育成プログラム（DSGEモデル入門） 第4回 DSGEモデルの応用

2013 年 7 月 23 日
育成プログラム（DSGE モデル入門）
第 4 回 DSGE モデルの応用
蓮見 亮
目次
1
ニューケインジアン・モデル（NK モデル）の復習
2
NK モデルの応用
2
2.1
2.2
硬直賃金モデル
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Galı́ et al. [2011] の失業モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
11
3.1
3.2
3.3
動的計画法とその応用
動的計画法入門（スライドは省略） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
サーチ・マッチングモデルによる失業の内生化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
モデルへの一般物価の導入 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
15
15
20
4
金融部門の導入（Gertler and Karadi [2011]）
24
5
OLG モデル
OLG モデルの概要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
基本的な OLG モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
OLG モデルでの物価の内生化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
33
33
35
DSGE モデルに関するその他のトピック（箇条書き）
39
3
5.1
5.2
5.3
6
1 ニューケインジアン・モデル（NK モデル）の復習
家計
代表的家計の生涯効用関数を RBC モデルの効用関数と、独占的競争モデルの効用関数を組み合わせた
Ut =
∑
[∫
[
]
β i ln (Ct+i ) − µLγ+1
t+i , Ct =
1
η−1
η
cj,t dj
η
] η−1
(1)
0
i=0
とする。代表的家計の最適化行動は、2 段階に分かれる。家計は、第 1 段階で当期の消費 Ct の大きさに依
存することなく費用を最小化するように当期の消費に占める企業 j の生産する cj,t の割合を決め、第 2 段
階で異時点の予算制約に基づき当期の消費 Ct を決定する。
まず、第 1 段階での最適化により、一般物価 Pt と財 cj に対する t 期の需要 cj,t は、それぞれ
[∫
1
] 1−η
1
p1−η
j,t dj
Pt =
0
(
cj,t =
pj,t
Pt
(2)
)−η
Ct
(3)
と表される。
t 期の予算制約は、
Pt Ct + Bt = Wt Lt + (1 + it−1 )Bt−1 + dt
(4)
とすると、λt をラグランジュ乗数として、第 2 段階での最適化の一階条件
1
− λt = 0
Ct
Wt λt
− µ (γ + 1) Lγt = 0
Pt
β (it + 1) λt+1
λt
−
=0
Pt+1
Pt
(5)
(6)
(7)
が得られる。
企業
財 cj,t を生産する企業 j の生産関数を
cj,t = At Lj,t
(8)
とする。生産 1 単位あたりの実質の平均費用は
φt =
Wt
At Pt
(9)
である。
企業は独占的競争下では、他者と異なる財を生産するため価格を自由に決定できるが、毎期価格改定でき
るわけではなく、ある一定の確率で t 期に価格改定できるものとする（Calvo 型価格設定モデル）価格改定
できない確率を ω とする（つまり 1 − ω を価格改定できる確率とする）
。企業は、もし当期に価格改定でき
るとすると、次に価格改定できるまでの利潤の割引現在価値を最大にするように当期の価格を決定すると
考えられる。次に価格改定できるまでの利潤の t 期における割引現在価値は、当期の企業の販売価格を
pj,t とすると、以下の
Θj,t =
∞
∑
∏i
i=0
ωi
k=1 (1
+ it+k )
(pj,t − Pt+i φt+i ) cj,t+i
(10)
を最大化することによって最大化される。pj,t が販売価格、Pt+i φt+i が t + 1 期における名目の平均費用
（9 式を参照）、cj,t+i が販売数量であるため、(pj,t − Pt+i φt+i )cj,t+i は t 期から t + i 期まで企業が価格を
改定できなかった場合の t + i 期の利潤を表す。
10 式の右辺を pj,t で偏微分してゼロと等号で結ぶと、
(1 + it )Pt Ct
∞
∑
[
ω i β i (1 −
i=0
p−η
j,t
η) 1−η
Pt+i
+
p−η−1
j,t
ηφt+i −η
Pt+i
]
=0
(11)
という一階の条件が得られる。11 式は、漸化式に書き換えられる。
金融政策ほか
金融政策ルールは、テイラールール
it = i∗ + ϕπ πt + ϕy ln
(
Ct
At C ∗
)
+ vt
(12)
に従うものとする。
金融政策ショック vt は、技術水準 At は AR(1) 過程
vt+1 = ρv vt + ut+1
(13)
ln (At+1 ) = ρA ln (At ) + εt+1
に従うものとする。
(14)
2 NK モデルの応用
使っているテクニックは
• ラグランジュの未定乗数法
• 一階の条件（FOC）を再帰的（recursive、漸化式）に書き書き換える
のみ。ただし、応用モデルでは
• 動的計画法の知識（包絡線定理など）
も使う。
2.1 硬直賃金モデル
オリジナルは Erceg et al. [2000], プログラムは（StikyWage.mod）
代表的家計の生涯効用関数（NK モデルと同じ）
Ut = Et
∑
[
]
γ+1
β ln(Ct+i ) − µhj,t+i
i
(15)
i=0
労働需要（NK モデルの財の需要関数と同じ）
(
hj,t =
wj,t
Wt
)−φ
Ht
(16)
タイプ j 家計は、名目賃金 wj,t に関する価格決定力を持つが（独占的競争モデル）、名目賃金の改定機会
は、一定の確率 1 − ρw で与えられると仮定する。
t 期の予算制約
Pt Ct + Mt + Bt = wj,i hj,i + Mt−1 + (1 + it−1 )Bt−1
(17)
ラグランジアン
Λ=
∑
[
β i−t ln(Ci ) − µ{hj,t+i (wj,i )}γ+1
i=t
{
}]
+ λi wj,i hj,i (wj,i ) + Mi−1 + (1 + ii−1 )Bi−1 − Pi Ci − Mi − Bi
(18)
FOC
∂Λ
1
= 0 : Pt λt −
=0
∂Ct
Ct
(19)
∂Λ
= 0 : β(1 + it )λt+1 − λt = 0
∂Bt
(20)
wj,t については、
[
∑
i−t
Λ′ =
β i−t ρw
ln(Ci ) − µ{hj,t+i (wj,i )}γ+1
i=t
∂Λ′
∂wj,t
{
}]
+ λi wj,i hj,i (wj,i ) + Mi−1 + (1 + ii−1 )Bi−1 − Pi Ci − Mi − Bi
[
]
∑
∂h
∂h
j,i
j,i
i−t
=0:
β i−t ρw
−µ(γ + 1)hγj,i
+ λi hj,i + λi wj,i
=0
∂w
∂w
j,i
j,i
i=t
(21)
(22)
が一階の条件になる
∂hj,t
∂wj,t
= −φ
(
wj,t
Wt
)−φ−1
∑
Ht
Wt
より
{(
[
β i−t ρi−t
µ(γ + 1)
w
i=t
(
wj,t
Wi
)−γφ
wj,t
Wi
)−φ
]
}{ (
}
)−φ−1
wj,t
Hi
Hiγ
φ
Wi
Wi
+ (1 − φ)λi
Hi = 0
]
[
∑
−φ−γφ−1
−φ
⇔
β i−t ρi−t
µ(γ + 1)φwj,t
Wiφ+γφ Hiγ+1 + (1 − φ)λi wj,t
Wiφ Hi = 0
w
i=t
⇔ W̃tγφ+1
賃金
µ(γ + 1)φ
=
φ−1
(23)
∑
i−t i−t
ρw Wiφ+γφ Hiγ+1
µ(γ + 1)φ Ft
i=t β
=
∑
i−t ρi−t λ W φ H
φ − 1 Zt
β
w
i i
i
i=t
Ft = Wtφ+γφ Htγ+1 + βρw Ft+1
(24)
Zt = λt Wtφ Ht + βρw Zt+1
(25)
[
Wt = (1 − ρw )(W̃t )
1−φ
+ ρw (Wt−1 )
1−φ
1
] 1−φ
(26)
生産関数（以下、NK モデルと同じ）
Ct = At Ht
(27)
Wt
= ξt At
Pt
(28)
利潤最大化の一階条件
技術水準 At の過程
ln (At+1 ) = ρA ln (At ) + εt+1
(29)
物価
Fπ,t
1 + π̃t
η Fπ,t
=
1 + πt
η − 1 Zπ,t
= ξt + ωβ(1 + πt+1 )η Fπ,t+1
(31)
Zπ,t = 1 + ωβ(1 + πt+1 )η−1 Zπ,t+1
(32)
(1 + πt )1−η = (1 − ω)(1 + π̃t )1−η + ω
(33)
テイラールール
it = i∗ + ϕπ πt + ϕy ln
モデル方程式
(30)
(
Ct
At C ∗
)
(34)
内生変数 (14) Ct , Ht , At , wt , w̃t , ft , zt , it , λ̃t , πt , π̃t , Fπ,t , Zπ,t , ξt
λ̃t −
1
=0
Ct
β(1 + it )λ̃t+1
− λ̃t = 0
1 + πt+1
µ(γ + 1)φ ft
w̃tγφ+1 =
φ − 1 zt
(35)
(36)
(37)
ft = wtφ+γφ Htγ+1 + βρw (1 + πt+1 )φ+γφ ft+1
(38)
zt = λ̃t wtφ Ht + βρw (1 + πt+1 )φ−1 zt+1
[
] 1
(1 + πt )wt = (1 − ρw ){(1 + πt )w̃t }1−φ + ρw (wt−1 )1−φ 1−φ
(39)
(40)
Ct = At Ht
(41)
wt = ξt At
(42)
ln (At+1 ) = ρA ln (At ) + εt+1
(43)
Fπ,t
1 + π̃t
η Fπ,t
=
1 + πt
η − 1 Zπ,t
= ξt + ωβ(1 + πt+1 )η Fπ,t+1
(44)
(45)
Zπ,t = 1 + ωβ(1 + πt+1 )η−1 Zπ,t+1
(46)
(1 + πt )1−η = (1 − ω)(1 + π̃t )1−η + ω
(
)
C
t
it = i∗ + ϕπ πt + ϕy ln
At C ∗
(47)
(48)
2.2 Galı́ et al. [2011] の失業モデル
オリジナルは Galı́ et al. [2011], プログラムは（Gali SW.mod）
仮定
1. タイプ i の家計の定義：労働から受ける不効用 u (j(ω)) がそれぞれ異なる家計から構成され、関数
j(ω) = ω の “密度関数”p(ω) は [0, 1] で一様とする。
2. 具体的に消費から受ける効用は log C(i)、労働から受ける不効用は χ{j(ω)}ϕ と関数型を決める。労働
供給しない場合の不効用はゼロ。
3. タイプ i の家計の雇用量を h(i) ∈ [0, 1] とすると、不効用の絶対値が小さい順に雇用される。
4. タイプ i の家計の効用を積分すると、
∫
∫
1
[log C(i) − χ{j(ω)}ϕ ]p(ω)dω = log C(i) −
0
u (j(ω)) p(ω)dω
Eh
h(i)
∫
= log C(i) −
χj ϕ dj
(49)
0
h(i)1+ϕ
= log C(i) − χ
.
1+ϕ
1+ϕ
5. タイプ i の家計はこの U (C(i), h(i)) := log C(i) − χ h(i)
1+ϕ を最大化するように賃金交渉を行う
（sticky wage モデル）
。
6. 実質賃金 W
P が所与のとき、
W
UH
≥−
P
UC
(50)
UH
が労働供給の必要条件なので、 W
P = − UC を満たす H を L と定義し、失業率 u を
u = log L − log H
(51)
と定義する。
モデル
代表的家計の生涯効用関数
Ut =
∑
[
]
γ+1
β ln(Ct+i ) − µΘt hj,t+i
i
(52)
i=0
ZΘ,t
C̄t
1−v
v
= ZΘ,t−1
C̄t−1
Θt =
ZΘ,t
Θt は、失業率が下がるときに消費を増やすしかけ。
(53)
(54)
FOC は Sticky Wage とほぼ同じ
w̃tγφ+1 =
µ(γ + 1)φ ft
φ − 1 zt
(55)
ft = wtφ+γφ Θt Htγ+1 + βρw (1 + πt+1 )φ+γφ ft+1
(56)
zt = λ̃t wtφ Ht + βρw (1 + πt+1 )φ−1 zt+1
] 1
[
1−φ
1−φ 1−φ
(1 + πt )wt = (1 − ρw ){(1 + πt )w̃t }
+ ρw (wt−1 )
ZΘ,t
Θt =
Ct
1−v
v
ZΘ,t = ZΘ,t−1
Ct−1
(57)
(58)
(59)
(60)
（以下略、プログラム参照）
労働供給（潜在）、失業率
wt = ZΘ,t Lγt
(61)
ut = ln(Lt ) − ln(Ht )
(62)
増えた変数は、Θt , ZΘ,t , Lt , ut
疑問
• なぜ j(ω) の分布を一様分布とするのか―おそらく単なる計算上の都合
• なぜ積分した効用を目的関数とするのか―“リスク・シェアリング理論” の妥当性の問題
• L の定義はこれでよいのか―失業率の定義そのものに対する懸念（j(ω) が 1 に近い人は、全く働かなく
てすむ）
-3
C
H
x 10
0.06
0
0.04
-2
0.02
-4
0
-6
0
20
40
-3
60
80
100
0
20
40
pi
x 10
60
80
100
60
80
100
60
80
100
w
5
0.03
0
0.02
-5
0.01
-10
0
0
20
40
60
80
100
0
20
40
i
u
0
0.01
-0.005
0
-0.01
-0.01
-0.015
0
20
40
60
80
100
-0.02
0
20
40
図 1 5 ％の技術ショックに対するインパルス応答（Gali SW.mod）
3 動的計画法とその応用
3.1 動的計画法入門（スライドは省略）
講義ノートの 6 章を参照。
3.2 サーチ・マッチングモデルによる失業の内生化
Shimer [2010] のモデル
lt
vt
nt
θt
νt
producing workers
recruters
total workers
recruters/unemployed
recruters ratio
nt = lt + vt
θt = vt /(1 − nt )
νt = vt /(vt + lt ) = vt /nt
総労働力の遷移式
nt+1 = vt µ(θt ) + (1 − χ)nt
(63)
µ(·) は、recruter 1 単位が見つける新たな雇用者の量（θt の減少関数）、χ ∈ (0, 1) は離職率。
f (θ) := θt µ(θt ) と定義すると、
nt+1 = (1 − χ)nt + f (θt )(1 − nt )
とも書ける。
(64)
モデルのセットアップ
Shimer [2010] CH. 3.2 のモデル
家計の効用最大化問題（at は貯蓄、τ は労働所得税率、Tt は政府からの移転、qt は割引因子）
∑
β i (log ct+i − γnt+i )
(65)
i=0
1
,
qt
= (1 − χ)nt + f (θt )(1 − nt )
s.t. at+1 = [at + (1 − τ )wt nt + Tt − ct ]
nt+1
(66)
(67)
Value Function
V (at , nt ) = max [log ct − γnt + βV (at+1 , nt+1 )]
(68)
β
1
− Va (at+1 , nt+1 ) = 0
ct
qt
(69)
c
FOC
Envelope Theorem (1)
Va (at , nt ) =
β
Va (at+1 , nt+1 )
qt
(70)
よりオイラー方程式、
1
β
−
=0
ct
qt ct+1
(71)
Envelope Theorem (2)
Vn (at , nt ) = −γ + β(1 − χ − f (θt ))Vn (at+1 , nt+1 ) +
(1 − τ )wt
ct
(72)
生産関数
1−α
yt = zt ktα {nt (1 − νt )}
(73)
企業の目的関数（it は粗投資）
J(nt , kt ) = max
ν,i
∑
i=0
[(
∏
)
qt+l
]
α
zt+i kt+i
{nt+i (1 − νt+i )}1−α − it+i − kt+i+1 − wt+i nt+i
(74)
l=0
s.t. nt+1 = nt (νt µ(θ) + 1 − χ),
kt+1 = (1 − δ)kt + it
(75)
(76)
企業の Value Function
J(nt , kt ) = max
ν,i
[
zt ktα {nt (1
− νt )}
1−α
]
− it − wt nt + qt J(nt+1 , kt+1 )
(77)
FOC(w.r.t νt )
(α − 1)zt ktα n1−α
(1 − νt )−α + qt nt µ(θt )Jn (nt+1 , kt+1 ) = 0
t
(78)
Envelope Theorem(w.r.t nt )
1−α
Jn (nt , kt ) = (1 − α)zt ktα n−α
− wt + qt (νt µ(θt ) + 1 − χ)Jn (nt+1 , kt+1 )
t (1 − νt )
(79)
FOC+Envelope Theorem(w.r.t it , kt )
[
{
1 = qt αzt
kt
nt (1 − νt )
]
}α−1
+1−δ
(80)
離職率/雇用力 νt
νt =
χθt
χ
=
µ(θt )
f (θt )
(81)
技術水準
ln(zt+1 ) = ρ ln(zt ) + ζυt+1
(82)
T t = τ w t nt
(83)
税収
賃金の決定（ナッシュ積）
家計が労働供給を微少量増加させることによる生涯効用の限界的な増加量は、
V̂ (w, ε) := V (at , nt + ε)
(84)
という関数を定義し、偏微分をとり ε = 0 とおくことで、
Ṽn (w) := V̂εt (w, 0) =
と賃金水準 w の関数として表される。
(1 − τ )(w − wt )
+ Vn (at+1 , nt+1 )
ct
(85)
一方で、企業が労働投入を微少量増加させることによる企業価値の割引現在価値の限界的な増加量は、
ˆ ε) := J(nt + ε, kt )
J(w,
(86)
という関数を定義し、偏微分をとり ε = 0 とおくことで、
J˜n (w) := Jˆεt (w, 0) = w − wt + Jn (nt+1 , kt+1 )
(87)
と賃金水準 w の関数として表される。
賃金は、家計と企業の交渉に基づき、以下の方程式により決まるとする。
wt = arg max Ṽn (w)ϕ J˜n (w)1−ϕ
(88)
右辺 Ṽn (w)ϕ J˜n (w)1−ϕ はナッシュ積で、ϕ は家計と企業の交渉力を表すパラメータである。
最適化の必要十分条件、および均衡では w = wt であることより、
(
)
∂ log Ṽn (w)ϕ J˜n (w)(1−ϕ) ∂w
=0
(89)
w=wt
整理すると、
(1 − ϕ)Vn (at , nt )ct = ϕ(1 − τ )Jn (nt , kt )
(90)
72 式に代入して Vn (at , nt ) を消去して、さらに、78, 79 式を用いて Jn を消去すると、
{
(1 − τ )wt = ϕ(1 − τ )(1 − α)zt
kt
nt (1 − νt )
}α
(1 + θt ) + (1 − ϕ)γct
(91)
モデルの全体
内生変数は、ct , qt , yt , kt , zt , νt , wt , nt , θt , Tt の 10 個
モデル式は、66,67,71,73,74,80,81,82,83,91
√
f の関数形は、f (θ) = f¯ θ とする。
3.3 モデルへの一般物価の導入
プログラムは NK unemp.mod
費用最小化問題 (rt = 1/qt − 1 + δ)
min rt kt + wt nt (1 − νt ) + φt (yt − zt ktα {nt (1 − νt )1−α })
資本ストックの FOC
{
rt = 1/qt − 1 + δ = φt αzt
mc(:= φ̃t )
{
φt αzt
rt kt + wt nt (1 − νt )
φ̃t =
=
yt
kt
nt (1 − νt )
kt
nt (1−νt )
}α−1
yt
(92)
}α−1
kt + wt nt (1 − νt )
(93)
(94)
物価
1 + π̃t
η Ft
=
1 + πt
η − 1 Zt
Ft = φ̃t + ωβ(1 + πt+1 )η Ft+1
(95)
(96)
Zt = 1 + ωβ(1 + πt+1 )η−1 Zt+1
(97)
(1 + πt )1−η = (1 − ω)(1 + π̃t )1−η + ω
(98)
テイラールール
it = i∗ + ϕπ πt + ϕy ln
(
yt
zt y ∗
)
(99)
Fischer Equation
1
qt+1
他は基本モデルと同じ。
= 1 + it − πt+1
(100)
図 2 2.5 ％の技術ショックに対するインパルス応答（NK unemp.mod）
図3
同・2.5 ％の技術ショックに対するインパルス応答（NK unemp.mod）
4 金融部門の導入（Gertler and Karadi [2011]）
ほぼオリジナルだが、やや簡略化している。
家計
代表的家計の生涯効用関数を
Ut =
∑
β
i
[
ln (Ct+i ) −
µLφ+1
t+i
]
(101)
i=0
とする。t 期の予算制約は、
Ct + Bt+1 = Wt Lt + Rt Bt + dt
(102)
とすると、λt をラグランジュ乗数として、第 2 段階での最適化の一階条件
1
− λt = 0
Ct
Wt λt − µ (φ + 1) Lφ
t =0
βRt λt+1 − λt = 0
(103)
(104)
(105)
が得られる。後で用いるので、確率的割引因子
Λt,t+i =
を定義しておく。
λt+i
λt
(106)
金融仲介機関
Qt を資本財の相対価格、Sj,t を貸出債権の量、Nj,t を銀行の純資産、Bj,t を預金量とすると、
Qt Sj,t = Nj,t + Bj,t+1
(107)
つまり、総資産＝負債（預金）＋純資産
来期まで生存する銀行の純資産は、
Nj,t+1 = Rk,t+1 Qt Sj,t − Rt+1 Bj,t+1
= (Rk,t+1 − Rt+1 )Qt Sj,t + Rt+1 Nj,t
(108)
で推移する。
θ を銀行の生存確率とすると、銀行は精算価値の期待値
Vj,t
∞
∑
=
(1 − θ)θi β i+1 Λt,t+1+i Nj,t+1+i
=
i=0
∞
∑
(1 − θ)θ β
i i+1
Λt,t+1+i Nj,t+1+i [(Rk,t+1+i − Rt+1+i )Qt+i Sj,t+i + Rt+1+i Nj,t+i ]
(109)
i=0
= (1 − θ)βΛt,t+1 [(Rk,t+1 − Rt+1 )Qt Sj,t + Rt+1 Nj,t ] + θβΛt,t+1 Vj,t+1
∑∞
を最大化しようとする（ i=0 (1 − θ)θ i = 1 であることに注意）。
ここで、ある λ ∈ (0, 1) に対して 精算価値 < λ × 総資産 のときには、モラルハザードが起こる、すなわ
ち、銀行は λ × 総資産 を持ち逃げできると仮定する。つまり、家計が銀行に預金するためには 精算価
値 ≥ λ × 総資産 でなければならず、式で書くと
Vj,t ≥ λQt Sj,t
(110)
でなければならない。
左辺の Vj,t は、108, 109 式より
Vj,t = νt Qt Sj,t + ηt Nj,t
(111)
νt = (1 − θ)βΛt,t+1 (Rk,t+1 − Rt+1 ) + θβΛt,t+1 xt,t+1 νt+1
(112)
ηt = (1 − θ) + θβΛt,t+1 zt,t+1 ηt+1
Nj,t+1
zt,t+1 =
Nj,t
Qj,t+1 Sj,t+1
xt,t+1 =
Qj,t Sj,t
(113)
(114)
(115)
と漸化式で書き換えられる。
レバレッジ ϕt は
ϕt =
Qt Sj,t
Nj,t
(116)
(117)
で定義できるが、110 式の不等式がバインドするとき、
ϕt =
とも書ける。
ηt
λ − νt
(118)
銀行の生存確率 θ は 1 より小さいためそのままだとマクロの銀行の純資産はゼロになるので、家計から
Nn,t+1 = ωQt St という新たな出資が起こるものとする。したがって、マクロの銀行の純資産の遷移式は、
∫
Nt+1 = θ
Nj,t+1 dj + Nn,t+1
(119)
= θ[(Rk,t+1 − Rt+1 )ϕt + Rt+1 ]Nt + ωQt St
で与えられる。
xt,t+1 , zt,t+1 は
zt,t+1 =
Nj,t+1
= (Rk,t+1 − Rt+1 )ϕt + Rt+1
Nj,t
ϕt+1
xt,t+1 =
zt,t+1
ϕt
(120)
(121)
と書ける。
中間財生産企業
生産資産と銀行の総資産は
∫
Qt Kt+1 = Qt
Sj,t dj = Qt St
(122)
の関係にあるものとする。
中間財生産企業の生産関数は
Ym,t = At (ξt Kt )α L1−α
t
(123)
とする（ξt は資本価値に対する外生ショック）。
販売価格を Pm,t とすると、労働に関する利潤最大化条件は
Pm,t (1 − α)
Yt
= Wt
Lt
(124)
で、投資収益率 Rk,t+1 は、
Rk,t+1 Qt Kt+1 = Pm,t+1 αYt+1 + (Qt+1 − δ)ξt+1 Kt+1
(125)
を満たす（δ は減耗率）
。
資本財生産企業
資本財生産企業は、以下の目的関数
∞
∑
[
β τ −t Λt,τ (Qτ − 1)In,τ
τ =t
]
In,τ + Iss
−
(In,τ + Iss )
In,τ −1 + Iss
(126)
を最大化するように、純投資 In,t = It − δξt Kt を決定する。調整費用関数 f は
f (X) =
ηi
(X − 1)2
2
(127)
とする。一階の条件は、
Qt = 1 + f (Xt ) + xf ′ (Xt ) − βΛt,t+1 Xt+1 2 f ′ (Xt+1 )
In,t + Iss
Xt =
In,t−1 + Iss
(128)
(129)
最終財
最終財 Yt の生産関数を
[∫
1
Yt =
η−1
η
η
] η−1
Yj,t dj
(130)
0
とすると、一般物価 Pt と卸売財 Yj に対する t 期の需要 Yj,t は、それぞれ
[∫
1
] 1−η
1
p1−η
j,t dj
Pt =
0
(
Yj,t =
pj,t
Pt
(131)
)−η
Yt
(132)
と表される。
最終財生産の限界費用は Pm,t で、Calvo 型価格決定モデルの価格非改定確率を γ とすると、
Fπ,t
で物価の動学が決まる。
η Fπ,t
1 + π̃t
=
1 + πt
η − 1 Zπ,t
= Pm,t Yt + βγΛt,t+1 (1 + πt+1 )η Fπ,t+1
(133)
(134)
Zπ,t = Yt + βγΛt,t+1 (1 + πt+1 )η−1 Zπ,t+1
(135)
(1 + πt )1−η = (1 − γ)(1 + π̃t )1−η + γ
(136)
その他の式
市場精算条件、資本ストック
(
In,t + Iss
Yt = Ct + It + f
In,t−1 + Iss
In,t = It − δξt Kt
)
(In,t + Iss )
(137)
(138)
Kt+1 = ξt Kt + In,t
(139)
金融政策ルールは、テイラールール
[
it = ρi it−1 + (1 − ρi ) i∗ + ϕπ πt + ϕy ln
(
Yt
At Y ∗
)]
(140)
に従うものとする。
名目金利と実質金利は、フィッシャー方程式
it = Rt+1 + πt+1
(141)
ln (At+1 ) = ρA ln (At ) + εt+1
(142)
ln (ξt+1 ) = ρξ ln (ξt ) + ϵt+1
(143)
で結ばれる。
状態変数の遷移式は
とする。
モデルの全体
内生変数は、Ct , Lt , Wt , Rt , λt , Λt,t+1 , Qt , St , Nt , zt,t+1 , xt,t+1 , Rk,t , νt , ηt , ϕt , Yt , At , Kt , ξt ,
Pm,t , It , In,t , it , πt , π̃t , Fπ,t , Zπ,t の 28 個*1 、
モデル式は 103,104,105,106,112,113,116,118,119,120,121,122,123,124,
125,128,133,134,135,136,137,138,139,140,141,142,143、
プログラムは、gkmodel.mod
補足
金融部門を内生化した他の有名なモデルとして、Bernanke et al. [1999]（いわゆる BGG 論文、フィナン
シャル・アクセラレータモデル）がある。
*1
一次近似のレベルでは、Ym,t = Yt と考えてよい
図 4 -5 ％の技術ショックに対するインパルス応答（gkmodel.mod）
5 OLG モデル
5.1 OLG モデルの概要
OLG モデルは 1、
• 家計の生存期間が有限なだけで、代表的家計モデルと構造的に大きな違いはない。
• DSGE モデルでは対応が難しいような人口構造変化に関係する問題（社会保障など）の答えが出せる。
• パレート最適にはなっていないので、解釈には注意が必要。政府の介入の余地あり。
•（DSGE モデルほど）実証向きではない。
5.2 基本的な OLG モデル
プログラムは、olg1.mod
ct,a は t 期における a 歳（a ∈ [1, I]）のコホート消費という意味。他も同様。
効用関数
max Ubirth=t =
I
∑
β
i−1
ln(ct+i−1,i ) + µ
i=1
R
∑
γ+1
β i−1 lt+i−1,i
(144)
i=1
予算制約
kt,1 = 0
(145)
kt+1,a+1 = (1 + rt − δ)kt,a + wt lt,a − ct,a , a ∈ [1, R]
(146)
kt+1,a+1 = (1 + rt − δ)kt,a − ct,a , a ∈ [R + 1, I]
(147)
FOC
c−1
t,a − λt,a = 0, a ∈ [1, I]
(148)
γ
wt λt,a − (γ + 1) µlt,a
= 0, a ∈ [1, R]
(149)
β (1 + rt+1 − δ) λt+1,a+1 − λt,a = 0, a ∈ [1, I − 1]
(150)
ct,I = (1 + rt − δ)kt,I
(151)
マクロ集計
Ct =
I
∑
ct,a
(152)
lt,a
(153)
kt,a
(154)
a=1
Lt =
R
∑
a=1
Kt =
I
∑
a=1
生産関数
Yt = At Ktα L1−α
t
(155)
ln(At+1 ) = ρ ln(At ) + et+1
(156)
金利、賃金
rt = αAt Ktα−1 L1−α
t
(157)
wt = (1 − α)At Ktα L−α
t
(158)
㹒㹧㹫㹣
㹲㸫㸰㻌 㹲㸫㸯㻌
㹧㻌
㹧㸩㸯㻌
㻌㻌
㻌㻌
㻌㻌
㹧㸩㸰㻌
㻌㻌
㻌㻌
㹧㸩㸱㻌
㻌㻌
ࢺ
㹧㸩㸲㻌
࣭
࣭
࣭
࣍
䤀
㸻 ປാຊ㻌
㹲㸩㸯㻌 㹲㸩㸰㻌 ࣭࣭࣭㻌
ࢥ
㹲㻌
㻌㻌
㻌㻌
㻌㻌
㻌㻌
㻌
図 5 OLG モデルにおける労働力（I = 5, R = 3 の場合）
5.3 OLG モデルでの物価の内生化
㸻 㠀ປാຊ㻌
プログラムは、olg2.mod
NK モデルの以下の 5 つの式を付け加えるのと、rt と wt をラグランジュ乗数を使って書き直すだけでよい。
Calvo 型硬直価格モデル
1 + π̃t
θ Ft
=
1 + πt
θ − 1 Zt
Ft = φt + ωβ(1 + πt+1 )θ Ft+1
(159)
(160)
Zt = 1 + ωβ(1 + πt+1 )θ−1 Zt+1
(161)
(1 + πt )1−θ = (1 − ω)(1 + π̃t )1−θ + ω
(162)
テイラールール
it = i∗ + ϕπ πt + ϕy ln
(
Yt
At Y ∗
)
(163)
金利、賃金
詳細についてはプログラムを参照。
OLG モデルの拡張の可能性
1. 人口構造を明示的に入れる
2. 年金（賦課方式）制度の導入
rt = φt αAt Ktα−1 L1−α
t
(164)
wt = φt (1 − α)At Ktα L−α
t
(165)
A
Y
1.4
1.4
1.2
1.2
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0
10
20
30
40
50
0
10
20
C
30
40
50
30
40
50
K
0.7
0.8
0.6
0.6
0.5
0.4
0.4
0.3
0.2
0.2
0
0.1
0
0
図6
10
20
30
40
50
-0.2
0
10
20
1% の技術ショックに対するインパルス応答（定常均衡値からの乖離率（rt は乖離幅）、単位 %）、（olg2.mod）
L
pi
0.15
0
-0.2
0.1
-0.4
0.05
-0.6
0
-0.8
-0.05
0
-1
10
20
30
40
50
0
10
20
w
0
0.6
-0.2
0.4
-0.4
0.2
-0.6
0
図7
10
20
40
50
30
40
50
i
0.8
0
30
30
40
50
-0.8
0
10
20
同・1% の技術ショックに対するインパルス応答（定常均衡値からの乖離率、単位 %）、
（olg2.mod）
6 DSGE モデルに関するその他のトピック（箇条書き）
1.
2.
3.
4.
5.
トレンドの内生化（HP フィルタによるデトレンドが不要に）
政府の内生化と財政乗数
小国開放経済モデル
多国モデル（GIMF タイプ）
複数部門モデル（同）
参考文献
Bernanke, B., M. Gertler, and S. Gilchrist (1999) “The Financial Accelerator in a Quantitative Business
Cycle Framework,” Handbook of Macroeconomics, Vol. 1, pp. 1341–1393.
Erceg, C. J., D. W. Henderson, and A. T. Levin (2000) “Optimal Monetary Policy with Staggered Wage
and Price Contracts,” Journal of Monetary Economics, Vol. 46, No. 2, pp. 281–313.
Galı́, J., F. Smets, and R. Wouters (2011) “Unemployment in an Estimated New Keynesian Model,”
NBER Macroeconomics Annual, Vol. 26, pp. 329–360.
Gertler, M. and P. Karadi (2011) “A Model of Unconventional Monetary Policy,” Journal of Monetary
Economics, Vol. 58, No. 1, pp. 17–34.
Shimer, R. (2010) Labor Markets and Business Cycles: Princeton University Press.