ç 関数 f(x) のテイラー展開（正確には、x = 0 のまわりのテーラー展開

ç 関数 f (x) のテイラー展開（正確には、x = 0 のまわりのテーラー展開）
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テイラー展開の公式
1
1
1
f (x) = f (0) + f 0 (0)x + f 00 (0)x2 + f 000 (0)x3 + ÅÅÅ+ f (n) (0)xn + ÅÅÅ
2
6
n!
1
X
1 (k)
=
f (0)xk
k!
k=0
3 素朴な『証明』3
ê
ë
展開可能性を仮定して、展開係数を決めることにする。つまり
f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ÅÅÅ
=
1
X
a k xk
k=0
とおく。この両辺で x = 0 とすると
a0 = f (0)
を得る。次に、両辺を x で１回微分して、その後 x = 0 とすると
a1 = f 0 (0)
を得る。同様にして、両辺を x で n 回微分して、その後 x = 0 とすると
1
n!an = f (n) (0) つまり　an = f (n) (0)
n!
を得る。
コメント
è この『証明』は展開可能性を仮定している点などで、厳密な証明ではありません。
（厳密な証明については数学の講義・教科書を参照してください）。
è 関数 f (a + x) を x = 0 のまわりで展開すると
1
1
1
f (a + x) = f (a) + f 0 (a)x + f 00 (a)x2 + f 000 (a)x3 + ÅÅÅ+ f (n) (a)xn + ÅÅÅ
2
6
n!
1
X
1 (k)
=
f (a)xk
k!
k=0
を得ます。ここで a + x を x と置き直すと
1
1
f (x) = f (a) + f 0 (a)(x Ä a) + f 00 (a)(x Ä a)2 + f 000 (a)(x Ä a)3 +
2
6
1 (n)
ÅÅÅ+ f (a)(x Ä a)n + ÅÅÅ
n!
1
X
1 (k)
=
f (a)(x Ä a)k
k!
k=0
となり、これが、最も一般的な x = a のまわりのテイラー展開です。
è x = 0 のまわりのテイラー展開はマクローリン展開とも呼ばれます。
è テイラー展開の右辺の無限級数はテイラー級数と呼ばれます。