 帰 結 で あ る 。 な ぜ な ら,い
は,つ
堅 城 をD={a,,a2,…, ぎ の2つ
の 命 題 と 同 値 で あ る:
(9)'ab=0≒>a=0ま
D・a(キ0)に
た はb=0,
(9)" a=卜0,b=←0→>ab=←0
(=M)な
従 っ て整 域 に は 零 因 子 が存 在 し な い こ と をい っ
もDに
て い る 。 (注:R3a,bに
as・=aalと
で あ る がab=pと
つ い て, a≠0,b≠0
な るa,bを
零 因 子 と い う)
と こ ろ が,法
が 合 成 数 の と き,例
の と き に は,剰
余 類 は{R・,R1, R・}で
あ るが
R,=R。
と な っ て 零 因 子R2,R3, る こ と に な り,(9)"を
R,が
な 。 て ,R。
,,R,.
す る と 剰 余 類 は{Ro,.
は 偶 数 全 体Rlは
体 で あ る。 そ してR。
とR,の
・ … ・・a・}
る 集 合 を 考 え る と,Mの
属 し,い
か ら.従
元 は い ずれ
ず れ も等 し くな い 。 な ぜ な ら
す る と,消
約 律 よ1)a`=a;と
っ てMはDと
なる
全 体 と し て 一 致 す る.
ヨak eD, aak=1
と な る か ら,Dは
体 を つ くる 。
存在 す
満 た さな い か ら整 域 をつ
く ら な い 。 と くにm=2と
R,}と
一Ro
す る と,
つ い て,{aa,・as・
よって
え ばm=6
R3, R3, R4,
こ の と き に はR,.R、
an}と
ま有 限
奇数 全
間の演算結果 と
2 式
環Rを
係 数 域 と し て もつxの
整 式 全 体R〔x〕
は ま た 環 を つ く る。 従 っ て 零 因 子 も 存 在 す る が
整 域D を 係 数 域 に もつ 整 式 全 体D〔x〕
は整 域
偶 数 と奇 数 の 間 の 演 算 結 果 とが並 行 す る こ とが
を つ く る こ と は 容 易 に 検 証 で き,整
わ か る.い
と 全 く同 じ性 質 を も つ 。 零 元 は 零 多 項 式 で,単
まZ,一{・,1}な
る集 合 を 考 え て
これ の 元 の 間 の 演 算 を,通 常 の加 法,乗 法 を施
した 結 果 を法2で
考 え る,す な わ ち和,積
を2
で割 っ て そ の剰 余 を とる と,上 に の べ た{R。,
単 位 元 と同 一視 で きる。 逆 元 は存 在
し な い か ら 体 を つ く ら な い 。Zに
商 体 は 有 理 数 体Qで
演 算 結 果 と並 行 す る.こ れR1}と商 体 は,D〔x〕
{偶,奇}の
を一般 に して集 合
の 元 の 間 の 加 法,乗
/
法 は通 常 の よ うに施 し た結
を法pで 考 え た もの を新 しい 和,積
はZと
つ の に 対 し て,有
体Qと
同 じ整 域 と し て の 構 造 を も
同 じ構 造 を も つ.そ
れ で は 剰 余 系Z,
に 応 じ る もの は 何 か と い う 問 題 に な る。 と こ ろ
でZに
{Ro,R,, に お い て は 既 約 多 項 式P(x)で
R2,…, R,一1}とZpの
元 の 間 に1
応R、 ト 》∫が つ け ら れ て
R;十R;=R;+,←
R;・R;=R,;ト
で あ る か ら,こ
あ た る もの が,D〔x〕
p(x)の
の 対 応 は 演 算 を 保 持 す る。 従 っ
は 同 型 で あ る。
う こ と に な る 。Z,が
し,こ
有 限 集 合 で あ った の に 対
れ は 無 限 集 合 で あ る が,体
が 証 明 で き る。 例 え ばR〔x〕
Z,={0,1
x2+1と
一 般 に,Zmは
環 を つ くっ て い る が,こ
整 域 を つ く る の はmが
ぜ な ら,Z。3a,bに
abニ0→a=0ま
剰 余 系 と い う。
素 数pの
対 して
た はb=0
れが
と き に 限 る。 な
なわ ち
倍 数 を 無 視 した と きの 多項 式 全 体 とい
抽 象 的 に は 同 型 な もの を同 一 視 す る。 こ の
,2,3,…,p-1}を
あ る か ら,
割 っ た 剰 余r(x)全
体 か ら な る 集 合 と い う こ と に な る.す
→`」
て こ の 対 応 の も と でMとZ,と
お け る 素 数pに
(D〔x〕 ∋)1(X)をP(x)で
→`十 】
に対す る
理 式 全 体 は体 と して 有 理 数 全
と定 義 す る。 こ の と き先 述 の剰 余 類 の集 合M=
対1対
対 して,そ の
あ る が,D〔x〕
の 元 の 商 か らな る有 理 式 全 体 で
あ る。D〔x〕
Z・ 一{・ …2,3・ … ・ ・一1} 果 の 和,積
位 元 はDの
数 整 域Z
を つ くる こ と
に お い て,P(x)=
す る と, R〔x〕 ∋メx)をP(x)で
と剰 余 はxの1次
式a+bxで
剰 余 全 体 に お け る 加 法,乗
あ っ て,こ
割 る
れ らの
法 は 通 常 の よ うに 和,
積 を 求 め て そ れ をx2+1で
割 っ た も の,す な わ ち
そ れ はx2の か わ りに 一1を
代 入 し た も の と な るか
初 等 ・中 等 教 育 に 於 け る 代 数 構 造 の 指 導(辻
ら,こ
れ は,C一{・+bid・
・beR, i2一
一1}
と同型 に な る か ら体 をつ くる こ と もわか る。
(文 責 辻
吉 雄)
・他)
0の 組 0 159
2 4 6 8 10・
図 烈烈/A
1の 組 1 3 5 7 9 ・0の 組 の 数 ,1の
II そ の 具 体 的 実 践
・
…
組 の 数 は,ど
んな数
か。
・2つ
1 小学校 におけ る指 導例
の 集 合 が ,い
っ し ょに な っ て整 数
の 集 合 を つ く る。
第5学 年 整 数 の性 質 一
整 数
整数 に つ いて は,前 学 年 に お い て 数 の 範 囲 を
奇 数
偶 数
は じ め に
億 ・兆 の単 位 まで 拡 張 し,十 進 位 取 り記 数 法 に
よ っ て 表 わ され て い る こ とな ど,十 進 数 と して
の理 解 は完 成 して い る。 ま た 数 の と ら え方 に し
て も,い ろ い ろ な数 をつ く る とか,ひ
とつ の 数
を ほか の数 の和や 差 あ るいは積 として 見 る な ど,
低学年か ら漸次深め られて きている。
こ こで は,
○奇 数 ・偶 数 の並 び 方 の 規 則 を考 え る。
・
國三÷
鑑lil鞭 ぬ
具 体 的 な場 をは な れ て 抽 象的 な数 と して,整 数
全 体 を考 察 の対 象 と して 取 り上 げ,整 数 の 理 解
を い っ そ う深 め よ う とす る もの で あ る。
1.指
導 の ね ら い
1の
位 が0・2・4・6・8
・
医 書1澱 ε
響脇 ン
数
偶 ・奇 ・偶 ・奇 と交 互 に並 ん で
・
囹(
集 合 の 考 え の 立場 か ら剰 余 に着 目 して,整 数
の 集 合 を奇 数 と偶 数 の 集 合 に分 類 させ,そ の 集
い る。
合 の要 素 の あ い だ に 演 算 を ほ ど こす こ とに よ っ
ら れ る。 →(2と
o整
0123456789・
て,そ の 結 果 が どの 集 合 に属 す るか な ど考 察 さ
全 体 が 奇 数 ・偶 数g)二
数
つに分 け
び の 数)
・
せ る。
余
2.指
り0101010101・
・
導 の 観 点
① 奇 数 ・偶 数 の あ い だ に は ど ん な 関 係 が あ る
整数 の性 質 と して は,奇 数 ・偶 数 ・倍数 ・約
か。
数 ・公 倍 数 ・公 約 数 ・剰 余 類 ・n進 法 な どあ る
05に,あ
が,こ れ を従 来 の よ うに 分 数 の約 分 ・通分 の 準
る 数 は,奇
備 と考 え,計 算 の技 術 に 流 れ る の で は 意 味 が な
え る。
い。 整 数 の 観 念 を 明 らか に す る とい う意 味 で 取
●024681012
り上 げ,四 則 の 可 能 性 と関 連 づ け,数 直線 上 の
数 か,偶
数 か,そ
の わ け を考
(偶数)
13579113
点 と対 応 づ け なが ら ま とめ る。
3.指
る数 を たす と奇 数 に な っ た 。 あ
(奇数)
導 の展 開 例
●5+・
一{5,7,9,11,12…}
① 整 数 を奇 数 と偶 数 に 分 け る。
○整 数 を,0か
の組 に 分 け,組
せ る。
ら順 に,次 の よ うに,二 つ
の 最初 の 数 で組 を代 表 さ
・ 一{5-5,7-5,9-5,…}
・ 一{0,2,4,6,8,…}→
偶 数
○つ ぎの 数 は,そ れ ぞれ あ る数 と同 じ集 合
の 数 か,反 対 の集 合 の 数 か 調 べ る。
滋大紀要
160
第 21 1971
号
・あ る数 よ り偶 数 だけ 大 きい数 。
2 2
0
1
2
0
2
1
・あ る数 よ り奇 数 だけ 大 きい数 。
○具 体 的 な数 値 で 計 算 しなが ら,乗 法 につ
い て も調 べ,そ
の わけ を考 え る。
・[コ ×イ
禺数={禺 数 ×[コ=偶
4,指
導 をお えて
先 に 述 べ た整 数 の 性質 として あ げ られ る もの
数
は,す べ て を教 材 と して 取 り上 げ る必要 は ない。
・奇 数 ×奇 数=奇 数
③ 整 数 を3つ の集 合 に 類 別 す る に は ど うす れ
児 童 の 認 識 とそ れ まで の 学 習 経 過,素
`まよ いカL。
せ て これ を実 証 して い か ね ば な らな い。 先 の実
O整 数 が3で 割 り切 れ るか ど うか に よ っ て
践 は その 一 部 で あ るが,実 践 を通 して 考 え るこ
分 類 す る。
とは,奇 数 ・偶 数 とい っ た とっつ きや す い,比
・)が・}一{・,3,6,9,…}
B一{余
りが1}一{・,4,7,・
C={余
りが2}一{2,5,8,・1,…}
較 的 容 易 な窓 口 で あ っ たせ い もあ って 概 して意
欲 的 に学 習 で きた。 で もこの 場 合 の0(余
・,…}
0)な
りが
ど,数 字 の0と 混 同す る な ど ま だ まだ 問
題 が あ る。 特 に剰 余 類 の もつ 代 数 的 構 造 に ふ れ
一1
△ ㎝
'A一{余
地 に合 わ
よ う と した場 合 で は,加 法 に 関 して は代 数 的 構
造 を もつ こ とは わ か りや す か っ た が,「乗 法 に 関
して ど うだ ろ う」 と い う課 題 は,今 一 つ 理 解 が
B
困 難 の よ うで あ っ た。 しか し,こ の 学 習 を通 し
7
6
5
て 子 ど もが 数 の お も しろ さ,美 し さ に ふ れ て く
れ た こ とは現 場 に い る もあ と して の 喜 び で あ っ
01201201
た。 A
(文 責 高 村博)
2 中学校 におけ る指導例
第2学 年 数 と演 算
{_ (1)数
}BG
C
{2,5,8,11,14,…}
て も,必
ま りが0の
集合 の 中
に そ の 和 が あ る。 そ れ は 余 りにつ い
て 「0+0=0」
1=2」
集 合 ど う し加 え れ ば,「1+
で,和
は 余 りが2の
二 次 元 の 表 に ま とめ る。
2
合 で は,異
な る二 つ の 整 数 の 間 に,他
の整 数 が'
ア イ
一5-4-3-2-1012345
一5-4-3-2-1012345
有 理 数 で は,ど ん な に 近 い 数 を と っ て も,そ
・ 〈 加 法 の 表 〉 〈 乗 法 の 表 〉
1
き るが,最 大 の 数 も最 小 の 数 もな い 。 整 数 の集
そ の よ うな整 数 は 有 限 個 で あ る。
集合の 中
・ こ の 結 果 を わ か りや す く表 わ す た め に,
0
整 数 全 体 も数 直 線 上 に 一 列 に並 べ る こ とが で
あ る場 合 と,な い場 合 とが あ る。あ る場 合 で も,
を満 た す か ら 。
の要 素 に な る。
十
大 の数 は
な い。
集合の 要 素 ど う し加 え
ず,あ
・余 りが1の
自然 数 全 体 は数 直 線上 に 一 列 に並 べ る こ とが
で き る。 そ して,最 小 の 数 は1で,最
{・,4,7,1・,…}
・あ ま り が0の
の つ ら な りの よ う す
×
0
1
2
0
0
1
2
0
0
0
0
1
1
2
0
1
0
1
2
の 間 に ま た 有 理 数 が あ る。 つ ま り,整 数 で は,
上 の 図(ア)の
て,数
よ う に ポ ツ ン ポ ツ ン と離 れ て い
と 数 の あ い だ に す き ま が あ る(離 散 的
で あ る と い う)が,有
(イ)の
理 数 の 集 合 で は,上
の図
よ う に 数 直 線 上 に ビ ッ シ リ と並 ん で い
初 等 ・中等 教 育 に 於 け る代 数 構 造 の 指 導(辻
る。 (稠 密 で あ る とい う)
数 に は,円 周 率(π)の
数(無
る と い う 操 作 a⑥b
よ うに 有理 数 で な い
理 数 とい っ て3年 で学 習 す る)も あ る。
しか し,π
も数 直 線 上 の 点 に 対 応 させ るこ とが
8⑥20=4
例3 2つ の 数a,bの
8㊧2=8
理 数 に 対 応 す る点 の あ い だ に,さ
例4 らに この よ う
実は有理 数 に もす き間 が
あ る こ とに な る。
(実 数 の集 合 は連 続 で あ る と
い う)
(2)有
2つ の 数a,bの
平 均 を求 め る と い う操
作a㊥b
8十2
2 =5
8㊥ 2=
例5 理 数 と実 数 の 構 造 の ち が い
大 きい 方 を とる とい う
操 作a㊦b
で き るか ら,数 直 線 上 に ビ ッ シ リ並 ん で い る有
な点 が わ り込 め るので
161
・他)
A駅 か らB駅 へ 行 く場 合,運 賃Cを
求め
る とい う操 作A-B
有理 数 と実 数 で は,任 意 の 二 数 の あ い だ に,
東 京 名 古 屋
さ らに 数 が 作 れ る点 は共 通 して い る。 しか し,
根 本 的 な ちが い は,有 理 数 に は,下 の よ うに し
新 大 阪
4130
1700
て,す べ ての 数 に 自然 数 と対 応 して番 号(大 小
京 都
4050
1530
で は ない)を つ け る こ とが で き るが,実 数 で は,
名 古 屋
3060
京 都
1060
この よ うな 番号 をつ け る こ とは で きな い。
東 京 ∼ 京 都 二4050
づ
ヨ づ
る づ
ゆ りりり
③ /
/ ア/
ヨ
⊥3
タも
算(記
ろ 遍 乙 /。
//
/
一
/乞z/葱//
(4) 「演 算 に つ い て 閉 じて い る 」 と い う こ と
「集 合Sの 任 意 の 要 素a,bに
5τ
⊥5⋮ -
、
⊥・一
集 合Sは
例1 例2 自然 数 の集 合 は,最 大 公 約 数 を求 め る と
い う演 算⑥ につ い て は 閉 じて い るが,「2数 の
平 均 を とる」 とい う演 算㊥ で は閉 じて い ない。
(5)円
周 上 での 加 法
い意 味の演算
対 して も う
10
例1 四 則 と い う操 作
＼ ＼
8
aOb=c
4
す と
5
の 数a,bに
対 応 さ せ る操 作 を記 号 ○ で 表 わ
8 〆 -Lk
1つ の 数cを
結
つ く り出 す 操 作 」 を 演 算
3
と い う。 つ ま り,2つ
あ る と き, aにbを
,1 5
ものcを
一
「2っ の ものa,bが
合 し て 第3の
6
6
加 法 8+2=10 減 法 8-2=6
乗 法 8×2=16 除 法 8÷2=4
例2 演 算 ○ につ い て 閉 じて い る」 とい う。
自然 数 の 集 合 は,加 法や 乗 法 の 演 算 に つ
閉 じて い な い。
②
られ る。
要 素cが や は りSの 要 素 で あ る とき,
い て は 閉 じて い る が,減 法 や 除 法 の 演 算 で は
(注)同 じ数 は とば し,矢 じる しの よ うに番 号
をつ け る と,無 限 の有 理 数 に 番号 がつ け
(3)広
号 ○)を 行 な っ た と き,こ れ に よ っ て 得
た,第3の
号
つ いて ある演
2つ の 自然 数a,bの
最 大 公 約 数 を求 め
円周 上 で計 算 の 結果 が,↑ の 指 す点 に 対応 す る数 に
等 し くな るよ うな演算 を考 え る。
滋 大 紀要
162
第 21 法 で,こ れ を表 に ま とめ た の が 次 の 表(加 法 表)
集 合A一{1,2,3,…11,12}
の 要 素a,bに
1971
号
つ い て,
で あ る。
a+b≦12の
と き はa㊥b=a+b
a+b>12の
と き はa(Db=a+b-12
十
0
1
2
3
4
数 に 等 し く な る。
0
0
1
2
3
4
例5㊥3=5+3冨8
1
1
2
3
4
0
2
2
3
4
0
1
3
3
4
0`
1
2
4
4
0
1
2
3
と 決 め れ ば,演
算㊥ の結 果 は ↑の さす点 に対 応す る
⑥+⑧=6+8-12=2
(6)剰
余
系
整 数 全 体 の 集 合 は,い
別(交
くつ か の 部 分 集 合 に 類
わ りの な い よ う に 分 け る こ と)さ
た と え ば,整
数 を5で
て 類 別 す る と,次
れ る。
わ った と きの 余 りに よっ
(7)単
の よ うに な る。
位 元
・逆 元
a+0=0+a=a,つ
Ro
Ri
R2
…
R3
…
…
お い て,ど
R4
…
ま り,0は
一9
一8
一7
一6
a×1=1×a=a,つ
一5
一4
一3
一2
一1
お い て,ど
こ の5つ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
…
…
…
…
…
ま り,1は
算 を ○ で 表 わ す と き,aが
数 で あ っ て も,aOe=eOa=aが
法
よ う な 特 別 の 数eを
演 算 ○ につ い て の 単 位 元 と
い う。 単 位 元 は,ど
ん な 数 と演 算 し て も,結
は そ の 数 自 身 で あ る。 し た が っ て0は
つ い て の 単 位 元 で あ り,1は
き る だ け 簡 単 な もの が
R2, R,, R,で
代 表 させ て,そ
体{0,1,2,3,4}を5に
の全
よ る剰 余 系 と
どん な
成 り立 つ
とす る 剰 余 類 と い う。 剰 余 類 の 代 表 と して の 要
のR。,R,, 果 を変
えな い要 素 で あ る。
素 は ど れ で も よ い が,で
よ い 。 た と え ば,上
乗 法 ×に
の 要 素 と組 み 合 わ せ て も,結
一 般 に,演
の 組R。,R,, R2, R,, R,を5を
は,0,1,2,3,4で
果 を変
え な い 要 素 で あ る。
…
一10
0
加 法+に
の 要 素 と 組 み 合 わ せ て も,結
果
加 法+に
乗 法 ×に つ い て の
単 位 元 で あ る 。 ま た,
a+(一a)=0 (加 法 の 単 位 元)
a× 去=1 (乗法の単位元)
い う。
こ の よ うに,一
般 に一 つ の 集 合 の 二 つ の 要 素
例 5に よ る 剰 余 類 の 加 法
a,a'に
上 のR。,R,, R2, R3, R,は
次 の よ うに 考 え
られ る。
Ro…
…5の
倍 数, R,…5の
倍 数+2,R,…5の
R,…5の
(5の
倍 数 十(3十4)
=5の
倍 数 十2
倍 数+3
ふ つ う の 加 法 に お け る要 素aの
逆 元 は 一aで,
乗 法 に お け る要 素a(aキ0)の
逆 元 と い う。
逆 元 は÷ で あ
る。 (文 責 橋 本 茂 昭)
倍 数+4)
R,十Rd=R2
と い う 演 算 が で き る。R2, R,, R、,の 代 表 と し
3+4=2 つ い て の 単 位 元)
演算 〉
くに つ い て の 要 素
aの
し た が っ て,
と る と, 算Xに
素a'を
倍 数 十1
倍 数 十4
倍 数+3)+(5の
=5の
て,2,3,4を
a>〈a'=a'〉 ぐa=e(演
と な る場 合 に,要
R,…5の
演 算:〉
ぐを 行 な っ た と き
とい
う演 算 が で き る 。 こ の よ う な 演 算 が 剰 余 系 の 加