9.パワー・エネルギー ・仕事量

9.パワー・エネルギー
・仕事量
1. 仕事量(work)
•力を加えて物体を変位させるとき，
力は物体に仕事をするという．
F
•仕事の量を定量的に表す量＝仕事量
W = F⋅x
x
W = ∫ F ⋅ dx
dx
•力と垂直な方向に動くと仕事はゼロ
•単位：ジュール[J]＝[N･m]
•負の仕事(negative work)
F
g
x
仕事の原理
てこ，斜面，輪軸などを用いると必要な力を小さくすることができる．
しかし，必要な仕事量は同じ．
W = mg × h = mgh
W = mg sin θ ×
h
sin θ
mg sin θ
mg
h
b
mg
a
h
= mgh
sin θ
W=
a
h
b
b
a
mg × h = mgh
a
b
a
b
2. パワー(仕事率)(power)
•毎秒の仕事
•単位：ワット[W]＝[J/s]
平均パワー
瞬間パワー
∆W
P=
∆t
dW F ⋅ dx
=
= F⋅v
P=
dt
dt
回転する物体の場合
P = Frω = Nω
N
ω
・ r
F
3. エネルギー(energy)
•仕事をする能力の大きさ
•単位[J]
例）グローブでボールを受け止める
ボールがした仕事は
W = Fx
v
-F
F
ボールの加速度は
F
x
α =−
m
ボールが x 変位する間に速度は v から 0 に変化
(
)
1 2 2
F
0 −v = − x
2
m
v = v0 + at ⇔ t =
1
∴ mv 2 = Fx
2
(
)
v − v0
1
1
2
, x = v0t + at 2 ⇒ v 2 − v0 = ax
a
2
2
運動エネルギー
1
T = mv 2
2
回転体の場合(回転軸周りの慣性が既知の場合)
1
1 2
T = ωH 0 = Iω
2
2
o
回転しながら並進運動をする場合
→重心の並進運動+重心周りの回転運動
T=
vG
1
1
2
mvG + ωH G
2
2
G
ポテンシャル・エネルギー(potential energy)
◆その位置にある物体が持っているエネルギー
・重力による位置エネルギー
・弾性力による位置エネルギー
U = mgh
1
U = kx 2
2
etc…
→位置エネルギーの減り＝保存力のする仕事
保存力(conservative energy)
物体にする仕事が出発点と終点の位置だけで決まり，
途中のコースに無関係な力
例：重力，ばねの弾性力
Cf. 非保存力
位置エネルギーを考えることができない
例：摩擦力
4. エネルギー保存則
エネルギーの形態が変わっても，その総量は一定であること．
運動エネルギー+ポテンシャル・エネルギー＝一定
(T+U=一定)
g
静止
高さ
速度
U
T
h
0
mgh
0
0
1 2
mv
2
h
0
速度 v
v
1
mgh + 0 = 0 + mv 2 ∴ v = 2 gh
2
5. バイオメカニクスでの計算例
x, v, a
逆動力学解析
F, M
P = Fv = Frω = Nω
P
W = P∆t
W
画像，加速度センサ
参考)) 数学的準備
内積(scalar product)
2つのベクトル量 → スカラー量
B
A ⋅ B = AB cos θ
θ
B cos θ
→BのA方向成分と|A|の積
y
A
(B , B )
(A , A )
x
A ⋅ B = Ax Bx + Ay B y
y
x
0
y
x