6 材料力学 （1）応力とひずみ

６ 材料力学
（１）応力とひずみ
1
材料にかかる荷重
材料にかかる荷重として、引張り荷重とせん断荷重がある。
引張荷重：
断面に対して
垂直の荷重
せん断荷重：
断面に対して
平行の荷重
圧縮荷重はマイナスの引張り荷重
引張応力とひずみ
応力とは単位断面積あたりの荷重
Ｆ
σ＝ Ｓ
応力の単位は N/m2（＝Pa）、kgf/mm2
F
ひずみとは単位長さあたりの伸び
⊿Ｌ
ε＝ Ｌ
⊿L
S
L
ひずみの単位はない（無次元数）
2
フックの法則
応力とひずみは比例する
σ＝Ｅε Ｅ：縦弾性計数（材料固有の値）
応力
この傾きがＥ
Ｅが大きい方が変形しにくい
炭素鋼：Ｅ＝21000kgf/mm2
アルミ：Ｅ＝ 7000kgf/mm2
ひずみ
引張り試験（１）
材料に引張り荷重をかけると伸びて、最後には破断する
引張強さ
応力
耐力
破断
弾性限
弾性変形
塑性変形
応力−ひずみ曲線
3
引張り試験（２）
材料によってはほとんど伸びない（塑性変形しない）材料も
ある。 脆性材料
応力
引張強さ
破断
鋳鉄、セラミックス、ガラスなど
ひずみ
応力−ひずみ曲線
引張り試験（３）
軟鋼（SS400、S15Cなど）の応力ーひずみ曲線
引張強さ
応力
降伏応力
破断
弾性限
ひずみ
応力−ひずみ曲線
4
強度計算
例題
SS400で作られた直径４mmの針金に何キロの錘を吊り下げ
たら、針金は塑性変形するか。
また、何キロの錘を吊り下げたら針金は破断するか。
但し、針金の降伏応力を20kgf/mm2、引張り強さを40kgf/mm2
とする。
断面積 Ｓ＝12.56mm2
降伏荷重 Ｆ＝σ･Ｓ＝20×12.56＝・・・
破断荷重 Ｆ＝σ･Ｓ＝40×12.56＝・・・
強度計算
例題
クロムモリブデン鋼で作られた直径４mmの針金に何キロの
錘を吊り下げたら、針金は塑性変形するか。
また、何キロの錘を吊り下げたら針金は破断するか。
但し、クロムモリブデン鋼の降伏応力を90kgf/mm2、引張り
強さを100kgf/mm2とする。
断面積 Ｓ＝12.56mm2
降伏荷重 Ｆ＝σ･Ｓ＝90×12.56＝1130kgf
破断荷重 Ｆ＝σ･Ｓ＝100×12.56＝1256kgf
5
安全率
実際の設計では、強度の限界まで荷重がかからないように設
計する。
設計上の余裕を持たせた応力を許容応力という。
基準の強さ
許容応力＝ 安全率
基準の強さとして、延性材料のときは降伏応力または耐力
脆性材料のときは引張り強さを使う。
一般的な安全率 静加重 繰返し荷重 衝撃荷重
（軟鋼の場合） ３ ５ １２
強度計算
例題
SS400で作られた針金に80kgの人がぶら下るときの、針金の
直径を求めなさい。
但し、針金の降伏応力を20kgf/mm2、安全率を３とする。
許容応力 σ＝降伏応力/安全率≒7kgf/mm2
断面積 Ｓ＝Ｆ/σ＝80/7＝11.4mm2
直径 Ｄ＝２√（11.4/3.14）＝3.8mm
6
せん断応力
せん断応力とは、断面に対して平行に働く応力
τ＝
Ｆ
Ｓ
F
S
単位は引張り応力と同じ
（N/m2（＝Pa）、kgf/mm2）
強度計算
例題
S45Cで作られた直径5mm円柱のピンには何kgの錘をぶら下る
ことができるか。
但し、S45Cの降伏応力を50kgf/mm2、安全率を３とする。
許容せん断応力は降伏応力の半分とする
許容せん断応力 τ＝50/3/2≒8.3kgf/mm2
断面積 Ｓ＝2.52･π＝19.6mm2
せん断力 Ｆ＝τ･Ｓ＝8.3×19.6＝162.7kgf
錘の質量 ｍ＝２Ｆ＝162.7×２＝325.4kg
7
（２）はりのたわみと、軸のねじれ
はりに働く力
力を受ける細長い棒をはりという。
はりに作用する力を調べ、はりの強度計算をおこなう。
はりが固定されるタイプ
両端支持はり（両端回転可）
両端固定はり（両端回転不可）
片持ちはり（片端回転不可）
8
はりに働く力
はりに作用する力のタイプ
集中荷重
はりの一点だけに力が作用
等分布荷重
はり全体に力が作用
両端支持はりに働く力
長さＬのはりに、ｌ１の位置に
集中荷重Ｆが働くと、
反力Ｒ１、Ｒ２が発生する。
Ｒ１
Ｆ
ｌ１
Ｒ２
Ｌ
力のつりあいより
Ｆ＋Ｒ１＋Ｒ２＝０
左点まわりのモーメントのつりあいより
Ｆｌ１−Ｒ２Ｌ＝０
方程式を解くと
ｌ１
Ｌ−ｌ１
Ｒ１＝ Ｆ 、Ｒ２＝ Ｆ
Ｌ
Ｌ
9
練習問題
長さ900mmのはりに、500mmの位置に
集中荷重72kgfが作用したときの
反力Ｒ１、Ｒ２を求めなさい。
Ｒ１
72
500
Ｒ２
900
力のつりあいより
72−Ｒ１ーＲ２＝０
左点まわりのモーメントのつりあいより
72･500−Ｒ２ ･900＝０
方程式を解くと
Ｒ１＝32kgf 、Ｒ２＝40kgf
片持はりに働く力
長さＬのはりに集中荷重Ｆが働くと
Ｒ
Ｆ
Ｍ
反力Ｒ、反モーメントＭが発生する。
Ｌ
力のつりあいより
Ｆ−Ｒ＝０
Ｒ
Ｆ
Ｍ
左点まわりのモーメントのつりあいより
ＦＬ＋Ｍ＝０
Ｌ
方程式を解くと
Ｒ＝Ｆ 、Ｍ＝ーＦＬ
10
練習問題
長さ900mmのはりに、500mmの位置に
Ｒ
集中荷重72kgfが作用したときの
Ｍ
反力Ｒ、反モーメントＭを求めなさい。
72
500
900
力のつりあいより
72ーＲ＝０
左点まわりのモーメントのつりあいより
72･500＋Ｍ＝０
方程式を解くと
Ｒ＝72kgf 、Ｍ＝36000kgf･mm＝36kgf･m
曲げ応力
はりに力が作用すると、はりはたわむ。
これは、はりの各部がわずかに回転するためである。
この回転に必要な力を曲げモーメントという。
曲げモーメントによって曲げ応力が発生する。
この曲げ応力が弾性域を超えたときに塑性変形する。
中立軸
11
曲げ応力
曲げ応力は、曲げモーメント、中立軸からの距離、それと断
面の形状で決まる（曲げやすい形状、曲げにくい形状）。
Ｍ
σ＝
ｙ Ｍ：曲げモーメント
Ｉ
ｙ：中立軸からの距離
Ｉ：断面２次モーメント
断面２次モーメント
１
矩形 Ｉ＝ ｂｈ３ １２
π
円形 Ｉ＝ ｄ４ ６４
幅：ｂ 厚さ：ｈ
直径：ｄ
最大曲げモーメント
両端支持の曲げモーメント
M
Ｆ
ａ
ａｂ
Mmax＝ Ｆ
Ｌ
ｂ
ｌ
Ｌ
片持はりの曲げモーメント
Ｆ
Ｌ
M
Mmax＝ＭＬ
ｌ
12
練習問題
長さ900mmのはりに、500mmの位置に
集中荷重72kgfが作用したときの
最大曲げ応力を求めなさい。
但し、はりの幅を100mm、厚さ10mmとする。
72
500
900
断面２次モーメント
Ｉ＝100･10３ /12＝8333.33mm４
最大曲げモーメントは
Ｍ＝500･400/900×72＝16000kgf･mm
最大曲げ応力は
σ＝Ｍｙ/Ｉ＝16000･5/8333.33＝9.6kgf/mm２
練習問題
長さ400mmのはりの先端に
何Nの集中荷重が作用したときに
塑性変形するのかを求めなさい。
但し、はりの幅を3mm、厚さを1mm、
はりの耐力を1000MPaとする。
Ｆ
400
解答はレポートで
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はりのたわみ
はりに荷重をかけるとそのはりはたわみが生じる。
たわみδは以下の式で求められる
P
P
L
δ
L
P
δ
L
δ
ＰＬ３
ＰＬ３
ＰＬ３
δ＝ δ＝ δ＝
３ＥＩ
４８ＥＩ
１９２ＥＩ
練習問題
長さ300mmのはりの先端に
15Nの集中荷重が作用したときの
最大たわみを求めなさい。
但し、はりの幅を40mm、厚さを3mm、
Ｅ＝7000kgf/mm２ とする。
Ｆ
300
解答はレポートで
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