1 - Researchmap

(1)
ENCOUNTER with
MATHEMATICS
ブラウン運動と実解析
新井 仁之
2001 年 10 月 27 日
(2)
1. 確率論の諸概念と実解析の諸概念の対応
2. 調和測度の問題 (停止ブラウン運動の分布)
キーワード :
マルチンゲール，停止時間，伊藤積分，
局所時間
1 ブラウン運動とマルチンゲール
参考文献
[IW] N. Ikeda and S. Watanabe, Stochastic Differential Equations and Diffusion Processes, 2nd
ed., North-Holland/Kodansha, 1989.
(Ω, F , P ) : 完備確率空間
p(t, x) =
1
d/2
(2πt)
exp
− |x|
2t
2
x∈R
d
(3)
(Bt)t∈[0,∞) が Rd 値の連続過程で，すべての
0 < t1 < · · · < tm, Ei ∈ B(Rd) (i = 1, · · · , m)
に対して，
P ({Bt1 ∈ E1, · · · , Btm ∈ Em})
p(t, x1 − x0)dx1
p(t2 − t1, x2 − x1)dx2
=
E1
E2
···
p(tm − tm−1, xm − xm−1)dxm
Em
を満たすとき，出発点 x0 ∈ Rd の d 次元ブラウン運動
という．
以下, x0 = 0 であるとする.
D ⊂ Rd : 点 0 を含む有界領域.
τ = inf {t > 0 : Bt ∈
/ D}
u(x) : D 上の調和関数
Xt := u(Bt∧τ ), t ≥ 0
局所マルチンゲール
(4)
マルチンゲールの定義
条件付き期待値
G ⊂ F ：部分 σ 集合体．X ∈ L1(X, F , P ) に対して，
Q(F ) =
XdP (F ∈ G)
F
P |G (F ) = P (F ) (F ∈ G)
明らかに Q P |G . Radon-Nikodym の定理より
∃!Y ∈ L1 (Ω, G, P |G ) : Q(F ) =
Y dP (F ∈ G)
F
条件付き期待値
E(X|G) = Y,
X と E(X|G) の違い：
F 可測，
E(X|G) : G 可測
F の部分 σ 集合体の族 (Ft)t≥0 が reference family
であるとは
Ft ⊂ Fs 0 ≤ t ≤ s
Ft+0 :=
Ft+ε = Ft
ε>0
(5)
定義 1
確率過程 (Xt)t≥0 が (Ft)-マルチンゲール
であるとは，
1. X ∈ L1 (Ω, F , P )，Ft 可測
2. 0 ≤ t ≤ s =⇒ E(Xs|Ft) = Xt a.s
が成り立つことである．
以下，我々が考える reference family ：
Ft := σ [Bs : s ≤ t] ∨ N
([IW, Lemma 6.1])
簡単のため，F∞ := σ
t≥0
Ft = F を仮定．
停止時間
定義 2
写像 T : Ω → [0, ∞] が (Ft )-停止時間
とは
{T ≤ t} ∈ Ft
(6)
定義 3
確率過程 (Xt)t≥0 が 局所マルチンゲール で
あるとは，各 Xt が Ft 可測で，ある (Ft)-停止時間の列
Tn < ∞, Tn ∞
が存在し ，Xtn = Xt∧Tn が (Ft )-マルチンゲールにな
ること．
マルチンゲールの例
X ∈ L1 (Ω, F , P ) に対して
Xt = E (X|Ft)
伊藤の表現定理
(Xt) : 局所 2 乗 (Ft )-マルチンゲールならば
d t
Xt = X0 +
Φi(s)dBsi
i=1
0
ここで，Φi(s) は (Ft) に適合した実可測過程で，
T
∀T > 0： Φi(s)2ds < ∞ a.s.
0
(7)
2 極大関数と面積関数
以下，
D ⊂ Rd
原点を含む有界領域，∂D : C 2
dσ : ∂D 上の曲面積測度，正規化 σ(∂D) = 1
D ⊂ Rd と ζ ∈ ∂D に対して，Stolz 領域を
Γ(ζ) := {x ∈ D : |x − ζ| < 2dist(x, ∂D)}
とし ，D 上の関数 u に対して
N u(ζ) := sup |u(x)|
x∈Γ(ζ)
を 非接最大関数 という．
連続マルチンゲール (Xt) に対して
X ∗ := sup |Xt|
t≥0
が マルチンゲール最大関数．
(ζ ∈ ∂D)
(8)
lim Xt が存在 = {X ∗ < ∞}
a.s.
t→∞
ζ ∈ ∂D : ∃ lim u(x)
= {N u < ∞}
a.e.
x→ζ
x∈Γ(ζ)
(Calderón)
X0 = 0 なる 2 乗可積分なマルチンゲールに対して，
Xt2 − At
がマルチンゲールになるような増大過程を Xt と表
し ，quadratic variational process という．
Lusin の面積関数：
1/2
Au(ζ) :=
|∇u(x)|2 dist(x, ∂D)2−ddx
Γ(ζ)
マルチンゲールでは
lim Xt が存在 = X1/2
<∞
t
a.s.
t→∞
調和関数 u に対して
ζ ∈ ∂D : ∃ lim u(x)
x→ζ
x∈Γ(ζ)
= {Au < ∞}
a.e.
(Stein)
(9)
3 その他の対応例
martingale Hardy 空間 (Getoor-Sharpe,1972)
Hardy 空間
H p(D) = {u : D 上調和，
N (u) ∈ Lp(∂D)}
これに対して martingale Hardy 空間は
Mp := {(X)t : martingale, X ∗ ∈ Lp(Ω, P )}
martingale BMO (Getoor-Sharpe, 1972) BMO
S(ζ, r) := B(ζ, r)∩∂D, ζ ∈ ∂D
(surface ball)，
B(x, r) = {y ∈ Rd : |x − y| < r}
f ∈ L1(∂D, σ) に対して
1
sup
S:surf ace ball σ(S)
1
f dσ
mS f =
σ(S) S
f BM O =
|f − mS f | dσ,
S
(10)
これに対して martingale BMO は
X ∈ L1(Ω, P ) に対して
X∗ = sup E [|X − E [X|Ft]|]
t≥0
L∞
Holomorphic martingale (Varopoulos, 1980)
正則関数
Bt1, · · · , Bt2n : 2n 個の独立な 1 次元ブラウン運動
√
j
j
Zt = Bt + −1Btj+n
Xt が holomorphic martigale
def .
⇐⇒ Xt = X0 +
n j=1
t
0
j
Φ(j)
dZ
s
s
伊藤の公式より：
0 ∈ D ⊂ C n : 有界領域
1
n
τ = inf t > 0 : Zt , · · · , Zt ∈
/D
u : D → C : 正則
1
n
=⇒ u(Zτ ∧t , · · · , Zτ ∧t ) t≥0 : h.m.
(11)
Carleson 型測度 (Arai, 1986) Carleson 測度
Carleson 測度
D = {z ∈ C : |z| < 1}, T = {z : |z| = 1}
dσ : T 上の Lebesgue 測度 σ(T ) = 1 (正規化)．
P [f ](z) =
P (z, ζ)f (ζ)dσ(ζ) (Poisson 積分)
T
P (z, ζ) =
1 − |z|2
|z − ζ|
2
(z ∈ D, ζ ∈ T )
P : Lp (T ) → {D 上の調和関数 }
問題
P : Lp (T ) → Lp(D, µ)
1<p<∞
となる D 上の測度 µ はどのようなものか？
→ コロナ問題，H p の Fefferman-Stein 理論，
調和測度の問題 etc.
L. Carleson (1962)
I ⊂ T (弧)
S(I) = {z ∈ D : 1 − |z| > σ(I)}
Carleson box
(12)
I:
r
S ( I ) Carleson box
1
定義
¡
¡
r
2¼
µ が Carleson 測度 であるとは
∃C > 0, ∀I ⊂ T (弧) : µ(S(I)) ≤ Cσ(I)
定理 4 (Carleson)
次は同値：
(1) P : Lp(T ) → Lp(D, µ)
1 < ∃p < ∞.
(2) P : Lp(T ) → Lp(D, µ)
1 < ∀p < ∞.
(3) µ : Carleson 測度．
X ∈ L1(Ω, P ) に対して
M X(t, w) := E(X|Ft)
( Poisson 積分)
(13)
Carleson 型測度 (Arai, 1986)
µ : [0, ∞) × Ω 上の測度，
T : 停止時間，
{w ∈ Ω : T (w) < ∞}
R(T ) = {(t, w) : T (w) ≤ t < ∞}
( 弧)，
( S(T ))
(stochastic Interval)
µ が Carleson 型測度 とは
∃C > 0, ∀T (停止時間) : µ(R(T )) ≤ CP (T < ∞)
定理 5 (Arai, 1986) 次は同値：
(1) M : Lp(Ω, P ) → Lp([0, ∞)×Ω, µ), 1 < ∃p < ∞
(2) M : Lp(Ω, P ) → Lp([0, ∞)×Ω, µ), 1 < ∀p < ∞
(3) µ は Carleson 型測度
(14)
局所時間 面積関数の密度関数
(Gundy-Silverstein, 1986)
局所時間
X : conti. semi-martingale,
(martingale+conti. adapted process of f.v.)
a∈R
t
|Xt − a| = |X0 − a| +
sgn (Xs − a) dXs + Lat
Tanaka’s formula
0
Lat :conti. increasing process
Occcupation time formula
∃ P -negligible set : その外側で
t
∞
Φ(Xs)d X, Xs =
Φ(a)Latda
−∞
0
面積積分関数の密度関数 (上半空間)
Du(ζ) =
t1−d∆|u|(dx, dt)
Γ(ζ)
(15)
その他：
Ap 荷重 (Bonami, Lepingle),
BLO (Varopoulos)
Bloch マルチンゲール
(離散 Makarov, 連続 Lions, Muramoto, Arai)
etc.
これらの対応を解析学に応用する．
考え方：
M ut := u(Bτ ∧t),
N X(ζ) = E [X|Bτ = ζ] (ζ ∈ ∂D)
M : ∂D 上の関数 → 確率過程
N : 確率変数 → ∂D 上の関数
(16)
M
N
M : 比較的やさしい，N : 難しい
適用例：
(Burkholder-Gundy-Silverstein (1972))
Maurey (1980)
単位円板上の H 1 の無条件基底の存在
Varopoulos (1982)
確率論の世界でコロナ成立.
(V)
N : holo.mart. → 正則関数の境界値
は単位円板のとき成立 (Fourier 級数を使う)
(17)
単位円板上のコロナ定理の確率論的な証明
Arai, 1986
確率論の世界でのコロナ定理の別証明
（コロナ定数は次元 – ブラウン運動の数 –に依らない )
定理 6 (Arai,1987)
D ⊂ C n, C 2 境界をもつ有
界領域．次は同値：
(1) D に対して (V) が成り立つ．
(2) D は単連結な平面領域．
Arai, 1994
Wojtaszczyk の予想の証明
(Bergman 拡散過程を用いる)
強擬凸領域上の正則関数からなる Hardy 空間 H 1 は
単位円板上の Hardy 空間と Banach 空間として同型
注： Bourgain, 多重円板上の正則関数からなる H 1 は
単位円板上のそれとは B-同型でない．
(18)
4 調和測度の問題
調和測度とは
0 ∈ D ⊂ Rd
有界領域
(Bt) : ブラウン運動あるいは拡散過程，出発点 = 0
/ D}
τ = inf {t > 0 : Bt ∈
ω (I) = P (Bτ ∈ I)
←− 調和測度
1. ユークリッド ・ラプラシアンの場合
(滑らかでない領域)
2. 一様楕円型偏微分作用素 (L∞ 係数の場合)
3. 非一様楕円型偏微分作用素 (？ ）
(19)
2. 一様楕円型 (Quick Review)
d
B d := x ∈ R : |x| < 1
d
∂
∂
LA =
，
aij (x)
∂xj
∂xi
i,j=1
aij (x) = aji (x) : 有界可測
|ξ|2 ≤
d
aij (x)ξiξj ≤ λ|ξ|2
i,j=1
(x ∈ B d, ξ ∈ Rd)
このような楕円型作用素の全体を E(λ) とおく．
(Bt) : LA 拡散過程，出発点 = 0
/ B d}
τ = inf {t > 0 : Bt ∈
ωA (I) = P (Bτ ∈ I)
解析的な定義
Fact : (Caffarelli, Fabes, Mortola, Salsa, 1981)
LA-minimal Martin 境界 ≈ ∂B d (同相)
(20)
Martin の定理：
(1) K(x, ζ) (x ∈ B d, ζ ∈ ∂B d )
Martin 核の存在
(2) ∀u(x) : B d 上の正値 LA 調和,
∃!µu : u(x) =
K(x, ζ)dµu (ζ)
Bd
ωA := µ1
定理 7 (Caffarelli, Fabes, Kenig, 1981)
∃ LA ∈ E(λ) (連続係数)
: ωA⊥σ (completely singular)
Ahlfors-Beurling (’56), Carleson (’67) :
quasi-conformal map
ωA σ ，σ ωA となる A の条件？
(21)
定義 8 (消滅的 Carleson 測度)
µ : Carleson 測度
def
⇐⇒ sup sup
r>0
µ (B(x, r) ∩ B d )
ζ∈∂B d σ (B(x, r) ∩ ∂B d )
<∞
µ : 消滅的 Carleson 測度
µ (B(x, r) ∩ B d)
def
=0
⇐⇒ lim sup
r→0 ζ∈∂B σ (B(x, r) ∩ ∂B d )
d
定義 9 (Bp 荷重)
µ ∈ Bp(σ) とは
(1) µ σ
(2) ∀ζ ∈ ∂B d, ∀r > 0 :
p
1/p
1
dµ dσ
σ (S(ζ, r)) S(ζ,r) dσ dµ 1
dσ
≤C
σ (S(ζ, r)) S(ζ,r) dσ (22)
定義 10 (A∞ 荷重)
µ ∈ A∞(σ) とは ∀ε > 0 に
対して次を満たす δ > 0 が存在する：
任意の surface ball S に対して
E ⊂ S,
σ (E)
σ (S)
< δ =⇒
µ (E)
µ (S)
<ε
FACT 1 (Coifman-Fefferman)
A∞ (σ) =
Bp (σ)
1<p<∞
FACT 2 (Muckenhoupt)
µ ∈ A∞ (σ) ⇐⇒ σ ∈ A∞ (µ)
したがって，µ σ を示して rev. Hölder (2) を示
せば σ µ
(23)
定理 11 (Dahlberg, 1986) LA, LB ∈ E(λ) とする．
a(x) =
A(y) − B(y) ,
sup
y∈B(x,δ(x)/2)
δ(x) = dist (x, ∂B d)
とおく．
a(x)2
δ(x)
dx が消滅的 Carleson 測度とすると
ωA ∈ Bp(σ) =⇒ ωB ∈ Bp(σ) (1 < p < ∞)
A = I のときに注意．
定理 12 (Fefferman, Kenig, Pipher, 1991)
LA, LB ∈ E(λ) とする．
a(x)2
δ(x)
dx が Carleson 測度
とすると
ωA ∈
1<p<∞
Bp(σ) =⇒ ωB ∈
1<p<∞
Bp(σ)
(24)
Well known fact
1
1
1 < p < ∞， + = 1 とする．次の (1), (2) は
p q
同値：
(1) ωA ∈ Bp (σ)
(2) Lq (σ)-Dirichlet 問題が解ける；
1
∀f ∈ Lq (∂B d, σ) , ∃!u ∈ W2,loc
(B d) :
LAu = 0 on B d ，
u∗Lq (σ) ≤ Cq f Lq (σ)
u∗ : 非接最大関数
u→f
n.t.a.e. σ
C. E. Kenig,
Harmonic Analysis Techniques for Second Order Elliptic Boundary Value Problems,
Regional Conf.Ser.Math No 83, 1994, AMS
(25)
Question
∆ = div(∇) : ユークリッド ・ラプラシアン
=⇒LA = div(A∇)?
∆g = div (∇): リーマン多様体上のラプラシアン？
(非一様楕円型の場合)
例 : Bergman 計量，Einstein-Kähler 計量
(26)
(M, g) : 完備リーマン多様体
Lu = div (A∇u) + B, ∇u
B : 有界ボレル可測ベクト ル場
sup B, Bx = small
x∈M
A ∈ L∞(End(T M )) s.t.
γ ξ, ξx ≤ Ax (ξ) , ξx ≤ γ −1 ξ, ξx
((x, ξ) ∈ T M )
単連結，
−∞ < −b2 ≤ KM ≤ −a2 < 0
の場合．
ω : ∆g -調和測度，ωL : L-調和測度．
ω と ω との関係？
Well known fact は成立．
Carleson 測度，その他の準備
(27)
H. Arai, Singular elliptic operators related harmonic analysis and complex analysis of several
variables, In: Trends in Probability and Related
Analysis (Sheh, Kono eds), World Sci. 1999, 1–
34.
H. Arai, Hardy spaces, Carleson measures and
a gradient estimate for harmonic functions on
negatively curved manifolds, Adv. Stud. Pure
Math. 31 (2001), 1–49.