積分＆仕事＆エネルギー

仕事
仕事のグラフ（積分を理解するためのグラフ）
ｆN
dＷ 微 小 仕 事
ｆ
S
ｍ
S２
S１
Ｗ
仕事
＝
Ｗ
＝
力
ｆ
×
距離
S1
×
Ｓ
S2
dS
Ｓ
ΔＳ
＝ S2 - S1
Ｊ
Ｎ
ｍ
ｼﾞｭｰﾙ
ニュートン
メートル
ｄ Ｗ を ， Ｓ １か ら Ｓ ２ま で 積 み 足 す 。
ｄW = ｆｄS
W =
S2
S1
ｆｄS = ｆ
S2
S1
＝ｆ S
「積み重ねる」の表現より、グラフでのイメージに近い。
ｄS
……ｆはＳの関数ではないから、定数とみなして外に出す。
S2
積 み 足 し て で き る 面 積 が 、 物 体 を 力 ｆ N で Δ Ｓ ｍ (＝ Ｓ １ か ら Ｓ ２ ま で の 距 離 ） 移 動
S1
さ せ た と き の 仕 事 Ｗ Ｊで あ る 。
＝ ｆ(S2－S1)
Ｖ (体 積 )， Ｐ （ 圧 力 ） ， Ｗ （ 仕 事 ） の 関 係
ｆ （ 力 ） × ｄ Ｓ （ 距 離 の 微 小 変 化 ） ＝ ｆ ｄ Ｓ （ 仕 事 の 微 小 変 化 ） ＝ ｄ Ｗ （ ※微 小 仕 事 ）
※
仕事の微小変化を、微小仕事と表現する。
この場合、積分は、『ｄＷ（微小仕事）を積み足していくこと』と理解すればよい。
単 位 で の 考 察 … … 体 積 (ｍ ３ )× 圧 力 （ Ｎ /ｍ ２ ） ＝ 仕 事 (Ｎ ｍ )＝ ｴﾈﾙｷﾞｰ（ Ｊ ）
Ｖ (体 積 )を Ｐ （ 圧 力 ） で 積 分 す る と 、 Ｗ （ 仕 事 ＝ ｴﾈﾙｷﾞｰ） が 求 ま る 。
W＝
Ｐ2
Ｐ1
Ｖ ｄＰ
つま り 、 『 ｄ Ｗ （ 微 小 仕 事 ） を Ｓ １か ら Ｓ ２ま で 積 み 足 す 。 』 と 解 釈 す る 。
Ｐ （ 圧 力 ） を Ｖ (体 積 )で 積 分 し て も 、 Ｗ （ 仕 事 ＝ ｴﾈﾙｷﾞｰ） が 求 ま る 。
W＝
- 1 -
V2
V1
P ｄV
- 2 -
縦軸にＰ（圧力），横軸にＶ（体積）のグラフで考察すると
図 の f(Ｖ )は 曲 線 だ が 、 便 宜 的 に 直 線 で 表 し て い る 。
縦軸にＶ（体積），横軸にＰ（圧力）のグラフでの考察
図 の f(Ｐ )は 曲 線 だ が 、 便 宜 的 に 直 線 で 表 し て い る 。
Ｖ
Ｐ
dＷ
dＷ
f(Ｐ )
f(Ｖ )
Ｗ
Ｗ
P1
V1
Ｖ
V2
dP
Ｐ
P2
dP
P2 - P1
V2 - V1
＝ΔＰ
＝ΔＶ
W＝
＝
＝
V2
V1
V2
V1
P ｄV
ｆ(V)ｄV
V1
V2
＝ nＲＴ
＝ nＲＴ
＝ nＲＴ
V1

V
ｎ
- 3 -
ｎ
ｆ(Ｐ)ｄＰ
Ｐ2
Ｐ1
＝nＲＴ
V２
V１
－
nＲＴ
ｄＰ
Ｐ
Ｐ2
Ｐ1
V1
ｎ ２

Ｐ1
V2
V
＝nＲＴ
Ｐ2
＝
１
ｄV
V
ＶｄＰ
Ｐ1
＝
nＲＴ
ｄV
V
V2
Ｐ2
W＝
V
ｎ
１
１
ｄＰ
Ｐ
Ｐ2
＝ nＲＴ

＝ nＲＴ
 Ｐ － Ｐ
＝ nＲＴ

- 4 -
ＰＰ
ｎ
ｎ
ｎ
1
２
Ｐ２
Ｐ１
ｎ
１
距離Ｓ，速度ｖ，加速度ａのグラフ
力＝ 質量 × 加速度
ｖ
ｍ：質量 ｋｇ
ｄｖ
ｆ＝ｍａ＝ｍ
ａ：加速度 ｍ/ｓ2
ｄｔ
ｖ： 速度 ｍ/ｓ
ｔ： 時間
Ｓ
ｓ
距離を時間で微分すると速度が求まる
0
ｔ
ｔ
ｖ＝
距離
＝
速度
×
時間
Ｓ
＝
ｖ
×
ｔ
ｍ
ｓ
ｍ /s
Ｓ
＝
ｖ
ｖ (速 度 )を ｔ （ 時 間 ） で 積 分 す る と 、 移 動 距 離 が 求 ま る 。
ｔ
０
ｄｔ
運動エネルギー
ｔ
単 位 で の 考 察 … … 速 度 (ｍ /s)× 時 間 （ ｓ ） ＝ 距 離 (ｍ )
Ｓ＝
ｖ： 速度 ｍ/ｓ
ｓ： 距離 ｍ
ｔ： 時間 ｓ
ｄｓ
ｖ ｄｔ
ｄ W = ｆｄ S
W =
S2
S1
ｆｄ S =
S2
ｍａｄ S
S1
S2
＝
S1
ｍ
距離，速度，加速度の関係
＝
距離を時間で微分すると速度が求まる。
加速度を時間で積分すると速度が求まる。
V2
V1
速度を時間で微分する加速度が求まり、時間で積分すると移動距離が求る。
＝ｍ
微分
距離
æ
微分
速度
積分
æ
加速度
積分
ｍ
ｍ /s
ｍ /s
- 5 -
１
２
ｄS
ｄｔ
ｄｖ
V2
ｖ ｄｖ
V1
ｖ2
＝ｍ
２
＝
２
ｍ
ｄｖ
ｄS
ｄｔ
V2
V1
ｍ V2 2 － V 1 2
- 6 -