加速器まとめ

はじめに
このテキストは、KEKB をテーマにして加速器について自分が勉強したことをまとめ
たものです。「まともな文献を読まないと信用できない」って人の為に、参考文献をなる
べく記すようにしています。
ただし、間違ってたり、抑えるべきところを見落としている可能性がおおいにあります。
「ここがわかりにくい」とか「これは無駄」とか「大事なこれについて述べてない」とか
「この情報が古い」とか「間違いがある」とかの場合は教えていただけると幸いです。
最終更新 2012 年 4 月 2 日
目次
第 1 章 はじめに
第2章
2.1
2.2
2.3
2.4
つくってぶつけるまでの過程
概要 . . . . . . . . . . . . . .
電子、陽電子の生成と加速 . .
蓄積リング . . . . . . . . . .
ビームの衝突と寿命 . . . . .
第3章
3.1
3.2
3.3
ビーム光学
座標系など、表記上のルール
ビーム光学 (イメージ) . . . .
ビーム光学 (数式) . . . . . . .
3.3.1 転送行列の具体例 . . .
3.3.2 転送行列の一般形 . . .
3.3.3 エミッタンス . . . . .
ビームビームパラメータ ξx,y
3.4
第4章
4.1
4.2
4.3
4.4
1
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蓄積リングとシンクロトロン放射
シンクロトロン放射について . .
エミッタンス減少への寄与 . . . .
エミッタンス増加への寄与 . . . .
エミッタンスを小さくするには .
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第 5 章 KEKB の L > 10 [nb−1 s−1 ] 達成と SuperKEKB へのアップグレード
5.1 確認 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 KEKB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 設計値に到達するまで . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 設計値に到達してから . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 SuperKEKB へのアップグレード . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 エミッタンスを小さくする方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 電流を増やす方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
∗
を小さくする方法 (ナノビーム・スキーム) . . . . . . . . .
5.3.3 βx,y
5.3.4 ダンピングリングの必要性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
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6
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16
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28
33
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38
38
40
40
40
40
40
44
46
48
5.3.5
色収差の補正 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
A–1
.A
. –1
.A
. –1
.A
. –1
.A
. –1
付 録A
A.1
A.2
A.3
A.4
真空
単位 . . . . . . . . . . . .
真空の測定 . . . . . . . .
低い真空度を達成する方法
真空度の場所依存性 . . .
付 録B
B.1
B.2
B.3
ビームの散乱
A–6
ガス散乱 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A
. –6
トゥーシェック (Touschek) 散乱 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A
. –6
ビーム衝突に起因する散乱 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A
. –6
付 録C
C.1
C.2
C.3
磁場
A–8
単位 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A
. –8
曲率の式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A
. –8
覚え書き . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A
. –8
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付 録 D その他
A – 10
D.1 他の B ファクトリー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A. – 10
D.2 Mathmatica のノート . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A. – 10
ii
第 1 章 はじめに
素粒子実験の実験結果の精度は目的のイベントの統計量で決まる。つまり、目的のイベ
ントを大量に測定する必要がある。加速器を使えば、地球上にはない不安定な物質を大量
に作ることができるので、その性質を調べるにはもってこいである。それでは、1998 年
末から 2010 年の 6 月まで運転していた（現在アップグレードのためお休み）茨城県つく
ば市の KEK にある KEKB という加速器を軸に加速器について勉強していく。
KEKB 加速器の目的は B 中間子ペアを作って、その性質を調べることである。単位時
間あたりに加速器で作られる B 中間子ペアの数 N は以下のように表すことができる。
N [個/s] = σ [nb] × L [nb−1 s−1 ]
(1.1)
ここで、σ は反応断面積 (cross section) といって物理法則によって決められている値で
ある。KEKB 加速器では電子と陽電子を重心系エネルギー 10.58[GeV] でぶつけ、Υ(4S)
というすごく短寿命な中間子（レゾナンス）を作る。こいつは 10 割がた B 中間子ペアに
崩壊する。この反応断面積は σe+ e− →BB (10.58[GeV]) ∼ 1.1 [nb] である。
また、L はルミノシティ(luminosity) といって、加速した粒子の衝突のしやすさを表す
値である。KEKB 加速器の最高記録は L ∼ 2.11 × 1034 [cm−2 s−1 ](= 21.1 [nb−1 s−1 ]) であ
る。(1 [barn] = 100 [fm2 ] = 10−24 [cm2 ]) これを実験期間で時間積分したものを積分ルミ
ノシティ(integrated luminosity) といい、KEKB とそのライバルであった PEP-II の積分
ルミノシティの歴史を図 1.1 に示す。(http://belle.kek.jp/bdocs/lumi belle.png よ
り。) Υ(4S) の生成量に対応する積分ルミノシティは 711 [nb−1 ] である。また、その他の
エネルギーでぶつけたものも含めると 1000 [nb−1 ] を超える。これは電子、陽電子の加速
器では世界最高の値である。
1
図 1.1: 積分ルミノシティの軌跡
2
例題
(問)
SuperKEKB 加速器でのルミノシティは L = 800[nb−1 s−1 ] が予定されている。検出器
は衝突点を取り囲むようにできており、ほぼ全て検出できると仮定する。いくつ B 中
間子対を見ることができるか？
また、LHCb 実験では陽子と陽子をぶつけるが、重心エネルギーが 14[TeV] のときの
反応断面積は σpp→BB ∼ 500[µb] で、そのうち 230[µb] が検出できる範囲にあるらし
く、ルミノシティは L ∼ 200[µb−1 s−1 ] に設定されているらしい [1]。こっちはいくつ
B 中間子対を検出することができるか？
(解答)
NSuperKEKB [対/s] = 1.1[nb] × 800[nb−1 s−1 ] = 880
NLHCb [対/s] = 230[µb] × 200[µb−1 s−1 ] = 46000
(補足)
この差が単純にデータ量の差になる訳ではない。陽子と陽子をぶつける方がたくさん
B 中間子ができるが、よけいなものも出てくるので検出が大変。一長一短である。
例題
(問)
KEKB 加速器での Υ(4S) 由来の B 中間子ペアはいままでいくつ生成されたか？
(解答)
1 [fb−1 ] = 106 [nb−1 ] より、
N [個] = 1.1 [nb] × 711 × 106 [nb−1 ] ∼ 780 × 106
(補足)
厳密な値を使うと、実際は 770 × 106 ペアくらいらしい。
さて、素粒子をどのようにして正面衝突させているのか？大量の電子、陽電子を集合さ
せた『バンチ (bunch)』というものを磁石を使って小さく絞りこれをぶつけている。ほとん
ど全ての電子、陽電子はすりぬけるが、たまに衝突して反応してくれる粒子がある。この
バンチはガウス分布をしていて、その広がりの目安になるのがビームサイズである。水平、
垂直方向のバンチの広がりをそれぞれ σx [m]、σy [m] で表し、ビームサイズと呼んでいる。
また、進行方向のバンチの広がりを σz [m] で表し、バンチ長と呼んでいる (バンチに広がり
が存在するということは、Υ(4S) が生成される位置にも広がりがあるということである)。
KEKB の最終的なバンチあたりの電子、陽電子数 Ne− ,e+ はそれぞれ Ne− = 6.3 × 1010 [個
/バンチ]、Ne+ = 4.7 × 1010 [個/バンチ] であり、バンチ長はだいたい σz = 6 [mm]、衝突
点でのビームサイズのオーダーは σx∗ ∼ 100 [µm]、σy∗ ∼ 1 [µm] であり、バンチの交差頻
度は 1600 × 105 [回/s] である (これだけやっても ∼ 20[ペア/s] しか B 中間子対が生成さ
れないことから、素粒子をぶつけることの大変さがわかる)。このとき、ルミノシティは
3
以下の式で表すことができる。
L [m−2 s−1 ] =
N+ N− fc [回/s]
RL
2π σy [m] σx [m]
(1.2)
ここで、N± は e+ 、 e− のバンチあたりの粒子数、fc は単位時間あたりのバンチの交差
∗
数、σx,y
は衝突点でのビームサイズ (x が水平方向、y が垂直方向)、RL は補正のための
係数である。ビーム粒子数が増えたり、交差頻度が増えたり、ビームを小さく絞ったりす
ればルミノシティが増えることがわかる。
例題
(問)
式 (1.2) を使って KEKB のルミノシティを見積もってみよう。
(解答)
Ne− = 6.3 × 1010 [個/バンチ]、Ne+ = 4.7 × 1010 [個/バンチ]、fc = 1600 × 105 [回/s]、
σx∗ = 100 × 10−4 [cm]、σy∗ = 1 × 10−4 [cm]、RL = 1 を仮定し、 式 (1.2) に代入すると、
L ∼ 7.5 × 1034 [cm−2 s−1 ]
オーダーがあうことが確認できる。実際にはビームサイズはもう少し大きいし、RL
も１より少し小さい。
また、KEKB とそのアップグレード版の SuperKEKB の加速器パラメータをまとめた物が
以下の表 1.1 である [2]、[3]、[4]、http://www.pasj.jp/web publish/pasj7/proceedings/
LH 4AM 1/WEPL02.pdf ( 『?』 は調べられなかった部分)。以下の章では、これらのパラ
メータの意味について述べていき、アップグレードに伴うそれぞれのパラメータの変化の
意味とそれがどのように重要なのかを理解していく。
1
資料が見つからなかったため、式 (4.10) から計算。
4
表 1.1: KEKB および SuperKEKB のパラメータ
LER(e+ )/HER(e− )
KEKB(design)
KEKB(achieved)
SuperKEKB(design)
L [nb−1 s−1 ]
E[GeV]
Ibeam [A]
Nbunches [個]
ξx [2π rad]
ξy [2π rad]
βx∗ [mm]
βy∗ [mm]
x [nm]
y [pm]
y /x
σx∗ [µm]
σy∗ [µm]
σz [mm]
2φ [mrad]
RL
Rξy
Rξx
σδ
νs [2π rad]
νx [2π rad]
νy [2π rad]
Pturn [MeV]
τE = τx,y /2 [ms]
αp
C [m]
10.0
3.5/8.0
2.6/1.1
5000
0.039
0.052
330
10
18
360
0.5%
77
1.9
4
22
0.845
0.885
0.737
(7.1/6.7) × 10−4
0.01∼0.02
45.52/47.52
46.08/43.08
∼0.8/∼3.6 1
44.9/22.5
(1 ∼ 2) × 104
3016.26
21.1
3.5/8.0
1.64/1.19
1584
0.127/0.102
0.129/0.090
1200/1200
5.9/5.9
18/24
150
0.83%/0.62%
147/170
0.94/0.94
∼7
22(φeff = 0)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
∼3016
800
4.000/7.007
3.6/2.6
2500
0.0028/0.0012
0.0881/0.0807
32/25
0.27/0.30
3.2/4.6
8.64/11.5
0.27%/0.25%
10.1/10.7
0.048/0.059
6.0/5.0
83
?
?
?
(8.08/6.37) × 10−4
-0.0247/-0.0280
44.53/45.53
44.57/43.57
1.87/2.43
21.6/29.0
(3.25/4.55) × 10−4
∼3016
5
第 2 章 つくってぶつけるまでの過程
2.1
概要
図 2.1: KEKB 加速器
KEKB の概観を図 2.1 に示す。地下 11m に加速器は埋まっている。これは、加速器が
放射化するので外界に対してシールドしてやる必要があるためと、温度とか地面とかが安
定な環境であるといった理由がある。検出器も地下にあった方が宇宙線の影響が小さくて
すむ。はじめに線形の部分で電子・陽電子ビームを生成し、バンチにして加速する。電子
は Ee− = 8[GeV] 、陽電子は Ee+ = 3.5[GeV] に加速される。つぎに、1 周 3km のリング
状の部分に入射して蓄積していく。このリングは『蓄積リング (Strage ring)』と呼ばれ、
運転の際はバンチを 1600 個くらい蓄える。8.0 [GeV] の電子用のリングを『HER (Higher
Energy Ring)』、3.5 [GeV] の陽電子用のリングを『LER (Lower Energy Ring)』と呼ぶ。
これらは 1ヶ所で交差し、ここで B 中間子対が生成される。
『Belle 検出器』という検出器
がある。
6
例題
(問)
電子、陽電子ビームはほぼ光速で蓄積リングを周回する。1 秒あたり何回検出器で交
差するか？
(解答)
Nbunches = 1600[個], C = 3000[m] より、交差頻度 fc は
3 × 108 [m/s]
fc = 1600 ×
= 1.6 × 108 [回/s]
3000[m]
例題
(問)
衝突の際の重心エネルギーを求めて、Υ(4S) の質量に一致することを確認しよう。
(ヒント)
√
E 2 − p2 = (const)
(2.1)
を用いる。
(解答)
実験室系での 4 元運動量は
(Ee− , 0, 0, pe− ) + (Ee+ , 0, 0, pe+ )
(2.2)
一方、重心系での 4 元運動量は
(Ec.m. , 0, 0, 0)
(2.3)
式 (2.1) より、
2
Ec.m.
= (Ee− , 0, 0, pe− )2 + (Ee+ , 0, 0, pe+ )2 + (Ee− , 0, 0, pe− ) · (Ee+ , 0, 0, pe+ )
= m2e− + m2e+ + 2 (Ee− Ee+ − pe− pe+ )
ここで、 me± Ee± より m2e± の項は無視し、さらに pe± = Ee± として (向きが逆な
ので pe− pe+ < 0 であることに注意。)
2
Ec.m.
= 4Ee− Ee+
√
Ec.m. = 2 Ee− Ee+
(2.4)
これに、 Ee− = 8.0[GeV] Ee+ = 3.5[GeV] を代入すると
Ec.m. = 10.58[GeV] = mΥ(4S)
(2.5)
7
例題
(問)
KEKB のライバルであった PEP-II では Ee− = 9[GeV] であったらしい。では、陽電
子のエネルギーはいくらか？
(解答)
式 (2.4) より、 Ec.m. = 10.58[GeV] Ee− = 9.0[GeV] を代入して、
Ee+ = 3.1[GeV]
(2.6)
2.2
電子、陽電子の生成と加速
KEKB では電子は電子銃で作られ、陽電子は電子を金属にぶつけたときに生じる電磁
シャワーで作る。ビーム粒子の加速は高周波で行われる。高周波による加速空洞の電場は
時間によって加速するときと減速するときが存在する。式で表すと、
Ez (t) = E0 cos(t)
(2.7)
と表すことができる。加速する時だけが正しいタイミングであり、この粒子が通ること
ができる領域を『バケット』といい、バケットに集まる粒子の群れを「バンチ」という。
KEKB での１つのバンチあたり粒子の数は 1010∼11 [個] である。加速部分で必要なエネル
ギーに加速されたビームは蓄積リングに放り込まれる。
図 2.2: 加速電場とバケット
ところで、『バケット』は加速電場のピークではなく、図 2.2 に示されるようにそのわ
きに存在する。これは、ぴったしのタイミングからわずかにずれたときにその後どのよう
8
に粒子が振る舞うかで決められる。エネルギーが高めの粒子は速いので、加速空洞に早く
やってくる。一方エネルギーが低めの粒子は遅いので、遅れてやってくる。このとき、早
くやってきた粒子 A を弱めに加速し、遅れてやってきた粒子 B を強めに加速すれば次の
加速空洞では B が早く到着し、A が遅れて到着する。その結果、ぴったしのタイミング
からわずかにずれている粒子のロスを少なくすることができる。
2.3
蓄積リング
蓄積リングに放り込まれたビームはアーク部分（曲がるところ）にてシンクロトロン放
射によってエネルギーを失う。したがって、1 周のたびに失われたエネルギーを補うため
に蓄積リングにも高周波加速空洞は存在する。この加速空洞でも早めにやってきた粒子は
弱めに加速し、遅れてやってきた粒子は強めに加速するのだろうか？蓄積リングでは入射
部分とは事情が違い、『逆』である。つまり、早めにやってきた粒子は強めに加速し、遅
れてやってきた粒子は弱めに加速する。これはどういうことかというと、蓄積リングを周
回するビーム粒子の速度はエネルギーに差があってもどれもほぼ光速であり、 速度に大
きな差はない。一方、 エネルギーが高めの粒子はリングのアーク部分の外側を飛び、 エ
ネルギーの低めの粒子は内側を飛ぶので、速く 1 周できるのはエネルギーが低めの粒子な
のだ。したがって、 早くやってきた粒子を強めに加速し、遅れてやってきた粒子を弱め
に加速すればビームを安定に周回させることができる。しかし、ちょうどいいタイミング
にすべての粒子が落ち着く訳ではなく、強めに加速されていた粒子はいずれ早めに到着す
るようになり、弱めに加速されていた粒子はいずれ遅めに到着するようになる。つまり、
タイミングのずれ ∆t とエネルギーのずれ ∆E の位相空間内で楕円軌道を描く。このよ
うにビーム粒子はバンチ内で (エネルギーも上下しながら) 前後の振動をする。これをシ
ンクロトロン振動という。( [5] の 7 章の”Synchrotron Oscillations”参照。) 一周あたりの
シンクロトロン振動の回数をシンクロトロンチューンといい、その値は KEKB 加速器で
0.01 ∼ 0.02 程度である。つまり、100 周 (10− 3[s]) で１往復するくらい。
蓄積リングにつめることができるバンチの数の上限（バケット数）は高周波の周波数
に依存する。例えば、KEKB の蓄積リングで用いられている加速空洞の周波数はおよそ
500[MHz] であり、リング周長が C ∼ 3[km] であり、ビームはほぼ光速 (c = 3 × 108 [m/s])
で周回する。よってバンチ１つの周回する周波数は c[m/s]/C[m] = 105 [Hz] である。つま
り、バンチ１つを蓄積リングに放り込むと、高周波の周波数 5 × 108 [Hz] のうち 105 [Hz] を
使うことになる。つまり、5×108 /105 = 5000 で蓄積リングには最大 5000[個] のバンチをつ
めることができる。実際にはフルでバンチをつめてバンチ間隔を短くすると、前のバンチが
直後のバンチに影響を及ぼしてビーム不安定性を引き起こす。従って KEKB ではだいたい
3,4 個間隔にバンチをつめており、一周あたりのバンチ数は Nbunches ∼ 1600[bunches/turn]
となっている。
9
2.4
ビームの衝突と寿命
さて、先ほど計算したように 1 秒あたり 108 回ほどバンチが交差する。しかし、B 中
間子対が生成されるのが 20 回ほどである。では、電子陽電子の衝突が 1 秒間に 20 回し
かないのかというとそうではない。例えば b クォーク対以外のクォーク対（d,u,c,s) が生
成されたり、電子やミュー粒子、タウ粒子対が生成されたり、弾性散乱や光子の放出をと
もなう散乱をしたりする。それぞれの反応断面積を表 2.1 にまとめる。(Belle note 390 よ
り。Belle 関係者以外は見られない。)
表 2.1: KEKB での主なイベントの反応断面積
Process
σ[nb]
bb̄
qq̄(q = u, d, s, c)
τ +τ −
QED (25.551 < θ < 159.94)
γγ → qq̄(w > 500MeV)
1.1
3.3
0.93
37.8
11.1
10
やってみた
Bhabha 散乱 (QED) の断面積を求めてみた。断面積は
[
]
2cos4 2θ
dσe+ e− →e+ e−
πα2 ~2 c2 1 + cos4 2θ
1
=
−
+ (1 + cos2 (θ))
dcos(θ)
s
2
sin4 2θ
sin4 2θ
(2.8)
と表される ( [6] の 3 章より)。ここで、α は微細構造定数 α = 1/137、~c =
√
197 [MeV · fm]、 s = 10.58 [GeV] を代入する。また、1[nb] = 10−9 [barn] = 10−7 [fm2 ]
である。検出器の測定範囲 (acceptance) を 17◦ ∼ 150◦ とする。この検出器が重心系
でどの角度まで出た粒子を検出するかを計算し、あとは Mathmatica にやってもらう。
ブーストされる量は
√
重心エネルギー Ecm = 2 8.0 · 3.5 = 10.58[GeV]
実験室系エネルギー Elab = 8.0 + 3.5 = 11.5[GeV]
実験室系運動量 plab = 8.0 − 3.5 = 4.5[GeV]
(
)
Elab
plab
(
=
)(
γ γβ
γβ γ
)
Ecm
pcm
(2.9)
より、γ = 11.5/10.58, γβ = 4.5/10.58 とわかる。重心系で出た粒子の角度を θ、ブー
0
ストされた後の角度を θ とすると、

 


Elab
γ 0 0 γβ
Ecm
 p
 


 x lab   0 1 0 0   px cm 
(2.10)

=


 py lab   0 0 1 0   py cm 
pz lab
γβ 0 0 γ
pz cm
にて





Ecm
px cm
py cm
pz cm


 
 
=
 
pcm
pcm sinθcm
0
pcm cosθcm





(2.11)
とおけば、
tanθlab =
=
px
pz
lab
(2.12)
lab
sinθ
γβ + γcosθ
(2.13)
と求めることができることがわかる。これから重心系での測定範囲は 25.5◦ ∼ 159.9◦
と求まり、反応断面積も σ = 36[nb] と計算できる。表の値と合うことがわかる。
11
例題
(問)
√
重心エネルギー s が Z ボソンの質量 (mZ = 90[GeV]) より十分低い場合、電子陽電
子衝突でフェルミオンが対生成される微分断面積は
dσe+ e− →f f̄
πα2 ~2 c2
=
(1 + cos2 (θ))Q2f
dcos(θ)
2s
(2.14)
と表される ( [7] の 3 章より)。ここで、α は微細構造定数 α = 1/137、~c =
√
197 [MeV · fm]、Qf はフェルミオンの電荷である。 s = 10.58 [GeV] のときの各
フェルミオンの断面積をもとめてみよう。
(解答)
∫
(
)
dcos(θ) 1 + cos (θ) =
2
∫
[
x3
dx(1 + x ) = x +
3
]1
2
=
−1
8
3
(2.15)
より、値を代入して
σ = 0.78 Q2f [nb]
(2.16)
σ = 0.78 [nb]
(2.17)
e, µ, τ の電荷は -1 なので、
u, c の電荷は +2/3 で、色が３種類あるので、
( )2
2
σ = 0.78 × +
× 3 = 1.04 [nb]
3
(2.18)
d, s の電荷は -1/3 で、色が３種類あるので、
( )2
1
σ = 0.78 × −
× 3 = 0.26 [nb]
3
(2.19)
0.26 + 1.04 + 0.26 + 1.04 = 2.6[nb]
(2.20)
d,u,s,c まとめると、
(備考)
表 2.1 に書いてる値より小さな値になるのは、この式では γ が飛ぶ項しか計算して
おらず、Z が飛ぶ項を無視しているからだと思われる。(Z も考慮したらどうなるかは
計算が面倒そうなのでやってない。)
√
s = mΥ(4S) なので、b クォーク対生成はこの式に従わず σ ∼ 1 [nb] である。エネル
ギーを上げて、bb 対生成が他の qq 対生成と同じに扱えるようなところではこの式に
従うが、ダウンタイプクォークの対生成の断面積が σ = 0.26 × (10.582 /s[GeV2 ]) [nb]
なので、がくっと落ちる。つまり、KEKB の重心エネルギーは B 中間子生成に最適化
されているといえる。あと、t クォークは重すぎて (mt = 170 [GeV]) 生成されない。
12
さて、蓄積リングを周回するビーム粒子は (何度も周回し) すべて最終的には衝突点で
反応するのかというとそうではない。なんと、ほとんどのビーム粒子は軌道をそれてビー
ムパイプにぶつかってしまうのだ。(ビームが軌道をそれる原因は付録 B を参照のこと。)
これをビームロスという。では、どのくらいの比率でビームロスする粒子がいるのか簡単
な計算をしてみよう。KEKB のビーム寿命は、LER が 2 時間 (7200[s]) 程、HER が 20 時
間 (72000[s]) 程である。ビーム粒子の数 Ne は
Ne [e± /turn] =
I [C/s] Cturn [m/turn]
e [C/e± ]
c [m/s]
(2.21)
で求めることができ、KEKB LER の陽電子数は 63 × 1584 × 109 個で、KEKB HER の
電子数は 49 × 1584 × 109 個である。ここで、I はビーム電流、Cturn はリング周長、e と
c は電気素量と光速である。したがって、ビームのロス率は
63 × 1584 × 109 /7200 ∼ 14 × 109 [Hz]
(2.22)
49 × 1584 × 109 /72000 ∼ 1 × 109 [Hz]
(2.23)
と求まる。これは、B 中間子ペアの生成頻度 20[Hz] と比べ、桁違いの量である。
また、アップグレード後の SuperKEKB の寿命はおよそ数百秒と見積もられており (10th
B2GM(2011/11/19/8:50) http://kds.kek.jp/conferenceTimeTable.py?confId=7881#
all.detailed)、ロス率は LER, HER ともに ∼ 100[GHz] のオーダーになる。
13
第 3 章 ビーム光学
babababababababababababababababababababab
参考文献
[6] の 2 章
[5] の 2, 4, 5 章
[8] (http://ilcagenda.linearcollider.org/conferenceOtherViews.py?
view=standard&confId=4480)
この章では、ビームサイズ σx,y や、それに関係する x,y , βx,y 、そしてビームビーム
チューンシフトパラメータ ξx,y といった値の意味と、磁石がビームに対してどのような役
割を持っているかについてをまとめている。
3.1
座標系など、表記上のルール
加速器物理にはたくさんの文字がでてくる。誤解を生じやすいややこしい表記もあるた
め、代表的な物をここで確認しておく。
まず、加速器で使われる座標系について説明する。一般的に円形加速器では、水平方向
の外向きに x 軸をとり、垂直方向の上向きに y 軸をとり、ビームの進行方向に s 軸 (z 軸)
をとる。(これ以降はこの定義を採用している。)
ただし、これでは時計回りと反時計回りで右手系、左手系が分かれてしまう。左手系に
なった座標を右手系にしたい場合は、どれかの座標の方向をひっくり返す。よって、座標
の取り方は人によって異なると思った方が良い。大変な間違いを起こさないためにも、数
字を読むときはまず座標系がどこ向きを正にとっているのか確認しておくほうがよい。
あと、数式を読む際に気をつけるのは何で微分しているかである。微分されている値は
0
たいてい s で微分されている。s で微分されたらプライムがついて (dx/ds ≡ x )、t で微
分されたらドットがつく (dx/dt ≡ ẋ)。
そして、厄介なのが ”twiss parameter” である。これ以降のセクションにもちょくちょ
く出てくるためあらかじめ述べておく。ビーム光学は x, y 方向の運動がそれぞれ s にの
み依存すると考えて計算することが多い。その際に便利な変数を αx,y (s), βx,y (s), γx,y (s)
14
で表記している。β ≡ v/c, γ ≡ 1/
ろう。
3.2
√
1 − β 2 ではない。なぜ他の文字を使わなかったのだ
ビーム光学 (イメージ)
完璧に設定通りにビームがあるエネルギー E で x = 0, y = 0 の軌道上を周回している
訳ではなく、理想軌道を中心にガウス分布している。
（円形加速器を周回する e± はシンク
ロトロン放射があるのでガウス分布が保たれるらしい（参考文献 [5] の Appendix A）。）
ビームの運動は図 3.1 のように、流しそうめんの雨どいの様なところを大量の玉が転がっ
ているのをイメージするとわかりやすい。
図 3.1: ビームの運動のイメージ
その際に生じる軌道を中心に進行方向と垂直方向の振動をベータトロン振動 (betatron
oscillation) という。
x = Ax (s)cosΦ(s)
(3.1)
大量の玉がベータトロン振動をしていることをイメージすると、ビーム粒子は軌道を中心
とした分布をもつことがなんとなく理解できる。また、1 周あたりのベータトロン振動の
回数をベータトロンチューン νx という。
∫
νx = dsΦx (s)
(3.2)
SuperKEKB では x, y 方向両方とも 40 ∼ 50[回/周] くらいである。ここで有用な値はベー
タ関数 βx,y (x 方向と y 方向の 2 種類がある) であり、そのイメージは雨どいの急さを表
す値である。ベータが大きいほど雨どいが緩やかで、ベータが小さいほど雨どいが急であ
15
る。つまり、ベータが小さいほどビームの分布の広がりは小さくなり、ベータトロン振動
は速くなる。ベータトロン振動が速いというのは位相の進みが速いということである。位
相を Φ(s) 、ベータ関数を β(s) とし、数式で表すと、
dΦ(s)
0
≡ Φ (s) = 1/β(s)
ds
(3.3)
という関係をみたす (というかこれが定義)。詳細は次のセクションで述べる。
ベータ関数は位置 s によって変化する。つまり、ビームサイズと単位長さあたりの振
動の速さは位置によって変わる。ビームが広がるのを締め付けておく役割をするのが 4 極
磁石である。
先程述べたように、ビーム粒子は理想軌道を中心にガウス分布しているので、明確な
端っこがある訳ではない。
『ビームサイズ』は人間が定義する必要があり、その定義にはい
くつかある (ややこしい)。(参考: [6] の 2.1 章、[5] の appendix A。) ビームサイズとベー
タ関数を結びつける値がエミッタンス、x,y である。電子・陽電子ビームで一般的なビー
ムサイズ,σx,y , の定義は、
√
σp
σx,y (s) = x,y βx,y (s) + ( ηx,y (s))2
(3.4)
p
σp
はバンチ内の運動量分布の広がり (momentum spread) を表し、η
p
はディスパージョン (dispersion) といい、エネルギーのずれによって軌道がずれるときの
ずれの大きさの係数である。
である。ここで、
3.3
ビーム光学 (数式)
だいたいのビームのイメージがつかめたところで、数式を使ってビーム光学を理解して
みよう。このセクションを読むことで、ベータ関数やエミッタンスの正しい定義を知るこ
とができ、次のセクションで説明する『ビームビームパラメータ』の理解にも役立つ。
3.3.1
転送行列の具体例
ビーム光学では水平方向 (x) と垂直方向 (y) の運動を独立に考えることが多い。その際
に 2 点間の位相空間での座標を変換する『転送行列 (transfer matrix)』 M を用いる。
(
)
(
)
x(s)
x(s0 )
=M
.
(3.5)
0
0
x (s)
x (s0 )
まず、具体的な部品に対しての転送行列を知り雰囲気をつかんだ後に、ビームの運動方程
式から転送行列の一般形を導くことにする。
16
加速器に使われる部品としては、
「ドリフト空間 (drift space)」、
「4 極磁石 (quadlupole)」、
「2 極磁石 (dipole)」などが挙げられる。これらの転送行列を以下に紹介する。
0
まずドリフト空間であるが、これは何もない空間のことである。位置の変位は x (≡
dx/ds) とドリフト空間の長さの積である。また、粒子の向きは変化しないので、
(
) (
)(
)
xf
1 L
xi
=
.
(3.6)
0
0
0 1
xf
xi
と表すことができる。
次に、2 極磁石 (dipole, bending magnet) について考えてみよう。基本的には、ドリフ
ト空間と変わらない。曲率半径と曲げ角の積 Rθ を L に代入するとよい。
(
) (
)(
)
xf
1 ρθ
xi
=
.
(3.7)
0
0
xf
0 1
xi
しかし、磁場の範囲の境界面に斜めにビームが入ってくる場合は事情が違ってくる。例え
ば、図 3.2 で表されるように陽電子ビームが長方形の磁場の範囲を角度 θ/2 で出入りする
ような状況を考えてみる。このような磁場は図 3.3 で示されるような磁場の足し算と考え
るとわかりやすい。すると、水平方向に広がる力が働くことがわかる。一方、y 方向には
図 3.3: 足し算の図
図 3.2: 2 極磁石の Poleface angle
“fringe field” の影響が働く。“fringe field” とは図 3.4 に示されるような磁場の境界の端っ
この方の漏れ磁場のことである。図からわかるようにこの磁場によって、y 方向に収束す
る力が働く。
4 極磁石 (quadlupole) は図 3.5 で示されるような磁場をしている。中心からのずれに比
例する力が働く。
『比例』というのが重要。4 極磁石は片方の方向（x または y ）に凸レン
ズの働きをし、もう片方の方向（y または x）に凹レンズの働きをする。レンズの厚みが
無限に薄いと仮定すると（曲がるのが１点で行われるとする）、転送行列は以下のように
17
図 3.4: 2 極磁石による垂直方向の力
図 3.5: 4 極磁石
図 3.6: KEKB の 4 極
18
書くことができる。

Mf
Md

1 0

=  1
−
1
f


1 0

=  1
1
f
(3.8)
(3.9)
ここで、Mf と Md はそれぞれ凸レンズ (focusing) と凹レンズ (defocusing) の転送行列で
あり、f は焦点距離 (focal length) である。レンズから距離 a(> f ) だけ上流の位置から
ビームが広がり、距離 b(> f ) の下流で収束したとすると、図 3.7 に示されるように a と
b の関係は f を用いて、式 3.11 のように表すことができる。
図 3.7: a と b の関係
(


(
)
)(
)
ab
1 b  1 0  1 a
0
 a+b− f  0
1
=
x
0
a
−
1
0 1
0 1
x
1
−
f
f


ab

=0
 a+b−
y
f
1
1 1
=
+
f
a b
(3.10)
(3.11)
凸レンズを使ってやれば、ビームを収束させたまま飛ばすことができる。しかし、一方を
収束させているときにはもう一方は発散されるため簡単にはいかない。そこで用いられて
いるのが ”FODO lattice” である。これは凸レンズと凹レンズを交互に配置すると全体と
して収束磁石の働きをするということを利用している。図 3.8 と 3.9 はそれぞれ凸凹、凹
凸のレンズを配置したときを表す。それぞれの転送行列 MFODO , MDOFO は以下のよう
に書くことができる。
19
図 3.8: FODO lattice
(
MFODO =


= 
(
MDOFO =


= 
図 3.9: DOFO lattice
(
)
)
1
0
1 0
1 L1 
 1 L2  1
1
1
−
1
0 1
0 1
f
f

L2 L1 L2
L2 L2
1−
+ 2
(2L1 − L2 ) − 1 2

f
f
f
L2
L2 L1 L2 
− 2
1+
− 2
f
f
f
(
)
)
1
0
1 0
1 L1 
 1 L2  1
1
−
1
1
0 1
0 1
f
f

L2 L1 L2
L21 L2
1+
− 2
(2L1 − L2 ) − 2

f
f
f
L2
L2 L1 L2  .
− 2
1−
− 2
f
f
f
20
(

)
1 L1
0 1
(3.12)
(

)
1 L1
0 1
(3.13)
例題
(問)
式 (3.13), (3.13) に L1 = L2 = f を代入してみよう。
(解答)


MFODO = 


= 


MDOFO = 


= 
f
f2
f3
1 − + 2 (2f − f ) − 2
f
f
f
f
f
f2
− 2
1+ − 2
f
f
f

1 0

1
−
1
f
f
f3
f2
1 + − 2 (2f − f ) − 2
f
f
f
f
f
f2
− 2
1− − 2
f
f
f

1
0

1
−
−1
f




(3.14)
(3.15)




(3.16)
(3.17)
両方とも収束磁石として働くことが確認できた。
しかし、[4] によると、最近の低エミッタンスが重要なマシンでは FODO 配列は用いら
れていないらしい。KEKB, SuperKEKB では『2.5π セルラティス』という磁石配列が用
いられている。
「6 極磁石 (sextupole)」はここでは挙げなかったが、ビームエネルギーの違いによる焦
点距離のずれを補正してくれる大変重要な磁石である。仕組みはよくわからない。
3.3.2
転送行列の一般形
次に、ビームの運動方程式から転送行列の一般形を導く。ビームの運動方程式は以下の
ように書くことができる。
d2 x
+ kx (s)x = 0
(3.18)
ds2
これは y 方向にも同様に成りたち、 kx (s) と ky (s) はそれぞれ
e ∂By
1
+
2
ρ
p0 ∂x
e ∂Bx
e ∂By
ky (s) = −
=−
p0 ∂y
p0 ∂x
kx (s) =
21
と表すことができる。式 (3.18) は ”Hill’s equation” と呼ばれている。もし k(s) が定数
だった場合、これらの式は振り子の式と同じである。つまり、この式が言いたいことは
ビーム粒子を軌道の中心にとどめておこうとする力が働いていることを表している。Hill’s
equation の解は以下のように書くことができる。
x(s) = Aω(s)cosΨ(s) + Bω(s)sinΨ(s)
(3.19)
この進行方向に垂直な振動が、先ほど説明したベータトロン振動である。式 (3.19) で、
第 1 項と第 2 項はそれぞれが Hill’s equation (3.18) を満たしているので、第一項 x(s) =
Aω(s)cosΨ(s) のみを式 (3.18) に代入することができ、
{ 00
}
{ 0
}
02
0
00
AcosΨ(s) ω (s) − ω(s)Ψ (s) + k(s)ω(s) − BsinΨ(s) 2ω (s)Ψ (s) + ω(s)Ψ (s) = 0
(3.20)
以下のような関係式が得られる。
{ 00
0
ω (s) − ω(s)Ψ 2 (s) + k(s)ω(s) = 0
0
0
00
2ω (s)Ψ (s) + ω(s)Ψ (s) = 0
(3.21)
2 番目の式から、ω(s) と Ψ(s) の関係式が得られる。
0
0
0
d
(ω 2 (s)Ψ (s))
ds
00
2ω (s)Ψ (s) + ω(s)Ψ (s) =
=0
ω(s)


0
 2
 ω (s)Ψ = const
y
0
Ψ (s) =
1
ω 2 (s)
(3.22)
ここで、積分係数は規格化されている。式 (3.19) を s で微分して、
( 0
)
( 0
)
0
0
0
x (s) = A ω (s)cosΨ(s) − ω(s)Ψ (s)sinΨ(s) + B ω (s)sinΨ(s) + ω(s)Ψ (s)cosΨ(s)
(
)
(
)
sinΨ(s)
cosΨ(s)
0
0
= A ω (s)cosΨ(s) −
+ B ω (s)sinΨ(s) +
(3.23)
ω(s)
ω(s)
0
さて、x(s) と x (s) の式が得られたので、変換行列 M を求めることができる。x(s0 ) = x0 ,
0
0
x (s0 ) = x0 , Ψ(s0 ) = Ψ0 , ω(s0 ) = ω0 を式 (3.19) と式 (3.23) に代入すると、
x0 = Aω0 cosΨ0 + Bω0 sinΨ0
)
(
)
(
cosΨ0
sinΨ0
0
0
0
+ B ω0 sinΨ0 +
x0 = A ω0 cosΨ0 −
ω0
ω0
が得られ、A と B についてこれを解くと
(
)
cosΨ0
0
0
A =
ω0 sinΨ0 +
x0 − (ω0 sinΨ0 ) x0
ω0
(
)
sinΨ0
0
0
B = − ω0 cosΨ0 −
x0 + (ω0 cosΨ0 ) x0
ω0
22
(3.24)
(3.25)
(3.26)
(3.27)
が得られる。これら A(3.26) と B(3.27) を式 (3.19) と式 (3.23) に代入し、
{
}
ω(s)
0
x(s) =
cos[Ψ(s) − Ψ0 ] − ω(s)ω0 sin[Ψ(s) − Ψ0 ] x0
ω0
0
+ ω(s)ω0 sin[Ψ(s) − Ψ0 ]x0
(3.28)
{
( 0
)
}
0
0
0
1 + ω(s)ω0 ω (s)ω0
ω0
ω (s)
0
x (s) =
−
sin[Ψ(s) − Ψ0 ] −
−
cos[Ψ(s) − Ψ0 ] x0
ω(s)ω0
ω(s)
ω0
{
}
ω0
0
0
+ ω0 ω (s)sin[Ψ(s) − Ψ0 ] +
cos[Ψ(s) − Ψ0 ] x0
(3.29)
ω(s)
ここで、βx (s), αx (s), ∆Ψ(s) を
βx (s) = ω 2 (s)
0
betax
0
αx (s) = −
= −ω(s)ω (s)
2
∆Ψ(s) = Ψ(s) − Ψ0 ,
(3.30)
(3.31)
(3.32)
と定義すると、式 (3.28) と式 (3.29) は以下のように書ける。
{√
}
{√
} 0
β(s)
x(s) =
[cos∆Ψ(s) + α0 sin∆Ψ(s)] x0 +
β0 β(s)sin∆Ψ(s) x0
β0
{
0
x (s) =
[α(s) − α0 ]cos∆Ψ(s) + [1 + α0 α(s)]sin∆Ψ(s)
√
β0 β(s)
{√
}
β0
0
+
[cos∆Ψ(s) − α(s)sin∆Ψ(s)] x0
β(s)
−
(3.33)
}
x0
(3.34)
以上から、M は
 √

√
β(s)
[cos∆Ψ(s) + α0 sin∆Ψ(s)]
β0 β(s)sin∆Ψ(s)
β0
 (3.35)
M =  [α(s)−α0 ]cos∆Ψ(s)+[1+α0 α(s)]sin∆Ψ(s) √ β0
√
−
[cos∆Ψ(s)
−
α(s)sin∆Ψ(s)]
β(s)
β0 β(s)
と得ることができた。この変換行列の一般形は次のセクションで用いる。
3.3.3
エミッタンス
つぎに、エミッタンスを求めてみよう。任意の定数 c1 と c2 を用いて
√
x
√0 =
c1 cosc2
β0
(
)
√
√
x0
0
− √ α 0 + β0 x 0
=
c1 sinc2
β0
23
(3.36)
(3.37)
と表すと、式 (3.33) と式 (3.34) は以下のように変形できる。
√
x(s) =
c1 β(s)cos[∆Ψ(s) + c2 ]
√
c1
0
{α(s)cos[∆Φ(s) + c2 ] + sin[∆Φ(s) + c2 ]} .
x (s) = −
β(s)
ここで、第 3 の twiss parameter である γx (s) を γx (s) =
0
(3.38)
(3.39)
1 + αx2 (s)
と定義すると、x(s)
βx (s)
と x (s) は
0
0
γ(s)x2 (s) + β(s)x 2 (s) + 2α(s)x(s)x (s)
{
}
= c1 cos2 [∆Ψ(s) + c2 ] + c1 α2 (s)cos2 [∆Ψ(s) + c2 ]
{
}
+ c1 α2 (s)cos2 [∆Ψ(s) + c2 ] + 2αsin[∆Ψ(s) + c2 ]cos[∆Ψ(s) + c2 ] + sin2 [∆Ψ(s) + c2 ]
{
}
+ −2α2 c1 cos2 [∆Ψ(s) + c2 ] − 2αc1 sin[∆Ψ(s) + c2 ]cos[∆Ψ(s) + c2 ]
= c1
(3.40)
という関係を満たす。この関係式を “Courant-Snyder invariant” という。c1 と s を決め
0
ると (x(s), x (s)) は楕円を描く。そして、その楕円の中に X[%] に相当するビーム粒子が
含まれるような c1 をエミッタンス x と定義する。どのくらいかは定義によって異なる
√
が、σx = x βx を満たすように x を取るのが一般的である。ここで σx は 2 次元ガウス
分布の 1σ を表す。このとき、楕円内には 39%のビーム粒子が含まれる。(この値は自信
がない。) あるビーム粒子がもつ c1 が小さければ小さいほどそのビームの質がよいとい
うことがわかる。逆に大きすぎると、ビームパイプの表面にあたったり、不安定になり軌
道をそれて変なところに飛んでいくかもしれない。物に当たるような制限を物理アパー
チャー、安定かどうかの制限をダイナミックアパーチャ(dynamic aperture) といい、ビー
0
0
ムが安定して飛ぶことのできる 6 次元の位相空間 (∆E/E, t, x, x , y, y ) の範囲を表す。
3.4
ビームビームパラメータ ξx,y
ビームビームパラメータ ξx,y は衝突点でバンチが交差する際に、相手のバンチからど
のくらい影響を受けるかを表す値である。正の電荷を持つ e+ ビームと負の電荷をもつ e−
ビームが交差するため、互いに引き合う力を及ぼし合う。『チューンシフトパラメータ』
とも呼ばれ、x, y 方向のベータトロン振動何回分に寄与したかという単位で表現される
値である。式で表すと以下のようになる。
ξy,−
∗
re N+ βy,−
≡
Rξ
∗
∗
∗
2πγ− σy,+
(σx,+
+ σy,+
) y
(3.41)
ここで、 Rξy は有限交差角で交差することや、『hourglass effect』による値のずれを補正
する係数である [3]。どの値が電子側のもので、どの値が陽電子側の物か大変ややこしく
感じる。だが、イメージできれば大して難しくない。これを見積もってみよう。
24
図 3.10: 衝突点での y 方向の電場
電子が陽電子バンチから受ける力を考える。簡単のため、バンチが板状に均一に分布し
ていると仮定する。電場の y 成分 Ey の y 依存性は図 3.10 のように大まかに３つの部
∗
分に分けられる。まず 1 つ目はバンチの中の部分 (y <
∼ σy )。中心からの距離に比例し、電
∗
場は強くなっていく。2 つ目はバンチが板っぽいとわかる部分 (σy∗ <
∼y<
∼ σx )。距離によ
らず電気力線の本数が変わらないため、電場の強さは変わらない。最後に 3 つ目はずっと
外側で、バンチが点に見える部分 (σx∗ <
∼ y)。バンチが光速に近いため、電気力線は進行方
向に圧縮されている。このとき、電気力線の広がりは 2 次元に広がるので、電場の強さは
距離に反比例する。バンチから出る電気力線の本数はバンチ内の粒子数 N+ に比例する。
また、電気力線の密度はバンチ長 σz に反比例し、さらに、(進行方向に垂直な面での) バ
ンチの周長にも反比例するため、 σx∗ + σy∗ にも反比例する。[4] の図 2 を拝借し、図 3.11
に載せた。上記の近似があながち的外れではないことがわかる。
∗
0<y<
∼ σy の範囲について考えてみよう。相手のビーム粒子が感じる電場からの力 F (y)
は
y
e2 N+
F (y) ∝
(3.42)
∗
∗
∗
σz,+ (σx,+ + σy,+ ) σy,+
25
図 3.11: 水平方向のビームビーム力 (赤い点線は 4 極磁石の力を比較の為に載せたもの)
0
と表せ、運動方程式から ∆y ≡ (dy/ds)after − (dy/ds)before を求めることができる。
γ − me
d2 y
e2 N+
∝
−
y
∗
∗
∗
dt2
σy,+
(σx,+
+ σy,+
)σz,+
 ∫


dt

y
∆
dy
e2 N+
∝ −
yt
∗
∗
∗
dt
γ− me σy,+
(σx,+
+ σy,+
)σz,+

 dy
0

= cy , t ∝ σz,+

y dt
∆y
0
∝ −
re N+
∗
∗
γ− σy,+ (σx,+
+
∗
σy,+
)
y
(3.43)
ここで、γ− は電子のガンマファクター (E− = γ− me c2 )、me と e はそれぞれ電子の質量
e2
である。
と電荷、re は古典電子半径 re ≡
4π0 mc2
さて、先ほどのセクションで求めた変換行列 M を使って ∆Φy = ξy を求めてみよう。
陽電子バンチが電子に及ぼす力は中心近くでは図 3.11 からもわかるように 4 極の収束磁
石の振る舞いに良く似ている。陽電子バンチの焦点距離 f は図 3.12 からわかるように
y
0
∼ θ = ∆y
f
re N+
1
∝ −
−
∗
∗
∗
f
γ− σy,+ (σx,+
+ σy,+
)
−
26
(3.44)
(3.45)
図 3.12: 薄いレンズとその焦点距離
と表せ、したがって変換行列 M は


1
0

re N −
M=
1
−C
∗
∗
∗
+ σy,−
)
(σx,−
γ+ σy,−
(3.46)
と書ける。ここで C は比例係数である。
ここで、先ほど求めた一般的な変換行列の式 (3.35) に対し、以下のような値を代入しよう。
si と sf をそれぞれ衝突点で陽電子バンチと交差する直前と直後の電子の座標とする。衝突
∗
点付近ではベータ関数とアルファ関数はそれぞれ β(si ) ∼ β(sf ) ∼ βy,+
, α(si ) ∼ α(sf ) ∼ 0
∗
であり、Φ(sf ) − Φ(si ) ≡ ξy,− とし、 βy,− と ξy,− がすごく小さいことによる近似を行って、

 

∗
cosξy,− βy,−
1
0
sinξy,−
 ∼  ξy,−
.
M =  sinξy,−
− ∗
cosξy,−
1
− ∗
βy,−
βy,−
(3.47)
これと、式 (3.46) を比較して、
ξy,+ ∝
∗
re N− βy,+
∗
∗
∗
γ− σy,−
(σx,−
+ σy,−
)
(3.48)
まじめな計算は自分にはさっぱりですが、OHO セミナー 2004 の大西さんのテキスト [9]
に書かれています。
27
第 4 章 蓄積リングとシンクロトロン放射
babababababababababababababababababababab
参考文献
[6] の 3.1 章の”Synchrotron radiation”。
[8] http://ilcagenda.linearcollider.org/conferenceOtherViews.py?
view=standard&confId=4480)
[4] 『SuperKEKB のマシンパラメータ』 http://accwww2.kek.jp/oho/
この章は、電子・陽電子加速器を考えるにあたって必須のシンクロトロン放射について
まとめている。特にシンクロトロン放射によって蓄積リング内のエミッタンスが決定され
ることを理解する。(なんと、入射時のエミッタンスをいくら良くしても蓄積リングでの
エミッタンスは変わらないのだ！)
4.1
シンクロトロン放射について
先ほども軽く触れたように、シンクロトロン放射とは荷電粒子が曲がったときにもとの
進行方向に放出される光である。そして、単位長さあたりの放射エネルギー量は
dP
2e2 c γ 4
=
ds
3 R2
(4.1)
で表される。この dP
を見積もってみる。
ds
荷電粒子は電磁場を作りながら移動している。止まっているときは放射状であるが、光
速に近づくにつれ進行方向につぶれていき円盤のようになる。このとき、電場の強さ E
と距離 r の関係は E = e/r2 ではなく E = e/r となる。さて、荷電粒子の移動に電磁場
もついてくるわけだが、荷電粒子が曲がるとある r 以上の電磁場はついてこられずに吹っ
飛ばされる。この距離 r は曲率半径 R と光速 c を用いて
ω[rad/s](R + r)[m] = c[m/s]
と表される。
28
(4.2)
図 4.1: 電場の形状
図 4.2: あくまでイメージ図です。
29
例題
(問)
条件 (4.2) から、β ∼ 1 な荷電粒子について r を求めよう。
(ヒント)
x が小さいとき、(1 + x)α ∼ 1 + αx
1
1
β ∼ 1 のとき、γ ∼ √
1 − β2
(解答)
ωR = cβ を式 (4.2) に代入して r について解くと、
√
1 − 1 − 1/γ 2
1
r = R ( − 1) = R √
β
1 − 1/γ 2
∼ R
∼
1 − (1 −
1−
1
)
2γ 2
1
2γ 2
= R
1
−1
2γ 2
R
2γ 2
(4.3)
dP
単位長さあたりにふっ飛ばされる電磁場のエネルギー
は、
ds
∫
dP
e2
e2 γ 4
∝ dV E 2 ∝ 2 ∝ 2
ds
r
R
(4.4)
ここで、式 (4.3) を使用した。(だが２番目から３番目の変形は怪しい。) 弧の長さは R に
dP
比例するので、角度あたりに吹っ飛ばされるエネルギー
は、
dθ
dP
dP
e2 γ 4
=
∝
dθ
ds/R
R
(4.5)
式 (4.1) が確認できた。実際は放出される光子は向きとエネルギーに分布をもっている。
向きに関しては、荷電粒子の進行方向と接線方向の向きからの広がりは 1/γ に比例する。
このような高エネルギー加速器ではほとんど接線方向に出ると考えてよい。エネルギーの
方はピークをとる目安のエネルギーがある。これをクリティカルエネルギー c と呼び、
3 γ3
c = ~c
2 R
で決められる [6]。
30
(4.6)
例題
(問)
KEKB の LER, HER の Bend 磁石の曲率半径はそれぞれ、15.87[m], 106.1[m] であ
る。また、SuperKEKB の LER, HER の Bend 磁石の曲率半径はそれぞれ、74.68[m],
106.1[m] である。放射光のクリティカルエネルギーを求めてみよう。
(解答)
(4.6) 式を使う。
c
KEKB LER
c
KEKB HER
c
SuperKEKB LER
c
SuperKEKB HER
3
2
3
=
2
3
=
2
3
=
2
=
3.53
0.00053
8.03
× 197 × 10−12 [keV · m]
0.00053
4.03
× 197 × 10−12 [keV · m]
0.00053
7.03
× 197 × 10−12 [keV · m]
0.00053
× 197 × 10−12 [keV · m]
1
= 6.4[keV]
15.87[m]
1
= 11.4[keV]
106.1[m]
1
= 2.0[keV]
74.7[m]
1
= 7.6[keV]
106.1[m]
(補足)
ここの曲率半径の数値の正確さには自信がない。だいたいはあってる。
例題
(問)
磁石の注文か設計の都合かはわからないが、KEKB の磁石の曲率半径 R(s) は一定で
ある。1 周あたりの放射光で失うエネルギー Pturn を求めよう。
(解答)
式 (4.4) より、これを積分して
( )
∫
dP
Pturn =
ds
ds
2
2e c γ 4
= 2πR
3 R2
2
4πe c γ 4
(4.7)
=
3
R
31
例題
(問)
KEKB の LER, HER の Bend 磁石の曲率半径はそれぞれ、15.87[m], 106.1[m] であ
る。また、SuperKEKB の LER, HER の Bend 磁石の曲率半径はそれぞれ、74.68[m],
106.1[m] である。Arc 部分での放射光のエネルギー量を求めてみよう。
(ヒント)
(4.7) 式を使うにあたって、e2 = 1.44[MeV · fm] である。この値は微細構造定数 (fine
structure constant) α = e2 /4π0 ~c = 1/137 の 4π0 を無視し、~c = 197[MeV · fm] を
両辺にかけると求められる (4π0 を無視する理由は単位系の都合のようだ)。また、単
位を合わせる為に (4.7) 式の左辺を光速 c で割る必要がある。
(解答)
Pturn
KEKB LER
Pturn
KEKB HER
Pturn
SuperKEKB LER
Pturn
SuperKEKB HER
4π1.44 × 10−15 3.54
1
= 0.91[MeV]
4
3
0.0005 15.87
4π1.44 × 10−15 8.04
1
= 3.72[MeV]
=
4
3
0.0005 106.1
4π1.44 × 10−15 4.04
1
=
= 0.33[MeV]
4
3
0.0005 74.7
1
4π1.44 × 10−15 7.04
= 2.18[MeV]
=
4
3
0.0005 106.1
=
表 1.1 の Pturn が確認できた。Super KEKB の LER は “Wiggler” がついている分、
値が大きい。
例題
(問)
磁石の磁場の強さ B[T] を求めよう。また、KEKB, SuperKEKB では磁石一台で
0.056[rad] ずつ曲げてビームを一周させる。磁石の長さを求めてみよう。
(解答)
磁場と荷電粒子の運動量の公式 p [GeV/c] = 0.3 B[T] R[m] より、
BKEKB
LER
= 3.5/(0.3 × 15.87) = 0.74[T]
BKEKB
HER
= 8.0/(0.3 × 106.1) = 0.25[T]
BSuperKEKB
LER
= 4.0/(0.3 × 74.7) = 0.18[T]
BSuperKEKB
HER
= 7.0/(0.3 × 106.1) = 0.22[T]
磁石の長さは L[m] = R[m]θ[rad] で求めることができ、LKEKB LER = 0.89[m],
LKEKB HER = 5.9[m], LSuperKEKB LER = 4.2[m], LSuperKEKB HER = 5.9[m], である。
32
4.2
エミッタンス減少への寄与
シンクロトロン放射によってエネルギーを失ったビーム粒子はその分運動量が小さくな
る。KEKB で 1 周あたりビーム粒子が落とすエネルギーは表 1.1 の Pturn に載っている。
蓄積リングを周回できるように加速空洞がエネルギーを補うため、図 4.3 のように進行方
向に垂直な運動量成分のみが小さくなっていく。これはエミッタンスの減少、つまりビー
ムの質の向上を意味する。また、進行方向に平行な振動であるシンクロトロン振動の振
幅も小さくなるらしい。この効果のみを目的としたリングをダンピングリング (damping
図 4.3: エミッタンス向上の図
ring) という。べータトロン振動、シンクロトロン振動の振幅は
A(t) = A(0)e−t/τ
(4.8)
の形で小さくなっていく。このときの τ を減衰時間 (damping time) といい、ベータトロ
ン振動、シンクロトロン振動の減衰時間 τβ , τE はそれぞれ、
Ebeam
Tturn
Pturn
Ebeam
Tturn
τE =
Pturn
τβ = 2
(4.9)
(4.10)
と表される [4]。ここで、Ebeam はビームエネルギー、Pturn は 1 周あたりに失うエネル
ギー、Tturn は 1 周にかかる時間である。Pturn は E の 4 乗に比例するので τ は E の 3 乗
に反比例する。
33
例題
(問)
HER と LER の各アーク部分の曲率半径 R が等しいと仮定した場合の減衰時間の比
を求めよう。
(解答)
3
3
τLER /τHER = γLER
/γHER
= 8.03 /3.53
= 11.94
実際には、減衰時間を短くするために LER のアーク部分の曲率半径は HER のものよ
りも小さくなっている。(HER の Bend 磁石はトリスタン (昔の加速器) のものを再利
用しているらしい。) それでも LER の方が減衰時間が長いので、 デザインのものに対
し、ウィグラー（ビームを蛇行させる部分）を追加することで、1 周あたりの放射エ
ネルギー量を増やして減衰時間が HER と同じくらいまで短くなるようにしている。
さて、式 (4.8) において t → ∞ の極限を取ると A(∞) → 0 となる。これはビームサイ
ズがゼロになってしまうことを意味するが実際にはそんなことにはならない。シンクロト
ロン放射によって、エミッタンスが増加する寄与も存在するからである。
4.3
エミッタンス増加への寄与
シンクロトロン光を出して、エネルギーを落とす過程は確率的である。たまたま光子の
放出量が多かったビームと少なかったビームではエネルギー変化が異なり、その結果エネ
ルギー変化由来の軌道のずれも異なる。つまり、その分ビームが太る（エミッタンスが増
える）ということである。このイメージを図 4.4 に示す。
σ∆E
だけ太
このエネルギー変化の分布の広がりを σ∆E とすると、ビームは σ∆x = ηx
E
∆E
る。（Dispersion η の定義がエネルギー変化率と軌道変化の変換係数 ∆x = ηx
) なの
E
√
で。）σx (s) = x βx (s) より、 (σ∆x )2 ∼ ∆x βx (s) と考えると、
(
)2
σ∆E (s)
η(s)
∼ ∆x (s)βx (s)
E
η(s)2 d(σ∆E (s)/E)2
d∆x (s)
∼
(4.11)
ds
βx (s)
ds
√
エネルギー変化の分布の広がりは放出される光子数の平方根 N (s) で表される。式 (4.4),
式 (4.6) を用いて、
√
σ∆E (s) = N (s)c (s)
(4.12)
34
図 4.4: エミッタンス増加の説明図
35
N (s) = P (s)/c (s) より、
d(σ∆E (s)/E)2
c (s)2 dN
=
ds
E 2 ds
c (s)2 dP
=
/c (s)
E 2 ds (
)(
)
1
e2 γ 4
~cγ 3
=
(γme c2 )2 R2
R
ここで、古典電子半径 re = e2 /me c2 を用いて、
d(∆E(s)/E)2
re ~c γ 5
=
ds
me c2 R3
dx
ds
したがって、エミッタンスの変化
(4.13)
は、
dx
ηx (s)2 re ~c γ 5
∼
ds
βx (s) me c2 R3
(4.14)
シンクロトロン光放出のエネルギー変化が量子的に行われることから、これを”Quantum
excitation”という。Quantum excitation を小さくするには、
• ∆E が小さい（曲率半径 R が大きい）こと
• アーク部分での η が小さいこと
以上の条件をみたせばよい。厳密な式では単位距離ビームが進むあたりの水平方向のエ
ミッタンスの変化は、
dx
55re ~c γ 5
= Hx (s) √
(4.15)
ds
48 3me c2 R3
と表される [6]。ここで、Hx (s) は
0
0
H(s) = βη 2 + 2αηη + γη 2
0
0
1 + (β /2)2 2
β
02
0
= βη + 2(− )ηη + (
)η
2
β
)
1 ( 2 02
0
0
0
=
β η − ββ ηη + η 2 + (β /2)2 η 2
β
(
)
(
0 )2
1
β
η
0
=
η 2 + βη −
β
2
(4.16)
という量である。式 (4.14) はこの式 (4.15) とだいたいあってることがわかる。しかし、[4]
によると、ベータ関数が小さい方がいいという記述が見られるので、そこと 4.14 は合わ
ない。
36
4.4
エミッタンスを小さくするには
つまり、水平方向のエミッタンス x は Radiation damping と Quantum excitation が
釣り合うところに落ち着く。表 4.1 に入射器のパラメータの一部を示す。(http://www.
pasj.jp/web publish/pasj7/proceedings/LH 4PM 1/WELH03.pdf より) 表 1.1 の蓄積リ
ングの値とは異なることがわかる。
表 4.1: KEKB および SuperKEKB の入射器のパラメータ
e+ /e−
KEKB
SuperKEKB(design)
E[GeV]
[µm]
σz [mm]
σδ
3.5/8.0
2100/100
2.6/1.3
(12.5/5.0) × 10−4
4.0/7.0
10/20
0.7/1.3
(7.0/8.0) × 10−4
また、垂直方向のエミッタンス y には (アーク部分での) Quantum excitation は存在
しないので、理想的には『すごく 0 に近い値』になる。『0』と言わないのは、4 極磁石な
んかが y 方向に影響するので、シンクロトロン放射が無いわけではないからである。実際
には x-y カップリングの存在により水平方向の広がりの影響が垂直方向に伝わるため、y
は x に比例する。これは、検出器のソレノイド磁場とか、磁石の配置精度の誤差などで
水平方向と垂直方向の光学が影響し合ってしまうことに由来する。以上から水平方向のエ
ミッタンス x を小さくするには、
• 1 周あたりのエネルギー放出量 Pturn が多いこと
• 曲率半径 R が大きいこと
∫
• アーク部分での dsH(s) が小さいこと
垂直方向のエミッタンス y を小さくするには、
• x-y カップリングの値が小さいこと
• 水平方向のエミッタンス x が小さいこと
をみたせば良い。
37
第 5 章 KEKB の L > 10 [nb−1s−1] 達成
と SuperKEKB へのアップグ
レード
babababababababababababababababababababab
参考文献
2011 年 12 月 7 日の B workshop の 西脇さん (KEK) の講義スライド。(http:
//kds.kek.jp/conferenceDisplay.py?confId=7924)
KEKB パンフレット (http://www-acc.kek.jp/KEKB/0922KEKB.pdf)
この章は、KEKB で世界最高のルミノシティを達成できたことの要点と、ルミノシティ
をさらに上げるためにどのようなアップグレードが計画されているかをまとめている。
5.1
確認
これまでの章で加速器にとって重要なパラメータをだいたい理解してきた。もう一度、
1 章の表 1.1 を見てみよう。表のあらかたが読めるようになっているはずである。確認し
てみよう。
まず、 L はルミノシティである。これはビームの衝突のしやすさを表し、単位時間あ
たりのイベント数に比例する。アップグレードの目的はこれを可能な限り高くすることで
ある。表によると、設定ルミノシティは KEKB で達成した 20[nb−1 ] の 40 倍であり、これ
は 1 秒間におよそ 880 の B 中間子ペアを作れることに相当する。
√
次に E はビームのエネルギーである。2 Ee− Ee+ = 10.58 [GeV] を満たすようにエネ
ルギーが設定されている。エネルギーが非対称なのは B 中間子ペアの崩壊時間差が物理解
析に必要な情報であるためで、2 つの崩壊点の距離から崩壊時間差を求める。エネルギー
の非対称度が大きいほど崩壊時間差が測定しやすくなる。アップグレードではこの非対称
度が小さくなっている。この理由については付録 B を参照してほしい。
ビーム電流 Ibeam は高いほどルミノシティが大きくなる。アップグレードによってこれ
が 2 倍強になる予定だそうだ。そのために、蓄積リングにつめるバンチ数 Nbunches を増や
38
す。さらに、バンチあたりの粒子数を増やすことで設定している電流に到達する。KEKB
のデザイン値ではフルにつめるはずであったが、ビーム不安定性を引き起こすことがわか
り、約 1600 バンチしか詰められなかった。バンチ数を増やすための方法とはなんなのだ
ろうか？5.3.2 節にて述べる。
次の行にはビームビームチューンシフトパラメータ ξx,y が書かれている。デザイン値
ではこの値が LER と HER で同じになっている。というか、そうなるようにエネルギーの
非対称度に応じてビーム電流が非対称になっている。(ξx,y ± を決める要素であるガンマ
ファクター γ± はビームエネルギーに比例。また、相手バンチあたりの粒子数 N∓ はビー
ム電流に比例。)
∗
∗
その次に衝突点でのベータ関数 βx,y
、エミッタンス x,y 、衝突点でのビームサイズ σx,y
と
√
∗
∗
並んでいる。アスタリスク (∗) は「衝突点での値」を意味し、これらの値は σx,y = x,y βx,y
という関係にある。基本的に、衝突点でのビームサイズを小さくすればするほどよいの
だが、どのような理由で KEKB ではベータ関数とエミッタンスをこれ以上小さくできな
かっただろうか。また、どのような理由で SuperKEKB ではこれらの値を小さくできるよ
うになったのだろうか。(これについては 5.3.1 節と 5.3.3 節にて述べる。)
σz はバンチ長である。後に詳しく述べるが、KEKB ではベータ関数を σz より小さく
することができなかった。確かに βy∗ ∼ σz となっている。しかしアップグレードでバン
チ長は変わっていないのに衝突点のベータ関数は小さくなっている。どういうことか？
2φ はビームの交差角である。アップグレードによって大きくなっている。これがアッ
プグレードのミソの 1 つであり、衝突点でのベータ関数を小さくするための鍵を握って
いる。
有限な角度をもってバンチが交差すると、正面衝突の場合よりも衝突確率が下がる。L
や ξx,y の計算においてこれらを考慮するための補正係数が RL , Rξ である。では、なぜ
アップグレードによって角度をさらに大きくするのか？
σδ はエネルギーの広がりである。エネルギーの差は軌道のずれと関係する。また、衝
突の際のエネルギーが Υ(4S) の質量から外れる粒子が多いとそれだけルミノシティが小
さくなることになるため、大きすぎてはいけない。
νs , νx,y はビーム粒子が一周する間にそれぞれ何回シンクロトロン振動とベータトロン
振動を行うかの回数である。ぴったり整数値や半整数をとると良くない。理由は付録??
に書く予定。KEKB では半整数に非常に近い値をとることで、ビーム・ビーム効果によ
るビームサイズの増大を抑えることに成功したらしい。詳しいことはよくわからない。
τE はシンクロトロン振動の振幅のダンピングタイムである。τx,y はベータトロン振動
の振幅のダンピングタイムで、τE の 2 倍である。1 周あたりにシンクロトロン放射で失
うエネルギー Pturn が多いほど短くなる。ダンピングタイムは短ければ短いほど良い。
39
5.2
KEKB
図 5.1 に KEKB のルミノシティ歴史を記す。http://accl.kek.jp/introKEKB/index.
html を参考にした。
5.2.1
設計値に到達するまで
http://legacy.kek.jp/newskek/2003/mayjun/luminosity2.html によると、KEKB
初期のころのルミノシティ増加のポイントは 3 点。
１つ目は、電流を上げることでコンポーネントが発熱したり破損したりすることへの
対策。
２つ目は、陽電子ビームの電流を増加させるとビームの放射光がビームパイプにあたっ
て生じる電子雲によってビームサイズが増大し、ルミノシティが下がる問題。デザイン時
にはバンチ数 5000 バンチを予定していたが、実際は 1600 バンチまでしか入れることがで
きなくなった理由がこれである。いかに電流をふやしていったか。図 5.3 に示すように、
LER には電子雲対策としてコイルが巻かれている。2000 年から 2002 年にかけて LER の
ドリフト部分（約 2300m）に巻かれた。これによって運動量の小さな電子は磁場に絡めと
られてビームまでたどり着けない。イメージ図を図 5.2 に示す。これによって、1.6A まで
電流を上げても大丈夫になった。
３つ目はビームが衝突点で互いに影響を及ぼすことでビームサイズが太ってしまう問
題。これは、ベータトロンチューンの微調整によって抑えることができるようになったら
しい。詳しい話はわからない。
5.2.2
設計値に到達してから
設計値を達成しても、KEKB のルミノシティ向上のための追求は止まらなかった。最
終的に 2010 年 6 月の運転終了時には目標の約２倍のルミノシティになっている。その達
成に寄与したと思われるのは連続入射とクラブ衝突とスキュー六極磁石である。ほかにも
重要な点があれば教えてください。
5.3
5.3.1
SuperKEKB へのアップグレード
エミッタンスを小さくする方法
4.4 で一般的なエミッタンスを小さくする方法について述べた。ここでは、具体的に
SuperKEKB の為にどのような変更がされるのかを述べる。詳細は大穂セミナー 11 の船
越さんのテキスト [4] を読むのが最もいい。ここでは大まかな概要にとどめておく。[4] で
述べられているポイントは 3 点あり、
40
図 5.1: KEKB のルミノシティの歴史
41
図 5.2: KEKB の電子雲対策
図 5.3: LER に巻かれたコイル
42
図 5.4: 連続入射する前と後
43
• LER の Bend の曲率半径を大きくする。
• H の積分を小さくする
• Wiggler の周期を短くすることで、dispersion を小さくする。
こととなっている。
最初の２つは 4 章で述べたとおりである。HER の Bend 磁石を長くしない理由はこれ
以上長くできないためである。(Q 磁石と Q 磁石の間の距離以上は長くできない。)
Wiggler の周期の変更について軽く述べる。KEKB の wiggler は “NS” または “SN” の
セットの磁石を用いて、NS-SN-NS-SN- と並べることでビームを蛇行させている。さて、
同じ方向にカーブが続くほどエネルギーのずれによる軌道のずれは大きくなる。つまり、
dispersion が大きくなり、エミッタンスの増加に寄与する。この wiggler での dispersion
によるエミッタンスの増加は KEKB の頃はアーク部分でのエミッタンスの増加が支配的
だったため問題にならなかった。しかし、SuperKEKB ではアーク部分でのエミッタンス
増加量を小さくするため、wiggler でのエミッタンス増加分が無視できない量になる。その
ため、wiggler での dispersion を小さくする必要が生じる。そのためには同じ方向にカー
ブが長く続かないようにすること、つまり、より小刻みに蛇行させてやることが解決策と
なる。さて、磁石を作り直せば解決する話であるが大変コストがかかる。なんとか今あ
る磁石を再利用して蛇行周期を短くできないかと考えられたのが図 5.5 に示されるように
“NS” のみを用いて NS-NS-NS- と並べる方法である。端っこの部分に “S/2” の磁石を新
調するだけで、いままでの蛇行周期の半分を達成できる。これにより、dispersion はおよ
そ半分になるらしい。”SN”のみを用いた部分と繋ぐために “N” の磁石も新調する。
5.3.2
電流を増やす方法
バンチ数増加のボトルネックになっているのが LER の電子雲によるビーム不安定性で
あることを述べた。これを解決することでバンチ数を増やす。その手段として、LER に
『アンテチェンバー』という今までとは違った形状のビームパイプを導入する。HER のほ
うはいままで通りで、部品も再利用する。
アンテチェンバーは今までの円形のパイプの水平部分にスペースを追加した形状をし
ている。シンクロトロン放射光があたる部分をビーム軌道からできるだけ遠ざけること
で、たたき出された電子がビームに悪影響を及ぼすことを防いでいる。仕組みを図 5.6 に
示す。
このビームパイプの材料はアルミが予定されている。現在は銅が用いられているがアル
ミの方が加工しやすく、つまり安く用意できる。欠点としては銅よりも放射光があたった
ときの 2 次電子放出量が多いことであるが、LER の 2 極磁石の曲率半径を大きくするこ
とで放射光の強さも弱まるし、表面に 2 次電子放出を抑える加工をすることもできるため
問題ないだろうということのようだ。(シミュレーションによる研究も行われているらし
い。) アンテチェンバーと KEKB で使われていたビームパイプを図 5.7、5.8 に示す。
44
図 5.5: Wiggler の磁石配列
図 5.6: KEKB の電子雲対策
図 5.8: KEKB のビームパ
イプ
図 5.7: アンテチェンバー
45
5.3.3
∗
βx,y
を小さくする方法 (ナノビーム・スキーム)
さて、ここでは KEKB で衝突点でのベータ関数 βy∗ の大きさをバンチ長 σz より小さく
できなかった原因である「砂時計効果 (hourglass effect)」と、いかにしてこの条件を回避
し、衝突点でのベータ関数を小さくできたのかを述べる。
砂時計効果とは、衝突点で極端にビームを細く絞った際のバンチの形に由来して名付け
られた効果である。衝突点付近でのビームサイズは、衝突点からの距離を s とすると
√ (
)
2
s
∗ +
σx,y (s) = x,y βx,y
(5.1)
∗
βx,y
と書くことができる。つまり、衝突点でのベータ関数を小さくすればするほど、衝突点か
ら離れた位置でのビームサイズが大きくなることを意味する。バンチ長に比べて衝突点で
のベータ関数が小さい場合のイメージを図 5.9 に示した。ビームが衝突するのは衝突点だ
図 5.9: 砂時計効果
けではなく、衝突点からバンチ長程度の範囲である。衝突点だけビームサイズが小さくて
も他の部分が大きいとルミノシティはあまりあがらない。さらに、ビームサイズが大きい
ところで交差すると式 3.42 に見られるように、中心から離れたビーム粒子が相手ビーム
から強く力を受け、ビームが太ってしまう。これを回避するには図 5.10 で示されるよう
に大きな交差角でビームを交差させ、交差してほしくない部分では交差しないようにすれ
ば良い。このときの交差する部分を有効バンチ長と呼ぶ。
46
図 5.10: 有効バンチ長
交差しない部分ができるということは、それだけルミノシティが減ることを意味する。
しかし、それ以上にビームを絞ってルミノシティを上げてやればよいというのがこの方法
∗
のポイントである。この場合、衝突点でのベータ関数 βx,y
は有効バンチ長 L まで、小さ
くできる。有効バンチ長は、水平に角度 2φ で交差する場合、水平方向の衝突点でのビー
ムサイズ σx∗ を用いて、
σ∗
L= x
(5.2)
sinφ
と求めることができる。
例題
(問)
式 (5.2)、表 1.1 から、陽電子バンチの有効バンチ長を求めてみよう。
(解答)
σx∗ ∼ 10[µm]、σz = 6[mm]、φ = 0.0415[rad] より、
L ∼
10
[µm]
0.0415
(5.3)
= 0.24[mm]
確かに垂直方向のベータ関数はこの値くらい (βy∗ = 0.27 [mm]) まで小さくなってい
る。ちなみに、ベータ関数がこれ以上小さくできない理由は砂時計効果によるもので
はなく、ダイナミックアパーチャーが小さくなりすぎるかららしい [4]。
47
5.3.4
ダンピングリングの必要性
さて、蓄積リング入射前のエミッタンスは蓄積リング入射後に関係ないことを述べた。
ではこれから付け足される予定の入射器についている陽電子ビーム用のダンピングリン
グは何のために必要なのか？これは、衝突点でのベータ関数を小さくすることで厳しく
なったダイナミックアパーチャーが原因である。入射の難易度があがったため、より質
のいいビームにして入射しないと蓄積リングを周回できなくなってしまったのだ。なぜ
電子にはダンピングリングが必要ないかというと、陽電子は標的に電子ビームを当てて
作られるシャワーから取り出されるのに対し、電子の生成は電子銃で行われ、小さなエ
ミッタンスが達成できるからである。詳細は http://www.pasj.jp/web publish/pasj7/
proceedings/LH 4PM 1/WELH03.pdf を参照のこと。ビーム寿命が短くなる上に、ビーム
電流も上げなくてはならないため、入射部分の改造も大変そうである。
5.3.5
色収差の補正
あと、大事なのは『色収差 (chromaticity)』の補正である。衝突点ではビームをぐっと
収束させる。この際にエネルギーのずれによる軌道のずれの効果の影響が大きくなる。(そ
のため KEKB の衝突点は 1 つしか無い。) これを補正するのが 6 極磁石である。6 極磁
石自身は dispersion の大きなところで使う。6 極磁石は中心からの距離の 2 乗に比例する
ような力がビームにかかる磁石である。しかし、この非線形な力はビームにとってよくな
い。6 極磁石を使いつつ、この非線形な効果を小さくするために 6 極磁石は同じ強さのや
つがペアで用いられる。そして、ペアの 6 極とそれらに挟まれる他の磁石のトータルの転
送行列が -I (単位行列の-1 倍) になるようにすることで、ペアの 6 極で挟まれている領域
の外に非線形な効果が出ないようになる。ペアの 6 極の間に、他の 6 極磁石が入らないよ
うにする必要があり、この仕組みを “non inter lived” と呼ぶらしい。
48
付 録A
A.1
真空
単位
単位がいっぱいあってややこしいので、記しておく。
表 A.1: 真空の単位
1 [Pa]
1 [bar]
1 [atm]
1 [Torr]
A.2
= 1 [N/m2 ]
= 105 [Pa]
= 1013 [hPa]
= 133 [Pa]
真空の測定
KEKB で使われている真空計は CCG 真空計といわれるものを使っている。参考文献 [10]
の 3.1.5.2 節に説明が書いてある。
また、真空度の正確な測定にはガスの組成を知る必要がある。ガスの組成は分圧真空計
というものを使用して調べる。参考文献 [10] の 3.2 節に説明が書いてある。
A.3
低い真空度を達成する方法
真空ポンプについて。KEKB では各リングに 300 個のスパッターイオンポンプと 3000
個の NEG ポンプがある。参考文献 [10] の 4.2.6 節と 4.2.4.2 節にそれぞれ説明が書いてあ
る。図 A.1 に示す。(http://www-acc.kek.jp/KEKB/0922KEKB.pdf より。)
A.4
真空度の場所依存性
実際の KEKB の蓄積リングの真空度を見てみよう。各位置での CCG 真空計の出力を
図 A.2,A.3 に示す。
A–1
図 A.1: KEKB の真空ポンプ
横軸は CCG 真空計の数で、衝突点から時計回りに数えている。およそ 300 個なので、
10[m] おきに一つある計算になる。圧力の測定値は 10−8 [Pa] より小さな値は出力しない
ようになっており、それより低い値の場合は 10−8 [Pa] と表示されるようになっている。
さて、図からわかるように部分的に他の場所よりも 10 倍から 100 倍ほど圧力の高い領
域があることがわかる。ここにはウィグラー、常伝導加速空洞、新品のパイプなどがある。
ウィグラーのある部分はビームを蛇行させるための磁石があり、真空ポンプを置くス
ペースが限られてしまう。さらに、SR 放射光がパイプにあたった際に放出されるガスの
量も多いため圧力が高くなる。常伝導加速空洞では高周波を入れた際に温度上昇や放電か
らガスの放出量が増える。圧力が高い理由は設計の際の要求が他の場所よりも１桁高く設
定されているかららしい。これはこの領域がたいして長くないためビームの寿命にそん
なに効いてこないからだろうか。下げられるなら下げればよいのにと思うのだが、他に技
術的に難しい理由があるかもしれないし、お金の問題かもしれない。新品のパイプはガス
放出しやすいため、パイプが新しい領域は他の部分より圧力が高くなる。SR 光があたり、
金属パイプがガスを放出しにくくなってくることを「枯れる」という。実験開始時には、
ビーム電流を低めにして運転し、まずガス放出を行うことが必要である。
あと注意すべきはこの図には HER の超伝導加速空洞での圧力は表示されていないとい
うことである。超伝導空洞でのガスの振る舞いは他の場所とは異なっている。まず、表面
の温度が 4.4[K] と低いことから重い分子は金属表面にとどまり、水素分子のみがビーム
軌道あたりをただようことになる。つまり、超伝導空洞はそれ自体が真空ポンプのような
役割を果たしている。そして、クーロン散乱の散乱率は原子核の電荷 Z の 2 乗に比例す
るため、主な構成要素である CO(Z = 6, 8) と比べて H2 (Z = 1) の寄与はおよそ 50 分の
A–2
図 A.2: LER の CCG モニター
図 A.3: HER の CCG モニター
A–3
1 である。したがって超伝導空洞ではクーロン散乱は起こりにくいと考えられる。
ここまでは部分によるの圧力差を述べてきたが、ポンプに近い部分と遠い部分でも圧力
に差が出る。また、真空計が置かれている位置での圧力とビームパイプの圧力 (これを知
りたい) にも差がないかどうか把握しておく必要がある。
図 A.4: ビームパイプと真空ポンプ、真空計の関係
図 A.4 は真空ポンプと真空計の位置関係を示した物である。真空計は排気速度が S で
ある真空ポンプのすぐ近くにあり、それらとビームパイプがコンダクタンス (ガスの流れ
やすさ) C のポートでつながっている。つまり、真空計のある位置の圧力は、ビームパイ
プの圧力よりも低い。このとき、真空計の場所での圧力 P1 とポート近くのビームパイプ
の圧力 P には以下の関係式が成り立つ [10]。
P1 =
C
P.
S+C
(A.1)
KEKB では C と S は C ∼ S ∼ 200 [`/sec] であり、式 (A.1) は P1 = 21 P となる。ま
た、ビームパイプの平均の圧力はモデルを用いた計算によると P1 の３倍であるらしい。
そのため、 CCG 真空計は測定値の 3 倍である 3P1 を表示するようになっている。
ここで CCG 真空計で圧力を測定する際、ガスの成分は N2 を仮定している。しかし、
ガスの主成分は CO と H2 であるため、修正が必要である。これには、絶対感度係数 (イ
オン化されやすさ) の N2 との比率を用いる。CO と H2 に対する比はそれぞれ 0.92 と
2.4 である。これは H2 は N2 の 2 倍イオン化されにくく、CO は N2 よりすこしイオン化
されやすいことを意味する。
分圧真空計によって測定された 2001 年の 600mA の電流のときのガスの比率は PCO :
PH2 = 5 : 7 である。（分圧真空計は壊れてしまっており、最近のデータはない。分圧真空
計は IR の近くにあり、一度真空を破ると IR 周辺の圧力が増加し、検出器バックグラウ
ンドの増加を引き起こすため修理ができない。）
これらの値を用いると、CCG 圧力計の値が PCCG の時の CO と H2 の分圧は以下の関
A–4
係式で表される。
{ PCO PH2
+
= PCCG
0.92
2.4
5
PCO
= .
PH2
7
これを解くと、PCO = 0.6PCCG と PH2 = 0.84PCCG が得られる。
A–5
(A.2)
付 録B
ビームの散乱
2 章で述べたように、ほとんどのビームは散乱によってロスする。また、これらの散乱
で軌道をそれたビーム粒子が検出器付近でロスすると、そこでシャワーを生じ、検出器
バックグラウンドになる。(他にも、検出器バックグラウンドとしてシンクロトロン放射
光が挙げられる。) 以下のような原因が挙げられる。
B.1
ガス散乱
クーロン散乱は残留ガスにビームが散乱され、ビームの向きが変わってしまう散乱であ
る。散乱断面積は圧力に比例。エネルギーの 2 乗に反比例。ガスの種類にも依存し、原子
核の電荷の 2 乗に比例。
検出器でおなじみの Bremsstrahlung も生じる。光子を放出し、エネルギーを落とす。
B.2
トゥーシェック (Touschek) 散乱
バンチ内粒子どうしの衝突による散乱。こちらの散乱率はガス圧力の位置依存性ではな
く、ビームプロファイルの位置依存性をもつ。ベータトロン振動の運動 (進行方向に垂直
な運動量成分) が進行方向の運動量に変換されることで、ビームエネルギーが変化する。
エネルギーの 3 乗に反比例。つまり、LER にとって大変深刻。SuperKEKB で最も手強
い課題の 1 つであり、十分なビーム寿命を確保する為にエネルギー非対称度を落とさざる
を得なかった。なぜ 3 乗かは 2 つの相対論的効果で説明できる。1 つめは、バンチ長は実
験室系では LER, HER ともにだいたい同じだがバンチの系からみると γ 倍される。つま
り、バンチの密度はエネルギーに反比例する。2 つめは、ベータトロン振動のチューンも
LER, HER ともにだいたい同じだが、バンチの系からみると 1 周に要する時間は異なる。
つまり、エネルギーが高い程バンチの系でのベータトロン振動は速い。進行方向に垂直方
向の運動量が増えると、クーロン散乱の式からわかるようにこの運動量の２乗に反比例し
て断面積は減る。
B.3
ビーム衝突に起因する散乱
バーバ散乱や radiative バーバ散乱が挙げられる。エネルギーを落とし、衝突点のすぐ
下流でロスするため検出器にとって深刻。また、発生した光子がビームパイプ等にあたっ
A–6
たときに生じる中性子も止めることが難しいため検出器には深刻。
A–7
付 録C
C.1
磁場
単位
表 C.1: 磁場の単位
1 [T] = 1 [kg · s−2 · A−1 ]
1 [Gauss] = 10−4 [T]
C.2
曲率の式
p [GeV/c] = 0.3 B[T] R[m]
(C.1)
p = eBR
(C.2)
の 0.3 を求める。
において、
[T] = [kg s−1 C−1 ] = [J m−2 s C−1 ]
= 1/e × 10−9 [GeV m−2 s C−1 ]
(C.3)
より、両辺に c = 3 × 108 [m/s] をかけて、
pc [GeV] = 3 × 108 × e[C] ×
C.3
1
× 10−9 × B[T] R[m] = 0.3 B[T] R[m]
e
覚え書き
A–8
(C.4)
表 C.2: いろんなものの磁場の強さ
検出器ソレノイドの磁場
蓄積リングの Bend 磁石や Wiggler
ビームパイプに巻かれたコイル
地磁気 (東京付近)
A–9
:
:
:
:
1.5 [T]
1 ∼ 0.1[T]
∼ 50 [Gauss]
0.45 [Gauss]
付 録D
D.1
その他
他の B ファクトリー
BaBar 実験が行われた PEP-II、イタリアで計画されている SuperB の加速器パラメー
タをまとめる。
SuperB のホームページ (http://superb.infn.it/liferay-portal/) から得られた情
報 (2012 年 2 月)
D.2
Mathmatica のノート
Mathmatica (Wolfram Research. Inc) で計算した部分の内容を載せています。
A – 10
図 D.1: 計算式
A – 11
表 D.1: PEP-II のパラメータ
LER(e+ )/HER(e− )
PEP-II(design)
L [nb−1 s−1 ]
E[GeV]
Ibeam [A]
Nbunches [個]
ξx [2π rad]
ξy [2π rad]
βx∗ [mm]
βy∗ [mm]
x [nm]
y [pm]
y /x
σx∗ [µm]
σy∗ [µm]
σz [mm]
2φ [mrad]
RL
Rξy
Rξx
σδ
νs [2π rad]
νx [2π rad]
νy [2π rad]
Pturn [MeV]
τE = τx,y /2 [ms]
αp
C [m]
3.0
3.1/9.0
2.14/0.99
1658
0.03
0.03
375/500
15/20
64.3/48.2
2600/1900
4.0%/3.9%
10
0
?
?
?
?
0.01∼0.02
45.52/47.52
46.08/43.08
?
44.9/22.5
(1 ∼ 2) × 104
2100.32
A – 12
PEP-II(achieved)
3.1/9.0
0
?
?
?
?
?
?
?
表 D.2: SuperB のパラメータ
LER(e+ )/HER(e− )
(design)
L [nb−1 s−1 ]
E[GeV]
Ibeam [A]
Nbunches [個]
ξx [2π rad]
ξy [2π rad]
βx∗ [mm]
βy∗ [mm]
x [nm]
y [pm]
y /x
σx∗ [µm]
σy∗ [µm]
σz [mm]
2φ [mrad]
RL
Rξy
Rξx
σδ
νs [2π rad]
νx [2π rad]
νy [2π rad]
Pturn [MeV]
τE = τx,y /2 [ms]
αp
C [m]
polarization[%]
1000
4/7
2.28/1.30
1733
0.004
0.17
20
0.30
1.6
4
0.25
5.657
0.035
6
34
?
?
?
(8.4/9.0) × 10−4
?
?
?
1.9/3.3
16
(1.8/3.0) × 10−4
2250
0/80
A – 13
関連図書
[1] The LHCb Collaboration. The lhcb detector at the lhc. Journal of Instrumentation,
August (2008). http://iopscience.iop.org/1748-0221/3/08/S08005.
[2] Kekb design report. http://www-acc.kek.jp/kekb/publication/KEKB design
report/KEKB%20Design%20Report.html.
[3] Naoko Ida. Status of superkekb project. High energy news, 29-1:20, May (2010).
[Japanese] http://www.jahep.org/hepnews/.
[4] Y. Funakoshi. Machine parameters of superkekb. OHO seminar, September (2011).
[Japanese] http://accwww2.kek.jp/oho/.
[5] William W MacKay Mario Conte. An Introduction to the Physics of Particle Accelerators. World Scientific, (2008).
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