Musin による3次元 Kissing Number の決定について

Musinによる3次元Kissing Numberの決定について
教育内容・方法開発専攻
認識形成系教育コース
自然系分野（数学）
M 1 1 1 4 9 G
井 口 景 視
論文のテーマと背景
η次元ユークリッド空間Rnにおいて，互
いに重ならないように1つの球に接すること
のできる（その球と）同じ半径の球の最大個数
をη次元のkissing numberといい為（η）と表
す．このん（η）を求める問題をKissingNumber
Prob1emという．
た（3）≧12であることは，実験すれば容易に
わかる．ん（3）＝12であるか，κ（3）：13で
あるかは，1694年のIsaac NewtonとDavid
Gregoryの論争に遡るといわれているが，事の
真偽は定かでない．ん（3）＝12の最初の証明
は，1953年にSch廿tteとvan der Waerdenに
でRnの球面座標，§113ではLegendre多項式
について，説明する．
2章では，3次元Kissing Numberん（3）が12
であることを，Musinの方法で導く．ん（3）≧
12はよく知られた事実であるが，為（3）〈13
を示す部分が難しい．MusinはLegendre多項
式局（4≧O）の非負係数一次結合として表さ
れる9次多項式∫（t）を巧妙に選び，単位球面
82土の有限集合X＝｛”1，、、．，”n｝に対して，
吻，”ゴの球面距離をφ力として，
η
8（X）一Σ∫（…φ1ゴ），
｛，5＝1
よって得られた1次いで，1956年にLeechに
と定め，Legendre多項式局の加法定理を用
よる，短く難解な証明が発表されている．1979
いて不等式
年には，A，M．Od1yzkoとN．J．A．S1oaneに
より，De1sarteの方法を用いたん（8）：240，
n
Σ片（…φ11）≧O
ん（24）＝196560，およびん（4）≦25の証明
｛，ゴ：1
が得られる．そして，遂に，2003年，O．Musin
を示し，それより3（X）≧η2を導いた、この
はDe1sarteの方法を拡張してん（4）＝24の
論文では，Legendre多項式の加法定理ではな
証明に成功するが，証明の詳細は，2008年の
く，より一般なGegenbauer多項式の加法公式
論文発表を待つことになる．2006年，Musin
はκ（4）＝24の証明方法を3次元に適用し，
を用いて上の不等式を導く．
§2．2では，原点を中心とする単位球面32に，
ん（3）＝12の新しい証明を与えた．本論文で
互いに交わることなく接する単位球面の接点
は，このMusinの新しい証明について考察す
のなす集合Xに対して，8（X）〈13ηが成り
る．なお，現在1，2，3，4，8，24次元のkissing
立つことを示す．8（X）≧η2に注意すれば，
numberのみが確定している．
直ちにん（3）＝12が得られる．8（X）＜13n
を示すために
論文の構成
η
1章では，後章で必要となる用語や定理につ
ゴ＝1
いて説明する．§1．1で球面上の余弦定理，§1．2
昂（X）一Σ∫（…φ11）
とおき，さらに，∫（cosφ｛ゴ）＞Oの部分の和
§3．3では，まず，Harm（5帆一1）の2元ψ，ψ
に対して，内積（，）を
叩）一Σ∫（…φ11）
（ψ，ψ）r、土1一ム．、舳／）・／
ゴ
を取り出す、 η（X）＜13を導くために，
∫（cosφ｛ゴ）〉0となるような点吻と，吻の対
と定義する1ただし，13例■11は3n11の面積，
極点eOからできる点配置eO，μ1，．．．，μmを考察
dξは積分要素である．次に，Gaussの公式
し，m≦4を示す1㎜＝3の場合は蜘，吻，μ3
ん・舳一ム．1／｝／
が球面正三角形の頂点であること，m＝4の
場合もV1，吻，g3，リ4が等辺な球面四角形の頂
点であることを利用して，刀（X）〈13を導く．
を示し，それを用いて，直和分解
3章では，調和多項式の基本事項，Gaussの
H趾m（3n一’）一㊥H・・叫（3n−1）
公式などをを説明した後，Gegenbauer多項式
｛≧O
の加法公式を証明する．また，2章のん（3）＝12
の証明で用いだしegendre多項式に関する不等
式を証明する．
§3．1では，ラプラシアン△，グラディエン
ト▽などを定義し，R上のη変数多項式環
P（Rη）の線形変換△の核Harm（Rn）に含ま
が直交分解であることを導く．
§3．4では，直交群0（R几）のHarmゼ（5η一1）
への作用について考察する．σ∈0（Rn），g∈
Harm4（8帆一1）に対して
（σオψ）（ξ）＝ψ（ξσ）（ξ∈8n−1）
れる多項式として，調和多項式を定義する．ま
た，ゼ次斉次多項式のなす空間Ho叫（Rn）が
と定めると，σヰψ∈Harm乏（8n−1）となり，σ→
σ‡は0（Rη）から直交群0（Harm老（3帆Il））へ
・…側㊦…㊥（・2）［ξ］・・mゼ．。【ξ］（・几）
と直和分解されることを示す．
§3．2では，Rn上の多項式関数を原点を中
心とする単位球面8卜1に制限して得られる，
5η■1土の多項式関数が，調和多項式を制限し
て得られるものに一致することを示す．さら
に，多項式関数の間の環準同型
の群準同型となる．0（1Rη一1）によって固定さ
れるHarm4（3η一1）の多項式を帯球関数と呼び，
その全体をZ4（3帆一ユ）と表す、Harm4（5肌一ユ）
の正規直交基物を選び，3帆一1×8m■1土の
関数
w
F（ξ，η）一Σψ1（ξ）舳）（ξ，η∈3帆一’）
｛三1
ρ：P（Rn）→P（8η■1）
を定義し，その性質を利用して，η≧2の
とき，Zゼ（3作1）が1次元であることを示す一
から誘導される線形写像
ρ：H・㎜（Rn）→P（8n■1）
が線形同型であることを示す．これより，直和
分解
Z4（3n−1）に含まれる多項式からGegenbauer
多項式Q，帆（t）を定義し，加法公式
G乏，几（／ξ，η／）＝F（ξ，η）
を証明する．最後に，Legendre多項式につい
P（8性■1）一㊥H・・ml（3η’1）
ての不等式を導く．
ゼ≧O
主任指導教員 松山 廣
が導かれる．
指導教員松山 廣