Exploring Mathematics Through Construction and Collaboration

Ch.23. Exploring Mathematics Through Construction and Collaboration
担当: 舟生 日出男
CHAPTER 23
［pp.389-405］
Exploring Mathematics Through Construction and Collaboration
Richard Noss and Celia Hoyles
はじめに
多くの数学の授業では、個別の問題を素早く解くための手続きの知識が教えられ、「構造的理解」や「数学的モ
デルの基礎に対する認識の向上」を重視していない。
構造を重視する数学は、生徒の、コンピュータシステムに対する理解を助ける
• コ ン ピ ュ ー タ シ ス テ ム は 数 学 モ デ ル で あ り 、 コ ン ピ ュ ー タ ソ フ ト ウ ェ ア は 変 数 （ variables ） と 関 係 性
（relationships）から成る。
テクノロジーの発展に伴う、モデルの隠蔽化と不可視化の進展と、モデルへの気づきを学ぶことの重要性。
• モデルの構築、改訂、評価、入出力関係の分析的な理解
本章では、2 つの学習環境を紹介
1） 構築主義（constructionism）ベース
• 学習者を、自分自身でモデルを構築し、改訂できる状況の中に置く。
2） コラボレーション（collaboration）ベース
• モデルについての議論とリフレクションを促進。
¬ 特に、数学的な観点から、生徒が、モデルの何が特徴的であるのかを理解していくのかに着目。
構築主義デザインとツールの媒介
生徒は、自分自身の人工物を構築し、それらをコミュニティの中でシェアすることを通して学ぶ。 Harel & Papert, 1991
モノとアイディアを同時に構築する。構築には、ツールが必要。 diSessa, 1997
コンピュータツールが学習環境の中心的な部分になる時、ツールによってモデル化される数学的知識と生徒の
それらの知識についての理解は、（学習活動の）過程の中で、ともに変化する。
• ツールは、生徒が、何ができるのか、何を考えられるのか、何を知り得るのか、何ができるようになり、何がで
きないようになるのか、を形作る。
• その一方で、ツールは、生徒によって形作られる。
¬ 物理的（または仮想的）に、ツールを適応させ、モデル化することによって
¬ デザイナーが想定していなかった方法でツールを使うことによって
数学の時間でツールが使われる時には、しばしば素朴に、ツールは不可視か透明であることが仮定される。
＝ 学習者と数学的知識の直接的に相互作用することが仮定される。
• ex. 変数間の線形関係を示すグラフツールで、数学的関係の変化を示すために直線の傾きを変化する。
¬ しかし生徒は、見かけの変化に目を奪われ、直線によってモデル化されている関係性を見出せず、
直線を回転しただけであると解釈する。
後述するシステムのデザイン
• 生徒らが、積極的に、モデルと相互作用できるようにする
• 思考対象の現象の表層的な特徴よりも、「構造」に着目することを促進する
コラボレーション
実践のコミュニティへの参加の重要性（を認識することから得られる学習） Lave & Wenger, 1991
科学コミュニティが知識を生み出す過程の研究に由来
• アイディアを出版、批評、交換、議論することの開かれた過程が、科学の発展に貢献している。 Latour,
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担当: 舟生 日出男
1987; Roschelle, 1996
• この知的コミュニティ実践のパラダイムに基づいた学校の学習が試みられている。 Brown & Campione,
1990; Scardamalia & Bereiter, 1991
コンピュータは、特別にデザインされた Web ベースの環境を通して、そうした協調的な議論を支援できる。
生徒は、科学者のように行動した時に、最善の学習ができる
• 調査に取りかかる、証拠を生み出す、反駁の根拠を探す、自分たちの理論に基づいて結果を解釈する、自
分たちの理論を議論し、説明し、防御する
• ex. Knowledge Forum Scardamalia & Bereiter
¬ 自分たちの理論を明確にすることと、何を学んだのかを表現すること、説明を求めることを促す足場掛け
によって、生徒たちを科学的な予測やリフレクションに向かわせる。
遠隔地間のコラボレーションは、顕著な学習（成果）を生み出すのに十分なほど、長く続くことは滅多にない。
そのため、知識構築は、たまにしか実現しない。これは、教室のコラボレーションに直面する 2 つの緊張の結果。
• 1） 学習者個人の目標と、グループの目標との間にある緊張
• 2）
課題を素早くこなす という学校の風潮と、真の構成主義的協調学習に必要である継続的な関与との
間にある緊張
Playground（遊び場）プロジェクト
子どもたちが、ルールの形式化を用いて、コンピュータゲームを構築し、修正し、共有するためのコンピュータ環境。
• 協同的、構築主義的な学習環境。
• 具体的で目に見えるイベントを、プログラムできる。
• 6∼8 歳の子どもが、多くは学校外の状況の中で参加。
ToonTalk Playground
制約ベースのプログラミング言語。
アニメロボットの行動（の組み合わせ）が、ソースコードになる。
アニメロボットをトレーニングすることでプログラムする。
• 入力に対して、何をすべきか
¬ ex. Figure 23.1（p.392）では、数字の「1」を 2 番目の数字の「1」に足すことを訓練している
• ロボットは、初期状態では、与えられた入力が訓練された条件に正確に合致する時にしか働かないように
制限されている。しかし、ロボットは、明示的な手助けがなくても、一般化することもできる。
¬ ex. Figure 23.2（p.392）では、ロボットの 思考の吹き出し から「1」を取り除くことで、Figure 23.1 の初期の
数字が「1」であるという制約を外している。これによって、ロボットは選り好みしなくなり、どんな数字にも
「1」を足すことができるようになる（＝一般化）。この操作は、際限なく続けることもできる。
デザイン原則は、ロボットの振る舞いは、1）可視であり、かつ、2）機能的であること、の 2 点である。
• それによって、子どもたちは、ロボットが「何を」、「どのように」するのかを簡単に理解できる。
• オブジェクトの「背景」に、ロボットの振る舞いを貼り付ける。
¬ Figure 23.3（p.392）では、カーソルキーに対応した 4 つの振る舞いが貼り付けられている。
¬ ex. 左に動く 振る舞いでは、 思考の吹き出し に「左キーが押された」と表示し、左に動く
• どの振る舞いも、削除、他のオブジェクトへのコピー、再利用のための編集が可能。
Pong（壁打ちテニス）ゲームや、簡単なアドベンチャーゲームなど、既製のゲームを用意
• 子どもたちは、まずそれらを遊び、それらをカスタマイズできる（はじめからゲームを作るのではなく）
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Imagine Playground
Pathways
• アイコンベースの環境
• アイコン化されたルール（石版）の集合を用いて、オブジェクトの振る舞いを定義する。
¬ 全てのオブジェクトは、石版の組み合わせによるルールを持つ。
• Figure 23.4（p.393）
コントロール石版
マウスで
キーボードで
条件石版（13 種類）
メッセージを受け取った時
オブジェクトに触った時
行動石版（25 種類）
スピード、方向、大きさを増やす
音を鳴らす
• Figure 23.5（p.395）では、モンスターの振る舞いのルールを、石版の組み合わせで定義している。
• スピードや方向などの変数は、スライダーや他の操作ツールで設定できる
• 他に、既製のオブジェクト、背景、携帯電話アイコン（プレイヤー同士でメッセージを交換）などが用意され
ている
• オブジェクトは、編集（ex. 大きさや色の変更）、コピー、削除、貼り付け、再利用が可能。
• 既製のゲームを提供 → 分解や、カスタマイズが可能。
• Figure 23.6（p.396）は、ゲームの 1 例。モンスターは、Figure 23.5 のルールに従って振る舞う。
Playground プロジェクトにおける知見：要約と振り返り
モデルとしての数学
幼い子どもは、明示的な教授や計画（カリキュラム）がなくても、モデルから学ぶことができる。
ゲームのデザインを通して、子どもは、モデルの特性を学んだ。
• モデルのルールが、表面上は様々に異なっている特性（ゲーム）にわたって、不変であることへの気づき。
• 実際の年齢よりも進んだ、数学的な発見をする子どももいた。
¬ ex. 2 次元を、縦要素と横要素に分解
一方で、あまり肯定的ではない結果も見られた。
• 1） 正確にプログラミングできても、それを、書き言葉や話し言葉で正しく表現できない。
¬ ロボットを制御するルールを描写せずに、見かけの振る舞いを描写する傾向がある。
• 2） ルールの結果をいつも予測できるわけではない。
• 3） 多くの手助け無しには、ゼロからゲームを作るために、ツールを使う域にまで達することはまれである。
• 4） 振る舞いの一般化やルールの適用ではなく、しばしば表面（色や形など）の変更に興味を持つ。
子どもたちを道具化（instrumentation）プロセスに関与させる
道具化プロセス
• ＝ ツールから概念へのプロセス
• デジタルツールが数学のクラスの中に導入される時に、全ての範囲にわたる新たな数学的・技術的な要求
が、生徒に求められる。
• どのようにして、標準的な数学カリキュラムを、＜新しい象徴ツールやそれらに関連する表現言語との相互
作用によって獲得される＞生徒の知識の本体に結びつけるのかを、理論化するためのステップを表す。
子どもたちは、次の道具化（instrumentation）プロセスの様相に関わるためには、時間と手助けを要した。
• 1） 振る舞いやアイコン化されたルールがどのように、それらの構文の必要条件を働かせるのか
• 2） ゲームを成立させているモデルの構築や変更ができるようになるために、この構文を習得し始める
• 3） 他者が構築したゲームのモデルを解釈するには、新しい構文を読む必要があることを理解する
• 4） オブジェクト指向プログラミングのような洗練されたアイディアの評価を発展させる
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ゲームルールの可視性の拡張
当初は、子どもたちは、限られたルール（ 他の子を叩いてはいけません のような）しか記述せず、生成的
（generative）なルールや構造的な制約を記述することはない。
• Playground に慣れるに従って、このようなことは少なくなった。
• ルールやモデルを可視化することによって、ルールの複雑なシステムや、目に見えないモデルが目に見え
る振る舞いを生成していることについて考えるように手助けできる。
適切な粒度の発見
複雑性や機能性のレベルには、適切な粒度がある。
• 1） ゲームの粒度
¬ 色、音、背景などな変更できるが、モデルは変更できない。
¬ 達成するのはたやすいが、ゲームのナラティブに対しては、目立った効果はない。
• 2） 振る舞い・アイコン化されたルールの粒度
¬ 振る舞いや石版を、交換、追加、除去したり、少々変更することで、数量的な変数を変える。
• 3） モデルの粒度
¬ ルールを、ゼロから作る。自分たちが表現したプログラムを編集する。
多くの子どもたちは、ゲームの粒度か、振る舞いの粒度のレベルで、活動していた。
• ex. 衝突時の効果音の編集、アニメーションに使う絵の編集
ナラティブからモデルルールへの移行
子どもたちは、ゲームを一緒に作るときに、2 種類のルールを適用する。
• 1） プレイヤールール
¬ ゲームの規則（ルール）が、プレイヤーの間で、ゲームのナラティブとして同意されている。
¬ オブジェクトの振る舞い（ルール）は、プログラムされていない。
• 2） モデルルール
¬ オブジェクトの条件やアクションと、オブジェクト間の関係を定めるルールが、プログラムされている。
子どもたちは、ゲームを計画した当初、しばしば複雑なルールを考え出していた。
• あまりにも複雑な場合、（プログラムせずに）プレイヤールールとして扱った。
時間が経つにつれ、2 つのルールを上手く使い分けた。
• ex. ミルクを飲んだときに ミャオ と鳴く猫
¬ どのようにプログラムするのかという問題の発生
¬ 道具化プロセスに関わった。 → 「ミルクを飲む」と「ミルクに触れる」を等価と見なした。
形式化に向けた、オンラインのコラボレーションの利用
他のサイトの学習者（peer）の意欲をかき立てるために、作成したゲームをより複雑にし、新たな要素を加える。
• 単に、振る舞いやルールを追加削除する、オブジェクトや機能をコピーする、見た目を変えるなど、単純に
編集する傾向が見られた。
• ゲームの機能性が低い場合、困り果てて、気乗りしない反応が返ってくる。
プレイヤールールの解釈がサイト間で共有できていない場合、ゲームを作成者の意図通りに評価することは困難。
• Web でゲームを共有することにより、ルールを形式化（明示化）することと、オブジェクトを期待通りに働かせ
るようにルール化することを、子どもたちに促す。
コンフリクトするルール
子どもたちは、必ずしも一貫性を期待しないため、証拠や解法がコンフリクトしている状況に甘んじる。
• ex. ルールのコンフリクト： 「オブジェクトに当たったら、左に動く」と「オブジェクトに当たったら、右に動く」
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担当: 舟生 日出男
WebLabs
様々なサイト間での継続的なコラボレーションを発展させることが目的。
• 非同期的な議論や評価
• モデリングやコラボレーション、共有を通した数学の学習
13∼15 歳の生徒を対象としたシステム。
• 創発的な数学のアイディアを構築する
• モデルを共有する
• モデルについての過程ベースの記述に注意を向けさせる
6 ヶ国にまたがる研究チーム。
数列、無限、ランダムの、3 つの概念に着目。ここでは、数列の活動について紹介。
デザインの 4 つの目標（原則）
• 1） 知識構築の過程と、＜数学的現象のモデルを発展させる中での＞部分的な理解を共有できるシステム
をデザインすること。（モデルの協同構築を助け、モデルについての表現言語を提供する必要がある。）
• 2） 分散コミュニティをモデリング実践に参加させるような活動をデザインすることで、個人とグループの構
成的な相互作用を計画すること。
• 3）
なぜモデルは正しいのか 、 なぜモデルは数学的な推論に基づいて機能するのか についての根拠
を生み出すようなエチケットや規範が、サイト内やサイト間で認識されるような環境を構築すること。
• 4） 子どもの道具化プロセスの中で、多様な技術を統合することの複雑さが、活動のデザインや、 何を学
んだのか 、 どのように学んだのか の評価に組み込まれることを保証すること
WebLabs の活動の順序 Figure 23.8（p.399）
• 1.1. 教師による学習目標の紹介と動機付け
• 1.2. 探究するための質問
• 1.3. グループの議論
• 1.4. 個人のデザインとモデリング ← 透明モジュールを利用
• 1.5. 個人のレポート ← WebReports を利用
• 1.6. コメント →個人のレポートに
• 1.7. サイト内でのグループの議論
• 1.8. サイト内でのグループのレポート ← WebReports を利用
繰り返し
→ サイト間
ToonTalk のロボットで数列をプログラミングし、EXCEL ツールを通して EXCEL のワークシートのグラフ化
n
• ex. Σ1/2 （n = 0, 1, 2, ...）の調査（Figure 23.8, p.400）
n
n
1/2 の数列： 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ... Σ1/2 の部分和： 1, 1 + 1/2, 1 + 1/2 + 1/4, ... （＜ 2.0）
¬ 生徒の最初の傾向は、「反比例のようであることを述べていた」こと。
¬ 調査が進むにつれて、ある生徒は、「足されるものが急速に小さくなっていくから、（部分和は）2 を越
えることはない」と感じた。
透明モジュール（Transparent Modules）
生徒が、自分が選択したドメインの知識を発展させるモデルを構築するための、ツールのセット。
• それぞれのモジュールには、数学的な概念のセットが埋め込まれている。
• それらのモジュールは、1）背景にあるモデルを調べること、2）それらを操作し、変更すること、3）必要に応じ
て、それらを再構築すること、の 3 点が比較的簡単であるという意味で透明である。
生徒には、1）自分たちのモデルをパッケージ化し、2）利用方法の説明書を含むように、促した。
• モデルをパッケージ化することで、モデルを簡単に実行できる
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Ch.23. Exploring Mathematics Through Construction and Collaboration
担当: 舟生 日出男
• WebReports にも、簡単にアップロードできる。
¬ ex. Figure 23.9（p.401） 上段：パッケージ化されたモデル、中段：ロボットが生成した Excel グラフ、下
段：データに対する生徒のコメント
WebReports
コミュニティの成果を産出する場。
• コラボレーションによって構築される、コミュニティの中の知識領域に関する理解の発展（過程）の公式記録
• コミュニティ活動の最終的な成果物
Knowledge Forum のようなアプローチを採っている。（しかし、より数学的な概念に着目）
• コメント活動を促す足場掛け
¬ 説明できますか？ 、 もし次のようならどうですか？... 、 私は次のように推測します... 、
これはこのようには機能しません。なぜなら... などのコメントタイプ
• コメントとリプライの連鎖による、議論のスレッド
同じ活動の段階に参加している様々なサイトの生徒たちは、彼ら自身のグループ WebReports を創り出し、
その後、コラボレーションを通じて、サイト間の最終的なレポートを創り出すことを期待。
• しかし、後半部については、想像以上に困難であった。
¬ 言葉の障壁、カリキュラムの違い、時差、グループレポートには時間がかかるという性質による。
¬ グループレポートのオーナーであるという生徒達の意識や、目的達成のための共通理解を十分に促
すことができなかった。
WebLabs のまとめ
多くの生徒は、上手にモデルを構築することができた。
WebReport システムを使って、自分たちのモデルをアップロードし、それらに内省的なコメントを付加した。
教室実践の一部となり、あるケースでは、教室の調査指向の規範を発展させる触媒となった。
生徒達は、コメントしてもらうこと、そして、オンラインコミュニティの一部になることを望んでいた。
• しかし、サイト内のレポートは数多く創り出されたものの、サイト間のレポートは少なかった。
• また、ほとんどのレポートは、ほぼ 1 つだけしかコメントされていなかった。
生徒たちが互いに挑戦しあう、競争的な相互交流。
• この交流を通した、数学的な概念についての議論を促進することに成功した。
• 数週間にわたる交流から、数列（やそれについて）の説明は、日増しに洗練されていった。
まとめ
生徒たちに数学的概念を共有させることは、容易ではない
•
他の生徒が作ったモデルにコメントせずに、新しいモデルを作る傾向が見られた。
表面的な事実やスキルよりも、深い理解についての議論を重視
• 活動の構造やツール、（WebReports などの）人工物に結びついた「教室の社会数学的な規範」の確立
¬ Playground や WebLabs の利用を通して、生徒達は、自分たちの学習の管理し、多様な背景を持っ
た他者から学んだ。
¬ しかし、長い時間をかけて、このような規範を確立することはできなかった。
数学的概念についてのハイレベルで議論するよう促進することの有効性。
• 教師には、内容、ツール、そして、協調的相互交換を発展させることの利点についての、十分な知識が求
められる。
• ツールは相互交換を促進したが、共有の利点を認識するまでには至らかった。
¬ そのため、ツールの利用を円滑にできず、サイト間のコラボレーションを実践の中に上手く組み込め
なかった。
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