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Instructions for use Title 2002年度談話会、特別講演

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Instructions for use Title 2002年度談話会、特別講演
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Issue Date
2002年度談話会、特別講演アブストラクト集
北海道大学理学部数学教室
Hayashi, M.; Ishikawa, G.
Technical Report Series of Department of Mathematics,
Hokkaido University
2003-01-01
DOI
Doc URL
http://eprints.math.sci.hokudai.ac.jp/archive/00000274/;
http://hdl.handle.net/2115/688
Right
Type
bulletin
Additional
Information
File
Information
2002danwakai001.pdf
Instructions for use
Hokkaido University Collection of Scholarly and Academic Papers : HUSCAP
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References
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o
n
)
1
-3-
ギンツブルグ・ランダウ方程式における安定解と領域依存性
神保秀一
(北海道大学・大学院理学研究科)
(北海道大学理学研究科数学専攻談話会 7/2/2002記録)
~O. 導入
本稿では(低混)超伝導のモデノレとして現れるギンツプノレグ・ランダウ (
G
L
)汎関数や,その変
分方程式であるギンツプノレグ ・ランダウ (
GL)方程式を考える.超伝導現象において著しい特徴
のひとつは永久電流である.これは外部から駆動力がなくても,減衰することなく(半)永久的に
電流が存続する状態である 一般には物体に電流があってもそのままでは電気抵抗によって電流
が減衰してしまうが, (纏低温等の)ある物理状況で永久電流が実現できるということが大発見で
あった (20世紀初頭). 50年後この現象はギンツブルグ ・ランダウ (
G
L
)によってモデノレ化さ
れ方程式が得られている .GLの理論とはエネノレギー汎関数の Loca
lmi
凶m
l
z
e
rによって現象とし
て現れる電流の状態を規定するものである すなわち,物理的な状態(安定状態)を GL汎関数の
変分構造に結びつけるものである その汎関数の変分方程式がギンツプノレグ ・ランダウ (
GL)方程
式に他ならない この方程式は物理的な外部状況に対応するいくつかのパラメータをもっ パラ
メータの範囲全部にわたって現象が GL方程式でちゃんと記述されているかどうか,かならずし
も保証の限りではないが,良いモデノレであることは長年の物理の研究で十分認識されている.考え
ている状況に応じて境界条件等を与えることによって偏微分方程式の境界値問題となって数学の
問題に帰着されるが,その解析は必ずしも容易ではなく現象の全体が解明されたということには
なっていない.パラメータその他の状況により異なる様相の現象があることが知られている 実
験などで実現されやすいものは安定性の高い状態と考えられるが,それよりエネノレギー準位が高
くても極小値になっていれば安定性をもっ状態といえるため,技術的には困難でも本当は起こる
現象かもしれない.よって,本質の理解のためには広い視野のなかでものを考える必要がある.数
学的にはより豊富な現象が起こっている可能性を含んでいるからである 数学研究の問題意識と
しては,全体のパラメータ領域にわたって安定解(および不安定解)がどのように分布している
か理解するということにある それぞれ個別の所で解の畿何的な性質も興味ある また,永久電
流の現象からの直接の疑問としてはどのような領域に安定な解が存在するかという問題も生じる
最初に発見された超伝導現象は針金状の物体上の円環電流であった .それでは一般の複雑な形で
は ど う で あ ろ う か 我 々 は Q に関する依存性を研究し複雑な解を生成するメカニズムをよく理解
したいと患っている 素朴な発想としては Q が単純な形状だと単純な安定解しか許されず,複雑
だと安定解が豊かに存夜する状況になる,と考えられる これは,符円型方程式や反応拡散方程
式などパターン形成の研究の例からも一般的に予想されることであり,非常にもっともであると
考えられる これらの数学的な解析を与えたい 複雑な形状ならば適当に大きいパラメータのも
とで安定な解が存在するということについては 90年代半ばにいろいろ仕事がなされた.これら
を含めて燦々の異なる状況に関する解の構造の依存性を中心に話をすすめる 以下の議論や結果
は,森田善久(竜大), J
.Zh剖 (
Zhe
j
i
a
n
gU
n
i
v
.
),P.S
t
er
n
b
er
g(
I
n
di
anaU
n
i
v
.
) らの方々との共同
研究などで得られたものである
-4
2
~1.安定解の存在
1C]
R
3 は滑らかな境界をもっ有界領域とする. (
骨,
A)を変数として次の汎関数を考える.
(fl
λ ¥
f
2+ー
(1.1)払(骨,
A)= I(~ I(マ - i
A
)吾1
(
1ー│骨 1
2
)
2)dx+I~lrotA -H
I2dx (cf.[3,] [
4
]
)
日
¥2"
4'
" '}
J[
(
32
岳(
C
v
a
l
u
e
d
)は上の複素数値関数,A は]R3上のlR3値関数である
h言。はパラメータ
λ>O,
また外部磁場としては少し特別なもの H=h
e
3,e3=(
0,
0,1
)を考える 研究すべきこ
である
とはこの汎関数の変分構造をできるだけ詳しく知ることである.汎関数において研究すべき重要
な特徴は停留点 (
Cr
i
t
ic
a
lP
o
i
n
t
) の性質や様子であるが,それは 冗λ の変分方程式として得られ
る GL方程式の解である 簡単な計算により GL方程式は
(
マ -iA)2争+λ(1ー│骨 1
2
)岳 =0 i
n 1,
8~
(
1
.2
)
τ一-i
(A-v
)骨 =0 on
8
1
1,
av
3
r
o
tr
o
tA+ (i(~V'畳一骨V' ~)/2+ 1骨1
2
A
)A口 =0 i
n l
R
,
rotA-H →o f
o
r
I
x
l→
∞.
ここで(ー
,ー)は標準内積,A
f
lは Q の 特 性 関 数 争 は Q 上の複素数値関数で電流の状態を表し .A
はlR3上のベクトノレ値関数で磁場のベクトノレポテンシヤノレである これらの方程式の解についてま
ず簡単にわかることをいくつか述べる.
(
i
)h= 0の場合.吾
((
x
),
A
(
x
)
)= (
1,
0)は (
1勾 の 解 と な る また,これは汎関数冗λ の最小エ
ネノレギー値 0を与える.これは外部磁場がない状態で物体のなかの電子がすべてマクロには運動
していない趨伝導状態にある状況に対応している
(
i
i
)hf
.0の場合 Ao(x)= (h/2)(-X2,Xl,0
) とお くと(骨,
A)= (
0,
A
o
)は(1.2
)の解となる.こ
れは外部磁場が H で物質のなかの電子すべてが正常状態にある状況に対応している これが安定
か不安定かはパラメータ入久よび hに大いに依存する 少なくとも
、
L2 r
払 (
0,
A
o
)=千
1
1
1J,ぬ (1,
Ao)=与
唱 。
I(xi+x~)dx
Jfl
を見れば hに応じて λが大きければ (
0,
Ao)は G
l
o
b
a
lr
n
山 田 町E にならないことがわかる.
これらのパラメータめ値にたいして解の構造がどう変化するか,これが根本的な課題であると言
える 現在多くの研究がなされているが全体の明快な理解にはまだまだ道のりは遠い状態である
と思う.
最近示された重要な結果として
ないことが示された
h>Oが非常に大きいならば超伝導状態に相当する解は存在し
命題。 (
Giorgi-Phil
J
ip
s[
7
]
) λ>0に対してあ る h
o>0があって ,hミh
oな ら %
λ は(
0,
Ao)
を Gl
obalm
i
n
i
m
i
z
e
rとして もち,これは同時に唯一の Cr
it
i
c
alP
o
i
n
tである.
)が,第一の E
重要な性質として次の(ゲージ)変換に
ここで,汎関数(1.1)および方程式(1.2
よる不変性をもつことを注意する
(
1
.
3
)
r (~ , A) ー(昏 ', A')
{
昏=内
A
'= A+v
'P
l
3
(
p:l
R
→ lR).
C
(昏 ,A)を得るが,この連
続体(同値類)自体がひとつの状態と考えることになっている このような考えに従えば, (
争,
A)
の安定性とはこの連続体 C(
骨,
A
)機断的な方向へのエネノレギー冗λ の埼滅あるいは大小で考える
のが自然であることがわかる。
p をいろいろとることによって,ひとつの解(骨,
A)から解の連続体
-5-
3
停留点 (
Cr
i
t
ic
a
lP
o
i
n
t
)では(第 1)変分が消えている
汎関数の第 2変分である
その安定性を考えるため に必要なのが
A)における討λ の第 2変分は以下のように与えられる
[
第 2変分公式](母,
動の変数である
(
1
.4
)
1t
P
J
λ
.
(争 ,
A
j宙 ,
B)=一
( •れ-成1A+
ε
B
I
2d寸
f2千
.仏
¥• - ,-)
'
1吋
~^
r
ただし, 世
( ,B)が摂
=
2
J
tI
~ J!1{
1¥
7i
+τ(¥
7ft,
i
J
tB)+i
(¥
7
i
J
t
, A否 + B
苔)-i
(マ苔,
i
J
tB)-i
(
¥
7
i
J
t
, A宙 + B
骨)
ゐ
2+(A,B)(骨iJt+苔世)+I
2
+
I
A
1
2
1官1
B
I
2
1骨1
}
dx
+~
r
2
((詞 + 恥 )2ー卯 一│昏1
)
1世 1
2
)dx+~
官 J 日~
r
I
r
o
tB
I2
dx
JR3
J
i
皿 b
oandM
o
r
i
t
a[
1
O
J
,R
u
b
i
n
s
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i
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t
e
r
n
be
r
g[
1可
, J
i
r
n
b
o阻 dZ
h
a
i[
l
1Jらの結果により,領
犠がある程度位相的に複雑ならば(固定された h>Oにたいして λ>0を大き くすれば)複数の
種類の安定解が存在することがわかった ここでは[l
1Jより少し異なる形で結果を述べる ただ
し,証明は同じである 次のような関数空間を準備す る.
Z=
〆
、1/2
I
I
B
l
l
z=(I
.
1
¥
7B
I
2dx).
3X3
1
¥
7B E L2
(
I
R3;I
R )},
3
{BE L (
l
R3;I
R)
6
p
¥JI
R
3
(BE Z
)
/
X = H1(
O;
q X Z, XH= H1(O;q x{H+B 1B EZ}
とおき,汎関数千λ
4 を XH において考えると,次の結果が成立する
定理 1
. 0 は単連結でないと 仮定する.このとき ,入0>0が存在して λミλoの条件のもとで
冗λ は XH において非自明 な Lo
c
a
lm
i
n
i即 日r骨
(,
^Aλ) をもっ.
注 hを固定して, λが増大すれば,ますます多くの異なるものが存在する
注:この結果は 2次元版の場合も成立する
ただし,関数空間の取り方は多少異なる
さらにこの L
o
c
a
lminimi
z
e
rの安定度も第 2変分により特徴付けられる.
o
c
a
lm
i
n
i
m
iz
e
r骨
(,
^Aλ
)EXH にたいし,第 2変分の 2次形式はある意
定理 2 上で得られた L
味で正定値であることも 言える すなわち,ある定数 c>Oがあって
い
み
J
λ(
但
,
t
J
i
宙
弘町
B)主
訂c(
1
1
同
宙
引
叫1
1
ι
L
L
吋
1附
{
明
ρ
Q
ここで'部分空問 X2CXは
(
伶
岳λ,
Aλ
ρ
)におけるゲ一ジ変換の方向と綴断する部分空間である X2
の特1
徴敷付けについても [
伊
例
伶
昏λ,
6
同]を参照 これにより角解平(
A
ρ
λ)についてそのゲ一ジ変換に関する閑値
類は,類としては狭義に安定であることがわかる.
^
さらにこの安定性の非退化の性質によりにより多少領岐を乱暴に変形しでもこの解は存続でき
ることも示せる 野生的な領域変形として機々な位相のものを採用することができる もともと
の Q として例えば ソリッド トー ラスであったとすれば.そ の穴に薄膜をはめ込んで可縮なもので
体積がほとんど閉じものができるが,このような領域に安定な解を構成することもできる 実際
つぎのことが考えられる (
c
f
.Jimboa
ndZ
h
a
i[
1
2
]
)
-6-
4
[領緩の特異変形]
n
(
(
)(
(>0
)を考え,次の条件をみたすとする
(
a
)n(
(
2
)コn(
(
t
lコn (
0く (
l三(
2
)
3 の領域の族
Q を含む1R
i
m
(→oV
ol(n(()¥n)=0.
(
b
)l
このような領域 n
(
(
)について同様の問題を考える ただし .上の説明 に書いたように (>0
が小さくても,この領域は Q と同相とは限らない.次の GL汎関数を考え,定理 1, 2で得られ
るL
o
c
a
lm
i
n
i
皿i
z
e
r(
昏
,
¥
, Aλ
)の摂動を考える.
(
1
.5
)
'
H
.
,
¥.
d昏,
A)=
r (1
I
(
~ I(マーは)骨 1
J口(()¥L
2
λ ¥ f
+~(l -I 昏|ザ )
噌 ノ
I百│叫A -H
I2dx
dx+
JUP ゐ
この汎関数に対する p
e
r
t
u
r
b
e
dL
o
c
a
lm
i
n
i
m
i
z
e
rが得られる.
定理 3(
c
f
.[
1
2
]
)
. 十分小さい (>0にたいし討λ,(は L
o
c
a
l皿 i
n
i
m
i
z
er争
(λρAλ ,
c
)をもち
j
出(
1
1骨M 一 州 町 日 )+I
I
A
'
¥,
c-AλI
I
z
)= 0
(
1
6
)
が成立する.
注ー(1.6
)における収束は楕円型方程式の解の正則性の評価により良い収束となり,<tλ,(は Q 上
では岳λ を非常によく近似している 一方 • Q
(
(
)= n(()¥Qではどうなるかは一般にはわからな
(
(
)について特定しなければならない ただし, 全体の
い.ここでの挙動をよく見るためには Q
n
(
(
)が可縮な領域ならばゼロ点をもたなければならないことはわかる
3
44F
寸
f
Jh
Z
(
G 官R
イ
μ 沖・
、ph
ρ
r耳Z
、定(い
広i
z
主
、h罪
ふ
小
,
S
山
g'
︿以
三非
手
一
宅一
pp(
、
Q(り
/J
'ト、ィ浄錆ーの旬
z
みを加 Al
イ
士
ヨ
ヰel4イフ o t支王 3
正L
(〉
包
-7
u
G
C
S
)
一
一
一
一
一γ
s
9
2.自明領績と安定解の非存在
(
2次元飯)
単純領域には安定解があまり存在しないと考えられる が
, 一般の 3次元の場合はあまり研究が進
んでいない. ここでは 2次元の場合に事柄を考察する Q を艇の有界領域で境界は滑らかであ
るとする . 2次元の GL汎関数を
(
2
.
1
)
冗λ
(昏
rr
1 λ
。
r
2ー (
,
A)= 1
I
一
1
(¥
7-i
A
)
争 1+
1-1
争1
2
)
2J
~d
x+1
I
~lrotAl2dx
0{
l2'
"
,-,.
4,
,
-"
-.
1
1
.
22
c-
ただし,昏は
va
l
u
ed関数 .Aは J
R
2v
al
u
e
d関数である これは 3次元の問題において勾
方向にすべて一様な現象を考えていることに対応する.そして Xl- X
2方向の切断面でのエネノレ
ギー密度を新たな汎関数としている GL方程式はこの汎関数の変分方程式として得られる.これ
は(1.2
)問機の形となるー
[
1
3
]
)
.領域 Q が凸領綾ならば任意のLoc
a
lm
i
n
i
m
i
z
e
r(
骨.
A)は自明状態 (
1,
0)にゲージ
定理 4(
同イ直である
注.磁場の効果を考慮しない GLモデノレについて同様の結果が知られている お皿boandM
orita
o
l
l
a
n
d[
1
]姐 dMatano[
1
5
]さ
[
9
].さらに以前には単独の反応拡散方程式について CastenandH
らに c
o
皿p
e
t
i
t
i
o
n
s
y
s
t
e
mでは Ki
s
h
i
皿 抗 争W
e
i
n
b
e
r
g
e
r[
1
4
]の仕事がある. 今回の我身の結果は方
法論的にはある意味で延長線上にある.
(定理 4の証明の概要)(骨,
A)を任意の Loca
lm
i
n
i
m
i
z
e
rとして固定して議論をすすめる.また,
適当なゲージ変換によって(昏,
A)が(以下の議論で必要な)滑らかさを持つとして一般性を失わ
ない さらに (
A.
v
)= 0(
xEa
f!)が成り立つようにしておく.まず次の性質に注意する
A
)は│争 (
x
l
l三1 (
xEf!)を満たす
補届.解(骨,
x
)= 1
争(xW,ゆ(
x
)= Arg(骨(
x
)
)が満たす方程式
(証)凹 (
d
.w 1¥
7
1
>-A
I2w+λ(1一
切
り
切 =0 (ZEQnE),
に最大値原理を適用して示される
ただし
Z=0 (ZEBOnE)
E ={xEf
!1骨(
x
)#O
}
口
注この性質は L
o
c
a
lm
i
n
i
m
i
z
e
rのみならず一般の解 (
C
r
i
t
i
c
a
lp
o
i
n
t
)にたい しても成立する
補題.r
otA三
o(xEJR2¥f!)
=
o
tr
o
t
A 0で
(証)これは 2次元の特殊性より従う.仮定より Q の外部領媛は連結で,ここで r
あるから • a
/
a
x
l(
r
o
t
A
)=0
,a
/
θX
2(
r
o
t
A
)=0
が成立し r
o
t
A=c
a
n
s
tとなる 一方 mは は が
で 2乗可積分であることから,この定数は外部領域でゼロとなる これから結論が従う.
口
証明においては第 2変分 Jλが重要となるが,これは 3次元の場合と閉じに定義され(1.4
) とほ
ぼ同様の公式が得られる
(
2
.
2
)
1 ~
J
λ
(骨,
A
j宙 ,
B)=一
一τ従 λ
(骨+
εw
,
A +ε
B)I
2de '}, ' -"''"~
,
-- '1
-8
6
アイデアの要は
て
と
0争 8A
1=)Jλ
(,
骨A - )
(
2
.
3
)
主f
'OZ3'BZ3
のtil:を良く検討することである (
2.
3
)を第 2変分公式を用いて計算し,元々の GL方程式を微分
して得られる関数等式を代入して重要な等式を得る それを説明するため集合を定義する
rl= {XE8n1
昏(
X
);
fO
},
r
2= {XE8n1
昏(
X
)=O
}
当然ながら rlnr
2= o
,rlUr
2= 8nが成立する
補届.
1=
(
2
.
4
)
一~
r
F(x)H(x)dS
" J8n
ただし.H = H(x)は xE8nにおける曲率 . Fは(争,
A)から決まる 8n上の関数で
2+ 叫 2
r1
マ
四1
1'
¥
7
<
t-A
I
2
:
.
:
.
.
:
:
:
?
2 xEr
I 1
マ骨 1 (
2
)
F(x)= <
(
xErl,
争(
x
)=叫 (
x
)
e
x
p
(
i<
t(
x
)
)
)
と定義されている
ここでれでの骨の表し方は一通りではないが F は一意に定まる
非負であることも注意,
仮定より第 2 基本形式が非負定値であるかり .F は明らかに非負であるから結局 I~O を得
る.従って, (
骨,
A)での 2方向 (
8
岳/8X
l,
8A/8xd,(
δ争/8X2,
8A/8x2) での 2階変分の和がゼロ
以下であることになる.従って,少なくとも一方が正ならもう一方が負になり. (
争,
A
)が Local
m
i
n
i
m
i
z
e
rでないことになる 従って,両方ともゼロであることになる. これより
θ岳 θA
(
2
.
5
)
み怜 ,Aj石j 石;)=0 (3=lj), J
λ
(争,
A;w,
B)ミo (
I
f
(
宙,
B)EX)
が得られるーまた ,さらに境界上で曲率が消えない集合上で F がゼロとなる
従って
r3= {
xE8n1H(x
)>O
}
とおくと
(
2
.
6
)
マ昏 ,骨A
=0 00
,
r3
が成立する
さて (
2
.
5
)からわかることは (
8
骨/
8
x
j,
8A/8xj)は(世 ,
B)のみを変数にもっとみなした汎関数
J
λ
(岳 ,
A;w,
B)の最小値 Oを与えていること である よって,その変分方程式と自然に満たすべ
き境界条件 θ
(骨/
8
x
j,
8A/θX
j
)に与えられる 計算によってそれは次の通りである
(
2
.
7
)
f_fθ
8A¥
l
'
¥
7l石~) i争 a~; ) .
v=0
骨¥
8n (
j=1,
2
)
00
これを用いて GL方程式の第一式を境界で e
v
a
l
ua
t
eすれば
(
2.
8
)
=0
争(
x
)
o
r 1
骨(
x
)
1=1
が成り立つ
-9-
00
8n
ー
ー
ー
ー
可
8
~3. 具体例í!=
Disk
外部磁場 H があるときの円板の場合に具体例を見てみる
i
!= {
(
X
l,
X
2
)EJ
R
2
1xf+x~
<1}
i
m
9,A = (
の場合を考える. 解として特別な形のもの 昏(
x
) = 叩(
r
)
e
y
(
r
)
/
r
)
(
s
i
n
9,
c
o
s
9
)を
cos9,X
2 =rsin9を用いた
これを方程式に代入して問題は
考える
ここで極度標 Xl =r
叫=叩 (
r
),
y= y
(
γ
)に関する方程式 (ODE)に還元される
No-Vortex(Meissner)s
o
l
u
t
i
o
n(m= 0
)
d2w
1d
山
U
2
2
0く T く 1
),
一
τ +一一一 τ2叫 +λ(1-w
<
)叩 =0 (
d
r2 . rd
r r
d2y 1d
y
一
τ
一一
一
-yw2A(r)= 0 (
r>0
)
2
αr
rd
r
叫(
r
)>0(
0く T く 1
),y
(
r
)>0(
r>0
), y
(
O
)= 0,d
y/
d
r
(
l
)= hdw/
d
r(
O)= d
叫/
d
r(
l
)= 0,
(
r
)= 1(
rE(
0,1
)
),A
(
r
)= 0(
rE(
1,∞))である ここで計算によ って l
r
o
tA
I
=y
'
(
r
)/
r
ただ し A
であり, 補題より y
(
r
)= h(
rミ1
)であることもわかる .単調なる解凹 (
r
,
)y
(
r
)を得て 次のグラ
フを得る.また,電流の強さ,できる磁場の強さについても機子がわかる
3
札、
r
ト
。l
芋
oCA
I=
T'^'~=' 宅|
勺
でプラ
e
f三7て ー ¥
¥¥工
J
•
ノ
ーレ~
T
χ
'
x
-
¥ ¥ - ー ー ー ー一一一ー----
よ
工
Jー
コ
-1
0ー
7
さて境界近傍において議論を進めるため次の集合を定義する.
f4=f¥nf3,
f
3が空集合でないことは明らか
fs=f2nf3
また, f
4Uf
sヲ
正
日
Case(
i
)f4i
-0
.
PEf
4を任意に取って (
2.
8
)を考慮すると l
骨(P
I
)=1であるが ε>0を小さく取り
(山 │ 的 )1~ 1 i
n 恥 )
n1
1
(
2
.
9
)
│
骨(
x
)
1= 1
on B(pパ)n8
1
1,
x
)= 1岳(
x
)1
.
ゆ(
x
)= Arg(吾(
x
)
)が満たす方程式を考える ,
とできる. この局所的な部分領域で叫 (
(
2
.
1
0
)
(6
0
叩
<
│
マ
ゆ
A
I
2凶+入 (
1一切り四=0 i
n B(
P
;ε
)n1
1
8wjν =0 i
n B(
P;
f
)n
811
ここで,最大値原理あるいはホップの補題を適用して四三 1(
xEB(
p
;ε
)n1
1
)を得る この議論
を繰り返して Q 全体で凹 =1 となり φも Q 全体で定義され A =¥
7ゆ (
xE1
1
)が成立する さら
にr
o
t
A=0を用いてゆをI1C で拡張して全空間で A=¥
7
<
tとできる よって(昏,
A
)がゲージ
変換の意味で自明であることがわかる
(
i
i
)f
4=日
PEf
sヲ正日を任意にとる
(
2
.
8
)を考慮すると適当に ε>0を小さく取ると
(
x
)=0, ¥
7
<
T=0
o
n B(
p
;ε
)n8
1
1,
とできる.さて方程式を用いて初期値問題を B(
p
;ε
)n1
1で考える
(
2.
1
1
)
争
((
¥
7-i
A
)
2骨+入 (
1ー│骨 1
2
)母 =0 i
n 1
1
(
2.
1
2
)
<_.
8
い(x)= 0 石
=0 on B仇 ε
)n8
1
1,
骨
これにたいしてカノレデロンの一意性定理を適用して岳=0(
xEB(
p
;f
)nl1)を得る.さらに内部で
繰り返し一意性定理を適用し争 =0が Q 全体で成立する.方程式にもどって第 2式に A をかけ積分
することでん2 I
r
o
t
A
I2dx=0を得る これにより全空聞がで A = ¥
7cを得て, (
争,
A)= (
0,
¥
7
η
)
の形となる.これは(骨0,
A
o
)= (
0,
0)とゲージ同値である(骨o
,
A
o
)での第 2変分を計算する.
i
弘
k
み(
<
To
,
Ao,¥
T,
O
)= 一
2
引
宙1
l
<
To,
均
A0
)は Localmi
阻
n
凶
i凹 z
回e
rにはならない a よってこのケースは排除される
となるから(骨
以上をまとめて(岳,
A
)が (1,0)にゲージ同値の場合だけが残って定理の結論を得る
口
1
1
9
l-Vortexs
o
l
u
t
i
o
n(m= 1
)
原点にボノレテクス(岳のゼロ点)を持つような状態に対する解
a
l
w 1d切
(
1-y
)
2 ,'"
2
耳王+;:dr 一手一切 +λ(1-W')叩
=
0 (
0く r<1
),
d2
ldy ,
,
,
,2
寸百一 一 +(
1-y)w'A(r)= 0 (
r>0
)
d
r
' rdr
(
r
)>0(
0<rく 1
,
)y
(
r
)>0(
r>0
),切 (
0
)= 0,y
(
O
)= 0,d
y
/
d
r
(
l
)= h,d叫 /
d
r
(
l
)= 0
,
山
この方程式は解析できである程度小さい h にたいして非自明解が存在する .h が大きい場合は
(
四
,y
)= (
0,
hr2/
2
)なる解しかない これが安定になるかどうかは λ>0や h
;
;
:
:
Oのかね合いで
決まる .h= 0のとき不安定であることは前節の結果より従う もし安定なパラメータ値 λ hが
あれば混合型の超伝導状態に対応し相転移の数学的モデノレの一例となり得る.
,
/
J
I
I
.
N
-
。
い
0/
ト
内
~4 パラメ -$1 空間での解の構造の様相
パラメ ー タ hによって解の構造がどのようになるかは現時点ではよくわかっていないが,大雑
把に は λが大きく ,hがあまりおおきくない時には超伝導に対応する解が豊富にあることが示唆
される,その逆にはあまりないことが伺われる Q 全体に分布する電子が正常状態という自明状
態と,逆にすべての電子が超伝導になっている状態とが分岐図(相転移図)のなかでどのように
結びついているのか今後の課題と言える
い北危宮崎
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ス
フ
C
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2
5
7
2
6
3
1
3ー
幾何構造が定める微分方程式の不変量
名古屋大学多元数理
佐藤肇
良い形の線形微分方程式系は,その 1次独立な解ををなら べて射影化
することによって,幾何学的対象を定める.その同値類のみに依存する
不変量を見つけることは,微分方程式の理論においても,幾何学におい
ても共に重要である .
9
8
8年の H
o
k
k
a
i
d
oMath.J において,第 l種の(ー 1から
背足豊は 1
1までの階数のある)階数付 L
i
e代数に対する幾何構造に対応する微分
方程式に対して,不変量を調和形式の理論と関連させる美しい結果を得
た.これは,田中昇の幾何構造の分類理論に対応して,表現付の幾何構
造の分類理論とも考えられる .
もちろん,田中の結果は,第 2種以上の有限種に対しての幾何構造に
対しても成立する理論であり,背足の結果も第 2種以上の幾何構造に対
応する微分方程式の不変量を調べる理論にも,美しく拡張されるに違い
ない.
r
e
a
k
t
h
r
o
u
g
hは CR構造に対応する微分方程式の
その意味で最初の b
不変量を調べることが出来るかどうかであろう ー最近筆者は,小沢哲也
との共同研究により,第 1種の幾何構造である共形構造に対応する微分
方程式ついて,背足の方法とは異なる直接的方法で結果を得た この方
法により CR構造に対する結果を得ることが出来るであろうと努力して
いるところである
-1
4-
d において
I
R
s
i
g
nc
o
n
d
i
t
i
o
nをみたさない
非線形楕円型方程式の解の存在について
藤 田 安 啓 ( 富 山 大 ・理)
J
u
l
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6,
2
0
0
2
この講演では,次の非線型楕円型方程式の解の存在について考える
)
1
(
i
A
U
仲 町 付 )• ¥
7u附 [ 入 +H(
日
(
x
)州
=J
(
x
),
E
x l
R
.
d上の関数,また H は l
dxlR.上の関数である.方程式
ここで, λ>0は定数,J
,
却はlR.
R
.
(
1
)の解の存在を考えるとき,切三 Oのときは“s
i
g
nc
o
n
d
i
ti
o
n
"と呼ばれる次の条件が重要
d
になってくる([
1
,] [
2
]):
λ +H(x,
p
)三0, (
x,
p
)El
R
. Xl
R
.
.
1
/
2
)ムーマ切 (
x
)マは非有界な係数を持つ
一方, 叩が非有界関数のとき,作要素 L= (
格円型作要素の典型として,その諸性質が DaP
r
a
t
oらにより調べられている([
4
,] [
5
]
).
この講演の目的は,叫が DaP
r
a
t
oらにより研究され出した非有界関数のときに方程式
(
1
)の解の存在を“s
i
g
nc
o
n
d
i
ti
o
n
"をみたさない場合を含めて示すことである 関数叫につ
いては,次の仮定を置く.
d
)カつ (
d
2
W
(
X
)
/
d
x
i
d
x
j
);
:aI,
( 山(lR.
Z
EI
R
d,
W(
d,
l
¥
7w(xW
e
-2
x
)EL
1
(l
R
.
d
x
)
.
d 上の確率測度
w(
このとき, l
R
.
d
x
) を ν(
d
x
)=e
-2
x
)d
x/
ν(
I e-2w(y)dyで定義する.
JIR"
d,
p さ 1 のとき ,l
J
'
(ν
) で空間lJ'(lR.
v
(
d
x
)
) を表す L
2
(ν
) の内積とノノレムはそれそ・れ
1ー
1と
(
ー,
・)で表すとする.また ,L
2
(ν)dの内積とノノレムにも同じ記号を使うことにする
d
) に対して ,L
ゆEC8
"
(
l
R
.
<
t(
x
)= (
1
/
2
)d
.
<
t(
x
)-¥
7w
(
x
).
¥
7
<
t(
x
)とする.
Lemma1 [
P
r
o
p
o
s
i
t
i
o
n
s3
.
1and3
.
4o
f[
5
]
]
.
)
(
(
¥
7
, C8
"(
l
R
.
d
)
)は L
2
(ν)dで開化可能,
)
(i
(
L,
C8"(lR.d)) は L2(ν
)で閉化可能.
口
L
2
(ν)dにおける vの c
J
o
s
u
r
eおよ び,L
2
(ν
)における L のcJo
s
u
r
eを各々,¥7と L で
1
1
表し,H (ν
)=do
皿a
i
n
(¥7)とする H (ν
)はグラフノノレムにより H
i
l
b
e
r
t空間になる .
l
-15-
9ED(L),
ηEH 1(ν
)
Lemma2. (
¥
1g,
¥
1
η)=ー 2(Lg,
1
/
)
,
さて , L
2
(ν
)をその双対空間と同一視するときの,H1
(
v
)の双対空間を H-l(ν
) と書
く.このとき ,H
1(ν
)C L
2
(ν
)C H-1
(
り と な る .H
-1(ν
)と H
l
(
V
)の du
a
l
it
yp
a
i
r
i
n
gを
く,.> で 表 す 作 要 素 L の定義岐を
domain(L)= H1川
により拡張する
)
く L M〉 = - j m m, 山 H 1(ν
)
)への有界作要素になる
L は H1(け か ら H-1(ν
このとき
Caratheodo
r
yf
u
n
c
ti
onH について,次を仮定する
mainr
e
s
u
l
tを述べよう
1〉ヨ1'>0 ヨG >o
)s
.
t
.
0三 ヨ れ L
1
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(ν
( H+(x,
p
):
;h+(x)+G
l
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l
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(
x,
p
)EIRdX IR,
{
~
く
ω
h
2川
払
官川
川
x
)
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寸
市
(
山
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ν
刊
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叫
d
吋
1
1
(川
弘
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一川 川
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L
0壬己凸什ヨh
/
2,臼
い
p
x
)+klo以
x,
g(1+防
n
(
件
刈
州
│
り
)
,
刈
)竺h-(
付
P
1
ここで,Gk=
(
x,
p
)EIRdxIR
2h-(x)/k
12 とおく
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d
v
(
x
)1
r
r
.
J
J
/
d
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i
.
,... .
.
. _ .
1
k
一一
klog[Gk(l+ M)]とするーここで,
1EH-1(ν)に対して, λ〉 ー
2 白+
Theorem.
1
1
f
ハ
1
刈伽
1
1
引
刊
刊
川
去E
U
M=
川
げ
│
川
川
ば副時
H代
d
E
山
1
ヤ
(
い
ν
り
)
ω
υ
(
町川川……包
仰
叫
)
州
)
州
η
川
州
u
叫
h
川
刷
(
叫州…
d)
ν
.
H(
x,
)
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x
)d刈
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骨
v
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世
,
叫
(
伊
ω
吋
z
)
)
川
ω
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)=く I
付
司
(
い
伺
吋)+λ
い
(
い
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>, ψEG8
I.
い
"(IR句
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1
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¥
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骨
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Reference
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[
3
] H.BREZ1SANDT.KATORemarksont
,J
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,
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、
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S
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4
] G.DAPRATO,
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-adjointness01someinfinite-dimensionalellipticoperatorsandapplication
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波動方程式に対する重みつき時空評価についてのー注意
久保英夫(静岡大学工学部)
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z評価に関する研究は,少なくとも 1
9
7
6年に出版された S
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g
a
l[
6
]に
いわゆる S
まで遡ることができるそれ以降,様々な方向で研究が進め られ,非線型偏微分方程式の解
i
n
i
b
r
eandV
e
l
o[
4
]の序文を参照されたし つ こ
析にも応用されてきた(詳しくは,例えば G
こでは,次の様な半線型波動方程式に対する初期値問題への応用について考察を行なう・
(1)θI~U
-
t
.u=l
u
lP
i
n(
0,∞)× Rn,
u
(
O,
x)=ef(x), d
t
u
(
O,
X)=eg(X) forxεRn.
(
2
)
a
但し,u
(
t,
x
)は未知関数, =δl
a
t,t
.=Li
=
l
θ
/
δXj,P>1
,π三 2
,e >0とする.さらに,
P
o(
n
)を 2次方程式 (n- 1)p
2ー (n+l
)
p- 2=1の正根とする. 1く p く向 (
π
)のとき,任
1
)
一(
2
)の古典解が時間大域的に存在しな くなるような初
意の ε>0に対して,初期値問題 (
,
gεC
Q
'(
R
勺を選べることが, S
i
d
e
r
i
s[
7
]によって知られている.逆に, John[
5
]は
,
期値 f
3)
p>向 (
3
)=1+v'2のとき,ある eO>0があって ,0くE 正eO ならば,任意の f,gεC
Q
'(
R
に対して,初期値問題 (
1
)
一(
2
)の古典解が時間大域的に存在することを示した小さな初期
1
)
値を考える場合,初期値問題の解自身も小さくなることが期待されるので,pが大きい程 (
の右辺はより小さくなる従って ,p が P
o(
3
)に近い場合,例えば向 (
3
)くp く 3の場合の扱
いが本質的であり,そのような場合を扱うために次の様なノルムが導入された
(
3
)
I
l
u
l
l:
=
sup
(
1+t+I
xl
)(
l+I
tー I
x
II
)P-2I
u
(
t,
x
).
l
(
t,
z)ε(0,
∞)xRn
その後,多くの研究がなされ, G
e
o
r
g
i
e
v,L
i
n
d
b
l
a
d組 dSogge[
2
]により,上述の結果は一般
1+I
tー I
x
ll)とい う因子を含む
の n さ 2の場合に拡張されたーこの仕事でも, (
1
1
(
1+t+I
x
l
t
(
l+I
t一I
x
ll
)"
u
l
lLP+'(
(
O,
oo)xR勺
(
4
)
なる (
3
)に対応するような量を適当な hに対して評価することが本質的な役割を果たして
t
r
i
c
h
a
r
t
z評価が,
いるつまり,非斉次波動方程式の解に対して上のような重みをつけた S
1
)
一(
2
)の時間大域解の存在を示すための重要な道具であることが明らかとな っ
初期値間短 (
'An
cona,G田 r
g
i
e
vandK [
1
]に
た一方,初期値の属するクラスの特徴づけを行うために, D
より,l'Xの様なノルムを有界にする緩噌加超関数全体からなる関数空間
,
sが導入された.
H
;
│
1
u
│
I
LJ:
=
言[2 IIAj(伽 )IILP(Rn)]P
jd
ここで, 1く p く∞
, S,
{
jε R
,{ゆj(x)}~。は R" に従属する単位の分解とし , Ai は (2j~). =
2
j
(
1+2 l
げ)
.
/
2を表象とするような擬微分作用素である.そして,斉次波動方程式
( 5 ) δ'
;
u-t
.u=0 i
n(
0,∞)× Rn
,
(
6
)
u
(
O,
x
)= 0, d
t
u
(
O,
x
)=ψ(
x
) f
o
rxERn
の解に対して次の評価が成り立つことが示された n と 3,qε
[
2,∞!とし,
1 n
αく一一一一一
~
.n-1
n- 1
o壬β 正一一一一一一q
1
1
8-
n
n
s>一一一一
1
2 q ,
-,
11
{
j>一
一
β
q+,
2+
'
t
'
V
-
を仮定すると,ある
ψによらない正定数 C=C(α,β,s,o,n
)があり,
1
1
(
1+t+I
x)
l
α
(
1+I
t-Ixl
l
)
β
u
l
l
L
吋(
O,
o
o
)
xR")孟 CIIψI
I
H;ι
(
7
)
しかしながら, (
7
)の証明は,Hf の定義自体が煩雑ために大掛かりである本講演では,
n=3の場合には, G
e
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r
g
i
e
vandV
i
s
c
i
g
l
ia[
3
]で用いられた
f
∞。
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Ix-y
l
[
!
(
t
)
ψ(
x
)=I
s
i
n
t
入 品 l 一一一一一ψ(
y
)
d
y
(
8
)
ん
なる解の表示式を使うことにより,
を報告する
R3
I
x-y
l
H
;
,
S を用いることなく次のような評価が得られること
,qε[
2,
6
]と し
,
定理 1n= 3
日く
1-3 0三 β 壬1-~
q
q
を仮定すると,初期値問題 (
7
)-(
8
)の解
(
9
)
1 1
7>ー
ー
q+
.2+β
u
(
t,x
)= [
!
(
t
)
ψ(
x
)に対して
(
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xl
t(l+I
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x
l)
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β
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L
叫(
O,
oo)XR3
) 壬 C I0 1
'
ψI
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L
"(R3)
1
が 成 り 立 つ 但 し,q
'は qの共役指数,C =C
(α,
β,
7
)は ψによらない正定数である
[
3
]ではフーリエ空間において単位の分解を用いて B
e
s
o
v型の評価を行な っているのに
対して ,この定理の証明では, [
1
]と同様,y変数に関する単位の分解を使う.さらに,各 3に
ついて,高周波成分と低周波成分に分解し評価するとよい今後の課題は,上の評価を一般
の次元に拡張することと非斉次波動方程式の解に対しても対応する評価を導くことである
参考文献
問
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-21-
一般化された粘性項を持つ CLM方程式の解
の爆発について
坂上貴之
名古屋大学大学院多元数理科学研究科
N
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r針。k
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s方程式は極めて広範囲の流体現象を記述する方程式で=ある
ことが,数学解析や直緩数値計算などから知られている しかしながら.モデ
ルとしての妥当性を示す数学的な基本要請 :3次元空間における解の存在 ・
一意性 ・解の適切性に対しては完全な解答は得られていないこの間いに答
えることは応用数学上非常に重要であるにもかかわらず,その難しさのため
に3 現在もなお未解決のままである.それに対して, C
o
n
s
t
a
n
t
i
n,Lax,Majda
の 3人の数学者 は 3次元 E
u
l
e
r方程式の渦度の大きさの成長を記述する簡単
な一次元モデル方程式を提唱したこれを CLM方程式と呼ぶ。
と
さ
=ωH(ω),X ER,
t>0
θ
t
ただし ,H(
ω)は H
i
l
b
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r
t変換であり, 二次の項ωH(
ω)は 3次元 Eu
le
rにおけ
る渦の引き延ばし項 (
S
t
r
e
t
c
h
i
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r
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)に対応した非線形項である彼らはあ
る初期値の集合に対して,その最大値が有限時間で爆発する厳密解を構成し.
E
u
l
e
r方程式の解の爆発との関連を調べ,モデルとしてよい性質を保持してい
ることを示した [
1
] さて,次のステップとして,我々はこの CLM方程式を自
然に拡張して,以下のような 3次元次 N
a
v
i
e
r
S
t
o
k
e
s方程式の一次元モデル方
程式を織成する
Z
= ωH(
ω
)-1
ノ(
-s)
弘
ω(
x,
O
) = ω~(x).
z
ε R,t>0,
ω
(
2
)
ただし ,/J >0は粘性係数,αε Rであるこの方程式を周知i
境界条件の下で考
える.これに対して,次の事実が数学解析と数値計算から示される
l
-22-
。
Theorem1 <
S
. [2])どんなαに対しでも 3 ある F
ノ
o
が存在して, 0く ν<ν
に対して,一般化された粘性項を持つ CLM方程式(1),
(
2
)の解は有限時間でp
その uノルム f
あるいは最大値jが爆発する
また,解の大域存在については次の事実がわかる
。
Theorem2 <
S
.[
3
]
)
α 三1
,ω εHα に対して,十分大きな νをとれば,
(
1
)
,
(
2
)の解は時聞大域的に存在する 一方0'<0の時は,どんなに大きな ν
を取っても ,解は必ず有限時間で uノルムが爆発する. (すなわち時間大域解
は存在しない j
i
3次元 Nav
町 品o
k
e
s方程式の場合はα〉 の場合には解が大域的に存在
することが知られているので,このモデル方程式は N
a
v
i
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r
S
t
o
k
e
s方程式のこ
の解析的性質を再現していないこのことから,このモデルには,さらなる改
良が必要である.以上のような内容を講演した
References
問
[
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有限群(もっと一般にコンパクト群)上の任意の類関数は,既約表現の
指標の(無限)一次結合として表される.このことは,群の共役類(軌道)
の幾何的構造と表現の間に深いつながりがあることを示唆している.例
えば,ハイゼンベノレグ群などを含む単連結寡零リ一群に対しては,その
余随伴軌道と既約ユニタリ表現の同値類が一対一対応に対応している(キ
リロフ軌道法) このように,既約表現と軌道との繋がりを解き明かすこ
と,すなわち表現に対する軌道理論を創ること が,
君干の表現論における
最も基本的かつ重要な問題のひとつである
さて,実半単純リ一群 Gのヒノレベルト空間上への(無限次元)既約許容
表現は,極大コンパクト部分群 K が有限に作用する部分空間の上に,複
素リ一代数 9= L
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C,および,群 K の複素化 Kcが働く既約な
Harish-Chandra加群を定める.ユニタリ化可能な既約 H
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加群は Gの既約ユニタリ表現を完全に特徴づけることが知られている
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(g)上
(
X)は
, リ一代数における寡零 Kc
軌道からなる
の次数っき加群の台 ν
アフィン多様体をなす.
ν(
X
)を X の随伴多格体 とよぶ.より精密に,多
様体 ν
(X)=U
;
δ
;の各既約成分 δ
;における重複度 m;を付加すること
で得られる 随伴サイクル C
(
X):=L;
m
;
[
否]は,いわば,Xの第一次近
似を与える基本的幕零不変量といえよう ここで重要なことは,随伴サイ
クル C
(
X)
に現れる各重複度 m;は,単なる自然数ではなく,当該既約成
分
に属する一般的な寡零元 X
;E0;の固定部分群 Kc
(Xi)・
=ZKC(Xi)
が働く 等方表現の次元として捉えられる,という事実である
本講演では ,1.既約許容(ユニタリ)表現の莱零不変量とくに等方表
現を特定する ,2
.霧零不変量が当該の既約表現の如何なる性質を制御す
るかを見極める,というこつの立場からの研究を紹介する.
1.既約 H
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-Chandra加群 X の随伴多様体は既約であるとする・
ν(X)= δ (0は幕零 Kc-軌道) ユニタリ最高ウェイト加群や離散系列
表現など,重要な楕円型既約ユニタリ表現のほとんどがこの条件を満た
す この場合に ,X に対する等方表現 W の双対加群は,反傾表現 X.を
実現するリ ーマン対称空間 G/K上の 勾配型不変微分作用素 D の主表象
δ
;
-28ー
を用いて特徴づけられる.つまり, W の双対は,1)の主表象写像が定め
c
-等質ベクトノレ束のファイパー空間として現れる.
る C 上の K
上述の枠組みを用いて,離散系列やユニタリ最高ウェイト表現に付随
する等方表現を具体的に記述することが可能になる.特に,特異ユニタリ
最高ウェイト加群に対応する等方表現を完全に決定することができ,し
かもそれらは既約であることも分かる.この結果は,コンパクトなデュア
VII
ル・ペアに関するテータ持ち上げの理論の拡張を与えている.また, E
型の場合は,等方表現が球菌やケーリー射影平面上の調和解析と深く関
わる様子も明らかになる.
2
. 次に,ユニタリ最高ウェイト加群 X に対して,複素解析的な幕零
K
c
-軌道に付随した一般化 Whittaker模型と等方表現との聞の相互関係
を考察する.そのために,まず,エルミート対称空間 GjKの正則接空
c
-軌道たちを,次元が小さい1
)
頂に 00 = {
0
},01o ・ ,Or
間に含まかる K
(
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)の寡零軌道
に付随して,一般化された G
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-Graev表現r(0!)を構成する
(
X
)における澗密な寡零 K
c
軌道を Om(X)と
第三に ,Xの随伴多様体 ν
する.このとき ,Xに対する等方表現 W の空間は,ユニタリ最高ウェイ
ト加群の一般化 W
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)の双対と同型であること
が分かる.この結果は,ユニタリ最高ウ ェイト表現という,特異性・退
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化度の高い実リー群の表現について,等方表現が一般化 W
を完全に制御していることを示している.
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