Northfield Adaptive Near Horizon Risk Models

適応的短期
リスクモデル
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2 Atlantic Avenue
Boston, MA 02110
+1.617.451.2222
London
2-6 Boundary Row
London, SE1 8HP
+44 (0) 20 3714 4130
Tokyo
〒105-6027
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Mar-8-2010
適応的短期リスクモデル
目次
はじめに .................................................................................................................................................................... 3
反応性は投資期間に依存する ............................................................................................................................ 3
短期の動きをモデル化する新たなアプローチ.................................................................................................... 3
情報源 .................................................................................................................................................................... 4
プロセス .................................................................................................................................................................... 4
市場条件にフィット ............................................................................................................................................ 5
短期リターン対長期リターン ............................................................................................................................ 5
対象範囲 .................................................................................................................................................................... 6
まとめ ........................................................................................................................................................................ 6
添付 ............................................................................................................................................................................ 7
訓練データ ............................................................................................................................................................ 7
系列相関が存在する場合の時間調整 ................................................................................................................ 9
市場情報を取り込むベイジアン枠組み .......................................................................................................... 10
分散と横断的分散の関係 .................................................................................................................................. 11
ノースフィールドがなぜお客様に適しているのか .................................................................................................. 12
強力で一貫性があり比較可能な総合リスクモデル ...................................................................................... 12
オープンモデル：オープンシステム ブラックボックスなし！ ................................................................. 12
グローバル、地域、国、資産を対象 .............................................................................................................. 12
高機能、柔軟、強固でオープンなソフトウェア・システム ...................................................................... 12
提携会社 .............................................................................................................................................................. 12
イノベーション .................................................................................................................................................. 12
卓越した研修、サポート、そしてソリューション ...................................................................................... 13
2
ノースフィールド・インフォメーション・サービス
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適応的短期リスクモデル
はじめに
ノースフィールドの適応的短期リスクモデルは、今日の市場環境下にお
いて短期の投資期間のリスクを予測するモデルのシリーズです。各モデ
ルは、直感的に理解でき、長期の投資期間のリスクモデルで証明された
因子構造を持っております。共通の因子構造を持ちつつも、このモデル
は、長期の予測から大幅に乖離する可能性のある観測された市場情報を
瞬時に取り込んで適応いたします。
反応性は投資期間に 長期の動きを予測するには、ニュースを意図的に抑制することが求めら
依存する れます。（その可能性が高い）事象が一過性のものか、あるいは（より
可能性は少ない）構造の変化かは、先験的に知ることはできません。従
いまして、注意深く作られた長期モデルは、技術革新を慎重に取り込み
ます。
ある現象が突然予期しない時に起こりますが、それは何週間、何カ月か
過ぎれば次第に風化します。一過性であろうと構造変化であろうと、最
良の短期予測は足下の市場を色濃く反映します。
ノースフィールドの適応的短期リスクモデルは、現在の市場条件は短期
の動向に関して最も適切な情報を含むものであるという見解に基づいて
います。
短期の動きをモデ
ル化する新たな
アプローチ
従来は、短期のモデルというと、長期モデルを開発する時の手順を踏み
ながらも、より高い頻度の、すなわち日次のデータに基づいて構築され
てきました。（例えば、同時ではないグローバル市場間の相関値の決定
など）統計的な複雑さを度外視しても、そのような手順はリターンの履
歴の中にある既知の、しかし見えない情報を全て無視することになりま
す。最良の情報が時系列の中にないのに、どうして時系列手法にこだわ
るのでしょうか。
近未来に関する最も豊かな情報源は、過去ではなく、事実上、同時期の
情報源なのです。
ノースフィールドの革新的な手法は、米国短期株式モデルを皮切りに、
1998 年以来の日次データ作成で始まりました。日次リターンデータの統
計的因子分析から始まり、モデルは、予知能力に優れかつ時系列 1には見
られないものを取り込むべく、瞬時の情報であるオプション予想変動率
水準を反映します。様々なマイクロストラクチャ効果はさておき、オプ
ション予想変動率は、オプション 2の行使期限までの近未来における内在
する証券の実際の変動率に関するオプション市場参加者のコンセンサス
を表します。
適応的短期モデルは、全ての市場の全てのリスクモデルに、過去のリタ
ーンに加えて現在の、そして先見性のある情報を結びつけるというアイ
デアを一般化したものです。
1
diBartolomeo, D., and S. Warrick, 2005, “Making Covariance-Based Portfolio Risk Models
Sensitive to the Rate at which Markets Reflect New Information.” In S. Satchell & J. Knight (Eds.),
Linear Factor Models in Finance (pp. 249-261). Oxford, UK:Elsevier.
2
Ederington, L. and W. Guan, 2002, “Is Implied Volatility an Informationally Efficient and
Effective Predictor of Future Volatility?,” Journal of Risk, Spring v4(3), 29-46.
3
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適応的短期リスクモデル
情報源 米国短期株式モデルは、大型株を対象とする取引量の多いオプションが
示す変動率を取り込んでいます。市場に存在するほぼ瞬時に観測できる
シグナルには、どのようなものがあるでしょうか。
1. 高値/安値/寄付/引値変動率推定量は、日中の価格変動からリター
ンの変動率を導きます。株価履歴の一日かせいぜい 2，3 日分しか
必要としないため、変化する市場環境下で迅速に反応します。
(Parkinson, Garman-Klass, Rogers-Satchell, Yang-Zhang. 3 をご参照く
ださい)
指数の変動率と構成銘柄の平均変動率の相違は銘柄間の相関を示
します。
2. 横断的変動率は、証券リターンの横断的標準偏差であり、1 期間
のデータから変動率と相関を同時に計測します 4。
3. 予想変動率（インプライド･ボラティリティ）は、オプショント
レーダーの予想を捉えます。VIX に類似するインデックスは、
様々な市場で公表されています。
VIX
VXN
RVX
MVX
VSTOXX
VBEL
VCAC
VDAX
VAEX
VSMI
India VIX
USA S&P 500
USA NASDAQ 100
USA Russell 2000
Canada TSX 60
DJ EURO STOXX 50
Belgium BEL 20
France CAC 40
Germany DAX
Netherlands AEX
Switzerland SMI
India CNX 50
OVX
GVZ
EVZ
CBOE Oil
CBOE Gold
CBOE Euro Currency
プロセス
3
Parkinson, M., 1980, “The Extreme Value Method for Estimating the Variance of the Rate of
Return,” Journal of Business, v53(1), 61-65.
Garman, M. B., and M. J. Klass, 1980, “On the Estimation of Security Price Volatilities From
Historical Data,” Journal of Business, v53(1), 67-78.
Rogers, L. C. G., and S. E. Satchell, 1991, “Estimating Variance from High, Low, and Closing
Prices,” Annals of Applied Probability, v1(4), 504-512.
Rogers, L. C. G., and S. E. Satchell, and Y. Yoon, 1994, “Estimating the Volatility of Stock
Prices: A Comparison of Methods that use High and Low Prices,” Applied Financial Economics,
v4, 241-247.
Yang, D., and Q. Zhang, 2000, “Drift-Independent Volatility Estimation Based on High,
Low, Open and Close Prices,” Journal of Business, v73(3), 477-491.
4
Satchell, S. E. and S. Hwang, 2001, “Properties of Cross-sectional Volatility”, Financial
Econometric Research Centre Working Paper WP00-4, City University Business School がよくま
とめています。
4
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適応的短期リスクモデル
各適応的モデルは、対応する長期（1 年）モデルをベースにします。モデ
ルはまず現在の市場情報に合わせて「訓練」され、次にリターン計算期
間（月次と日次あるいは 10 日間）の差異が統計的に調整されます。
4 月 15 日付ノースフィールド適応的 10 日間グローバルモデルを例にとり
ますと、これは 3 月 31 日付ノースフィールド月次グローバルモデルに以
下の調整を施したものです。
- 4 月 15 日の市場条件に適応させる
- 10 日リターンと月次リターンの統計的な差異をスケーリング
5
市場条件に 基本的な考え方 :
フィット
1. 何かにフィットさせるためには、モデルは柔軟にできていなけれ
ばなりません。長期モデルのリスクパラメータをそのままコピー
するのではなく、適応的モデルは一部のパラメータを自由変数と
しています。例えばグローバルモデルでは、「欧州大陸」因子の
分散を、長期バージョンから値を取らずに、柔軟に設定していま
す。
2. 自由パラメータは、モデルの予想が市場条件と適合するように調
整されます。例えば、FTSE100 のリスクを 2 倍にする必要があれ
ば、自由パラメータは FTSE100 の予想リスクが 2 倍になるように
調整されます。
3. 予想される通り、多くの自由パラメータや条件付けの様々な情報
源があることから、モデルには数学的仕組みが必要となります。
枠組みはベイズ統計学に基づいており、パラメータの調整は非線
形最適化を用いています。
短期リターン対 日次リターンと月次リターンの 2 つの違いを指摘しておきます。
長期リターン
1. 系列相関：日次リターンは、長期の間には払拭されるリバーサル
を示します。この現象を無視して、1 か月の予想を 1 日に、系列
相関の調整を取り入れずにスケーリングしますと、リスクを（多
くの市場では凡そ 50%も）過小に予想する結果となります。
5
技術的詳細は当社のウェブサイトからダウンロードしていただけます: “Short Term Risk
from Long Term Models”, http://www.northinfo.com/documents/325.pdf
5
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適応的短期リスクモデル
2. 短期リターンは極端な事象の影響をより多く受けます。正規分布
に基づいて素朴にVaRを計算するのはトラブル 6の元です。
第 1 点目はモデル構築中に処理されます－適応的短期モデルの分散は、
分析期間に合わせて適切に調整されます。第 2 点目は、リスクモデルに
関する一般的な注意事項です。
対象範囲
全てのノースフィールド長期モデルに対して、適応的モデルがご利用い
ただけます。ノースフィールドの長期モデルの詳細、方法論などにつき
ましては、当社までお問い合わせください。
グローバルモデル
グローバル株式
Everything Everywhere（全資産クラス）
地域別株式モデル
アジア太平洋（除く日本）
環太平洋
欧州
米国／カナダ
国別株式モデル
オーストラリア
中国
日本
スイス
英国
カナダ
米国市場別モデル
米国ファンダメンタル
米国マクロ経済
米国国別
米国 REIT
まとめ
ノースフィールド適応的短期モデルは、当社でカバーする全ての市場の
短期リスクを予想すべく設計されています。当社の研究開発から生み出
された市場情報を取り込む革新的なアプローチにより、投資マネージャ
ーやトレーダーの方は最新のポートフォリオリスク尺度を得ることがで
きます。当社のスタッフは、お客様がこれらツールに完全にご満足いた
だけるよう最善を尽くします。より詳細の内容につきましては、当社の
オフィスあるいは担当セールスまでご連絡ください。
6
より頑健な（とても到達しないでしょうが）境界の例は、カンテリやチェビシェフの不
等式で示される境界です。チェビシェフの境界は P{|x – μ| > nσ} < 1/n2。同様な理由から、
p
より堅固な境界を L ノルムを用いて導出できます: P{|x – μ| > n E[|x – μ|p]1/p} < 1/np, ある
いは尖度: P{|x – μ| > nσ} < κ/n4。これら極端な境界も狙い通りではありません。というの
も将来の分散その他のモーメントは、株式リターンの非定常的プロセスにおける予想に過
ぎないからです。
6
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適応的短期リスクモデル
添付
以下に掲げるインデックスのボラティリティと各構成銘柄の平均ボラテ
ィリティの両方を使用します。
訓練データ グローバルモデル
グローバル株式
US broad market index
DJIA
NASDAQ 100
S&P 500
(VXD) CBOE DJIA implied volatility
(VXN) CBOE NASDAQ implied volatility
(VIX) CBOE S&P 500 implied volatility
Argentina MERVAL
Brazil BOVESPA
Eastern Europe broad market index
Western Europe broad market index
Austria ATX
Germany DAX
France CAC 40
Italy BCI 30
Norway OSE
Spain IBEX 35
UK FTSE 100
India SENSEX
Indonesia JSX
Japan Nikkei 225
Korea KOSPI composite
Malaysia KLSE composite
Taiwan TAIEX
New Zealand NZX 50
Everything Everywhere
グローバル株式で用いられている全てのインデックス
CBOE US treasury interest rate options
地域別株式モデル
欧州連合(EU)
Western Europe broad market index
Austria ATX
Germany DAX
Italy BCI 30
Norway OSE
France CAC 40
Spain IBEX 35
UK FTSE 100
環太平洋
Indonesia JSX
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適応的短期リスクモデル
Korea KOSPI composite
Malaysia KLSE composite
New Zealand NZX 50
Taiwan TAIEX
国別株式モデル
カナダ
Canada broad market index
スイス
Switzerland SMI
イギリス
UK broad market index
UK FTSE 100
中国
China broad market index
日本
Japan broad market index
Japan Nikkei 225
オーストラリア
Australia broad market index
米国市場別モデル
米国ファンダメンタル
US broad market index
10 sector indices
DJIA
NASDAQ 100
Russell 2000
S&P 500
(VXD) CBOE DJIA implied volatility
(VXN) CBOE NASDAQ implied volatility
(RVX) CBOE R2000 implied volatility
(VIX) CBOE S&P 500 implied volatility
米国マクロ経済
US broad market index
DJIA
NASDAQ 100
S&P 500
(VXD) CBOE DJIA implied volatility
(VXN) CBOE NASDAQ implied volatility
(VIX) CBOE S&P 500 implied volatility
米国株式
US broad market index
DJIA
NASDAQ 100
S&P 500
(VXD) CBOE DJIA implied volatility
(VXN) CBOE NASDAQ implied volatility
(VIX) CBOE S&P 500 implied volatility
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適応的短期リスクモデル
系列相関が 日次リターンにおける数日から数週間に及ぶ負の系列相関は、月次の数
存在する場合の 値から予想されるよりも大幅に変動します。
時間調整
典型的な 1 ヵ月には 21 取引日あります。
rt =t 日におけるリターンとします。
r21 day, t = ∑t=1..21 rt
(複利効果を考慮しない 1 カ月リターン)
var(r21 day, t) = ∑t=1..21 var(rt) + 2 ∑s < t ≤ 21 cov(rs,rt)
もしも{rt}が定常的であり、取引日毎のリターンが独立であるならば
var(r21 day) = 21 × var(r1 day)
現実の投資リターンでは、日次リターンの分散を 21 倍すると、21 日間足
し上げた月間リターンや月次リターンの分散を大幅に上回ります。
ノースフィールドは、以下の手順を踏んで、短期の分散を適切に変換し
ます。
1) 0 時点から T 時点までの累積リターンを日次リターンから求めま
す。
r0→T = f (r1, …, rT) = ∏t=1..T (1 + rt) – 1
2) 平均リターンμの付近で線形近似を施します。
r0→T
≈ f|r1…rT = μ + ∇f| r1…rT = μ (r – μ)
= 定数 + (1 + μ)T-1 ∑t=1..T (rt – μ)
3) 日次リターンの共分散から累積リターンの分散を算出します。
var(r0→T) ≈ (1 + μ)2T-2 ∑1 ≤ j,k ≤ T cov(rj, rk)
4) AR(1)により日次リターンをモデリングします。
rt+1 = c + ρrt + εt+1
任意の t につき var(rt) = σ2
2 |j – k|
cov(rj, rk) = σ ρ
n 日離れた相関 = ρn
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適応的短期リスクモデル
5) AR(1) 共分散を上記 3)の共分散に代入します。
var(r0→T) ≈ (1 + μ)2T-2 ∑1 ≤ j,k ≤ T σ2 ρ|j – k|
= (1 + μ)2T-2 σ2 [T(1 + ρ)/(1 – ρ) – 2ρ(1 – ρT)/(1 – ρ)2]
6) var(r0→T1), var(r0→T2)の近似式から、予想値を任意の時間スケールに
変換します
e.g. 1 から 2 週間へ, T1=21, T2=10
1 ヵ月から 1 日へ, T1=21, T2=1
T1/T2 var(r0→T2) ≈ var(r0→T1) (1 + μ)2(T2 – T1)
× [(1 – ρ2) – 2ρ(1 – ρT2)/T2] / [(1 – ρ2) – 2ρ(1 – ρT1)/T1]
市場情報を取り込む モデルを現在の市場条件に適合させる手順は、頑健なベイジアンの枠組
ベイジアン枠組み みに依拠しています。
1) モデルを柔軟にするため自由パラメータ θ を追加します。
θ 1 … θ5
θ6
θ7
θ8
を 5 個の地域因子の標準偏差のスケール
をバリュー／グロース因子の標準偏差のスケール
を残る因子の標準偏差のスケール
を銘柄固有標準偏差のスケール
とします。
2) S&P500 のオプション予想変動率などの市場情報がリスクモデル
の算出対象であれば、当然 S&P500 の分散そのものを取ります。
ĝ = 直近の S&P 500 予想変動率
ĝavg = S&P 500 予想変動率の過去の水準
ŝ = ĝ / ĝavg
g = 元のモデルにおける S&P500 の分散予想値
gθ = θ で調整したモデルにおける S&P500 の分散予想値
sθ = gθ / g
とします。
3) パラメータ θ は 、予想値の相対的な比率 sθ が市場で観測される相
対的な比率 ŝ に合うように調整されます。
4) 適合の基準は、市場情報のベイジアンモデルに基づきます。
p(θ)
p(ŝ)
= パラメータ θ の事前分布
= 観測する統計量 ŝ の無条件確率
p(ŝ|θ) = パラメータ θ を所与とした観測値 ŝ の確率
p(θ|ŝ) = 観測値 ŝ を所与としてパラメータが θ である確率
データを所与として最も確からしい自由パラメータの構成を探し
ます。即ち、ŝ を所与とした θ の最大事後確率（MAP）推定量で
す。
θMAP = argmaxθ p(θ|ŝ) = p(ŝ|θ) × p(θ) / p(ŝ)
= argmaxθ log p(θ|ŝ) = log p(ŝ|θ) + log p(θ) – log p(ŝ)
= argmaxθ log p(ŝ|θ) + log p(θ)
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適応的短期リスクモデル
観測値 ŝ が予想値 sθ のノイズを含む観測値であると仮定します。
ŝ = sθ + ε
p(ŝ|θ) = p(ŝ|sθ) = p(ε = ŝ – sθ)
ノイズの分布が損失関数を決定します。
2
εk ~ Gaussian[0, σk2]
→ log p(ŝ|θ) = ∑k [ŝk – sθk] / 2σk2 + 定数
εk ~ Laplace[0, bk]
→ log p(ŝ|θ) = ∑k |ŝk – sθk| / bk + 定数
5) 非線形最適化により最適な θ が求められます。
分散と横断的分散の 横断的分散は、分散と相関の両方の影響を受けます。分散のレベルが増
関係 加すると横断的分散は増加しますが、銘柄間の相関が高まると減少しま
す。全体的な分散の尺度である、例えば予想変動率指数と組み合わせれ
ば、横断的分散により相関の変化を捉えることができます。
ws =
rs =
r=
μs =
μ=
σs2 =
σ2 =
ρ=
銘柄 s の参照ポートフォリオにおけるウェイト、即ち∑s ws = 1
銘柄 s のリターン
参照ポートフォリオのリターン, 即ち r = ∑s ws rs
銘柄 s の期待リターン
参照ポートフォリオの期待リターン, 即ち r = ∑s ws μs
銘柄 s の分散
参照ポートフォリオの分散
銘柄間の平均相関
σxs2 = 参照ポートフォリオの横断的分散
= ∑s ws [rs – r]2
= ∑s ws [(rs – μs) + (μs – μ) + (μ – r)]2
= ∑s ws (rs – μs) 2 + ∑s ws (μs – μ) 2 + (μ – r)2
+ 2 ∑s ws [(rs – μs)(μs – μ) + (rs – μs)(μ – r) + (μs – μ)(μ – r)]
= ∑s ws (rs – μs) 2 + ∑s ws (μs – μ) 2 – (r – μ)2
+ 2 ∑s ws (rs – μs)(μs – μ)
期待値を取って
E[σxs2] = ∑s ws σs2 + ∑s ws (μs – μ) 2 – σ2
≈ ∑s ws σs2 – σ2
= 銘柄の平均分散 –指数の分散
第 2 項は無視できるので
∑s (wsσs)2 + ∑s∑t≠s (wswt ρσsσt)
ここで σ2 =
= (1 – ρ) ∑s (wsσs)2 + ρ ∑s∑t (wswt σsσt)
= ∑s (wsσs)2 + ρ [(∑s ws σs)2 – ∑s (wsσs)2]
を想起してください。
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適応的短期リスクモデル
ノースフィールドが
なぜお客様に
適しているのか
強力で一貫性があり比 ノースフィールドのリスクモデル・シリーズは、世界中の多くの国で 15
較可能な 年以上もの間、お客様のポートフォリオの構築・分析を支援して参りま
総合リスクモデル した。当社のリスクモデルは、健全な理論的・学術的基礎に立脚してお
り、明確かつ直観的に理解しやすく、情報量が豊富で、しかも比較可能
です。標準的なベンチマークやカスタマイズしたベンチマークに対する
適切な評価尺度を用いて、多様なポートフォリオを分析することができ
ます。システマティックな、あるいは証券固有のリスク源を、素早く、
明確かつ容易に特定できます。
オープンモデル： ノースフィールドには、お客様に対してオープンであること、そしてお
オープンシステム 客様とパートナーシップを築くという理念があります。当社は、何も隠
ブラックボックスなし！ さない｢ガラスの箱｣を提供し、支援いたします。お求めに応じて、モデ
ル構成の全詳細を明確に説明いたします。ノースフィールドは、中身を
開示しない｢ブラック･ボックス｣ビジネスはいたしません。
グローバル、地域、 ノースフィールドのリスクモデルシリーズの分析対象は、非常に広範囲
国、資産を対象 です。この Everything Everywhere (「EE」)グローバル債券・株式リスク
モデルから、グローバル、国・地域別、その他の特殊な株式リスクモデ
ルに至るまで、58,000 以上の株式と約 35 万の債券商品を対象としていま
す。EE モデルで追加された対象範囲は、110 万の米国地方債、100 万の
MBS、エージェンシー・パススルー証券、10 万の米国 CMO と ABS を含
みます。お客様のポートフォリオの資産が、万一当社のシステムに組み
込まれていない場合（未公開株式や新規公開直後の株式など）、お客様
ご自身でそれらの資産をシステムに追加できるようなツールと使用方法
をご提供しています。
高機能、柔軟、強固で ｢箱の表に書いてある通り｣－ノースフィールドのシステムは柔軟かつ頑
オープンな 健であり、またオープンでもあります。お客様の独自の見解を反映させ
ソフトウェア・システム るべく、入力を管理・変更することが可能です。出力はテキストファイ
ルの形で保存され、お望みの方法でご利用いただけます。PC、Unix、
Linux、ファクトセットのプラットフォームでお使いになれる当社のソフ
トウェアは、その信頼性と機能性の点から定評があります。
提携会社 ノースフィールドは、企業情報サービス会社数社と提携し、お客様が複
数のプラットフォームからノースフィールドの分析にアクセスできるよ
う機能強化を図っています。提携会社には、ファクトセット、クラリフ
ァイ、クォンタティブ・サービス・グループ、ソフトパック、トムソ
ン・ロイターなどがあります。
イノベーション ノースフィールドでは、お客様がご使用になる上で、更に有益な特徴と
機能を追加すべく、常に努力しております。最近のイノベーションの例
では、 ロング・ショートのヘッジファンドを単一のヘッジファンドとし
て適切に管理する機能、合成資産をポートフォリオの一部として正確か
つ適宜に管理する機能、最適化プロセスにおける非線形取引コストを管
12
ノースフィールド・インフォメーション・サービス
ボストン・シカゴ・ロンドン・東京・ www.northinfo.com
適応的短期リスクモデル
理する機能、等々が挙げられます。
卓越した研修、 ノースフィールドのスタッフは、長年の経験に基づき、優れたトレーニ
サポート、そして ングとサポートを提供し、お客様を精力的に支援して参ります。
ソリューション
13
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