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Journal Article / 学術雑誌論文
複素数を巡って : 美杉セミナー
蟹江, 幸博
Kanie, Yukihiro
数学教育研究会誌. 1996, 40, p. 2-55.
http://hdl.handle.net/10076/10442
複素数 を巡 つて
―
美杉 セ ミナ ー '95蟹江 幸 博
二重大学教育学部
は じめに
複素数に関連 した話をとい う二重県高校数学研究会 の会長である中
条先生からの要請で、 2題 の話を考えてみました。
高校 生向けの美杉セ ミナーでの話は、対象が どうして も高校 1、 2
年生とい うことで、微積分を原則 として使 えませんので、複素数を使っ
た解析幾何の話をす ることにしま した。お引き受け した当座は、もう
少 し翔んだ話にしようかと思っていました。つまり、リーマ ンの写像定
理の具体例 として扇形や色 々な多角形を単位 円に等角に写 した り、モ
ジュラー群 の基本領域で出来る球面の上の模様 を見せた りすれば、人
工的でない綺麗な図がたくさん出てきて喜んでもらえるだろうかと思
い、少 しは準備 も したので九
しか し、や は り2時 間 しかない講演で、複素数 の導入か ら始めなけ
ればならない とあっては、その ような構想は現実的ではないと思い、あ
きらめま した。
その代わ り、初等幾何の部分だけでもすべてを納得の行 くように解
説 したい と思って準備 しま したが、なかなかまとまる迄にならない う
ちにセ ミナーの 日が来て しまいま した。準備 した原稿 が物足 りない と
思っていたのですが、実際にはその とき準備 した ものの半分ほどしか
話せませんで した。
第 1節 はその時の レジュメの気になった所を更に敷街 した ものです
ので、これを改めて高校生に話す とすれ ば、 4倍 ほどの時間はかかる
かもしれません。二重大学の数学教育の大学院生に、証明も付け、関連
事項も説明 しなが ら講義 してみま したが、その倍 ほどの時間が掛かっ
-2-
て しまいま した。適 当に演習問題を付けカロえて 1年 の コースに組む と
か、幾つかの証明を演習問題に逃げれば、逃げ方によって、 2時 間 2
コマから8コ マ くらいの連続講演には出来ると思いますが、 1コ マ と
い うのはやは り時間が足 らなさそ うで丸
第 2節 は、高校 の先生を対象 とする、県の総合教育センターでの 2
時間弱の講演 のための レジュメに補筆 した ものですし最初は丁寧に話
していま したが、段 々 と話 してい るうちに リズム感が出て、準備 した
ものは大体話す ことが出来ま した。 レジュメを配布 してあったことも
あって、適 当な省略は しま したが、聴 いて くださった先生方には、数
学のシャワー を浴びたとい う感 じではなかったで しょうか ?シ ャワー
の水温が多少高かったか も知れ ませんが。年 に一度 くらい、数学に接
した とい う感 じを持っていただけた らそれで良いのではないかと思い
ま九
講演をお引き受け した春には、実は何のお話をした ら良いのかまる
で分か りませんで した。センターか らのご依頼の電話をお聞きしてい
て、講演すべ き趣旨が一向に分からず、冗談ではな く、「
数学の話を し
て も良いのですか ?」 と聞き返 した くらいですじ数学の話でなければ断
るとい うつ もりはなかったのですが、数学教育の話をする場合ならも
う少 し内容についての注文を付けてもらわない と却って困るなと、感
じて質問をしたので九
その ときの質問のご返事は、実は僕にはよく分からないもので した
数学の話を して も良いのか、悪いのか、分からないままお引き受け し
て しまいま した。センターの方でもあま りはっきりしていない よ うな
ニュアンスが感 じられ、問い詰めるようなことになっても僕を推薦 して
くださった方に悪い よ うな気が して しまって、お引き受け したので九
次回の電話までにははつきりするだろ うと思いましたが、や は り心
配で、推薦 して下さつた高校の先生に連絡を してみま した。 これ もま
た要領を得ない返事で、適当にやつて くれれば良い、 とい うもので し
どのよ うにも」とい うことではない筈ですが、
た。 「
適当」に、 とは、 「
途方に暮れる」、 とい うことになって しまい
下駄を預けられた当方は 「
ま した。
「
時が解決 してくれる」 と、問題 を放 り出して置きま した。何処か
で誰かが決めて くれればそれで もいい し、そ うでなければ僕が何かで
覚悟すれば良いだ けのことだと思 うことに しま した。
その後も、センターの方や高校の先生方 と話す機会のあったときに
-3-
訊ね てみ ま したが結局要領 を得ず、引き受 けて しまった 以 上 、 自分で
決 め るほかない よ うで した。 察す る ところ、本 当に 「
適 当に」す る こ
とが望まれ てい た よ うな気が しま九
題材 を決 めた きっ か けは二つ で 、一 つ は もちろん中条先生 の 「
複素
ー
一
ヘ
の注文です が 、 も う つ は僕 の
数」 に 関係 して とい う美杉 セ ミナ
専門に も関係 があ りま九
僕 は大 学時代 か ら色 々 な分野 に興味 があ るの です が 、ト ポ ロジス ト
と呼ばれ るほ どには トポ ロジー を知 らず 、表現論屋 と呼ばれ るほ どに
は リー群 を知 らず、力学系屋 と呼ばれ るほ どには古典力学 を知 らず、数
理 物理学者 と言われ るほ どには素粒子論 を知 りませ ん。体 につい て も、
実数以外 の体 には 、感 ′
性を持 ってい ない と言 つた方が良い くらい で丸
弦模型 と言 われ る素粒子 論 の理 論 の数学的定式化 の一 つ に共形 場 理
論 とい うものが あ ります が 、それ にかかわ りを もつ数 学 が近 ごろの僕
のテ ー マ で 丸
理 論 に対称 性があれ ばあ るほ ど、理 論 は詳細 に規定 され 美 しい もの
が得 られ ますLそ の た め共 形場理論 を記述す る体 は 、複 素数 体 にな り
ますЭ しか し、共形 場 理 論 も複 素射影 直線 (実数体 上で は射 影平面 と
同 じもの)上 で展 開す る限 りそんなに複 素数 に 関す る感性 は必 要 あ り
ませ ん。 そ の た め、理 論 が ジー ナ ス (示性数)の 高 い複素直線 (実数
体 上で は向きの あ る曲面 )の 上 に移行 した行 った ときに取 り残 されて
しまいま した。
1995年
7月 に 関係 した研 究集会があ り、そ こで 、若 い研究者 の
養成 のた めの コー ス に紛れ込 んで 、 リー マ ン面 のモ ジ ュ ライ の話 を聞
きま した。 関数 論 で は リー マ ン面 と言 うもの が代数幾何 では (複素)
直線 と言 うの ですじ モ ジュ ライ とはその 同型類 の 空間 の こ とで 、元 々
は リーマ ン面 の変形 の理論 を記述す る場 として用意 された もの です が、
穴開 き空間 の共形場 理 論 はこの上 で展開 され るとい うこ とに な りま九
今 更 とい うこ ともあ ります が 、それ な りに面 白いの ですし重要 な も
のだか ら、モ ジ ュ ライ に 関す る専門家 の書 い た本 は何 冊か あるの です
が 、素人 が 、 とい うかユ ー ザー の立場 で書 い た本 も面 白い か も しれ な
い と言 う話 にな って 、具体 的で実用的 な本 を書 い た らど うだ と、冗談
交 じりに け しか け る人が い ま した。
「
歳 を取 る と、 き っか けが ない と働 かない 」 と、少 しその気 にな っ
てみ る ことに しま した。 け しか けた人 は忘れ てい るか も しれ ませ ん。
ま 、そ のた め迂遠 な話で はあ ります が 、楕 円関数 を勉強 してい る う
-4-
ちに、 ご く初歩 の部分 な ら高校 の数 学 を知 っていれ ば理解 で きる よ う
に話 せ るので はない と思 うよ うにな りま した。 三角 関数 の 見直 しとい
う視 点で押 し通 して 、もつとも簡単な楕 円関数 である レムニ スケー ト・
サイ ン関数 の話 を してみ る こ とに しま した。
実際に分 か るもの にな るか ど うか 、高校 の先生方 に実験 台にな って
頂 くこ とに しよ うと思 った ら、 とて も気 が楽 にな って 、 内容 につい て
思 い 悩む こ とはな くな りま した。
さて 、実験 の結果 は ど うだつたので しょ うか ?
目 次
1 複 素数 と幾何 (美杉セ ミナー'95の レジュメ)
6
・・… ・― ・ 6
1.1 い ろい ろな数 … ・… … … 0-0…
1.2 複素数 の定義 … 0… … … … ・… … … … … ・ 7
1:3 平 面の変換 と複素数の演算 0… … … … … … ・… 9
1.4 直 線 を複素数 で表す … 00… … … … ・… ・― ・ 1 2
1.5 オ イラーの公式 、角 を複素数 で表す ために … … … ・ 1 5
1。
6 角 の等分線 … … ・… ・… … ・… … 。― ・… ・ 19
1。
7 色 々な三角形 ― ・… … … … ・… … … … … ・ 2 0
1。
8 色 々な四角形 … ・… … … … ・… … … … … ・ 2 2
1。
9 三 角形の 5心 を複素数 で表すЭ … … … ・― ・… ・ 23
1。
10円 を複素数で表九 … … … … 00… 00… ・― ・ 2 4
1。
11曲 線 を複 素数 で表現
1.121次 分数 変換 … ・… … … … ・… … 00-・
26
…
2 楕 円関数へ
31
ー
・… … ・… ・…
…
・
…
ニ
2.1 レ ム スケ ト曲線 …
2。
2 三 角関数 の場合 … … … 0… … … … … … …
2。
3 指 数関数 の場合 … … … 0… … … … … … …
2。
4 レ ムニスケー ト関数 … 。一 ・… 0… ・… … …
2.5 レ ムニスケー ト関数の 2重 周期性 ・… … … … …
2.6 ヤ コー ビの楕円関数 … ・― ・… … … … … …
ン
3 率ミ
bり に
-5-
27
e31
035
・ 39
042
048
050
1 複 素数 と幾何 (美杉 セ ミナ ー '95の レジュメ)
複素数 の重要性 も理論の美 しさも、代数閉体であるとい う代数的な
部分ばか りでなく、正則性 を支える解析の部分がそれ以上に強調 され
るべ きなのだが、高校 1、 2年 を対象 とす る講演では微積分 を使 うこ
とはできない。せめて初等幾何 で、複素数 での記述の簡潔 さや美 しさ
を鑑賞 して もらいたい。
1.1 い ろいろな数
数 といってもい ろい ろあって、複素数 とい うのはま ことに程良い位
置にある。 四則演算 がそれな りに可能な 「
数の体系」を挙げて、程の
良さを味わって貰 うことにする。
数 の世界の深 さと広が りの一端だ けで も味わってほ しかっただけだ
1小 節 はす こぶ るペ ダンテ ィックになって しまった。それも
が、この1。
遊び。
体 とか、環 とか、群 とか、半群 とかい う言葉は、 どんな演算があ り
どんな性質を満 たすかとい うことを表 してい る1。
(
χ :自 然数 の全体 (加法について も、乗法について も半群)
Z:整 数環 (整数 の全体 ;加法については群 、乗法については半群)
Q:有 理数体 (整数比の分数 の全体)
2:実 数体 (数直線 の点に対応)可 換連続 な順序位相体
点に対応)可 換連続 な位相体
`:複 素数体 (平面の′
点に対応)非 可換連続な位相体
γ:四 元数体 (4次 元の空間の′
注意 ここで 「
連続」 とい うのは、数学的にきちんと言 うなら、「
離散
でなく、局所 コンパ ク トでハ ウス ドルフなもの」 とい うことだが、厳
密な定義は大学で数学 を勉強す る時に。
ここでは、複素数 `が特別なものでないことが分かればいい。 と言つ
て、 このよ うな数の体系が幾 らでもあるとい うもので もなし■ ポン ト
1大学で これ らの言葉を習 う人は沢 山いないかもしれないが、それでもこれはあつ
たほ うがいい教養。 もちろんなくても生きるのには何 の支障もない。
-6-
リャーギンの 「
連続群論J pqに は、『
連続で、連結な位相体は、2,C,γ
以外にはない』 とい う定理が証明されている。
この短い話の中では、複素数Cは集合 としては平面22と 同 じもので
あり、複素数の演算、操作、関数 などにより、平面の図形がどのよう
に写され、変形されるかを見てみることにしよう。
1.2 複 素数の定義
実数2は 分 かってい るものとして、複素数 Cの形式的な定義か ら始
めよう。
複素数 z∈ Cとは、二つの実数 π,ν∈2に 対 して、
Z=π
+Zν
と書かれるもののことで、づ=√ 耳 は虚数単位 と呼ばれ るあるシンボ
2=_1を 満 たす実数 はないのだから、 ともかくづは
ル と考えてお く。づ
実数ではない。
二つの複素数 zl=π l+づνlとz2=π 2+づ物が等 しい とは、πl=π 2か
つ νl=物 の時 と定 める。
一
点(π
だから、複素数 z=π +づνは、平面 で の′
,ν
)と同 視す ること
が出来、平面の点に四則演算 を定義 した ものとして、複素数 を考える
ことが出来る。何故そんなことを考えなければならないのかとい う疑
間に対 しては、今 はまだ、虚数単位 づは実数ではないか らとだけ答えて
お こ う。
実数 2は 、2+づ 0と して、複素数 Cの一部だと考 えることが出来る
が、 これは実数直線 2を 平面 で )の中ではπ軸 と考えてい ることにあ
たる。
演算 を以下のように定義 した後では、平面22は複素平面Cと 呼ぶ こ
とになるが、その とき、π軸は実軸、ν軸は虚軸 とい う。虚軸上の数 を
純虚数 と言 う。
二つの複素数 zl=πl+り 1と Z2=π2+づ的 に対 して、
加法 :zl+z2=(π
l+ν 2)
l+π 2)+づ (ν
減法 :zl― z2=(π l ・ 2)+づ (ν
l― 鯵)
l)
乗法 :zlz2=(π l■2 ν lν
l"+π 2ν
2)+づ (π
-7-
４一の
法
除
=
+づ
Z2≠0つまりπ
だし、
(た
3+α≠0)
と定めれば、0,1を それぞれ加法 、乗法の単位元 として、体の公理を
満たす ことが分かるもつま りそれぞれの、結合法貝J、交換法貝J、単位
元の存在、逆元の存在、そ して分配法則 を満たすのである。
複素数 z=π +づνに対 して、 ■を zの 実部、νを zの 虚部 と言い、
"=Ц Z),ν=S(Z)と 書 く。 このとき、S(Z)=0で ある複素数 zが
実数であ り、淀(z)=0で ある zが 純虚数である。
″平π一り を z=π +づνの共役複素数 と言 う。 これを使えば、 zが
実数であることは ″=z、 純虚数であることは ″=一 zで 与えられる
ことになる。
S(Z)
Z=″
+Zν
淀( Z )
更に、実部 と虚部は共役複素数を用いて
掟( Z ) =
Z+″
,明 =7
と表すことが出来る。また、
、′
／
- ztIz,
＼
zz, m
／１ｔ＼
zL .:--L
zz - 4t
４ 一砲
Z - z,
=角 (Z2≠0)
であることもす ぐに分かる。
z″を考えると、万 =″ ラ=″ z=z″ だから、実数である。実部 "
と虚部 ν を使 つて計算す ると z″=π 2+ν2と な り、z≠ 0で ある限
り、正の実数になる。 この平方根は、原′
点0と ′
点 zと の距離を表 して
-8-
お り、lzlと 書き、zの 絶対値 と呼ぶ。つま り、
2
日=√ =√ +ν
である。覚えにくい割 り算の定義式 も、共役複素数を使 ってみれば
Zl
ZlZ2
ZlZ2
Z2 Z2あ
レ212
﹂
３
・様ッ 昴
・
となって、分かり易いものになる。
∈ り り
ｂ 士 ＋
2)を
S(Z)
翼(Z)
υ +α
のよ うになる。
-9-
■日
また、zを その絶対値 レ￨で割れば、つま り、
の絶対値 は 1と
なり、単位円周
2+ν2=1)={Z;IZI=1}
Sl={(・ ,ν
);π
上の′
点となる。円周 Slの ′
点は、π 軸 (実軸)か らの角 θによって指定
され、この時実部 πと虚部 νは
π=COS θ, ν =Sin θ
と表 現 され る。 θは 、1圭 (1,0)か ら z=(■ ,ν
)ま で の 、 円周 Sl上 の
弧 の 長 さ と して表 してお くのが 都 合 が 良 い 。 角 度 の 単位 に ラ ジア ン を
用 い るので あ る2。
π,7)
また θは、2πの整数倍を除いて定まるが、通常は p,27)か 、[一
かのどちら力ヽことることが多い。 もちろん議論 してい く際必要があれ
ばどんなに大きな値でも構わないが、いつで も 2πの整数倍ず らして
考 えていて も良い。 また、θ は複素数 zの 偏角(argument)と呼ばれ、
θ=鉦 gzと 表九
こ うすれ ば、複素数 zは その絶対値 r=レ ￨と偏角 θ=arg zを 用
いて、
Z=π +り =r(cOS θ
+づSin )θ
点 (π
と表 され る。 これを複素数 zの 極形式 と言 う(平面の′
,ν
)の 極座
=r
cOs
θ
=r
sinθ
の
に対応するも )。
標表示 π
,ν
S(Z)
- r ( c o s0 + i s i n d )
rsin0
淀( Z )
2この講の中では微積分の話をしないが、知っている人のために、言ってお くこと
にすると、ラジアンを単位にするとsin 2の
微分が ∞s“になるが、度数法で量ると
くうσ
)｀
だとし
である。
c6s2に
sin2の 鶴漿
なるか ら、4て
イ
更
分は
轟
-10-
さて、極形式を使えば、複素数 の積 と商に簡明な意味がつ く。極形
式で、 竹 二 %(cOs J+づ
θ =1,2)と お けば、
θ Sin グ
)(プ
ZlZ2=γ
lr2(COS θ
l C O S 2θ S i n θ l s i n 2θ
+づ
l S h θ 2 + S i n θ l c o s 2θ) )
(COS θ
=γ lγ
2(COS(θ
l +θ 2)+づ Sin(θ
l+θ 2))
とな る。 つ ま り、複 素数 の積 は絶対値 は積 、偏角 は和 になるので ある。
同様 に、商 も
ma一
い0-り+角
の
発=揚
とな り、商は絶対値 の商、偏角の差 となるのであ る。
zを 掛けることは、偏角ヽ
θ=arg zの 回転をし、絶対値 γ=lzlの 倍
率の (全方向への)拡 大縮小をすることになる。
また、共役複素数 をとるとい う操作は、実軸に関す る折 り返 し (鏡
映)で あ り、極形式で表せば、
″=r(COS θ一づsinθ
θ))
)=r(coS(―θ)+づ Sin(―
とな り、偏角の符号を変えるとい う操作になる。
こ うして、加減乗除と共役をとるとい う操作によって、平面の合同
変換はすべて実現 されることになる。平面の合同変換 と全方向へ の拡
大縮小ができるが出来るとい うことは、つま り平面の相似変換は複素
数の操作で出来るとい うことである。
相似変換以外 の変形を与える複素変数の関数 (複素数値 の)を 考え
たいのだが、その前に、 2次 元のベ ク トルで出来ることが複素数 で出
来るのかを見ておこ う。
内積については、 (zl,z2)=ZlZ2とおけば、ベ ク トル 義 (ノ=1,2)
の二つの積 が、実部 と虚部に現れ る (ここに、点 PJ・
は複素数 zゴが表
つ
点)。 ま り、
す平面の′
2+νll力
lν
2 π2ν
(Zl,Z2)=(πlπ
l)=1lr2(COS(θ
2 θl)+づSin(θ
)+づ(π
2 θl))
となり、実部はベク トルOPlと OP2の 普通の内積 (各ベク トルの長さと
そのなす角の余弦の積)であり、虚部はベク トルOPlと OP2の 作 る平行
四辺形の (符号付きの)面 積である。
一 H一
平面 22を ベ ク トルの空間と見たときの一般的な写像は、 2行 2列 の
行列を掛けることで得 られ る 1次 変換であるが、これには平行移動は
含まれない ものの、回転、折 り返 し、拡大縮小は含まれてい る。
更に、 この拡大縮小は、 2つ の方向に対 して別々の率で行 うことが
出来、その倍率も0で あることを許 してい る。その時、平面はある直
点 (原′
点)に つぶれもする。 もつ とも、1′点
線につぶれもするし、 1′
につぶれるのは、複素数 で も0を 掛けることに当たってい る。
この 2つ の方向に対す る別々の率での拡大縮小は、実は複素数 の世
界には馴染まない。
複素数 の世界には等角性 とい う見事な秩序がある。 その秩序に従い
なが らも豊かで多様な現象を見ることが出来る。
色々な平面図形を複素数 で表わす ことを考えよう。 「
複素数 で」 とい
うことは、 「
実部虚部に戻 らないで」 とい うこと、つま り直接 に複素数
の複素数 としての演算や 性質 だ けを用いて表す とい うつ もりである。
一言でい うなら z=π +づ の言葉で書き、 π は使わずに済ます とい
ν
,ν
ことで
ある。
う
π,ν
を使 つた式で表す のが解析幾何であった。 この節は、複素数を
使 って解析幾何 を書き直 してみようとい うことである。幾何のままや
るのが易 しいこ とも、解析幾何が易 しいこ ともあるけれ ど、複素数を
使 っての幾何が易 しいこともあつて、それ はそれで面白いこともある
とい うのがテーマである。
1.4 直 線 を複素数 で表す
まず、原点oを始点とす るベ ク トル として αとβが
α 一β ｒ 平行 α‖β←⇒
∈2 ⇔
αβ= a β
α
一β ｒ
β→
垂直 α tt ←
∈づ
2← ⇒ αβ+aβ =0
点とβを結ぶ直線は、実数tをパラメータとして、z=tβ
鶏 ゝは、原′
と書けるとい うことを直接表 してお り、tが実数であることを表す式
t=τを利用 して、tを消去すれば得られる。
「
垂直」も同様で、原′
点を通 りβに垂直な直線は、実数 ιをパラメー
ιが純虚数であること
タとして、z=づι
βと書けるとい うことであり、づ
t+死 =oを 利用すれば良い。
を表す式づ
二 12-
始点を原点 0か ら一般の点γにするのは、座標変換をするだけのこと
で、すべての変数 を下γすれば良いから、
一γ)
線分 αγ とβγが平行 ←⇒ (α一→ ￨￨(β
←→ (α一→(β-7)=(a_7)(β 一γ)
これはα,β
が共線 (一直線上にある)と い うこと。
,γ
線分 αγ とβγが垂直 ←⇒ (α一γ)上 (β一γ)
←→ (α一→(β-7)+(a_7)(β 一γ)=0
←→ lα一β12=lβ_引 2+lα _γ12
これはα,β
が直角三角形をなす とい うこと。
,γ
となる3。
これらのことを使えば、パラメータ表示された直線 は、複素数の言
葉で方程式 として表されることになる。
色々な方法で与えられた直線の方程式を挙げてみることにしよう。始
めの2つ は、π,ν
平面上の直線 としての一般形 とHesseの標準系に対応
する方程式としてあげてあるが、他のものは、幾何的な意味を素直に
平面上の直線 として表す こ
複素数で表現 したものになっている。π,ν
とは、簡単な演習問題である。
１■
一般形
π+bν +C=0,α
(α
,ら
,c∈ 2)
α=α +づb∈ Cと 灌iくとき
α″+az+2c=0く
2。
■→ R(α″)=C
′
点か らそ の直線 へ お ろ し
θ Sin =P;原
Hesseの 標 準形 (πcos +ν
θ
た垂線 の長 さが P>0で 傾 きの角度 が θ)
π =P(COS θ
+づ
s i n θ) = P C ″
は こ の 垂 線 の 足 で あ
り、
3これは ピタ ゴラスの定理 の別証明になつてい るわけではない。 lα
lが原点 とホ α
との距離であること、ひいては lα―βlが線分 αβ の長 さであるとする定義その もの
の中に、 ビタ ゴ ラスの定理 が既 に潜んでい るのである。 つ ま り、 ピタ ゴラスの定理
が成 り立つ世界 に最初 か らい るので ある。
-13-
-
e-ior+eiez
2p
nz*rz
一
般形 α″+az+2c=0と
の対応 を考 えれ ば、
π=―音
=一歯
,P=掛,C″
とな り、垂線 の 足 π が 一般形 の係数 か らこん な も簡単な式 で書
■
二―
=_言
せる
ん
き
下
ち
い
ろ
。も
て
、7「
ば
み
れ
書
実
、
数
矛と
α
での計算 と全 く同 じことであるのだが。
。 Cb
Zα
ICI
2+b2'
α2 + b 2
Scをθ 一づ(Cα 一 Ca)
tan?Rcをθ cα +ca
3。
4。
α2_+ら2
α一 a 2 b
α+a 2α
点と′
点α≠oを 通 る直線 α″=晨 z
原′
2点 α≠βを通る直線
β)
( Z ―α) ￨ ￨ ( Z ―
―β)
( α―β) ( ″
平行 (z,α
βが共線)
(a一β)(Z一β)
βa一 αβ
―( β―a ) Z
( β一α) ″
5。2′
点α(≠0)と0との垂直 2等 分線
αl
IZ―
Z
Z
α
α
一 +一
θとおけば、このまま
α= η C を
2Pc″
+2Pc `θ
-14-
IZI
1
〃csscの標 準形
1
6.2′点αとβ(α≠β)との垂直 2等 分線
レーαl = IZ一 βl
α+(β一a)z = β β一αa
(βtt )″
7.∠αOβの 2等 分線
0と
音
+岳 を結ぶ直線 ⇔ 0とα口 +銅
を結ぶ直線
(alβ
l+βlα
l)Z =(α lβ
l+βlα
l)″
とくに、lα
l=lβlの時は、oとα+β を結ぶ直線 とい うことにな
り、方程式は
(a+β)Z=(α +β)″
である。
1.5 オ イラー の公式、角を複素数で表すため に
オイラーの名で呼ばれる公式は幾つかあるが、複素数の導入の何処
かで必ず触れればならず、 といって、それには何かしらの予備知識が
必要 となるため、誰もが述べ方に苦慮す るのが、
eiO
オイラーの公式I
である4。θ=π での値 だけを見れば、
π+1=o
cを
オイラーの公式H
となる。 こちらの方が、特別な数 らπ,1が虚数 づを使 うことによって結
び付いてい る、 とい う言い方によって、有名かも しれない。
しか し、この特別な値でだけの式を、それだけで説明す るとい うこ
の値 をどの よ うに与えるかとい う問題 がある。
とは出来ない。ctπ
複素変数 zの複素数値 の指数関数 cZがあって、そのz=づ πでの値 と
θを変数 とする指数函数 c″のθ=π での
思 うことも出来る し、純虚数 づ
πでの値を定義 して も良い。
値 と思 うことも出来る し、単独 にcう
定義 して も良いのだが、その手間は本質的には何も変わ らない。つ
πでの値 を定義す るとして、それを単に-1と 置 くだけ
ま り、単独にcう
4前節 1◆
4の Hesseの標準形 のところでスペー スの節約 のためにこの公式 を既に使 つ
てい る。
-15-
なら、そ こには何の神秘もない。実変数 の関数 として非常に重要な指
数函数 c=が複素領域 に自然に拡張され、その特殊 な値 として特別な数
が関係 しあ う所に神秘が感 じられるのである。
だから、オイラーの公式はスローガ ン としての公式H、 数学的実質
としての公式 Iと考 えてお けばよいだろう。
オイラーの公式の理解の仕方は色々あるだろうけれ ど、複素数 zに対
してその偏角θ=arg zを zの 関数 として直接的に表すための手段だ と
い う観点がある。
角を複素数 で表す といっても、偏角は極形式を通 して複素数 と結び
付いてい るのだか ら、特別なことが出来るわけではない。
点0
複素数 zの極形式で何 が言 えるか、考 えてみよ う。偏角θは、原′
から点zを見込む方向を実軸の正の方向から測 った角であった。
極形式 を使 うと便利な ことは何だっただろう。極形式で、zブ=
θ =1,2)と おけば、
θ Sin J)(ノ
町(COS J+づ
Z l Z 2 = r l r 2 ( C O S ( θl + θ 2 ) + づS i n (lθ+ θ 2 ) )
一
芳=号いい り+弧九の
であつた。角のことだけ考えたいので、絶対値 レ￨は1で考えることに
し、さらにθ
θ 、
+づsin に対し
l=θ2=θ とおけば、z=cos θ
z2=(cos θ+づ Sin )2=cos
θ
2θ+づ sin 2θ
とな る。 さ らには、数 学 的帰納 法 に よ り、す べ ての 自然数 πに対 して 、
Zπ =(COS θ
+づ sinθ )π =COS π θ +づ Sinπ θ
(ド モ ア ヴ ル の 公 式 )
になることが分 かる。π=oの ときはzO=1=cos O+づ
負巾に対 して も、
:=
１ 一′
Z π
- cos(0- n0) + isin(0 - n0)
であり、すべての整数π,鶴に対して
ZπZπ=COS(π +π )θ+づ Sin(鶴+2)θ
であ るこ とが分 か る。
-16-
sin Oであ り、
何 とか複素変数 zの指数関数 cZを持ち出さずにオイラーの公式Iを納
得 して もらお うと、公式Iの右辺がθの指数関数であることの風景を色
んな角度から眺めてみよ うとしたのだが、結局は積の公式その ものよ
り説得力が増すわけではない よ うだ。積の公式だけからや り直そ う。
恒等的にOで ない実関数 ν=Aπ )が連続 で、指数法則 ノ(・
1+π 2)=
・
=ノ
つ
た
また
たせば
あ
、πが実
。
、ノ(π
2)を満
l)ノ
)=α ,(α
(1))で
(π
ノ(π
・
数なら、αが複素数 で も指数関数 α を考えるのは難 しいことではない。
θの関数 と考え、さらに実関数
θ
そ こで、ノ(θ
)=COS θ+づsin を実変数
同 じことだ」
ではない ものの、実関数が二つならんでい るだけだか ら 「
と思 うことにすれ ば、積の公式は ノ(θ
l+θ2)を 意味 して
l)∫
2)=ノ (θ
(θ
お り、
=(COS l+づSin l)θ
バθ)=∫ (1)θ
となると思 って良いだろ う5。
sin l=cう
となってくれる
まだオイラーの公式にな らない。cos l+づ
必要がある。
ここで少 しだ け、微分 の知識を使わせて もらうことに しよ う。 三角
関数 と指数関数 の微分公式
=α"10g α(α≠ 0)
=Cπ (α")′
)′
(C・
=COS π
( S i n π) ′
(COS π
=一
)′
Sin π
θ
だけを使わせてもらう。∫(θ
)=α として α=∫ (1)を求めることにす
れば、θで微分 して、
θ (θ
+づ
)′ θ
ソ
(θ
Sin
)=(COS
勇α=ノ
= ― s i n +θづ c o s θ
θ
= づ ( C O S +θ
づ S i n )θ
)=づα
=げ (θ
が得 られ る。 それ ゆ え 、 上 の 2つ 目の微 分 公 式 か ら
づ=log α=log(cos l+づSin l)
が得 られ る。 従 つて 、
eL-cL -cos1+isin1
5証明す るには大学以降 の数学 が必要で、 ここでは納得 して貰 うことだ けを考 え
い
て る。
-17-
となる。
実関数 での議論が どれほど複素関数 でも通用するかは慎重にならな
くてはい けないが、 こ うい う形式的な部分はできる限 り同様になって
い る6。
対数微 分 を知 っていれば、そ してそれに抵抗がなければ次のように
して も良い。
島
=づ
等
10gノ
(θ
)= づ θ+σ
10gノ
(θ
)= :羊
θ=0で の値 を比較 して、σ =0が 分 か り、
10gノ
)= づ θ
(θ
θ
ノ(θ
)= Cを
となるのである。
オイラーの公式を使えば、極形式を使 った計算が簡単に出来る。 ど
θ を使
うしても糸
内得 しない とい う人は、sin ,cos
θ つてやつて も構わない
一
し、それ で も同 じ結論が得 られ る。すつ つの式が長 くなるだけのこ
とである。便利 だから使 う。 それだけで良いことで丸
さて、オイラーの公式を使えば、偏角θはzの関数 として書けて しま
なのだか ら
う。Z=レ ICtθ
==:10gfi
θ
である。偏角は、定義から、zだけで値は確定 していたのではなかった
っま り、2πの整数倍を除いて しか決まらなかったのだった。そ う、複
1価 の関数ではなく、多価 の関数 になるの
素関数 としての対数 log Zは
73
である
6なつているように定義するのだし、それでもならない ときは、ならないことを調
べ ることに意義が出てくる、とい うことで納得 してもらうことにしよ う。
7関数は本来 1価 の もので、多価 の ものは関数ではないのではないかと思 うのは
正 しいのだが、自然 がこ うなつてい るものは仕方がない。 しか し、やは り多価であ
るのは気持ちが悪く、 1価 であると考えたい とすることで、(独立変)数 の棲む場 と
して空間概念を広げることが、 リーマンが多様体を発明す る動機であつた。
-18-
多価関数 がいやなら、初等幾何に応用す る範囲では、
舌=C'θ
とな るθが偏角 だ と思 っていれ ば良い。
1.6 角 の等分線
の表す′
の偏角θは、0,1,α
点をそれぞれ0,ニ スと書け
複素数α=rcをθ
へ
Pθスのことである。0か らス方向 の半直線はtetθ
ば、∠
≧0)と表
(ι
θ
の′
点のなす半直線はtc2を(ι
される。同様に偏角2θ
≧0)と表 され、偏角
:
■;群
写襲震よ■1衝
: 霧寡席1lι
「
と一致する筈 である。
(α+lαl)″
確 かめてみ よう。角 のことだか ら、lα
l=1と してお く。γ =c■
とおけば、α =γ 2でぁ り、パ ラメー タ表示はz=ι γである。方程式
点とα+1を 結ぶ直線 で、これは菱形
(a+1)Z=(α +1)″ の方は、原′
の対角線だか ら、頂角を 2等 分 してい る筈 である。
パ ラメー タ表示 z=打 から ιを消去すれば、 z=α ″となる。ス を
′
点を ス′
実軸に関 して折 り返 した′
(a)とすれ ば、 ″は ∠POス の 2等 分
線上にあ り、その二つの 2等 分線のなす角が元の角 θ=∠ POス になる
とい うことを表 してい る。
そ して 、 (a+1)z=(α +1)万 と Z=α ″が 同 じ式 で あ る こ とは 、
-1(な
ぜ な ら αa=1)を 使 えばす ぐに分 か る こ とであ る。
a=α
-19-
こ入
川
れは
電
L譲層
X襲i 」己 ￨ 」 ↑
角の辺の一方がπ軸でないときには、一方の辺をπ軸の正の方向に回
せば良しhや ってみ よ う。∠
スOBの 2等 分線を考える。α,βを極形式で
θ
θ
lを 掛ければ、
α=reをl,β=SCを2と 表 してお く。全体に α-1=r lc こθ
1=Sr
lc'(θ
-1と
2-θ
l)になり、zも zα
ス は Pに 、Bは βα
なる。これ
を、"+lαl)Z=(α
に代入すれば、"lβl+β
+lα
l)″
l)z=(α
lβ
l+β
lα
lα
l)″
が得 られる8。
∠
POス の 3等 分線、ひいては π等分線もパラメータ表示で良いなら、
易 しい。z=te4(t≧ 0)とすればよい。方程式で書いて も、z=α 景″
と書けはするが、π乗根をとらない といけない。もつとも、絶対値の部
分は無視 してよく、偏角をれで害1ればいいので同 じことなのだが。
1.7 色 々 な三角形
さて、い よい よ幾何 をや ってみることにする。
点ス(π
平面の′
,ν
)は、複素数α=π +づνで表せば良い。線分 スBは 、複
素数 の組みでαβと表せば良いだろ う。三角形 スBσ は、複素数 の 3つ
組みを使 って三角形αβγと書いて も誤解 を産むこ とはないだろ う。
ほかも同様に、点に対応 して複素数 を並べておけば、幾何の方で分
かつてい る限 り間違 うことはないだろう。
さて、三角形を扱 うのだが、繁雑になるだけなので、頂点の一つは
原点oに あるとしてお く。
必要ならば、座標を平行移動すれば良い。
考 えてみれば、この座標変換 こそが解析幾何の利′
点なのであった。初
等幾何で簡単に分かる事柄 を解析幾何 に置き換 えると大抵は面倒にな
るばか りで、御利益がとんと分からない、 といった気分を味わった人
も多いだろ う。
それはその通 りなのである。そのかわ り、初等幾何で簡単に分から
ないことが、解析幾何を使 えば解決 された り見通 しが付いた りす るこ
とがある。それが利点である。
θ
8こ のとき当然 のことだが 、zは 角 だけ回 して ze―づ
lと して代入 して も同 じ式が
得 られ る。確 かめるのはよい演習問題 である。
-20-
しか し、残念なことは 「
そ うい うことがあるJと い うだけで、いつ
もそ うなる とい うわけではない とい うことだ。
しか し、問題解決 の方法は沢山知っておいて悪いことはない。そ し
て、面白い と感 じることの出来ることが一つで もあれば良いの じゃな
いだろう力、 もちろん沢 山あればもつと良い。感 性のあるなしでも、意
味合いが違 って くる。
複素数 でや りきるとい う試みをした ことがなかったか らか、僕には
これがとて も新鮮 で面白かった。
幾何に戻ろう。
解析幾何は図形の問題を代数的な式 の変形で解決 しようとす るもの
であった。多 くの場合、却 って繁雑になるが、座標変換によって、簡
単な表式が得 られ、計算も容易で、証明の見通 しよくなることがある。
しか し、 うまい座標変換をとってや る必要があって、 これは一種、初
等幾何での補助線 の発見のよ うなス リル と感動があるものである。
座標変換で、一番簡単なのは平行移動で、それだけで も随分状況が
易 しくなることがある。
一般 に三角形α を考えるとき、一つの頂′
点γを原′
点0に移動 させ る
βγ
一
一
と、他の頂点α,βはそれぞれα γ,β γに移 る。対応す る点をスBσ と
表す とき、例 えば辺スB=ス σは元々lα一βl=lα 一γlと表 され るが、
σを原点に置けば lα一βl=lαlと表せ ばよい。スσ =Bσ ならlα
l=lβl
い
と表せ ばよ 。
名前 を知ってい る三角形 の リス トと、それを複素数 でどの よ うに表
すか と挙げてお く。
三角形 Oαβは
二等辺三角形 く
■判 αl=lβlまたは、lα
l=lα 一βlまたは lα一βl=lβl
=判 αl=lβl=lα 一βl
正三角形 く
0を 直角 とする)←⇒ αβ+aβ =o
直角三角形 (∠
2+β 2=0
0を 直角 とする)←⇒ α=土 づ
直角二等辺三角形 (∠
β←⇒ α
2等 辺三角形 の等辺は どの対 でも良いのだけれ ど、それで何かを示
そ うとすれ ば、表式が簡単な方が良い。例 として、
「2等 辺三角形 の底角は等 しい」
ことを示 してみよう。
-21-
まず等 しい辺は0ス =03と しよう。必要なら、回転 させて もいい
し、等辺に挟まれ る頂′
点に移動 しても良い。
点を原′
l=lβlと したことになった。
lα
両辺を2乗して、αa=ββ。その両辺からα
βを引いてα
βで害1れば、
一
一
α
一
β
α一β
α
一α
α一
β
劉E α β
arg β
= 一
θBス =∠ 0スBが 示されたことになる。
となり、∠
1.8 色 々な四角形
四角形 Oα
γβ は
一α
一βまたはβllγ
台形 ←→ αllγ
←⇒ α行 ―β)=∝ γ一β)また￨』
甲(7-a)=β (γ一α)
平行四辺形 ←⇒
一αl=lβl
α=γ ―β←⇒ γ=α +β ←⇒ lα
l=lγ一βlかつ lγ
菱形 ←⇒ γ=α +β かつ lα
l=lβl
長方形 re・γ=α +βかつαβ+aβ=0
正方形 ←→γ=α +βかつα=士づ
β
-22-
四角形では、γは対角線であり、β―αはもう下つの対角線である。
α+β
は 2つ の対角線 の中
平行四辺形のときは、γ=α +β であり、
平行 四辺形 の対角線は互いに他を 2等 分す る」のである。
点であり、 「
一a)+(a+β )(β
一α)=2α 屁-2ββ=
菱形の場合は更に、(α+β)(β
=2(lα12_lβ12)=0と なるから、対角線は直交することになる。 さら
α叩 の 2等 分線だから、 「
菱形の対角
に、0と α+β を結ぶ直線は ∠
一
線は頂角を 2等 分 し、もう つの対角線を垂直 2等 分す る」 ことが分
かる。
この時 △Oαβ を考えれば 2等 辺三角形で、 「2等 辺三角形 の頂角の
2等 分線 は底辺に垂直であ り、交点は底辺の中点である」 とい う事実
を表 してい る。
1.9 三 角形 の 5心 を複素数 で表す。
三角形 αβγの5心 を表 してみよう。△αβγの
一βl
一γl+β,一 αl+γlα
αlβ
一引 + l γ一αl + l α一βl
lβ
外心 z ←→ レーαl = レ ーβl = レ ーγl
a+(γ ―α)β
β
7+(β 一γ)α
(α―β)γ
€z
一
一
一
(α β)7+(β γ)a+(γ α)β
内心
重心
C I +F + t
3
垂心 (外心を 0と す る座標では)∬ =α +β +γ
い 3 つ あ るが、γ =oと
傍′
める と
して ∠
αoβの 2等 分線 上にあるものを求
αlβ
l
l+βlα
一
l一lα βl
l十lα
lβ
内心と傍心を示すためには角の 2等 分線の方程式を 2つ 書いて解 けば
良く、外心のためには 2つ の辺の垂直 2等 分線の方程式を解けば良い。
定義方程式はそれぞれ もう一つずつあるのだが解 の形を見れば α,β,γ
に関 して対称で、もう1つ の方程式の解 にもなってい ることが分かる。
傍心について も同様 である。
-23-
αlβ
l
l+βlα
内心の式でも γ=0と すれば、
とな って 、傍 心
一
β
lβ
l+lα
l+lα
l
の式 とは符号が一つ しか違わない9:
垂心の証明。外心を 0に すれば、lαl=lβl=lγlと なるから、例え
ば、∬ 一α=β +γ は β一γに垂直であ り、各頂点と ∬ を結ぶ直線
は対辺に垂直であることが分かる。
原点が どこにあって も重心の式は変わらないのだか ら、重心が外心
と垂心を 1:2に 内分す ることも同時に示せたことになる。
△αβγが正三角形の とき、傍心以外の4心 が一致することが知 られ
てい るが、 これを示 してみ よ う。
一αl,lα
一βlが 同 じなら
内心の場合、すべての辺の長 さ lβ一γl,lγ
致するこれま本からす0こ分か乙
ば、重い け
ん
また、外心をolこする座標では、1の 原始 3乗 根 ω= 1+へ
に対
して、β=ω α,γ=ω 2αとなってお り10、α+β+γ =(1+ω +ω2)α=0
となるから、重心 も垂心 も外心oと一致する。
1.10 円 を複素数で表す。
1 。円 ( αを 中心 、 ρ> o を 半径 とす る円)
レーαl
z″ 一 α″ ― az+α
= ρ
=〆
a
=0(た
Z Z ― αZ 一 αZ + C
だ しρ2 = α a 一 C > o )
2.円 または直線 (α =α +づb∈ C,ご,c∈ 2に 対 して)
Jz″+α ″+az+c=o(た
d=0の
とき 直
J≠ oの とき
だ しαa>dc)
線
一
心
円
中
、
総奮評
:、
91。
4節の結果を使えば、それほ ど面倒な計算ではない。
10外心を 0に する座標では 3頂 点はある定円の上にあ り、各辺 を見込む角は等 し
く、従 って、1200になるとい うことを表 しただけである。ω =coS 1200+isin 120°
である。
-24-
3。
アポロニ ウスの円 ( 2 定点 α, βか らの 距 離 の 比 が 一 定 (c))
=C
(C>0)
+(αa_c2ββ) = (α_c2β
+(a一 C2β
(1_c2)z″
)″
)z
c = 1 の ときは
4。
垂直 2等 分線
一
2′
点(α
,β
)を見込む角が 定 (θ
(≠0,土π)) (同じ弧 を見込む 円周
角は等 しい)
Z―
α
a r g z _ _ β =θ
βl
( Z 一α) I Z 一
αl
( Z 一β) I Z 一
両辺を 2乗 すると
=
(一定 )
ctθ
一β)
( Z 一α) ( ″
一a)
(Z一β)(″
c2″
これを展開すると
("-' - eie)zz * ("-* F - e8a) z + 1e;a
aとな り、中心 が
eioB _ e-ioa
c″ _c一
″
-g)
"-ut "
で 半径 が
:孟 手
- eua9 -
"-e
aF
の 円にな る
円周角 θだけで図形を定めようとすると、幾何的には、円にならず、
線分 αβに関して対称な 2つ の円弧 とい うことになる。 しかし、鉦 g
は角を測る向きも指定出来るので、角の正負を考慮にいれると、その
うちの片方だけが得られる。つまり、 {z∈`;鉦gZ α =θ}は Oβか
ら品 の向きに測った角が θであるような円弧とい うことになる。 こ
れを円にしようと思えば、弦 αβ に関して反対側の弧の上にある点も
考えて、
θ一π
6(α
,β
g真平 =θまたIま
}
)={Z∈C;鉦
とすればよい。θを [0,π
) で動かせば、 θ=oを 除いて (この時は α,β
を通る直線に対応 している)、c(α,β
)は α とβを通る円のすべてを
表す ことになる。
-25-
α と β を固定 して o≦ c≦ ∞ を動か してアポ ロニ ゥスの 円群
一
スc(α
,β
)と 緒 に、平面 `上 に図示すれば、互いに直交する円群にな
り、円の網 とかシュタイナーの円とか呼ばれるものになる。
また、 2′
点 γ,δが c(α,β
)に 属すれば、
=舞 ￨=￨
署 ￨=￨=ジ
一
一
(α γ)(β δ
)
一
一
δ
(α )(β γ)
土
(α一γ)(β―δ
)
一
一
δ
(α )(β γ)
とな り、 4点 α,β
,γ
,δが共 円である (同一 円周 上 にある)た めの条
件 は非調和比
(α―γ)(β一δ
)
,β,γ
,δ
(α
)=
一
一
(α δ
)(β γ)
が実数 であ る こ とに な る。
4′点の うちの一 つ (た とえば δ)が 無 限遠 ′
点 ∞ の とき、 この条件 は
しA祠=
号 ==∈2
となるが、 これは α,β,γの共線条件である。
この意味でも、直線は無限遠′
点 ∞ を通る円のことであると考 えて
おいた方が良いこ とがあることが分 か るだろう。
1.11 曲 線を複素数 で表す。
′2つ の異なる点 α,βを固定 して考える。 しかし、α=c,β =― C(CS
O)と 標準的な場所 にとってお くことができる。複素数 の加減乗除で運
動が実現 されてい るので、α と β の中点が原点になるように平行移
=0と なるように回転す るのは、.簡単な座標変換で
動 し、次 に arg α
ある。
1。楕円 (′
ほ α と β に焦′
点を持つ)
IZ一
α
l+IZ―
β l=IZ一
CI+IZ+CI
=
2α
(α
>c>0)
2)｀
c 2 ( z 2 + ″ + 2 ( c 2 _ 2 α 2 ) z ″= 4 α 2 ( c 2 _ α2 )
手
-26-
+手
=i(こ
こで b 2 = α 2 _ c 2 )
2.双 曲線 (′
点 α と β に焦′
点を持 つ)
ー
レ
α
ー
l一
レ
ー
β l=レ
c2(z2+″
CI一
IZ+CI
=
2)+2(c2_2α 2)ル
π2
α2
=
ν 2
±2 α( α∈2 , l α l < C )
2(c2_α2)
4α
1 ( こ こで b 2 = c 2 _ α 2 )
b2
3.レ ムニスケー ト(2定 ′
点からの距離の積が一定で、 2′
点の中′
点を
の
通るも )
CIIZ+CI
IZ一
=C2
r2
1.12 1次
=
2c2cos 2θ
分数変換
α, ら
∈` に 対 して
,c,ご
= 完
υ
の形の C平 面の変換を 1次 分数変換 とい う。 この変換は、円または直
線は、円または直線に写 し、またこ うした変換 として特徴づ けられ る。
このことを、円―
円対応 と言 うことがある。
+ノ
二つの 1次 分数変換 の合成を考えてみる。鶴=Cυ
との合成を
計算 してみると、また 1次 分数変換 にな り、
鶴 = 一
Cυ
一
亘 _三
=+ノ
′υ + ん
+ん
J―
完(
C ( αZ + b ) + ノ
(CZ+α
Z+b)+ん
′( α
( C Z + α) ( θ α+ ん C ) Z + ( ′b + ん ご)
) (Cα
+∫
C)Z+(Cb+∫
α)
となって、係数 の行列の積 と対応 してい ることが分かる。
(; 1) (: :)= (;::11: ;
-27-
︲ｌ
ヽ
Ｃ
α ｉ
／Ｊ
そ こで 、 ス =
対 して、
:)に
φA(Z)=
az+b
cz+d
と置く。すると、 B=λ ス (ネ≠o)に対 しては φズZ)〒 φス(Z)となり、
1次 分数変換 φA(z)が逆変換を持つためには行列スが正則であること
が必要十分になることはすぐに分かるだろう。そ して、その とき
Z=φ 五1(υ
)=φ A-1(υ
)=
dw一 b
-c'Iil
*
a
となる。以下、対応する行列 ス は正貝J、つま り、 detス=αご一ら
c≠ 0
であると仮定 しよ う。
すべての z∈ Cに 対 して値 をとらせ るために、分母 cz+αがoと なる
とき、つま りz=一 :の 時の値は ∞ としておこ う(同時には α
z+b=0
とはならない)。逆に ∞ での値 は
=:
ほ
∞
同=霧医
と考えることができる。つまり、 1次 分数変換は複素平面 Cの 変換 と
い うよリリーマン球面ご=`∪ {∞}の 変換 と考える方が良い。 リーマ
ン球面 ごは図形 としては普通の 3次 元空間の中の単位球面 S2と 思っ
て良いが、そこに複素構造 (つまり、代数的にも,解
析的にも複素数が
い
こと
こと
を保証するような
棲んで る
)を 同時に考えてお くのである。
さて、 1次 分数変換は、ごの変換 として、どのようなものだろ う力、
特別な値 1,0,∞に対 しては、
φ(0)=
一ｄ
'
φ(∞)=
α 一Ｃ
ｂ
α+b
φ( 1 ) = c + ご
となる。
. 例えば、 φ( ∞) = ∞ とい う条件は、 c = 0 と い うことになり、この
とき ス の正貝J 性から、 α, d ≠0 だ から、 φは
φ( Z ) = : Z + :
-28-
とな り、平面 Cの 相似変換になる。またそれ以外では必ず、無限遠点
写 り、無限遠′
点
点∞ に写る平面の′
点 一:が あること
∞ は平面の′
:に
になる。
また、互いに等 しくない 3点 β,γ
,δがそれぞれ 1,0,∞ に写される
とい う条件 を書けば、
1=φ(β
)=
0=φ(γ
)=
∞ = φ( δ
)=
α
β+b
=1
C β+ J
αγ+ b
αγ + b = 0
岬 +ご
αδ+ b
⇔
c δ+ ご
c δ+ α = 0
となって、このよ うな 1次 分数変換 は存在する。 このとき、点 αは φ
によつて
嗣= =:H=HX編
つまり、非調和比 (α
,β
,γ
,δ
)に 写される。 これが非調和比の定義だと
言つても良い。
また、 3点 が写される先を決めたら1次 分数変換は一意的に決まっ
てしま うことも意味 している。
,γ
,δ
φ(β
)=∞ ⇒ φ(Z)=(Z,β
)
)=1,φ(γ
)=0,φ(δ
さらに、 1次 分数変換が非調和比を変 えないことも分かる。実際、
点とす る。ψ(Z)
φ(z)を1次分数変換、 β,γ
,δを互いに異なる(ごの)3′
1は ′
δ
点
を ψ(z)=(Z,β
フ
,γ
)で 定まる 1次 分数変換 とす ると、ψoφ
φ(β
(γ
(δ
),φ
),φ
)を それぞれ1,0,∞に写す ことになる。 したがつて、
))=(ψ Oφ
(γ
),φ
(φ
(β
(δ
(α
),φ
),φ
1)(φ
(α
))=ψ (α
)=(α )β,Ъδ
)
となる。
普通の証明は、1次 分数変換が、平行移動 (zぃ z+β )、回転相似
(Zい αZ)、反転 (zぃ :)の 3種 の変換の合成であること
o,z+b
b c一
・ αご l
φ(2)= c z + d = c α
-29-
α
+d+百
を示 して 、それぞれ の変換 で非調和比 が変 わ らない ことを示 す のだが、
計算 を定義 に押 し込 めた この形 の証 明 が気 に入 つてい る。
そ して 、 これ だ けか ら、1次 分数変換 が 円円対応 であ る こ とが分 か
る。実際、 zが β,γ,δで定ま る円上にある条件 は (z,β
,γ,δ
)∈ 2で あ
=φ
り、従 って 、 1次 分数 変換 φでの像 υ
(z)は φ(β
),φ
(γ
),φ
(δ
)で 定
ま る円上にあ る こ とにな る。
-30-
2 楕 円関数 ヘ
_こ ち らの話 は高校 の先 生が対象 な ので 、微積分 を使 った話 に してみ
た。 レムニ スー ト曲線 の弧長か ら レムニ スケー トサイ ン関数 s(z)を 複
素関数 と して定義 し、楕 円関数 の特徴 であ る 2重 周期性 を示す こ とが
目標 であ る。 2時 間 の講演 では無理 があることは分 かって い たが 、りL
戦 してみ る こ とに した。
曲線 の弧長 の逆 関数 としてある区間上の 関数 s(π)を 定義 し、実軸 全
体に拡張 し、加 法定理 を示 し、純虚 数 での値 を定め、加法定理 で複素
点を調 べ る
点と特異′
平面 上に拡張 し、正 則 であ る こ とを示 し、 そ の零 ′
とい う順序 であ る。
そ の際、天 下 りの定義 で はな く、高校数 学 との 関 りを重視 し、 三角
関数や 指数 関数 で の対応 物 をよ く見 る こ とによつて 、出来 る限 り必然
性 を示そ うとい う試 み を してみ た。
1 レ ム ニ ス ケ ー ト曲線
2。
前節で考えた レムニスケー ト曲線を考えてみよう。 2定 点からの距
点を π
点とし、 2′
点を原′
点を通る曲線は、中′
点の中′
離の積が一定で 2′
軸上におけば、
レーCIレ+CI=C2
と書ける。両辺を 2乗 すれば、
2_c2(z2+″2)=0く .→
z2″
レ14=2c2淀(z2)
となり、極形式で表せば、
2∈2__2c2cos 2θ
γ
) = 0
2
γ = 2c2cos 2θ
点は、 0,土、
となる。実軸 との交′
″cで あり、 cは 曲線全体を相似に拡
点が 0,±1に なるように正規化する。つま
大縮小するだけなので、交′
1と
おく。
り、 c = 7 戸
ニ
以下、レム スケー ト曲線を
r 2 = c o s 2 θ> 0
-31-
の形で考えよう。θの存在する範囲は、mOd2π で、-1≦ θ≦
1
-1≦
たはπ
θ≦π+1で ある。概形は次の図のよ うになる。
ま
レムニ ス ケー ト曲線
cos 2θ
が偶 関数 で 、周期 πの周期 関数 だか ら、曲線 は π軸対称 であ
り、 かつ原点対称 であ る。 したがって 、第 1象 限 で 曲線 を調 べ てお け
ば良い。
0≦ θ≦ 舌で考える。θ で微分すると、
需
=―
≦0
平
であって、 0と なるのは θ=0の 時だけだから、この範囲で γは θの
／
従 つて 、0か
(dr)z a r2 (d?)z
π
(劣
)2ご
／
=/
一
一
〓
/、(ごπ)2+(dν )2
1+r2(多
了
らの弧長 `(s)は 、
兎
′(S)=
1+_r2^=_2 0adr
Ｉ
α
γ
-32-
√九
Ｉ
1__r4α
r==
Jr
)2αγ
とな る。端 の値 は 、
1
=兎
40=%綱 =あ
であ る。 ω の具体 的な値 が ω =1.3110… 。であ る こ とは、今 はあま り
重要 ではな い。ま た
発
=
>0
(0≦
s<1)
だか ら、 ′(s)は 0≦ S≦ 1で 単調 で 、 したがって逆 関数 が とれ て 、そ
れ を s=s(′ )と 書 こ う。 これ を 2全 体 に、ひいては `全 体 に拡 張 し
た 関数 を レム ニ ス ケ ー ト 0サ イ ン関数 s(π
)と 呼ぶ。複 素変数 の複 素
数値 関数 s(`)を きちん と定義 しその性質 を調 べ るの がこの話 の 目的で
ある。
一
s(′
)は 楕 円関数 の 種で ある。楕 円関数 の理論 は 19世 紀数学史 の
ハ イ ライ トの一 つ で 、タト
優達 の名 もオイ ラー 、 ガ ウス 、 ア ーベル 、ヤ
コー ビ、 ワイ エル シ ュ トラス 、 クライ ン、 ポア ンカ レな ど挙 げ尽 くす
ことが 出来 ない:
行き詰まった楕円積分の研究が、逆関数である楕円関数を考えること
ベルの数学者列伝 [lq
で決定的な進歩を遂げたと、高校生のころEDT●
を読んで興奮 した ものだった。楕円積分も楕円関数も何も分かってい
なかったのだけれ ど。閑話休題。
変数が弧長 とい う意味を持つ ことを忘れて、 πと書くことにすると、
s(■
)に ついて分 かってい ることは、
ごs
απ
l
dπ
=
( 0 ≦ π≦ ω)
ds yl_s4
であることと、s(o)=o,S(ω )=1で あることだけである。 これ だけ
か ら出発することにする。
ー
s(■
)を まず実数 2に 拡張 してみよ う。 レムニスケ ト曲線の全長は
わ だか ら、周期 わ の周期関数にすることは出来るはずで、0≦ π≦わ
での値を決 めれば良い。
S(″
(0≦ π≦ 号)に 似ている。レ
)(0≦ π≦ω)の グラフの概形はsin π
ムニスケー ト曲線が実軸対称であることを用いれば、s(0)=0,S(ω)=1
-33-
を留めて 、 グラフを実軸 の 回 りにまわせ ば良い か ら、ω ≦ π ≦ 2ω
範囲 では、
(w S r
"(")_t(tu-r)
とお けば良 い だろ う。
S(b)=0と
な って い るか ら、 この あ と周期 2ωの周期 関数 に して も
良いの だが 、 ″が原 点か らの距離 だった こ とを思 えばそ うす るべ きな
のか も しれ ない が 、そ う した こ とを忘れ 、素敵 な関数 を作 る とい う気
持 ちになろ う。
π=2ω で の左 微 分 を見てみ る。
)=一
霧_(2ω
劣+(0)=一
i l: L
だけ戻 つて値 を負にするか、原′
点対称で全長が わ であることを使 っ
て値 を負 にす るかで、
S(・
)=― S(π-2の ,
S(π )=― S(4ω一″)
(b≦
π≦わ )
の二通 りの定義の仕方があるようだが、 ω≦ π≦ ル での定義か ら同
じ値 になることが分かる。
あとは、周期 わ の周期関数 にしてしまえば、無限回連続微分可能な
実関数であるレムニスケー ト・サイ ン関数 s(・
)が 得 られ るのである。
点・
継ぎ目の′
Im;π ∈Z}で も、各導関数が連続 につながらてぃ ること
を確 かめることが出来るとい うことである。
y-
-34-
"(r)
D/'72
これ を複素関数 に拡張するのには、更に準備がい る。
まず、 レムニスケー ト0サ イ ン関数 の、す ぐに分かる関数等式を挙
げてお こ う。
S ( π+ わ
一
一 一
一 一
一 〓
は)
P)
)
s(π± 2ω)
(3)
S ( 一 π)
(4)
S ( ″+ ω )
S(π )
一 S(π
)
一 S(π
)
S ( ω 一 π)
証明は、s(■)の p,ゎ]上での定義から、まず p,4ω
]の上で成 り立
一
つことを示し、 般の πに対しては、 わ 周期性を使って、pフ
ゎ ]の
場合に帰着させれば良い。
加法定理 を述 べ たいのだが 、そ のため には レムニス ケー ト ・コサイ
ン関数 c(・
)を 定義 しない とい けない。 三 角 関数 の場合 に倣 うな らば、
C(π
)=S(ω 一″)とす ることになるが、それで良いのだろ う力、 三角関
数の場合を思い出 してみ よう。
2.2 三 角関数の場合
sin π
も弧長の逆関数 と考えることが出来る。もちろん問題にすべ き
2+ν2=1)で
曲線は単位 円Sl={z∈ Z;IZI=1)={(π ,ν
)∈ 22;π
ある。
1=(1,0)か らの弧長をν(=sin θ
) で量 った もの弧度法 (ラジアン)
での角度θであ り、
θ= θ ( ν
)= Iν
(劣 )2αν=
1+4α
了
=Iν
ν +劣
ν
元l「 ご
ν=ズ
ν
だ
いそ
で
づ
)1菫
】
θ
で
て
か
あ
る
は
け
。分
(0)=0,θ
(1)=:=J1lτ
石
1讐
戸た
可
ある。
dθ
≦ν<要では写 =
1
>0で
だ か ら、0 ≦ ν≦
単調 増 力日
:で
考
=sin
θ
ので
の
は逆 関数 が存在 し、ν
あ
定義 は この逆 関数 であ るとす る
-35-
る。 もちろん前小節 と同様に実数全体2に は次の よ うに拡張す る。
s i n θ= s i n ( π ― θ)
( 3 ≦ θ≦ π)
s i n ( 2 7一
「θ)
s i n θ= 一
≦ θ≦ 2 π)
(7「
( π∈Z )
= s i n ( θ ± 2 η什)
sin θ
す ると、前小節 と同 じよ うに して、
sin(θ+27r)= Sin(θ
(5)
)
S i n ( θt t )π
= T Sin(θ )
(6)
Sin(θ
)
(7)
Sin(一
θ) = 一
(8)
S h ″+ ) = d < : 一
の
が得 られ る。
の:導
sinθ
とおくと、0≦ θ≦
関数 をcos θ
cosd-
:で
は
d sin θ
1-sin2d
Jθ
ごθ
dν
yl_ν
2
であ り、
dcos?
-2 sin θ d sinθ
dyl_sin2 θ
- -sind
ごθ
dθ
dθ
である。
=cos θ
が連続になるように2全 体に定義され
sinθ
自身導関数
竿
θ
てい るので、cos も2全
体 で定義 され、
sin2 θ
+ cos2 θ=1,α
dcos0
sin θ
=cos θ,
Jθ
が成 り立って い る と思 っ て良い。
分 か つてい る値 は、0<θ <2π では
sin zr - 0,
7r
c o s O = 1 , c o s , =0, coszr
-36-
２
２レ一
レ一
1,
ｓ
ｎ
・ ｏ
・
ｃ
ｓ
sin O=0,sin3=
である。
さて、三角関数 の種々の性質は加法定理
Sin(θ
+ φ)
COS(θ
+ φ)
s i n d c o s6 + c o s0 s i n $
c o s d c o s6 - s i n 0 s r n $
か ら得 られ るが 、高校数 学 ではなか なかす っ き りした証 明がない。
ほん の少 し多変数 の微積分 を使 わせて もらえば、簡単な証 明 が あ る。
使 う事実 は次 の もの だ けであ る。
「2変 数 の 関数 P(π,ν
)が
満 たせ ば 、Pは π+ν の 関数 で
:;=%を
ある。」
実際、鶴 =π +ν ,υ=π 一 νとい う変数 変換 を した もの を ん(a,υ
)=
お
けば、
,ν
)と
P(・
警
=髪
勢
+%髪
=:(斃
―
%)=0
であ り、んは υに 関 して一 定 となって 、鶴=π +ν だ けの 関数 とな る。
サイ ン関数 の加 法定理 の右辺 をん(θ
+COS θsinφとお
,φ)=Sinθ COS φ
して
き、偏微分
み る と、
∂ん
∂θ
∂ん
∂φ
cos0 cos6
sin 0 sin $
-sin0sin6+cos0cos$
で等 し くな り、
sinθcOs +cOSθ
φ
Sin =ん
φ (θ
+φ)
となる。ここでφ=0を 代入すれば、
sin d
×
となって証 明は終 わ る。
コサイ ンのカロ
法定理 はサイ ン と同 じよ うに して も証 明出来 るが 、サ
イ ンの加法 定理 か らも得 られ る。
-37-
=3と
の
理
ば
ま
サ
イン
加
置!す
法
、
ず
、
定
、
φ
ド
(9)
Sin(θJI:;)= Sin θ
cos,‐+COSθ sin3
‰口
:換
藁批 i:::::「
られるのである。
さらに、式 (9)からc=cos θ=Sin(舌一θ
)に対 して、
C7姿
=兎
3-θ
亨
θ= ,一
Ii
め
=11
-IC
θ
θ 義す ることも出来る。
となり、この逆関数 としてcos を定
なお、加法定理をうまく用いて、解ける代数方程式に持ち込むこと
で幾つかのサイン 。コサインの特殊値が求められる。
例 えば、θ =晋 での値 ν=sin告 >0を 求めたい とする。π =
COS晋=√ 一ア >0と おき、分かっている πでの値をπ,νで表す こ
とにす ると、
= s i n 2 θc o s +θ
= s i n π= s i n 3 θ
0 二
c o s 2 θs i n θ
_sin2 θ
= 2 s i n 2 θc o s +θ
(cos2 θ
)sin θ
2
2
)
ν
2
_
ν
2
ν
= ν ( 3 - 4 ν ) = ν ( 1 - 4 π2 )
=2π
+(π
となるから、π=coS:=:,ν
=Sin:=:要
が得 られる。
さて、レムニスケー ト関数に戻つて加法定理を示 して も良いのだが、
もう少 し三角関数 の議論を しておこ う。複素関数にするためには、適
切に純虚数 での値 を定め、それを加法定理を用いて`全体に矛盾なく
定義 し、正則 であることを示す必要がある。
三角関数 の純虚数 での値を定義す るためには、指数関数 の知識が必
要 となる。指数関数 もこの話の文脈 の中で考えておいた方が、結局は
早道になるだろう。次小節で、それを纏めて置 くことにす る。
-38-
2.3 指 数関数 の場合
よ く知 られ てい るよ うに、 自然対数
１
ｕ
ｒ
０
＞
一ｔ
鶴
ご
ノ
〓
鶴
ｇ
Ｏ
．
(11)
０
＞
鶴
〓
〓
１ 丁石
山
上一
＆一
´
〓
山一
山
〓
１■ 一鶴
呻
山
の逆 関数 として指数 関数 を定義す るのだ が、今 は この事 だ け しか分 かっ
てい ない立 場 で議論 を進 めたいの で 、 この逆 関数 を取 り敢 えず 鶴(π
)と
こ
とに
しよ
う
く
。
書
分 かってい る値 は log l=0す なわちa(o)=1だ けであ る。導関数 は、
であ り、log aの定義域がa>'oで 値域 が2で あることか ら、π(π
)の定
義域 は2全 体で値域 は電>0で ある。
加法定理 (指数法則)
鶴( ・+ ν ) = 鶴 ( ・) 鶴( ν)
机 一
鈎
=鶴 (・)鶴(ν)
〓
＆
鋤一
も、右辺をん(■
,ν
)と置 くとき、
からす ぐに従 う。
したがって、c=鶴 (1)とおけば、電(π
)=C・ と表され ることになる。
当た り前のことだが、c"は指数法貝Jを無意識に使 えるようにするため
の便利な記法だ とい うことであつて、関数 の本体はあくまでも逆関数
鶴(■
)だ と思 ってい る。
さて、指数関数 の純虚数 での値 をどう定義 したら良いだろうか。複
素関数の微分 の知識 を最小限にとどめるために、υ(ν
)=鶴 (り)とい う
す ると、υ(0)=鶴 (0)=1で 導関数 は
実変数の複素数値関数 があった:と
切刊勁
劣0=務回=弧
あ
葬τ疑巽二
I:ふ野ξ
輩遭
豚駆禦幅護1子
-39-
ろうと思 って も良い し、非常に適切な候補 が見つかつたのだか らこ う
決めておいて様子をみ ようとい う立場 をとって も良い。
ν
+づSin とおき
、
ν)=COS ν
何 はともあれ、鶴(づ
(12)
c"+を
ν=鶴
+づ Sin ν
)
)鶴(り)=e・ (COS ν
(π+づν)=鶴 (・
〓
(13)
υの
∂一
仇一
山
と定義すれ ばt加 法定理 (指数法則)は 複素領域 で も成 り立ってい る。
さて 、 この定義 で指数 関数 は正則 になるだろ う力Ъ
+勾 )=
正則 の定義 を議論 してい る暇はないので、複素関数 ∫(z)=∫ (π
鶴(π
,ν)が 正則 であるとは、実関数 鶴,υが連続偏微分 可能であっ
,ν
)+づυ(π
て 、 コー シー ・リー マ ンの方程 式
∂鶴
∂υ
dν
d″
e"cosy-
釣
伽一
一
一
〓
鈎
鈍 一
鋤 仇 一
を満たすことであるとしておこう。
ー ー ・リーマンの方程式を確
(12)で定義された関数に対 して、コ シ
ν (π
、
かめてみよう。鶴(π
,ν
)=Ca Sin であり
ν
,ν
)=C・ COS ,υ
一 ca sin ν ==一
難
とな る。
こ うして 、複 素 関数 と して の指数 関数 cZが得 られ た ことにな る。
周期性 につい て は、明 らかな もの
cz■
2■7rを
二
=cZ
以外 には存在 しないことが分かる。
また定義から三角関数 が
(14)
COS ν =
_c一
C 響+ C 2 ν
.
c響
=
2
づ
, sln ν
η
ることが分かる。
と表 され′
三角関数 を複素領域に拡張す るには、(14)の右辺の指数関数 が複素
変数 で定義 されてい ることから、直接に
CZZ+C 2Z
(15)
COS Z=
CZZ一
, sln z=- 2づ
-40-
C ZZ
としてもよい し、純虚数での値 を
(16)
cosiy -
Cν+c ν
_ coshy,
sin iy -
e-a - ea 2i(
isinh y
と置 き、加 法定理 を信 じて
(17)
sin(r + iy)
(18)
cos(, * iy)
として も同 じ関数 を与 えるこ とが分 か る。 指数 関数 の正貝J性か ら 正
、
則 であ るこ とは従 う。
また 、加法定理 を含 めた三角 関数 の諸公 式 (少な くとも前小 に上
節
げた もの)が 実変 数 の場合 と同様 に成 り立 つ こ とが容 易 に示 され る
。
例 えば、
sin2(π
+ づν) + c o s 2 ( π+ づν)
= cosh2 ν
+ c o s 2 . ) _ s h l h 2 ν( s i n 2 +π
(sin2″
cos2 π
)
= c o s h 2 ν _ s i n h 2 ν= 1
となる。
周期性については、 22πが周期であることは明らかだが、それ以外
のものがない ことも容易に示される。
周期の定義をきちんとしておこ う。ω が複素関数 ノ(z)の周期である
とは、すべての z∈ cに 対 して、
ノ(Z+ω)=∫ (z)
が成 り立つこととする。
sin zの
π(η∈Z)し かないことは、次のように示される。
周期が 2π
ω を周期 とすれば、
血
=知
ゲ恒等 的に Oで あ るか ら、 sin号=0で
あ る。 一 方 、式 (18)か ら sin z
の零点がππしかないことが分かるから、 =ππである。
ザ
-41-
づ
π
次いでながら、指数関数 cZは零点も極も持たない し、周期は 2π
しかない。sinz,∞szは 極を持たず、周期は 2π
πのみであり、cos の
θ
零
曇「 尾 Ъ:芝 Fじ kニ スヶ_卜 関数に戻ろう。
2.4 レ ム ニスケー ト関数
ー
2。
1の最後に述べたよ うに c(π
)=S(ω ―π)と して レムニスケ ト
コサイ ン関数 を定義することは、cOs θの時と同様に、
(19)
の逆関数 として c(2)を定めることと同 じである。 (注意 :c(・)の 定義
を論 じる間は、符号の問題が面倒だ し、他は適当に拡張すれば良いか
ら、o≦ π≦ωでだけ考えてい る。)
しか し、s(π)と c(π
)を 結ぶ最 も重要な関係式
(20)
が 出 て こない。
cosの時 の よ うに、s(π
)の 微分 を使 って定義 しよ うとして も、
=要
, 多=-2s3
劣=VT・
となって、(2o)を満たす よ うに定義 しようとすれば
1
(21)
c(π
)=
ごs
1 * s(")2 dr
_/1-S(1)五
_
1_s(π
1+s(.)2
)2
1+s(.)2
とす ることになり、 c(π
)の 定義の どこにも必然性が見当たらないよう
にみえる。 しか し、(19)を見れば s(π
)と の結び付きはいかにも自然
で、何か定義に理由はないかと思って考えていたら、導関数の間に、
(22)
=(1+c(π
)2)c(.),
券)
)2)s(″
劣=(1+s(π
とい う対称性が見つかつた。 この対称性を満たす ようにと、c(π
)を 定
義 したのだと、後知恵では言えるけれど、やはりこれを見つけた人は
天才だったに違いない。
-42-
c(π
)の 定義は (21)と言 つて も良い し、(20)と言 つて も良い。
c(■
)は 既 に定義 されてい るの
)を 実数 2全 体に拡張す るのは、s(π
で、基本的には (20)によって定義 し、符号の問題は (22)を満たす よう
°
にすれば良い。c(π
)も 周期 わ の周期関数 で、無限回微分可能な関数
である。
S(π
)の 値 で分 かってい るものを挙げてお くと、0≦ π≦ 4ω
),C(π
では
S(0)=0,S(ω )=1,
S(2ω )=0, S(3ω )=-1,Suω )=o,
C(0)=1,C(ω)=0,Cυ b)=-1,C(3ω )=0,Cuω )=1
である。
や っと加法定理 が述が られる (オイラーは偉 しヽ)。
S(・)C(ν)+C(π
(23)
)S(ν)
1 - S ( Z ) C ( π ) S ( ν) C ( ν)
C ( π) C ( ν) 一 S ( π) S ( ν)
p4)
1+S(π
)C(・)S(ν)C(ν)
である。分子だけ見れば、sin,cosの 加法定理 と同じである。
c(π
)の 加法定理 (23)から得 られる。実際、
)の 加法定理 (24)は s(π
(23)でν=ω とおけば、(4)から
(2o
が得 られ る。 これ か ら、c(一 π)=C(・ )も 一 日で分 か る。 そ して 、
C ( π+ ν ) = S ( π + ν + ω )
S ( π) C ( ν+ ω ) + C ( π ) S ( ν+ ω )
1-S(π )C(π
) S ( ν+ ω ) C ( ν+ ω )
C ( π) C ( ν
)
) 一 S ( π) S ( ν
1+S(π )C(・
)
)S(ν
)C(ν
ー
となる。 しか し、 s(π
)の 加法定理は簡単にはいかない。オイラ が苦
労したと言い、アーベルが改善 した とい う証明のアイデアは、前小節
で述 べ た方 法 で あ る。
=%を
い
て
、
辺
をん
置
右
ν
)と
(23)の
(η
難
=0を
の
ば、
関数でそ こに ν
ん( π
)=
代入すれ
* c(")"(0)
"(r)'(0)
1 s(r) ,(r)"(0)'(0)
-43-
、ん は π+ν
確かめれ￨ず
となって 、証明は終わ る。
さて 、
∂ん
確かめ,こと
は
容易ではない
。
難〒::を
p@,a)
の分母 は π,νに 関 して対称だか ら、分
こ
あ
と
る
せ
を
示
し
にと
、
等
が
か
る
分
。
ば
%に
』
∬野
P( 1撃
∂" (1-S(π
)C(π)S(ν)C(ν))2
)c(ν
)+c(・
)S(ν
))(1-S(・
)S(ν
)c(π
)C(ν
))
勇(s(π
―
( S ( ・) C ( ν) + C ( Z ) S ( ν
))岳
(1-s(π
) c ( π) S ( ν) C ( ν) )
(S′
(・
)C(ν
) + C ′( π
)S(ν
) ) ( 1 - s ( π) c ( ″
)S(ν
)C(ν
))
+ ( S ( ・ ) C ( ν) + C ( π
) S ( ν) ) ( S ′( π) C ( π) + S ( π
) C ′( π) ) S ( ν) c ( ν)
( ( 1 + s 2 ( π) ) c ( ″
)C(ν
)+(1+C2(π )s(π
))S(ν
) ) ( 1 - S ( π) C ( π
)S(ν
)C(ν
))
+(S(")C(ν
) + C ( ・) S ( ν
) ) ( 1 + S 2 ( ″) c 2 ( π
))s(ν
)C(ν
)
(C(・
)C(ν
)+S(π))S(ν
) ) ( 1 - S ( ・) c ( π
)S(ν
)C(ν
))
+ S ( ・ ) C ( ・ ) ( S ( π ) C ( ν) + c ( π
) s ( ν) ) ( 1 - S ( ・
) C ( ・ ) S ( ν ) C ( ν) )
+(3(・
)C(ν
) + C ( π) S ( ν
))(1+S2(π
) c 2 ()π
) s ()γ
C(ν
)
( C ( ・) C ( ν) + S ( π
) ) S ( ν) ) ( 1 - S ( ・
) C ( π) S ( ν) C ( ν) )
+ ( S ( ″ ) C ( ν) + C ( π ) S ( ν) ) X
X{S(・
) C ( ・) ( 1 - S ( π
) C ( ・) S ( ν) C ( ν) ) + ( 1 + s 2 ( π
) c 2 ( . ) ) s ( ν ) C ( ν) }
(C(・
)C(ν
)+S(″))S(ν
) ) ( 1 - S ( π) c ( ・
)S(ν
)o(ν
))
+ ( S ( π) C ( ν
) + C ( π) S ( ν
) ) ( S ( )πC ( ・
) + S ( ν) c ( ν
))
と、対称 にな る。 加 法定理 の証 明が終わ っ た。
さて、純虚数 づ
″での レムニスケー ト :サ イ ンsの 値は
(26)
S(づ
″)=づ s(π
)
と置 かれ る。 あま りに安直なよ うだが 、根拠 はあ る。
π (S)
=If
ds
yl_s4
-44-
であつたことを思い出 して、形式的に、s=づt,ご
s=づごιと置いた計算
と
をす る 、
√
づ
αι
。
ι
)4
71-(づ
ノ
t
=元
〓
π(づ
ι
)
とい うことにな り、 この逆関数をとれば (26)が得 られる。
π)は どう定義 した ら良いだろう力■ (20)は最も基本的な関
では、C(づ
係式だか ら、これが成 り立つ よ うに定義 したい とい うのは自然なこと
だろう。(20)にづ
πを代入す ると
1 = S ( づπ) 2 + c ( づ
π) 2 ( 1 + s ( づ
π) 2 ) = _ s ( π) 2 + c ( づ
π) 2 ( 1 _ s ( ・
)2)
だか ら、
1+s(.)2
c(づ
π) 2 = 1 _ s ( π
)2
(「
=
c(π )2
となる。そ こで、
(27)
=島
cめ
s(ir) - is("),
と定義 し、一般 の z=π +り で の値 は加 法定理 (23),(24)に強引に代入
して 、
S(")C(づν)+C(・ )・
S(づ
ν)
1-S(π
)C(π)S(り )C(り )
S ( π) + づ C ( π) S ( ν
)C(ν
)
(28)
C(ν
S ( π) C ( π
)一 づ
)S(ν
)
C ( π) C ( づ
ν) 一 S ( π) S ( づ
ν)
1+S(π )C(π
ν) C ( づ
ν)
)S(づ
C ( π) 一 づ
S ( π) S ( ν
)C(ν
)
(29)
C(ν
) + づ S ( ・) C ( π
)S(ν
)
と定義 す るこ とにす る。
これで うま く行 くのである。つま り、実変数の ときのs(π
),C(π)に
対する関係式
(30)
s(z + 4r)
-45-
c(-z) - c(r): -c(z *2w)
(31)s(一 Z)
(32)
"(")
1
s(z)c(u) + c(z)s(u)
1 - s ( r ) c ( z ) " ( r ), ( w )
c(z)r(.) - s (r)s(u,)
1 + t(z)c(z)"(r) c(u)
(33)
(34)
(35)
が複素変数でも成 り立っていることが確かめられる。
代入すればす ぐに分かる。(32)をやつ
定義式 (28),(29)に
(30),(31)は
てみ よう。
s(c,,* r) * ic(, + cu)s (Y)c(Y)
c(a) - is(, * r)c(, + ur)s (y)
ここで 、c(ω一 π)=S(π ),C(π+ω )=― S(π
)の 形 を使 つて い る。
カロ
法定理や (33)を直接 示 す の には可成 の腕力 が必 要 で 、 あま り書 き
一
上 げる ことは しない。普通 は (複素)正 則 関数 の性質 、 致 の定理 、を
使 う。つ ま り、正則 であ る ことが分 か ってい る範囲では、実軸 上の 関係
式 はそ のま ま複 素領域 で も成 り立つ ことが分 かる、 とい う議論 をす る。
もちろん 、正 則性 は示 さなけれ ばな らな いが 、加法 定理 以外 は具体
的に証明 を与 えた い と思 う。
(33)を示 してみ よ う。 (33)は
(36)
)2)=2
(1+S(Z)2)(1+c(レ
と変形 され る。 この形 で証明 を与 えよ う。また 、実変数 πに対す る (33)
の変形
(1+S(・)2)(1+c(π)2)=2, (1+3(・
)2)(1_c(π)2)=2s(π)2
)2
(1-S(π)2)(1+c(π)2)=2c(π)2,(1_s(π )2)(1_c(π)2)=2s(π)2c(π
-46-
を計算の中で使 うことになる。 さて、記号が繁雑にな りすぎるので、
(37)
) , C = C ( ・ )1 p - " ( y )
s=s(π
,
e-c(y)
と略記 させてもらうことにすると\
(" + i"pq)'
1+s(z)2=1+
@
s2 - (cw)2 +2iscw
q2 . (trp)2 -2iscpq
= 1+
s2+q2-kpil'+G"p)'
92_(scP)2_2づ sqη
)2)
( s 2 + 9 2 ) ( 1 _Pに
92_(sΨ
)2_2づ sqη
(c2+92)(1_(,P)2)
1+c(z)2 =
92_(sΨ
)2+2づ scPg
とな る。 (36)の左 辺 の分 母 は
)2_2づ sqη )(g2_(sΨ
(g2_(sΨ
=(g2_(sΨ
)2)2_4(sqη
)2+2づ sΨ g)
)2
= (12+(scP)2)2
となり、分子は
(s2+g2)(1_∈r)2)(c2+g2)(1_←r)2)
=(12(1+s2)+← p)2(1_s2))(12(1+c2)+←フ)2(1_c2))
=g4(1+s2)(1+c2)+(Pg)2(s2(1+s2)(1_c2)+c2(1+c2)(1_s2))
+(sΨ
2)2(1_s2)(1_c2)
=294+(P・
= 2(14+2(″
)2(2(sc)2+2(sc)2)+2(scP2)2s2c2
sc)2+(scP)4)=2(g2+。
(sΨ)2)2
とな って 、 (36)の 証 明 が 終 わ る。
正則性はコーシー ・リーマン方程式を満たす こととしたのだが、s(Z)
の定義で実部と虚部を求めた上で方程式をチェックするのは面倒であ
る。 コーンー °リーマン方程式 (13)は
08)
暖 Aη ω=0
-47-
と同値 で あ っ て 、 この 方 がチ ェック しや す い。 (36)の 証 明 と同 じ略記法
を使 うこ とにす る と、
S′
c+SC′ =(1+S2)c2+s2(1+c2)=1+s2c2
′
ノg+貿 =1+ノ 92
となる。s(z)の 偏微分は
∂s
+づ cノPg)(g一
(sノ
∂″
づSΨ
Pg)(ゴ
)+"(S+壺
C+Sご
)
Sり )2
(g一 づ
∂s
一づ
づ
SΨ′
C(ノ
SΨ)一(s+たつg)(g′
g+P〆 )(g一づ
)
∂ν
SΨ )2
(g一 づ
は
と
子
なり
+づ
分
、(皇
島)3(Z)の
′
づ
SCP)
g+″ ))(g―
g一C(ノ
(ゴ+づCレ
+J(S+た
フ g)(P(S′ C+SCr)一
g′+づ
scプ
)
SΨ)
η_c(1+ノg2))(g_づ
(1+C2)硼
((1+s2)c+づ
sC(1+ノ)g)
+づ
(S+たPg)(P(1+S262)_(1+92)P+づ
づ
SΨ)
g)(g一
句2)+づ
(1+C2)ψ
(c(s2_ノ
sc(1+ノ)g)
CPg)(P(S'C2_92)+づ
+づ
(S+づ
2(s2c2_92)
2)+(1+C2)(ψ
句
gc(s2_ノ
)一gΨ
)29c_s29c(1+ノ
2)spノ
づ
+Ψ (s2c2_92)二
ψ(")2(1+ノ
g2_s2)+(1+ι
)}
{sPc2(ノ
2+(1+c2)(Ψ
句
gc(s2_ノ
)2_s2(1+P2)_ノ(s2c2_12)}
2)+(1+C2)92+(s2c2_g2)_(cg)2(1+ノ
SP{一
C2(s2_ノ
+づ
句
)}
= g c x O + づ 響フX O = 0
こ
正
と
が
か
s(2)が
る
あ
あ
る
り
Jで
と
分
な
り
、
貝
。
+づ
、
(￡
島)S(Z)=0で
2.5 レ ム ニスケー ト関数の 2重 周期性
同 じよ うに、
(30),(31)と
(39)
(40)
S(Z+わ
s(z±
づ
)=S(Z)
2 瓦) = 一 S ( Z )
-48-
c(z+4ω づ
)=c(Z)
c(z土 %高)=一 C(2)
は簡 単 に示 す こ とが 出来 る。 例 えば 、
S(Z+4υ づ
)=S(・ +(ν +4υ )づ
)=
S ( " ) + づC ( π
+わ
)S(ν
+わ )
)C(ν
c(ν
s(π
+ 4 ω) 一づ
→
) c ( " ) S+(4ν
=羽
S(π
±2→C(ν
±2ω)
)+づC(π
)S(ν
c(ν
±2ω)一づ
s(″
±2ω)
)C(π
)S(ν
t(, t Zrii)
-0
である。 したがって、
(41)
s ( z + 2 ω ( 1 + づ) ) = 一
S(Z+2ω )=s(Z)
(42)
s(z+2ω
S(Z+2ω
(1-づ ))= 一
)=s(Z)
となる。 これで少なくとも
(43)Ω ={2"(1+づ )+22ω(1-づ);鶴
,電∈Z}=Zω l+Zω2
が、周期の全体のなす加群の部分力日
群であることがわかる。 ここで、
ωl = 加
(44)
―加 づ
, ω2=2ω +bづ
である。
υ=S(Z)は トーラス T=C/Ω からリーマン球面ごへの連続写像と
考えられる。2次 の分岐被覆で、分岐′
点の集合は{υ∈,ご
;S 1(υ
)が1
づ
点}={± 1,士
}で ある。素直に考えれば、
E={Z=ν
l+gω2;0≦P,9<1}
は s(z)の基本領域だが、
E′={Z=2ν
(1+づ)+29ω(1-づ)一ω;0≦P,9<1}
をs(z)の基本領域 とした方が都合が良い。
F={z=メ
リ(1+づ)+gω(1-づ)一ω;0≦P,g<1}∋ 0
とi董くとき、
E ′= F ∪
( F + ω ( 1 + づ) ) ∪( F + ω ( 1 - づ) ) ∪( F + 2 υ )
-49-
正方形Fの 内部を単位円盤内31={υ ∈ε;lυ
であり、s(z)は
l<1)に
点は
同相に写している。正方形Fの 各頂′
S(ω)=1, S(づ ω)=づ , S(―ω)=-1, S(一
ω)=一 づ
づ
と写 され て い る。
Fの ′
点zと (F+ω 2)の′
点ξが境界の直線 π+ν =ω に関 して対称なら、
3(Z)とS(ξ
)は単位円Sl={z∈ CilZI=1)に関 して鏡像になっている
(S(Z)S(C)=1)。
Fと (F+ω l)でも同様の関係 にあり、また (F+ω 2))と(F+2ω)で
も、(F+ω l))と(F+b)で も同様である。
F∩ (F+ω 2)上の点z=π +づνはπ+ν =ω を満たしているので、
鋼
―
=
勁
S ( ・) + づ C ( π) 2 s ( π
)
S ( π) C ( π
S ( π) 一 づ
)2
1+づC(π
)2_1_づ
c(π
)2_ 1
1-づC(π
)2 面爾)
)2丁1+づc(・
点は単位円
となり、従つてls(Z)12=1、
すなわち、Fの右上の境界上の′
周 上 に写 ってい る。
一
一
数 π =
鮨 〓
κ 鶴
スエ ヌ
鶴
κ 関 ｒ九
して 、
ェ
の
ビ
1ず
、
＜ 一
た コ
＜ ャ
0
ヤ コー ビの楕 円関数
(1_鶴
﹁
2.6
da
2)(1
(1_鶴
は 一κ < π <
2)
_た 2鶴
とお け
κ にお い ては
2)
2 ) ( 1 _ た2 鶴
の逆関数 として定義される。さらに、レムニスケー ト0サイン関数 s(π
)
と同様な仕方 で 4κ 周期 の無限回微分可能な関数 に拡張 した もので
ある。
-
- kzsn(r)z (一κ ≦ π≦ κ)
srl.(*)'
-50-
もそれぞれ 4κ周期、2κ周期の滑 らかな関数に拡張することが出来、
シーエヌ、デーエヌ関数 と言 う。 これ らについて も同様な関数等式
(45)
sn(r + 4K)
(46)
cn(r + 4K)-
(47)
dn(r + 2K) - dn(r),
sn(-z)
*(r),
sn(r)' + cn(r)2
(48)
cn(-r)
dn(-r)
k2sn(")z + dn(r)2
を示すことが出来、微分もまた
dSπ(・)
)=_s2(π
=Cπ (・)ごπ(π), & π( ・
) J π( π
),
dπ
dd電(π)
た 2sπ
(π)Cπ(π)
Jπ
(49)
となる。加 法 定 理 は
(50)
sn(r + y)
(51)
cn(r + y)
sn(r) cn(a)dn(y) * cn(") dn(r) sn(y)
1 - k2sn(r)2sn(il'
cn(r) cn(y) - sn (") dn (r) sn(r) dn(y)
1 - lczsn(r)2 sn(y)'
dn(r) dn(y) - k2 sn(") cn(r) sn(r) cn(y)
1 - k2sn(r)2 sn (a)'
ー
s2(■
)に 関するヤ コ ビの虚数変換
υ =づ
, dυ
=
(1_υ
2)
に よ り、
屯
0= メ
1 α
Ⅲ 綺0 = , d η
鳴
は 0=
π( ν
, ぽ)
り
とおくことになど
5。ここで た率=yl_た 2で ぁる。
加法定理を信 じて,複 素関数 として定義することにすれば、
sn(2, k)
k.)
sn(r, k)dn(r, k.) * icn(*, k)dn(r, k)sn(y,le.)cn(U,
率
1-dπ (π
, た) 2
った) 2 s π
(ν
-51-
とお くことになる。
こ うすれば、複素関数 として も
sn(z + 2K) - -sn(r) t cry.(,* 2K)
cn(z)
dπ(Z)
を満たす し、さらに独立な周期性
s2(z+2づ κ *,た)=sπ
(Z,た)
率
cπ(z+2κ +2づ κ ,た)= cπ
(Z,た)
率
ご電(z+4づ κ ,た)=ご
π(Z,た)
率
も満たす ことが確 かめられるが、易 しくはない。 ここで κ率=κ (た
)
である。
何はさておき、これが 2重 周期性であり、複素 トー ラス =楕 円曲線
の重要性を保証 してい る ……… とい うよ うにさらに数学は続いてい く
のだが、今回はこれにて6
-52-
3 率碁
′
bり に
昨年はTOSMの 仲間の一人である福井大学の黒木哲徳氏がアメリカ 0
イギリス と出張で、ま とまった活動が出来ませんでした。TosMポ ス
トにも、実質的な質問が投函されませんで した。個人的に返事を書き、
この会誌にすべ ての質問 と解答 を載せてきてはいますが、何 と言つて
もパブ リシテ ィーがなさ過ぎるようですし需要がない とは思いた くな
いのですが、個人的に知 っていて も質問は しに くい もの、そ このバ リ
ヤー を取 り除くように、何 らかの方策を考える必要があると思ってい
ま九
TOSMの 活動 も多岐にわた り過ぎると結局何も訴えるものを作 り出
さないままとい うことにな り兼ねず、当面の活動のスパ ンを教師 教育
ない し教師支援 の在 り方 の模索 とい うあた りに しばってい くつ もりで
す)そ のために、夏前にアンケー ト調査を一つお願 いす ることになる
と思いますLま た 8月 11日 (日)に 岐阜大学で開 く予定でお ります
第 2回 TOSMシ ンポジ ウムでは、そのあた りの議論を主なテーマにし
たいと考えてお ります`興 味のある方々の参力目をお願 い したい と思っ
てお りま九
また、これまでの TOSMの 活動や私 自身の二重県高校数学研究会 と
の関わ りにつ きま しては、会誌 Fl,pl,pl,μ
qに 書かせて頂いてお りま
ー
すが、このたび研究会から美杉セ ミナ のまとめを出され る折 りに私
'め
か ら見たまと を書かせて頂きま したので、それ もご覧 ください。
以下の文献 の 中の数学の本は、 この二つの話を準備 してい るとき、
準備 のために読んだか、たまたまこの時期に読んでいた ものですし ど
うい う形で話に影響を与えてい るか見極 める時間もないので、思い付
く限 り挙げてお きま九 、
参考文献
ー
国 足立恒雄 『フェルマ の大定理が解けた!』講談社ブルーバックス
Blo74(1995)
ー
複素解析』(笠原乾吉訳)現代数学社 (1979)
pl L.V.ア ルフォルス 『
代数幾何入門』岩波書店 (1995)
pl上 野健爾 『
デカル トの精神 と代数幾何 (増補
降l飯 高茂 +上 野健爾 十波川幸彦 『
版)』日本評論社 (1993)
数論 歴史からのアプローチ』(足立恒雄十
blア ン ドレ・ヴェイユ 『
二宅克哉訳)日本評論社 (1983)
複素数 と幾何学』培風館 (1993)
Ю]梅 沢敏夫 +後 藤達生 『
ー'91)」 '92年度数学研究
F]蟹 江幸博 「数について (美杉セ ミナ
会誌36号、二重県高等数学教育研究会 (1992),3-41・
TOSMポ ス ト」'93年度数学研究会誌37号、二重県高
BI蟹 江幸博 「
等数学教育研究会 (1993),2-44。
'93)
数学を語るのか、数学で語るのか (美杉セ ミナー
p]蟹 江幸博 「
」'94年度数学研究会誌38号、二重県高等数学教育研究会 (1994),239。
[lq蟹 江幸博 「数学の危機なのか、数学教育の危機なのか (美杉セ ミ
'94)」 '95年
ナー
度数学研究会誌 39号 、二重県高等数学教育研究
会 (1995),10-61.
美杉セ ミナーについて 一特に'94と'95のまとめ ―』
[111蟹江幸博 『
「
数学を楽 しむ高校生のためのセ ミナー」(94年 度、 95年 度)
ージ。
のまとめ,二 重県高等学校数学教育研究会 (1996),8-33ペ
一 『関数論の演習』森北出版
[1劉桐村信雄 +渡 部隆
(1961)
幾何への誘い』岩波書店 (1991/OCt.23)
[131小平邦彦 『
複素解析学』現代数学ゼミナール15、近代科学社 (1991)
[1倒佐藤宏樹 『
10)
楕円関数入門』 日本評論社 (1976/Dec。
[1司戸田盛和 『
複素関数 三 幕劇』朝倉書店 (1990)
[lq難 波誠 『
代数曲線の幾何学』現代数学社 (1991)
[11難 波誠 『
ー
楕円関数論』(足立恒男 十小松
[1司A.フル ヴィッツ十R.ク ラン ト 『
啓一訳)シ ュプリンガー数学クラシックス (1964)
-54-
μq E.T.ベル 『数学をつ くった人々1-4』(田中勇 +銀 林浩訳)数 学新
書、東京図書 (1937)
ー
連続群論 上 下』(柴岡泰光 十杉浦光男 十
pq L.S.ポン トリャ ギン 『
宮崎功訳)岩波書店 (1954)
-55-