第5章 反応器（リアクター） 本章の目的

本章の学習 が必要な背景�
第5章�反応器（リアクター）�
下水の処理で最も一般的に利用されている方法が活性汚泥法である．�
活性汚泥法では，エアレーションタンク(AT)という施設で，流入下水は活性汚泥（微生物集団）と接
触し，浄化される．�
我々の関心は，変化する下水の質と量および環境条件（水温等）に対して，�
・必要な処理水質を得ることができるATをいかに設計すべきか？�
・あるいはまた，建設されたATをいかに運転操作をすればよいか？�
ということである．�
そのためには，反応器（AT）内の下水の流れの状況を正しく知る必要がある．�
1.1 反応器の分類�
本章の目的�
1)反応器に関する学習を必要とする背景を説明できる．�
2)各反応器の特徴を理解し，説明できる．�
3)各反応器の浄化率（残存率）等の式を誘導できる．�
4)上記3)に必要な数学知識を再確認する．�
反応型式による分類�
理想流れ・非理想流れ�
流れの型式による分類�
完全混合槽モデル�
理想流れモデル�
押し出し流れモデル�
連続槽型反応器�
非理想流れモデル�
混合拡散モデル�
回分反応器�
担体の有無�
完全混合槽列モデル
浮遊増殖型�
付着増殖型�
1.2�反応型式による分類�
(1)回分反応器�
回分反応器が使われている例�
ビール，アルコール，
コンクリートミキサ，
食品，
化粧品，
溶鉱炉，
など�
微生物
④反応終了，生成物と微
生物の分離，生成物と余
剰微生物の取り出し�
微生物
①反応物質（原料）
生成物共になし�
③反応開始�
②反応物質投入�
(2)連続槽型反応器�
連続槽型反応器が使われている例�
連続的に物質が流入し，連続的に生成物が流
出していく．�
反応器の後に微生物と生成
物を分離するための設備が
必要
反応物質（原料）�
反応
生成物質�
生成物質�
+�
微生物�
微生物：回収・処理�
エアレーションタンク，
浄水場の沈砂池，ろ過池
焼却炉，
浄化槽，
など�
1.3�流れの形式による分類（連続槽型反応器）�
(2)押し出し流れモデル�
(1)完全混合槽モデル�
反応物質（原料）�
流入�
生成物質（製品）�
反応
流出�
進行方向（流れ方向）前後で内容物は混ざり合うことはない．
連続的に流入する物質は，反応器出口に向かって徐々に反応が進む．�
連続的に流入する反応物質（原料）は，反応器に入った瞬間に反応器内容物と完全に
混合される．
反応器内容物は，完全に均一．�
1.4�理想・非理想流れ�
(1)理想流れモデル�
�理想流れモデルは流れが 理想的 であると仮定したモデル．�
完全混合槽モデル
押し出し流れモデル�
1.5�担体の有無�
浮遊増殖型��浮遊状態（付着する担体なし）で反応が行われる．�
���������例�活性汚泥法�
付着増殖型��微生物は単体に付着した状態で反応を行う．�
���������例�散水ろ床法，回転円板法�
散水ろ床法�
回転円板法�
(2)非理想流れモデル�
�実際のリアクター内の流れは非理想流れになる．非理想流れを表現する
モデルには以下のものがある．�
微生物膜�
完全混合槽列モデル
回転円板�
混合拡散モデル�
生物膜�
拡大�
拡大�
担体�
廃水�
2.�反応器各論�
2.1�回分反応器�
(1) rが0次反応の時�
濃度C0の汚濁物（廃水）を投入し，一定時間反応させて取り出す．この時，リアクター内の
汚濁物濃度Cの時間変化を考える．�
V
容積�
dC
=R
dt
A
r=k
→
r
A′ ,
r = k ⋅ CA 0 = k
r = k ⋅C 0
反応速度が濃度のゼロ乗に比例する
反応を0次反応という．�
これは，とりもなおさず，反応速度は濃
度に比例しないということ．�
k：反応速度定数(<0)
dC
(= r) = k
dt
この微分方程式を解く．�
濃度の時間変化�
ここで，
R：反応速度，V：リアクター容積，
dC = kdt , →
容積V�
∫ dC = ∫ kdt
→ C = k ⋅ t +α
ここで，t=0の時，C=C0�なので�α=C0となる．�
また，r：単位容積当たりの反応速度�とすると，�
したがって，�
dC R
= =r
dt
V
C�
C0�
C = k ⋅ t + C0
k�
許容濃度�
t�
(2) rが1次反応の時�
r = k ⋅C
A
k：反応速度定数(<0)
r = k ⋅ CA1 = k ⋅ CA
∫
1
dC =
C
∫
k ⋅ dt
⇒
C = C 0 ⋅ e k⋅t
2.2.1�水理学的滞留時間�
�容積Vの反応器に流量Qの液体が流入している．�
この時，水理学的滞留時間(HRT)を以下のように定義する．�
流量Q�
HRT =
Ln(C) = k ⋅ t + α
ここで，t=0の時，C=C0�なので�α=Ln(C0)となる．�
したがって，�
Ln(C) = k ⋅ t + Ln(C 0 )
Ln(C
) = k ⋅t
C0
2.2�連続槽型反応器�
1
反応速度が濃度の1乗に比例する反
応を1次反応という．�
この微分方程式を解く．�
⇒
A′ ,
r = k ⋅C
dC
(= r) = k ⋅ C
dt
dC
= k ⋅C
dt
→
r
容積V�
C�
C0�
V
Q
反応器容積：�V [m3]�
流量：�Q [m3/hr]�
HRT：[hr]�
HRTは，反応器に入ってきた液体が反応器内に平均的に留まる時間を表す．�
HRTが大きい（長い）ほど，�→�液体に含まれている物質は長い時間反応を受ける．�
指数関数的に減少�
許容濃度�
t�
つづき�
2.2.2�完全混合槽モデル(CSTR)�
dC
1
=
⋅ (Cin − C) − k ⋅ C
dt
HRT
流量Q�
流入物質濃度Cin�
思い出せ！
CSTRでは内容物濃
度は完全に均一
Q，C�
C�
容積V�
反応器内物質濃度C�
反応器での物質収支を考える．�
反応器内の物質の変化量�
＝� 流入物質量�
ー�
dC
V
= Q ⋅ Cin − Q ⋅ C + R
dt
流出物質量�
＋�
dC
1
Cin
+(
+ k) ⋅ C =
dt
HRT
HRT
反応量�
(1) ・・・完全混合槽の物質収支式�
R
r=
V
つづき�
−(
=e
=
=
−(
1
+ k )⋅ t
HRT
1
+ k )⋅ t
HRT
×(
∫
�断面積S=一定の反応器に，速度u（=一
定）で物質が流入している．進行方向（流
れ方向）前後で内容物�
1
1
(
+ k)⋅ t
Cin
1
×
×
e HRT
HRT ( 1 + k)
HRT
η=
η = C Cin
1
1 + k ⋅ HRT
Cin
1 + k ⋅ HRT
流出�
C(x+Δx)�
反応�
(4)
で定義すると，(4)式は次式になる．�
(教科書p212，式(4.7)のn=1の場合)�
断面積s�
速度u�
濃度Cin�
x�
Δx�
は混ざり合うことはなく，反応器出口に向かって徐々に反応が進む．この時，反応器流入端から
距離xにおける微小区間Δxにおける物質収支を考える．�
流入�
C(x)�
=
α:積分定数�
2.2.3�押し出し流れモデル�
(
+ k)⋅ t
Cin
⋅ e HRT
dt
HRT
Cin
HRT
×
HRT 1 + k ⋅ HRT
(3)
C = e− ∫ p(t )dt ( ∫ q(t)⋅ e ∫ p(t )dt dt + α )
Cin
1
×
HRT ( 1 + k)
HRT
残存率ηを�
dC
+ p(t)C = q(t)
dt
(3)式の解は以下のとおり．�
r = −k ⋅ C
1
1
+ k)dt = (
+ k) ⋅ t
∫ p(t)dt = ∫ ( HRT
HRT
C =e
(2)式は濃度Cについて，線形微分方程式の形になっている．�
1
Cin
p(t) =
+k,
q(t) =
HRT
HRT
R:単位容積当たりの反応速度�
反応を1次反応とする. �
(2)
とおくと，(2)式は以下のようになる．�
dC Q
R
= ⋅ (Cin − C) +
dt
V
V
V
HRT = ,
Q
dC
1
Cin
= −(
+ k) ⋅ C +
dt
HRT
HRT
Δx
流入物質量�
流入�
u ⋅ s ⋅ C (x)
流出�
u ⋅ s ⋅ C (x + Δx)
反応�
r ⋅ s ⋅ Δx
反応は距離の関数
r：単位容積当たり反応速度�
＋�
反応量�
＝� 流出物質量�
u ⋅ s ⋅ C (x) + r ⋅ s ⋅ Δx = u ⋅ s ⋅ C (x + Δx)
(1)
つづき�
つづき�
(1)式をu・sで割って，整理する．�
C (x) − C (x + Δx) +
第2項を1次微分項までのテー
ラー展開で近似する．�
r ⋅ Δx
=0
u
dC
r ⋅ Δx
Δx +
=0
dx
u
dC r
=
dx u
(2)
dC
r
=
u ⋅ dt u
→
1
dC = k ⋅ dt
C
C (x + Δx) ≈ C (x) +
C (x) − C (x) −
ここで，�
dC
=r
dt
(4)式を解くと，�
x = u ⋅t,
dC
Δx
dx
dx
= u,
dt
∫ C1 dC = ∫ k ⋅ d t
→
Ln(C) = k ⋅ t + Ln(C in )
Ln(C Cin) = k ⋅ t
C = Cin ⋅ e k⋅ t
残存率ηは，�
dx = u ⋅ dt
η = C Cin = e k⋅ t
(3)
(3)式は，回分反応器の場合と同じである．�
rを1次反応とすると，�
dC
= r = k ⋅C
dt
(4)
k<0�
つづき�
2.3�完全混合槽列モデル�
�現実の反応槽は完全混合槽モデルでも押し出し流れモデルでもない流れの状況を呈する．
完全混合槽列モデルは，実際の反応槽を連続した多数の小さい完全混合槽で近似するモデ
ルである．�
C0�
C1�
C2�
Ci-1�
C i�
Cn-1�
容積v�
n個の完全混合槽�
流入�
流入�
v：小さい完全混合槽の容積�
V：全体の容積（V=v n）�
Q：流量（一定）�
流出�
流出�
全体の滞留時間：HRT=V/Q�
小反応槽の滞留時間：HRT/n�
第1槽出口の残存率η1�
η1 =
C1
C0
第2槽出口の残存率η2�
η2 =
C2
C1
第i槽出口の残存率ηi�
ηi =
Ci
C i−1
第n槽出口の残存率ηn�
ηn =
Cn
C n−1
C n�
2.4�完全混合槽列モデルの過渡応答�
つづき�
各小反応器は完全混合槽であるから，その残存率ηはそれぞれ次式で表される．�
η=
1
1 + k ⋅ (HRT n)
�完全混合槽列モデルの各反応槽が，流入物質濃度の変化に対してどのように応答するか確かめ
る．�
�濃度ゼロの流体が流れている状態から，時刻ゼロにおいて濃度C0の物質を含む流体を流し始め
る．�
�この時，各反応槽の応答を調べる．�
全体の残存率ηは�
η = η1 × η2 × ⋅ ⋅ ⋅ × ηi × ⋅ ⋅ ⋅ × ηn
したがって，�
Q�
n
⎧
⎫
⎪
⎪
1
η=⎨
⎬
HRT ) ⎪
⎪
⎩1 + k ⋅ (
n ⎭
{
⇒
}
1 + k ⋅ (HRT )
n
C0�
−n
教科書p212，(4.7)式�
1�
C1�
2�
‥‥‥
C2�
Ci-1�
‥‥‥
C i�
i�
第i番目のタンクの物質収支を考える．�
v
dC i
= Q ⋅ C i−1 − Q ⋅ C i + R
dt
タンク内の物質の変化�
流入�
反応�
流出�
�
つづき
つづき�
�ここでは，流れに関した応答を見るので，R=0とする．すなわち，物質は非反応性物質と仮定
する．�
dC i
v
= Q ⋅ C i−1 − Q ⋅ C i
dt
(1)�i=1の時�
n ⋅v
⇒ Q=
HRT
θ
0
C i−1 ⋅ e nθ ⋅ dθ
C1 = C 0 ⋅ n ⋅ e−nθ
(3)
⇒
θ
∫ e θ ⋅ dθ
n
0
⎡ e nθ ⎤
θ
⎢
⎥
⎣ n ⎦
θ
= C 0 ⋅ n ⋅ e−n
dC i
n ⋅v
n ⋅v
=
⋅ C i−1 −
⋅ Ci
d (θ ⋅ HRT ) HRT
HRT
v dC i
n ⋅v
=
(C i−1 − C i )
HRT dθ
HRT
∫
C i−1 = C 0
t
θ=
HRT
時刻tをHRTで無次元化して表す．�
v
C i = n ⋅ e−nθ
(1)
反応器全体の水理学的滞留時間を�HRT�とすると，�
n ⋅v
HRT =
Q
(2)式は濃度Cについて線形微分方程式の形になっている．�
この式の解は以下のとおり．�
dC i
= n(C i−1 − C i )
dθ
0
= C0 ⋅ n ⋅ e
−nθ
(
= C0 ⋅ 1 − e
(2)
C1
(
C0 = 1 − e
−nθ
−nθ
(
)
1
⋅ ⋅ e nθ − 1
n
)
)
(4)
Cn-1�
n�
C n�
�
つづき
�
つづき
(2)�i=2の時�
(
C1 = C 0 1 − e−nθ
)
C 2 = C 0 ⋅ n ⋅ e−nθ
以下同様に計算すると，n番目のタンクの応答は次式になる．�
⎡ e nθ
1⎤
−θ − ⎥
⎢
n⎦
⎣ n
θ
∫ 0 (1 − e−nθ ) ⋅ e nθ ⋅ dθ
= C 0 ⋅ n ⋅ e−nθ
θ
= C 0 ⋅ n ⋅ e−nθ
θ
∫ 0 (e nθ − 1) ⋅ dθ
= C 0 ⋅ e−nθ
θ
⎡ e nθ ⎤
= C 0 ⋅ n ⋅ e−nθ ⎢
−θ⎥
⎣ n
⎦0
= C0 ⋅
[e
[1−e
nθ
]
(1+n⋅θ )]
⎡
(n ⋅ θ ) 2
(n ⋅ θ ) n−1 ⎤
Fθ = C n C = 1 − e−nθ ⎢1 + n ⋅ θ +
+  +
⎥
0
2!
(n − 1)! ⎦
⎣
この式は教科書p212の式(4.5)と同じ．�
図4.6を見よ．これより，以下のことがわかる．�
0
−n⋅θ −1
−nθ
Cn/C0
1.0
n=4
n=3
n=2
n=1
0.5
C2
−nθ
(1 + n ⋅ θ )
C0 = 1 − e
2.5�混合拡散モデル�
n=∞
(5)
断面積s�
0
2
1
t/HRT
フィックの拡散法則�
x�
拡散とは，物質の濃度勾配に比例して物質が移動する現象．�
単位時間，単位面積当たりに拡散によって物質が移動する量を拡散束(J)と呼ぶ．Jは
次式で表される．単位はそれぞれ以下のとおり．�
Δx�
�押し出し流れモデルでは，流れ方向前後に物質が混ざり合うことはないと考えた．混合拡散モデ
ルでは， 拡散 によって物質が混合されることを考慮する．�
�断面積S（一定）の反応器に，速度u（一定）で物質が流入している．この時，反応器流入端から距
離xにおける微小区間Δxにおける物質収支を考える．�
�物質濃度Cは，距離xと時刻 tの関数である．�
∂C
J = −D ⋅
∂x
J :[
g
m2 ⋅ s
薄い�
濃い�
変化をもたらす現象�
反応�
Δx
流出�
C(x+Δx)�
(1)完全混合槽モデルでは，HRTに満
たない時間で流出していく成分があ
る，�
(2)nの数が増すと，この割合は減少す
る，�
(3)nが無限大で，押し出し流れモデル
になる，�
つづき�
速度u�
濃度Cin�
流入�
C(x)�
(6)
(1)流れによる物質の流入�
(2)拡散による��〃�
(3)流れによる物質の流出�
(4)拡散による��〃�
(5)反応による変化�
濃
度
C�
],
m2
D :[
],
s
g
3
∂C
:[ m ]
∂x
m
比例定数Dを拡散係数という．�
Dが大きい�→�その物質の広まる������������（混合される）
程度は強い，�
Dが小さい�→�その物質の広まる�
�������（混合される）程度は弱い，�
∂C
<0
∂x
距離x�
つづき�
つづき�
(1)流れによる物質の流入速度�
(2)拡散による物質の流入速度�
(3)流れによる物質の流出速度�
(4)拡散による物質の流出速度�
(5)反応による物質の変化速度�
u ⋅ s ⋅ C (x)
s ⋅ J = s ⋅ (−D ⋅
(1)
∂C (x)
)
∂x
(6)微小体積における物質の変化速度�
(2)
⎧
∂C (x) ⎫
u ⋅ s ⋅ C (x + Δx) ≈ u ⋅ s ⋅ ⎨C (x) +
Δx ⎬
⎩
⎭
∂x
(3)
∂C (x + Δx)
s ⋅ J = s ⋅ (−D ⋅
)
∂x
⎡
⎫⎤
∂ ⎧
∂C (x)
≈ s ⋅ ⎢−D ⋅
⋅ Δx ⎬⎥
⎨C (x) +
⎩
⎭⎦
∂
x
∂
x
⎣
⎧
⎫
∂C (x)
∂ 2C (x)
= s ⋅ ⎨−D ⋅
−D⋅
⋅ Δx ⎬
2
∂x
∂x
⎩
⎭
(4)
r ⋅ s ⋅ dx
r:反応速度定数�
(5)
∂
∂C (x)
⋅ Δx
{ s ⋅ Δx ⋅ C (x)} = s ⋅
∂t
∂t
物質収支式�
微小体積における物質の変化速度�
＝�
流入�
ー�
流出�
+
反応�
(6) = (1) + (2) − (3) − (4) + (5)
物質収支式に(1) (6)式を代入し整理すると次式が得られる．�
これは1次元の拡散方程式である．�
∂C (x)
∂ 2C (x)
∂C (x)
= D⋅
−u⋅
−r
∂t
∂x
∂x 2
D→0�押し出し流れモデル�
D→∞�完全混合槽モデル�
に近づく�
0次反応：� r = k
1次反応：� r = k ⋅ C (x)
(6)