被覆絡み目のミルナー不変量

被覆絡み目のミルナー不変量
和田 康載（Kodai WADA）
早稲田大学大学院教育学研究科 博士課程 1 年
小林奈津花氏，安原晃氏（東京学芸大学）
との共同研究
和田康載 (早大 D1)
被覆絡み目のミルナー不変量
2015 年 12 月 24 日
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目次
1
動機
2
ミルナー不変量
3
被覆ミルナー不変量
4
ブルニアン絡み目
和田康載 (早大 D1)
被覆絡み目のミルナー不変量
2015 年 12 月 24 日
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1
動機
2
ミルナー不変量
3
被覆ミルナー不変量
4
ブルニアン絡み目
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被覆絡み目のミルナー不変量
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動機
lk(Ki , Kj ) = 0
↕
lk(Ki′ , Kj′ ) = 0
lk(K10 , K20 ) = 1
被覆リンケージ
↕
不変量
lk(K1′ 0 , K2′ 1 ) = 0
R. Hartely; K. Murasugi, Covering linkage invariants, Canad. J. Math. 29 (1977) no. 6,
1312–1339.
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被覆ミルナー不変量
L = K1 ∪ K2 ∪ · · · ∪ Kn+1 : S 3 内の n + 1 成分絡み目
w/. Kn+1 : 自明，lk(Ki , Kn+1 ) ≡ 0 mod 2
3
f : Σ(Kn+1 ) → S : Kn+1 で分岐する S 3 の二重分岐被覆
注意 1.1
Σ(Kn+1 ) = 3 次元球面
Ki0 ∪ Ki1 := f −1 (Ki ) (i = 1, 2, . . . , n)
L(ε1 · · · εn ) := K1ε1 ∪ · · · ∪ Knεn ⊂ Σ(Kn+1 ), εi ∈ {0, 1}
L の被覆絡み目
1:1
{L(0ε2 · · · εn ) εi ∈ {0, 1}} ←→ {L(1δ2 · · · δn ) δi ∈ {0, 1}}
定義 1.2
I : {1, 2, . . . , n} の元を項とする数列
被覆ミルナー不変量 ML (I ) := {µL(0ε2 ···εn ) (I ) εi ∈ {0, 1}}
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問題 (1)
被覆ミルナー不変量はどの様な性質をもつか？
問題 (2)
被覆ミルナー不変量は，ミルナー不変量よりも強い不変量か？
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1
動機
2
ミルナー不変量
3
被覆ミルナー不変量
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ブルニアン絡み目
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ミルナー不変量
L : S 3 内の順序付けられた有向 n 成分絡み目
G := π1 (S 3 \ L)
Gq = [G , Gq−1 ] : G の第 q 番目降中心部分群
定理 2.1 (Chen ’52, Milnor ’57)
G /Gq ∼
= ⟨α1 , . . . , αn [αi , λi ](i = 1, . . . , n), ⟨α1 , . . . , αn ⟩q ⟩
αi : L のメリディアン，λi : L のロンジチュード
−→ λqj = [λj ] ∈ G /Gq は，α1 , . . . , αn の語で表される．
[Chen ’52] K.T. Chen, Commutator calculus and link invariants, Proc. Amer. Math. Soc. 3
(1952) 44–55.
[Milnor ’57] J. Milnor, Isotopy of links. Algebraic geometry and topology, in: A Symposium in
Honor of S. Lefschetz, Princeton University Press, Princeton, N. J., 1957, pp.280–306.
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λqj のマグナス展開 E を考える．
準同型写像 E : ⟨α1 , α2 , . . . , αn ⟩ → Z[[X1 , X2 , . . . , Xn ]] は，
E (αi ) = 1 + Xi ,
E (αi−1 ) = 1 − Xi + Xi2 − Xi3 + · · · (i = 1, 2, . . . , n)
で定義される．(X1 , X2 , . . . , Xn は，非可換変数である．)
定義 2.2 (Milnor ’54, ’57)
数列 I = i1 i2 . . . ik j (k < q, im ∈ {1, 2, . . . , n}) に対して，
µL (I ) := E (λqj ) における Xi1 Xi2 · · · Xik の係数（µL (j) = 0）
{
∆L (I ) = gcd µL (J)
J : I の任意の部分数列
}
ミルナーの µ− 不変量 µL (I ) := µL (I ) mod ∆L (I )
[Milnor ’54] J. Milnor, Link groups, Ann. Math. (2) 59 (1954) 177–195.
[Milnor ’57] J. Milnor, Isotopy of links. Algebraic geometry and topology, in: A Symposium in
Honor of S. Lefschetz, Princeton University Press, Princeton, N. J., 1957, pp.280–306.
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µ− 不変量の性質
L = K1 ∪ K2 ∪ · · · ∪ Kn : S 3 内の n 成分絡み目
µL (ij) = lk(Ki , Kj ) (1 ≤ i < j ≤ n)
µL はイソトピー不変量である．[Milnor ’57]
µL はコボルディズム不変量である．[Casson ’75]
数列 I の項に重複がない
=⇒ µL (I ) はリンク・ホモトピー不変量である．[Milnor ’54]
交差交換
[Casson ’75] A.J. Casson, Link cobordism and Milnor’s invariant, Bull. London Math. Soc. 7
(1975) 39–40.
[Milnor ’54] J. Milnor, Link groups, Ann. Math. (2) 59 (1954) 177–195.
[Milnor ’57] J. Milnor, Isotopy of links. Algebraic geometry and topology, in: A Symposium in
Honor of S. Lefschetz, Princeton University Press, Princeton, N. J., 1957, pp.280–306.
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動機
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ミルナー不変量
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被覆ミルナー不変量
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ブルニアン絡み目
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主結果
L ⊂ S 3 : n + 1 成分絡み目 w/. Kn+1 : 自明，lk(Ki , Kn+1 ) ≡ 0 mod 2
L(0ε2 · · · εn ) ⊂ Σ(Kn+1 ) : L の被覆絡み目
数列 I に対して，ML (I ) = {µL(0ε2 ···εn ) εi ∈ {0, 1}}
定理 3.1 (N. Kobayashi-W-Yasuhara)
任意の数列 I に対して，
ML (I ) は L のコボルディズム不変量である．
ML (I ) は L のリンク・ホモトピー不変量では “ ない”．
L と L′ がコボルダントである．
def
⇐⇒ ∃A ⊂ S 3 × [0, 1] : n 個のアニュラスの非交和 s.t.∂A = L ∪ −L′ .
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例
l.h.
L ∼ L′ であるが，ML ̸= ML′ となる．
次を考察する．
ML (12) = {µL(00) (12), µL(01) (12)},
ML′ (12) = {µL′ (00) (12), µL′ (01) (12)}
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Akbult-Kirby の構成法
0
0
S. Akbulut; R. Kirby, Branched covers of surfaces in 4-manifolds, Math. Ann. 252 (1979/80)
no. 2, 111–131.
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0
0
µL(00) (12) = 1, µL(01) (12) = −1
0
∴ ML (12) = {1, −1}
0
0
0
0
0
µL′ (00) (12) = 2, µL′ (01) (12) = −2
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∴ ML′ (12) = {2, −2}
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問題 (2)
L ⊂ S 3 : n + 1 成分絡み目 w/. Kn+1 : 自明，lk(Ki , Kn+1 ) ≡ 0 mod 2
ML は µL より強い不変量か？
µL (123) = 1 −→ µL′ (123) = 1
ML (12) = {1, −1} =
̸ {2, −2} = ML′ (12)
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動機
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ミルナー不変量
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被覆ミルナー不変量
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ブルニアン絡み目
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ブルニアン絡み目
L = K1 ∪ K2 ∪ · · · ∪ Kn+1 : S 3 内の n + 1 成分ブルニアン絡み目
def
（L : ブルニアン ⇐⇒ L の任意の真部分絡み目が自明である.）
Σ(Kn+1 ) : Kn+1 で分岐する S 3 の二重分岐被覆
L(0ε2 · · · εn ) ⊂ Σ(Kn+1 ) : L の被覆絡み目, εi ∈ {0, 1}
µL (123) = 1 ←→ µL(00) (12) = 1
問題 (3)
µL と µL(0ε2 ···εn ) との関係は？
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主結果
定理 4.1 (N. Kobayashi-W-Yasuhara)
∀I : {1, 2, . . . , n + 1} の元を項とする重複のない数列
∀ε2 ∈ {0, 1}
∑
µL (I ) ≡
µL(0ε2 δ3 ···δn ) (I \ (n + 1)) mod 2
(δ3 ,...,δn )∈Z2 n−2
注意 4.2
L(0ε2 · · · εn ) ⊂ Σ(Kn+1 ) は再びブルニアン絡み目となる (εi ∈ {0, 1})．
−→ µL (I ) ≡ µL(0ε2 ) (12)
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mod 2
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注意 4.3
{
µL (123) = 1 ←→
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µL(00) (12) = 1
µL(01) (12) = −1
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問題
m(≥ 3) 重分岐被覆はどうなるのか？

 µL(00) (12) = 1
µ
(12) = −1
µL (123) = 1 ←→
 L(02)
µL(01) (12) = 0
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