局所的な非決定性と複数定常均衡

第６章
世代重複モデルと消費税率の内生化
－局所的な非決定性と複数定常均衡－
本章では内生化された所得税率を２期間の世代重複モデルの中で取り上げる．毎年の政府
の予算均衡の手段として消費税が選択されるようなケースを内生的な消費税という．政府
の予算制約政策としての内生的な消費税率と経済的な不安定性の発生の関係を理論的に考
察する．
６-１. モデルの基本構造
ライヒリン（Reichlin）により考案された２期間の世代重複モデル（JET, 1986）に政府部
門を明示的に考慮する．そのモデルとは，以下で示されるような消費者，企業家および政
府が存在する．
消費者
消費者は２期間（若年期と老年期）生存するが，彼らは老年期のみの消費に関心があり，
それゆえ若年期において得た労働所得を全て貯蓄する．彼らは老年期において引退し，労
働を行わない．よって若年期に行った貯蓄を切り崩すことにより老年期の消費を賄うので
ある．
以上の消費者の行動を定式化すると以下のようになる．
,
Max
(1)
(2)
s.t.,
1
1
(3)
ただし
若年期の労働供給量，
老年期の消費量，
収益率（貯蓄からの純収益率）および
＝賃金率，
貯蓄量，
＝資本の
＝消費税率 である．
上記の最適化問題を解くと以下の式が得られる．
≡
. ただし，Ψ ≡
(4)
である.
(2), (3) と (4)式から賃金に対する労働供給の弾力性は
1
となる. よってその値が正とな
るように以下のことを仮定する．
仮定 1: 0
1 (i.e., 0
Ψ
φ
1 and ξ
0 .
企業
企業の行動について考える．代表的な企業は資本（ ）と労働（ ）を組み合わせて生産
物（ ）を生み出す．生産はコブ・ダグラスの技術（Cobb-Douglaus technology）であるとす
る．
1
,
(5)
企業の利潤最大化条件より，以下の式が導出できる．
＝
≡
,
および
1
≡
,
(6)
政府
政府行動について考える．本章では内生的な消費税率（Endogenous consumption taxes）に
ついての政策的なインプリケーションを引き出すことが目的である．よってそれ以外の税
を無視して分析を行い，政府支出は消費税によってのみまかなわれるものとする．そのと
き政府の予算制約式は以下のようになる．
(7)
政府支出が一定値に固定されていることに注意すると（７）式を満たすように消費税率が
内生的に決定することを示す．
市場均衡
市場の均衡条件を導出する．消費者が若年期（ t 期）に行った貯蓄 が資産投資に等しく
なるとき財市場は均衡している．前節と同様，資本の減耗率が 100％であり，富の貯蔵手段
として資本ストックのみが存在すると仮定する．そのとき
が均衡式となり，(2), (4),
(6) と (7)を用いてそれを表現すると
,
(8)
となる．
(3), (4), (6), (7) と
を用いて
,
(9)
を得る.
ゆえに（８）と（９）式から消費と資本ストック
６-2．定常状態
2
,
の時間的経路が決定する．
本節では定常解が存在するかどうかを考える．全ての経済変数が時間を通じて一定値を
̅ と
とるとき，経済は定常状態にあると考えられる．そのとき
が
成り立つ．(ただし， ̅ は変数 x の定常値を示す.)
, ̅ は以下の式を解くことにより得られる．
（８）と（９）式より定常値
̅
1
(10-1)
̅
(10-2)
上２式より定常解の存在に関して以下のように要約できる．
命題 1 (内生的な消費税率): 政府支出の大きさが極端に大きくなければ，２つの定常解
（Multiple steady states）が存在する．
証明: 図１を参照のこと.
図１は政府支出が0
の範囲にあるとき２つの定常解が存在し，
きは定常解が存在しないことを示している．
（政府支出が
範囲にあると
に等しいとき２つの定常解が１
つに合体する．）
命題１から消費税率が内生化されているとき定常解が２つ存在するということに対して
経済的にいかなる説明が可能なのであろうか．消費税率を横軸に消費税収を縦軸にとると
ラッファ‐カーブが描け，図 2 よりなぜ消費税率が内生化されたとき複数定常均衡が生じ
うるのか理解できる．さらに定常状態における内生的に決定する消費税率
∗
1,2 につい
て以下の命題を得る．
命題 2：政府支出 を 0 から
まで引き上げると低位均衡
1
, ̅ における税率
へ減少し，高位均衡
∗
は 0 から1
証明：政府の予算制約式(7)式に(10-1)式を代入すると
∗
に(10-2)式を代入すると
とき高位均衡
係式を
∗
1
, ̅ は
∗
∗
∗
∗
1
∗
∗
∗
を得る．
かつ → 0のとき低位均衡
へ代入したなら命題 2 を得る．
3
, ̅ における税率
∗
は 1 から
へ増大する．
∗
g∙
∗
のとき
, ̅ は
を得る．さらにこの式
∗
∗
∗
であり，
0の
→ 0である．これらの関
6- 3．内生的な所得税率と非決定性
内生的な資本所特税率のケースにおいて定常解が 2 つ存在しうることが判明した．本節
ではそれぞれの定常解の局所的な安定性について考える．そのためには（８）と（９）式
を定常状態
, ̅ で線形近似を行うと以下の式が得られる．
⁄
/ ̅
̅
/ ̅
⁄
(12) 1
̅
0
（１２）式の行列式のディターミナント(D)とトレース(T)を計算すると
/ ̅
0
(13-1)
(13-2)
/ ̅
となる．（１３）式より政府支出 g の値を変化させると定常状態における消費‐資本比率
̅/ を通じて
,
の値に影響を与える．いうまでもなくトレースは行列式の二つの固有値
の和を表し，ディターミナントはそれらの積を表す．ゆえに定常解の近傍における経済変
数の動学経路を知るためには（１３）式の大きさを調べなければならない．その前に以下
のことを定義しておく．
定義１：図１において小さいほうの定常解を
, ̅ とし，大きいほうの定常解を
, ̅ と
する．
また，（１３）式より以下２つのレンマが得られる．
レンマ１：政府支出 g の大きさにかかわらず
レンマ 2: 0
に対して
は直線Δ：
1 かつ
の範囲において
1
,
上に位置する．
1 が成立する．さらに
が成立する.
証明：レンマ１は（13）式より明らか．レンマ２については Appendix １を参照のこと.
ここで以下のことを仮定する．
仮定２： 0
a は生産における資本のシェアを表し，実証研究ではその値は 1/3 前後であると考えられる
ので，仮定２は現実的な整合性をもつ．
仮定２よりラインΔの位置は図 3 のように示せ，0
命題が示せる．
1詳しくは
Appendix 2 を参照のこと．
4
である限り，図 3 より以下の
命題３：高位の定常均衡
, ̅ は常に鞍点（Saddle point）であるが，低位の定常均衡
, ̅
は常に完全安定（Sink）であり定常解へ収束する経路は無数に存在し（Indeterminacy），よ
ってその近傍において非決定性が生じる．
証明：高位(低位)の定常均衡で評価された
,
はラインΔの実線(点線)部分のどこかに存在
することより明らかである．図 3 を見よ．
複数の定常均衡解の存在は初期の所得水準がほとんど同じである２国について，ある国
が高位の定常均衡へ通ずる経路を選択し，別の国は低位の定常均衡（Poverty traps）へ達す
る経路を選択した場合，長期的に決して消滅し得ない所得格差が生じることを示唆してい
る．また局所的な非決定性に関しても初期の所得水準がほとんど同じであっても共通の定
常解へ収束する過程において全く異なった成長経路をたどる可能性があることを示唆して
いる．
６-4．経済学的な解釈
それではなぜ 4 節と 5 節のような結論が得られたのであろうか？それを理解するために
労働市場に焦点をあてる．
いま経済が定常状態にあると仮定し，労働者が将来的に利子率の上昇より老年期により
大きな消費が可能であると期待しているとする．すると（4）式より若年期に多く労働を行
い，多くの貯蓄を行なう．すなわちより多くの資本投資を実施するのである．来期の労働
の変化量が今期の変化量に比べて小さいとき定常解が完全安定性（Sink）になる可能性が高
いと考えられる．
今期と来期の労働の動きを理解するため（9）式を以下のような形で書き直す．
1
(16)
（16）式を満たすように来期の労働量が変化する．
内生的な消費税率のときより多くの資本投資は資本所得を引き上げ，政府の予算制約式
（７）式より税率の低下を意味する．ゆえに（16）式の右辺の係数の低下をよって資本投
資により資本の収益率が減少した2としても税引き後の資本の収益率が上昇し，均衡の非決
定性が生じることが可能なのである．
６-5．結論
本稿では政府予算の収支を均衡させるために消費税率で調整するケースを考察した．そ
2
(6)式より税引き前の資本の収益率は資本ストックの減少関数である．
5
のとき局所的な非決定性や複数定常均衡による貧困の罠などの経済的に不安定な現象が生
じた．よって経済的な安定性の観点から目標とする予算を実現するためには，税率をつう
じて行うことは推奨することができないことが証明されたのである．
Appendix １ (レンマ２の証明)
(10-1)から以下の式を得る．
̅
̅
,
1,2
(1-1)
また，(10-2)を用いると,
̅
, (i=1,2)
(1-2)
を得る．
図３より低位（高位）の定常均衡において
(１－１) < (>) (１-２).
(1-3)
が成立する．
さらに (13-1) と(13-2) を用いることで
1
̅
=
.
(1-4)
を得る．
(1-3) と (1-4)を考慮すると
1 と
1.
のとき(1-1)＝(1-2)より
であることが分かる．さらに
1が成立する．
Appendix ２
(９‐１)式を
, ,
,
0
とおき，全微分すると
(2-1)
を得る．
定常状態で
0が成立していれば，以下の関係が成り立つ．
6
⁄
⁄
⁄
⁄
上２式の公式を用いて(9-1)式を定常状態で線形近似すればよい．
(10  1)
c
g
0
k1
(10  2)
k2
図１: 内生的な資本所得税率と複数定常均衡
7
k
税収  c  c
g  gS
0  g  gS
0
 c2
 rS  1 
 c1
b
1 a
税率  c
図 2：内生的な消費税率とラッファーカーブ
D
D  a T
C
1
1
B
0
T
1
T1 , D1 
A
1
T2 , D2 
図 3：内生的な資本所得税率と局所的な安定性
8
第６章の課題
提出日：マクロ動学の試験終了後
第６章と同一のモデルを考える．ただし，レジメの(1)式を
1
および(7)式を
1
，(2)式を
に変更する．すなわち内生的な労働所得税のケ
ースを考える．このとき以下の問いに答えなさい．
１）レジメの(8)と(9)式に相当する式がそれぞれ
,
,
,
となることを示しなさい．
２）設問１）の２式を用いて政府支出が極端に大きくなければ定常状態が２つ存在するこ
とを示しなさい．
３）２つの定常解の局所的な安定性を考察しなさい．