数学Ⅰ 三角比の相互関係

数学Ⅰ
テレビ学習メモ
講師：赤 岩 辰 巳
第 3 章　三角比
三角比の相互関係
第 28 回
今回学ぶこと
今回は三平方の定理を利用して三角比相互の関係を 2 つ導きます。これ
らの関係を利用すれば１つの三角比の値からほかの 2 つの三角比の値を求
めることができます。三角比の値を 2 乗した値が出てきますので，最後に
√をつけることを忘れないようにしましょう。また，分数の計算が多く出て
きます。間違えないように計算していきましょう。
学習のポイント
①サイン・コサイン・タンジェント　相互の関係
② 2 つの関係式
③ 90°
− A の三角比
POINT 1
▼
サイン・コサイン・タンジェント　相互の関係
図 1 のように∠Ｃが 90°の直角三角形 ABC があって，sinA ＝
1
とす
2
図1
斜辺
2
るとき，cosA と tanA の値を求めることができるか，考えてみましょう。
sinA ＝
1
ということは，3 つの辺の長さの比が，1：2：　3 となります。
2
このことからこの直角三角形は図 2 のような 30°，60°，90°の直角三角
形となりますので cosA ＝
3
2
，tanA ＝
1
3
B
A
B
2
A
60°
1
30°
3
− 113 −
C
底辺
図2
と求めることができます。
対辺
1
C
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三角比の相互関係
sinA の値しかわかっていなくても，cosA と tanA の値を求めることができましたね。
このように，sinA，cosA，tanA のどれか 1 つの値がわかれば，ほかの 2 つの値も求め
ることができます。
2つの関係式
POINT ２
右図の直角三角形 ABC で sinA ＝
a
b
，cosA ＝ なので a ＝ c sinA，b ＝ c cosA とな
c
c
ります。
B
一方，三平方の定理から辺 a と b と c の関係は a2 ＋ b2 ＝ c2 でした。
c
この式に a ＝ c sinA，b ＝ c cosA を代入すると
2
2
a
2
(c sinA) ＋ (c cosA) ＝ c
A
整理して，c2(sinA)2＋c2(cosA)2＝c2
C
b
両辺をc2 でわると
(sinA)2 ＋ (cosA)2 ＝ 1　となり，(sinA)2 ＝ sin2A，(cosA)2 ＝ cos2A と表すことに
すれば，
sin2A ＋ cos2A ＝ 1　が成り立ちます。
▼
また，tanA ＝
tanA ＝
a
ですから，この式に a ＝ c sinA，b ＝ c cosA を代入すると
b
a c sinA sinA
＝
＝
という式を導くことができます。
b c cosA cosA
三角比の相互関係
sin2A ＋ cos2A ＝ 1，　tanA ＝
sinA
cosA
非常に大切な公式です。必ず覚えて使えるようにしてください。サインやコサインの 2
乗の書き方にも注意してください。
− 114 −
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三角比の相互関係
B
例題 1
2
のとき，sinA，tanA の値を求めなさい。
3
cosA ＝
3
A
答えと考え方
C
2
sin2A ＋ cos2A ＝ 1 を用いて，sinA の値から求めます。
cosA ＝
2
を sin2A ＋ cos2A ＝ 1 に代入すると
3
sin2A ＋
( )
2
( )
2
3
＝
2
3
2
＝ 1　4
4
5
ですから，これを移項して，sin2A ＝ 1 − ＝
9
9
9
sinA ＞ 0 なので sinA ＝　次に tanA ＝
▼
tanA ＝
5
5
＝
となります。
9
3
sinA
を用いて tanA の値を求めます。
cosA
5
2
5
3
5
sinA
＝ sinA ÷ cosA ＝
÷ ＝
× ＝
3
3
3
2
2
cosA
例題 2
sinA ＝
B
3
のとき，sinA，tanA の値を求めなさい。
5
A
答えと考え方
2
5
3
C
2
sin A ＋ cos A ＝ 1 を用いて，cosA の値から求めます。
− 115 −
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sinA ＝
2
( )
3
5
三角比の相互関係
3
を sin2A ＋ cos2A ＝ 1 に代入すると
5
＝
＋ cos2A ＝ 1
9
9
16
ですから，これを移項して，cos2A ＝ 1 − ＝
25
25 25
cosA ＞ 0 なので cosA ＝　次に tanA ＝
tanA ＝
2
( )
3
5
16
4
＝ となります。
25
5
sinA
を用いて tanA の値を求めます。
cosA
3
4
3
5
3
sinA
＝ sinA ÷ cosA ＝ ÷ ＝ × ＝
5
5
5
4
4
cosA
POINT ３
90°－A の三角比
右図の直角三角形 ABC で，sinA ＝
B
b
a
，cosA ＝ でした。
c
c
では，sinB と cosB の値はどうなるでしょうか。
右下の図から，sinB ＝
c
a
b
a
，cosB ＝
となります。
c
c
したがって，sinB ＝ cosA，cosB ＝ sinA が成り立ちます。
▼
ところで，C ＝ 90°ですから，A ＋ B ＝ 90°。
A
C
b
A
すなわち，B ＝ 90°－ A となります。
以上のことから，
90°－ A の三角比
c
b
sin(90°
− A) ＝ cosA，cos(90°− A) ＝ sinA　が成り立つことがわかります。
この公式は，サインをコサインで，コサインをサインで
表すときに用います。
− 116 −
B
a
C
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三角比の相互関係
例題
sin75°
を 45°
以下の角の三角比で表しなさい。
答えと考え方
sin(90°
− A) ＝ cosA を用います。
75°
＝ 90°
− 15°ですから，sin75°＝ sin(90°− 15°) ＝ cos15°となります。
▼
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