29. 複素電力

29. 複素電力
29. Complex Power

このテーマの要点
フェーザ表示における電力の扱い方を理解する

交流回路における電力計算の理解を深める

最大電力供給の定理を理解する
教科書の該当ページ

2.6 交流回路の電力
2.6.3 複素数表示の電圧・電流と電力の関係 [p.78]
2.6.4 電力の計算例 [p.79]
RC 直列回路

インピーダンス
Z=R−j 1
ωC
= | Z | ∠ −ϕ


R
−ϕ
Z
−j 1
ωC
電流
|I |
| E |∠ 0°
= | I | ∠ +ϕ
I= E =
Z | Z | ∠ −ϕ
I
ϕ
E
電力
!
力率 = cos
皮相電力：Pa
= | E | | I | (VA)
! 有効電力：P = | E | | I | cos ϕ
!
無効電力：Pr
= | E | | I | sin ϕ
(W)
(Var)
= cos
インピーダンス
のもつ偏角
電圧と電流の
間の位相角
3つの電力の関係を図に描いてみる
!
皮相電力：Pa = | E | | I |
!
有効電力：P = | E | | I | cos ϕ
!
無効電力：Pr = | E | | I |
P
sin ϕ
|
=
a
|I
E|
|
ϕ
P = | E | | I | cos ϕ
Pr = | E | | I | sin ϕ
複素電力の導出
3つの電力をベクトル合成と考える
Pc = P + jPr 複素電力
Im
Pc
= | E | | I | cos ϕ + j |E | | I | sin ϕ
= Pa cos ϕ + j Pa sin ϕ
jPr
ϕ
P
Re
複素電力の性質
 複素電力の大きさは皮相電力
| Pc | = P 2 + Pr2 = | E | | I | cos 2ϕ + sin 2ϕ = | E | | I | = Pa
 複素電力はインピーダンスと同様な固定ベクトル
Z=R− j 1
ωC
Pc = P + jPr
E = | E |∠ 0°
I = | I |∠ ϕ
(時間に無関係)
時間がたっても変化しない
瞬時値が求められない
c.f. p(t) = | E || I | {cosϕ − cos(2ω t − ϕ)}
実際は時間とともに変化 (フェーザ)
瞬時値が求められる
e(t) = 2 |E | sinω t , i(t) = 2 | I | sin (ω t+ϕ )
 複素電力の虚部 (無効電力)
+ jPr： 電流が電圧より進み
− jPr： 電流が電圧より遅れ
容量性無効電力
誘導性無効電力
 複素電力は電圧と電流の共役積
Pc = | E || I |∠ ϕ
Im
I
= | E || I |∠ θi −θe
= | E |∠ −θe • | I |∠ θi
E
I
Eの共役複素数
=EI
ϕ
θi
θe
−θe
E
Re
E
最大電力供給の定理
負荷の Z と電源の ZS が互いに共役のとき
負荷に供給(消費)される電力 P は最大となる
ZS = r + jx , Z = R + jX とすると
R = r , X = −x (Z = ZS)

証明
R で消費される電力は
2
P = R| I |2 = R E
これを最大にするには分母を最小にする
ZS + Z
R | E |2
r, R ：正の実数
=
2
|(r + R) + j(x + X )|
x, X：正/負の実数
R | E |2
=
0
∴ X = −x
(r + R)2 + (x + X )2
!
!
X = −x のとき P を最大にする R を求める
R | E |2
P=
(r + R)2
d P = 1•(r + R)2 − R•2(r + R)•1 | E |2 = 0
dR
(r + R)4
参考：微分による最大・最小点の計算
y = −x2 + 4x + 1 の最大点とその値は？
最大点では傾き(微分)が 0
dy
= −2x + 4 = 0
dx
∴
x=2
y
5
もとの式に代入すると
1
y = −22 + 4×2 + 1 = 5
x
0
よって、x = 2 のとき y = 5 で最大
2
分子= 0 より
(r + R)2 − 2R(r + R) = r2 + 2rR + R2 − 2Rr − 2R2
= r 2 − R2 = 0
∴ R=r
!
以上より
R = r , X = −x
∴ Z = ZS
演習 ある回路に交流電圧 E = 80 + j 60 (V)を加えたとき、電流 I = 3 + j 4 (A)が
流れた。この回路の有効電力 P と無効電力 Pr 、および皮相電力 Pa を複素電
力 Pc から求めよ。
Pc = E I
= (80 − j 60)(3 + j 4)
= 240 + j 320 − j 180 + 240
= 480 + j 140 (VA)
P = Re {Pc} = 480 (W)
Pr = Im {Pc} = 140 (Var)
Pa = |Pc| = 4802 + 1402
= 500 (VA)