変数分離型

変数分離型
矢崎
目次
演習問題 人口論
演習問題 注
問題 これだけは！
（初級）
問題 脳みそに汗が；
（中級）
問題 むむ、御主只者でないの。（上級）
演習問題 ニュートン の万有引力の法則によれば、引力は加速度に比例
し、距離の 乗に反比例する。地球が半径 の球体だとし、その中心から
の距離を とする。加速度を とすると距離の 乗に反比例するから
とおける。地表面 において、 （ は重力加速度）
だから、 を得る。また、速度 は であるので、
である。よって、微分方程式の初期値問題
初速度
を得る。
問題
以下の各問に答えよ。
を解け。
任意の に対し、 の解 が となるような の値の内、最小となる値―それを と書く―を求めよ。
（赤道半径）、 （重力加速度）とし
て、おおよその地球からの脱出速度 を計算せよ。
問題
を定数とする。次の各問に答えよ。
の一般解 を求めよ。
としたときの特解を求め、点 の軌跡を描け。
人口論
グラント によれば、 年ごとに人口は 倍になる。アダムとイブ
（紀元前 年（当時））から考えると、 として、紀元前 年に 人だったのが、 年には 人になる。地球
の半径を とすると、地表面積は約 である。
の
大雑把に計算して、 !" # !" # なので、
オーダー。よって、 地表面積
億人 となる！
週間ごとの死亡
者数、出生数のデータを
教会にストックしておき、
ペストの流行を予言しよ
うと試みた。
マルサスの法則
マルサス は、人口は幾何数列的に増加し、食料は算術数列で増加 する。だから、貧困は必然であると示唆し、人口は抑制されなければなら ないと論じた。
を初期時刻の個体数、 を時刻 での個体数とする。時
刻 までの間の個体数変化 $ は、
$ $ $ とかける。ここで、$ は出生数、$ は死亡数である。これ
らは、時刻 での個体数に比例すると考えられるので、
出生率 死亡率 !
増殖率 "!# $ 出生率
$ 死亡率
増殖率
$% をぞれぞれ定義する。これより、
より、
増殖率が に依存しない、つまり環境が変わらない理想的な場合、
とおける。よって、
である。
を に依存しない数とし、 とおく。これより、
を得る。
だから、 同様に、 とおくと、 を得る。
$
とおくと、
!%
$
$
!" を得る。方程式、
をマルサスの方程式と呼ぶ。
問題
とし、マルサスの方程式の解を求めよ。
ベルハルストのロジスティック
ベルハルスト は次のように考えた。人口増加の条件を
& '# (
)
において、以下の条件を考えた。
（少なくとも一つのつがいが必要）
もし だとすると、 ならばマルサスの法則そのもの
で、 ならば指数的減少（だからおかしい）。したがって、 かつ ならよさそうだ。そこで、 とおき、
を個体数の上限とする。そして、
である。
とした。
をロジスティック
問題
方程式と呼ぶ。
以下の各問に答えよ。
とし、ロジステック方程式の解を求めよ。
の解 は としたとき、どのような値に漸近するか。
としたときの解のグラフを描け。
演習問題 問題
以下の微分方程式を解け。
問題
問題 の解のグラフの概形を描け。