Comments
Description
Transcript
Musinによる 3次元 KissingNumber の決定について
平成24年度学位論文 Musinによる3次元KissingNumberの決定について 兵庫教育大学大学院 学校教育研究科 教育内容・方法開発専攻 認識形成系教育コース M 1 1 1 4 9 G 井 口 景 視 次 1 ○章 序 1章 準備 1．1 余弦定理．． 1．2 球面座標．． 1．3 Legendre多項式 2章 3次元Kissing Number 10 2．1 k（3）＝12の証明一． 11 2．2 S（X）＜13nの証明． 12 3章 Gegenbauer多項式の加法公式 34 3．1 斉次多項式と調和多項式． 34 3．2 球面上の多項式． 40 3．3 球面上の調和多項式の内積．1 45 3．4 帯球関数とGegenbauer多項式 50 参考文献 64 ○章序 η次元ユークリッド空間R帆において，互いに重ならないように1つの球に接すること のできる（その球と）同じ半径の球の最大個数をη次元のkissing numberといいた（η）と 表す．このた（η）を求める問題をKissing Number Prob1emという． ん（3）≧！2であることは，実験すれば容易にわかる．ん（3）＝12であるか，ん（3）＝13で あるかは，1694年のIsaac NewtonとDavid Gregoryの論争に遡るといわれているが，事 の真偽は定かでない、た（3）＝！2の最初の証明は，1953年にSchutteとvan der WaeIden によって発表された．次いで，1956年にLeechによる，短く難解な証明が発表されている． 1979年には，A，M，Od1yzkoとN．J．A．S1oaneにより，De1sarteの方法を用いたん（8）＝240， た（24）二196560，およびん（4）≦25の証明が得られる。そして，遂に，2003年，O．Musin121 はDe1sarteの方法を拡張して，た（4）＝24の証明に成功するが，証明の詳細は，2008年の 論文［5］を待つことになる一2006年，Musinはた（4）＝24の証明方法を3次元に適用し， ん（3）＝！2の新しい証明を与えた一本論文では，このMusinエ4］の新しい証明について考察 する．なお，現在1，2，3，4，8，24次元のkissing numberのみが確定している． 1章では，後章で必要となる用語や定理について説明する1§1．1で球面上の余弦定理， §1．2でRれの球面座標，§1．3ではLegendre多項式について，説明する． 2章では，3次元KissingNumberん（3）が12であることを，Musin141の方法で導く・ ん（3）≧12はよく矢口られた事実であるが，ん（3）＜13を示す部分が難しい．Musinは Legendre多項式局（4≧O）の非負係数一次結合として表される9次多項式∫（t）を巧妙 に選び，単位球面∫2土の有限集合X＝｛均，＿，”、｝に対して，叫，〃ゴの球面距離をφ力と して， n 8（X）一Σプ（…φ1ゴ）＝ ｛，ゴ＝1 と定め，Legendre多項式乃の加法定理を用いて不等式 n Σ片（…φ1ゴ）≧0 4，ゴ＝1 1 O．序 を示し，それより8（X）≧η2を導いた．この論文では，Legendre多項式の加法定理ではな く，より一般なGegenbauer多項式の加法公式を用いて上の不等式を導く1 §2．2では，互いに交わることなく32に接する単位球面の接点のなす集合Xに対して， 3（X）＜13ηが成り立つことを示す．3（X）≧η2に注意すれば，直ちにん（3）：12が得ら れる、8（X）＜13ηを示すために 肌 W）一Σ∫（…φ1ゴ） ゴ：1 とおき，さらに，∫（cosφ｛ゴ）＞Oの部分の和 η（X）一Σ∫（…φ1j） j を取り出す．η（X）＜13を導くために，∫（cosφ｛ゴ）＞Oとなるような点的と，吻の対極 点eoからできる点配置eo，μ1，．．．，ひmを考察し，m≦4を示す、m＝3の場合はμユ，μ2，脆 か球面正三角形の頂点であること，m：4の場合もμ1，μ2，〃3，〃4が等辺な球面四角形の頂 点であることを利用して，刀（X）＜13を導く． 3章では，調和多項式の基本事項，Gaussの公式などをを説明した後，Gegenbauer多 項式の加法公式を証明する一また、2章のみ（3）＝12の証明で用いだしegendre多項式に関 する不等式（定理3．19）を証明する． §3．1では，ラプラシアン△，グラディエント▽などを定義し，R上のη変数多項式環 P（R几）の線形変換△の核Harm（R帆）に含まれる多項式として，調和多項式を定義する．ま た，4次斉次多項式のなす空間Ho叫（Rη）が ・…（・η）一・…1（・n）①・2・・…一・（肥）㊥…①（・2）「ξ］・…老一。［ξ］（・η） と直和分解されることを示す． §3．2では，Rn上の多項式関数を球面3η■1に制限して得られる，3η■1土の多項式関 数が，調和多項式を制限して得られるものに一致することを示す．さらに，多項式関数の間 の環準同型 ρ：P（醍れ）→P（8η’ユ） から誘導される線形写像 ρ：Harm（Rn）→P（8η一1） 3 O．序 が線形同型であることを示す．これより，直和分解 P（8n−1）一㊥H・ml（8n−1） ‘≧O が導かれる． §3．3では，まず，Harm（3冊L1）の2元ψ，ψに対して，内積（，）を （州■、÷ユ，ん、1（／）ψ（／）・／ と定義する．ただし，I3冊■1Iは3η■1の面積，dξは積分要素である．次に，Gaussの公式 ム・舳一ん1／∼／・／ を示し，それを用いて，直和分解 H・・m（3帆一’）一㊥H・・叫（8η■1） 4≧O が直交分解であることを導く． §3．4では，直交群0（R肌）のHar叫（3帆■1）への作用について考察する． σ∈0（Rη）， ψ∈Ham4（3η■1）に対して （σヰψ）（ξ）㍉（ξσ）（ξ∈5ト1） と定めると，σ㌻∈Har叫（3η■1）となり，σ→σヰは0（Rn）から直交群0（Har叫（8η＾！）） への群準同型となる、0（R九一1）によって固定されるHar叫（8η一1）の多項式を帯球関数と 呼び，その全体をZ4（3n−1）と表す．Harm乏（8卜1）の正規直交基物を選び，3η一1x3n−1 土の関数 w F（ξ。η）一Σψ1（ξ）州（ξ，η∈3η一ユ） ｛＝1 を定義し，その性質を利用して，肌≧2のとき，Z4（8η■1）が1次元であることを示す． Z4（3n■ユ）に含まれる多項式からGegenbauer多項式G4，、（f）を定義し，加法公式 Gゼ，η（／ξ，η／）＝F（ξ，η） を証明する．最後に，Legendre多項式についての不等式を導く． O．序 4 なお，2章での3（X）＜13の証明では，グラフの作成，実根や最大値などの数値計算を 多用するが，そのために，GNU Genera1Pub1ic Licenseのもとに配布されているフリーの 数式処理ソフトMaxima［121を利用した．また、唖X用の図やグラフの描画にフリーソフ トWinTpicを利用した． 最後に，本論文作成にあたり，2年間ご指導頂いた松山廣先生を始め，ご助言いただい た自然系数学分野の諸先生方，さらにはこのような機会を与えて下さった兵庫県教育委員 会，並びに兵庫県立相生高等学校長を始めとする諸先生方に，心より感謝申し上げます． 1章 準備 1章では，後章で必要となる用語と定理について説明する．ただし，参考文献 エ7］にあるような線形代数学の基本事項，参考文献エ6］，［11］にあるような微分積 分学の基本事項，参考文献［8］にあるような群・環・体についての基本事項，参 考文献エ10］，5節にあるような球面幾何の基本事項，などは既知とする。なお，こ の論文を通して次の記号を用いる． R ［・1 C1亀C2 実数全体 ガウス記号，実数C以下の最大の整数 実数C1，C2が近似的に等しい → 一一一→ 一一→ 一一一→ Rn ＝ R×一、。XR （η次元ユークリッド空間） 0λ・0B 空間ベクトル0λと0Bの内積 ｝ n個 ／π，μ） ㏄＝（エ1ゾー．，爆η），μ＝（帆，＿，gn）の内積均腕十。。。十π〃肌 3卜1 （剛 R冊内の原点を中心とする単位球面 砺 球面3n−1土の2点”，リの球面距離，（W）の長さ Cap（”，θ） 球面8n−1土の2点”，リを結ぶ大円の劣弧 球面8n−1土の点”からの球面距離がθ以下の点全体のなす集合 ψ） n次元kissing number P（Rη） R上のη変数多項式環（Rη上の多項式関数全体） P（3n一ユ） 球面3冊一1土の多項式関数全体 Hom（Rn） P（Rn）の斉次多項式全体 Homゼ（R几） P（Rη）の乏次斉次多項式全体 Harm（Rn） 」P（Rn）の調和多項式全体 Ha．rm4（R几） 4次斉次調和多項式全体 lx」 有限集合Xの元の個数 プ19 多項式！が多項式gを書1」り切る ∀α∈λ 集合λの任意の元αに対して ■4⇒3 λ⇔B 0（R帆） λならば3である λとBは同値である η次直交群（η次直交行列全体のなす群） 6 1、準備 1．1 余弦定理 3次元ユークリッド空間R3内の球面をその中心0を通る平面で切断してできる円を 大円という．球面上の2点λ，Bを通る大円の劣弧（2つの円弧の短い方）の長さをλ，Bの （球面）距離といい，λ8で表すことにする．球の半径がr，∠λ0B；θ≦πのとき，λB：rθ である．半径1の球面を単位球面という．以下，特に断らない限り球面は単位球面を意味す るものとする．球面上の3点λ，3，0でできる球面三角形λB0（以下△λB0と記す）に つレ、て ， λB＝θ1， λσ；θ2， Bσ＝・φ であるとする．また，点λにおける2つの大円の接線のなす角をψ一とする． λ θ2 ．。・・． @ θ1 0 q B 定理1・1（余弦定理）θ1，θ2，φを上に定めたものとする． このとき次の等式が成り立つ． COSφ三COSθ1COSθ2＋SinθユSinθ2COSψ 一一一→ 一一．÷ 一一一→ 一一一→ 【証明】 ベクトル0Bとベクトル00の内積0B．00を2通りに計算す 一一一→ 一一一→ る．0Bと00のなす角がφであることと，0B：00＝1であることに注 意すれば，次式が成り立つ． 一一一 ｨ → 08・00＝cosφ → 一一一÷ → → 次に，0B，00を，0λに平行な成分と，0λに垂直な成分とに分解して内積 を計算する． 7 1、準備 λ σ B 点B，0から直線0λに下した垂線の足をそれぞれ∬，H’とすると 一一一→ 一一一一→ 一一一一→ 一一一十 → 一一一一一≒ 一一一一→ 一一一一≒≒ 一一一→ 一一一■｝ 0β＝0〃十〃B， 0σ＝0〃’十π’0， 0〃一〃’0＝0〃’・〃B＝O 一一一→ → が成り立つ．ここでH3と〃0のなす角がψに一致することと 0H＝cosθ1，0H’＝cosθ2，HB＝sinθ1，H’σ＝sinθ2 であることに注意すれば 一一→ → 一一→ 一一一→ 一一→ 一一一→ cosφ；0B・00：0∬．0∬’十∬B．∬’0 ：COSθ1COSθ2＋SinθユSinθ2COSψ 一 が得られる． 1．2 球面座標 補題1．2Rn（肌≧2）の点”：（”1，”2，．．，”、）に対して，O≦θ1＜2π，O≦θ｛≦π（2≦ づ≦η＿1）が定まり，次が成り立つ．ただし，rは”の原点からの距離である． π1＝r Sinθn＿ユSinθn＿2・ ・・ rinθ3Sinθ2Sinθユ ”2＝r Sinθ帆＿ユSinθη＿2・ ・・ rinθ3Sinθ2COSθ1 ”3＝r Sinθ帆＿1Sinθη＿2・ ・・ rinθ3COSθ2 π4＝τSinθn＿1Sinθη＿2・ −COSθ3 工η＿1＝r Sinθn＿1COSθη＿2 ”η＝r COSθ帆＿1 1．準備 【証明】 ηについての帰納法で示す、η＝2のときは明らかである、次に， η〉3としてτ卜1のときは成立していると仮定する． ・ユ2＋”。2＋…十・帆2＝・2⇒一・≦・。≦・ となるので”η＝rcosθη一1をみたすO≦θη＿1≦πが一意に定まる．このとき ・、2＋・。2＋…十・九一。2＝（・・i・θ、一）2 であるから，点（π1ゾ．．，πn．1）∈Rれ一1の原点からの距離はrSinθ肌＿1である1従っ て，帰納法の仮定から ”ユ＝（γSinθη＿1）Sinθη＿2… Sihθ3Sinθ2Sinθ1 π2＝（r Sinθη＿1）Sinθn＿2… Sinθ3Sinθ2COSθ1 πη一1＝（γ・i・θト1）CO・θ。一。 をみたすO≦θ1＜2π，O≦θ｛≦π（2≦｛≦η＿2）が定まり，Tムのときも成り 立つことがわかる． ■ ○sinθκ：0のときはθ1＝．．．＝θた一1：0となるようにθ1，．．，θη一1を選べば，（z1ゾ．．，エ、） に対して（r，θユ，．。，θ、一1）が一意に定まる． ・（γ，θ1，．．，θト1）を（均，．．．．π刊）の球面座標（極座標）という． 特に，原点を中心とする単位球面3ト1土の点の球面座標は （θ1，。一，θれ一。），O≦θ1〈2π，0≦θ｛≦π（2≦｛≦上1） となる．82土の点戸＝（”，V，Z）の場合は，慣習的に 工＝sinθcOs g， μ＝sinθsinψ， z二。osθ （1．1） → と表して，（θ，ψ）を球面座標ということが多い．θは0Pとz軸のなす角である（0 → は原点）．Pからπμ平面に下した足をP’とすると，0P’と”軸のなす角がψで ある． 9 1．準備 1．3 1Legendre多項式 定義1．3非負整数んに対して，次式で定まる多項式片（亡）をLegendre多項式という． 2ん＿1 ん一1 片（1）：1，P1（1）：亡，れ（1）＝ 出一。（t）一 片一。（1）（ん≧2） ん ん Legendre多項式をいくつか計算すると次のようになる． 31 53 35ユ53 2 2 2 2 8 4 8 帥）＝一12一一，帥）＝一13一一t，則）＝一t4一一2＋一 実係数ん次多項式八（’）≠Oからなる多項式の族｛八（‘）｝た≧oが区間［α，わ］における直交多 項式系であるとは …の1き∫b肌（t）・f一・ が成り立つときにいう。Legendre多項式｛片（‘）｝κ〉oが区間卜1，1jにおける直交多項式系 をなすという次の定理を3章，§3，4で用いる． 定理1．4（［6，第6章，§711，［11，p．76，側201）Legendre多項式片（t）について次の 等式が成り立つ． 1 2 ∠ 凡（亡）み（む）批：δ㎜ 1 2η十1 ただし，δnmはKroneckerのデルタである． ．文献［11］のp．76に，Rodrigues’fomu1a片（之）＝六券（t2＿1）kと部分積分を用い た定理1．4の証明がある． その他，本論文では必要としないが，次の事実が知られている（証明暗）． ・Legendre多項式片（エ）は区間（一1，1）にん個の解を持つ． ・ん次モニック実係数多項式∫（”）の中でプ1∫（”）2桁を最小にするのがLegendre多 項式片（”）をモニック化したものである．ただ㌧最高次係数が1の多項式をモニッ ク多項式という． ・Legendre多項式汽はLegendreの微分方程式（1＿π2）μ”＿2〃十々（ん＿1）〃：Oの 解である． 2章 3次元Kissing Number kissing mmberん（η）は，π次元ユークリッド空間Rηにおいて，1つの球に接 することのできる同じ半径の球の最大個数である．この章では，3次元Kissing Numberん（3）が12であることを，Musinエ4］の方法で導く．ん（3）≧12はよく 知られた事実であるが，ん（3）＜13を示す部分が難しい．MusinはLegendre多 項式の非負係数一次結合として表される9次多項式∫（t）を巧妙に選び，単位球 面82土の有限集合X：・｛エ1，．．．，”、｝に対して， η 8（X）一Σ∫（…φ1ゴ），φザ刷 ∼＝1 と定め，Legendre多項式の加法定理を用いて次の不等式（定理3．！9，3章で証明） を示し，それより3（X）≧η2を導いた．この論文では，Legendre多項式の加法 定理ではなく，より一般なGegenbauer多項式の加法公式を用いて次の不等式 を導く． 定理3．19 X＝｛均，”2，＿一，”。｝を原点を中心とする単位球面82土の有限集合と し，φ｛ゴ＝砺を球面距離とする．このとき次の不等式が成り立つ、ただし，片は Legendre多項式である1 n Σ片（…φ1ゴ）≧O ｛，ゴ＝1 §2．1では，3（X）く13nを認めて，ん（3）＝12を導く、§2，2では，Xが，互いに 交わることなく52に接する単位球面の接点であるとき，3（X）＜13ηが成り 立つことを示す． 10 11 2．3次元Kissing Number 2．1 k（3）＝12の証明 多項式∫（亡）を次のように選ぶ． ∫（1）一些1・一里1・。型1・。些t・一壁t・一型1・。⊥1一⊥（・．！） 80 20 400 40 10 100 10 200 このとき 8 87 33 49 1 8 ∫＝片十一P1＋一P2＋一片十一乃十一片十一局 （2．2） 5 25 20 25 10 25 と表される（計算略）．すなわち 9 ∫一Σ・lpl た＝O と，Legendre多項式の非負係数一次結合として表される．co＝1であることを注意してお く．次に，82土の有限集合X＝｛”1，。、．，”、｝に対して 冊 3（X）一Σ∫（…φ1ゴ） 壱，ゴ＝1 と定義する、ここで，φむ：砺である． 定理2，132土の任意の有限集合Xに対して，8（X）≧η2が成り立つ、 【証明】 定理3．19を適用することにより，次のように導かれる． ・（・）一 ∼1）一夫（さ帆㎏φ1）） 一シ（宍伽伽1））・シ∼一が 原点0を中心とする単位球面32に，重なり 0｛ がないように接する単位球がη個あったとし て，その接点からできる有限集合を 吻 X＝｛”。，z。，…，”η｝ 0 巧 とおく．叫，巧で接している球の中心を，そ れぞれ0台，0ゴとする。 0ゴ ■ 12 2．3次元Kissing Number このとき0ρゴ≧2に注意すると π 砺；φ11≧百 （1≦ゼ≠ゴ≦γL） が成り立つ． 定理2・2X＝｛”1，z2，．・，”、｝を32土の有限集合で，任意の乞≠ゴに対してφ幻≧π／3 をみたすものとする．このとき，次の不等式が成り立つ． η 3（X）一Σ∫（…φ1ゴ）・13η 金，ゴ＝1 定理2，2の証明は次節で行うことにする．さて，X＝｛”1，z2，… ，π帆｝が，単位球面32に接 する単位球の接点からなる有限集合の場合，定理2，1，定理2．2が適用できるので η2≦8（X）＜13η⇒η＜13 が成り立つ1これよりk（3）＜13が導かれ，々（3）≧12であることから，次の定理を得る． 定理2．3た（3）＝12 2．2 S（X）＜13nの証明 この節ではX＝｛”1，”2，．．．，”η｝・を32土の有限集合で，任意の｛≠ゴに対して φ｛ゴ≧π／3をみたすものとする．このとき＿1≦cosφ｛ゴ≦1／2であることに注意されたい、 以下，定理2．2の主張である不等式 皿 3（X）一Σ∫（…φlj）・13η ｛，j＝1 をいくつかのステップに分けて導くことにする． まず，多項式∫（亡）の区間卜1，1／2］における値の変化について考察する。 ∫（t）の区間卜1，1／21におけるグラフは次のようになる、ただし∫（一to）＝Oとする。 13 2．3次元Kissing Number O．5 一1−f。 O また，区間卜0．65，0，121におけるグラフは次のようになる（グラフではπ：t）一 これらのグラフから，∫（‘）は区間［一1，1／21において，ただ一つの実根一‘oを持つことがわ かる．Maximaで計算すると次のようになる． 37 −f。馬一05907，∫（0）：一0005，ブ（05）＝ 報一00001807 204800 以上から次の結果を得る． （1） ∫（t）はト1，一folで単調減少であり，区間卜1，1／21においてただ一つの実根一士。 を持ち，（＿‘o，1／2］において∫（‘）＜0となる． さて れ W）一Σ∫（…φ1ゴ） ゴ＝1 14 2．3次元Kissing Number とおく．このとき n 5（xトΣ31（x） ｛＝1 となる．従って，3｛（X）＜13（づ＝1，．．，η）を示せば3（X）＜13ηが得られる． 次に J（ゼ）＝｛ゴl cosφ幻∈正一1，一士。）｝ とおく． ｛ ∫（cosφむ）＞O， ゴ∈J（乞） ∫（cosφむ）≦O， ゴφJ（乞） であるカ・ら 叩）一∫（1）・Σ∫（…φ1ゴ） ゴ∈J（4〕 とおくと 5｛（X）≦乃（X） （2．3） が成り立つ． これより次を得る． （2） 刀（X）＜13（乞。。1ゾ．．，η）を示せば8（X）＜13ηが得られる1 ゴ∈ノ（乞）となる点巧について考察する．θo＝arccos士。とおくと，θo島0．9388＿であり， 度数法で，ほぼ53．7940である．特に 7r θO＝a．rCCOS t0＜一 3 が成り立つ．さて，ノ（乞）の定め方から ゴ∈ノ（乞） ÷＝⇒ COSφ勿＜一tO く＝⇒ φむ＞π一θO が成り立つ．すなわち，θゴ＝π＿φ｛jとすると，θj＜θOが成り立つ。 2．3次元KissingNumber 15 軌 0 εo ここでeO＝＿軌を吻の対極点（中心に関して点対称な点）とすると （3） ゴ∈J（乞）であるすべての点巧はeoからの球面距離がθoより小さい範囲内に ある1 （2）より 刀（X）一∫（1）・Σプ（…φ1ゴ）く13（1−1，…，η） ゴ∈J（｛） を示せばよいのであるが， …φザ…（π一θj）：一…θj に注意すれば η（X）一∫（1）・Σ∫（一…θj）・13（1−！一・・，η） ゴ∈J（4〕 を示せばよいことになる．そのためには，32土の点eO，V1，、．．，μmで， 〈 π 〈 φ幻：挑吻≧一（｛≠ゴ）， θ｛＝eo挑くθo（1≦｛≦m） （2．4） 3 をみたしているものについて，常に ∫（1）十∫（一・o・θ、）十∫（一…θ・）十…十∫（一…θ帆）＜13 （2．5） が成り立つことを示せばよい． （4） 以下，式（2．4）をみたす点eo，μ1、・．．，ひm（m≧1）について考察する・ m；Oならば∫（1）＝10．11＜13より，式（2．5）が成り立つので，m≧1であるような点 εO，μ1，．．．，ひmについて示せばよい． 2．3次元Kissing Number （5） 式（2．4）をみたす点εo，μ1，＿，ツm（m≧1）についてm≦4が成り立つ． ’．’ j m≧5であると仮定して矛盾を導くことにする．∫2の中心0を原点と し，eo＝（0，0，1）となるようにπμ軸を定め，p．8の式（1．1）のように82に球 面座標を導入する．跳の球面座標が（θ4，ψ乞）であるとする．θ｛＝0と仮定する と，εO＝挑となるので，吻≠軌を選び，θo＜葦に注意すれば 7「 7「 百≦蛎＝砺くθ、 となり，矛盾が生じる．ゆえにθ壱＞0（｛：1，．．，m）が成り立っ1｛≠ゴとして， 三角形eo舳jに余弦定理（p．6）を適用すると， …φザ…θ1…θゴ十・i・θ1・i・θゴ…（物一9ゴ） となるが，O＜θ｛，θゴ＜θoであるから，sinθ｛，sinθゴ≠Oとなる。cosφむ≦まに注 意すると ト…θ1…θゴ …（ψ、一ψ。）≦ （26） Sinθ壱Sinθj が得られる．ここでO＜α，β≦θoに対して 芸一…α…β ρ（α，β）＝ SinαSinβ とおく．cosα，cosβは共に1／2より大きいから ∂Q（α，β） 2cosβ一。osα ∂Q（α，β） 2cosα一。osβ ＝ 。 〉O， ＝ 〉O ∂α 2sinαsinβ ∂β 2sinαsin2β が成り立つ．これより ρ（α，β）≦ρ（θO，β）≦ρ（θO，θO） となるので，θO：arCCoS元Oに注意すると ・・い・）・； 盾P1；毒θコ・烹θo−1＋・・・… i1≡；1）一・・・…，・・・…（ll11）÷・… ・・・… を得る． 従って，物一物は度数法に換算すると，ほぼ76．附で，72。より大 16 2．3次元Kissing Number 17 きくなる．一方，点μ1，．．．，蝪から，eoを通り，0eoに垂直な平面に下した足を z1ゾ1．，zmとすると，半直線eozゼ（｛＝1ゾ．．，m）は36びをm個の角に分割する． 上述のことから，それらの角の大きさが72。より大きくなるが，これはm≧5 であることに矛盾する． 一 ここで，いくつか記号を導入する、 ・”∈32に対して，Cap（”，θ）＝｛ひ∈821⑳≦θ｝と定める． ．式（2．4）をみたすような点εo，μ1，．．．，ツmのあらゆる選び方の中でのmの最大値をμ とする．（5）の結果から，μ≦4である． ・式（2・4）をみたす点eo，リ1，．．・，蝪（m≧1）に対してγ＝｛ひ1，…，μm｝とおき，∬（γ） を次式で定義する． H（γ）＝∫（1）十∫（一…θ1）十∫（一・o・θ。）十…十∫（一・・sθm） ．点μ1，．．．，帆が式（2．4）をみたすように動くときのH（γ）の上限をん㎜とおく．㌦は 点ツ1，．．．，ひmが 7「 φザ秘≧百（4≠ゴ），θF砺≦θ・（1≦乞≦m） をみたすように動くときのH（γ）の最大値である． ・んm、、をん1，．．一，んμの中の最大のものとする、 ・刀（X）≦んm、、であるから，んm、、〈13を示せば，（2）の主張より，8（X）＜13ηが導 かれる． ・以下，ん1，ん2，ん3，ん4を評価して，んm弧＜13であることを示すことにする． ．んmを与える点μ1，．．．，ツ肌が式（2．4）をみたさないとすると，θゴ＝θoとなる吻が存在 する一∫（一。osθj）＝Oであるから，砂1，＿，ひmから的を除いたm−1個の点γ’が 〃（γ’）；ん仰をみたす．従って，んm≦んm−1が成り立つので，ん伽一1＜13を示せば， んm＜13はそれより導かれることになる．これより，ん帆を与える点μ1ゾ、．，μmが式 （2．4）をみたす場合についてのみんm＜13を示せばよいことがわかる。 （6）ん1＜13 18 2．3次元Kissi㎎Number ．・ j eo，μ1が式（2．4）をみたすとする．γ二｛μ1｝より 〃（γ）＝∫（1）十∫（一…θ。） となるが，0≦θ1〈θoより，＿1≦＿cosθ1＜＿亡。となる．（1）の主張から，区間 エ＿！，to）で∫（t）は単調減少であるから H（γ）＝∫（1）十∫（一…θ、）≦∫（1）十∫（’1）＝12．88＜13 が成り立つ、よってんユ＜13が示された． 1 ・∫（一1）＝2．77の数値計算にはMaxima［！21を用いた． ・以下のm＝2，3，4の場合も，数値計算にはMaximaを用いている1 （7） 式（2，4）をみたす点eo，μ1、＿，Vm（m≧2）について，eo≠挑（｛＝1ゾ。。，m）である、 ．・ j eO：挑と仮定すると，ゴ≠壱に対して π 〈 ＾ 7r 百≦舳＝舳＜θ・＜言 となり，矛盾が生じる． 一 （8） 式（2，4）をみたす点配置eo，ひ1，．．．，μm（m≧2）が∬（γ）＝んmをみたすとき，どの 挑も，挑とεoを結ぶ大円に沿って，式（2．4）を保ったまま，eoに近づけることはでき ない。すなわち，眺をeoに近づけると，式（2．4）が成立しなくなる． ．・ j ある眺を，挑とeOを結ぶ大円に沿って，eOに近づける。ただし，他の 点吻≠晩は固定しておく。このとき，θ｛は減少するので，＿CoSθ｛は減少し， ∫（一。osθ｛）は増加する．新しい点配置が式（2．4）をみたせば，∬（γ）；ん㎜であ ることに矛盾が生じる．ゆえに，式（2．4）を保ったまま，眺をeoに近づけるこ とはできない． ■ （9） 式（2．4）をみたす点配置εo，ツ1ゾ・・，伽（m≧2）がH（γ）＝んmをみたすとする・こ のとき，任意の挑に対して，砺：書をみたす的≠炊が存在する、 19 2，3次元Kissing Number ．’ j ある挑が，すべての的≠挑に対して，⑭＞音をみたすと仮定するとヨ 仏を，眺と。oを結ぶ大円に沿って，式（2．4）を保ったまま，eoに近づけること ができることになり，（8）の主張に矛盾が生じる． ■ （10） 式（2．4）をみたす点配置eo，吻，吻が∬（γ）＝ん2をみたすとする． このとき， 〈 疵＝春であり，eOはμ1，吻を結ぶ大円の劣弧（舳2）の上にある・ 〈 j 疵：青であることは（9）の主張からわかる、次に，εO￠（V1地）と仮定す ．． る1このとき，式（2．4）から，eoはV1，吻を結ぶ大円の上にもないことがわかる。 〈 簡単のため，eoがz軸上にあるとして，eo＝（0，0，1）とする．（ひ1μ2）を含む平 面をnとして，32の直径dで，n上にあり，Z軸と直交するものを軸として， nをz軸との角度が小さくなるように回転する（下図はdに直交する平面によ る切断面）． て・一．． eO n 物 リ1 0 このとき，Vユ，V2のZ座標が増加するので，θユ，θ2は小さくなる．従って，∬（γ） は増加し，式（2．4）は保たれるので，H（γ）；ん2であったことに矛盾が生じる． ゆえにeOはμエ，吻を結ぶ大円の劣弧上にある． ■ （11）ん。＜13 ’．I j 式（2．4）をみたす点配置eo，μ1，物がH（γ）：ん2をみたすとする。（10）よ く り，⑰＝葦であり，eo∈（舳2）である。これより π θ、十θ。＝一 （θ、＝砺，θ。＝砺） 3 が成り立っ1従って ん2：〃（γ）＝∫（1）十∫（一。osθ1）十∫（一。osθ2）＝∫（1）十∫（＿cosθ1）十∫（一。os（π／3一θ1）） 20 213次元Kissing Number を得る．ここで F（θ）＝∫（一…θ）十∫（一…（π／3一θ）） とおく． π O≦θユ＜θo，0≦π／3一θ1＜θo＝李一一θ。＜θ。＜θo 3 よりF（θ）を妾一θo≦θ≦θOでグラフ表示すると次のようになる（グラフでは π＝θ）。 2，765 ！＼＼ ／ ・． … ／ ＼ 2，755 ！ 2．75 ＼ ＼ ／ 。．。4。 ！ ＼ ノ ＼ ！ ＼、∵ 。二二1 ∵ノ O．2 0．3 0．4 0．5 0．6 0」7 0．8 0．9 比 F（θ）〈2，765より ん。：∫（1）十F（θ。）＜12，875＜13 が得られる． ■ 残るはん3，ん4の評価である． ここで，球面幾何に関わる必要事項を整理しておく． ．球面32土の2点刎，ωを結ぶ最短経路は大円の劣弧（剛である（cf．［10，p．70，系］）． ・82の部分集合γは「u，U∈γならば（剛⊆γ」をみたすとき，凸であるという。 ・82の凸部分集合の共通部分は凸であるが，点ツ1，吻ゾ．．，μm∈32を含む32の凸部分集 合すべての共通部分を△（ツ1，…，ツm）と表すことにする・△（ツ1，。。・，ツm）は〃1，μ2，…，〃m 〈 を含む最小の凸部分集合である。また△（眈，μ2）：（舳2）となる。 21 2．3次元Kissing Number ．32の大円の片側と，その大円との和集合を半球面という．半球面は凸である． 〈 ．球面上の3点吻，吻，u3が同一大円上にないとき，（u1吻）を含む大円によってできる く 半球面でu3を含むもの，（仙1u3）を含む大円によってできる半球面で吻を含むもの， （吻u3）を含む大円によってできる半球面でu1を含むもの，これら3つの共通部分は， 〈 〈 〈 （仙1α2），（伽1仙3），（吻u3）で囲まれる球面三角形△（〃1，吻，㏄3）となる。 ．球面三角形△（吻，吻，吻）について，三角不等式「2辺の長さの和は他の1辺の長さよ り大きい」が成り立つ．証明は，3頂点を弦で結んでできる平面三角形における三角 不等式と，sinθ／θが区間（O，π／2）で単調減少であることから導かれる（詳細略）． （12） 式（2．4）をみたす点配置eo，μ1，．．．，μmについて，次が成り立つ。 （i）弼＜2θoが成り立つ、 （ii）相異なる3点挑，的，挑は同一大円上にない。従って，△（軌，的，挑）は球面三角形で ある． 〈 〈 j （i）（〃O）と（eOひゴ）をつなぐと，挑と吻を結ぶ一つの経路となる．その ．・ 長さは2θoより小さく，最短経路の長さ感以上であるから，砺＜2θoが得 られる． （ii）簡単のために，リ1，μ2，V3が同一大円上にないことを示す．μ1，V2，リ3がこの く 順で同一大円上にあったと仮定する。2θo＜誓であることと，（i）から，（舳1） は〃2を含まないので，下図のような点配置になる． 脆 く 。μ。） 〈 （螂。） μ2 眈 （舳。） これより ＾ 〈 ＾ クr 2π：V1μ2＋μ2μ3＋V3μ1＜6θo＜6x一＝2π 3 となり，矛盾が生じる．ゆえに，μ1，吻，V3は同一大円上にない． 一 （13） 式（2．4）をみたす点配置εo，μ1，μ2，μ3がH（γ）＝ん3をみたすとすると，eoは球 面三角形△（挑，〃2，ツ3）に含まれる． 22 2．3次元Kissing Number ．． j εOが球面三角形△（リュ，μ2，リ3）の外部にあると仮定する．適当に番号を付け く かえて，（μIμ2）を含む大円に関して，eoと〃3は反対側にあるとしてよい．（10） 〈 の証明と同様に，eoがz軸上にあるとして，εo：（O，O，1）とする．（舳2）を含 む平面をnとして，32の直径dで，n上にあり，Z軸と直交するものを選び，d を軸として，nとμ3をZ軸との角度が小さくなるように回転する．ツ1，μ2，μ3 がすべてCap（eo，θo）に含まれる（上半球にある）ことと，脆がnに関して，eo と反対側にあることに注意すれば，それらのZ座標は増加し，〃（γ）＝ん3であ ることに矛盾が生じる．ゆえにeOは球面三角形μ1脚3に含まれる、 ■ （14） 式（2．4）をみたす点配置eo，μ1，吻，脆がH（γ）＝ん3をみたすとすると，挑≠吻 に対して，砺：妾が成り立つすなわち，△（ツ1，μ2，ツ3）は球面正＝角形となる ．・ j （9）の主張より，△（μ1，ツ2，μ3）の少なくとも2辺の長さは妾である・今， △（リ1，リ2，リ3）が正三角形でないと仮定し， ＾ ＾ π ＾ π μ1μ2＝μ1ツ3＝一， μ2μ3〉一 3 3 であるとする．V2，ツ3はCap（μ1，π／3）の周上にある．Cap（μ1，π／3）の周を含む 平面に，ツ1，eOから下した垂線の足をそれぞれ〃，∬とする． π／3 μ2 P P ッはCap（ツ1，π／3）の周↓の点，∠μ〃P二2θ，〃P＝rとする．△〃〃Pに余弦 定理を適用すると （物）2＝（HP）2＋（μp）2−2（∬P）（ひp）…（π／2一θ） ＝（HP）2＋（2・・inθ）2−4・・in2θ・〃 ＝（HP）2＋4…i・2θ・（・一〃） となる．従って吻一は0≦θ≦π／2の範囲で単調増加である．これより，V をPに近づけると，吻が減少し，弦μeOの長さも減少する．ゆえにμ2，また 23 2．3次元Kissing Number はリ3をCap（μ1，π／3）の周に沿ってeoに近づけるとθ2，またはθ3が減少し， π（γ）＝ん3が増加することになり，矛盾が生じる、以上で，△（μ1，μ2，ツ3）が球面 正三角形であることが示された． ■ （15） 式（2．4）をみたす点配置εo，μ1，ツ2，μ3，μ4について，△（吻，μ2，ツ3，μ4）はμ1，μ2，脆，地 を頂点とする球面四角形となる． ．・ j （12），（ii）より，任意の相異なる3点挑，吻，肌に対して，△（挑，吻，肌）は球 面三角形である、残る点を物とすると，眺φ△（挑，吻，ωが成り立つことを 示そう．記号を簡単にするため，μ4￠△（μ1，吻，ツ3）を示すことにする．そのた めに，V4∈△（V1，μ2，V3）と仮定して矛盾を導くことにする1（12），（ii）より，ツ4は △（眈，ひ2，ひ3）の内部にある．（εoひ4）に直交し，μ4を通る大円からできる2つの 半球をH1，π2とする．eo∈H1とする．ひ4は△（仇，吻，μ3）の内部にあるから， 少なくとも1つの挑がH2に存在する．μ1∈H1，V3∈H2とする． 〃3 H2 ∬ユ μ4 eo 眈 μ2 このときeO，ひ4，晩は同一大円上にないので，球面三角形△（εO，μ4，リ3）ができる． これに余弦定理を適用すると COS（砺）：COS（廊）COS（ε砿）十Sin（感）Sin（ε続）COS（∠eOμ4μ3） となるが，∠eoV4μ3はπ／2より大きいから， 7r …（砿）＜…（感）＝＞θ。＞砺〉蔽≧一 3 となり，矛層が生じる．ゆえに△（軌，μ2，μ3，μ4）は三角形でない．θ｛＝砺を 最大にする点をリ1とすると，μ1，晩，μ3，μ4はCap（eo，θ1）に含まれる．適当に 吻，晩，μ4の番号をつけ変えて，μ1，μ2で定まる大円とCap（eo，θ1）の共通部分， 的，μ3で定まる大円とCap（eo，θ1）の共通部分，Gap（eo，θ1）の周，とに囲まれた 部分にV4が存在するようにできる．これより，△（ひ1，μ2，V3，μ4）がV1，μ2，ひ3，ひ4 を頂点とする球面四角形（4つの劣弧で囲まれた図形）であることがわかる．1 24 2．3次元Kissing Number （16） 式（2．4）をみたす点配置eo，吻，吻，V3，μ4がH（γ）＝ん4をみたすとする．このと く き挑と他の的を結んだ3つの（舳j）の中の，少なくとも2つは長さがπ／3である． 〈 j 背理法で示す。一般性を失うことなく，仇と他の坊を結んだ3つの（舳3） ．‘ の中の，疵，疵がπ／3より大きいとする．疵＞π／3ならば，式（2．4）を保 ちながら，μ1をeOに近づけることができるので，〃（γ）＝ん4であることに矛 盾が生じる．従って，感＝π／3である． eo，ひ1，μ2が同一大円上にないときは，μ1をCap（μ2，π／3）の周に沿って，εoに 近づけることができる。従って，H（γ）：ん4に矛盾が生じる、 εO，ひユ，μ2が同一大円上にあるときは，△（μ1，μ2，ひ3，ひ4）が球面四角形であること に注意すると，（14）の証明と同様に，脆，リ4の適当な方吻を，Cap（吻，砺）の 周に沿って，ひ1に近づくように移動させることができる．従って，H（γ）が増 加し，H（γ）＝ん4に矛盾が生じる． ■ 以下，ん4＜13を示すために，点配置εo，μ1，吻，μ3，μ4は次の条件をみたすとする、 ｛ 式（24）をみたし，H（γ）；ん4である 球面四角形△（リ1，リ2，リ3，リ4）の頂点が，順に，ツ1、腕，ひ3，ひ4であり， 〈 〈 その対角線が（舳3），（舳4）である （17） 条件（2．7）をみたす点配置eo，μ1，μ2，μ3，μ4について，次が成り立つ． （i）⑰，疵のいずれかはπ／3より大きい． （ii）△（μ1，吻，μ3，μ4）の4辺の長さはすべてπ／3である． 〈 〈 （iii）（川ノ3）と（！舳4）は互いに他を2等分し，直交する． ．・ j （i） 疵：疵＝π／3であると仮定する、対角線の交点をωとする． ⑭：π／3より，⑰か⑩のいずれかはπ／6以下である．仮に，⑰がπ／6 以下であるとする1同様に，⑫か⑳のいずれかはπ／6以下であるので， ⑰がπ／6以下であるとする． （2．7） 25 2．3次元KissingNumber μ3 V1 このとき，球面三角形△（μ1，ω，μ4）において 7r ＾ ＾ ＾ π 一≦ひ1μ4＜μ1ω十μ4ω≦一 3 3 となり矛盾が生じる・ゆえに，感，感のいずれかはπ／3より大きい． （ii） 上の（i）より，対角線の少なくとも1本はπ／3より長い．今，感＞π／3 であるとする．このとき，（16）の主張から， 疵＝疵二π／3 が成り立つ．ツ3についても同様に考えて， 感＝感＝π／3 が得られる、ゆえに△（μ1，晩，μ3，μ4）の4辺の長さはすべてπ／3である． （iii） R3において，2点V2，ツ4は〃1，〃3から等距離にあるから，中心0と共 に，線分舳3の垂直2等分面上にある．従って，線分舳3と平面0㈱4は直交 する．対角線の交点ωは平面0脚4土にあるので，弦の長さの等式μユω：岬3 が成り立ち，⑫＝⑫が得られる．同様に，⑰＝⑳も得られるので，対角 線は互いに他を2等分する．また，ωにおける（舳3）の接線は，線分舳3と平 く く 竹となり，1〃における（舳4）の接線が線分卿4と平行となるので，（舳3）と く （ひ2V4）は交点ωで直交する． ■ （18） 条件（2．7）をみたす点配置eo，μ1，μ2，μ3，μ4において，d1：疵，d2二愈とする と，cos（d1／2）cos（d2／2）＝1／2が成り立つ． ．・ j 球面三角形舳2ωに余弦定理を適用すると 。osπ／3＝cos（∂1／2）cos（d2／2）十sin（d1／2）sin（d2／2）cosπ／2＝cos（∂1／2）cos（d2／2） 26 2．3次元KissingNumber となることから導かれる． 9 次の（19）を示すために，関数ρを導入する． ／（・）一…一・・（、c。、1、／2））（・…芸） （218） 式（2．8）は次式と同値である． 1 …（ρ（・）／2）…（・／2）＝一 （2．9） 2 ρ（5）の定義と（18）の結果に注意すれば，ρ（8）は次のような値をとる（計算略）． ρ（d1）＝d2， ρ（d2）＝d1， ρ（7r／2）：7r／2， ρ（ρ（8））＝5 （19） 条件（2．7）をみたす点配置eo，〃1，〃2，〃3，〃4において，d1：1疵，∂2＝1励，d！≦∂2 とすると，不等式ρ（2θo）≦d1≦π／2≦d2≦2θoが成り立つ． ．’ j 式（2，9）より， 1 …（ρ（2θ。）／2）…θ。＝…（d1／2）…（d。／2）＝一 2 が成り立っl d1＝‘i2ならば，d2／2＜θo＜π／3に注意すれば 1 7r …2（∂1／2）＝…2（d。／2）二一⇒d1：d。：一 2 2 となる．d1＜∂2のときは 1 π …（d1／2）＞一＞・・s（d。／2）・⇒∂。＜一＜d。 凶 2 となる．同様にして ρ（2θ。）≦｛≦π／2≦d。≦2θ。 が得られる． （20）ん。＜13 ・． j条件（2・7）をみたす点配置e・，ひ1＝ひ・舳において，∂・＝感・，d・：疵・， d1≦d2とする．このとき ん4：〃（γ）：∫（1）十∫（一。osθ1）十∫（一。osθ2）十∫（一。osθ3）十∫（一。osθ4） ■ 27 2．3次元KissingNumber であるが，ψ1＝θ1＋θ3，ψ2＝θ2＋θ4とおくと ∫（一COSθ1）十∫（一COSθ3）＝＝∫（一COSθ1）十∫（一COS（ψ1一θ1）） ∫（一COSθ2）十∫（一COSθ4）＝∫（一COSθ2）十∫（一COS（ψ2一θ2）） と表される．ここで F1（θ，ψ）＝∫（一COSθ）十∫（一COS（ψ一θ）） とおくと ん4＝H（γ）＝∫（1）十Fユ（θ1，ψ1）十F1（θ2，ψ2） と表される．F1（θ1，ψ1），F1（θ2，ψ2）を評価したいのであるが，F1（θ1，ψ1）は ψ1／2≦θ1≦θo の範囲で評価すればよい。同様に，F1（θ2，ψ2）は ψ。／2≦θ。≦θ。 の範囲で評価すればよい．またψ1，ψ2については（19）より ρ（2θo）≦d1≦ψユ：θ1＋θ3＜2θo， ρ（2θo）≦d1≦d2≦ψ2＝θ2＋θ4＜2θo をみたす1ここで ハ（ψ）一 揩ﾓ／可（1，ψ）／ とおく。F1（θ，ψ）はθを固定すると，ψについて単調減少であるから，F1（ψ） もψについて単調減少である．従って ∫（一。・sθ。）十∫（一…θ。）≦F。（ψ。）≦F。（d1）≦F。（ρ（2θ。）） ∫（一COSθ2）十∫（一COSθ4）≦F1（ψ2）≦F1（d2）＝F1（ρ（d1）） が得られる、 （イ）ρ（2θo）≦d1＜77π／180のときは，ρ（d1）＞ρ（77π／180）に注意すれば ん。≦∫（1）十F1（ρ（2θ。））十F1（ρ（77π／180）） 28 2．3次元Kissing Number F1（θ，ρ（2θo））のグラフは次のようになる（グラフでは”二θ）。 O．6 0．6ヨ O」ア O．〒5 0．日 O．85 0」O これより， F1（ρ（2θo））島2．692544826938538 を得る．また，F1（θ，ρ（77π／180））のグラフは次のようになる（グラフでは”＝θ）． O．115 0．11 0．105 0．1 0．095 0，09 0．o肪 。．oヨ ∵ ○嚇 `㌻「」■一」続；一■ o．目 ＿．、」 口．日1 0．ヨ2 これより， F1（ρ（77π／180））剛ユ1454166218519 を得る．以上から ん。＜∫（1）十F。（ρ（2θ。））十F1（ρ（77π／180）） ＜10．11＋2．692544826938538＋O．11454166218519 島12．9ユ7086489ユ2373〈ユ3 が得られる． （口）77π／180≦d1≦π／2のときは，（イ）と同様にして H（γ）≦∫（1）十F1（77π／180）十Fユ（π／2） 2．3次元Kissing Number となる．また，F1（θ，77π／180）のグラフは次のようになる（グラフでは”＝θ）． 呈．1 −r一一 一一一r一一 一τ一一 2 1．9 1．8 1．7 1」6 1」5 1．4 1．3 1．2 1．1 0−7 0，75 0．8 0．ヨ5 0．日 これより， F。（77π／180）馬2．037407815616842 を得る．また，F1（θ，π／2）のグラフは次のようになる（グラフでは”＝θ）． 0．日 o」プヨ o．7 0．閲 o．6 0．彗5 0．5 0．価 o．4 0，35 0．8 0．目2 0．凹 o．朋 o．日日 o．9 0．盟 これより， F。（π／2）霜O．77078226620763 を得る．以上から， ん。＜∫（1）十F、（77π／180）十F。（π／2） ＜10．11＋2．037407815616842＋O．77078226620763 馬12．91819008182447＜13 が得られる・以上でん4〈13が干された・ ■ 注意ρ（2θo）≦dユ≦π／2≦d2から単純に ん。：〃（γ）＜∫（1）十F、（ρ（2θ。））十F1（π／2ト13．5733 29 30 2．3次元Kissing Number と評価しても望む結果は得られない、 最後にん3を評価する． （21）ん。＜13 ．・ j 点配置eo，V1，吻，μ3は式（2．4）をみたし，∬（γ）＝ん3であるとする・（14）， （13）より，△（眈，吻，リ3）は球面正三角形であり，eoは△（μ1，吻、μ3）に含まれる。 μ1，吻，脆から等距離にある点は，垂直2等分面として得られる3つの平面が交 わる直線で，中心0を通る．この直線と球面82との交点で△（眈，吻，μ3）に含 まれる方を，球面正三角形△（μ1，μ2，μ3）の中心といい，以下，ツ、と表す．μ、は 3つの内角の2等分線上にある．月。＝感とおく．eoが△（V1，μ2，μ3）に含ま れるので，月OくθOとなることに留意されたい． ひ3 刎 o π／3 π／3 θ3 挑 θレ・。 θ；’一・ μ1 μ2 〈 〈 （ひ1ひ、）と（卿、）のなす角が2π／3であることに注意して，球面三角形舳、ひ3に 余弦定理を適用すると，cos月。〉Oより， …π／・一・…η…i・・η・・…π／・⇒・・…片・一・一⇒・・一・・一・・点 が得られる．さて， H（γ）＝∫（1）十∫（一。osθ1）十∫（一。osθ2）十∫（一。osθ3） はCoSθ1，CoSθ2，CoSθ3の対称式であり，△（μ1，V2，V3）が球面正三角形であるこ とから， θ1≦θ2≦θ3＜θO 31 2．3次元Kissing Number と仮定しても一般性を失わない．吻，吻，晩からの球面距離がすべてRO以下の 点はμ。のみであるから，月O≦θ3となるので 月O≦θ3＜θO （2．10） が成り立つ．ここで （感と感のなす角） 7：∠μ1㈱。 とおく、球面三角形舳3〃、に余弦定理を適用すると， …月。一…π／・・・・・…i・π／・・i・月・…一…イ となるので， 7：Ro が成り立つ．これより，球面三角形削3eOと球面三角形μ2μ3eOとに余弦定理を 適用すると， COSθ1 1：：：ll：：1：1：1：：続：：ll：：1：㍑／ （2．11） COSθ2 が得られる． θ2≦θ3に注意すると，式（2．11）から， 篶 1 1 −Sinθ3COS（RO＋u）＝COSθ2一一COSθ3≧一COSθ3 2 2 2 となるので， COtθ3 ・0・（R。十u）≧ 凶 が成り立ち， 伽…一・・ ic㍗3）一・・ が得られる．以下 ic等3）一・・ ・・一・・一・・ とおく．このとき，次が成り立つ． 0≦u≦吻 u：uOのときはθ2＝θ3が成り立つ． u＝0のときはθ1＝θ2が成り立つ．従っ 32 2．3次元Kissing Number て，O＜u＜吻のときはθ1＜θ2〈θ3が成り立つ．さて H（眈，μ。）：∫（1）十∫（一…θユ）十∫（一…θ。） とおくと ∬（γ）＝H（μ1，μ2）十∫（一COSθ3） と表される、γとしてH（γ）＝ん3となる点配置eO，μ1，吻，μ3を選んだのであ るが，以下，θ1，θ2，θ3を変数と考えて，どこで〃（γ）が最大となるか，そのとき の値は13を超えないのか，を考察することにする． θ3をθ3＝ψで固定する．このとき，式（2．11）より，H（μ1，μ2）は5＝co舳の 連続関数であるから，区間［co舳。，1］で最大値乃（ψ）をとる．式（2．10）より，θ3 は区間風，θOlに含まれるが，〃（γ）を評価するために区間固，θO1を ／l1，／・，ψ・，1・一ψ・コ1・／− Pη・苓嵜等等1・／ で公害一」する．uを固定してθ3を増加させると，前述の球面正三角形△（仇，μ2，μ3） の図からわかるように，θ1，θ2は減少し， ∬（ひ1，ひ・）＝∫（1）十∫（一…θ。）十∫（一…θ。） は∫（t）の性質から，増加する．これより， ∬（吻、ひ2）≦凡（ψ4＋ユ） （ψ∈［ψ｛，ψ毎十11） が成り立つ。」方，∫（＿CoSθ3）はθ3の単調減少関数である．ゆえに 〃（γ）＝H（Vユ，μ2）十∫（一COSθ3）≦易（ψ｛十1）十∫（一COSψ｛） が得られる．これを5つの区間で計算する． 区間風，38π／180］の場合は，H（μ1，μ2）のグラフを，θ3＝38π／！80として，変 数uの範囲［O，uolで描画すると次のようになる（グラフでは”＝u）． 2．3次元Kissing Number 12．072 0 0」02 0．凹 O．鵬 O03 0．1 口．1！ グラフより，∬（眈，μ2）はu＝uoで最大値（島12．0852818301）をとるので， H（γ）≦易（38πノ180）十∫（一。os Ro）馬12−94252829397461 が得られる．その他の区間も，H（ψ1，吻）の最大値を与えるuが異なることを除 けば，同様に計算することができて，それぞれ 12．942528， 12．964798， 12．950834， 12．960647， 12．951894 の値が得られるので，ん3〈13が示された． ■ 注意区間を分割せずに ∬（γ）〈易（θ。）十∫（一…月。）馬13．72936625009385 と評価しても望む結果は得られない． 以上で8（X）＜13ηが証明された、 33 3章 Gegenbauer多項式の加法公式 3章では，調和多項式の基本事項，Gaussの公式などをを説明した後，Gegen− bauer多項式の加法公式を証明する．また，2章において，た（3）＝12の証明で 用いだしegendre多項式に関する不等式（定理3．19）を証明する、 この章では，多項式はR係数であるとし，R上のη変数多項式環をP（R帆）と表 す。特に断らない限り，P（Rη）の変数は”1，．．．，”、である。通常はR［”1ゾ．一，”、1 などと表されるが，この論文では多項式をRn上の多項式関数と見なす場合も あり，記号ρ（Rη）を用いる．なお，2章で”1ゾ．．，”。は82土の点を表していた が，3章では変数を表すことに注意されたい． 3．1 斉次多項式と調和多項式 まず用言吾と基本事項について説明する． ．P（Rn）の4（≧0）次斉次多項式全体のなす部分ベクトル空間をHo叫（R帆）と表すご とにする． ㎞ψ）一 ^11眼） 伽，…刈 諛e乏軌パ…刈 このとき次の直和分解が成り立つ、 P（Rη）一㊥H・m・（Rn） 4≧O これより，∫∈P（R几）は ∫一Σ力（カ∈H・m・（Rn）） ゼ≧O と分解できるが，ルを∫の斉次成分という． 34 35 3．Gegenbauer多項式の力口法公式 ．4次単項式”宇’＿坤は（n†1）個あることから，次式が成り立っ1ただしdimはR 上のベクトル空間の次元を表す1 ・i・…側一 i∵1） （3．1） ．微分作用素，ラプラシアン△を ・一 i∂ξ）2・十（÷）2 と定める．△はP（R冊）からP（Rn）への線形写像である． ．△∫＝Oをみたす多項式∫を調和多項式という．調和多項式全体をHarm（Rη）と表 す・Harm（Rn）は線形写像△の核であるからP（Rη）の部分空間をなす、 ・4次の斉次調和多項式全体をHar叫（Rη）と表す． Har叫（R帆）＝Harm（Rη）∩Hom乏（R几） ●Harmo（Rn）＝Homo（腿n），Harm1（Rη）：Hom1（R几）である． ．△は4次斉次多項式を4＿2次斉次多項式に写すので，調和多項式の斉次成分も調和 多項式である．従って，次の直和分解が成り立つ． H・・m（R几）一㊥H・・m・（Rη） 4≧O ・u・・（u1，。。、，u、），り：（〃1ゾ。、，り几）に対して内積／u，ω／を n ／u，・／＝Σ舳 ｛＝1 と定める．ψ，Uゴは多項式でもよい。 ・r2＝ぺ十…十靖でr2を定義する、r2は変数”1，、．、，”、の多項式であるが，η≧2 のとき，rは多項式でない．変数を成分とするベクトルを”＝（”1、．．．，”几）とすると， 〈π，Z〉＝r2となる． ・ω＝（”1，＿，”几）とおき，∫（エ1，＿，”帆）∈P（R几）を，簡単のために∫（κ）と表す、u＝ （u1，＿，uη）∈R几のときは，∫（u）：∫（u1，．．。，uη）である． 36 3．Gegenbauer多項式の加法公式 ．∫∈P（Rη）に対して，∫のグラディエント▽∫を，多項式を成分とするη項ヘクト ルとして，次のように定める、 ・∫一 i若r…去） 命題3・1次が成り立っ・ただし，∬：（エ1，…，”仰），”1ツー，”。は変数である・ （1）△（∫9）＝9・△∫十∫・△9＋2／▽∫，▽9／ （∫，9∈P（Rn）） （2） 〈▽∫，π〉＝〃 （．戸∈Homゼ（R帆）） （3）▽（・2道）＝24・2（乏■1㌦ （セ≧1） （4）△（・2石）＝（4ψ一1）十2石η）・2（H〕 （4≧1） 【証明】 （1） 次の式変形から導かれる． ・（1・）一 瘁j一斗（1島・・島）一喜（l1幕1・箒・・出 ＝9・△∫十∫・△9＋2／▽∫，▽9／ （2） ∫は4次単項式の一次結合であるから，∫が4次単項式の場合に成り立 つことを示せばよい． ∫（”1、．1．，工n）＝沖…”会几， 人1＋… 十λn＝石 とすると， ∂∫＿λ、”全・一・”会・ ∂z1 、”会九二λ1工， ”1 且一人、、1・”1・一1一 プ ∂Z2 ・ψ＝λr， ”2 島一町πタ…ぺ一ぺ となるので ／巾／一Ση島一（λ1・… ｛＝1 十λη）∫＝乏∫ 37 3．Gegenbauer多項式の加法公式 が成り立つ． （3） ▽（r2乏）のゼ成分が ∂ 一（〆十…十・貫）㌧伽千十…十朴■1（2π4）一24・2（4−1）軌 ∂軌 であることから，求める等式を得る． （4） 4に関する帰納法で証明する．4＝1のときは ・げ2）一‡∂；隻：）一ξ・一・η となり，成立する。次に，4：た＿1のときに成り立つと仮定する（ん≧2）．4＝た のとき，（1），（2），（3）より， △（・2た）一△（・2（お一1）・2） 一・2・△（・2（為一’））十・2（お一1） ・△（・2）十2／▽（・2（た一’〕），▽（・2）／ ＝・2・△（・2（た一’））十・2（島一1〕 ・△（・2）十2／2（た一1）・2（k−2）・，2・／ 一・2・△（・2（た■1））十・2（トユ） ・△（ヅ2）十8（ん一1）・2（ト’〕 帰納法の仮定を適用すると 一（・（パ1）（／一・）・・ψ一1）・・η・・（／−1））・・（一1） 一（・／（／−！）・・小・（k−1〕 となり，4＝んのときも成り立つので，（4）が示された． 定理3．24次斉次多項式のなす空間Hom4（Rη）は次のように直和分解される． Homぜ（Rη）＝Harm老（Rη）①r2Homゼ＿2（Rη） ただし，Hom−1（Rn）＝Hom．2（R帆）＝｛0｝と定める． 【証明】 4＝0，1のときは明らかである．以下4≧2と仮定する．まず Ha工m正（R帆）∩r2Homゼ＿2（Rn）：｛O｝ ■ 38 3．Gegenbauer多項式の加法公式 であることを示そう。そのために，Harm乏（Rη）∩r2Hom仁2（R几）の中に多項式 ∫≠oが存在したと仮定して矛盾を導く．さて，r2＝”12＋．、．十π。2が2次で あり，∫が4次であるから， ・2ひ1∫，・2（ひ十1）十∫ をみたす整数レは！以上，ξ以下である．これより ∫＝・2レg，・2＋9 となる多項式gが存在する．次数を考えると，g∈Hom4−2”（R仰）である．∫∈ Harm乏（R几）であることと，命題3．1より， O＝△∫＝△（・2レg）＝・2レ・△9＋9・△（・2レ）十2／▽（・2リ），▽9／ i・リ（レー1）・・一）・・1−1〕・…一ψ一・）／・，・・／ 一・”・… 一・ル…十 i・リ（レー！）・・一）・ψ一1）…リ（・一・リ）・ψ一’）・ 一・ル・・…レ i・（リー1）・η十・（・一・レ））・・1・・）・ が得られるが，リ≧！であるから，r2−gとなり仮定に反する．以上で， Har叫（R帆）∩r2Hom乏＿2（Rη）＝｛O｝ が示された、次に，Hom4（Rn）⊇Harm乏（Rn）①r2Ho叫＿2（R几）であることから， dimHom4（Rn）≧dimHarm乏（Rn）十dimHom4＿2（Rη） が得られる．ここで，線形写像△をHo叫（Rn）に制限して考えると，その核は Har叫（Rη）であり，像はHom乏一2（Rη）の部分空間となる1ゆえに ・i・…側一・i…一1（㎜）・・i・・（・…一・（膿）） ≦d1mHarm乏（Rn）十d1mHom4＿2（R几） 一・i・ i・・一側㊥・・叫一・（肥）） となるので， Homセ（Rn）＝Harmセ（Rn）θr2Hom4＿2（Rπ） 39 3．Gegenbauer多項式の加法公式 ■ が示された． 定理3．3次が成り立つ．ただし，［1はガウス記号である． （1）・i・邸）一 ^1111111㈲∵1：き （・）・…（・几）一・…1（・帆）冊2…叫一・（・帆）①…㊦（・2）I姜］・…。．。【姜］（・n） 【証明】 （1） 式（3．1）より， ・i・…炸（∵1） であり， ・i−2…1川・（膿）一・i・…ゼー・（・・）一（㌃1；3） である．一方，定理3．2より， Hom乏（Rm）＝Ha．rm乏（Rn）①r2Homゼ＿2（Rn） であるカ・ら， dim Harm乏（Rη）：dimHom乏（Rη）＿dimr2Homゼ＿2（Rn） 一／：llll∴∵1：き が得られる． （2） Hom−1（Rn）＝Hom−2（Rn）＝｛O｝に注意して，定理3−2を順次適用すれぱ よし・． Hom4（R几）：Harm6（R刊）㊤r2Hom乏．2（Rれ） ：Harm4（R刊）①r2Harm虐＿2（Rη）（D（γ2）2Homゼ＿2．2（Rn） ＝Harm乏（R帆）①r2Ham｛＿2（Rn）①（r2）2Harmゼ＿2．2（Rn）①（r2）3Homセ＿2．3（Rη） 一…叫（・η）θ・2…m仁・（・n）①……θ（・2）【姜］…m追．。一ξ］（・れ） ■ 3．Gegenbauer多項式の加法公式 40 3．2 球面上の多項式 η次元ユークリッド空間R肌の単位球面 3卜1：｛u∈Rn l〈u，u〉＝1｝ の上の実数値関数gは，ある∫∈P（Rn）が存在して， ρ（ξ）＝∫（ξ） （∀ξ∈3n■1） をみたすとき，5n−1土の多項式（関数）であるという、3η一1土の多項式全体の作るベクト ル空間をP（8n−1）と表す．∫∈P（Rn）はRn上の多項式（関数）と見なすことができるが， その定義域を8n−1に制限することにより8九一1土の多項式が得られる．この対応をρと おく． ρ：P（R刊）∋∫Hρ（∫）＝∫1。・一・∈P（3η一1） 明らかに，ρは環準同型，かつ全射である． ρ（P（R帆））＝P（8n一工） 補題3．4ρ（Ham（R冊））＝P（3η一1） 【証明】 任意にψ∈P（8冊一1）を選び，ψ：ρ（∫），∫∈P（Rη）であるとする。 ∫を ∫一Σル∫1∈H・叫（Rれ） 4 と斉次成分の和に分解する．定理3．3，（2）より， ∫Fい・2∼．・十…十・2｛ん1．・1＋…（∼凹・1∈H・・叫・1（Rn）） と表される．3η一1土ではρ（r2）＝1となることに注意すると， ρ（∫乏）＝ρ（んゼ）十ρ（ん仁・）十…十ρ（ん・一・1）十… ＝ρ（∼十伽＿2＋… 十わ仁2｛十… ） が成り立つ．ここで 切；伽十伽＿2＋…十伽＿2｛十… 41 3．Gegenbauer多項式の加法公式 とおくと ρ（〃；ρ（ん董）， ん麦∈Harm（R几） であり， ！−！（／）一 閨^（カ）一手／（ll）一！（手11）1／（・…（・）） が得られるので， ρ（Harm（R帆））：P（3n■1） ■ が示された． ここで改めて， q（Z）＝r2＝〆十… 十垢 とおき，g−1で生成されるP（Rn）のイデアルを∫とする． ∫：〈q−1〉：（q−1）P（Rη） 命題3．5∫は環準同型ρ：P（Rn）→P（3卜1）の核である． 【証明】 ρ（q＿1）は3η■1土で恒等的にOであるから ∫⊆Kerρ が成り立つ．逆にKerρ⊆∫であることを示そう、そのために，任意の∫∈ Kerρ，∫≠0について（q＿1），∫が成り立つことを示す、∫≠Oであるが， ρ（∫）＝Oであるから，∫は定数でない．これより，∫の⑦。に関する次数がOで ないと仮定して一般性を失わない．ザ1は”ηについて2次多項式で，べの 係数が1であるから，∫をグユで割った商gと余りんユzη十ん2が定まる．す なわち， ∫＝（ザ1）9＋h。π。十ん。， と表される． g∈町1，。。一，”。1、ん1，ん。∈帥1，。。．，・。一11 ∫，g−1∈Kerρであるから，球面8肌■1土の任意の点（ξエ，．．．，ξ。） に対し七， んユ（ξユ，．。．，ξ。一ユ）ξ、十ん。（ξユ，＿，ξ。一。）：O 42 3．Gegenbauer多項式の加法公式 が成り立つ．これより，η一1次元単位球体 Bη一1：｛（・ユ，．．．，・利一）14＋…十・貫一1≦1｝ 内の任意の点（ξ1，… ，ξ。一ユ）に対して， ん1（ξユ，．．、，ξ帆一。）1一（ξ子十…十ξ貴一。）十ん。（ξ1，＿，ξ。一。）：O となることから， ん1（ξユ，＿，ξ、．1）2（1山（ξ1＋…十ξ貫．1））一ん。（ξ・，＿，ξれ一1）2；O の成り立つことがわかる．従って，多項式としての等式 ん・（・・、＿，・帆一・）2（1一（朴…十ぺ．。））一ん・（・・ゾー一、1・、一・）2 が成り立つ、仮にん2≠Oとすると，R［均，。。一，”冊一1］は素元分解整域であるから （cf．［8，定理26，131），1一（4＋…十端一1）は，ある一次式の平方となり、べの 係数が＿ユであることに矛盾する．よって，ん2＝。0，従って，ん1＝0となるので， ∫；（q−！）9 となり，g＿1．∫が示された、 一 補題3．6ρをHarm（Rn）に制限して得られる写像ρ：Ham（Rη）→P（3冊．1）は線形 同型である、 【証明】 ρ：P（R几）→P（S帆■1）は環準同型であるから，線形写像でもある． 従って，部分空間Harm（Rn）への制限 ρ：Harm（Rη）→P（8n■1） も線形写像であり，その核は命題3．5より， Harm（Rη）∩∫＝Harm（Rれ）∩〈q−1〉 である．Harm（R帆）∩∫＝0を示したいのであるが，g∈Harm（R几）∩∫となる g≠0が存在すると仮定して矛盾を導くことにする．g∈∫より，g：（σ＿1）∫ となる多項式∫が存在する．∫の次数をんとする．明らかに仁1≠Ham（Rη） 3，Gegenbauer多項式の加法公式 43 であるから，9∈Ham（Rn）であるためには，ん≧1でなければならない．一方 0＝△9：△（∫ザ∫）＝△（∫q）一△∫ より △∫＝△（∫q） が成り立つ．命題3・1，（1）より， △（∫q）＝∫・△q＋q・△∫十2＜▽∫，▽q〉；2η∫十q・△∫十2＜▽∫，2・／ であるカ・ら △∫＝2τ1∫十q・△∫十4＜▽∫，・／ （3・2） を得る．ここで た ∫一Σル∫1∈H・叫（R帆） 乏＝0 と分解し，式（3．2）の両辺に代入し，命題311，（2）を適用すると， κ た 此 た Σ△ルー2ηΣノ｛Σ△∫・十4Σ舳 （3・3） 乏＝0 ゼ：0 4＝O 七三〇 が得られる．先次の項を比較すると，左辺はOであるから， 2（η十2た）∫た十q・△ム＝O （3．4） が得られる．さて，定理3．3，（2）より， W21 1一喜∼ト1・・一一（肥）） 44 3，Gegenbauer多項式の加法公式 と分解できるので，命題3．1を用いて，q・△∫おを計算する． ［此／21 ・・△∫FΣ・・△（｛一・。） 続 一喜・（…／此洲一・・…／・／・…〃／） 1た／21 一喜・（（・（ひ一1）刈け1・・レ・■1／・1｝／） 一誉（ψ一・）・㎞・・（1一ル））㎞・ ［た／21 一Σ2中・1た一2リー2）ん1一・ひ・リ （3，5） レ＝0 式（3．4）と式（3．5）より ［んノ21 喜・（一・・／・ひ（η・・／一・レー・）））一・ （3．6） を得る．定理3．3，（2）によるHo叫（Rη）の直和分解を考慮すれば，式（3．6）の各 項は0となるが，g≠0であり， γ1＋2ん十リ（η十2ト2卜2）＞O， リ；O，1，．．。，［ん／21 であることから， ん由一・レ＝O， ・：0，1，＿，1ん／21 でなければならない．これより，∫此：oが導かれ，∫の次数がんであったこと に矛盾が生じる、以上で，Harm（R帆）∩∫＝Oが示された． 一 補題3．4，補題3．6より，次の定理が導かれる． 定理3・7Har叫（8η一1）＝ρ（Haエ岬（Rn））とおくと，P（8η■ユ）は，ベクトル空間として， 次のように直和分解される． P（3n■1）一㊥H・・叫（3九一1） 乏≧O ・以下，P（8几’1）をHarm（3帆一ユ）と表し，球面8n−1土の多項式（関数）を，球面8η■ユ上 の調和多項式と呼ぶことにする． 3．Gegenbauer多項式の加法公式 45 3．3 球面上の調和多項式の内積 ここでは，Ham（8n−1）に内積を定義し，Gaussの公式を用いて，直和分解 H…（3n一’）一㊥H・ml（8n■1） 4≧O が直交分解であることを示す．Harm（3n．1）上の内積（，）は次のように定義される． （州一I、÷1一ズエ州／）・い，ψ1・…（・■1） （…） ただし，I8η一ユ’は3几■1の面積，dξは積分要素（各点における微小面積）である、いくつか の注意点を述べる． ．（，）は，次の内積の条件をみたす。ただし，ψ，ψ，ψユ，ψ2∈Harm（3η上1），c1，c2∈Rと する． o（g，g）≧0であり，等号成立はψ＝0のときのみである． 。（9，・・ψ1＋・。ψ。）＝・1（ψ、ψ。）十・。（9，ψ。） o（9，ψ）＝（ψ，ψ） ．I8冊■は次式で与えられるが，この論文ではその数値を必要としない． ηπ2 −rn−1 （ηが偶数） （著）！ 13η■＝ （午）！2帆π宇帆．、 r （ηが奇数） （η一1）！ ．積分要素∂ξは，球面座標（cf．§1．2）を用いると，次のように与えられる． ・／一（ジ）仙…札 単位球面の場合（／・） ／／一一（卜）いゲ半径・の球面の場合（／・） 次の手順で上式が導かれる（詳細略）． （1）κ∈Sn■／を球面座標で表示する． 46 3．Gegenbauer多項式の加法公式 （2）接ベクトル読（4＝1，．。．一η一1）を求めると，互いに直交することがわかる。 （3）接平面において，接ベクトルのつくるト1次元直方体の体積が次式で与えられ る（計算略）． n−1 n−1 ∂π n研一■・i・壱一θ1 壱＝1 乞＝2 （4）以上から，8n−1土の積分要素dξは次のようになる． ・／一 i鶯州）・い…蜥 （・・1…π，・・14・π（1一・，…，η一1）） Gaussの公式 ここでは，R九の単位球体 ξ…／ 〃十一・・小㎜ の場合についてのGaussの公式を証明する．σをBηを含むRnの開集合とする．σ上 で定義された滑らかなベクトル値関数（偏微分可能で偏導関数が連続な関数） F：σ一→R帆 と，3η■1土の外向きの単位法線ベクトル湯 レ：（レ1，．．．，レn） に関して，次の公式が成り立つ．ただし，3n−1土の点”；（”1，、．．，”。）は，それ自身が，点Z における，外向きの単位法線ベクトルであることに注意されたい． 定理3．8（Gaussの公式） ん・i・舳一ん1／∼／1／ ただし， ∂Fユ ∂凡 div F＝一十… 十一， ∂πユ ∂”。 である、 伽＝伽ユ此2…伽れ 31Gegenbauer多項式の加法公式 【証明】 Gaussの公式の左辺は ξ㍑伽…伽 （・・1・） となる、乞＝ηの項は， ∂＾ 五 一dπη… d”1 几∂”。 一ズ、凡（い一ユ，1＋・・1一・））・叫一1伽 一ん．1寸1，，叫一・，一1一（・1・・硝一・））・∼一1・伽 凡が連続だから累次積分可能であり， 一∫、帥、∫小…，伽一・＝肩）（／・／ （・・ll） 一ムJ1小…仙一肩）グ・伽／（・・1・） となる．式（3．11）は，変数変換 π ρ＝sinθ冊＿1， O≦θ帆＿1≦一 2 を行うと， ／1∈卯一・∫小…，伽一・，η）（！・／ （・・1・） 一∠、帥．，川・・…，叫一1，…み一・）…み一1・iバー2舳一1・／ となる．同様に，式（3，12）は変数変換 π ρ＝Sinθn＿1， 一≦θ几＿1≦π 2 を行うと，次のようになる． ∠∈附、∫’小，…｛一1，一戸）・一2・／・1 （／l・） 一一∠、炉μ・，…＾…に1）…み一・・i｛一・舳／ 47 48 3．Gegenbauer多項式の加法公式 一方，単位球面8η一1土の点（π1，．．．，π。）では，法線ベクトルレの第η成分は リη：”η：COSθn＿1 であるから，式（3．11），式（3．13），式（3．14）より， ∂凡 ∠ 一d”パ・dT1 。∂”η 一人炉、ブ恥一・・∼小・・ポ・・iポ2い一1・／ 一／、帥．、｝／ を得る、乞≠nの項についても，適当な球面座標を用いると， んか…伽一ん工｝／ が得られる．これらの和をとると，Gaussの公式が導かれる． 調和多項式の直交性 定理3．94，んが相異なる非負整数のとき， （ψ，ψ）＝O （l！l・…ぺ・一’）rl／l…叫（ザ1）） が成り立つ．従って，定理3．7の直和分解は直交分解である． Harm（3n−1）＝Harmo（8η一1）⊥Harmユ（5η一1）⊥＿⊥Harm乏（3n■1）⊥、、 【証明】 2節で示したことから， ρ（∫）：ψ， ρ（9）＝ψ をみたす，∫∈Harmぜ（R几），g∈Har叫（Rれ）が存在する．5九一1土の外向きの単 位法線ベクトルをμ＝（〃1、．．．，レ。）とする．レは3η一上の点と見なすことがで きるので，命題3．1，（2）より， 〈▽∫，レ〉＝4∫， ／▽9，・／＝んg 一 49 3，Gegenbauer多項式の加法公式 が成り立つ．ここで， ・一…∫一 i・老コ…，・島） とおくと， ム・肘舳一は去（・若）伽 一ん‡（総・・箒）扮 一ん（／・川／…1）伽 一ん／・人・・／血 となる．一方，Gaussの公式より， ん・i・舳一ん工／｝／＋1／・・〃／ 一人I、・／・〃／一㌦．1・μ／ となるので， ム／・ム・・／・…ム．ユ・μ／ が得られる、同様にして ん／・・，・／／・…ズ11・・／ を得るが，4≠んであるから ∫ ∫〃ξ：0 η」一1 が成り立つ．これより， （州■、÷1Iズ1以■、÷ユIズ1川／一・ が導かれる1 ■ 50 3．Gegenbauer多項式の加法公式 3．4 帯球関数とGegenbauer多項式 まず，基本事項を整理しておく1 ．η次元ユークリッド空間R刊の線形変換で内積を保存するものをη次直交変換という． ．η次直交変換は正則変換であり，8n■1を不変にする． ．η次直交変換全体のなす群をη次直交群といい，0（Rη）と表す。0（Rη）はη次直 交行列全体のなす群と同一視できる． ．式（3．7）で定義した内積により，Harm乏（3ト1）はユークリッド空間と見なすことがで きる、 ○Ham老（5n−1）の直交群を0（Ham乏（8η一1））と表す． ●定理3，3，（1）より， ・一…一（ポ）一一 ^：1∵だプ）， ゼ〉2のとき 4＝0，1のとき である．以下 ・一㌦一／：ll；1∴）∵lrl：き とおく． ．η；1のとき，dimHarmo（3n−1）＝dimHarmユ（3帆一1）＝1であり，4≧2のときは dimHarm4（3n−1）＝Oであることを注意しておく． ．0（Hamゼ（8れ■1））は0（RM）と同一視できる、 直交群 σ∈0（Rれ），ψ∈Har叫（8帆■1）に対して （σヰψ）（ξ）＝ψ（ξσ） と定めると，次の命題が成り立つ． （ξ∈3れ一’） （3．15） 51 3．Gegenbauer多項式の加法公式 命題3．10σ∈0（Rn），ψ∈Har叫（3η一ユ）のとき，次の（1），（2），（3）が成り立つ一 （1） σ｝∈Harm4（3作1） （2） σ‡∈0（Harm乏（3肌11）） （3）σ→σ‡は0（Rη）から0（Harm乏（3η一1））への群準同型である． 【証明】 （1） ∫∈Har叫（Rn），ρ（∫）＝ψとする1ここで σ‡∫（”）：∫（”σ） （”∈R几） と定義すると， ρ（σ‡∫）＝σヰψ となるので，σ‡∫∈Ham（R刊）を示せばよい．”：（：r1，．．．，”η）に対して zσ＝μ＝（眈，．．．，vη） とおく．σに対応する直交行列を λ一 とすると い一 i1∵） ｡∵1） と表せる．従って ∂吻 ひ1＝α11”1＋榊十．’．十α几＾⇒π＝α11 が成り立つ．λが直交行列であるから η Σαψ幻＝δ幻 （δ幻はKroneckerのデルタ） た＝1 52 3．Gegenbauer多項式の加法公式 であることに注意すると， ・（・1）（π）一之∂架） ｛＝1 旭 一‡去（∂6岩）裟） 一＃シ蝪訟 一喜幕榊蝪 一‡（‡榊）1；鍔 一幕ら1搬 一声∂静）一・ となるので，σヰ∫∈Har叫（R机）が示された． （2） 上の（1）より，σ＊はHar叫（∫れ■1）からHar叫（∫卜1）への写像となるが， 線形変換であることは容易にわかる．また， （・州一 C、÷・，んユ（∼（／）（・ψ）（／）・／ ■、÷ユIん、州㌘）・／ ■、÷。Iん1！（／）ψ（／）・（ピ） となるが，8η11の積分要素は直交変換σの作用で不変であるから， 一I、÷1Iん、！（／）ψ（／）1／一（州 が得られる．σ｝がHam乏（3作1）の内積を不変にすることから，σ‡∈0（Harm老（8η■1）） が成り立つ． 3．Gegenbauer多項式の加法公式 （3） σ，τ∈0（Rn）とする一このとき （（σ‡〆）9）（ξ） ＝ （σ｝（〆ψ））（ξ）＝（τ串ψ）（ξσ） ＝ψ（（ξσ）T）：9（ξστ） ＝ （（στ）‡ψ）（ξ） より，（στ）申＝σ‡ゲが成り立つ、ゆえに，σHσヰは0（Rれ）から0（Ham乏（3n−1）） への群準同型である． ■ 帯球関数 ・e1，e2，．．．，e几をRηの標準的正規直交基，すなわち， ◇ ・F（0，＿，1，0，＿，0） （乞＝1，2，．．。，η） とおく、 ・0（Rn）の部分群0（R几■1）を次式で定義する． o（Rη一1）＝｛σ∈o（Rれ）l eニニe、｝ ．0（Rn−1）により不変なHarm4（3n■ユ）の元全体の集合をZ4（3n■1）と表す． Zぜ（8n一ユ）＝｛ψ∈Harmゼ（8n−1）1σ｝：ψ，∀σ∈0（Rn−1）｝ である．Z4（8れ■1）に含まれる関数を4次の帯球関数という、 命題3．11ψ1，．．．，榊を内積（，）に関するHarm4（3n−！）の正規直交基として，3n■1× 3仰■1土の関数F（ξ，η）を次式で定義する． M F（ξ，η）一Σψ1（ξ）州（ξ，η∈8n−1） ｛土1 このとき，次の（1），（2）が成り立つ、 （1）任意のσ∈0（Rη）とξ，η∈3η一1に対して，F（ξσ，ησ）＝F（ξ，η）が成り立つ． （2）F（ξ，η）は正規直交基のとり方によらずに定まる、 53 3．Gegenbauer多項式の加法公式 【証明】 （1） 命題3．ユ0，（2）よりσヰ∈0（Harm4（8n■1））である．から，σ‡の作 用はN次の直交行列丁によって （σま（9。），…，σヰ（卯））＝（ψ。，…，州）T と表すことができる．Tの転置行列を印とすると，叩丁が単位行列である から， N F（ξσ，ησ）一Σψ1（ξσ）・州σ） マ 一Σ（σwξ）・（∼）（η） ｛＝1 一（州（／），…｛）（／））て∼）（1）一・・一・（！・）（1）） 斗1（／）一…榊（／））グ（（l1（1），…〃（1））・） 一（ll（／）r…洲（／））（・・ゲジ（州，…榊（1）） 十（／）一・・〃（／））て！1（1），…州（1）） w 一Σ・1（ξ）刈η） ｛！1 ＝F（ξ，η） （2） 正規直交基の間の変換行列は直行行列であるから，（1）と同様にして証明 できる． ■ 補題3．12η≧2のとき，任意の老≧0に対して，Z4（3n−1）≠Oである． 【証明】 ∫皿11土の関数入，九を 柵（／）一・（叶シ（／）州一（ξ｛小）（／∈ポ） で定義する．さて，σ∈0（Rη一1）を任意に選ぶと，命題3．11，（1）より ∼，几（ξσ）；F（ξσ，・。）＝F（ξσ，・ζ）＝F（ξ，・。）；∼，れ（ξ） 54 3．Gegenbauer多項式の加法公式 が得られる．従って ∼，、∈Z乏（3作1） が成り立つ．一方，次に命題3，11，（1），および0（Rn）が8n．1上司移に作用する ことから， ／｛）■、÷ユーん1／〃／■、÷。人1伽）・／ 一，、÷・，L、榊／＋、ムー（シ（／）小 一‡（一）一・一／：二∵プ∵1：き （η十i−1）≠Oであり，η≧2のときは（n＋i11）一（ηだ；3）≠Oであるから，入，、≠O となり，補題3．12が証明された． ■ ・∼，。∈z4（∫卜1）であることに注意されたい． 補題3．13∫∈Hom乏（Rη）が，任意のσ∈0（”）に対して，σヰ∫＝∫をみたすならぱ 4は偶数で，∫：Cφと表される（Cは定数）1 【証明】 ∫≠0としてよい．0（Rπ）が3nI1上司移であるら，仮定より，∫は 3η■1土で定数である．3冊■1土で∫（ξ）＝Cであるとする． ” ”＝（・。，，・帆）∈R肌，・≠0⇒ ∈8几■1 月 となるので，∫が4次斉次多項式であることより， 1（六）一・一ル）一・（朴…イ が成り立つ．これより，多項式としての等式 ∫（・）2一・2（・1・・；・…・・三プ が得られる1η≧2のとき，π言十ω；十…十端は既約多項式であるから，左辺 が平方式であることより，4は偶数となる．η＝1のときは，”1が既約多項式で あるから， ∫（π）＝cパ 55 56 3．Gegenbauer多項式の加法公式 となるが，右辺が3o＝｛土1｝で一定値をとるためには，4は偶数でなければな らない．以上で，∫：Cqξが示された． ■ 補題3．14∫∈HomぺRn）とする．”：（”1，．．．，”帆）：（π’，π。）∈Rηとおき， セ ル）一Σ∫H（小ズルゴ∈H・m・一ゴ（Rn■1） ゴ＝O と表す．また ・一・・ i÷）㌧一（去）2・・（、÷1）2 とする．このとき，次の（！），（2）は同値である． （1）△∫＝0 （2）△’∫H＋（ゴ十1）（ゴ十2）∫・十・＝O （ゴ＝0，1、＿、グ2） 【証明】 次の計算より導かれる． ・1一・ iξ｝）づ 一年ル州）・（÷）2（妄＾ぽ以） 望一2 垣 一Σψ’∫・一ル’）十Σゴ（ゴー1）∫り（似一2 卜0 ゴ＝2 4−2 4−2 一Σψ∫・一ル’）・Σ（ゴ・2）（ゴ・1）机一1一・（・’） トO 戸0 4−2 一ξ小｝1・1）！l・・レ）（・） ■ 定理3．15dimZゼ（8卜1）≦1であり，η≧2のときはdi㎞Z乏（8何一1）＝1である． 【証明】 ψ∈Z乏（8η皿1），ρ（∫）＝ψ，∫∈Har叫（Rn）とする、∫を補題3．14の ように 4 ル）一Σ∫1一〃）払 ∫・一ゴ∈H・叫一1（Rn一’） （3・16） ゴ＝O 57 3．Gegenbauer多項式の加法公式 と表す、ψ∈Zぜ（3n−1）より，任意のσ∈0（Rn■1）と，任意のξ∈3九一1に対 して ∫（ξσ）＝9（ξσ）＝ψ（ξ）＝∫（ξ） が成り立つ．σが線形写像であることに注意すると，”：（”1，．．．，zη）≠0に対 して 1（・）一1（・1・・端（万≒）σ） 一（ザ端プ1（（”子十”十”貴）σ） 一（・1・・小（六） ：∫（”） が成り立つ、一方，エ。。（z’，z几）とおくと，式（3116）より， ぜ 1（・）一1（（（・）σ斗ξル1（（・）σ）・ であるから， 九一ゴ（（・’）σ）→1一〃）（ゴ＝O，＿，4） が得られ，補題3．13を適用すると， 4＿ゴが偶数のとき，ル．ル’）＝c4．ゴ小’）宇 （3．17） 4＿ゴが奇数のとき，∫‘一ル’）＝O となる．ただし，c4一ゴは定数である、また，△∫：Oに注意すれば，補題3．14より， 小一〃）宇）・（1・1）（1・・）・1＋・州宇一・（1一・一・・，／一・） となることから，命題3．1，（4）より，O≦ゴ≦4＿2に対して i（・一1）（・十・）・（・一1）（肌一1））・（ノ）宇・（1・1）（1＋・）・1−1一・州宇一・ ・1−1 が成り立つ．これより ・・一〃一．ク）（4一ゴ十η一3）十（ゴ十1）（ゴ十2）・・一j一・＝O （3．18） 3．Gegenbauer多項式の加法公式 58 が得られる．以上から，COが与えられると，上述の式より，∫（”）が一意に定ま る．ゆえに，dimZ4（8n一ユ）≦1が成り立つ．η≧2のときは，補題3−12より， dimZゼ（8帆＾1）；1が得られる． ■ Gegenbauer多項式 定理3．15の証明の中の式（3．16），式（3．！7）より，0’：（0，．．．，0）∈Rn■1とすると， 老 ゾ（・、）一Σルゴ（・’）一Σ・1一〃（・’）宇一・・ j＝O 乏一ゴ≡0（mod2） となる．これより，帯球関数はeηでの値によって一意に定まる．特に，補題3．12の証明の 中で定義した∼，ηはe。で値Mをとる唯一の帯球関数である一 さて，8卜1土から任意に点ξ＝（ξ1，ξ2，．．．，ξ、一1，亡）を選ぶ1ξ’＝（ξ1ジ．．，ξ、．1）はR卜1 の原点を中心とする半径口の球面∫’上の点である．0（Rη一1）は3’上司移に作用 するから ξσ一（0，．．1，O，口，f） となるσ∈0（Rト1）が存在する．このとき，式（3．！6），式（3，17）より， 人1”（ξ）一入，η（ξσ）一Σ・1一パゴ（1−12）宇 （・・！・） 4一ゴ≡O（mod2〕 が成り立つ． 定義3．16次式で定まるGぜ，、（亡）をGegenbauer多項式という。 0。η（1）一Σ・・一パj（1−12）宇 ｛一5≡O｛mod2） O≦j≦埋 ただし，CHは次式で定める． ・・＝N＝ル，几，・ゼー〃一ゴ）（4一ゴ十η一3）十（ゴ十1）（ゴ十2）・ぜ一ゴー・＝O ・定義より，G乏，、（1）＝co＝N＝（肌†1）一（n㌫3）である。 3．Gegenbauer多項式の加法公式 59 定理3．17（Gegenbauer多項式の加法公式）任意のξ，η∈3卜1に対して，次式が成 り立つ． G伽（／ξ，η／）＝F（ξ，η） 【証明】 〈ξ，η／＝亡であるとする・ 0（Rη）の可移性から，ησ：e冊とな るσ∈0（Rn）が存在する．このとき， t＝〈ξ，η／：／ξσ，ησ／＝〈ξσ，e．／ であることから， n−1 ξσ一（π1ヨ…，・η一1，t），Σ・l l−12 壱＝1 と表される．命題3．11，式（3．19），および，∼，。，0乏，帆の定義より， F（ξ，η）二ρ（ξσ，ησ）＝F（ξσ，・帆）；∼，η（ξσ）一q，、（トG・，。（／ξ，η／） が導かれる． ■ 定理3．19の証明 ここではLegendre多項式とGegenbauer多項式の関係式 0ゼ，。（t）＝（24＋1）昂（t） （3，20） を導き，2章，§2．1で用いた，Legendre多項式についての不等式（定理3．19）を証明する． 以下，式（3．20）をいくつかのステップに分けて示すことにする． ・定理1−4より，Legendre多項式｛片（土）｝κ≧oは区間［一1，11における直交多項式系で ある． ．上のことから，｛P島（t）｝ゐ≦、はη次以下の実係数多項式からなるベクトル空間即］、 の基底をなす．従って，O≦m＜ηのとき 1 ∫ ＾（f）尤m批；O （3・21） 1 60 3．Gegenbauer多項式の加法公式 が成り立つ． ・ベクトル空間R［f1几は2元g（t），ん（f）の内積（g，ん）を （・，1）一 ?E（1）w で定めると，η十1次元ユークリッド空間と見なすことができる． ●式（3．21）より ＜1，t，．．．，士伸一1＞⊥ ＝ ＜片（亡）＞ が成り立つ．ただし＜1，‘，＿，fη■1〉は1，tゾ．1，ザ1で生成された即］、の部分空間 であり，〈1，亡，．．．，亡η’1＞⊥はその直交補空間である． ・多項式の族｛軌（亡）｝k≧oが区間卜1，1］における直交多項式系であるならば，上と同様 にして く1，t，．．．，ln−1＞⊥＝＜Q、（f）〉 が得られるので ＜ρ帆（亡）＞ ＝ ＜片（t）〉 が成り立ち ρη（亡）＝β冊片（亡） （η＝O，1，2，一一1） （3．22） をみたす実数β、の存在が導かれる、すなわち，区間卜1，1］における直交多項式系は 実数倍を除いて一意に定まる． ここで次の補題を示す、 補題3・18Gegenbauer多項式G4，3（t）について次が成り立つ． 1 ∫ G乏，・（1）0m，・（1）批＝δ・帆4ル＝δゼ仰2（24＋1） 1 【証明】 ます ／ ∼，・（ξ）λm，・（ξ）∂ξ 2 を求めることにする． 4≠mのとき，Ham垣（32）⊥Harmm（S2）であるから ノ1 ∼，。（ξ）λm，。（ξ）dξ＝0 2 3．Gegenbauer多項式の加法公式 が成り立つ．また，N＝ルとして，ψ1，＿，卯をHarmゼ（82）の正規直交基とす ると N ∼，・（ξ）一Σ・1（ξ）｛） ｛＝1 であるから， ム柄（／）柵（／）・／一ん（‡紬（／））（ξ柵（／））・／ jV 一着柵〃レ（／）州／ w 一ξ紬（・・）レ（／）仰（／）・／ 」V jV −1821Σψ1（小（・・）一4πΣψ1（ε・）｛） ｛＝1 ｛＝1 ：4πF（・。，・。） となるが，Gegenbauer多項式の加法公式から 4πF（・・，ε・）＝4πG乏，。（／ε。，・。／）＝4πGl，。（1）＝4πN＝4π（24＋1） となるので ノニ ∼，3（ξ）∼，3（ξ）dξ：4π（24＋1） 2 が得られる．以上で ノ； ∼，。（ξ）λm，。（ξ）dξ＝δぜm4π（24＋1） （3．23） 2 が示された．次に，上式の左辺を別の方法で計算する．82土の点ξ＝（ξ1，ξ2，ξ3） は ξ1；sinθ2sinθ1， ξ2＝sinθ2cosθ1， ξ3：cosθ2 （O≦θ！＜27r，0≦θ2≦π） と極座標表示される、このとき，p．46で述べたように積分要素dξは ∂ξ＝Sinθ2dθ2dθ1 61 3．Gegenbauer多項式の加法公式 62 となるので， ム／・・（／）／一・（／）・／イ（ズ／・・（／）1一・（／）・i・1・・1・）・1・ と表される．ここで COSθ2＝‘， 一Sinθ2dθ2：dt と変数変換し， ξ＝（ξ1，ξ。，1） とおくと，式（3．19）とGegenbauer多項式の定め方（定義3．16）より λ1，・（ξ）一Σ・｝ゴ（H2）宇一・1，・（1） ぜ一j≡O（mod2〕 o≦j≦‘ である力・ら レ（／）／一・（／）・／一八ズ／・・（／）／一・（／）・i・1・・1ユ）・1・ 一！一’（∫㌦・（／）／一・（／）・1・）（一批） 一川㌦・（1）｝l1）批 一・十・・（t）M批 が得られる．これと式（3．23）とから 1 ∫ Q，・（士）Gm，・（士）批：δ4m2（2七十1） ユ が導かれる． 一 ・補題3．18より，Gegenbauer多項式｛Gゼ，3（f）｝4≧oは区間［一1，11における直交多項式系 である．従って， 0ゼ，3（ご）＝βゼ片（‘） （4＝O，1，2，…） をみたす実数β乏が存在する． 63 3．Gegenbauer多項式の加法公式 ・補題3．18，式（3．22），定理1．4より ・（・／・・）十ル・（t）批一画・人舳（1）批一／ゼ・2、÷1 となるので βゼ2＝（2老十1）2 が成り立つ．ここで，定義！．3より，片（f）の4次の係数は正であるから， 1im R（t）＝十〇c f→oo が成り立つ．また，定義3．16より，co＞o，c2＜O，．．．と正負が交互に表れるので，t〉1 のとき，Gゼ，3（t）は正となる、ゆえにβゼは正であるので β・：2老十1⇒G。，。（1）＝（24＋1）帥） が得られ，式（3．20）が示された。 定理3．19X：｛”1ヨz2，＿，π、｝を単位球面82土の有限集合とし，φむ：砺とおく。 このとき次の不等式が成り立つ．ただし，局（f）はLegendre多項式である． n Σ片（…φ11）≧O 壱，ゴ＝1 【証明】 ψ1，，州をHar叫（32）の正規直交基として，32×32土の関数F を N F（ξ，η）一Σψ1（ξ）州 ｛＝1 と定めると，・o・φ幻＝／均，㏄ゴ〉であるから，式3−20，定理3，17を用いて， n n η （・／・1）Σ局（…φ1ゴ）一ΣGl，・（／吻，πゴ／）一Σ・（州） ｛，ゴ＝1 ｛，ゴ＝1 ｛，ゴ＝1 一六（き州州）一き（宍州州） 一き（書州）2・・ となり，求める不等式が得られる、 ■ 参考文献 エ1］P．De1sarte，8ound8プ。r u几τe8桝。亡ed codes bリエ初eαrρrogmmm伽g，Phi1ips Res−Rep．，27 （1972），272−289。 ［2101eg R．Musin，丁加ρro舳㎜o∫伽仙㎝妙伽ε5ψerε3，Russian Math．Surveys，58（2003）， 794＿795． ［3］O1eg R．Musin，ルe舳η34oηoゾ。eJ5αれe，5me肋。d，伽た458伽gρro脆m伽亡んree㎝灯。〃 d伽εη5毛。n8，aエXiv：math／0512649v1［math．MG130DEC2005； ［4］O1eg R．Musin，珊εK｛35切g〃。blem伽丁伽eεD伽eη8台。η3，Discrete Comput1Geom．，35 （2006），375−384． ［5101eg R．Musin，珊ε畑58伽g舳舳ぴ伽∫o刎r幽meη5を。η5，Ann−of Math．，168（2008），1−32． ［61高木貞治，解析概論（改訂第3版），岩波，1961． ［71竹之内情ほか，線形代数学，朝倉書店，1979， 181永尾汎，代数学，朝倉書店，1983． ［9］坂内英一ほか，球面上の代数的組合せ理論，シュブリンガー・フェアラーク東京，1999． ［101P・冊ankI，前原湖，幾何学の散歩道，共立出版，1991・ ［111水野克彦編，基礎過程解析学，学術図書出版，1966． 1121Maxima．sourceforge，net．Maxima，a Computer A1gebra System．Version5．25．1（2011）， http：／／maxima，sourceforge．net／ 64