練習問題

数学基礎 IIA
農学部 1 組
4 月 20 日分練習問題
2015 年度前期 数学基礎 IIA 農学部 1 組
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4 月 20 日分の練習問題
担当: 柳田伸太郎 (数理解析研究所 416 号室)
yanagida [at] kurims.kyoto-u.ac.jp
1 行列
1.1 行列の定義 (前回の講義の続き)
Ex.(1.1.5. 次の等式を満たす
a,)b, c, d を求めよ。
) (
(
)
(
)
t
a−1
3
3 3d
d
a−2
3 a
(1)
=
(2)
=
.
√ .
b
c+4
5
5
b+4
2π
2b c
√
Ans. (1) a = 4, b = 5, c = 5 − 4, d = 1.
(2) a = 6, b = 2, c = 2π, d = 3.
Ex. 1.1.6. (1) A が対称行列であることと t A = A となることが同値であることを示せ。
(2) A が交代行列ならばその対角成分は全て 0 であることを示せ。
Ans. (1) 略。
(2) aii = −aii より従う。
1.2 行列の演算
Ex. 1.2.1. 行列の積に関する以下の式を確認せよ。
(1) 次の積は実は座標平面上の回転の合成を表している。
(
)(
) (
)
cos θ − sin θ
cos ϕ − sin ϕ
cos(θ + ϕ) − sin(θ + ϕ)
=
sin θ cos θ
sin ϕ cos ϕ
sin(θ + ϕ) cos(θ + ϕ).
(2) 以下の 3 つ行列は Pauli 行列と呼ばれ、電子の状態を記述するのに使われる。
(
)
(
)
(
)
0 1
0 −i
1 0
σx =
, σy =
, σz =
.
1 0
i 0
0 −1
但し i は虚数単位。これらは以下の関係式を満たす。
σx2 = σy2 = σz2 = E2 ,
σx σy = −σy σx = iσz ,
σy σz = −σz σy = iσx ,
σz σx = −σx σz = iσy .
Ans. 略。(1) は三角関数の加法定理を用いる。
Ex. 1.2.2. n を正の整数、c を複素数とする。(i, j) 成分が ci+j−2 で与えられる n 次正方行列 A = (ci+j−2 )n×n
と、(i, 1) 成分が ci−1 で与えられる n × 1 型行列 (縦ベクトル) B = (ci−1 )n×1 の積 AB を計算せよ。
Ans. AB は n×1 型行列 (縦ベクトル) で、その第 i 成分は
∑n
k=1
ci+k−2 ck−1 = ci−1 (1+c2 +c4 +· · ·+c2(n−1) ).
Ex. 1.2.3. A と B を 2 次の正方行列とする。主張「AB = O ⇐⇒ A = O 又は B = O」は真か偽か？
(
)(
)
1 1
1
1
Ans. N.
= O.
2 2
−1 −1
Ex. 1.2.4. 以下の主張は正しいか否か答えよ。
(1) A,B が同じ型の正方行列なら (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 。
(2) A が正方行列なら、E を同じ型の単位行列として (A + E)3 = A3 + 3A2 + 3A + E 。
数学基礎 IIA
Ans. (1) N.
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(2) Y.
Ex. 1.2.5. A を正方行列とする。行列の積 t AA が対称行列であることを証明せよ。
Ans.
t t
( AA) = t At (t A) = t AA.
Ex.1.2.6.
0 1


(1) 0 0
0 0
n
次の正方行列
A

 に対し A (n は正の整数
 ) を計算せよ。

0

1
.
0
(2)

0

Ans. (1) A2 = 
0
0


an 0 0


n
(3) 
0
0 b
.
0
0 cn
0
0
0
(
)
0 0 1
a 0 0




a b
1 0 0.


.
(3) 0 b 0.
(4)


0 1
0 1 0
0 0 c


0 1
1


n
3n+1
3n+2


(2) A
= A, A
= 0 0
0, A = O (n ≥ 3).
1 0
0
(
(4)
an
b(1 + a + · · · + an−1 )
0
1

0

3n
1
, A = E.
0
)
.
Ex. 1.2.7. An = O (n は正の整数) の時、(E − A)(E + A + · · · + An−1 ) を計算せよ。
Ans. 全ての正方行列 B に対して (E − B)(E + B + · · · + B n−1 ) = E − B n が成立するので、答えは E.
Ex. 1.2.8. n 次正方行列 (aij )n×n は、全ての i, j = 1, 2, . . . , n について i > j なら aij = 0 となる時、上三角行
列と呼ばれる。上三角行列は和、スカラー倍、積について閉じていることを示せ。
Ans. 積のみ示す。A = (aij ) と B = (bij ) を n 次上三角行列とすると、i < j の時の AB の (i, j) 成分は
n
∑
k=1
aik bkj =
i−1
∑
k=1
0bkj +
n
∑
aik 0 = 0.
k=i
よって AB も上三角行列。
出典について
教科書に指定した三宅敏恒著「入門線形代数」の §§1.1–1.2 を参考にしました。
以上です。