応用物理(担当瀬戸 )・演習問題3(2011)

応用物理
(担当 瀬戸)・演習問題 3(2011)
2011 年 11 月 22 日
1. ケプラーの３法則を全て挙げて説明しなさい。教科書ノート参照。図も描くこと。
2. ある人口衛星が高度 1200km の円軌道にある。この人口衛星の速さと軌道周期を求めなさい。但し，地球は
半径 R = 6378 km の球とし，地球の質量を 5.974 × 1024 kg として計算せよ。
解
万有引力と向心力がバランスする。高度を h とすると
GM m
= m(R + h)ω 2
(R + h)2
と ω = 2π/T
r
T = 2π
(R + h)3
= 6565.25 sec = 1.824 hour
GM
3. 体重 100kg の人が二人いて 10cm 離れているとする。この二人に働く万有引力の大きさはいくらか。但し，
万有引力定数は G = 6.6726 × 10−11 m3 /kg · s2 として計算せよ。
(解）
F =
GM M
6.6726 × 10−11 × 1002
=
= 6.673 × 10−5 (N )
r2
0.12
。
4. 周期が 100 年の彗星の軌道の長径は地球の軌道の長径の何倍か。
解
ケプラーの第 3 法則より公転周期 T と長径 a には
T2
= cost
a3
なる関係があるから
T 2 (彗星)
T 2 (地球)
=
a3 (彗星)
a3 (地球)
より
a(彗星)
=
a(地球)
µ
T (彗星)
T (地球)
µ
¶2/3
=
100
1
¶2/3
= 21.5 倍
5. 人工衛星を赤道上の一地点の上にいつまでもいるようにするには，どのような高さで円運動させれば良い
か。またその速さはいくらか。但し，地球は半径 R = 6378 km の球とし，地表の重力加速度を g=9.8 m/s2
として計算せよ。
1
(解）静止衛星は衛星の地上からの高さを h とすると R + h の半径で地球の自転周期と同じ周期で周回して
いることになる。衛星の質量を m とすると衛星の遠心力（向心力）と衛星と地球との万有引力がつりあう
条件から
mω 2 (R + h) =
GM m
R+h
となる。この式から求める高さ h は
GM
ω2
r
3 GM
R+h=
ω2
r
3 GM
∴
h=
−R
ω2
v
u
u 6.6726 × 10−11 × 5.974 × 1024
=u
− 6378 × 103 = 35864 km
Ã
!2
u
3
u
2π
t
24 × 60 × 60
(R + h)3 =
(1)
(2)
(3)
¶
µ
2π
2π
=
∵ω=
T
24 × 60 × 60
(4)
また静止衛星の速さは
v = (R + h) · ω = (6378 + 35864) × 103 ×
2π
= 3072 m/s
24 × 60 × 60
6. 教科書 p.62 問 2
（解）月は地球を等速円運動で回転していると考える。周期 T =27.3 日で回転しているから月の速度 v は月
と地球との中心間の距離を r とすると
v = rω = r ·
2π
T
月と地球とには万有引力が働き、これが向心力となって等速円運動を維持しているから月と地球の質量をそ
れぞれ m、M とすると
mrω 2 =
GmM
r2
⇒
mr
4π 2
GmM
=
2
T
r2
したがって GM = gR2 をもちいると
gR2 T 2
r =
4π 2
3
µ
⇒
r=
9.8 · (6400 × 103 )2 · (27.3 · 24 · 3600)2
4π 2
¶1/3
= 3.84 × 108 m
地球の半径 Re = 6378 km はなので、地球の表面から月の中心までの距離（月の半径は殆んど無視できる）
r0 は
r0 = r − Re = 3.84 × 108 − 6.4 × 106 = 3.78 × 108 m
である。
7. 教科書 p.85 問題 2
問 2 と問 5 の解答を参考にすればよい。
8. 教科書 p.95 問題 4
教科書の解答参照
9. xy 平面上に運動している物体の角運動量の定義を直交座標と極座標で表しなさい。また角運動量の大きさ
が面積速度 12 r2 dθ
dt とどのような関係にあるか。
解
l=r×p,



l = ypz − zpy

 x
ly = zpx − xpz



 l = xp − yp
z
y
x
(5)
で z = 0, pz = 0 だから角運動量は z 成分しかもたない。
lz = xpy − ypx = m(xẏ − y ẋ)
極座標表示した速度

 ẋ = ṙ cos θ − rθ̇ sin θ
 ẏ = ṙ sin θ + rθ̇ cos θ
(6)
を lz に代入すると
lz = mr cos θ(ṙ sin θ + rθ̇ cos θ) − mr sin θ(ṙ cos θ − rθ̇ sin θ) = mr2 θ̇
(7)
となる。したがって面積速度の大きさ dS/dt と角運動量 lz とは
dS
1
1
= r2 θ̇ =
lz
dt
2
2m
(8)
なる関係がある。
10. 図のように底辺が a[m]，高さ b[m] のニ等辺三角形の各頂点の底辺の両側に重さ m[kg] のおもり、高さ方向
の頂点に重さ 3m[kg] のおもりがあるとき，重心の位置はどこになるか。ただしおもりの大きさは無視する。。
z
¢A
¢ A
¢
A
¢
A
¢
A
¢
A
¢
A
¢
A
¢x
Ax
~ とすると
解】底辺の中心を原点とする。重心の位置ベクトルを R
~
~
~
~ = 1/2ami − 1/2ami + b3mj = 3 b~j
R
5m
5
よって重心は底辺中心から 3/5 ｂの位置。