PS 2F2

複素解析 中間試験 11/16/04 (提出締切 11/22/04 17:00)
答案用紙は 4 枚綴である．各問ごとに 1 枚を使用し，4 枚すべてに名前・学籍番号を記
入すること．紙面が足りない場合は裏を利用してもよい．提出先はレポート受け (2-2)．
1. 一次分数変換
az + b
cz + d
で， f (0) = 3(1 + i)/2, f (2) = 3 + i, f (∞) = 1 をみたすものを求めよ．さらに，
f の不動点 (f (z) = z をみたす点) を求めよ．
f (z) =
2. z = x + iy とするとき，複素偏微分作用素は
µ
¶
µ
¶
∂
1 ∂
∂
∂
1 ∂
∂
,
=
−i
=
+i
∂z
2 ∂x
∂y
∂ z̄
2 ∂x
∂y
により定義される．つぎを示せ．
∂f
= 0 であることは同値．
∂ z̄
∂f
(2) f が正則であれば f 0 (z) =
∂z
2
∂
(3) ∆ = 4
∂z ∂ z̄
(1) f が正則であることと
3. 単連結領域 D で定義された調和関数 u(x, y) に対して，(x0 , y0 ) ∈ D を始点，(x, y) ∈
D を終点とする D 内の曲線 C にそった線積分
Z
v(x, y) =
−uy dx + ux dy
C
により v(x, y) を定めると，v(x, y) は C の取り方によらず定まり，さらに
f (z) = u(x, y) + iv(x, y)
は D 上の関数として正則であることを証明せよ．
4. n を自然数とするとき，つぎの積分を計算せよ．
Z
dz
n
C z −1
ただし C は原点を中心とする半径 2 の円周を反時計周りにまわる曲線とする．