三平方の定理 A B C D G F H c b b b b a a a a E c a b H G F E

数学Ｇアップシ－ト ３年第６章 三平方の定理(２)
－三平方の定理を証明できるようになろう－ p.150,151
学習日
月
日
年
組
番 氏名
１
３年６章
Ｎｏ．２
空らんをうめて，三平方の定理を確認しなさい。(p.151)
○三平方の定理
定理
Ａ
直角三角形の
の長さをａ，ｂ， ｃ
ｂ
の長さをｃとすると，次の関係が成り立つ。
Ｂ
２ 次の図のように，正方形ＤＢＡＥの外
側に△ＡＢＣと合同な直角三角形を３つ
かき加えると，１辺の長さがａ＋ｂの
正方形ＦＧＣＨができます。このとき，
ａ２＋ｂ２＝ｃ２となることを空らんを
うめ証明しなさい。
(p.150)
ａ
Ｆ
ｂ
Ｅ
ｂ
Ａ
ｃ
ａ
ｂ Ｂ
ｂ
ａ
Ｃ
１辺がｃの正方形ＤＢＡＥの面積は，
(正方形ＦＧＣＨの面積)
－(△
であるから
ｃ ２＝
＝
Ｃ
３ ∠Ｈ＝90°の直角三角形ＡＨＤと合同
な直角三角形を，次の図のように並べま
す。このとき，ａ２＋ｂ２＝ｃ２が成り立
つことを証明しなさい。
(p.150)
Ｄ
ｃ
Ａ
Ｅ
ａ
ｂ
Ｈ
ａ
Ｄ
Ｇ
Ｈ
ａ
(
(
＝
すなわち
ａ２＋ｂ２＝
の面積)×
２
)
１
－ ×ａｂ×
２
)－２
Ｆ
Ｂ
Ｇ
Ｃ
３年６章
１
Ｎｏ．２
＜解答・解説＞
○三平方の定理
定理
Ａ
直角三角形の 直角をはさむ２辺 の長さをａ，ｂ，
斜辺 の長さをｃとすると，次の関係が成り立つ。
ａ２＋ｂ２＝ｃ２
２
ａ
ｂ
Ｅ
ｂ
Ｄ
Ｇ
ｂ Ｂ
ｂ
Ｅ
ａ
Ｈ ａ
Ｆ
Ｇ
Ｃ
ｂ
ａ
Ｂ
Ｃ
１辺がｃの正方形ＤＢＡＥの面積は，
(正方形ＦＧＣＨの面積)
－(△ ＡＢＣ の面積)× ４
であるから
２ １
ｃ２＝ ａ＋ｂ
－２×ａｂ× ４
＝ ａ２＋２ａｂ＋ｂ２ －２ ａｂ
＝ ａ２＋ｂ２
すなわち ａ２＋ｂ２＝ ｃ２
(
(
Ｃ
ａ－ｂ
Ａ
ｃ
ａ
ｃ
Ｈ
ａ
ｂ
Ｄ
Ａ
ａ
Ｂ
３
ａ＋ｂ
Ｆ
ｃ
)
)
１辺がｃの正方形ＡＢＣＤの面積は
(正方形ＥＦＧＨの面積)
＋(△ＡＨＤの面積)×４
であるから
２
ｃ２＝( ａ－ｂ ) ＋
１
×ａｂ× ４
２
＝(ａ２－２ａｂ＋ｂ２)＋２ａｂ
＝ａ２＋ｂ２
すなわち ａ２＋ｂ２＝ｃ２
チャレンジ問題
次の図のように，∠Ｃ＝90°である直角三角形ＡＢＣにおいて，頂点Ｃから辺ＡＢへひいた
垂線をＣＨとし，３辺をそれぞれａ，ｂ，ｃとし，ＡＨ＝ｘ，ＢＨ＝ｙとする。
このとき，△ＡＨＣ∽△ＡＣＢと△ＣＢＨ∽△ＡＢＣを用いてａ２＋ｂ２＝ｃ２となることを
証明しなさい。 Ｃ
ｂ
Ａ
ｘ
ａ
ｃ
Ｈ ｙ Ｂ
チャレンジ問題の解答
△ＡＨＣ∽△ＡＣＢより
ｘ：ｂ＝ｂ：ｃ
ｂ２＝ｃｘ…①
△ＣＢＨ∽△ＡＢＣより
ｙ：ａ＝ａ：ｃ
ａ２＝ｃｙ…②
①＋②をすると
ａ２＋ｂ２＝ｃｘ＋ｃｙ
＝ｃ(ｘ＋ｙ)
ｘ＋ｙ＝ｃであるから
ａ２＋ｂ２＝ｃ２