論理的な考え方を高めるための図形教育の一考察(叫

柴 轟礪ほか 論理的な考えだを嵩めるための騒彫教欝の一一考察纈潜
23
論理的な考え方を高めるための図形教育の一考察（欝）
一論理の意味とその内容の検討を中心に一
男 （認幽青立難露第二雫学費〉
雄（古殿町立古殿中学校1
§ はじめに
和勝幸仁
辰恒
茂幅島髄嚢撰中学樹
原藤光 藤
寛（本舞舞立本郷中学校〉
奥小佐和塙遠
昌強信
部藤国杉瞬
柴阿佐両上角
明（数学科教育｝
才毎 （薦蠹毒立類島第三串学較）
招簿歎群議解織輸
幸頓麟載簾繍沖報）
車幅島薦立吾妻中学校／
男幅麟立鶴第三騨撫
一（玉lll替立須釜牢学校1
隆（藻出霞立行鍵小学校〉
第3稿においては，まず，5つの基本的な性質
我々の醗：究報告も，醸を重ねて第畦編となった。
についての実践報告がなさ農，続いて，講理的な
ここで，序にかえてこれまでの結果をふ喜）遂身｝，
考え方の凌1ま景）をどうとらえるかについての．い
成果と購題点を整遷しながら，今後の講究の一跡
わ1ま評懸法の検1討も始められた。そのiっの方海
としたい。
としては．オープンな問題を通して，生後の思考
第i稿1こおいては，まず，各人の共選理解を得
の様掘を探ろうと試みた．特に，この方法グ〉中で
るために，数学的な考え方や論運的な考え方に視
座をおきながら．今欝の数学教官の縫題点を含め
問題1こ内窟する（馨影に関する〉数学的な縫係を
て，議論がなされた。特に，鱗形教畜の中で講遷
毒筆を，教離離身がどのようにとらえることができ
どう発見し，分析・総合していくかについての遜
をと辱あげていく理由と，譲理を考案の対象とし
るかについては．多くの時間がかけられた．次に
たときの開題点について述べられた。つ践・て，
第2稿で新たに問題点のiつとして提遥された
論理についての先行羅究として，松尾吉簿，（yも
ついては，実多祭に曝残の生徒の様縮が調養され，
論理についての考案がなされ，ともす耗ぱ，漠然
と考えら義ていた譲遷の意味、内容についての考
案のために一章が設1ナられた。しかし，論理につ
いては，先入の蔑定についての理解を深めたにと
鹸1討が換えられた。こうした報告のうちで．いく
どま今，学校数学．特1こ牢学校数学における論理
つかの縫題点が残辱，次麟の骨子とすることで稿
とは縛かについての検1討は，いま少しの時閥を必
r豊e鞭講教授の講究絞：果に童主馨し．その運解及ぴ紹
介がなされた。その中で，B常論遷と数学論還に
が饒じられた。
要とした。
第2稿においては．まず，興基礎的・基本的”と
以上，これまでの我々の醗究の威梁と翼題点を
いう矯語についての，算数・数学教奢での鹸誕か
明らかにした、髭で，本稿ではまず，残されている
ら始められ，欝湧年代のわが羅の勧海を艶擬した
基本的な盤質についての実践報告がなされ，つづ
いて，講理についての各方面からの考案がなされ
た。そのiつは，生経の思考の様槻を基礎とし，
上で，図形教育における“基礎的なことがらと基
本的な性質”とはイ薄かについて考案した．こうし
て．譲理的な考え方を高めるための騒形教育にお
その表現紅注恕し，更に，命題づく版こおいて，
いて，基本的な5つの性質を購らかにした。 しか
生徒がどのような様穰を呈するかにも窪馨した。
も，このうちのいくつかについては，具誌的な授
業灘をも含めら蕊た。ただ，こうした考案を進め
この結果は．第2，3牽で述べられることになる，
そして，第嘆章紅おいて，離稿の内容を藤提とし
る過程で．新たに2つの翼題点が生じた。 iっは，
う亙つ慧． 5つの基本的な健質1こついての教替の
また，本稿の第2，3章を手がか垂）として，中学
校数学に麟ナる論選について，可能な譲鯵瞬らか
にした．最後に，本稿のまとめと問題点覆ぴ，今
醗 llと穣羅綾ぴ評織についての問題点であった。
後の欝究の方講が示された。
講遅の内容と，その指導羅標についてであ彗，も
2尋
騰3卑3貫
磁器大学教鳶実践講究紀要第3号
1、基本雑な盤質についての授業の実践鱗と開題
きた。よって，本時の授業の中・む場面隷，操作活
慮σ》縁握
動を重視しながら平行線と瞬盤角の麗係の雑念形
藹々稿で聡らかにしたように，我々が図形教蕎
における論遅的な考え方を高める上での公選的1こ
成をよ1）的確にとらえさせることができれば，ね
とらえた基本的な性質は次の5っであった。
操作活動場懸としては
イ．三角定規を購いての平鴛線の作図
亙 対積角縁等しい
琵 平行線における講泣角縁等しい。 （鑓位角
らいに至彗達できたことになる．
蟹 三角舞多の海角の秘ξまi歌プである。
冒．平行線と懸盤角の縫係の教具操繹
の2ヶ所であ讐，イの平行線の作毯を通して瞬位
角に蓋銀させ，ロの平行線の教具によ鞭平行線と
欝 三角形の合溝条群・
1斑｛立角の関係を明らか1こさせることを意緩した。
v 三角形の根獄条件
そのうち醜稿で，至 鰐覆角は等しいの授業実
践内容が報告さ親，検証がはじめられたことを紹
特に盲動であったのは，欝、である。〈角〉を動的
介した。
購｛系力彗孚き毒夢1）睾こされた。 このよう1こ，琴藷吾の凝
本稿では
念形成を賜確にさせるためには，俸騒との結びつ
きを忘終ることなく．帰納的な手段を意纒的に導
が等しいならば2直線は平行である。）
五更 平行線における醤位角は等しい。 （懸盤角
にとらえることによ辱，生徒の興鎌，関心を喚起
させ．鯉Aとの鷲比に蔚｝，平行線と同位角の
が等しいならば2直線は平行である。｝
入しなければならない。
V 三角形の欝徴条件
授業後の反省には，醗究会員から数多くの鷺題
の授業実践膏彗を提示し，実践．しの問題点を聡らか
点が縫起されたが，要約すると次の2点になる。
にしながら，教替のとらえ方等に検討を燦えてい
① 授業の展開について
くことにする。
授業の流れの幸心が“講位角が等しいならば
／i／駿の実践報告
事案テである。野にあ辱，本時のねらいである“平
霧翼昭秘誌年9月2膿（火〉
行線にお馨る瞬位角は等しい樽。の思考をね老｝あ
授業者 購部強海（S中学校）
げる場嚢が欠醸していた。
本時のねらい
平行線における詞位角は等しい。遵に贈位角
②評懸鵜題の作成について
が等しいならば2直線は平行になることを理解
問題の擾示の仕方を考えないと，簿のための
評緬か，簿を評慰するのかの焦点がぼけてしま
させる。
つ。
授業を展駕するにあた鱗，授業者は次の2っの
テス卦を実施し，生徒の実態をは擬した。
問 右の緩でどんなことに気がつきま
・オープンな鶴題を提示し．庭観的1こ生徒がどの
すか？ ある観点を決め考えついた
角に養還するのか瞬確にしたい。
・事繭テストを実施することによ善｝，購語．記号
ことをすべて書いてください。
A
の理解度を調査した。
F
E
G
・操作…活動を導入する。
成を購確1こする。
基本的な性質として筆撰立角”と齢錯角稗の優
縫性1こついては2稿で運べたが，生経の甕観とし
てそれが適燐であったことも事薩の段階で確認で
K
﹂
・教具を痩駕することにより視覚髭させ，観念影
B￡だF遷
玉
配意としては次の3つである。
・小学校での学習内容をたいせつにする。
生徒の直観的なアイディアを授業の串に生かす。
c
舞
8
参
以上の実懇調査結果をもとに本時の授業が構成
されたが論理的な考え方を高めるための媛業者の
★反応結果
7
8
9
10
嗣i∠ACβ擁CGF
1
2
1
1
1
1
1
2
i
2
3
2
2
2
2
2
1
2
2
12 13 14 15 16
1
1
1
2
2
2
2
三7 工8
19 20
2生
2
3
4
5
6
7
8
9 10 i1 12
2
1
2
1
1
1
2
1
1
2
1
3
2
3
2
2
2
3
2
2
4
2
些
擁 n
工4
2
1
4
2
15 16 17 i8
2
合凝
生9
2し）
3
i
3（）
2
2
30
！．3
3
そグ）他
B
3
刀DG
V
∠AC暮雛∠GCD縦
ﾋi∠FGC蹴∠JG摂
@㍑A麗麟∠CD群鶴i調1砿GHK ；
角
3
4
3
4
3
4
5
3
2
頂i
婆
煮BCA・1一∠AD鶯罵
3
2
6
1
5
@ ∠FGC−1…∠D田
∠AC懸，κ￠Gド，
3
4
2
ﾚAD鷺，∠囲1は鈍角
工
1
△AC DGQ△A GH
6
2
6
6
3
3
5
5
3 i3
4
6
1
4
4
2
8
3
3
2
2
5
3
i
1
1
i
6
4
7
3
6
1
2
4
3
5
王
反 応 総 数
3
尋
3
工
四角形CGl・m
@は台形
3
1
1
2
7
4
4
2
5
i
3
3
3
8
繰 鵬鱒漁礁番・一跳鰻撒礁む鰍、抽斗囲嘩羅さか持さ3灘凋W欝麟・3，一．鰍、購︷幾
6
工
5
女1
4
生
3
2
ﾏ 点
生
男i
N、 氏 名
玉4
6
91
奄W1
○実施博聞・ 飛0分
卜ρ
ﾋ
2暮
爵巷3隼3舞
纏讒人単数糞実践醗実紀要第3号
考察
難欝 昭鵜総年葺月i銀（土）
i）醗の影響もあ準瞬位角に藩馨している生徒が多
授業考 塙 仁一（s中学校〉
い． （錯角を意識した生徒は皆無〉
213・i7・姶番の生徒は統合→分桁の輿璽のように
本時のねらい
三角形の穰｛鉄条舞を理解させ，それを遜罵で
みえる。（里7・欝番の生徒の成績は中盤．3番の
きるようにさせる。
生徒1ま上位／が実際1ま……？
3）女生徒は実践された影にとらわれている生綻が
授業を実践するにあた辱，第二稿で示されてい
る授業案に験討を換え，次の2点について授業案
多い。 （男子に比べ知能が低い。／
の一部を変えた。
窪〉盛んに反省しようとする意欲が感じられるが，
発想硲貧霞なものも蓑につく。
蟻溝邊程の変更力漸
○学習課題のは握の段贈の権繊な鱗形を選び崖さ
5／男生縫は今後の蟹形学習に学習意欲を示してく
せる縄題
れるように思う。 （分析力があるようだ。〉
。学習課題の追求の段贈6の△重犯Fと△ABCの
麟 翠三角形の相徴条件
遊の鼕鼕｛系の表し方
ネス
喜数名を揚名し．嚢｝褒させることによ鯵詩嚢する。
覇
・理解が不ま一分な時隷，で｝㌔で補説し．レディ車スを高のる、
8
3．本時の学習欝襟を罫ま握させる串
蕎童戯な騒葺多であることを繕韮禽づける条斜｝として
三三角形の糧敷藁韓＝を球茎確毒こ宰る
垂 幽
タ
2。課題を震示し．梅籔な騒影があるかどうか考えさせる．
・蟹綴な鱗形と予想されるものを発表重る。
幽晦
は握
鮨 導 上 の 留 意 ．転
時圏
．羅響事項の復習をさせる。
各
学舞課題の
活 銚
俸學
、蕃
学 轡 睡 容
段 階
学禦レディ
を鍵示し．嬢獣鷺蟹1形を選び議させる些 その畢祭事軽蔑iの
撰鍵となることはどんなことか饗≡表させる。
学灘課題の
追求
垂 プ学ン ト （TP麟 の樋で． 血《駐Cと血∫ギ蔓3「C一が権轍垂二なることを纏 5
世 丁靱
認させ．等しいものを護とめさせる昂
／許1讐饗雛1
｛禽縄嵩糞莞ど一㌫戴一、、、
・解答を発表させ，誤答指導は次の手機で終い羅認させる、
マ匙の塗示…癒綴碕笹謹…ム汽BC。。血ぎ聾“c『
。重縫1こはプ琴ントに修罐さ焦 丁欝まで千iソクする．
5．三角形融合賜条聾を意識させながら．△忍謬。’と合舞な三角形1△ 鱒
参鷺ぎ｝ を難…纒させる，、
6 ム嚢琶ぎと血真書Cは橿徴な騒彫であ巻ことを吾雀諺させ．権銀乗輿を
産5
・合馨毒筆再と講昆させ．その違いを明確にさせる噛
まとめさせる。
・プ＋1ン財こ整運させる．
雛舞条難
ダむざコみまヰエニえ
暁瓢二誘
・毒謹製条｛隼をこと｛ぎと式のどちらの表し寿も欝頻で…言わせ．
毒 ・3紐の避の髭が等しい
鑽れさせる。
ドぎさニみざコヱくを
倭琴壽1、，，
考 ・2縷跨道の貸；とその纏さむ禽が等
しい呂
i∠聾皿∠盛
o§ε：汽駐罵i l2 今
1∠琶二∠倉
7．2．の課題で，
・2繕砕角が等しい
予馨した三鶴野彦オf麓毛無であるかどうかを確め溢せる。
5
帯穣｛繊条善事の準のどの条｛等から魯薮芝できるのかを1一一・か彗
2
．歳時は． 禮｛鍛接i舞・の遥鍛の饗董題を解く弓
とらえさせる。
呂．次時の予告をすξ．
菖二
η享
柴 議蒙葦翼まか：鍮理銘多な考えみを≡莚ダ）るための嚢灘形教葺奪グ）一一考察｛饗「ラ
以下，授業実践蓋五録を指1導通程の段糟にそって
そのはさむ角ご癖鑛であったが，俸緩の方法が不鱗
運べる。
確であった妻｝，礁図勇できない生徒が数名見られ
〔学習レディネ綜
た。6では，△欝狂Fと△ABCが梅｛鉄になること
は理解できても．3通妻｝でかいたムOEFと△A建C
三角形の合縁条件，帽繊な図形の定義，構鱗の
｛窒置について復習した．権紘な欝形の定義鉱、第
の透や角の謬馨系をどう表現してよいグ）かカζわから
えている。灘獄の位置の説墾慧，生徒にとってか
なかった。そこで，授業巻の援麟のも招こ，3緩
の遊の匙の場合について，透や角の灘嶽を表すこ
とができた。次の2綴の透の比とそのはさむ鯉こ
な弓罎難なものと感じた。
ついては，すぐに表現できた．3つめの2緩の角
〔学習課題のは握3
グ）場・合・は，生徒から辺の麗係が欝なかったため授
羨達したように，穰羅な三角形を選び崖させる
業煮からの羅罫・か諺によ辱，夢罫：A露盤2：iを
瞬題を変えて提示した。どれが糧似な三角形とな
克つ1ナさせた。その意纒慧，選の比を考える必要
のないことを強調したいためであった。最後に，
二稿で〕承されている遠き），ヂ録癒する線分の比が一
定で，簿癒する角の大きさが等しい謹彫」でとち
1｝，またその穣挺となることは韓かを考えさせた。
その反旛は，
O A子 ①と④と⑤……3つの角度か全部等しい。
⑦と⑦ ……2つの透の長さがどちら
3つ窮三角形の梅鰍条件がまとめられ，授業は
終了した。この学習課題の追求では，合縁な△
P狂ぎと△A8Cの遣や角の麗係を表すときの発駕
も5培で．角が等しい。
がもっとも重要であることを強く感じた。
疑讃している生徒が多い。その難の意見として，
本時において， 7．8をカットせざるをえなか
次の発装があった、
ったことは，麟題点として残るので後述する。
OB男⑥と⑧ 購遊の髭が等し残
OC子③と⑤ 逸遊の比が等しい．
次に，授業後行われた反省会の寧で，購題点や
B男とC子では，根拠がちがうことを強調した。
今後の課題などが議し合われたが，その擁点かに
その串でC畢は，露分の発表がまちがっているの
ではないかという表嬉を示した。次に，③と⑧と
① 「比」について
⑧と答えた生徒がいたが，露分でまちがっている
と取讐溶したため，と辱あげなかったが，後で獲
ついて記する。
「比メこついてのレディネスが不十分であると，
次のような開題点が晃ら震る。
珪更した生徒のプ琴ントの串に数名講じ予想をして
（学習課題の遮．求護の段贈1こおいて1
いたことからも，その生経の考えも跨いでみるべ
きであった．このことは，授業後の庚雀会で指摘
OA藍基とA’8な BCと蔓ダCl CAとC’Al
さ禽た．
（〉AB：Aポ駁 BC：宮Cl CA：C Al
OA8皿AゴBl露CエB’Cl CA工σAl
とにかく，生徒一人一入が権嶽な騒形はどれだ
OAm瓢 8＃鼠 c盤q
ろうと考えることによって，本時の馨標である葬三
表詫のし方は，A8：κ露盤BC： 猛。二CA：
ごぎ美玉：2とする。
②指導退程の流れについて
鰻飯な麟彫から合講な三角形の作馨，
そして根
角形の権徴条件は侮か」という課題に遺っていく
雰饗気縁づくら就た。
〔学習課題の追求3
ここでは，第二稿で示されている遜垂｝，横綴の
歓条件へと，繰俘，作縫を通して観念形成を1まか
｛立直にある2つの三角形の一方に合1覇な三角形を
鯵，法懸をつく鱗だしていくこの授業の流れでよ
書くための条件を考えさせることから椿織条件を
いことが確認さ義た。しかし，本縫の授業では，
導いていくのである。
7．8まですすめられず，一時間命内容として遜
婆の段蓼響において．△ABCと△Aア嘗σは相似
燐であるかどうか議議｝された。そこで，本時まで
な三角形であることから角と邉の縫｛系を大都分の
に基礎鰐事項をは握させ，発縫跨整運をして麟ナ
ば，十分にこの授業案でやれるという共選運解が
生健は，は握していた。5では，合舞な三角形を
コンパスや分度器，定規を静・て3逓鞍の方法で
鐸臠していた。俸騒のし方が多かったのは，3緩
の辺，次に生緩の透とその両端の角， 2緩の選と
なされた。
③権織な纒影を選び串させる問題1こついて
授業者が，第二稿で示された開題を変えた意緩
28
1繋3年3簿
篠島大学教麿実践醗究縫要第3号
意識し，生徒の実態をふまえ，考えやすいものと
実態調室を試み，分新考察してみた。
＜対象＞本格的な譲理指導がなされるだ適当と思
したいからであった。しかし，第二稿の問題では
われる中学2年生の時鱗以繭，すなわち中学i年
少ない三角形の角や辺を通して，多くのことが考
えられるよ祁こなっている。擁えば，⑭と④の三
生覆び小学6年生とした。
角形では，2綴の透の昆は等しいが角の開題があ
鯵，⑫と③では，2縫の角は等しいが透の麺瑳の
簡単に詫せ磁という発問で二等透三角形や霊三角
問題が残る。このように，多様牲を持っている開
麟 丁小学校§年生（無二鰻〉長方形の場合
題であることから，第二稿の開題の方がよかった
は，3つの三角形の椿徴条件を授業巻雲身が強く
〈靉靆＞ ε次の騒影はどんな纒影か，できるだけ
形など7つの図形について馨霞毒こ記述させた。
④合瞬な三角形の作翻1こついて
○むかい合った2っの辺の長さがおなじ
○むかい合った線の長さが縁じ
0綴長くて講かい合った辺の長さが講じ
捲導過程5の段警皆において，合購な三三角形を作i
02つずつの線がおなじ影
緩させる場合，授業者鐘，遷のま蔓さを重宝莞したカ∫
角の大きさをわかりやすい角度で示した方が，作
○麟き合った透の長さが疑じな形
○晦き合った遣の長さが講じな鴎角形
験しやすかった。また予舞馨が不藍建であった辱，
0麟かい合った2綴の線の長さが羅1じ長さ
作纒のできなかった離している堂徒がいたことか
という結論にいたった。
ら，俸騒のし方を本時までには握させておく必要
02つのむかい合った辺と辺の長さが講じ
02つの辺の長さがおなじで，もう2つの透の長
があった。
さがおなじ
⑤三角形の樹鉄条｛等の表記1こついて
02つと2つの透の長さが観じ
本時では，穣徴条件を磯遊の比が等しい」と
02つの長さカ｛講じ
表記したが，二つの三角形を意識させる上で，「3
02っのむきの長さがおなじ
緩命運の髭が等しい」と表記した方がよい。この
○上と下が購じ長さ，よこの2本も購ヒ長さ
ことは，三角形の合購条件1こも瞬じことがいえ
⊂｝辺の長さズ評ちオ｛うカ・たち
る。
○たてかよこ，どっちか長くてどっちかみじかい
⑥△匪Fと△A8Cの選の醒係の表し方につい
02つずつの直線の長さがちがう彫
て
0むかいあった辺の長さがおなじで．たてよ彰）よ
捲導過程6の段階において，授業考は第二稿の
この長さが長い渥角形
○たてとよこの長さでどちらかちがう長さ（2人／
1死＝2ABの表し方ではなく，P露：AB二1：2
としたが，生徒にとって後者の方が理解しやすか
った。我々は．今後関係を表す場合，十分魏癒し
ていくことが必要であろう。
その飽として，生徒のと景｝くみが早い，生徒に
0たての長さとよこの長さがあわない
○横がみじかくたてがながい図形
○上と下の辺と右と左のへんがべつべつの長さに
なっているかたち
活動させる時1霧を十分与えていたことなどが感想
0獲角形跨緋｛闘だがよこの長さがたての長さよ亨）
として達べら農た。
長い。線は直線
Oたてどうし，横どうしの長さが講じ1獲角形
2．論遜鎗な考え方と生後め表理σ〉様相緯
02雛の辺や角度が講じ
蕪稿で1ま講理指導の必要性と論理についての考
02くみの辺が蓼馨じ長さで直角になっている
察がなされ，譲運捲導の重要性を再確認してきた。
○たてよ騒横の方が長く，月震がおなじ
さて，講理を展開するにあたを），まず溺語につい
て瞬確に概念規定をしておかなければならない。
○鱒。でたての長さ2つと横の長さ2つが屈む
○たての2本の長さは溝ヒ，よこの2本の長さも
それ．らを正しく綾i矯し命題づく身）がなされ，さら
購ヒ，ちょう点はみな9ぴ
に推論によって新しい命題が導かれるものである。
○角度が縷じで長さが2つは長くて，2つはみじ
そこで購語に梶点をあてると，現実の授業での生
徒の実態ξこは多くの開題点がみられる。薦譲はど
かい形
02つグ）講かい合った透の長さが等しく， 逢つの
のように優罵されているであろうカ㌔次のような
角が9ぴの獲角形
紫 畠鴫ほか：論理的な考え芳を嵩めるための縫彫教欝の一考察（難｝
2§
○上下左右の線がともに講じ鮮度の饅角形
G2辺の長さがぜんぷ疑じもの
○遷が婆つある舞多
。むかいあうi綴の選が等しい
○尋つの辺が2維になっている
○上と下むf葦轟じ辺で塞ぎと左力寸講じ避
○長い匪垂角 ○なカごしかく
Gどちらもかさなった形
○平行になっていて2つの透が合岡
○むかいあった2鐵の透の長さが匿1じ，むかいあ
○むかいあった線が平行で蛋方形をのばしたもの
っている角波：も等しい
02つお雛1こすると雨覆彗力虻力三さなる
02つの辺の長さ，角度，もう2つの透の長さと
○平ぞ矛獲透羅多と藝彗じ
角痩が等しい
○長彰玉平手まとみじカ｝勧、三喜イ響’の線毒｛直角につく騒舞づ
02総の遊が平行な遜角形で長方形のたてが，な
轡 F中学校i年生（醤二37／二等遊三角形
なめになった形
○無答（3人／
○平藷テ羅透鐸多が辺を×長さ＋｛蚕種とあらわす
02つの透が繕じ長さの三角形（蔦）
○長方形の左灘に嚢角三角形がついて塾て，書棚
02つの辺が合溝な三角形 （3）
03つの遣の2つが溝ピ長さの三角形（3〉
○むかいあった2績の透の長さが欝じで，垂直1こ
02つの遣方｛羅セ｝長さ （2〉
なっている。
02本の線が瞬じ長さの三角形
02つの平行な蕉方形が2緩むかいあっている。
○無答（31
0角痩が講じで，長さもみんな購じ
は，左鰭の三三角形がなくなったみたいな感じ
02つの遷の長さが等しい三角形，2つの角の大
きさが等しい三角形
02つの線が溺じで，あとiつがちがう長さ
03っの辺のうち， 2つの遷だけが霞iじ長さ
02つの選がみな属ビ三角形
02つの透の長さが購じ三角形．頂点は3つ
以上実態調査の一部を生経が認遠したままのせ
てみたが，3つに共通して次のような特篠がみら
観る。まず第一に，感覚的にとらえてお琴，表現
があいまいで多様である。第二には，罵語の意味
が理解さ綬ず．蓋しい段iい方が身についていない。
○講かいあつた2つの透が合講な三角形
次に具体的に灘をあげよう。
02つの透が疑じ長さで雫2つの角度が講じ
02つの透の長さが講ヒで，3つの角がある形
「上」野下」とか「左∫右」。「透が珪つある」。
鱗 S中学校i年生（藩鳳凝）平行獲透影
「線がおなじ舞多」、「纈長い形」。「長さがちがう形」。
「たて」とか「よこ」。「長い」とか「窺い」。「か
○むかいあった2総の透が平行である（6人〉
さなる」。薪ななめ3
○むかいあった2緩の透の長さが等しい纒彩（珪）
など あま老冠こ感覚的な表現が多い。また「透ゴ
○むかいあった2つの透の長さが縁じく平行であ
と「線3との区磯がないし，ヂ等しい」と紅海じ淫と
る醤角藷多（3〉
○むかいあっている辺の長さと角の大きさが溝じ
獲角形でむかいあっている辺が平行になる（3〉
○むかいあった2つの透がそれぞれ平行で，また
2つの透の長さがそれぞれ等しい（2）
○むかいあった2緩の辺の長さが平行でむかいあ
つた角の大きさは講ビ （2）
○むかいあっている2つ吟遊の長さがいつも平行
になっている鑓角形
○むかいあった2本の線が平行な1璽角形
「合溝ゴとが混疑している晦 さら1こ，以』ヒ1こあ
げた定義は小学校2年生から1輯次捲導されてはい
るが，「定義」そのものの薦語縁なく， したがっ
て当然のことではあるが，「建義」と「盤質ゴが不
分離の状態にあることは善うまでもない。
3．論理麹襟考え方と生徒の褒現紛襟穰⑦
私たちは蔚稿までで畷らかにしたように串学校
騒形教材の系統的な指導法を試み，生徒の譲運的
Oむかいあった遊が平行な誕角形
な考えを高めるべき授業を実践してきた。
そして，学年末1こ，ζ命題づび袖テストを実施
G2緩の透が平行な纒角形
02つの透が平行な獲魚影
し生健の論理の表現の様紹をとらえようとした毒
命題づく駈ま図形の学習を進める上で重要である
○蓬つの透がみな平行な霞角形
02つのむかい合った透の長さが講じな露角葺多
し， 論理と深い；争力・わ移力ζあると半ll整鐸したカ・らで
ある。生徒は，この命題づくl／をする上で，つま
30
緯書3隼3鑓
篠簸大学教麿実践擬究紀要第3号
鯵，ひとつの基本命題を鐵発点として新しい命題
。基本的な性質鵯ついて
を疑い申す遺程で論理的な考えを駆使しなくては
購2について考察してみる。
ならないし，瞬時に表現活動を選1して越鬱する能
基本的な盤質は，公理的なことがらを設定する私
たちの講究のベースともいえるもとでその．重要性
力を身につけていくのである．
置命題づく書捲テスト
○甥 彗 紹穣57年3罵2総
はいうに及ばないが，この性質の定義1ま，生経欝
身グ）爆縮，類推の方法論と操｛乍的な活動をとぎ｝大
○実施校 汐中（福島毒〉大糧摸校
農て馨ったものである、
翼串（ 躍 〉中規摸絞
／窪l F中鐸中の2校から一学綴を撥出して
飽の闘いと比較して蛋答率は確実に高いことが
いえる。特に，三角形請合講条件については総％
テストを実1施した。
遣いいやそれ以上の定藩を見た。ただ，（董／跨婦獲
o命懸に薄する盗後の認識
麟の盤質は，東京書籍の教科書で取ll掻う“鰐猿
舞は等しい”といった表現が夢→縫の形でとらえ
命題についての学習は．命題と1ま構か，命題の
きれない生経が多いことが指摘できる．
分損（単一，否定，合紋／そして，命題とその構
造について2時闘を充てた。
小間3を除いて，7麟以、鉦の生徒が命題および
その讐騨において正答していることから生経の認
識が高いといえるが，偽の命題と命題でない文の
輝溺ができない生経が多いことが指摘できる。ま
た真の命題と騒吝していることから鋭角三角形の
また，！￥〉の三角形の穣徴条件においては，生
籐念が確実に形成されていなかったとも講懸でき
る．
徒の比と比の健の取鞍擾いにかな鯵の抵撹がある
ことが指擁さ義る．
その飽，闘3で命題（必要最｛薮鰻の表現）をめ
ざした問題であったが，生徒の思考の混醜ぶ垂穿が
よくわかる．こ親は．作遜・記号秘の命題づく誉
での考察と購じように，生後の論理とその表現活
動には今後も指導｛乃力を入れていかねばと痛感す
る。 罫命題づく串縫テストを実施して春闘毎に考
○作園・記号化と命題づく鐸
察を試みたが．生経の論理的な考え方を高めるた
購逢および縫5について考察を換える、
めの今後グ）鱗形指導のあ老）方を簿条書きにまとめ
譲葦尋1ま．図藩多の学習をすすめる上で最も重要であ
てみると，
ると考えられる。
i．興研寵s髭，甑s董。なことがらを整理して指導
命題，講号化．作鑓の三者麗係を鴫確ξこは握す
にあたる必要があること。
定義及び無定義罵語．性質，数学難語e総．
ることによ摩．論理についての概念形成も計られ
るし，堂徒の思考を効果的に灘かせるのに懸纏が
2．命題についての学習内容を瞬確にしていく必
あるのであるが，灘％弱の生徒が不完全な表現活
要がある。
嚢であることが知れる。特に，平行獲透影め定義
3．論運に対しての生徒の表現活動を授業の申で
の表現が性質をと鯵入れた遜多条磐・のものが多く，
チエヅクする必要がある。
学習時閥が経過すればするほど生徒の表現が濃鼠
文章＃舞麟＃記号髭の三者灘孫を瞬確にする
することカぐうか秀｛える。
こと。
購えに，小霧窪の平行置彗透彫の健質も定義の中
逢、毎時の学鳶において，論理朗な考え方を育て
に含めてしまう盤縫が多いので正答率が鑓錫台に
る書受業の展馨1をゼ弘まえる必要
とどまってしまっているむ
①噸e欝な疑題と教具の闇発
賜巻の命題づく舅こついては．婆つの緩形の離
係をベン騒を舞羅して購確におさえている生徒は
少なく，多くは，直観的であ弩，感覚的なとらえ
方をしている。よって，率行謬透形ならば長方形
であるといった全く互笈講のとらえ方をしている
生徒が多い。
②課題の解決遜程の尊重
③生後みずからの修業ぬ重視
5．毎時の授業において，生徒の譲理を援勧して
いく必要
定義，筆生質！のフラヅシュカ一一ドづく辱
三段譲法
6．飽教魯とタイアヅプした生経グ）論理的な考え
柴 轟畷縁か：論理的な考え芳を嵩めるための鐘形教鳶の一考察（轡）
△︵
②選科；仮説棲誕学習
や表現ができるような体鯵づく暑／
①轡語；論理的な表現勇しかた
7 生徒の書語環境の整備
C
命題づ《鞍テス襲
贋形の学習を遷して，たくさんの真の命題を克つ酵
3至
3
完隻が，二等透三幾形を作緩し
た弓．毒ξ簿1した婆して．〈盤質〉〈定義〉としてまとめ
てきました．2年の学習を終えた段階でどのくらい身
についたかを調べるために購題を覆意しました岳
確認事項
て，A震にこの騒から見つけるこ
とカ｛できる二等選三角憂づの選…質を
いって見なさいと質問したら，A
善縁次のようにこたえた。
「』藍三角形ならば3つの角が等しいゴ （三魚形X
が藍三角形であるならぼ，三角形X隷3つの角
「いま覆角Aを通る線で2つに疑
ると．2つの三角形はぴつた宮｝重
が等しい／のように，ある対象に修して讐籔1を
A
くだした文を『命題薯といいます．
なるので合講。合鶴なんだから∠
8と∠Cは等しくなる、また．新
寺タ§と露Cの交点をPとすると8
2年 維 氏名
0とC亙）ほ等しくなるし，∠8舞
1 次の文章菰おいて，命題であると思う文には真騰
Aと∠C亙）Aも等しくなると、懸うゴ
勲をつけ，命題でないものには×郵を（ ！
（懇〉 A署の護幾を命題の彫でこ
の串にカ・きなさい。
B 至） c
（碁 五角形は， 5本恐甕線でかこま就た騒 （ ／
とζま『で簡潔喜こまとめなさ竪、。
鋤
彫である。
②
（2／長方形は大きな図形です． （ 〉
麟3ぴ．確，欝をもつ三角形は鋭驚三舞（ 〉
彫である．
4 次の麗いに萎えなさい。
！葬 平行露透彫の定義を命題の彰でいいなさい。
韓｝ 櫨｛鉄の｛立蓋における2つの纒葺ヨは紹｛鉄 （ 〉
② 定義を作騒と誕号化しなさい。
である。
2 先生は鱗形の学習グ）牢で，学参を進めていく上で，
欝黙認瓢を優えi
この盤質は天綴ですから覚えて下さいといったの
が5つあを〉ました。それぞれ1こついて，命題の彩
懸
でこと1ま『で表しなさい。
繍 対頂角の性質
嬢｝ 平行線にお静る1毒｛壷角の盤i質
この逆
記篭｝化
鱗 三角形の雍鶏の性質
騰 三角形の合講条件
櫛
（誹 図よき），玉喜行欝辺葺多の罎盤質を命題の舞多でこと1ぎ
（2！
でいいなさい。
（3）
麟 三角形の嬢繊条件 1麟
②
（3）
事
32
緯書3隼3舞
橿鳥大学教官実践擬究紀要第3号
5 次の〔 〕の串の零話を主語と逮譲につかって，
真の命題を3つつく計）なさいゆまた．その根漢を
い私等なさい。
②
〔平行鶴辺影，長寿彫，ひし影，憂1方形〕
③
① 機挺
命題づく鞍テス華給桑
（ 藤ま％
X
偽
真
毘 答 煮
無 筈
男 子
縫董
巽寧
F串
糞串
婁串
ぎ率
瞬寧
婁牢
翼串
置字
錘中
全 体
女 子
F率
翼率
翼率
掌中
2§入
隙人
§人
2人
i人
i入
韓人
3人
懸人
舞人
蔦入
腫大
29入
28人
i鷺．畦／
iε2．嚇
i23．至／
^5、鱗
i2，6〉
i2．9）
I箆．§）
i87。5｝
i霧．§／
i77．8／
Z．毒
i82．4／
（玉1
^獅
i8。81
彗
i
盆
6
3？
27
暮
窃
i8
丑2
玉書
i5
37
2ア
宦^
i2．9／
ﾘ．茎／
ﾆ7．麟
ｮ、鶴
I簿．婚
ﾘ／
ﾜ）
o99．馨）
i75．斜
ii春毒）
^83．3｝
ﾙ．9！
i79．藁！
9
轟
2
8
7
欝
§
鰺
童3
｡／
i5，9｝
^鎗．§1
i尋3．8｝
I5量．6）
Q．3／
磨D2）
i38．2！
3
i5
纏
i2
2§
2茎
i73．7／
ﾘ導．？／
i7尋．瞬
（21
董7
泌
里8
i3
珪
q垂3．6｝
i2§．逢）
Z6．2）
i38．2！
i鎗．3）
29
2i
8
i．41
D．8与
P2轡．麟
（3／
8
is．葬
i23．5）
is．弱
9
．醗
ﾜ．8）
i56．31一
2
韓）
§︵鵜
2
Q．5）
．8／
（／内捻％
男 子
購2
F串
翼串
F串
翼雫
y準
醤串
墨2人
雄大
董5入
§人
27人
欝入
i総．§！
o§2，51
i7呂．的
i5魯．鋤
i6§．2）
i55．鱗
璽7
9
蕪
雛
33
20
緯
i8§．㊦
d，3｝
i縫．2）
潤Di／
Z4．61
i58．＄）
i2
8
i5
欝
27
i8
i総．瞬
i灘．鱗
i箆．9）
iき5．61
香
玉7
鍵
i？
i3
3護
i暮5．鱗
i87．51 ■
^89．5）
（至亜｝
121
ぎき伴／1
／P
男 子
全 諏
女 子
全 誌
女 子
F牢
巽中
F牢
憾寧
ぎ中
饗串
里2人
9人
i2人
盤入
2達人
2尊人
ﾘ．射
i56．3／
o63．2）
ｮ．玉）
ﾜ．5！
i5呂．81
鼓
雛
亙3
雛
2珪
22
i55．§）
i春8，81
ﾘ8．41
c，玉／
董2
欝
越
§
I総．（葺
宸Q．5｝
i73，71
^50．倉／
／董1
（21
．5） ^鍵．71
ig
26
織
D2）
i蓉2．彰
．7／ i55．嚇
27
縫董1
．2！ ﾆ．2）
男 子
i簿．む
欝3
董7
歪3
i8
錘
35
27
i85．磁
i8玉．3）
X，71
ｨ．8／
i8§、7）
o79．尋1
女 一子
全 体
罫率
軽車
F串
醤寧
欝率
巽中
圭8人
8入 篤入
欝人
3尋人
i8入
1毒
耀）
鯵
董3
重8
M
3魂
27
P齢．瞬
ﾀ．3）
i鱗．71
ｮ77．8）
i87．21
iマ§．紛
玉3
i3
i5
越
2暮
27
I65．Ol
i8董．31
i78．§！
o77．81
_，81
i7§．垂1
12／
！31
1玉1
Q等遣3角形の2
ﾂの底角iま等しい．
轡 2等選3角形
ﾌ獲角の2等分線
M透を垂直2等
ｪする。
P鱒．彰
P5春．韓
ﾙ．21
I55．績
ﾈ，21
艨D9／
2
3
垂
§
惑
ε
^27．菖1
P璽5。郵
P襲．射
ﾙ．彰
．8／ P欝．繋
33
柴 贔題ほか 論選肇毎な考え寿を薦めるための遜彫教官の一考察（轡1
r牢
単行馨透彫は2緩
ﾌ婦選が平得な獲
難中
誕率
罫中
疑入
珪入
汲T．射
P25．襲
男 子
全 簿
女 子
男 ｝
懸4
y準
賢宰
ぎ寧
欝人
8入 24入
氈D舞 D．4／ D．溝
亙2人
A｛）4建C
ﾌ35．鱗
女 子
F串
§人
亙2入
鴻大
u．獅 D．麟 ﾜ．蔀
翼寧
全 縁
F串
翼傘
2i入
@，霧
玉i入
2玉入
a．亙／
^5書．書1
3
至
蔭
P蔦．麟
^5．赫
I欝．麟
D諺’運）C
{形です．
尋
7
藝
2
毒
警
i毒／
d。壽1
P脅／
^董2．§1
^琶／
P2藝．瞬
§
欝
逆
ﾘ？．51
ｫ．蔀
4
2
2
汽 唇
D堕
3
韓
T建 c
竰､である。
毒
玉§
7
2垂
s
毒
^講．繋
玉葛
豊玉
鰻
簸
§
P鶉．醤）
ｫ．麟
^57．鱗
ﾙ．巷1
@．驚 E．鱗
22
対角グ）大きさ
浴D霧
磐 子
F中
藩中
簸人
鎗入
蓑
5
ﾘ．暮
P§1
倹氏B7／ …
全 鯵
女 予
墨亙
欝
P5s．韓
^鑓。き／
墨3
7
ﾘ．41
2垂
董？
ｦ．蓬1
P認．躰
c．51 怐B韓
学校数学における譲理の内容は，どのようなも
のであるべきかの，いわば．壌。ぜに先駕する
F串
韓準
F串
蕪串
§人
6入
i了入
董δ入
i
2暮
3
玉2
7
れて．論理そのものの定藩への努力が重ねられた
董尋
8
体的にいくつかの1論理の難語をもって，論理の内
“W擁t”についてみ議論は，中学校数学において
§
ｧ影である． 一
雑
ｽ．韓 香D霧 v．傷
i．葺
P夏5．尋！
猛
M曇1
P鰺．暮1
警
ひし彫ならば平鴛纒
§
簿 角 線
I昏）
長方形ならば単管残
曇
ﾉ．鵜 o窃！
幾透の長さ
蕪
，51 浴D麟 ^奎嬬
．昏／
ﾇ露嵩至）c
蔦
縫）
爽 登
矯5
2
馨
麗鎚．暮／
ｱ。毒1
鍛織。麟
圭i
彗購1
．どプ
容
盛夏）章Bc
玉／2．§！
（31
“）
（2）
韓率
は，歴史的毒こみれ．ば，全糧∫響1的な｛難癖としての数
学教育現代化運動とともに，盛んになったといえ
る。わが蟹においても，昭報蔚年代に，中学較数
学で，集合・論蓬の領絨が学習指導要領に設けら
5
建
蕉方形ならば単背羅
ｧ彫である。
7
ことは，詫憶に新しいところである。そこでは具
2
3
i2
き
亙方形ならば長方形
ﾅある．
尋
奪
ﾅある。
容が購示さ義ているが，集合捲導において，集合
馨
亙．苔彫ならばひし形
驚
i§
4
壕．中学校にお妙る論鍵の内容について
1論の一部を指導することと理解されたように，藍奮
理もまた，学鶏としての一分野である講理の一部
分を彫式的に指導することにとどまったと考えら
れているように，必ずしも成果隷認められなかっ
学校数学，特に中学校数学における論理の内容
ほき
った， そして，講理についての共通の理梅孕すら，
についての若干の考察は，離稿においてなさ農た。
得られることなく．今麟の学習指導要領から，譲
そこでは，論理についての影式姓などの繕藏が議
理についての領域が全面的に消えてしまった事実
論の鱈象となったが．あくまでも，数学や譲運学
おき
は，聡知の遜量｝である。今8でも，譲遷をテーマ
での意瞭，内容においてであ計｝，換言す親ぱ，i論
とした醗究鱗は多い。しかし，畷確に，数学教奮
理の意味を，全体的・包抵的に規定するにとどま
いわ懸る教官においての論瑳を明らかにしながら
1赫
考察をすすめている舞は少ない。
っていたともいえる。しかし，我々の講究におい
ては，論理は，学問としての数学や譲遅学をその
まま，中学較数学の内容としてと彎入綬ようとす
る立場ではない。羅ち，“数学教薄における数学
的対象は，たとえ．それがいかに高いレベルにあ
っても，数学におけるそれとは，ただちに睡じで
ほき
本稿では，こ親までの先行醗窺や，本醗究での
いくつかの成果を露まえ，事蔚2．3章を簾疎し
ながら，次のように，講理の内容を考えることに
した．
譲｝理iが購確1こされるためには， まず，饒提とし
はない” という閣確な主張紅よって，言いかえ
て，いくつかの数学的な綴念が瞬らかでなくては
ることができよう。
ならない．勿論。その鬱念は，｝蓬・フβイデンタ
鍵
養鶏大学教官実践講究紀要第3号
一ルも述べている通号．高度に詫号化された診｝，
ミきき
擁象費｝された身｝したものばか｝〉でなく，そ義ら慧，
ノ罫学校における操作や直観を手紡静として形成さ
れたものをも含み．特に鱗形領域で蠣をあげれ
ば，名紘としての三角形，匪1角形……あるいは騒
1繋3隼3鴛
rほ〉
一〈霧＞
1総嫁。 一⑫
真彗耳ACであ辱
’∠欝姦葺濡∠C A董）・…・￠
∠8査翌）需∠c1疑｝であ弓
！縁｛撲遜 ．。｛膨
⑫，＠，③よ残
ム盆点亙）蕊造。尭推
⇔
A警は共通である。
晦えに血欝真夏）駆ム。汽聾
晦え1こ∠9幕∠c
愈
知え看こ∠駐＝・∠c
形の位置を表示する平行，垂直…一などの概念や
ぢむ
その表現されたものである。
つづいて、先行した形成された凝念穰志を結び
つける関係や盤質についての，よ身》包懸的な内容
が考えられなければならない。これまでの論選的
欝語から，いくつかの鱗を示すには．次の命題を
考えてみよう。
命題：「三角形A蓉Cで，A l3薫A Cなら
∠B二∠Cである1
このうち． 「三角舞多ABC」ヂA8皿AC」 「∠
簿
ぐ羅〉
厘
璽
繕欝世盛。｝（1∠聾A ）業
∠c真夏｝）《 （汽套は共遜／
雛欝＃汽。）（｛∠欝血暮二∠c真鶴ρt l汽葺は共選1
舛ム欝塞聾箪血。汽碧
羅嬢
赫醗略。瞬 画 籔
一
論証は，譲還学的にも墾確に定義しうる概念で
B盤∠C」は．諭達を形成するために必須の概念
む であ継，「で」「ならば」「である」等が，この灘係
く欝〉を了解しながら，表現においてはく蟹〉，最も
等を示す論蓬の内容ということができる。平林氏
は，この命題において，繭者を内容的表詫，後者
一般的には〈至〉である。このことは，中学校数学
を影式的表記と分類しているが，この靉靆が，そ
まむ
のまま，i論理の内容の紹違と考えられる。この難
譲遅の内容を薦等学校の数学の範翼で考えるとき
ある。しかし，我々が誕購をした喜）するときには
において論理を考えるときに重要な点であって，
に，この第二段繕毒こ位置させることのできる諭達
は，醸〉がしばしば重要となることは，経験的に
知っている事実である響
の内容には，議1達の命題があげられ．こうした命
以．しの考案の結果を基礎として，中学校数学に
題づく貿ま，この段賠の講理の内容を理解させる
おける論謹の内容を次のよう1こ簡便的に図示して
ためにふさわしい指導法と考えられる。ただ．縫
ひとまず，この考案を終えることにしよう。
係や健質を示す論遷グ）海容獲分は，多くの場合，
〈欝〉
生徒の思考の程痩あるいは問題に俵毒する場合も
多く，一概に決定できるものではない性格を有す
ることはいうまでもない。
最後に，中学校数学での譲理の内容は，上達の
重しい思考グ｝法嚢彗…・ ぐ講理の一般的意味＞
合
劉
概念，麗係についての内容を基礎として，その上
位に，推譲のしかた，間接誕畷法なども，譲運の
内容として考えられる．こ命段欝において，論樫
を、蓋しい思考法舞彗に簸も遍い意味で解すること
ができるといえよう。具体的には，次の命題を考
おわ鱒に
本稿では，まず，基本的な盤質についての残さ
えてみよう。
れた授業実践と，その購題点が明らかにされた。
A
命題：二等透三角形の
冷
底角は等しい
つづいて，特に．生徒の論理的な考え方と，その
B△．、。
表現の様耀についての調査結果がと重｝あげられた．
第2章での，拝霧吾の正しい使い方についての検討
第3章での命題覆び命題づく景｝についての実態の
擢握は．第逢章の考案のための予備講糞の纏絡を
もっていた。多少，構成上の不§然さはあっても
この章の｛立直づけと懸纏慧．改めて強調されなけ
ればならない。第珪章では，論理についての考え
柴 轟藝離縁か1論理轟㌻な考え右を高めるための図形教官の一一考察｛欝）
3暮
方が具躰：的に示された。ただ，この規定と意蘇づ
によって構造を鴫らかにすることは不可‘欠で
けが，今蔭の数学教欝にお酵る譲理について，す
べてを語っているわけではなく，今後の藩究のた
めに多くの問題点と来解決な部分を残している．
ある。
それは，ひとえに開題の重大さ晦えであ垂｝，毒見段
①，⑫の共遜解は①一②よ鱗x業一蓋となる．
隠のわれわれの葬力さ以外，韓ものでもなく．次
③，④1こついては講じ方法ではいけない。そ
稿において隷いうまでもなく，摩羅：究の続くかぎ
の理蜜等に，論運についての考え方の特色が
ぎ｝，常に問いつづけていかな曇ればならない。更
騰 ‘x2一婆x＋3盤§・一① ‘x2一§x＋5盤G一③
／ ／
lx2−5x縄跳§一⑦ ／x2−5x＋6盤軽…④
ある。
穣） 一般輩こ，命・題A玉，A2，一．み盤を｛痩定し，欝を結
に，これと購時に，中学校数学にお謬る譲運の内
容についての分析結果：を基礎として，実繰命論理
論とする論証（達e灘倉糞s毛即at童｛〉篶〉と1ま． いく
指導の時難，分聾についての検r討がすすめられて
つかの命題の系譜をみたせばよい。
くる。
最後1こ． 各車の執筆者は次の選｝鞍である。
はじめに，おわ1うに 翼 搬
i．購部強海，塙 仁一．姓藤繕寛
2．小原報幸．灘光幸男，角麩橿雄
3．両国 茂．難藤勝章
垂．、量二杉展男，遠藤 隆
糞，本稿1こおいても，章の構成及び理論的な考
察については．柴 轟瞬が撞幽した。
注及び参考・群羅文献について
轡 「数学教蕎における数学的実体」 管内芳男
数学教育学論究 欝§8 P鯵
麟 蓼数学教蕎の現代銘の失敗邊など，（所轄勤薦
（篶8麟 艶7参難）
／3／『所i鰻蓉纏2（捻7鱒 碧雛1こ詳しく遽べてある
紛 「数学における論理の指導」 湯撰進など（駈
報勤盤！を参賑さ農たい。
！5！糠紬e撚t重csas凝｝e6舷ca竜沁総h3S藪1
艮e量（ie夏Porδrec猛藷 P§i6よ幸｝弓i灘
織 鱗えば，この立場での観究は「譲理的思考力
の曹成と箆童の推論の実態について」
率島健三「数学教育学論究」欝63．など多い。
外国でも概念化プロセスの蟹究鱗は
馨r違盤8董s至…亙Sモデル，P重a琵琶t訟籍4Sもa琶e
など，著名な欝究成果が多い。
鍛 「数学教育1こおける表記の問題」（第2報の21
平林一栄 数学教育講究欝艇などを参考とし
た。
麟 縁上書 露3
麟 その遜程では，文章化することが省かれてい
る。“すなわち甘“しかるに特価購えに榊あるい
は，これ1こ類する言葉によって．騒醗が文章