渦ロスビー波

101 (ロスビー波；ベータ効果；渦度)
渦ロスビー波
１.概略
回転する球面が持つ渦度（惑星渦度）の
直成
は,極において最大であり,そこより緯度が下がるに
つれ単調減少し,赤道上ではゼロとなる.このような
回転球面上で（ポテンシャル）渦度を保存する流体が
南北に変位すると,惑星渦度が増減した
を補償すべ
く流体内部に相対渦度が誘起され,結果として西側へ
伝播する波動が生じる（第１図上).これがロスビー
によって発見されたロスビー波である.しかし,実際
にロスビー波という言葉は,このような惑星渦度の南
北勾配（ベータ効果）に起因する波動だけではなく,
もう少し広い意味で
われている.例えば,よく知ら
れているように,自由表面を持つ一層の流体（浅水
系）においては,水深の変化が数学的にベータ効果と
同じ役割を持っており,等深線に
って伝播する波動
を生じる.この現象は“地形性ロスビー波”と呼ば
れ,ロスビー波の一種とされる.同様に,渦のような
中心部に渦度の集中した領域が存在する流れの場合,
半径方向に渦度の勾配が生じ,これが同じくベータ効
果となって渦度の高い部
を右手に見る方向へ伝播す
第１図
惑 星 ロ ス ビー波（上）と 渦 ロ ス ビー波
（下）の模式図.
る波動を発生させる（第１図下).この現象が今回採
り上げる“渦ロスビー波（vor
”で
t
e
xRos
s
bywave）
ある.渦ロスビー波もやはりロスビー波の一種である
波,あるいは,ロスビー波という概念がクローズアッ
が,地形性ロスビー波やロスビーの発見した惑星ロス
プされることはなかった.しかし,1
9
9
0
年代後半以
ビー波のベータ効果が水深の変化や惑星渦度の勾配の
降,熱帯低気圧のスパイラルバンドや多角形の眼を対
ような周囲の環境によって生じているのに対し,渦ロ
象とした一連の研究がコロラド州立大学の Sc
hube
r
t
スビー波のベータ効果は渦それ自身の流れで形成され
や Mont
gome
r
yら の グ ループ に よって 開 始 さ れ る
ている点が特徴的である.
と,これらの現象をロスビー波の力学で説明する試み
渦ロスビー波に関連した初期の研究は,Mi
c
hal
ke
と Ti
mmeによる理想化された渦に関する理論的研究
が多数なされるようになり,渦ロスビー波という言葉
も一般的に
用されるようになった（Mont
gome
r
y
（Mi
9
6
7
）や,藤田哲也博士に
chal
ke and Ti
mme1
9
9
7
；Sc
9
9
9
など)
andKal
l
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hube
r
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ta
l
.1
.
よって発見された竜巻の複合渦構造,すなわち親渦の
次章では,ランキン渦上の渦ロスビー波を例として,
中に複数個の子渦を伴う構造を説明するための研究
この波の性質を紹介する.
（Snow 1978）など,渦流の順圧不安定を扱った研究
に見ることができる.但し,この時点では渦ロスビー
2010 日本気象学会
2010年 7月
２.ランキン渦上の渦ロスビー波
ランキン渦とは,渦度［＝ dV /
dr＋ V /
r］が一定
値［＝ Z］の剛体回転部と,渦度がゼロであるポテン
81
渦ロスビー波
514
シャル渦が最大風速半径で結合した形態の渦のことで
ある.これを接線流速 V で表現すると
V＝
Z
2r
＝V
r
R
(r＜R
)
ZR
＝V
2 r
R
r
(r＞R
)
d dV V
＋
d Φ＋ 1dΦ − m Φ− m dr dr r
Φ＝0
dr
r dr r
r
mV
−ω
r
(
6
)
(
1
)
が得られる.ここで,dV /dr＋V /rが基本場の渦度
であることに着目すると,ランキン渦の渦度は区
的
となる.すなわち,ランキン渦の接線流速は,最大風
に一定であるので,その微
速半径 R
(
6
)
式の左辺第４項はゼロとなる.すると,この式は
より内側では半径 rに比例,外側では反
比例することがわかる.但し,最大風速を V
はゼロとなる.従って,
とす
簡単に解くことができ,１次独立な２つの解として
となることに注意されたい.こ
r と r が得られる.これより中心と無限遠で摂動
のような理想的な渦に限定すれば,渦ロスビー波を線
が収束するという境界条件と,半径方向の流速が渦度
形論の範囲で解析的に示すことが可能である.以下,
の不連続のある最大風速半径においても連続するとい
このランキン渦を基本場とする線形解析をおこなう.
う接続条件を
ると Z＝2
V
/R
慮すると,
支配方程式は渦度の保存式であり,これを極座標
（r,
2
)
式である：
θ）で記述したものが次の(
＋u ＋
t
r r θ
1 u
＋ −
＝0
r r r θ
Φ(
＝
r)
(
2
)
r
R
(
r＜R
)
R
r
(
r＞R
)
(
7
)
ここで,u, はそれぞれ r,θ-方向の流速を表わ
となる.これがランキン渦上に現れる渦ロスビー波の
す. に,流線関数 φ で記した摂動を
半径方向の構造である.m＝１の場合には,ランキン
渦と同じく r＜ R
1 φ
， ＝V ＋ φ
u＝−
r θ
r
(
3
)
例する
に小さいという仮定の下で線形化をおこなうと,
＋V
t r θ
r
−
＋
布を示す.
一方,渦ロスビー波の
1 φ d dV V
＋
＝0 (
4
)
r θ dr dr r
が得られる.この(
4
)
式に支配される摂動 φ が,今回
取り上げる渦ロスビー波である.この渦ロスビー波の
散関係については,(
6
)
式
を最大風速半径前後の微小区間にわたり積
で得られ,これより
1
1
＋
φ
r r r θ
で反比
がより最大風速半径に集中した構造をとる.第２図に
その平面
のようにランキン渦に重ね,摂動が基本場と較べて十
で半径に比例,r＞ R
布となっているが,m≧２の場合には,振幅
ω＝ V
m R
−V
R
すること
散関係として
1
m
(
8
)
が求まる.ここで右辺第１項はランキン渦の渦核部
（r＜ R
）における角速度であり,第２項が純粋な
形を求めるため,半径方向に定在的な構造 Φ(
r)を
渦ロスビー波の角速度を表わす.第１項と第２項の符
持ち,接線方向に波数 m,角振動数 ω で振動するよ
号が逆であるため,ランキン渦の回転方向によらず,
うな解：
純粋な渦ロスビー波は必ず基本場の流れに逆らって伝
播することが明らかである.このように基本場の流れ
φ＝Φ(
r)
e
(
5
)
と渦ロスビー波の回転は相殺し合うため,見かけ上は
基本場の旋回角速度より遅い角速度で,基本場と同じ
方向に回転することとなる.また,純粋な渦ロスビー
を仮定する.(5)式を(
4
)
式に代入すると Φ(r)
の支配
波の角速度は波数 m に反比例するため,m が大きく
方程式として,
なるにつれ,見かけ上の角速度（＝ ω/m）がランキ
82
〝天気"57.7.
渦ロスビー波
515
が得られ,渦度の面積
が
ゼロとなることがわかる.
従って,渦の中心部に正の
渦度があると,その周りに
は必ず負の渦度域が存在す
ることになる（Syonoe
ta
l
.
1
9
5
1
；笠原・増田 1
9
5
6
)
.
ここで注意すべきことは,
半径方向の渦度の勾配が１
つの渦内で符号を変えてい
る点である.この状態は,
e
i
ghの 条 件 と し て 知
Rayl
られる順圧不安定の条件を
満足している.このような
場合には,少なくとも時計
回りと反時計回りに旋回す
る２つの渦ロスビー波が存
在し,これらの旋回する角
速度が一致した場合には不
安定が発生する.これが渦
ロスビー波を用いた順圧不
安定の解釈である.このよ
うに有限の半径で収束する
第２図 ランキン渦上の渦ロスビー波の水平 布.波数 m ＝１（左上)
,２（右
上)
,３（左下）および４（右下).コンターは流線関数を示し,実線が
正,点線が負の値を表す（コンター間隔＝0.
2)
.また,図中の円は最大
風速半径を示す.
軸対称渦は必然的に順圧不
安定の 条 件 を 満 足 す る た
め,これが実際の台風やハ
リケーンにみられる非対称
性の原因となっている可能
性が
ン渦の角速度に近づく様子がみられる.
えられる（I
0
0
2
)
t
anoandI
s
hi
kawa2
.この他
にも渦ロスビー波の概念を用いた熱帯低気圧等の研究
３.おわりに
Syono（1951）によると,ランキン渦は運動エネル
ギーが無限大になるので,現実に存在することはな
は多数なされており,今後の進展が期待される.
参
文
献
い.渦が現存するためには,少なくともランキン渦の
I
t
ano,T.and H.I
s
hi
kawa,2002：Ef
f
ectofnegat
i
ve
ような無限遠ではなく,有限の半径で流速が収束する
vor
t
i
ci
t
y on t
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t
i
pl
es
t
r
uct
ur
e of
nat
ur
alvor
t
i
ces
.J.At
mos
.Sci
.
,59
,3254-3262
.
必要がある.このことを念頭に,渦の外縁を流速がゼ
ロとなる円周 cで定義し,その内側にあたる渦の領
域を S,渦度を ζ,また,位置ベクトルおよび流速ベ
クトルをそれぞれ X,U として,ストークスの定理
を適用してみる.すると,U ＝0
である cに
積
った線
はゼロなので,
笠原 彰,増田善信,1956：台風論.地人書館,138
pp.
Mi
chal
ke,A.and A.Ti
mme,1967：On t
he i
nvi
s
ci
d
i
ns
t
abi
l
i
t
y of cer
t
ai
nt
wodi
mens
i
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ext
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f
l
ows
.J.Fl
ui
dMech.
,29
,647-666
.
Mont
gomer
y,M.T.and R.J.Kal
l
enbach,1997：A
t
heor
yf
orvor
t
exRos
s
bywavesandi
t
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i
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.
ζ
dS＝ U･
dX＝0
(
9
)
Quar
t
.J.Roy.Met
eor
.Soc.
,123
,435-465
.
gomer
y,R.K.Taf
t
,T.A.
Schuber
t
,W.H.
,M.T.Mont
2010年 7月
83
516
渦ロスビー波
Gui
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.P.Kos
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.P.Edwar
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,
1999：Pol
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r
i
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Syono, S.
, 1951：On t
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t
r
uct
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mos
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c
vor
t
i
ces
.J.Met
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.
,8,103-110
.
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Syono,S.
,Y.Ogur
a,K.GamboandA.Kas
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a,1951：
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.
,56
,1
Snow,J.T.
,1978：Oni
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i
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nome
non.J
.At
mos
.Sc
i
.
,35
,
1660-1677
.
84
Ont
henegat
i
vevor
t
i
ci
t
yi
nat
yphoon.J.Met
e
or
.Soc.
Japan,29
,397-415
.
（防衛大学
地球海洋学科 板野稔久)
〝天気"57.7.