力学1

力学１
2005/04/22
大阪大学大学院理学研究科：林田 清
http://wwwxray.ess.sci.osakau.ac.jp/~hayasida
第一章(続き）
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ステラナビゲータによるデモ
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地心座標での星座の動き、惑星の動き
赤道座標での惑星、太陽の動き
太陽系座標での惑星の動き
天動説モデルの図1.5
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„
„
„
ベクトルの記述は相対的なので、地球中心に考えたらこのようなモデ
ルでも大きな不具合はなく惑星の動きを説明できる。
ただし、全てが円軌道としているので誤差が生じる。
また、それぞれの惑星がこのような動きをする理由（物理的な説明）
は不可能。
水金(内惑星）と火木土（外惑星）の区別も不自然
第一章（コペルニクス以降）
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コペルニクスは紀元前のギリシア人（アリスタルコス等）の考
えていた地動説を堀り起こし、かつ軌道半径と公転周期の間
にある関係があることを示唆した。（定量的に求めたのがケ
プラーの法則）
ティコプラーエは惑星の運動の精密な観測を行い、それを
もとにケプラーがケプラーの法則を導いた。
一方で、ガリレオ（ほぼケプラーと同時代の人）は落体の運
動に関して実験を行い等加速度の法則を見出した。
„
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仮説にもとづく理論式<->実験による検証という近代科学の枠組み
の開祖
ニュートン（1687) 惑星の運動も落体の運動も統一的に説
明する古典力学が（一応の）完成 300年以上前！
年表 図1.8,図1.9
表１．２（問題１．４） 軌道半径と周期
線形グラフ
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両対数グラフ
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Linear-Linear
Log - Log
10
10
1
8
6
1
4
2
0
0
2000
4000
6000
T(days)
8000
10000
12000
0.1
10
100
1000
T(days)
10000
100000
自然対数：eを底とする lnという記号を使うこともある
常用対数：10を底とする log10という記号を使うこともある
対数グラフ
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両対数グラフで直線はべき関数
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„
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Log - Log
1
片対数グラフで直線は？
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X=logx,Y=logy, Y=AX+B
10
logy=Alogx+log(10B)
y=10BxA
指数関数
対数グラフの読み方
„
1
例：赤は緑の何倍か？
0.1
10
100
1000
T(days)
10000
100000
近似
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マクローリン展開
f ( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + " + an x n + "
x = 0を代入してa0 = f (0)
微分してx = 0を代入してa1 = f ′(0)
これを繰り返すことで
f ′′(0) 2
f ( n ) (0) n
f ( x) = f (0) + f ′(0) x +
x +"+
x +"
2!
n!
が示せる（マクローリン展開）
任意のx=x0のまわりに展開する場合テイラー展開と呼ぶ
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応用例（近似値を求めるときよく使用する）
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x<<1のときsin(x)~x （角度の単位はradian）
x<<1のとき ex ~1+x
コンピュータの内部の計算にも無限級数が使用され
ている
第２章 質点の運動とその法則
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質点の位置ベクトル、速度、加速度
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高校で既習？
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質点(particle, point mass, material point)：物体
の大きさ（変形や重心のまわりの回転運動は無視する）
位置→（微分）→速度→（微分）→加速度
位置←（積分） ←速度← （積分） ←加速度
微分：グラフの傾き
積分：グラフの面積
Physletのデモ Illustration 2.6
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http://webphysics.davidson.edu/Applets/Apple
ts.html
位置ベクトル
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位置ベクトル
G
原点Oを始点、質点Pの位置を終点とするベクトルrを質点Ｐの位置ベクトルと呼ぶ
G
Pの座標が(x,y,z)のとき成分表示でr = ( x, y, z )
G
G
G
基本ベクトル ex = (1, 0, 0 ) , ey = ( 0,1, 0 ) , ez = ( 0, 0,1)を使うと
G
G
G
G
r = xex + yey + zez
rの大きさは x 2 + y 2 + z 2
方向余弦 ( l , m, n ) ≡ ( x / r , y / r , z / r )
速度ベクトルと加速度ベクトル
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速度(velocity)
G
G
時刻tにr ( t )にあった質点が時間∆tの後にr ( t + ∆t )に移動していたとする
G G
G
変位∆r ≡ r ( t + ∆t ) -r ( t )
G
平均の速度 ∆r ∆t
G
G
G
r ( t + ∆t ) -r ( t )
G dr
（瞬間の）速度 v ≡
≡ lim
dt ∆t →∞
∆t
G
dy G dz G
G dr dx G
= ex +
v≡
ey + ez
dt dt
dt
dt
dx
G
⎛ dx dy dz ⎞
のかわりにxとかく
時間微分
成分表示ではv ≡ ( vx , v y , vz ) = ⎜ , , ⎟
dt
⎝ dt dt dt ⎠
加速度(acceleration)
d2x
こともある。２階微分 2 は
x
dt
G
G
G
v ( t + ∆t ) -v ( t )
G dv
加速度 a ≡
≡ lim
dt ∆t →∞
∆t
⎛ dvx dv y dvz ⎞ ⎛ d 2 x d 2 y d 2 z ⎞
G
,
,
成分表示ではa ≡ ( ax , a y , az ) = ⎜
⎟=⎜ 2 , 2 , 2 ⎟
dt
dt
dt
⎝
⎠ ⎝ dt dt dt ⎠
等速円運動
半径r0の円周上を一定の角速度ωで回転する質点
G
位置ベクトルはr = (r0 cos ωt , r0 sin ωt , 0)
G
G dr
速度v =
= (− r0ω sin ω t , r0ω cos ω t , 0)
dt
G
速度の大きさ v = r0ω
G
G dv
G
加速度 a =
= (− r0ω 2 cos ωt , − r0ω 2 sin ωt , 0) = −ω 2 r
dt
G G
G G
v ⋅ r = 0, v ⋅ a = 0であることを確かめよ
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Physlet E3.6
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http://webphysics.davidson.edu/Applets/Applets.html