第21回の解答・解説

解説編です。問題文を正しく理解し、図示し、解答が書けたでしょうか。そしてその解答の英文は、正し
く書けているでしょうか。
【Problem】
Let s be any arc of the unit circle lying entirely in the first quadrant. Let A be the area of the region lying below s and
above the x-axis and B the area of the region lying to the right of the y-axis and to the left of s. Prove that the sum of
these areas, A + B, depends only on the arc length, and not on the position, of s.
＜問題文を和訳＞
【問題】
第１象限内の単位円上にある弧を s とする。s の下、x 軸の上にある領域の面積を A とし、y 軸の右、s の左
にある領域の面積を B とする。これらの面積の和 A + B が弧 s の長さにのみ依存し、s の位置に依存しない
ことを示せ。
＜解法の流れを確認＞
弧 s の両端をそれぞれ M、N とし、x 軸、y 軸それ
ぞれに垂線をおろし、交点をそれぞれ右図のように
定めます。また、線分 MP と線分 NR の交点を T と
します。
M
すると、A は PQNM の面積、B は SRNM の面積で
S
あり、これらの面積の和が弧 s の長さにのみ依存す
R
s
T
N
ることを示せばよいことになります。
また、PQNM の面積は TNM の面積と四角形 PQNT
P
Q
の面積の和に等しく、四角形 PQNT の面積は TNQ
の面積２つ分に等しい。さらに等積変形から
△TNQ の面積 = △TNO の面積であることが分かるので
A = TNM の面積 + △TNO の面積 × 2
となります。
同様に B についても、△TMS の面積 = △TMO の面積という等積変形を用いれば
B = TNM の面積 + △TMO の面積 × 2
となります。ゆえに
A + B = ( TNM の面積 + △TNO の面積 + △TMO の面積 ) × 2
すなわち、扇形 ONM の面積２つ分であることが分かります。扇形 ONM は半径１なので、その面積は中心角
のみに依存、すなわち弧 s の長さにのみ依存し、その位置には依存しないと言えます。
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＜英語で解答を作成＞
【図形の名前】
まずは様々な図形の名前を英語で何と言うか、おさえておきましょう。
三角形
triangle
平行四辺形
parallelogram
正三角形
equilateral triangle
ひし形
diamond
二等辺三角形
isosceles triangle
台形
trapezoid, trapezium
直角三角形
right triangle
円
circle
四角形
quadrangle
単位円
unit circle
正方形
(perfect) square
楕円
oval
長方形
rectangle
扇形
sector
【図示】
垂線を下ろし、交点に名前をつけましたので、解答でこれを述べておきましょう。垂線、交点はそれぞれ
英語で a perpendicular line、a point of intersection of intersection（又は an intersection point）と表現します。
「図
のように」は慣用的な表現として as shown in figure を用います。図が２つ以上ある場合は figure 1 などと名付
けて as shown in figure 1 と書けばよいですね。
また、等積変形は難しく用語を使おうとするのではなく、
「面積が等しい」と表した方が明確に意味が通じ
ます。
「面積が等しい」は例えば be equal to the area of ~などです。今回の解答では area（面積）という語を何
度も使うのは面倒なので、[ ]が面積を表すと定めて使いました。
「記号が～を意味する」は denote を用いるの
が適切でしょう。ちなみに[ ]は square bracket または単に bracket と言います。
【証明に用いられるつなぎ言葉】
証明の解答を英語で書くときは、つなぎ言葉に注意が必要です。consequently「従って」、similarly「同様に」、
conversely「逆に」、if and only if「～のときに限り」
（これは以前取り上げましたね）、namely「明確に言えば、
すなわち」、suppose (that)「～とすると」などです。もう少し深く見てみましょう。suppose that と provided that
の違いは何でしょうか。どちらも if の代用だが、前者は仮定法とともに使う？そんなことはありません。
suppose は「仮定する」、provided は「与えられる」の意なのですから、当然その語の含む意味は異なります。
数学において「与えられる」のは条件ですから、
「〜という条件下では」という意になります。また、suppose
は前提として「〜と仮定して」いるわけですが、
「非現実」であることを示す仮定法を使う理由がありません。
直接法を用います。実際、suppose that は確実性が高い場合は直接法現在を使う、などと辞書にも表記されて
います。以下に具体的な使われ方を示しておきます。
Suppose that a fair coin is tossed 3 times. What is the probability that 3 heads come up?
「公正な歪みのない硬貨を３度投げると仮定する。表が３度出る確率はいくらか」
Prove that the following function is continuous, provided that a is real.
「a が実数という条件下で次の式が連続であることを示せ」
また、証明において口語的表現は極力避けましょう。and や but、so ばかり使うのではなく、書き言葉で書
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くべきです。例えば and ではなく moreover や further を、but ではなく however や nevertheless、so の代わりに
therefore や hence を用いるようにしましょう。また、moreover や however は接続詞ではなく、接続副詞です
ので使い方にも注意が必要です。接続詞は文章と文章を繋ぎますが、接続副詞で文同士を繋ぐ際には接続詞
などの助けが必要です。
○ I caught a cold, and therfore I took the medicine.
○ I caught a cold. Therefore, I took the medicine.
○ I caught a cold; therefore, I took the medicine.
× I caught a cold, therefore I took the medicine.
【仮定法】
せっかく仮定法を少し取り上げましたので、こんな話をしましょう。仮定法で「まだ起きておらず、起き
る可能性の低いこと」を述べる際に were to や should を用いますが、その違いをどう理解していますか。were
to の方が、より起こる可能性の低いことを述べる？いえいえ、それでは不十分です。were to は「議論上の仮
定をする」際に使われます。例えば、以下は理科のとある問題文です。
If you were to drop a bowling ball and a ping-pong ball at the same time, which ball would hit the ground first?
「ボウリングとピンポンの玉を同時に落としたら、どちらの玉が先に地面に着くだろうか」
ここではもちろん、起きる可能性が高いか低いかが問題なのではなく、hypothetical な議論をしたいだけです
ので were to が用いられています。
＜あとがき＞
論理を示す言葉や文法を状況に合わせて適切に用いる力は、英作やこのような数学・理科を「英語で解く」
というように、英語を道具として使う際に特に必要になってきます。さらなる知識を広げ、そして深め、こ
の英語という道具を使いこなせるようにしていきましょう。
【Solution】
Let M, N be the ends of the arc s. Draw perpendicular lines from each end of the arc s to the x-axis and the y-axis,
and let P, Q, R, S be four points on the x-axis or the y-axis as shown in figure.
Let T be the intersection point of MP
and NR. Using brackets to denote areas, we have [△TNQ] = [△TNO] Therefore, A = [TNM] + [PQNT] =
[TNM] + [△TNO] × 2. In a similar way, we have B = [TNM] + [△TMO] × 2. Thus, A + B = [sector OMN] × 2,
which is dependent only on the central angle of the sector OMN since its radius is 1. As there is a proportionate
relationship between the central angle of the sector and its arc length, we can say that A + B depends only on the arc
length.
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