運動方程式

内 容
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振動工学
第3回 運動方程式
演習2の解答
運動・座標・自由度
Newtonの運動法則
運動方程式
慣性力、D’Alambertの原理
剛体の転倒
墓石の転倒
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演習2の解答
問題： 地震と地震動の違いは何か。
それぞれどのような値を用いて大小強弱を表すか。
場所ごとに異なるのはどちらか、また、その理由
はなぜか。
解答： 断層面で岩盤がせん断破壊することにより発生し
た衝撃波が地中を伝播して地表に到達し、地面
のゆれとなって現れたものが地震動、この現象全
体を地震という。
地震の規模はマグニチュードにより、地震動は震
度階、加速度などにより表す。
地表のゆれである地震動は、震源からの距離や
岩盤・地盤の性質・形状により伝播性状・震動性
状が異なる。
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運動(1)
運動
ある一点が、時間の経過に従ってその位置を移動
する現象。これを示すには基準となる座標が必要と
なる。
変位
Displacement
(m)
運動している点の移動量
速度
Velocity
(m/s)
変位の時間に対する変化の割合
加速度 Acceleration
(m/s2)
速度の時間に対する変化の割合
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運動(2)
座標
座標系
点が直線に沿って運動している時、時間をt，変位をu
とすると
• 速度
• 加速度
単位は、
• 変位
• 速度
• 加速度
点の空間的な位置を示す
→通常、右手直角座標系を用いる
du
 u
dt
dv d  du  d 2 u
  
 u
a
dt dt  dt  dt 2
v
m
m/s
m/s2
座標
座標軸に沿う長さ：x, y, z
回転角： など→”右ねじ”が正、単位は rad
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自由度
系
1つ以上の部材から構成され、力学的解析の対象と
するモデルを構造系または系(System)という。
自由度
系に n 個の動き方が可能な時、系は n 個の自由度
(Degree of freedom, dof)を持つという。
一般化座標
n個の自由度を有する系の運動中の各点の位置は、
n個の互いに独立な変数によって表すことができる。
これらの独立な変数を一種の座標と考え「一般化座
標」と呼ぶ。（長さ、角度）
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Newtonの運動の法則
運動と力の一般的な関係：
Newtonの運動の法則
第1法則
静止もしくは等速度直線運動をする物体は、これに
力が作用しない限り、その状態を持続する。
第2法則
速度の変化すなわち加速度は、作用した力に比例
し、その力の方向に起こる。
第3法則
作用は常に反作用と逆向きで、それらの大きさは等
しい。
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運動方程式 (1)
運動方程式 (2)
第２法則より
重力単位系（古い単位系）
質量 1kg に働く重力→重量キログラム：kgf
これを力の基本単位とする単位系を「重力単位系」
と言う
aP
a：加速度, P：力
比例定数（係数）を1/m とすると
a
1
P
m
m：質量（質量の定義）, 単位は kg
g (重力の加速度)は地球上で一定ではない。また、地
球以外ではその大きさは異なる。
国際標準： g = 9.80665 m/s2
したがって、1 kgf = 9.80665 N
SI単位系
1kg の物体を 1m/s2 で加速する力
＝1kg･m/s2 = 1 N
重量： mg
g：重力の加速度
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運動方程式 (3)
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慣性力とD’Alembertの原理
下式を運動方程式(Equation of motion)と言い、
運動現象を表す全ての方程式の出発点となる。
P  ma
運動方程式を変形すると
 ma   P  0
2つの力が釣り合っている（足すとゼロ）。
– ma：慣性力(Inertia force)または慣性抵抗
物体が加速度をもって運動している時でも、慣性力を
含めて力の釣り合いを考えることができる。
つまり、動的な現象（運動）を、静的な（運動していな
い）釣り合いの問題に還元できる。
これをD’Alembert（ダランベール）の原理と言う。
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剛体の転倒 (1)
剛体の転倒 (2)
地盤上に質量 m (重量 W = mg )の剛体がある。今、
地盤が加速度 a で下図の左方向へ水平に動く（→剛
体も滑らずにいっしょに動く）ものとする。
剛体に作用する力は
慣性力： – ma （剛体が地盤に対して及ぼす力）
（剛体と地盤との間に働く摩擦力）
摩擦力： F
これらが釣り合う
– ma + F = 0
加速度が大きくなると剛体は転倒する。
転倒のような運動を考えるにはモーメントを考える必
要がある。
モーメントとは
偶力（同じ大きさで向きが反対の一対の力）
距離 2l（回転中心までの距離が b）のとき
M = P・l をモーメントという
–P
-ma
P
F
a
剛体の転倒 (3)
今は強い地震動の揺れを計る強震計があるが昔はな
かった。昔の地震動の強さ(加速度の大きさ)は墓石の
転倒から計算した。
高さ2h, 幅2bの墓石が倒れるか倒れないかの境目は
mah – Wb = mah – mgb
符号は時計回りが＋
この値が >0 ならば右へ回る→倒れる
<0 ならば左へ回る→元に戻る
倒れる条件は
a b

（Westの公式）
g h
mah – mgb > 0
a b

g h
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墓石の転倒 (1)
A点回りのモーメント：
→
2l
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2h
墓石を数えて“倒れた/倒れなかった”を計算することに
より加速度 a が分かる。
-ma
W
A
2b
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墓石の転倒 (2)
福岡県西方沖地震
地震計がない時代、地震動の最大加速度値を推定す
るのに用いられた。
たとえば
• 濃尾地震 (1891.10.28)
• 関東地震 (1923. 9. 1)
• 福井地震 (1948. 6.28)
2005年3月20日
玄界島で大きな被害
小牧
430 cm/s2
小田原 550 cm/s2
福井
640 cm/s2
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墓石の転倒 (3)
墓石の転倒 (4)
Westの公式より，墓石が転倒する境目の加速度は
a b 25
 
 0.3125
g h 80
従って，当地の加速度は，
a = 0.3125×9.8 = 3.06 m/s2
以上と考えられる。
80cmx25cm
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剛体と構造物(弾性体)
１質点系（1自由度系）モデル
剛体
質点
変位しても形が変わらない（変形しない）
物体の重心に全質量が集まっているとし，重心の位
置・運動によって物体の位置・運動を代表させる。
ここでは，水平方向の運動 u (m) のみ考える。
質点はばね k (N/m) を介して固定端に結ばれてい
る。このばねは，物体の変形しやすさを表し，Hook
の法則に従う。
構造物
変位すると形が変わる（変形する）
力と変形の関係が比例する（Hookの法則が成り立
つ）時、これを弾性体と呼ぶ
剛体
構造物
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運動方程式の解 (1)
運動方程式
D’Lembertの原理：
(– ma) + P = 0
ここに， – ma は慣性力，P は外力
これより
 mu  ku  0
 mu  ku  0
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両辺をmで割って
u   2 u  0
ここに
k  N m   kg  m/s 2 /m   1 
 



m  kg  
kg
  s 

上の方程式は，
2階の同次線形常微分方程式と呼ばれる。
同次：右辺（定数項）がない
線形：変数が2次以上でない
• 2つの「1次独立」な解を持つ
• 一般解はその1次結合で表される
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運動方程式の解 (2)
1次独立な解は
u1  cos  t , u 2  sin  t
一般解は
u  A cos  t  B sin  t
上式を微分すると，速度・加速度は
u   A sin  t  B cos  t
u   A 2 cos  t  B 2 sin  t
ここに，A, Bは積分定数（未定係数）と言う。
˙˙t 0 ）により
この値は t = 0 における初期条件（ ut 0 , u
定まる。
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