量子重力理論

ソリトンとブレーン・ワールド
坂井 典佑 (Tokyo Institute of Technology)
Seminar at Ehime University 2007.08.091
目次
1
統一理論の現段階
1.1 標準模型を超える統一理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
ソリトンとしての壁 (ドメイン・ウォール)
2
2
9
3
U (NC) ゲージ理論, NF ヒッグススカラー場
11
4
1/2 BPS ソリトン：壁と渦糸 (ボーテックス)
12
5
6
ヒッグス相中の複合ソリトン (磁気単極子など)
Conclusion
19
23
統一理論の現段階
1
1.1
標準模型を超える統一理論
数百 GeV 付近までの実験事実は標準模型でよく記述できる．
SU (3) × SU (2) × U (1): グルーオン，光子，W ±, Z ，ヒッグス粒子
クオーク
アップ
ダウン
チャーム
ストレンジ
トップ
ボトム
レプトン 電子ニュートリノ ミューニュートリノ タウニュートリノ
電子
ミュー粒子
タウ粒子
1. 電磁気力，弱い力，強い力を，ゲージ原理で (共通の) 理解
2. 予言された新しい粒子の発見：W ±, Z 0(1983), · · ·
3. くりこみ可能な理論 → 量子効果を系統的に求めることができる．
標準模型で見つかっていない粒子：ヒッグス粒子のみ．
LHC 加速器 (2008 年完成) 実験の発見可能範囲内にあると思われる．
標準模型の問題点・不満足な点
2
トンネル周長 27km （参考：東京JR山手線の周長 34.5km）
4
1. 電磁気力，弱い力，強い力に対応して三つの異なるゲージ結合定数
2. 電荷の量子化を説明していない．
3. クォーク・レプトンの質量などを記述できるが説明できない．
4. 重力が取り入れられていない．
ニュートリノに質量がある (神岡鉱山)→ 最小標準模型に修正必要．
標準模型を超える統一理論の候補
1. 大統一理論
電磁・弱・強い力の強さは量子効果でエネルギーと共に変化する．
高エネルギーでひとつの結合定数 (単一の群) になる可能性がある．
MGUTc2 ∼ 1015 − 1016 GeV
2. 超弦理論
量子重力を含む統一理論
紫外発散がないと考えられる理由がある．
１０次元または１１次元のような高次元時空が基本．
3
(1.1)
摂動論的にはいくつかの超弦理論が構成されている．
非摂動論的にはすべて同一の理論だという証拠がある (双対性)．
ゲージ階層性問題
電弱統一理論のエネルギースケール MW c2 ∼ 102 GeV に比して，
大統一理論スケール MGUTc2 ∼ 1015GeV も，
(量子) 重力理論スケール MPc2 ∼ 1019GeV もきわめて大きい
この大きなスケールの違いを説明することがゲージ階層性問題
MW ↔ ヒッグス場のポテンシャルのパラメーター
ゲージ階層性問題の三つの解
1. 複合ヒッグス粒子模型 (Technocolor)
ヒッグス粒子は複合粒子 → 新しい粒子が TeV 程度で出現
L. Susskind,Phys. Rev.D20 (1979) 2619; S. Weinberg, Phys. Rev.D19 (1979) 1277; D13 (1976)
974; S. Dimopoulos, and L. Susskind,Nucl. Phys. B155 (1979) 237; · · ·
物理現象に矛盾しない模型を構成することが難しい．
4
2. 超対称性
質量零のスカラー粒子を説明する対称性 ： 超対称性
スピン 0 : mB
↕
mB = mF ← 超対称性
スピン 12 : mF
mF = 0
← カイラル対称性
S.Dimopoulos, H.Georgi, Nucl.Phys.B193 (1981) 150; N.Sakai, Z.f.Phys.C11 (1981) 153;
E.Witten, Nucl.Phys.B188 (1981) 513; · · ·
最小超対称標準模型の予言
(a) Lightest Supersymmetric Particle が暗黒物質の自然で有力な候補
R パリティ→ 最も軽い超対称粒子が安定で，相互作用が大変弱い．
(b) ゲージ結合定数の統一の間接的証拠がある．(図 1)
(c) ヒッグス粒子は，中性粒子 (h, H, A) と，荷電粒子 (H +, H −)
(非超対称標準模型では中性スカラー粒子 h のみ)
(d) 制限が強いために予言力がある．たとえば，最も軽いヒッグス粒
子は量子補正を考慮に入れても 150GeV 程度までに現れるはず．
5
図 1:
非超対称大統一理論 (左) はゲージ結合定数の統一を実現できない．超対称大統一
理論 (右) はゲージ結合定数の統一を実現する．αi = gi2 /4π, (i = 1, 2, 3) はそれぞ
れ U (1), SU (2), SU (3) のゲージ結合定数の強さ．
超対称性理論の課題
超対称性の破れの理解が必要: 非摂動効果．
超対称性の破れの伝達機構 → 余剰次元が役立つ (sequestering)．
3. 余剰次元模型 (Brane World)= ブレーンワールド模型
4 次元時空は高次元時空中の壁状の部分空間 (ブレーン)
6
y: 余剰次元
重力は高次元時空全体に伝播 → 4 次元空間で重力が弱く感じられる．
n 次元が 2πR で周期的だとすると，
1 m1 m2
1
m1 m2
V4+n(r) =
, for r ≫ R (1.2)
∼
2+n
2+n n
1+n
r
M(n) r
M(n) R
2+n n
M(n)
R = MP → 高次元重力定数 M(n) ≪ MP ∼ 1019 GeV
ゲージ階層性が必要なくなる
P.Horava and E.Witten, Nucl.Phys.B475, 94 (1996); N.Arkani-Hamed, SDimopoulos, G.Dvali,
Phys.Lett.B429 (1998) 263 ; I.Antoniadis, N.Arkani-Hamed, S.Dimopoulos, G.Dvali,
Phys.Lett.B436 (1998) 257; Randall, Sundrum, Phys.Rev.Lett.83 (1999) 3370; 4690; · · ·
ブレーン = 位相欠陥 : ドメーン・ウォール, 渦糸, . . . など
7
ソリトン として構成したい
標準模型の粒子が壁状のブレーンに閉じ込められている必要がある．
安定性・ブレーンの構成 → 超対称性が有用
標準模型を超える統一理論：LHC 加速器で検証の可能性がある
超伝導体中の渦糸 (マイスナー効果)
Landau-Ginzburg 模型: U (1) ゲージ場と荷電スカラー場 φ
)
1
λ( †
µν
µ
†
2 2
L = − 2 Fµν F + D φ(Dµφ) −
φφ − v
4e
4
渦糸の安定性: 位相的量子数 (渦度)
∫
1
d2x F12
k=−
2π
渦糸の位置不定: 解のパラメタ = モジュライ → 質量零の粒子
渦糸が複数ある場合
U (1) ゲージ相互作用: 斥力,
スカラー力: 引力
λ < e2: 渦糸は反発しあう (第２種, アブリコソフ格子)
λ > e2: 渦糸は引き付けあう
8
(1.3)
(1.4)
λ = e2: 渦糸の間に力が働かない → BPS 状態
このとき，相対位置はモジュライ → 質量零の粒子
BPS 渦糸は超対称 (SUSY) 理論に埋め込むことができる．
2
ソリトンとしての壁 (ドメイン・ウォール)
複数の最低状態 (真空)→ 二つの真空を結ぶキンクが生じ得る．
エネルギー密度は局在する: 壁 (ドメイン・ウォール)
無限遠での境界条件が非自明 → 位相不変量 π0(M)
二重井戸型ポテンシャルを持つ実スカラー場 φ (λ > 0)
L = ∂µφ∂ µφ − λ(φ2 − v 2)2
9
(2.1)
離散的真空: φ+ ≡ v, φ− ≡ −v
y = x2 にだけ依存すると仮定
エネルギー密度のボゴモルニイ完成
E = (∂y φ)2 + λ(φ2 − v 2)2
[
(
3 )]
√
√
φ
2
2 2
2
= (∂y φ + λ(φ − v )) + ∂y 2 λ v φ −
3
位相不変量がエネルギ−の下限を与える
[
(
∫ ∞
3 )]∞
√
φ
2
dyE ≥ 2 λ v φ −
(2.2)
3
−∞
−∞
Bogomol’nyi-Prasad-Sommerfield (BPS) 限界
Bogomol’nyi, Sov.J.Nucl.Phys. 24 (1976) 449; Prasad and Sommerfield, Phys.Rev.Lett. 35 (1975) 760.
BPS 方程式が成り立つときに，この限界が飽和するのは
√
∂y φ + λ(φ2 − v 2) = 0
壁がひとつだけある解:
√
φ = v tanh( λvy)
References
10
(2.3)
(2.4)
3
U (NC) ゲージ理論, NF ヒッグススカラー場
L = −
1
1
M
Tr(F
(W
)F
(W
))
+
Tr(D
ΣDM Σ)
M
N
2
2
2g [
g
]
+Tr D M H(DM H)† − V
(3.1)
V =
g2
Tr
[(
MN
†
HH − c1NC
)2 ]
4
DM H i = (∂M + iWM )H i,
[
]
†
+ Tr (ΣH − HM )(ΣH − HM )
DM Σ = ∂M Σ + i[WM , Σ]
FM N (W ) = ∂M WN − ∂N WM + i[WM , WN ]
WM ゲージ場, Σ 実スカラー場 (NC × NC 行列)
U (NC) ゲージ結合定数 g
複素ヒッグススカラー場 : H rA ≡ H rA (NC × NF matrix)
(i = 1, 2 ; カラー r = 1, · · · , NC ; フレーバー A = 1, · · · , NF)
二重井戸ヒッグスポテンシャル, ヒッグス質量 (M )AB ≡ mAδ AB
N −1
質量縮退しない場合 : mA > mA+1 → 対称性 : U (1)F F
完全縮退の場合 : 質量パラメタは Σ のシフトで消せる
11
5 次元時空 → M, N, · · · = 0, 1, 2, 3, 4
このラグランジアンは超対称理論 (8 SUSY) に埋め込める．
離散的真空 : カラー・フレーバー・ロッキング 〈A1A2 · · · ANC 〉
H rA
真空の種類:
HH † = c1NC , ΣH − HM = 0
√ Ar
= c δ A, Σ = diag(mA1 , · · · , mANC )
NF !
(NF −NC )!NC !
∼ eNF log(x
−x (1−x)−(1−x) )
(3.2)
(3.3)
, x ≡ NC/NF
ヒッグス相 : 壁 (ドメイン・ウォール), 渦糸 だけが基本的 ソリトン
インスタントン, 磁気単極子, ジャンクション は複合ソリトン
4 1/2 BPS ソリトン：壁と渦糸 (ボーテックス)
1/2 BPS 方程式
y ≡ x4 にのみ依存,
4 D ポアンカレ不変性 → WM ̸=y = 0
12
図 2:
真空 〈A1A2 · · · ANC 〉 と 〈B1B2 · · · BNC 〉 を結ぶ多重壁.
エネルギー密度 E のボゴモルニイ完成
[¯
]
[
¯2]
2
rA
E = Tr ¯Dy H ¯ + Tr |ΣH − HM |
[(
]
2
)
(
)
g
1
2
+ 2 Tr (Dy Σ)2 + Tr HH † − c1NC
g
4
= Tr|Dy H + ΣH − HM |2
)2
(
2(
)
1
g
†
+ 2 Tr Dy Σ −
+ c∂y TrΣ
c1NC − HH
g
2
(4.1)
1/2 BPS 方程式 ⇐⇒ 超対称性を半分保存: γ 4εi = −i(σ 3)ij εj
(
)
2
†
Dy H = −ΣH + HM, Dy Σ = g c1NC − HH /2
(4.2)
13
トポロジカル・セクター labeled by 〈A1A2 · · · ANC 〉 ← 〈B1B2 · · · BNC 〉
壁の張力の BPS 限界
∫
+∞
−∞


[
]+∞
∑
∑
m Ak −
=c
mBk 
Edy ≥ c Tr(Σ)
−∞
NC
k=1
NC
(4.3)
k=1
BPS 方程式を解く
Σ + iWy ≡ S −1(y)∂y S(y) で S(y) ∈ GL(NC, C) を定義する
ヒッグス場の BPS 方程式の解: H(y) = S −1(y)H0eM y
“モジュライ行列” H0 は複素 NC × NF 定数行列
ゲージ場 BPS 方程式 → マスター方程式: ゲージ不変量 Ω ≡ SS †
( −1
)
(
)
2
−1
∂y Ω ∂y Ω = g c 1C − Ω Ω0 ,
Ω0 ≡ c−1H0e2M y H0†
H0 → Ω(y) → ゲージ固定 → S(y) → Σ, Wy , H 1
y = ±∞ での境界条件 → マスター方程式の解の存在と一意性
インデックス定理, U (1) ゲージ理論では解の存在と一意性の証明あり
モジュライ行列 H0 はモジュライ空間を完全に記述する
14
全モジュライ空間
グローバル “V -対称性” : (S を求める際の NC2 個の積分定数)
(S, H0) と (S ′, H0′) は同じ物理量 H = S −1H0eM y (Σ, Wy ) を与える
S → S ′ = V S,
図 3:
H 0 → H 0 ′ = V H0 ,
V ∈ GL(NC, C)
真空 A から B を経て C へ結ぶ３重壁の解 (左図) で，左端の壁を無限遠に送ると，
真空 A,B を結ぶ２重壁の解を得る (右図)．
BPS 方程式の全モジュライ空間は 複素グラスマン多様体:
M = {H0|H0 ∼ V H0, V ∈ GL(NC, C)} ≡ GNF,NC
SU (NF)
≅
SU (NC) × SU (NF − NC) × U (1)
15
(4.4)
コンパクト (閉) 空間で複素次元が NCÑC ≡ NC(NF − NC)
最大のトポロジカルセクター: 〈1, · · · , NC〉 ← 〈ÑC + 1, · · · , NF〉
〈1,··· ,N 〉←〈ÑC +1,··· ,NF 〉
dimRMNF,NC C
= 2Nwall = 2NCÑC
M = M1/1 + M1/2 = M0 ⊕ M1 ⊕ · · · ⊕ MNCÑC
(4.5)
(4.6)
モジュライ行列 H0 : 各成分は真空の重みを表す
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-40
図 4:
-20
20
40
y
ヒッグス場が急激に変化するところが壁の位置.
U (1) の場合 : H0 = (er1 , er2 , · · · , erNF ),
H = S −1H0eM y = S −1(er1+m1y , · · · , erNF +mNF y )
(4.7)
i と i + 1 真空を隔てる壁の位置は Reri + miy ∼ Reri+1 + mi+1y
Im(ri − ri+1) : 壁が隔てる二つの真空の相対位相
16
非アーベルゲージ理論の場合 U (NC) : ÑC ≡ NF − NC
BPS 壁上の有効作用
モジュライをソリトン上の場に格上げする (Tw : 壁の張力)
∫
L = −Tw + d4θK(φ, φ∗) + 高次 微分項
(4.8)
[
]¯
∫
(
)
(
)
1
2 ¯
K(φ, φ∗) =
dy c log detΩ + cTr Ω0Ω−1 + 2 Tr Ω−1∂y Ω
¯
Ω=Ωsol
2g
超対称性が残っているので，ケーラーポテンシャル K で記述できる
強結合 (g → ∞) での厳密解: 非線形シグマ模型
強結合 g 2c/∆m ≫ 1: マスター方程式は代数的に解ける
Ω = Ω0 ≡ c−1H0e2M y H0†
(4.9)
g 2 → ∞ : ハイパーケーラー非線形シグマ模型 (NLSM)
1/2 BPS 渦糸
NF = NC = N で， 1 + 5 次元またはそれ以下の次元で渦糸を考える．
[
]
)2 ]
1
g 2 [(
†
MN
M
†
L6 = Tr − 2 FM N F
+ D H(DM H) − Tr HH − c1NC
2g
4
17
渦糸に対する BPS 方程式
0 = D1H + iD2H,
0 = F12 +
g2
2
(c1N − HH †)
(4.10)
BPS 解
H = S −1H0(z),
W1 + iW2 = −i2S −1∂¯z S,
∂z (Ω−1∂¯z Ω) =
g2
z ≡ x1 + ix2
(4.11)
(c1N − Ω−1H0H0†)
(4.12)
4
渦度 k ∈ Z≥0 の場合のエネルギー密度, (det(H0) ∼ z k , z → ∞)
I
∫
c
dz ∂log(detH0) + c.c.
T ≡ −c d2x TrF12 = 2πck = −i
2
V -変換: H0 → V H0, S → V S,
V = V (z) ∈ GL(N, C), det V = const.̸= 0
モジュライ空間の一般の点: dim(MN,k ) = 2kN
(
)
k
∏
1N −1 −R(z)
H0 =
, P (z) =
(z − zi)
0
P (z)
i=1
18
(4.13)
zi ∈ C 渦糸の位置, R(z) 次数 k 以下の多項式ベクトル
たとえば，宇宙紐 (Cosmic string) の消滅確率を求めるのに有用．
5 ヒッグス相中の複合ソリトン (磁気単極子など)
ヒッグス相中の磁気単極子
超伝導体中の磁気単極子 : 磁束は渦糸状に絞られる
Tong, Phys.Rev.D69 065003 (2004); Auzzi-Bolognesi-Evslin-Konishi, Nucl.Phys.B686 119 (2004);
Shifman-Yung, Phys.Rev.D70 045004 (2004); Auzzi-Bolognesi-Evslin, JHEP 0502 (2005) 046; · · ·
磁気単極子 は超対称性の 1/2 を保存する．γ 123εi = εi
x3 方向に伸びる渦糸は別の 1/2SUSY を保存: γ 12(iσ3)ij εj = εi
ヒッグス相中の磁気単極子 (磁気単極子 + 渦糸): 1/4 SUSY を保存
この時 γ 3(iσ3)ij εj = εi が自動的に成り立つ → 壁 ⊥ x3 を許す
1/4 BPS 方程式
(
)
2
1
1†
D3Σ = g c1NC − H H
/2+F12,
0 = D1H 1 + iD2H 1,
D3H 1 = −ΣH 1 + HM,
0 = F23 − D1Σ,
19
0 = F31 − D2Σ
図 5:
クーロン相での磁気単極子 (左図) とヒッグス相での磁気単極子 (右図)．
エネルギー密度の BPS 限界 E ≥ tw + tv + tm + ∂mJm
tw 壁, tv 渦糸, tm 磁気単極子の寄与
tw = c∂3Tr(Σ),
tv = −cTr(F12),
tm =
2
1
mnl
ϵ
FnlΣ)
∂
Tr(
m
2
g
2
可積分条件 : [D1 + iD2, D3 + Σ] = 0
→(逆を持つ) 複素行列関数 S(xm) ∈ GL(NC, C) を定義する
(D3 + Σ)S −1 = 0 → Σ + iW3 ≡ S −1∂3S
¯
(D1 + iD2)S −1 = 0 → W1 + iW2 ≡ −2iS −1∂S
ここで z ≡ x1 + ix2, and ∂¯ ≡ ∂/∂z ∗.
(5.1)
(5.2)
ヒッグス場の BPS 方程式を解くと H 1 = S −1(z, z ∗, x3)H0(z)eM x
20
3
“モジュライ行列” H0(z): z の解析的 NC × NF 行列
Ω ≡ SS † のマスター方程式は (Ω0 ≡ H0 e2M y H0†)
(
)
−1 ¯
−1
2
−1
4∂(Ω ∂Ω) + ∂3(Ω ∂3Ω) = g c − Ω Ω0
-10
0 -5
5
10
10
x2
x2-5-10
10
10
5
(5.3)
0
5
5
0
x1
x1 0
-5
-5
-10
-20
-10
-10
-5
3
x
0
5
-10
10
x3 0
b)
10
20
a)
エネルギーの同じ値 (tw + tv = 0.5c) を結ぶ線．a) 壁の間に伸びる渦糸:
√
3
3
3
H0(z)eM x = c(ex , ze4, e−x ). 壁が対数的に |z| → ∞ へ曲がるのが見える．b)
√
3
3
多重壁の間に伸びる渦糸: H0(z)eM x = c((z − 4 − 2i)(z + 5 + 8i)e3/2x , (z +
図 6:
3 +15/2
8 − i)(z − 7 + 6i)e1/2x
, z 2e−1/2x
3 +15/2
, (z − 6 − 5i)(z + 6 − 7i)e−3/2x ).
強結合 (g 2 → ∞) での厳密解: U (1) ゲージ理論 (NC = 1)
21
3
)
∑NF
√ ( 1
3
NF
H0(z) = c f (z), . . . , f (z) : Ω = A=1 |f A(z)|2e2mAx
A 番目の壁の位置は x3A(z) =
log |fA+1 (z)|−log |fA (z)|
mA −mA+1
f A(z) が定数でないと，壁が 曲がる: 零点 → 渦糸
f (z) ∝ (z −
A
A
A kα
zα ) :
A
の渦
A 番目の壁の z = zαA の位置に渦度 kα
40
14
12
10
8
6
4
2
0
20
0
-40
y
-20
-20
0
20
-40
x
図 7:
40
外壁 18 と内壁 19 が 37 の異なる真空を隔てるドメインウォール・ネットワーク
ヒッグス相中の磁気単極子は渦糸上のキンクとして実現する
ヒッグス相中のインスタントンは渦糸の上の渦糸として実現する
ドメインウォール・ジャンクション，ネットワークも 1/4BPS 状態
これらの 1/4BPS 状態は互いに次元簡約で関係している
22
6
Conclusion
1. ソリトンはブレーン・ワールド模型や非摂動効果に重要である．
2. (超対称)U (NC) ゲージ理論で，NF 個の基本表現のヒッグススカラー
場がある場合に，BPS ソリトンを構成した．
3. 壁 (ドメイン・ウォール) の全モジュライ空間はモジュライ行列 H0 で
記述され，コンパクト複素グラスマン多様体となる．
MNF,NC ≅ {H0|H0 ∼ V H0, V ∈ GL(NC, C)}
SU (NF)
≅ GNF,NC ≅
(6.1)
SU (NC) × SU (ÑC) × U (1)
4. 強結合 (g 2 → ∞) では，完全に一般的なモジュライを持った壁 (ド
メイン・ウォール) の厳密解を得た．
5. BPS ソリトンの有効ラグランジアンに対する一般公式を求めた．
6. ヒッグス相中での磁気単極子は渦糸を伴う複合 1/4 BPS ソリトン
となり，壁 (ドメイン・ウォール) も共存できる．
7. 強結合では，すべての 1/2, 1/4 BPS 解を求めることができた．
23
References of Solitons in 8 SUSY Theories
Tokyo Tech Collaboration
1. Review
“Solitons in the Higgs Phase: Moduli matrix approach”,
hep-th/0602170, J. Phys. A 39 (2006) R315-392,
2. Domain Walls in 5D Supersymmetric Theories
“Moduli space of BPS walls in supersymmetric gauge theories”,
hep-th/0503136, Commun. Math. Phys. 267 (2006) 783-800
“Global structure of moduli space for BPS walls”,
hep-th/0503033, Phys.Rev.D71 (2005) 105009,
“D-brane Construction for Non-Abelian Walls”, hep-th/0412024,
Phys.Rev.D71, 125006 (2005),
“Non-Abelian Walls in Supersymmetric Gauge Theories”,
hep-th/0405194, Phys.Rev.D70 (2004) 125014,
“Construction of Non-Abelian Walls and Their Complete Moduli Space”,
hep-th/0404198, Phys.Rev.Lett.93 (2004) 161601,
“Exact Wall Solutions in 5-Dimensional SUSY QED”,
24
hep-th/0310189, JHEP 11 (2003) 060,
“Massless Localized Vector Field on a Wall in Five Dimensions”,
hep-th/0310130, JHEP 11 (2003) 061,
“Vacua of Massive Hyper-Kähler Sigma Models with Non-Abelian Quotient”,
hep-th/0307274, Prog. Theor. Phys. 113 (2005) 657,
“Manifest Supersymmetry for BPS walls in N = 2 nonlinear sigma models”, ,
hep-th/0211103, Nucl.Phys.B652 (2003) 35-71,
“ BPS Wall in N = 2 SUSY Nonlinear Sigma Model with Eguchi-Hanson Manifold”,
hep-th/0302028, in “Garden of Quanta”- In honor of Hiroshi Ezawa, pages 299–325,
3. Vortex
“Statistical Mechanics of Vortices from D-branes and T-duality” , hep-th/0703197,
Phys.Rev.to appear
“Non-Abelian Vortices on Cylinder— Duality between vortices and walls” ,
hep-th/0601181, Phys.Rev.D73 (2006) 085008,
“Moduli Space of Non-Abelian Vortices” ,
hep-th/0511088, Phys.Rev.Lett.96 (2006) 161601,
“Effective Theory on Non-Abelian Vortices in Six Dimensions” ,
hep-th/0405161, Nucl.Phys.B701, 247 (2004),
4. 1/4 BPS states
25
“Dynamics of Domain Wall Networks,” arXiv:0707.3267 [hep-th], Phys.Rev.to appear.
“ Effective Action of Domain Wall Networks”, Phys.Rev.D75 (2007) 045010, hepth/0612003,
“ Non-Abelian Webs of Walls”, Phys.Lett. B632 (2006) 384-392, hep-th/0508241,
“ Webs of Domain Walls in Supersymmetric Gauge Theories”, hep-th/0506135,
Phys.Rev.D72 (2005) 085004,
“Monopoles, Vortices, Domain Walls and D-branes: The rules of Interaction”,
hep-th/0501207, JHEP 03 (2005) 019,
“Instantons in the Higgs Phase”, hep-th/0412048, Phys. Rev. D72, 025011 (2005),
“All Exact Solutions of a 1/4 Bogomol’nyi-Prasad-Sommerfield Equation”,
hep-th/0405129, Phys.Rev.D71, 065018 (2005),
“Domain Wall Junction in N = 2 Supersymmetric QED in four dimensions” ,
hep-th/0306077, Phys.Rev.D68 (2003) 065005-1-16,
“BPS Lumps and Their Intersections in N = 2 SUSY Nonlinear Sigma Models” ,
hep-th/0108133, Grav.Cosmol.8 (2002) 129-137,
5. Non-BPS Walls and Supersymmetry Breaking
“Non-BPS Walls and their stability in 5D Supersymmetric Theory” ,
hep-th/0404114, Nucl.Phys.B696 (2004) 3-35,
6. Effective Lagrangian
26
“ Manifestly Supersymmetric Effective Lagrangians on BPS Solitons” ,
hep-th/0602289, Phys.Rev.D73 (2006) 125008,
7. Wall Solution in Supergravity
“ Bogomol’nyi-Prasad-Sommerfield Multiwalls in Five-Dimensional Supergravity” ,
hep-th/0306196, Phys.Rev.D69 (2004) 025007,
“ Wall solution with weak gravity limit in five-dimensional Supergravity” ,
hep-th/0212175, Phys.Lett.B556 (2003) 192-202,
Solitons in 8 SUSY Theories
1. Review
D. Tong, “TASI lectures on solitons,” arXiv:hep-th/0509216.
M. Shifman and A. Yung, “Supersymmetric Solitons and How They Help Us Understand Non-Abelian Gauge Theories,” arXiv:hep-th/0703267.
2. Early works
M. Cvetic, F. Quevedo and S. J. Rey, Phys.Rev.Lett.67, 1836 (1991)
E. Abraham and P. K. Townsend, Phys.Lett.B 291, 85 (1992)
M. Cvetic, S. Griffies and S. J. Rey, Nucl.Phys.B 381, 301 (1992)
M. Cvetic, S. Griffies and H. H. Soleng, Phys.Rev.D 48, 2613 (1993)
27
G. Dvali and M. Shifman, Phys.Lett.B396, 64 (1997)
3. Wall Solution in 8 SUSY Models
J. P. Gauntlett, D. Tong, and P. K. Townsend, Phys.Rev.D63, 085001 (2001);
J. P. Gauntlett, R. Portugues, D. Tong, P. K. Townsend, Phys.Rev.D63, 085002 (2001);
J. P. Gauntlett, D. Tong, and P. K. Townsend, Phys.Rev.D64, 025010 (2001)
R. Portugues, P. K. Townsend, JHEP 0204 039, (2002)
D. Tong, Phys.Rev.D66, 025013 (2002) “The Moduli Space of BPS Domain Walls”
M. Shifman and A. Yung, Phys.Rev.D67, 125007 (2003)
D. Tong, JHEP 0304, 031 (2003) “Mirror Mirror on the Wall”
M. Arai, E. Ivanov and J. Niederle, Nucl.Phys.B680, 23 (2004)
M. Shifman and A. Yung, Phys.Rev.D70, 025013 (2004)
4. Monopoles in Higgs Phase
D. Tong, Phys.Rev.D69, 065003 (2004)
R. Auzzi, S. Bolognesi, J. Evslin, K. Konishi and A. Yung, Nucl.Phys.B673, 187 (2003)
R. Auzzi, S. Bolognesi, J. Evslin and K. Konishi, Nucl.Phys.B 686, 119 (2004)
M. Shifman and A. Yung, Phys.Rev.D 70, 045004 (2004)
R. Auzzi, M. Shifman and A. Yung, JHEP 0502 (2005) 046
28
5. Vortex
A. Hanany and D. Tong, JHEP 0307, 037 (2003)
R. Auzzi, S. Bolognesi, J. Evslin, K. Konishi and A. Yung, Nucl.Phys.B 673, 187 (2003)
M. Shifman and A. Yung, Phys.Rev.D 70, 045004 (2004)
A. Hanany and D. Tong, JHEP 0404, 066 (2004)
A. Hanany and D. Tong, arXiv:hep-th/0507140;
M. A. C. Kneipp and P. Brockill, Phys.Rev.D 64, 125012 (2001)
M. A. C. Kneipp, Phys.Rev.D 68, 045009 (2003) ; Phys.Rev.D 69, 045007 (2004)
6. Brane construction
R. Auzzi, S. Bolognesi and J. Evslin, JHEP 0502 (2005) 046.
7. Index theorem
K. S. M. Lee, Phys.Rev.D 67, 045009 (2003)
introduction
29