1993 年度談話会・特別講習 アブストラクト集 Colloquium Lectures

Title
Author(s)
Citation
Issue Date
1993年度談話会・特別講習 アブストラクト集 Colloquium
Lectures 北海道大学理学部数学教室
Ozawa, T.
Technical Report Series of Department of Mathematics,
Hokkaido University
1994-01-01
DOI
Doc URL
http://eprints.math.sci.hokudai.ac.jp/archive/00001293/;
http://hdl.handle.net/2115/5466
Right
Type
bulletin
Additional
Information
File
Information
32.pdf
Instructions for use
Hokkaido University Collection of Scholarly and Academic Papers : HUSCAP
1993年度談話会・特別講演
アブストラクト集
ColloquiumL
e
c
t
u
r
e
s
北海道大学理学部数学教室
EditedbyT.Ozawa
2
. July
，1994
S
e
r
i
e
sH3
ま
まOKKAIDOUNIVERSITY
TECHNICALREPORTSERIESINMATHEMATICS
H1
:
T.Morimoto
，
E
q
u
i
v
a
l
e
n
c
eProblemso
ft
h
eGeometricS
t
r
u
c
t
u
r
e
sa
d
m
i
t
t
i
n
gD
i
f
f
e
r
e
n
t
i
a
lF
i
l
t
r
a
t
i
o
n
s，
1
4p
a
g
e
s
.
1
9
8
7
.
H2
:
J
.
L
.H
e
i
t
s
c
h，
TheL
e
f
s
h
e
t
zTheoremf
o
rF
o
l
i
a
t
e
dM乱
，n
i
f
o
l
d
s，
5
9p
a
g
e
s
.1
9
8
7
.
H3
:
K
.Kゆ ota(
E
d
.
)，第 1
2回偏微分方程指命札幌シンポジウム予稿集， 77p
a
g
e
s
.1
9
8
7
.
l
t4
:
J
.
T
i
l
o
u
i
n
e，
Kummer's.
.
:
r
i
t
e
r
i
o
no
v
e
rA andHid
a
'
sCongruenceModule，
8
5pag
巴s
.1
9
8
7
.
H5
:
Y
.Giga(Ed.)，
A
b
s
t
r
a
c
t
so
fMatl
削 n
a
t
i
c
a
lA
n
a
l
y
s
i
sS
e
r
n
i
n
a
r1
9
8
7，
1
7pag
日s
.1
9
8
7
.
H6
:
T.Yoshida(
E
d
.
)，1987年度談話会アブストラクト集 ColloquiumL
e
c
t町 e
s，9
6p
a
g
e
s
.1
9
8
8
.
H7
:
S
.Izumiya，
G.I
s
h
i
k
a
w
a(
E
d
s
.
)，“特異点と微分幾何"研究集会報告集， 1
9
8
8
.
H8
:
K
.Kubota(
E
d
.
)，第 1
3回儲微分方程式論札幌シンポジウム予稿集， 7
6p
a
g
e
s
.1
9
8
8
.
H9
:
Y.Okabe(
E
d
.
)，ランジ品ヴァン方程式とその応用予稿集， 6
4p
a
g
e
s
.1
9
8
8
.
H1
0
:
I
.Nakamura(
E
d
.
)，S
u
p
e
r
s
t
r
i
時理論と K3曲面， 9
1p
a
g
e
s
.1
9
8
8
.
H1
1
:
Y.Kamishima(
E
d
.
)，1988年度談話会アブストラクト集 ColloquiumL
e
c
t
u
r
e
s，7
3p
a
g
e
s
.1
9
8
9
.
H1
2
:
G.I
s
h
i
k
a
w
a
，S
.I
z
u
r
n
i
y
a乱吋 T
. Suwa(
E
d
s
.
)，“特異点、論とその応用"研究集会報告集 P
r
o
c
e
e
d
i
n
g
so
ft
h
e
Symposium“
S
i
n
g
u
l
a
r
i
t
yTheoryandi
t
sA
p
p
l
i
c
a
t
i
o
n
s，
"317pa伊 s
.1
9
8
9
.
H1
3
:
M.Suzuki，“駆け足で有限群を見てみよう "1987年 7月北大での集中講義のき選議， 3
8p
a
g
e
s
.1
9
8
9
.
H1
4
:
J
.Z
a
j
a
c，
Boundaryv
a
l
u
e
so
fq
u
a
s
i
c
o
n
f
o
r
m
a
lmappings，
1
5p
a
g
e
s
.1
9
8
9
U1
5
:
R
.Agerni(
E
d
.
)，第 1
4自舗微分方程式論札幌シンポジウム予稿集， 5
5p暗記 s
.1
9
8
9
.
H1
6
:
K
.Konr
同 M
.-H.S
a
i
t
o阻 dS
.Usui(
E
d
s
.
)，
P
r
o
c
e
e
d
i
n
g
so
ft
h
eMeetingandt
h
eworkshop“
Algebr乱i
cGeome
t
r
yandHodgeTheory"Vo
l
.1
，258pages. 1990.
H1
7
:
K.Konno，説 .
H
.S乱i
t
o，
乱n
dS
.Usui(
E
d
s
.
)，P
r
o
c
e
e
d
i
n
g
so
ft
h
eMeetingand，lheworkshop“
A
l
g
e
b
r
a
i
cGeome
t
r
yandHodg
巴T
heory"Vo
l
.I
I，
235P乱g
e
s
.1
9
9
0
.
U1
8
:
A.A
r
a
i(
E
d
.
)，1
9
8
9年度談話会アブストラクト集 ColloquiumL
e
c
t
u
r
e
s，7
2p乱
.
g
e
s
.1
9
9
0
.
<
<
1
9
:
fComplex抑 制i
f
o
l
d
s，1
3
3p
a
g
e
s
.1
9
9
0
.
H.S
u
z
u
k
i(
E
d
.
)，複素多様体のトポロジ-Topologyo
<
<2
0
:
R
.Age凶 (Ed.)，第 15自偏徴分方組式論札幌シンポジウム予稿集， 65p
a
g
e
s
.1
9
91
.
"2
1
:
Y.Giga
，Y.Watatani(
E
d
s
.
)，1
9
9
0年疫談話会アブストラクト集 ColloquiumL
e
c
t
u
r
e
s，1
0
5p
a
g
e
s
.1
9
91
.
<
<2
2
:
R
.Agerni(日.)，第 1
6回偏微分方程式論キ印晃シンポジウム予稿集， 5
0p
a
g
e
s
.1
9
91
.
U2
3
:
Y.Giga，Y.Watat釧 i(
E
d
s
.
)，1
9
9
1年度談話会・特別講演アブストラクト集 ColloquiumL
e
c
t
u
r
e
s，8
9p暗号s
.
1
9
9
2
.
U2
4
:
K
.Kubota(
E
d
.
)，第 17自{軍撤分方程式論札幌シンポジウム予稿集， 2
9p
a
g
e
s
.1
9
9
2
.
<
<2
5
:
K
.Tak
回 a
k
i，“非線型可積分系の数理"1
9
9
2
.
9
.
2
8
.
.
.
.
.
.
.
.1
0
.
2北海道大学での集中講義講義録， 5
2戸 g
e
s
.1
9
9
3
.
<
<2
6
:
T.Nakazi(
E
d
.
)，第 l団関数空間セミナー報告集， 9
3p
a
g
e
s
.1
9
9
3
.
<
<2
7
:
K
.Kゆ ota(
E
d
.
)，第 1
8回偏微分方程式論札親シンポジウム予稿集， 40p
a
g
e
s
.1
9
9
3
.
<
<2
8
:
T
.H
i
b
i(
E
d
.
)，1
9
9
2年度談話会・特別講演アブストラクト集 ColloquiumLe
，
:
t
u
r
e
s，1
0
8p
a
g
e
s
.1
9
9
3
.
<
<
2
9
:
I
.Sawashima，T.Nakai
:(
E
d
s
.
)，第 2団関数空調セミナ一報告集， 7
9p
a
g
e
s
.1
9
9
4
.
<
<3
0
:
，Y
.G
.Chen(
E
d
s
.
)，
動
Y.Giga
，
I
1
9
93
年
度
談
話
会
・
特
別
講
演
ア
ブ
ス
ト
う
ク
ト
ペ…ジ
1
.G
.
A
.E
l
l
i
o
t
t (トロント大)
2
.河 津
清 (山口大・教育)
3
. 神 保 秀 一 (北大・理)
信 〈慶応大・理工〉
4
.前 島
5
.林
実話;広 (北大・理)
6
.吉 田 敬 之 ( 京 大 ・ 理 )
(パデュウ大〉
7
.F
.S
h
a
h
i
d
i
8
. 拐1I 田 英 一 (東工大・理〉
S
o
m
ep
r
o
b
l
e
m
sc
o
n
c
e
r
n
i
n
ga
m
e
n
a
b
l
eC
*
a
l
g
e
b
r
a
s
ラン夕、.ム媒質の中の拡散過程について
GL方程式と解の安定性
S
e
l
f
s
i
m
i
l
a
rs
t
a
b
l
ep
r
o
c
e
s
sについて
脊界正則関数環と向型問題
志村多様体のゼータ関数について
A
臼t
o
m
o
r
p
h
i
cL
f
u
n
c
t
i
o
n
sa
n
dn
u
m
b
e
rt
h
e
o
r
y
界面の運動方程式と反応拡散方程式
9
.F
.C
a
m
p
a
n
a
(
U
n
i
v
.o
fN
a
n
c
y1
)
1
0
.中 居
功 〈北大・理)
1
1.原
降 (東工大・ 1
盟
〉
1
2
.河 野 俊 丈 ( 東 大 ・ 数 理 科 学 )
1
3
.S
t
e
v
e
nZ
u
c
k
e
r (
Jo
h
n
sH
o
p
k
i
n
s大
〉
O
nt
h
eu
n
i
v
e
r
s
a
lc
o
v
e
r
i
n
go
fc
o
m
p
a
c
tK
a
h
l
e
rm
a
n
i
f
o
l
d
s
U
n
i
v
e
r
s
a
l1
s
to
r
d
e
rP
D
Ew
i
t
hc
o
m
p
l
e
t
ei
n
t
e
g
r
a
l
s
S
e
l
f
a
v
o
i
d
i
n
gw
a
l
ki
nf
i
v
eo
rm
o
r
ed
i
m
e
n
s
i
o
n
s
J
o
n
e
s
W
i
t
t
e
ni
n
v
a
r
i
a
n
t
sa
n
dc
l
a
s
s
i
c
a
lk
n
o
tt
h
e
o
r
y
T
h
eb
o
u
n
d
a
r
yc
o
h
o
m
o
l
o
g
yo
fl
o
c
a
l
l
ys
y
m
m
e
t
r
i
cv
a
r
i
e
t
i
e
s
1
4
.t
話器正俊〈阪大・基礎工学)
フラクタル集合上のラプラス作用素のスペクトル解析
(北大・理)
1
5
.C
l
a
r
aC
h
a
n
1
6
.小 野
孝 ( Jo
h
n
sH
o
p
k
i
n
s大
〉
仲
夫
(群馬大・工)
1
7
.林
S
h
e
l
l
i
n
g
sa
n
ds
u
b
d
i
v
i
s
i
o
n
so
fc
o
n
v
e
xp
o
l
y
t
o
p巴s
オイラーと楕円曲娘
R
e
g
u
l
a
r
i
t
yo
fs
o
l
u
t
i
o
n
si
nt
i
m
et
on
o
n
l
i
n
e
a
rS
c
h
r
o
d
i
n
g
e
r
e
q
u
a
t
i
o
n
s
1
8
.F
r
a
n
c
o
i
sA
p
e
r
y (
U
n
i
v
.d
eH
a
u
t
e
A
l
s
a
c
e
) T
h
ee
v
e
r
s
i
o
no
ft
h
ec
u
b
o
c
t
a
h
e
d
r
o
n
霞立大j東大)
C
u
r
v
a
t
u
r
ee
q
u
a
t
i
o
n
s
1
9
.N
e
i1t
r
u
d
i
n
g
e
r (何日リ7
i
e
c
e
w
i
s
el
i
n
e
a
rm
o
d
e
l
sf
o
rt
h
ee
v
e
r
s
i
o
no
ft
h
es
p
h
e
r
e
2
0
.B
a
r
n
a
r
dM
o
r
i
n (
U
n
i
v
.L
o
u
i
s
P
a
s
t
e
u
r
) P
3
次元多様休上の完備な葉層構造について
2
1.土屋信雄(柄捨学園横浜大)
M
i
x
e
dm
u
l
t
i
p
l
i
c
i
t
i
e
s
.m
i
x
e
dd
e
g
r
e
e
s
.m
i
x
e
dv
o
l
u
m
e
s
2
2
.B
.T
e
i
s
s
i
e
r
(
E
N
S
)
T
o
p
o
l
o
g
yo
fc
o
m
p
l
e
xp
o
l
y
n
o
m
i
a
l
s
2
3
.L
eD
u
n
gT
r
a
n
g (パリ第 7大)
C
o
u
n
t
i
n
gi
nD
i
o
p
h
a
n
t
i
n
eg
e
o
m
e
t
r
y
4
.Y
u
r
iT
s
c
h
i
n
k
e
l (ハーバード大)
2
T
h
ee
f
f
e
c
to
fa
n
i
s
o
t
r
o
p
i
cg
r
o
w
t
hs
p
e
e
df
o
ra
ni
n
t
e
r
f
a
c
e
2
5
.横 山 悦 郎 ( 九 工 大 ・ 情 報 )
o
np
a
t
t
e
r
nf
o
r
m
a
t
i
o
nd
u
r
i
n
gt
h
eg
r
o
w
t
ho
fc
r
y
s
t
a
l
s
2次元の曲率流れの方程式l
こ対する一様収束評値付き数値解法
2
6
. 木 村 正 人 ( 京 大 数 理 研 ( 院 ))
関数解析における分類論について
2
7
.竹 崎 正 道 (
U
C
L
A
)
2
8
. 西 国 啓 一 (慶応大・環境情報)
D
i
f
f
e
r
e
n
t
i
a
la
l
g
e
b
r
a
i
cf
u
n
c
t
i
o
nf
i
e
l
d
sw
i
t
hn
om
o
v
a
b
l
e
a
l
g
e
b
r
a
i
cb
r
a
n
c
h
e
s
P
a
i
n
l
e
v
e方程式の超越解の分類
2
9
. 渡 辺 文 彦 (北大・理〈説))
S
e
l
f
s
i
m
i
l
a
rs
o
l
u
t
i
o
n
so
fp
o
r
o
u
sm
e
d
i
u
me
q
u
a
t
i
o
n
s
(
U
n
i
v
.o
fB
o
n
n
)
3
0
.C
.D
o
h
m
e
n
構円曲線の数論と K理論、 p進 H
o
d
g
e理論
1.加藤和世(東工大・理)
3
多重根をとる多項式は次数が高い
3
2
.泉
縞融(近畿大・理工〉
3
3
. 小 油 茂 昭 (埼玉大・理〉
O
nt
h
es
t
a
t
e
s
p
a
c
ec
o
n
s
t
r
a
i
n
tp
l
o
b
l
e
m
変数階数の擬微分作用素と S
o
b
o
l巴v?Z酷について
3
4
.菊 地 光 艇 〈 静 詞 大 ・ 教 養 )
特異平謡曲線，巡匝被覆平面，ザリスキー
3
5
.酒 井 文 雄 ( 埼 玉 大 ・ 理 )
曲線の発展方程式の潤期解
3
6
.溝 口 紀 子 〈 東 京 学 芸 大 )
3
7
. 谷 島 賢 一 (東大・数理科学)
波動作用素の LP有界性
3
8
.内 山
充 (福陪教腎大)
自己共役作用素の可換性
I
奇
d
is
t
r
i
b
ut
i
o
nを初期値とする半線型熱方程式と N
a
v
i
e
r
S
t
o
k
e
s
3
9
.L
UU
男 (一橋大・商)
4
0
.辻 下
徹 (北大・理)
1 . 山 口 博 史 (滋賀大・教育)
4
6
7
8
2
1
2
方程式
非有基的集合論とその応用
立3の平模}ベクトルポテンシャル
自
1
3
1
4
1
6
1
8
2
0
2
2
2
4
2
5
2
7
2
9
3
0
3
1
3
3
3
4
3
6
3
9
4
0
4
2
4
5
4
7
4
9
5
1
5
3
5
5
5
7
、
-
j/
・
n，白
a
n
H
)
1
1 i
fb
Z (名大・理)
~8.
l
i
l
¥
(東邦大・理〉
書換えシステムとホモトピー
(長野高専)
B
o
u
n
d
so
nC
a
s
t
e
l
n
u
o
v
o
M
u
m
f
o
r
dr
e
g
u
l
a
r
i
t
y
.
r
a
n
s
i
t
i
o
n
si
nC
a
h
n
T
h
eg
r
a
d
i
e
n
tt
h
e
o
r
yo
ft
h
ep
h
a
s
et
H
i
l
l
i
a
r
df
l
u
i
d
sw
i
t
ht
h
eD
i
r
i
c
h
l
e
tb
o
u
n
d
a
r
yc
o
n
d
i
t
i
o
n
s
S
i
n
g
u
l
a
rs
o
l
u
t
i
o
n
sf
o
rs
e
m
i
l
i
n
e
a
re
l
l
i
p
t
i
ce
司u
a
t
i
o
n
s
R
e
m
a
r
k
so
nu
n
i
q
u
e
n
e
s
so
fh
a
r
m
o
n
i
cm
a
p
sf
r
o
mb
a
l
li
n
t
os
p
h
e
r
e
5
2
.片 山 良 一 ( 大 阪 教 育 大 )
5
3
.友枝謙二(大阪工大・一般教青)
ウ
(1
7什科学7カデミ山〉
Navier-~tokes
vnudnHU
nハvnud
射影事監ト曲面の変換について
Ou
ZX4
み
氾
秀範芳
偲和本
7
3
.名
7
4
.森
(富山大・理)
(北大・理〉
6
6
.田中
昇
6
7
.番城日出麿
6
8
.田中和永
6
9
.薮 田 公 三
7
0
.Y
.R
e
n
a
r
d
y
7
1.揺井敏
72.油
(名大・エ〉
(名大・理)
夫
ム
口
・
γ1
木
6
5
.鈴
(台湾国立交通大〉
(中央大)
(神戸大・理)
ハ
。ハ
5
9
.S
o
n
g
S
u
nL
i
n
6
0
.B
i
a
nB
a
o
j
u
n
61 . 佐 々 木 武
6
2
.小 蘭 英 雄
6
3
.松 村 英 之
6
4
.藤 田 安 啓
，
(東工大・理)
n u d nbn%unnu
口
手
η1000000
樹治哲一一悶弘
井林崎毛
直
装
。
OS4ηt
，
tηte
qs n，
(長野高専)
G
.I
l
e
c
t
o
r
(リヨン大〉
5
0
. 石村降一・隅田靖員J
'(千葉大・教養)
51 . 津 田 一 郎 ( 北 大 ・ 理 )
~9.
5
5
.
5
6
.I
J、
5
7
.宮
5
8
.石
曲面上の曲線族について
R
e
s
i
d
u
e
so
fa
n
a
l
y
t
i
cs
e
t
si
n
v
a
r
i
a
n
tb
y as
i
n
g
u
l
a
r
h
o
l
o
m
o
r
p
h
i
cv
e
c
t
o
rf
i
e
l
d
K
u
p
e
r
b
e
r
g
'sC
間
一c
o
u
n
t
e
r
e
x
a
m
p
l
et
ot
h
eS
e
i
f
e
r
tc
o
n
j
e
c
t
u
r
e
6
7
af
l
o
wo
nt
h
et
h
r
e
e
s
p
h
e
r
ew
l
t
hn
op
e
r
i
o
d
i
ct
r
a
n
j
e
c
t
o
r
i
e
sE
n
d
so
fl
e
a
v
e
sa
n
dc
l
a
s
s
i
f
i
c
a
t
i
o
no
fL
i
ef
o
l
i
a
t
i
o
n
s
7
0
複素領域の c
o
n
v
o
l
u
t
i
o
ne
q
u
a
t
i
o
n
s について
領雑系: デーモンの数溜をめざして
I
n
c
l
u
s
i
o
nからつくられる C
u
n
t
z
K
r
i
e
g
e
r環について
N
u
m
e
r
i
c
a
la
p
p
r
o
x
i
m
a
t
i
o
n
st
oi
n
t
e
r
f
a
c
e
sf
o
rs
o
m
en
o
n
l
i
n
e
a
r
d
i
f
f
u
s
i
o
ne
q
u
a
t
l
o
n
sw
i
t
ha
b
s
o
r
p
t
i
o
n
S
y
m
m
e
t
r
ya
n
dr
e
d
u
c
t
i
o
no
fn
o
n
l
i
n
e
a
re
q
u
a
t
i
o
n
so
f
m
a
t
h
e
m
a
t
i
c
a
lp
h
y
s
i
c
s
C
o
h
e
n
M
a
c
a
u
l
a
yA
S
L について
P
.A
.S
c
h
w
e
i
t
z
e
r(
P
o
n
t
i
f
i
c
i
aU
n
i
v
.
)
5
4
.W
.F
u
s
h
c
h
y
c
h
θ 作用素と D
i
r
a
c作用素の境界条件付指数定理
6
3
A Arhuρhu
nhvβhuphv
敏 I
I
B (早大・理工〉
~6
.i
'
i
i
:I
r
Y
;
J 洋一一 (京大数理研〉
4
7
.~ L
e
h
m
a
n
n
(
U
n
i
v
.d
eM
o
n
t
p
e
l
l
i
e
r
)
~5.
5
9
“
4
3， X
.G
o
m
c
z
M
o
n
t (
C
l
M
A
T， G
u
a
n
a
j
u
a
t
o
)
~~. J
.一P
.s
r
a
s
s
e
l
e
t(
C
I
R
M， M
a
r
s
e
il
l
e
)
T
w
o
d
i
m
e
n
s
i
o
n
a
ln
o
n
l
i
n
e
a
re
l
l
i
p
t
i
ce
q
u
a
t
i
o
nr
巴l
a
t
e
dt
o
T
r
u
d
i
n
g
e
r
M
o
s
e
ri
n
e
q
u
a
l
i
t
y
I
l
o
l
o
m
o
r
p
h
i
cf
o
li
a
t
i
o
n
si
nt
h
ep
r
o
j
e
c
t
i
v
ep
l
a
n
e
A
b
o
u
ti
n
t
e
r
s
e
c
t
i
o
no
fc
y
c
l
e
s
e
q
u
a
t
i
o
n
si
ne
x
t
e
r
i
o
rd
o
m
a
i
n
s
可換環論の罷史
C
o
m
p
l
e
t
e
l
yp
o
s
i
t
i
v
em
e
a
s
u
r
eをちつ i
n
t
e
g
r
o
d
i
f
f
e
r
e
n
t
i
a
l
e
q
u
a
t
i
o
nの r
e
s
o
l
v
e
n
t の正射性について
R
e
s
i
d
u
ea
n
dM
a
s
l
o
vc
l
a
s
s
e
so
fs
o
m
eL
a
g
r
a
n
g
i
a
ni
m
m
e
r
s
i
o
n
s
w
i
t
hs
i
n
g
u
l
a
r
i
t
y
9
3
9
7
9
8
(北大・理〉
微分式系に付随する変分問題
(北大・理)
平均曲率一定な有向間部分多様体について
1
0
1
(名大・理)
P
e
r
i
o
d
i
cs
o
l
u
t
i
o
n
so
fs
i
n
g
u
l
a
rH
a
m
i
l
t
o
n
i
a
ns
y
s
t
e
m
s
均質型空間 (
C
o
i
f
m
a
n-W
e
i
s
s流〉上の菌数空間
I
n
s
t
a
b
i
l
i
t
i
e
si
ns
t
e
a
d
yt
w
o
c
o
m
p
o
n
e
n
tf
l
o
w
s
M
o
d
i
f
i
e
dN
a
s
ht
r
i
v
i
a
lI
t
yo
nr
e
a
lp
o
l
y
n
o
m
i
a
lz
e
r
o
s(
w
it
h
， K
o
i
k
e&M
.S
h
i
o
t
a
)
S
1
0
4
1
0
8
1
1
0
(奈良女子大・理)
(
ゲ Tゲニ7
工科大)
(名工大〉
(陪山大・教養)
人 〈東工大・理)
員I
J (京大・人間環境〉
環の日一分離拡大
c
h
r
o
d
i
n
g
e
r方程式の爆発解
非線型 S
無限次退化エゴロフ型作用素の局所可解性と準楕円性
1
1
3
岡山
談
8月 4日〈水〉宇
8月 6日〈金〉
8月 26日(木〉宇
口]口一日口 Mロuロuロμ口μロμロMロμロμ口同口凶ロ M口凶口 μ口uロμ口
一
日
ロ μ口Mロμロμロ凶ロ U
A
Y
X
T 6
、JJ、
︼
ノ
、3
ノ¥ノ、 3
ノ¥/、 3J、3J、3
ノ、
︼ノ、
ノ
、3
V
A
Y
A3ノ、 3ノ、もノ¥ノ、 3ノーノ、 3ノ、 3ノ、 3ノ¥ノ、 3ノ、 3ノ、 3ノ、 3ノ
水火水水水火火水水水火木水水水水木金月火水水金火水
〆、
〆、
〆、
f
z
¥z
〆
¥t
〆
、
〆
¥ 〆{¥〆t
〆、
〆
z、〆z、f¥t
t、〆t、r
t、〆z、fz、、〆4、〆t
t、〆 、、〆'K〆g、、〆 g¥t
trt、、〆 g¥
4018288962806630125674604
122211112114123112
月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月
4444555556666666777777778
2
6
.
2
7
.
メb
、
:
z
:
:
;
;
特
5
3
]
1 講
•••••••••••.••••••....•••
G
.A
.E
l
li
o
t
t
氏(トロント大〉
C1993年疫〉
S
o
m
ep
r
o
b
l
e
m
sc
o
n
c
e
r
n
i
n
ga
m
e
n
a
b
l
e Ca
l
g
e
b
r
a
s
事
櫛田英
F
.C
a
m
p
a
n
a
氏 C
U
n
i
v
.o
fN
a
n
c
y1
)
中居
功
涼 経
河 野 袋 丈
氏(北大・理〉
氏〈東工大・理〉
氏〈東大・数理科学〉
氏(Jo
h
n
sH
o
p
k
i
n
s 大)
氏(阪大・基礎工学〉
氏(北大・理〉
氏 C
J
o
h
n
sH
o
p
k
i
n
s大)
氏〈群馬大・工)
O
nt
h
eu
n
i
v
e
r
s
a
lc
o
v
e
r
i
n
go
fc
o
m
p
a
c
tK
a
h
l
e
rm
a
n
i
f
o
l
d
s
U
n
i
v
e
r
s
a
l1
s
to
r
d
e
rP
D
Ew
i
t
hc
o
m
p
l
e
t
ei
n
t
e
g
r
a
l
s
l
ki
nf
i
v
eo
rm
o
r
ed
i
m
e
n
s
i
o
n
s
S
e
l
f
a
v
o
i
d
i
n
g官a
J
o
n
e
s・W
i
t
t
e
ni
n
v
a
r
i
a
n
t
sa
n
dc
l
a
s
s
i
c
a
lk
n
o
tt
h
e
o
r
y
T
h
eb
o
u
n
d
a
r
yc
o
h
o
m
o
l
o
g
yo
fl
o
c
a
l
l
ys
y
m
m
e
t
r
i
cv
a
r
i
e
t
i
e
s
言
{
前島
吉田敬之
F
.S
h
a
h
i
d
i
必
ゐ令必令必命・や令必守る令や守必令
S
t
e
v
e
nZ
u
c
k
e
r
福島正俊
むl
a
r
aC
h
a
n
小野
孝
伸夫
A
u
t
o
m
o
r
p
h
i
cL
f
u
n
c
t
i
o
n
sa
n
dn
u
m
b
e
rt
h
e
o
r
y
界面の運動方程式と反応拡散方程式
フラクタル集合上のラプラス作用素のスベクトル解析
S
h
e
l
l
i
n
g
sa
n
ds
u
b
d
i
v
i
s
i
o
n
so
fc
o
n
v
e
xp
o
l
y
t
o
p
e
s
オイラーと稽円曲線
彦
也戴昭顕雄
9月 1自〈水〉キ 渡 辺 文
9，
F
J 9臼〈木〉キ C
.D
o
h
m
e
n
9月 14日〈火)
加藤和
9月 16日(木〉宇 泉 傭
9月 22日〈水)ヰ 小 池 茂
10月 6日〈水〉本 菊 地 光
10月 13尽く水〉キ 漉 井 文
人道
村崎間
正正啓
R
e
g
u
l
a
r
i
t
yo
fs
o
l
u
t
i
o
n
si
nt
i
m
et
on
o
n
l
i
n
e
a
rS
c
h
r
o
d
i
n
g
e
re
q
u
a
t
i
o
n
s
F
r
a
n
c
o
i
sA
p
e
r
y 氏 C
U
n
i
v
.d
eH
a
u
t
e
A
l
s
a
c
e
) T
h
ee
v
e
r
s
i
o
no
ft
h
ec
u
b
o
c
t
a
h
e
d
r
o
n
羽e
i
1t
r
u
d
i
n
g
e
r 氏(トスト?リ 7
国立大/東大〉
C
u
r
v
a
t
u
r
ee
q
u
a
t
i
o
n
s
B
a
r
n
a
r
dM
o
r
i
n
氏 C
U
n
i
v
.L
o
u
i
s
P
a
s
t
e
u
r
)
P
i
e
c
e
w
i
s
el
i
n
e
a
rm
o
d
e
l
sf
o
rt
h
ee
v
e
r
s
i
o
no
ft
h
es
p
h
e
r
e
土 屋 信 雄
氏(桐除学関構浜大〉
3次元多様体上の完備な葉麗構造について
B
e
r
n
a
r
dT
e
i
s
s
i
e
r 氏 C
E
N
S
)
M
i
x
e
dm
u
l
t
i
p
l
i
c
i
t
i
e
s
.m
i
x
e
dd
e
g
r
e
e
s
.m
i
x
e
dv
o
l
u
m
e
s
L
eD
u
n
gT
r
a
n
g
氏〈パリ第 7大)
T
o
p
o
l
o
g
yo
fc
o
m
p
l
e
xp
o
l
y
n
o
m
i
a
l
s
Y
u
r
iT
s
c
h
i
n
k
e
l
氏(ハーバード大〉
C
o
u
n
t
i
n
gi
nD
i
o
p
h
a
n
t
i
n
eg
e
o
m
e
t
r
y
横山悦郎
氏(九工大・情報〉
T
h
ee
f
f
e
c
to
fa
n
i
s
o
t
r
o
p
i
cg
r
o
w
t
hs
p
e
e
df
o
ra
ni
n
t
e
r
f
a
c
eo
np
a
t
t
e
r
n
f
o
r
m
a
t
i
o
nd
u
r
i
n
gt
h
eg
r
o
w
t
ho
fc
r
y
s
t
a
l
s
林
木竹茜
3
3
.
3
4
.
3
5
.
覧
ランダム媒質の中の拡散過程について
G L方程式と解の安定性
S
e
l
f
s
i
m
i
l
a
rs
t
a
b
l
ep
r
o
c
e
s
s について
有界正尉関数環と向型詞題
志村多様体のゼータ関数について
林実;fi~広
、
‘
3
2
.
E
ム
3
0
.
31
.
演
氏〈山口大・教育〉
氏〈北大・理〉
氏〈慶応大・理工〉
氏(北大・理)
氏(京大・理〉
氏〈パデュウ大〉
氏(東工大・理〉
やや今や
ム勾
2
9
.
河津
清
神 保 秀 一
・
噌
2
8
.
必守必令必令必
ム
42 ηLnoa生EυPDηloonEn
U
42
η
dH住 民υn
o
η
1
0
0
A
Bn
U
1
i
η
L
。。必佳 F
4
1
A
i-L
i
1
1
A
t
i
'
i
1
n
L
n
L
n
Ln
LηL D
L
ムi
を 1ム
の
こ
弓
5
苦
氏〈京大数理研〈院) )
氏〈む C
L
A
)
氏(慶応大・環境情報)
氏〈北大・理(院) )
氏 C
U
n
i
v
.o
fB
o
n
n
)
氏(東工大・理〉
氏(近畿大・理工)
氏〈埼玉大・理〉
氏〈静詞大・教養〉
氏〈埼玉大・理)
2次元の蕗率流れの方程式に対する一様収束評価付き数値解法
関数解析における分類論について
D
i
f
f
e
r
e
n
t
i
a
la
l
g
e
b
r
a
i
cf
u
n
c
t
i
o
nf
i
e
l
d
sw
i
t
hn
om
o
v
a
b
l
ea
l
g
e
b
r
a
i
c
b
r
a
n
c
h
e
s
P
a
i
n
l
e
v
e方程式の超越解の分類
S
e
l
f
s
i
m
i
l
a
rs
o
l
u
t
i
o
n
so
fp
o
r
o
u
sm
e
d
i
u
me
q
u
a
t
i
o
n
s
楕円曲線の数論と K理論、 p進 H
o
d
g
e理 論
多重根をとる多項式は次数が高い
O
nt
h
es
t
a
t
e
s
p
a
c
ec
o
n
s
t
r
a
i
n
tp
l
o
b
l
e
m
変数階数の探微分作用禁と S
o
b
o
l
e
v空間について
特異平面畠線，巡回被覆平面，ザリスキー
11月 22日(丹)宇
11月 22日(丹)
11月 24日〈水)キ
11月 24日〈水)宇
11月 25B C
木〉キ
火〉宇
4
8
. 11月 30B C
ぐ
水)キ
4
9
. 12月 1B C
5
0
. 12月 7B C
火
〉
5
1
. 12月 8自(水)
5
2
. 12月 8日(水〉キ
5
3
. 12丹 15日〈水)
子二充男徹史克
4
3
.
4
4
.
4
5
.
4
6
.
4
7
.
国
亘書
博卓
*
紀
賢
鵠下ロ川
*
*
*
口島
溝谷内山辻
3
6
. 10月 14日〈木〉宇
I20日(水〉宇
3
7
. lof
3
8
. 10月 27日〈水)
3
9
. 10月 28日〈木)
4
0
. 11月 10日(水)
4
1
. 11月 17日(水〉宇
4
2
. 11月 17日(水)
X
. Gomez-Mont
i
*
夫
昇露
2f
I16B (
7
1
<
.
)
自
2月 16岳〈水〉宰
出
6
6
.
6
7
.
治
2月 15B C
火〉キ
木
6
5
.
田香
6
3
.
6
4
.
1丹 26日(水)
2f
I 4B (金〉
2f
II0B (木〉牢
2.
F
.
ll4B C
月)キ
英英安
6
1
.
6
2
.
1f
I18日〈火)キ
1斥 25日(火)宇
武雄之啓
5
9
.
6
0
.
曲線の発展方程式の罵期解
波動作用素の LJl有界性
自己共役作用素の可換性
d
i
s
t
r
i
b
u
t
i
o
n を初期値とする半線型熱方程式と N
a
v
i
e
r
S
t
o
k
e
s方 程 式
非有基的集合論とその応用
R3の平錆ベクトルポテンシャノレ
T
w
o
d
i
m
e
n
s
i
o
n
a
ln
o
n
l
i
n
e
a
re
l
l
i
p
t
i
ce
q
u
a
t
i
o
nr
e
l
a
t
e
dt
oT
r
u
d
i
n
g
e
r
M
o
s
e
ri
n
e
q
u
a
l
i
t
y
H
o
l
o
m
o
r
p
h
i
cf
o
l
i
a
t
i
o
n
si
nt
h
ep
r
o
j
e
c
t
i
v
ep
l
a
n
e
A
b
o
u
ti
n
t
e
r
s
e
c
t
i
o
no
fc
y
c
l
e
s
i
r
a
c作用素の境界条件付指数定理
3 作用素と D
氏 C
C
I
M
A
T
. むa
n
a
j
u
a
t
o
)
氏 C
C
I
R
M
.M
a
r
s
e
i
l
l
e
)
氏〈早大・理工〉
氏〈京大数理 研
〉
宮 鰭 洋 一
臨罷上の蕗線族について
氏
C
U
n
i
v
.
d
e
M
o
n
t
p
e
l
l
i
e
r
) R
D
.L
e
h
m
a
n
n
e
s
i
d
u
e
so
fa
n
a
l
y
t
i
cs
e
t
si
n
v
a
r
i
a
n
tb
y as
i
n
g
u
l
a
rh
o
l
o
m
o
r
p
h
i
cv
e
c
t
o
r
f
i
e
l
d
P
.A
. Schweitzer 氏 CPontificiaUniv.)
K
u
p
e
r
b
e
r
g
'sC
∞ c
o
u
n
t
e
r
e
x
a
m
p
l
et
ot
h
eS
e
i
f
e
r
tc
o
n
j
e
c
t
u
r
e - af
l
o
w
o
nt
h
et
h
r
e
e
s
p
h
e
r
ew
i
t
hn
op
e
r
i
o
d
i
ct
r
a
n
j
e
c
t
o
r
i
e
s氏(リヨン大)
G
.H
e
c
t
o
r
E
n
d
so
fl
e
a
v
e
sa
n
dc
l
a
s
s
i
f
i
c
a
t
i
o
no
fL
i
ef
o
l
i
a
t
i
o
n
s
石村龍一・開閉靖則氏(千葉大・教養〉
複素領域の c
o
n
v
o
l
u
t
i
o
ne
q
u
a
t
i
o
n
s について
津田一部
氏〈北大・理)
複 雑 系 : デーモンの数理をめざして
片山長一
氏〈大阪教普大〉
I
n
c
l
u
s
i
o
n からつくられる C
u
n
t
z
K
r
i
e
g
e
r環について
友 枝 謙 二
氏(大阪工大・一般教青) N
u
m
e
r
i
c
a
la
p
p
r
o
x
i
m
a
t
i
o
n
st
oi
n
t
e
r
f
a
c
e
sf
o
rs
o
m
en
o
n
l
i
n
e
a
rd
i
f
f
u
s
i
o
n
t
ha
b
s
o
r
p
t
i
o
n
e
q
u
a
t
i
o
n
s官i
W
.F
u
s
h
c
h
y
c
h
氏(ウ 9
7付科学 7
古デト)
S
y
m
m
e
t
r
ya
n
dr
e
d
u
c
t
i
o
no
fn
o
n
l
i
n
e
a
re
q
u
a
t
i
o
n
so
fm
a
t
h
e
m
a
t
i
c
a
lp
h
y
s
i
c
s
氏〈長野高専〉
寺井藍楊
C
o
h
e
n
M
a
c
a
u
l
a
yA
S
L について
氏(東邦大・理〉
書換えシステムとホモトピー
小林義治
宮崎
誓
氏(長野高専)
B
o
u
n
d
so
nC
a
s
t
e
l
n
u
o
v
o
M
u
m
f
o
r
dr
e
g
u
l
a
r
i
t
y
石毛和弘
氏〈東工大・理)
Theg
r
a
d
i
e
n
tt
h
e
o
r
yo
ft
h
ep
h
a
s
et
r
a
n
s
i
t
i
o
n
si
nC
a
h
n
H
i
l
l
i
a
r
df
l
u
i
d
s
w
i
t
ht
h
eD
i
r
i
c
h
l
e
tb
o
u
n
d
a
r
yc
o
n
d
i
t
i
o
n
s
S
o
n
g
S
u
nL
i
n
氏〈台湾闇立交通大)
号u
a
t
i
o
n
s
S
i
n
g
u
l
a
rs
o
l
u
t
i
o
n
sf
o
rs
e
m
i
l
i
n
e
a
re
l
l
i
p
t
i
ce
氏〈中央大)
B
i
a
nB
a
o
j
u
n
R
e
m
a
r
k
so
nu
n
i
q
u
e
n
e
s
so
fh
a
r
m
o
n
i
cm
a
p
sf
r
o
mb
a
l
li
n
t
os
p
h
e
r
e
佐々木
氏(神戸大・理〉
射影極小曲面の変換について
小薗
氏(名大・工)
N
a
v
i
e
r
S
t
o
k
e
se
q
u
a
t
i
o
n
si
ne
x
t
e
r
i
o
rd
o
m
a
i
n
s
松村
氏(名大・理〉
可換環論の歴史
藤田
氏(富山大・理)
C
o
m
p
l
e
t
e
l
yp
o
s
i
t
i
v
em
e
a
s
u
r
e をもっ i
n
t
e
g
r
o
d
i
f
f
e
r
e
n
t
i
a
le
q
u
a
t
i
o
nの
r
e
s
o
l
v
e
n
t の正則性について
鈴
氏〈北大・理)
R
e
s
i
d
u
ea
n
dM
a
s
l
o
vc
l
a
s
s
e
so
fs
o
m
eL
a
g
r
a
n
g
i
a
ni
m
m
e
r
s
i
o
n
sw
i
t
h
s
i
n
g
u
l
a
r
i
t
y
氏〈北大・理)
微分式系l
こ付鑓する変分問題
城
氏〈北大・理〉
平均曲率一定な有向間部分多様体について
J
.
P
.B
r
a
s
s
e
l
e
t
郡
敏昭
*
*
5
4
. 12丹 16日(木〉
5
5
. 1月 11日(火〉キ
5
6
. 1丹 12日(水〉キ
5
7
. 1月 13日(木)キ
1.
F
.
l18日〈火〉キ
5
8
.
氏(東京学芸大)
氏(東大・数理科学)
氏〈福関教育大〉
氏〈一橋大・鵡〉
氏(北大・理)
氏(滋袈大・教育〉
氏(名大・理)
一人別
秀範芳
3月 22日(火〉
3月 22日(火〉
3月 248 (木)キ
畑和本
7
2
.
7
3
.
7
4
.
油名森
7
1
.
2月 18日〈金〉
田中和
2月 23日(水〉本 薮 田 公
3月 7日(月〉キ Y
.R
e
n
a
r
d
y
3月 16自(水〉キ 揺 井 敏 純
6
9
.
7
0
.
ご
云
、
氷
一
一
一
6
8
.
氏(名大・理)
氏(奈良女子大・理〉
氏 (
f1ーゲニ7工科大〉
氏〈名工大)
氏〈岡山大・教養〉
昆〈東工大・理)
氏〈京大・入閣環境〉
P
e
r
i
o
d
i
cs
o
l
u
t
i
o
n
so
fs
i
n
g
u
l
a
rH
a
m
i
l
t
o
n
i
a
ns
y
s
t
e
m
s
均費型空間 (
C
o
i
f
m
a
n-W
e
i
s
s 流〉上の函数空間
I
n
s
t
a
b
i
l
i
t
i
e
si
ns
t
e
a
d
yt
w
o
c
o
m
p
o
n
e
n
tf
l
o官S
M
o
d
i
f
i
e
dN
a
s
ht
r
i
v
i
a
l
i
t
yo
nr
e
a
lp
o
l
y
n
o
m
i
a
lz
e
r
o
s(
w
i
t
hS
.K
o
i
k
e色
M
.S
h
i
o
t
a
)
環の註一分離拡大
非線型 S
c
h
r
o
d
i
n
g
e
r方程式の爆発解
無謀次退化エゴロフ型作詞索の局所可解性と準摘丹性
Thec
l
a
s
s
i
f
i
c
a
t
i
o
nproblernf
o
rarnenableC九 algebras
GeorgeA.E
l
l
i
o
t
t
1
. Onc
o
n
s
i
d
e
r
i
n
gt
h
ew
e
l
lknovmc
l
a
s
s
i
五c
a
t
i
o
no
famenablevonNeumanna
l
g
e
b
r
a
s
，
][
2
6
]，
[
9
，] [
8
，
][
2
4
]
)，
i
tseemsn
a
t
u
r
a
lt
oa
s
kwhetherana
n
a
l
o
g
u
eo
ft
h
i
se
x
i
s
t
si
nt
h
e
(
[
7
l
g
e
b
r
a
s
.
s
e
t
t
i
n
go
fC a
事問
Themostn
a
i
v
eformo
ft
h
i
sq
u
e
s
t
i
o
n，
butperhapsa
l
s
ot
h
emostn
a
t
u
r
a
l，
i
swhether
t
h
ec
l
a
s
so
famenablevonNeumanna
l
g
e
b
r
a
s(
w
i
t
hs
e
p
a
r
a
b
l
ep
r
e
d
u
a
l
)canj
u
s
tber
e
p
l
a
c
e
d
a
l
g
e
b
r
a
s，
- whicha
r
et
h
o
s
ewhicha
l
w
a
y
sg
e
n
e
r
a
t
e
byt
h
ec
l
a
s
so
f(
s
e
p
a
r
a
b
l
e
)amenableC
'事
，] [
2
5
]
)
.
amenablevonNeumanna
l
g
e
b
r
a
s(
[
8
S
i
n
c
et
h
ei
n
v
a
r
i
a
n
tf
o
ramenablevonNeumanna
l
g
e
b
r
a
s- t
h
eConnesT
a
k
e
s
a
k
i丑ow
崎
[
2
6
]
)- mayperhapsbec
o
n
s
i
d
e
r
e
da
sb
e
i
n
g1
心t
h
e
o
r
e
t
i
c
a
li
nnature(
i
t
o
fw
e
i
g
h
t
s(
[
9
]，
r
ye
q
u
i
v
a
l
e
n
c
ec
l
a
s
s
e
so
fw
e
i
g
h
t
s
)，i
tseemstemptingt
oa
s
ki
fKi
sbasedont
h
eu
n
i七a
t
h
e
o
r
e
t
i
c
a
ldata(
l
o
o
s
e
l
ys
p
e
a
k
i
n
g，
datad
e
r
i
v
e
do
n
l
yfromu凶 a
r
ye
q
u
i
v
a
l
e
n
c
ec
l
a
s
s
e
so
f
e
l
e
m
e
n
t
sりf七hea
l
g
e
b
r
a
)a
r
ea
l
s
os
u
部c
i
e
n
tt
odetermineanamenableCへ
a
l
g
e
b
r
a
. There
i
so
fc
o
u
r
s
ea
l
s
ot
h
ep
r
e
c
e
d
e
n
to
fAFa
l
g
e
b
r
a
s- i
n
d
u
c
t
i
v
el
i
m
i
t
so
fs
e
q
u
e
n
c
e
so
ff
i
n
i
t
e
締
d
i
m
e
n
s
i
o
n
a
lC*a
l
g
e
b
r
a
s{
[
2
3
，] [
1
0
，
][
3
，] [
1
4
]
)
.Thequestiono
fg
o
i
n
gbeyondt
h
i
st
oo
t
h
e
r
i
n
d
u
c
t
i
v
el
i
m
i
t
swasr
a
i
s
e
dsoona
f
t
e
r
w
a
r
d
sbyE
f
f
r
o
si
n[
1
1
]
.
a
t
i
o
nwouldbet
h
a
tanamenable
Onen
o
t
a
b
l
ec
o
n
s
e
q
u
e
n
c
eo
faK
t
h
e
o
r
e
t
i
c
a
lc
l
a
s
s
i五c
C九 a
l
g
e
b
r
a，
n
o
to
b
v
i
o
u
s
l
ya
r
i
s
i
n
gfromac
e
r
七a
i
ne
l
e
m
e
n
t
a
r
yc
o
n
s
t
r
u
c
t
i
o
n，
sucha
st
h
a
to
f
a
l
g
e
b
r
a
so
ft
y
p
e1
，couldbeshown七oa
r
i
s
ei
nt
h
i
swaysimplyby
i
n
d
u
c
t
i
v
el
i
m
i
to
fCへ
Kt
h
e
o
r
e
t
i
c
a
lc
a
l
c
u
l
a
t
i
o
n
s
.Suchac
a
l
c
u
l
a
t
i
o
n，
f
o
ri
n
s
t
a
n
c
e，
wouldshowt
h
a
tt
h
ei
r
r
a
t
i
o
n
a
l
司
もa
t
i
o
nC*a
l
g
e
b
r
amustbeani
n
d
u
c
t
i
v
el
i
m
i
to
f五n
i
t
ed
i
r
e
c
tsumso
fmatrixa
l
g
e
b
r
a
so
v
e
r
r
o
-1-
C
(
T
)
.(Thatt
h
i
so
b
t
a
i
n
sa
tt
h
el
e
v
e
lo
f1
心t
h
e
o
r
yf
o
l
l
o
w
sfrom[
1
5
，] [
3
0
，] and[
2
8
]
.
)Perhaps
f
f
r
o
ss
u
g
g
e
s
t
e
di
n[
1
1
] and [
1
2
]t
h
a
tt
h
ei
r
r
a
t
i
o
n
a
l
w
i
t
hs
u
c
hc
o
n
s
i
d
e
r
a
t
i
o
n
si
nmind，E
r
o
t
a
t
i
o
nC*a
l
g
e
b
r
amightbesuchani
n
d
u
c
t
i
v
el
i
m
i
t
.
2
. R
e
c
e
n
t
l
y
，thei
r
r
a
t
i
o
n
a
lr
o
t
a
t
i
o
nC a
l
g
e
b
r
ahasbeenshownt
ohave出 i
sform
潮岬
(
[
2
0
]
)
. OtheramenableC九 a
l
g
e
b
r
a
shavea
l
s
obeenshownt
obei
n
d
u
c
t
i
v
el
i
m
i
t
so
fCへ
a
l
g
e
b
r
a
so
ft
y
p
e1
，
ー
もhef
i
r
s
ttwos
u
c
hr
e
s
u1
tsappearingsim
凶 a
n
e
o
u
s
l
yi
n[
1
]andi
n(
2
9
J
.
(
S
u
b
s
e
q
u
e
n
tr
e
s
u
l
t
swere[
2
7
，] [
4
J，
and[
5
J
;t
h
e
s
ea
l
lp
r
e
c
e
d
e
d，
andi
n
d
e
e
dl
e
dt
o，
[
2
0
]
.
)
，a
l
s
o，e
x
t
e
n
s
i
o
n
so
ft
h
eAFa
l
g
e
b
r
ac
l
a
s
s
i
五c
a
t
i
o
nhavebeeno
b
t
a
i
n
e
d
3
. R
e
c
e
n
t
l
y
(
[
1
6
，
][
1
8
，] [
1
9
]
)
.
tseemst
obep
o
s
s
i
b
l
et
od
e
a
lwithmatrixa
l
g
e
b
r
a
so
v
e
rC(T)
Roughlys
p
e
a
k
i
n
g，i
i
nmucht
h
esamewaya
swithmatrixa
l
g
e
b
r
a
so
v
e
rC
.I
no
t
h
e
rwords，
i
ta
p
p
e
a
r
st
h
a
t
t
h
emethodsusedi
nt
h
eAFa
l
g
e
b
r
ac
l
a
s
s
i
f
i
c
a
t
i
o
ntheoremcanbeextendedt
oc
l
a
s
s
i
f
y
i
n
d
u
c
t
i
v
el
i
m
i
t
so
fs
e
q
u
e
n
c
e
so
f五n
i
t
ed
i
r
e
c
tsumso
fmatrixa
l
g
e
b
r
a
so
v
e
rt
h
ecommutative
i
ntermso
fK
t
h
e
o
r
e
t
i
c
a
li
n
v
a
r
i
a
n
t
s(whichs
h
o
u
l
dnowi
n
c
l
u
d
et
h
es
p
a
c
e
C
*
a
l
g
e
b
r
aC(T)，
o
ft
r
a
c
e
s
)
.
Thec
a
s
et
h
a
tt
h
ei
n
d
u
c
t
i
v
el
i
m
i
tC
*
a
l
g
e
b
r
ai
so
fr
e
a
lrankz
e
r
o(
[
6
]
)，
i
.
e
.，
h
a
st
h
e
p
r
o
p
e
r
t
yt
h
a
te
a
c
hs
e
l
f
a
d
j
o
i
n
te
l
e
m
e
n
tcanbeapproximatedbyonewithf
i
n
i
t
espectrum，
wasd
e
a
l
tw
i
t
hi
n[
1
6
]
.T
h
i
sc
a
s
ei
n
c
l
u
d
e
s，
f
o
rexample，
t
h
ec
a
s
et
h
a
tt
h
ei
n
d
u
c
t
i
v
el
i
m
i
ti
s
s
i
m
p
l
ew
i
t
huniquet
r
a
c
e(
[
2
]
)
.
Thec
a
s
et
h
a
tt
h
ei
n
d
u
c
t
i
v
el
i
m
i
tCへ
a
l
g
e
b
r
ai
ss
i
m
p
l
eandhasKle
q
u
a
lt
oz
e
r
owas
dea
1
twithi
n[
1
8
J
. (Asp
o
i
n
t
e
d0凶 byThomsen，
i
ft
h
ei
n
d
u
c
t
i
v
el
i
m
i
thasK1 e
q
u
a
lt
o
z
e
r
o，i
tcanbee
x
p
r
e
s
s
e
da
sani
n
d
u
c
t
i
v
el
i
m
i
to
ff
i
n
i
t
ed
i
r
e
c
tsumso
fmatrixa
l
g
e
b
r
a
s
o
v
e
rC
(
[
O，
1
]
)，
r
a
t
h
e
rthano
v
e
rC
(
T
)
)
;i
nt
h
ec
a
s
eo
fr
e
a
lrankz
e
r
oi
ti
se
a
s
yt
oshowt
h
a
t
suchani
n
d
u
c
t
i
v
el
i
m
i
tmustbeAF，
andwhent
h
er
e
a
lranki
sn
o
tz
e
r
o，
a
t
t
e
n
t
i
o
ncanbe
-2-
c
o
n
c
e
n
t
r
a
t
e
dont
h
e.
p
r
o
p
e
r
t
i
e
so
ft
r
a
c
e
s
.i
n
t
e
r
v
a
l
sn
o
tp
r
e
s
e
n
t
i
n
ga
n
y
t
h
i
n
gl
i
k
et
h
esame
毘c
u
l
t
i
e
sa
sc
i
r
c
l
e
s
.
)
c
o
p
o
l
o
g
i
c
a
ld
i
Thec
a
s
eo
fg
e
n
e
r
a
li
n
d
u
c
t
i
v
el
i
m
i
t
so
fsumso
fmatrixa
l
g
e
b
r
a
so
v
e
rC(T) may
，1
t
h
i
n
k，
"
'
b
eexpectedt
oy
i
e
l
dt
ot
h
emethodsnowa
v
a
i
l
a
b
l
e
. Oneshoulde
x
p
e
c
tt
ocombine
t
h
emethodso
f[
1
6
，] orr
叫h
e
r‘t
h
es
u
b
s
t
a
n
t
i
a
ls
h
a
r
p
e
n
i
n
go
ft
h
e
s
emethodsbySui
n[
3
1
]，
w
i
t
ht
h
emethodso
f[
1
8
]
.l
nt
h
es
i
m
p
l
ec
a
s
e，
t
h
i
sa
p
p
e
a
r
st
owo
比 (
[
1
9
)
)
.
ont
h
eo
t
h
e
rh
a
n
d
.t
h
eproblembecomesmuchmored
i
茄c
u
l
t
.
v
V
i
t
hT2i
np
l
a
c
eo
fT，
1
twithi
n[
2
1
]，
u
s
i
n
gt
h
er
e
s
u
1
to
f[
2
0
]
.
)
(Ani
n
t
e
r
e
s
t
i
n
gc
a
s
eo
ft
h
i
si
sdea
4
. As
a
t
i
s
f
a
c
t
o
r
yc
l
a
s
s
i
f
i
c
a
t
i
o
ns
h
o
u
l
da
l
s
op
r
o
v
i
d
ec
o
n
s七r
u
c
t
i
o
n
so
ft
h
ea
l
g
e
b
r
a
s
c
o
n
s
i
d
e
r
e
d
.l
d
e
a
l
l
y
，
onewouldperhapshopef
o
rana
もu
r
a
lc
o
n
sもr
u
c
t
i
o
n，
o
rf
u
n
c
t
o
r，
from
i
n
v
a
r
i
a
n
tt
oa
l
g
e
b
r
a
. At t
h
ev
e
r
yl
e
a
s
t，t
h
e
r
es
h
o
u
l
de
x
i
s七 ana
l
g
e
b
r
ahomomorphism
i
v
e
nhomomorphisma
tt
h
el
e
v
e
lo
ft
h
ei
n
v
a
r
泊n
t
.
c
o
r
r
e
s
p
o
n
d
i
n
g七oanyg
h
e
nt
h
ep
r
e
s
e
n
tr
e
s
u
l
t
swould
l
ft
h
er
e
q
u
i
r
e
m
e
n
to
ff
u
n
c
t
o
r
i
a
l
i
t
yi
sn
o
t imposed，t
appeart
obe s
a
t
i
s
f
a
c
t
o
r
yfromt
h
ep
o
i
n
to
fviewo
fc
o
n
s
t
r
u
c
t
i
o
n
sb
e
g
i
n
n
i
n
gfromt
h
e
imito
fd
i
r
e
c
tsumso
f
i
n
v
a
r
i
a
n
t
. Ana
n
a
l
y
s
i
so
ft
h
eautomorphismgroupo
fani
n
d
u
c
t
i
v
e1
c
a
r
r
i
e
do
u
ti
n[
2
2
，] y
i
e
l
d
si
np
a
r
t
i
c
u
l
a
rt
h
a
t七heautomorphism
matrixa
l
g
e
b
r
a
so
v
e
rC(τ)，
groupo
ft
h
ei
r
r
a
t
i
o
n
a
lr
o
t
a
t
i
o
nC
'
"a
l
g
e
b
r
ai
sane
x
t
e
n
s
i
o
no
fa(
t
o
p
o
l
o
g
i
c
a
l
1
y
)s
i
m
p
l
eP
o
l
i
s
h
groupbyt
h
egroupGL(2，
Z
)
.
onceoneh
a
sacompletei
n
v
a
r
i
a
n
t，
whethert
h
ep
o
s
s
i
5
. Theq
u
e
s
t
i
o
na
l
s
oa
r
i
s
e
s，
b
i
l
i
t
i
e
st
h
a
ta
r
i
s
ecanbed
e
s
c
r
i
b
e
di
nani
n
t
r
i
n
s
i
cw
a
y
.(
T
h
i
sproblemi
n出 ec
a
s
eo
fAF
a
l
g
e
b
r
a
swass
o
l
v
e
di
n[
1
3
，] i
nwhichdimensiongroupsde
五回 da
si
n
d
u
c
t
i
v
el
i
m
i
t
swere
c
h
a
r
a
c
t
e
r
i
z
e
da
b
s
t
r
a
c
t
l
y
.
)
Fort
h
ec
a
s
eo
fi
n
d
u
c
t
i
v
el
i
m
i
t
so
fs
e
q
u
e
n
c
e
so
fd
i
r
e
c
tsumso
fmatrixa
l
g
e
b
r
a
so
v
e
r
C(T)，
assumedt
obeo
fr
e
a
lr
a
n
kz
e
r
o，
s
u
c
had
e
s
c
r
i
p
t
i
o
no
ft
h
ei
n
v
a
r
i
a
n
twasg
i
v
e
ni
n[
1
7
]
.
3-
(
I
ti
sana
n
a
l
o
g
u
eo
ft
h
a
tg
i
v
e
nf
o
rdimensiongroupsi
n[
1
3
，] butf
o
rwhatmayperhapsbe
c
a
l
l
e
dgradeddimensiong
r
o
u
p
s
.
)
I
ft
h
eassumptiono
fr
e
a
lrankz
e
r
oi
sdroppedandoner
e
s
t
r
i
c
t
st
ot
h
es
i
m
p
l
ec
a
s
e，
w
i
t1
IK1 = 0andKoo
frankone，thenas
i
m
p
l
ea
b
s
t
r
a
c
td
e
s
c
r
i
p
t
i
o
no
ft
h
ep
o
s
s
i
b
i
l
i
t
i
e
sf
o
r
t
h
ei
n
v
a
r
i
a
n
twasg
i
v
e
nbyThomseni
n[
3
2
J
:t
h
ea
d
d
i
t
i
o
n
a
li
n
f
o
r
m
a
t
i
o
nn
e
c
e
s
s
a
r
yf
o
rt
h
e
c
l
a
s
s
i
五c
a
t
i
o
ng
i
v
e
ni
n[
1
8
Jc
o
n
s
i
s
t
so
fana
r
b
i
t
r
a
r
y(
m
e
t
r
i
z
a
b
l
e
)s
i
m
p
l
e
x
.
References
1
. B
.B
l
a
c
k
a
d
a
r
.Symmetrieso
ft
h
eCARa
l
g
e
b
r
a、A九 九 o
fM叫ん 131(
1
9
9
0
)，
5
8
9
6
2
3
.
.Blackadar，O.B
r
a
t
t
e
l
i
.G
.A.E
l
l
i
o
t
t，andA
.Kumjian，Reductiono
fr
e
a
lranki
n
2
. B
v
f
a
t
h
.Ann.，
t
oa
p
p
e
a
r
.
i
n
d
u
c
t
i
v
el
i
m
i
t
so
fC
*
a
l
g
e
b
r
a
s
.l
n
d
u
c
t
i
v
el
i
m
i
t
so
f五n
i
t
ed
i
m
e
n
s
i
o
n
a
lC九 a
l
g
e
b
r
a
s，T
r
a
n
8
. Amer. M叫ん
3
. O
.B
r
a
t
t
e
l
i，I
S
o
c
.171(
1
9
7
2
)，1
9
5
2
3
4
.
4
. O.B
r
a
t
t
e
l
i，
D
.E
.Evans，
andA
.Kishimoto，
CrOssedp
r
o
d
u
c
t
so
ft
o
t
a
l
l
yd
i
s
c
o
n
n
e
c
t
e
d
s
p
a
c
e
sbyZ
z*
Zz，
p
r
e
p
r
i
n
t
.
5
. O
.B
r
a
t
t
e
l
i and A
. Kishimoto，Non-commutatives
p
h
e
r
e
sI
I
I
:I
r
r
a
t
i
o
n
a
lr
o
t
a
t
i
o
n
s，
p
r
e
p
r
i
n
t
.
6
. L
.G.BrownandG.K.Pedersen，C
*
a
l
g
e
b
r
a
so
fr
e
a
lrankz
e
r
o，
よ Funct.An
a
l
.99
(
1
9
9
1
)，
1
3
0
1
4
9
.
7
. A
.Connes，C
l回 Sl五c
a
t
i
o
no
fi
n
j
e
c
t
i
v
efadors，Ann.o
fMath.109(
1
9
7
6
)，7
3
1
1
5
.
Ont
h
ecohomologyo
fo
p
e
r
a
t
o
ra
l
g
e
b
r
a
s，
J
.F
u
n
c
t
.Aη
α
1
.28(
1
9
7
8
)，1738
. A
.Connes，
1
8
5
.
Thef
i
o
wo
fw
e
i
g
h
t
sonf
a
c
t
o
r
so
ft
y
p
eI
I
I，
TohokuMath.
9
. A
.ConnesandM.T
a
k
e
s
a
k
i，
J
.29(
1
9
7
7
)，
4
7
3
5
7
5
.
1
0
. J
.Dixmier，OnsomeC九 a
l
g
e
b
r
a
sc
o
n
s
i
d
e
r
e
dbyGlimm，J
.F
u
n
c
t
.A
n
a
l
: 1(
1
9
6
7
)，
1
8
2
2
0
3
.
. E
.G
.E
f
f
r
o
s，
DimensionsandC
*
a
l
g
e
b
r
a
s，
CBMSR
e
g
i
o
n
a
lC
o
n
f
e
r
e
n
c
eS
e
r
i
e
si
nMath
11
e
m
a
t
i
c
s，
No.46，Ame
r
.l
v
I
a
t
h
.S
o
c
.，P
r
o
v
i
d
e
n
c
e，1
9
81
.
1
2
. E
.G
.E
f
f
r
o
s，Ont
h
es
t
r
u
c
t
u
r
et
h
e
o
r
yo
fC九 a
l
g
e
b
r
a
s
:someo
l
dandnewproblems，
O
p
e
r
a
t
o
rA
l
g
e
b
r
a
8α
π dA
p
p
l
i
c
αt
i
o
n
8(
e
d
i
t
e
dbyR
.V
. Kadison)，P
r
o
c
. Symp. PU何
M叫ん 38(
1
9
8
2
)，
P
a
r
t1
，
p
a
g
e
s1
9
3
4
.
1
3
. E
.G
.E
f
f
r
o
s，D
.E
.Handelman，andC
.
-L
.Shen，Dimensiongroupsandt
h
e
i
ra
f
f
i
n
e
Amer.J
.Math.102(
1
9
8
0
)，
385
-40
7
.
r
e
p
r
e
s
e
n
t
a
t
i
o
n
s，
Ont
h
ec
l
a
s
s
i
五c
a
t
i
o
no
fi
n
d
u
c
t
i
v
el
i
m
i
t
so
fs
e
q
u
e
n
c
e
so
fs
e
r
n
i
s
i
m
p
l
ef
i
n
i
t
e
1
4
. G
.A
.E
l
l
i
o
t
t，
よ Algebra38(1976)，29-44
.
d
i
m
e
n
s
i
o
n
a
la
l
g
e
b
r
a
s，
畑
4-
1
5
. G.A
.E
l
l
i
o
t
t，
Ont
o
t
a
l
l
yo
r
d
e
r
e
dg
r
o
u
p
s，
andKo，
RingTheory
，Wαt
e
r
l
o
o
.1978(
e
d
i
D
.HandelmanandJ
.Lawrence)，
L
e
c
t
u
r
eNotesi
nMathematics7
3
4
.S
p
r
i
n
g
e
r
t
o
r
s，
r
1ag，
NewYork，
1
9
7
9，
p
a
g
e
s1
4
9
.
Ve
Ont
h
ec
l
a
s
s
i
五c
a
t
i
o
no
fC*a
l
g
e
b
r
a
so
fr
e
a
lrankz
e
r
o，
p
r
e
p
r
i
n
t
.
1
6
. G.A
.E
l
l
i
o
t
t，
1
7
. G.A
.E
l
l
i
o
t
t，
Dimensiongroupsw
i
t
ht
o
r
s
i
o
n，
l
n
t
e
r
n
a
t
i
o
n
a
lJ
.Math.1(
1
9
9
0
)，
3613
8
0
.
l
io
t
t，
Ac
l
a
s
s
i
五c
a
t
i
o
no
fc
e
r
t
a
i
ns
i
m
p
l
eC九 a
l
g
e
b
r
a
s，
p
r
e
p
r
i
n
t
.
1
8
. G
.A
.E1
1
9
. G
.A
.E
l
l
i
o
t
t，
Ac
l
a
s
s
i
f
i
c
a
t
i
o
no
fc
e
r
t
a
i
ns
i
m
p
l
eCへ
a
l
g
e
b
r
a
s，
I
I，
i
np
r
e
p
a
r
a
t
i
o
n
.
t
r
u
c
t
u
r
eo
ft
h
ei
r
a
t
i
o
n
a
lr
o
t
a
t
i
o
nC九 a
l
g
e
b
r
a，
2
0
. G
.A
.E
l
l
i
o
t
tandD
.E
.Evans，Thes
p
r
e
p
r
i
n
仁
21
. G
.A
.E
l
l
i
o
もta
ndG
.Gong，
Oni
n
d
u
c
t
i
v
el
i
m
i七so
fmatrixa
l
g
e
b
r
a
so
v
e
r七hetwot
o
r
u
s，
i
np
r
e
p
a
r
a
t
i
o
n
.
七ta
ndM.Rordam，
Theau
七o
morphismgroupo
ft
h
ei
r
r
a
t
i
o
n
a
lr
o
t
a
t
i
o
n
2
2
. G
.A
.E
l
l
i
o
C*a
l
g
e
b
r
a，
p
r
e
p
r
i
n
t
.
2
3
. J
.G. Glimm，
Onac
e
r
t
a
i
nc
l
a
s
so
fo
p
e
r
a
t
o
ra
l
g
e
b
r
a
s，T
r
a
n
s
. Amer. Math. S
o
c
. 95
(
1
9
6
0
)，
3
1
8
3
4
0
.
2
4
. U
.Haagerup，
Connes'b
i
c
e
n
t
r
a
l
i
z
e
rproblemandu
n
i
q
u
e
n
e
s
so
ft
h
ei
n
j
e
c
t
i
v
ef
a
c
t
o
ro
f
t
y
p
eI
I
h，
ActaMath.158(
1
9
8
7
)，
9
5
1
4
8
.
2
5
. U
.Haagerup，
A
l
ln
u
c
l
e
a
rC
*
a
l
g
e
b
r
a
sa
r
eamenable，
l
n
v
e此 Math.112(
1
9
9
0
)，
4995
2
3
.
2
6
. W.K
r
i
e
g
e
r，
One
r
g
o
d
i
c丑owsandt
h
eisomorprusmo
f
f
a
c
t
o
r
s，
Math.Ann.223(
1
9
7
6
)，
1
9
7
0
.
2
7
. A
.Kumjian，
Ani
n
v
o
l
u
t
i
v
eautomorph
.
ismo
ft
h
eBunceDeddensa
l
g
e
b
r
a，
C
.R
.Ma
t
h
.
R
e
p
.Ac
αd
.S
c
i
. Canadα10(
1
9
8
8
)，
2
1
7
2
1
8
.
2
8
. M.PimsnerandD.V
o
i
c
u
l
e
s
c
u，
Exacもs
e
q
u
e
n
c
e
sf
o
rK-groupsandExtg
r
o
u
p
so
fc
e
r
t
a
i
n
c
r
o
s
s
p
r
o
d
u
c
tC*a
l
g
e
b
r
a
s，
J
. Ope叫 o
rTheory4(
1
9
8
0
)，
9
3
1
1
8
.
2
9
. 1
.F
.Putnam，Ont
h
et
o
p
o
l
o
g
i
c
a
ls
t
a
b
l
eranko
fc
e
r
t
a
i
nt
r
a
n
s
f
o
r
m
a
t
i
o
ngroupC
'
仁
a
l
g
e
b
r
a
s，
E
r
g
o
d
i
c TheoryDynamicalSystems10(
1
9
9
0
)，
1
9
7
2
0
7
.
3
0
. M.A
.R
i
e
f
f
e
l，
C九 a
l
g
e
b
r
a
sa
s
s
o
c
i
a
t
e
dw
i
t
hi
r
・
r
a
t
i
o
n
a
lr
o
t
a
t
i
o
n
s，
Pαc
i
f
i
cJ
. M叫ん .93
(
1
9
8
1
)，
415
-42
9
.
31
. H
.Su，
Ont
h
ec
l
a
s
s
i五c
a
t
i
o
no
fCへ
a
l
g
e
b
r
a
so
fr
e
a
lrankz
e
r
o
:i
n
d
u
c
t
i
v
el
i
m
i
t
so
fmatrix
a
l
g
e
b
r
a
so
v
e
rgraphs，
C
.R
.Mαt
h
.R
e
p
.A
c
a
d
.S
c
i
.C
α nadα13(
1
9
9
1
)，
2
2
3
2
2
8
.
3
2
. K.Thomsen，
I
n
d
u
c
t
i
v
el
i
m
iもso
fi
n
t
e
r
v
a
la
l
g
e
b
r
a
s
:t
h
et
r
a
c
i
a
ls
t
a
t
es
p
a
c
e，
p
r
e
p
r
i
n
t
.
司
叩
剛
Departmento
fMathematics
U
n
i
v
e
r
s
i
t
yo
fToronto
Toronto，
O
n
t
a
r
i
o
CanadaM5S1A1
and
-5
MathematicsI
n
s
t
i
t
u
t
e，
U
n
i
v
e
r
s
i
t
e
t
s
p
a
r
k
e
n5，
DK-2100Copenhagen，
の
Denmark
RandomEnvironmentに関するトピヅク
河津清(山口大学)
!
i
1
.Extinctionprobabilityo
fB
r
a
n
c
h
i
n
gp
r
o
c
e
s
s
e
si
nrandime
n
v
i
r
o
n
m
e
n
t
町πをe
n
v
i
r
o
n
m
e
n
t
(
o・
(
1，・・・における第 n世代の確率母関数とし、 {
Zn，
nさ り を 第 n世代の人口とす
る
。 e
n
v
i
r
o
n
m
e
凶(={ふ}はある独立変数多u
としておく。このとき、次の畳を考察して見る。
P(Zn→ O出 n叶∞，
(
1 Zo=1
)=
q
(
(
)，
==
P(Zn→ Oasn→ ∞ 1
(，Zo k
) q
(
(
)
k，
=
q
k E
[
q
(
(
)
k
]
次の優臨界条件を依定しておく。
1
.EUogψc(1)一
]<E[log:
p
c
(
1
)
+
]
0
)
)
]< ∞
2
. E[-log(1一 町 (
明らかに、 e
n
v
l
r
o
n
m
e
n
もが常数の場合における G
a
l
も
on-Watson過程では
=
=
q
k q
k，k 1，
2，・・¥
となっているのだが、
c=log少c(1)，F(O)= E[e-OC] とおいてみるとき。次の命題が出されている。
命題 (
G
r
e
)
ん Z
h
u
n
w
e
i
)次を溝たす 00>0があったとせよ。
F
(
O
o
)=1，F
'
(
O
o
)< ∞
このとき次の事が成り立つ。
(
a
)l
i
m
i
n
fk→∞ k
O
O
q
k>0，
)
(
b
)E
[
(1-町 (
O
)
OO
k=o
(
k
-O
，k→ ∞ o
<(
)
o・
]< ∞ 吟 q
このような、古典的な確率過程と、 e
n
v
i
r
o
n
m
n
e
n
tの影響をうけた確率過躍の詑較研究はさらに発展させ
らるべきであろう。
i
!
2
.D
i
f
f
u
s
i
o
np
r
o
c
e
s
si
nrandome
n
v
i
r
o
n
m
e
n
t
{W(x)，
x之 O
} と {W(-x)，
おさ O
} を独立な Brownian運動で旗点を通過するものとし、 κ を正の
f
:
包s
i
o
np
r
o
c
e
s
si
nrandom
常数とする。このとき、形式的に次の確率微分方程式で定まる確率過程を Di
o
πmentと呼ぶ。
e
n仇r
的)コ dB(t) 一 ~(W'(X(t)) 一 ;)dtl(0)= 。
此の過程は K
e
s
t
e
n
-K
o
z
l
o
v
-S
p
i
y
z
e
rの拡散モデルと考えられている。 0<κ<1の場合に、完全に極限定
理が得られれた。偽の場合も大数の法員。に対Jit.¥する結果を報告した。
-6-
GL方程式と解の安定性
神保秀一
G
i
n
zb
u
r
gLandau(GL )方程式は低温超伝導の状態を記述するモヂルとして導入された.
争，
ncR3 を滑らかな境界をもっ有界領域とし，次の汎関数を考える .(
A
)を変数として
r(~1(h
1.，__ • .，_.
'l入
1_ r
2
(
1
)
冗(や ，
A
)= Ii
\7 -i
A
)争1
(
1一回 1
2
)
2~ d
x+I~lrotAl2dx
十
一
4¥
-
nl
2
I¥
内 内
I- I I
•
J .J
，
R
'
3
ただし， 争 :n→C A:R3 ー→ R3 なる関数.入 > 0andh>0はパラメータ.争は波動関
数 .Aは磁場のベクトルポテンシャ J
vをあらわす.この汎関数の極小値を与える(争，A
)は実
1
)の代用
現可能な超伝導状態に対応する. 一方，磁場の効果 (A)を無視した次の汎関数も (
品としてしばしば扱われる.
r
(
2
)
行。(争)=
(1..2
¥
可
I~云 1 \7争 1 +
子(
1
1争1
2
)
2.~ d
x
.
Jn
J
2
' - ム ヨ
これらの汎関数を停留させる(争，
A
)，告を決める方程式(変分方程式)が GL方程式である.
(
3
)
(
h¥
7-i
A
)
2争十入 (
1
1争1
2
)争口 oi
nn
，
ho
争/
θ
νi
(
A
.ν
)争 =0 on δn，
r
o
tr
o
tA+i
h
(
苔V争ー争V苔)
/
2十同 12A = 0 i
nn
，
r
o
t
r
o
tA
(
4
)
口
oi
n nc •
( 印 十 入(
1
1仰
=
0i
n
n
，
θ争/δν=0 on θ
n
.
ここで，基本的に開題にしたいことは非自明な安定解の存在やその性質である. しかし，様々
な場合によっていろいろなことがおこりそうなので一般的に強い主張をするのは難しそうであ
る.上の方程式において状況を決めているのはパうメータや領域 Q であるが，とくにどのよう
な Q について非自明な安定解が存在するであろうか?(どの様な領域に永久電流が存在するの
かといってもよい).また. (
3
)は (
4
)とどう関係するのか?凸領域の場合と回転対称の領域の
場合にいくつかの結果が得られる.
一7-
S
e
l
f
s
i
m
i
l
a
rs
t
a
b
l
ep
r
o
c
e
s
sについて
前島信(鹿芯大学理工学部)
s
e
l
f
s
i
m
i
l
a
rp
r
o
c
e
s
s (自己相似的確率過程)とは、時間と空間の適当な変換の下
で分布が不変となるような確率過程のととである。 Brown運動が自己相似性をもって
e
l
f
s
i
m
i
l
a
rp
r
o
c
e
s
sである
いるととは省くからしられていた。それ以外の Gauss型 s
f
r
a
c
t
i
o
n
a
lBrownianmotionもすでに Kolmogorov(
1
9
4
0
) によって議論されている。
e
l
f
s
i
m
i
l
a
rp
r
o
c
e
s
sは、極限定盟との関連で Lamperti(
1
9
6
1
)によってき
一方、一般の s
ちんと確率論的に取り上げられ、 Iそのよう在確率過程は、つねに正規化されたある確
率過穫の極限になっている。また、正規化された確率過程の極限はつねに s
e
l
f
s
i
m
i
l
a
r
である Jととが示された。
確率過程において、自己相似性は比較的弱い性質で、縮率過程の他の性質(伊jえ
ば、マルコフ性や加法性)のように、それだけから色々なととがわかるようなもので
はない。しかし確率過程のある種の性質には自己相似性が本質的に係わっているとと
r
a
c
t
i
o
n
a
lBrownianmotionは自己相似性
も知られている。その中で、 Brown運動や f
のほかに、分布としての性質、 Gauss性と、定常増分性を持っている o そとで、それら
を合むクラスとして、自己椋似性と定常増分性プラス分布の性質、安定分布(Gauss
分布を含む広いクラスの分布)である
ζ
とを仮定したクラスを考えると色々なととが
わかり、非常に良く研究されている o
との講演では、
ζ のクラスについて主に講演者自身の得た結果を中心に、以下の
ととを述べたロ
1
.s
e
l
f
s
i
m
i
l
a
rs
t
a
b
l
ep
r
o
c
e
s
sが存症するための、それぞれのパラメータに関す
る必要十分条件。
2
.l
i
n
e
a
rf
r
a
c
t
i
o
a
n
ls
t
a
b
l
emotionと呼ばれるクラスについて。
3
.h
a
r
m
o
n
i
z
a
b
l
ef
r
a
c
t
i
o
n
a
ls
t
a
b
l
emotionと呼ばれるクラスについて。
4
.それらの向等性、非同等性。それらのクラスのある特徴づけ。その他。
8-
脊界正則函数環と同型開題
9
9
3
.
5
.
1
2
)
(北大談話会， 1
北大・理(教養)林実樹廉
Rが与えられれば，その上の有界正則関数全
1.はじめに. 複素領域(リーマン面 )
R
)が決まる .H∞(
R
)自然な見方で可換 C代数 (
Banach環)になっている.ここ
体 H∞(
では，逆に， C代数 H∞(
R
)からリーマン面 Rが決まるかどうかを考える.
Rが任意のリーマン面のとき， C 代数として ，R上の有理担関数全体 1
v
I
(
R
)を考えれ
ば，M(R)の代数構造は Rを決める.また ，Rが開リーマン面ならば， C代数として ，R上
の正期関数全体 A(R)を考えれば，A(R)の代数構造は Rを決める.これらは，よく知られ
ている (
[
1
]
).
C 代数として ，H∞(
R
)を考えるときは自明な反例を除くための住意が必要になる.
(
1
) 除去可能特異点: 1
)ーマンの除去可能特異点定理で分かるように，存界正則関数は内
点に近い境界点には正則に拡張出来ることがある.
(
2
) Myrberg型現象:単位関悶板上の 2葉の被覆面 Rで，H∞(
R
)が単位関丹板上の物と
関型になることがある.より一般には，リーマン面上の異なる二点 p，qの近傍で、有界
正期関数が同一な T
a
y
l
o
r展開を持つことが起こり得る.
次の Roydenの定理を使うと，このような皮例を一般論として除くことができる.
[定理〕一般に A を R上の正則関数から成る部分環で，定数以外の元含んでいるもの
とする.このとき，関数族 A に関する Rの R
o
y
d
e
n
'
sr
e
s
o
l
u
t
i
o
nと呼ぶところのリーマン
面 R で，以下の三性質を持つものがあり，等角向値を除いて一意に決まる:
(
a
) 解析写像ゆ :
R→Rと，R上の正則関数環 Aがあって ，Aoゆ=
A.
(
b
) A はRの点を弱点分離する:孤立点からなる高々可算な集合 Eがあって ，Rの異なる
二点 ι q~こ対しう関数 fE三 Aがあってヲ f(p) チ f(q).
(
c
)Rは性質 (
a
)，(
b
)を満たすもののうち極大である.
安調数族として解析接続することで得られ
この様なリーマン面 Rは，基本的には ，A;
る.Aとして H∞(
R
)を考えると ，A=H∞(
R
)となることがパナッハ環の一般論から示
される.従ってヲ H∞(
R
)の自然領域として Rを考えるのが良いと思われる.
以上の用語のもとに，同型問題は次のように述べられる.
R
)と H∞(
R
'
)が同型でその一方が定数関数以外の元を含むとする
[向型問題] H∞ (
ならば，リーマン面 RとR
'は等角同値か?
特別な場合にはこの問題は正しいことが分かっている:
(
a
) R，R
'が平面領域のとき，向型問題は成り立つ. (
C
h
e
v
a
l
l
e
y
Ka
.
k
u
t
a
n
i，c
f
.[
2
]
)
(
b
) R上に，極を持つ有理型関数であるコンパクト集合の外で有界となるものが存在する
場合は，同型問題が成り立つ.
-9-
この講演での主結果は，残念なことに，問型開題は一般には成立しないことを示すこ
とにある.定理の形で述べると，
[定理 1]次の性質をもっリーマン面 Rが存在する .Rは b
i
ω
d
i
s
cム2 = {
(
z，
切
)E C2 :
I
z
l<1，1
ω
￨くりの(複素 )1次元部分多様体であり ，R上の任意の有界正則関数はム上の
有界正則関数に一意的に拡張される.特に ，H∞(
R
)は H∞(ム2
)と C代数 (Banach環)と
して同型になる.
ム2の任意の 1次元部分多様体 Rについて ，Rの正員J
I関数のム2上への拡張は常にでき
るが?一意的では有り得ない.有界正期関数の拡張は一般にはできない (
[
3
:
7
.
5
.
3
]
)
. また，
一意性も一般には成り立たない.従って， 有界 Jということが上の定理で大切な点であ
r
る.
2
.Rの構成. 最初に，正数の増加列 {7"n}~=l で Tπ ノ l となるもの(任意でよい)を
罰定して考える.別に，自然数の列 {Nn}~=l を考える.各 Nn は十分大きく取るが具体的
には以下の構成の中で定める.
まず
2
Tri
k
/
N.
n
k= "
7
ne'
En= α
{n
k:k口 0，
・
・，
Nn
，
} αn
UEn
E=
V口 {
(
z，
ω)ε ム2:zEE o
r
ω EE}.
とおく.
主張 1Nnを十分大きくすると V 上の脊界正則関数はム2上の有界正則関数に一意的
に拡張される.
これは fEH∞C
V
)t
こ対して，
ふ
f
(川 知 )
(
針
。2 出 '
1α
(n
k-抑 n
lー ω)
ω)口一一一、、
(
2
) Snf(z，
ムαn
k=αn
k一αnk-l・
とおくと ，Snf は ~n = {
(
z，
ω)εC2;I
z
l<7"n，1
叫 < 7"n}で正別である.吏に ，Snf→ F
はム2上で広義一様収束し ，I
I
f
l
l∞口 I
I
F
I
I∞も示せる.拡張の一意性はこの過程で明らかに
なる.
V は ExE~こ属する点で交差している単位開円披の和集合である.これらの交差点を
smoothに変形して Rを作くる.
1i
nU
それには?
h
n
(
z
)=
r(z α)，
ー
Hn(z，
ω)= h
n
(
z)
hn(
ω
)
.
とおき，さらにう小さい正数の列 {
8n} を取り
ふ ん
H(zJ)1-L十一ニー+・・・十
Hl .HIH2'
"
H
.Hl" .Hn
とおく.これはt:::..2 で収束する有理型関数である.
(
zぅ
切
)Eム2:1口 H(z，
ω
)
}とおく.数列 8nを十分小さく選べば ，R 上
主張 2R = {
の有界正員。関数はム2上の有界正期間数に一意的に拡張される.
この証明は，
ι ι ι
H1 = 81十十一一二一+一一二一十・・・
H .H2 3.H3 4
2
H
H
ん ん
(H
J
)H2=8
1- 8
2 十ーと十一よー十・・・
H3 'H3H4
と書き換えて， 8
I
J
8
2，...を順に十分小さく取ると，境界に近づくほど Rが Vに(幾何的に)
近くなることから推察できる.実際 i
こは?主張 1の証明を修正して確かめる.
以上により，定理 lが示された.同型問題が否定的であることは次の事実を使えば容
易にわかる.
F
a
c
t
(
[
3
j
7
.
3
.
3C
o
r
o
l
l
a
r
y
]
)ゆが b
i
d
i
s
ct
:
:
.2 からそれ自身の上への一対一正則写像なら
ば，</>I，れを単位開円抜上の M
obius変換として
z，
ω)=(
仇(
z
)，れ(刈)o
rゆ(
z，
川口(仇 (
ω
)，の (
z
)
)
ゆ(
と表される.
講演では触れなかったが，ここで構成した例を変形して，点分離問題や調密挿入問題に
も否定的な解答を与えている.また，コ口ナ問題の反例にもなっている.(リ…マシ面に関
してコロナ問題の反例は B
.C
o
l
eにより最初に作られた.)さらには， R
o
y
d
e
n
'
sr
e
s
o
l
u
t
i
o
n
の高次元化も部分的な結果であるが考えることができることが分かっている.
References
[
1
] 中井三留 7 リーマン面の理論?森北出版 1
9
8
0
.
Somet
h
e
o
r
e
m
sonbo~tded 仰 α lytic f
u
n
c
t
i
o
n
s，
T
r
a
n
s
.Amer.Math.S
o
c
.
[
2
] W.Rudin，
7
8
(
1
9
5
5
)，
3
3
3
3
4
2
.
[
3
] W.Rudin，FunctionTheoryi
nP
o
l
y
d
i
s
c
s，"
"
v
V
.A
.Benjamin，I
n
c
.，NewYork，1
9
6
9
-11-
志村多難体のゼータ関数について
吉田敬之
F を n次の給、実代数体、 B を F 上の題先数環で
B@QR空 M2(RtxHn-r，
r>0
をみたすものとする。ここに H は H
amiltonq
u
a
t
e
r
n
i
o
na
l
g
e
b
r
aを表す。
Q の代数的鴎
包 碍 か ら C の中への陪裂を h し
、 H=G
a
l
(
奇/
F
)とおしこのとき、 Gal(奇/Q)/H
は F から R の中への同型写像全体と、従ってまた F の a
r
c
h
i
m
e
d
e
a
np
l
a
c
e
s全体とも問
r
c
h
i
m
e
d
e
a
np
l
a
c
e
s全体から成る G
a
l
(
碍/
Q)/Hの
一祝される o n を B が 印 刷 す る a
s
u
b
s
e
t とする o H' {
gモ Gal(奇jQ) gn n} とおき、 Y を H'の罷定体とす
る。このとき F
'は F の r
e
f
l
.
ex量e
l
d と呼ばれ Q 上:ETEnr
(
x
)，
xE Fで生成される。
X
X
G 口 ResF/Q(B ) により B の定める Q 上の代数群を表す。 G の a
d
e
l
e化を GA，
GAの
I =
ご
f
i
n
i
t
ep
a
r
tを GAf とかく o GAfの opencompacts
u
b
g
r
o
u
pK ~こ対して、 F' 上定義され
た志村多様体 SKが定まる。 SKの F
'上の z
e
t
a関数 Z
(
s，
S
K
j
F
'
)は L姐 g
l
組 d
sにより決
ainp
a
r
tは H L
(
s，
f
1rl)m(π，
K) で与えられる。ここに作は GA の
定されていて、その m
有限偲の a
u
t
o
m
o
r
p
h
i
cr
e
p
r
e
s
e
n
t
a
t
i
o
n
sの上を走り、 m(党 ，
K
)EZ，rl は G の L-group
r[
LG=GL(2，
c)n)<] Gal(可/Q)の 2
F
':
Q
]次元表現である。
Cぽ a
y
o
lと T
a
y
l
o
rにより、 Z
(
s，
S
K
/
F
'
)の表示に現れる πに対しては、 G
a
l
(
奇/F)の
2次元の入-a
d
i
cr
e
p
r
e
s
e
n
t
a
t
i
o
nσ
λ があり、 L
(
s，
f
1r
o
)=L
(
s，
σ
λ
)が成立することが知
oは LGの s
t
a
n
d
a
r
dな 2
η 次元表現を表す。一方、 Z
(
s，
SK/F
'
)は
、
られている。ここに r
SKの ιadice
t
a
l
ecohomologyg
r
o
u
p
sにおける G
a
l
(
奇j
F
'
)の表現により定義されるもの
である。このことから、 H= G
a
l
(
奇/
F
)の表現から、 H
'= Gal(奇/
F
'
)の表現を構成する一
背
般的方法があるのではないか、と推測される。
講演ではまず H の表現 σから H'の表現 7 を構成する方法を説明した。この方法で作られ
n
1
n
d
i
f
σ とかく。次に、
たT を@
み
11f
''11
z
L
(
s，
σ
λ
)=L
(
s，
π，
r
o
)
から、
(
2
)
L(S?851IMZσ入
)= L
(
s，
叩・
が有限偶の E
u
l
e
rf
a
c
t
o
r
sを捻いて得られることを示した。これでよの推灘が正当化される。更
に
、 C町 a
y
o
lとT
a
y
l
o
rの結果を用いると、 (
2
)は全ての E
u
l
e
rf
a
c
t
o
r
sについて成り立つこ
(
s，
SKjF')を与える Langlandsの公式が、(若干の修正の後
とがわかる。この結果により、 Z
adf
a
c
t
o
r
sについても成り立つことを論じた。
に) b
12-
界面の運動方程式と反応拡散方程式
隣国英二
Q
を
R
N内の関領域とし
Q
(東工大・理・情報科学科)
内 の 界 面 r(
t
) が次の形の運動方程式に従って動
いているとする.
a(x)V(x)
=
申
くν(x)， n(x)>
ただし，
れぞれ
(
N - l)d(x)κ(x) - く v d(
x
)，ν(x)>
= 0，
X E
X
旺
r(t)，
ar(t).
a(x) > 0， d(x) > 0， b(x) は 与 え ら れ た 関 数 ，
r(t) の 平 均 曲 率 お よ び 単 位 法 線 ベ ク ト ル ，
n(
x
) は m
+b(x)，
κ(x) お よ び
υ(x) は そ
V(
x
) は界面の法線方向の速度，
の単位法線ベクトルである. この連動方程式はある種の反応拡散方程
式の内部遷移層の動きを記述する方程式として導かれたもので，界面が仰と垂
直に接しながら，その曲率や法線方向，位置に依存して連続的に変形していく様
子を表わしている.特に，
a(計三 1， b(x) : 0， d(x) 三 l の 場 合 が い わ ゆ る 平 均
曲率流である
静止している界面(すなわち
V
= 0) を 定 常 界 顕 と 呼 ぶ こ と に し よ う . 定 常 界
面の近くから出発した他の界面がそのまま近くに留まるとき，
定であるという
e
この定常界面は安
本講演ではまず、定常界面のまわりで上の方程式を線形化する
ことによって得られる(自己随伴)作用素の最大田有値の符号を調べることによ
って、界面の安定性が決定できることを示す.次に，いろいろな仮定のもとで定
常界面の安定性を調べ，反応拡散方程式の定常解の安定性と共通した結果が成り
立つことを示す.さらに，界面の運動方程式と反応拡散方程式に，伯にも類似し
た現象が見られることを指摘する.
tEム
qu
S
e
l
fA
v
o
i
d
i
n
gWalki
nF
i
v
eo
rMoreDimensions*
四
民〔経
東京工業大学報学部応用物理学教主
e
m
a
i
l
: [email protected]
Abstract
Self-AvoidingWalk(SAW) とは?
Zd三 {
(
.
I・
1
，
1
.
・
2
，
.
.
.
， ;r(J
)1
.・
j E Zf
01'j口 1，
2，
.
・
ぺd
}を
、
i
t
eと言う。この上で「長さ
子
、 Zdの元を s
n
Jの(最近接)
1
. (丸十 1
)個の s
i
t
eの列 ω三 (
ω
(
0
)川 (
1
)‘
.
.、
.ω(
1
1)
)
、
ι次元正方格
s
c
l
f
相
a
.
v
o
i
d
i
l
l
gwa
.
l
k (以下略して SAW) とは、
ω(
i
)EZd で
、
2
.1
ω(
i
)… ω(
i+1)I
1
2口 1f
o1' i= 0
‘
1
.
.
.
.
， 11-1 (最近接の条件)及び
3~
w(
i
)
:
f
;ω(
j
)f
o1' 0壬i<j:::;n (自己顕避の条件)を満たすもの
を言う。以下、長さ
Qバム y
)、
=yなるもの)の全体を
の SAvVで
、 rを出発して Hで終わるもの(つまり ω
(
0
)口ム ω(
n
)
。=
η
(
.
T，
y
) Unf
2n(
.
1
¥y
)、吏に Qバ・r)=
=U!lf2バ，
"
1
.y
)と書く。また、f2，， (
O
)の要素の数(つまり長さ 1 の
1 "
"
"
"
SAWの数)を旬、 f
2n(
O
)上の一様測度についての平均を(・)"で表す: (・)"三一
)
~ (・)。吏に、 ω の長さ
( ' " ー.
.
.
.
.
-ω 芭I1n(O)
を￨
ω
lで表す。
注:もし、上の 3番目の条件(自己回避)が無ければ、これは s
i
m
p
l
e1'a
l
l
d
o
l
l
lwa
.
l
kと呼ばれているものであり、下
のような問題は単なる数え上げの問題で簡単にもとまってしまう。多分驚くべきことは、こんなに簡単に見える自己
罰避条件を付ーけることにより問題が多分に非マルコフ的になり、以下に述べる結果が(質問が発せられてから 30年
以上もたヮた)最近まで得られていなかーったという事であろう。
基本的な接関:今回、問題にしたいのは以下のような素朴な疑問である:
1.ルs
t
e
pSAWの総数
C" は'11と共にどう振る舞うか?
2
.ル s
t
e
pSAW の端点と端点は平均してどのくらい離れているか?特に端点と端点の平均二乗距離 (11ω(n)II~)"
が
η
と共にどう振る舞うか?
3
. (無限に長い) SA'Vの全体はどのようなラM測 に 従 う か ?
結 果 [4、 5] 次 元 が 5以上 (d三5
)のZ
d
J
_の SAWに対して、以下が成立する:
1
. C"rv.
4d(μd)口
2
.C
;
IrvD
d
'
n
吋t
i
怒遂大学数学教家談話会予稿、1!
)
9
:
3
/
<
f
-6月日日
14-
3
. 適当にスケー J
レすると長さ無線大の SA¥Vの全体は Br
・
0
¥
¥
'
1
1運動に i
以来。より具体的には: [
0，1
]から R"へ
J万、[1字路を/1でスケールして)、 R"
の連続関数の全体をC'，， [
O，1
] と書く。長さ 1 の SA¥VUJ から(空間を
内の折れ線
x(n)
εC
'
d
[
O
、1
]を
ω(
1
1
1
)十 ι
{
ω
(
1
1
1十 1
)ー ω(1川}
(f)z
J
;
( ー
川
X
，
のように定義すると、 1
f窓の C [
O，l
]J二の述続出l
数
=
=t
L
/
I
I
J‘
8三
t- m
(
1
)
fに対して、
l
f
.
J
主主(川(11)))"=
が成立。ここで
/
l
1
叫
(
2
)
I
d
H
'
DとはC'，， [R]tの拡散定数 D の ¥
V
i
e
l
l
e
rMe出 u
r
eである。
上で A
.d，
Dc
J
ld は次元による定数守、 D
c
lは拡散定数、 J
ld は C
O
l
l
l
l
(
'
(
t
i
n
'r
0
1
1
s
t
a
n
tと呼ばれている。
I、
=
i
mll_ ∞(
Cn)
1
/r> の意味での J
ldの 存 主 は ら ど (
tL
"
)
" の下限と共に、 1957年に HanU11
目 s
1
e
y
歴史的資景:んl l
e
s
t
c
l
l [3Jによる
[2] が京している。これ以上細かい上限については、 1964年 K
C" :
:
:
;
;μ
(，
t
)
{叶 O(n2/1d+2l1og1
l
)
}
以来、厳密な仕事の進展は無かったといってもよい。
しかし、その関に物理学者、化学者による様々な解析が試みられ、
Cn rv A
.
，(
p(
t
)11守11-1
I43/32 (d=2)
ヴd = 1
< .162… (d口町、
)
(
r
l三4
l1
戸d
fi Dd1
(
3
)
=
I3/4
(
d 2
)
… (d口3)
γd口< 0
.
5
8
8
l1/2
(
4
)
(
d主 4
)
g1
1
)1/4 のように対数的補正がつく〕だろうと現在では予想
)
"(
1o
(
l
"d
されている。上記の定理は大さっぱにいうと d>4の部分を厳密に証明した事に当たる。
なる振る舞いを示す〔ただし、 d=4で は ら
rv
証明の方法について:
証明には Brydges と 8pencerにより部発[1Jされた 1
a
c
eexpansionのJi法を用いる。 1
札
'
l
t
n
s
i
o
nは 2点
a
c
eexp
関数 向
GJ'ベ(い‘ム
A
1
うまく解解-く(と言うより、解の姓質をうまく調べる)事により、
・
1
，
y
)= L
LyG
p(
・
nCllP" の性質、ひいてはらそ
のものの性質を詳しく知ることができるのである。詳しくは原論文 [4、 5
J 参照。
参考文献:
p
e
l
l
{
'
(
'
1
'
:8
e
l
ι
a
v
o
i
d
i
l
l
gwa1ki
nf
i
v
e01
:
i
.C
o
m
:
m
:
1
L
n
.M
i
l
l
l
e
n
s
i
o
l
l:
1
. D.C.B1'ydgesandT.8
'm
ored
a
t
h
.P
h
y
s
.97
(
1
9
8
5
)1
2
5
1
4
8
'
o
n
町
、
れ
山 .
伐町
引円
以ぬ
乱叩
川
l
I
.
陪 .P
仰
m
.
ち
8
1
e
y
:p
川e
r
.
'
C0
O
ω
1
1pro何 自 日P日、 日
1
.仁
町c
凶
自は
侃
ねn
1
1
e
r
1
i
I
C
0
1
1
u
e
v
e(
t
1
'
T
'
OC
.C
ω
2
.J
.
M
.Ha
t
i
642645
目
悶
.
fa
J
.l
e
s
t
e
1
1
: Ont
h
enumbero
f:
ie
v
o
i<
¥
'
a
1
k
s，1
h
y
8
. 5(
1
l
i
l
l
g¥
1
..
¥
.
f
a
t
.h
.P
1
9
6
4
)1124-1137
3
. H.K
η.
4
. T.Haraa
l
l
dG.8
1
a
d
e
:8
e
l
f
a
v
o
i
d
i
n
g'"叫ki
i
o
l
l日. 1
rmoredimcn:
l
l払 '
i
.Thec
r
i
t
i
c
a
lb
e
h
a
v
i
o
u
r
. CO
m
.
m
.
'
l
L
eo
M
a
t
h
.P
h
y
s
.147(
1
9
9
2
)1
0
1
1
3
6
・
i
y
po
・l
(
'
ee
:The1
自i
5
. T.HaraandG.8
1
a
<
1e
<
1
.
x
p
a
l
l
s
i
o
nf
o
rs
e
l
f
a
v
o
i
d
i
l
l
gwalki
ed
nf
r
i
m
e
l
l
l
l
o
r
O
l
l
S
.R官官 . M
a
t
h
.
Ph
.4 (
1
9
9
2
)235327
νs
輔
ふ
F
﹁U
'Z
1
3
'
;
子 4闘 の 自
Jo'Yt尚 一 的 ノi
'
f
た
円 '
t
n開 門 前t
s O.NId
CPQ.oIlI匂
e~ω#
綿efJry
党 λ 荻 堵 - シ好 関' 侵入
W，
.
(
続的 1
'
:
.
.J
.フ Ch
併 nS/~伽側-6 d
仰が 長野 命
1
'
:
.
.
.
)
ιγ< 3;;ええ多本薬会争的不良管 p'" :
j
免vわ れ ， ぞの子系的荷克
、
で lユええ表れ場規多義務， イ撃手 Z
手
的 1(.1¥ 1"4長 iミゎ'113J私毛足と《
1180J手代‘A-.B-;.
I
ぽ
¥
.
l
患t
j
.C" 1
1
'
"e
埼
ら p"'，
;
. !J
ぺてぎ k. ご~
(
'
・r
J
.
9似品 1 てよるわ ?t1Þ~長壁
答 リ-?ユ面的上前決務 ;t~ 茅宮MiP ，~ 1
'
l
・6
1'
3，1二口ノ~- l
-( て と 4
え議す
ごヒ 1
'
"
.
.1
-1， ず
‘ i7
:
LI
，
LトZ
審
議
文
， ト〉ゑ fレ議文広ど・詩的議りた時監 ι
1
:
.
.
絡が鶴的手 管1
之関付 1
骨髄 10'" 侍 う れ 3ご と を 議 錫 I
il
J
J
ざわ亡
;.，動的見事み訴のふ z
見J
雲閣掛 i
材養生二"i:¥'e~皮}1糸;
D
J四?
L
“
へIレ 魚 津 "6~ 釘 '1 ~ i子支静的三斡4鳥 島 問 れ て ゐ ら わ 内 事
し広ωiι~V ;子 jl~撃と， 絡 v
・
'
sI
宮 崎 凶 倉 間 的 J;
r
.
.εpジ -(7) 4'A.Ie.-II.:
μr
やむ~‘伽 iてついてふ .h~.
f
. B 'lAぷA 暴挙内~陶d ゅ即4 見主主見とか札鍋多エ盛丸、
ラr=;/((2~æ)"
支見み k初
f
らj 長
3
i
命 おM -I
(i
臨雪4
9
3
0
問
'
'
'
'
'
問
事
比一~協菩
3?抑止説;
7 的ゐ戒を閉包門
5
?
'
i G ENJ. (14(Jj) 一、伊 陥噌〉
委妄手掛与仰
8
・
J
知的J
有グハ副作用ぐえ率とり
'
ω
dE苓兄宮内 (
i
l
(
ーも〉
暗記 叫んd ームω 1
1
J
.
t
A
A
.お.
ov 1
暑続とよ 11
"
れ St
Iω "'A'" 十Z
のぷぷ社関ピ
哩
，
N偽治山 2切vlØ1.O世 kJÀ，lt~ ~襲撃Ym んゐ捌習もす色鮮成す~，
γ "V
Lφ
-
ë~_ 認定 (t; 七百司会 ) I
I
L0
þ偽仏関 i牽~:
て‘庭長まわる 9
色柄拘脅エ襲五むほ， 仏，… J レら m い鞍~重~認 1f
あ
る tぎ1
:
'..持続 ω 的ゐ ゐ仰 吋付 手第 五支 写 !
?
2
ご
.t~，，:苧 I "，'þ~
，
()'l@宥 )~l~ 軒目ん春、
'
a
.
ρ、
らあ J!J
ρ
p
aFPF見守 t?-qA・3FL
i
プ:
一
司
2
4
宅
nhu
合的'
V
I
A
i μ A 的不条最善
J~L ， i) l!)長くごと ιり二ーケ純金J
宇
一
聞
か異的 7
L、/
1し
議
4
f
l1
'
;
-前 t二肉 l ¥'.わゆ} .~手fmrJM9f
む
仏・吋帽 2
.1'14
7'l仏 ，
~
}
f
.f
スドリ、わ夕、
3
，
，
M
F
S
事 均 弘.oUL 等玖
ぐ
ご Z
NF 32SM判 制
:
・
国
C 与えラム 3
内
.
)
0
0
(
6
t.:T
(
f
-J4
ょ"
1 長r o，
広イ:t，:""，)
(
t
Y
.
，
.
， )7)
2
-(1
i
ωψω'¥411 ..6io改
1+之
だs
'
抑制附働寺
伶仇倒的内晶J;;:"究れ場長壁織でゆ
P
伽ゐ/よ解毛明"て
u、
曹
f仲 間
守閣 >
f
z
. 1:伽併勺
A
~aKMず締法八の þrtØ1 '
e
c
)
;
v
(
. ~か r;. f
f
'I宥 ρ、“良L為'l.J.ぺ~.
3
{
z <<~. )安法的，~ I京
子む倒吋んペ2. I て肉す b 上初手1A li~
浮島/令 i
!
: elて?寄与吋
d44JG7&)&2・勺幻
.
r
w
t
&
内
d雪
h
2
. d典 的 。 ゐ U A " i
門即・伽為的事乎働
党努患~)
右閥抗ょう κ ゐ同;
f K<<
て 似 cYを 刃 向 i
.~ e I
ぐ uy 鈎者北ソ丘 I
発的
~ 2
事搭算企 t事
昔此Ø'''"~( 議文
』ぐ υ~υ
O
'
l
ゐ1
.
&
:
/ K
..8a~持と肉苓B 1
:
.1
i~.
t(κ) I
:
!
，
諒 ミ訓ょう
，
1
i
'
i，
一
'
"y
t
.
似c.
O')
を ρ p.
i3栓
VYt. 姉，治的手車 ，， ~p いんVJl.尾崎 t (i;)~，母 I之本 3
2う
す
; t 抗議~~、繕て‘';'lJ，
，~Ø\
i
)
]
'
(
k
，
る 〆?吋伊句。Eω
'
)
(
X ハ 品 作 用 ら 的 "τ告 す 下 ι
. 作 用 内 向:
'
J
国'
r
V
J
φ主 壬 前 H ~去
二定例不易 2ぇ
-pU7身ラ和
zよ
J
3
l
z
f
k，J〉j之 ミ
…
J
.
S J M
"t 1~ ωぜ01":.川崎え ~CA のを腕tf) ;Aえ ノ ふ れ ・ を 朗 い て
~'Je4 伊相tVJ
柿下$)'シめま手織か‘ f
襲らおな
3. 警高 f可約例議b 本 ι
Ht:nM ('1r;(:z.).i
bあて
メイを ゆ
..AA.乏毛凡J争時 "'k，~見凌均的
ω
S u的 )
/$
I
J
J
h
f
r
f
t V抑制認め‘c
納ぷ納品Jω~
r
:バきーャ沢
鬼糸主制，
T3事・ :
}t
n
e
ド).11 ~
事長
(~紗け腕ゐゆv臥)
J
r1
、
季 pウ Uぷf
i
e
掛け 3
3
33-
/.)仇M-~て
ω
る
tち.
10" ‘~ゆ柑ヴ伽ザ4 tl"t
Ol Cわ‘聞か・・メ4~
"
特例他地..t~眠
，I吋的手るは内伺訟の
，ぎ")1
バ 乏 の 秒 ザ 問 、c
崎一一今大一
~(~イs:. ) 置 法 念 仏 地
pp旬
ち ん 抑 制 仰 い 河
1
1
1:.材山明、件、
Boundarycohomologyo
fl
o
c
a
l
l
ys
y
m
m
e
t
r
i
cv
a
r
i
e
t
i
e
s
S
t
e
v
e
nZ
u
c
k
e
r
1r
e
p
o
r
t
e
dont
h
eg
e
o
m
e
t
r
i
c出 p
e
cもso
f“
Boundarycohomologyo
f
l
nmyt
a
l
k，
Shim
町 av
a
r
i
e
t
i
e
s，
1
:C
o
h
e
r
e
n
t∞
c
0
1
芯NS
，t
oa
p
p
e
a
r
)も
，h
ef
i
r
sもo
fas
e
r
i
e
so
fa
r
も
i
c
l
e
sw
r
i
t
t
e
nj
o
i
n
t
l
yw
i
t
hM
i
c
h
a
e
lH
a
r
r
i
s
.
Tos
もa
t
et
h
emainr
e
s
u
l
t，
wemusti
n
t
r
o
d
u
c
eal
o
to
fn
o
t
a
t
i
o
n
.L
e
tG beas
e
m
i
s
i
m
p
l
ea
l
g
e
b
r
a
i
cg
r
o
u
pd
e
f
i
n
e
do
v
e
rQ，D t
h
es
y
m
m
e
t
r
i
cs
p
a
c
eo
fnon-compact
t
y
p
ea
s
s
o
c
i
a
t
e
dt
oG(~) quaL
i
eg
r
o
u
p，
f叩 a
r
i
t
h
m
e
t
i
cs
u
b
g
r
o
u
po
fG(Q)，
and
M=f
¥D. Weassumeh
e
n
c
e
f
o
r
t
h出 品 D i
sH
e
r
m
i
t
i
a
n，
s
ot
h
a
tM i
sacomplex
q
u
a
s
i
p
r
o
j
e
c
t
i
v
ev
a
r
i
e
t
y
，
a
sshowni
nt
h
eworko
fB
a
i
l
yandB
o
r
e.
l
L
e
tP beamaximalQp
a
r
a
b
o
l
i
cs
u
b
g
r
o
u
po
fG，
andM pt
h
ea
s
s
o
c
i
a
もe
dbounda
r
ys
t
r
a
t
u
mi
nt
h
eB
a
i
l
y
B
o
r
e
lc
o
m
p
a
c
t
i
f
i
c
a
t
i
o
n
.A
s
s
o
c
i
a
もe
dt
ofp¥Dpi
sat
o
w
e
r
o
fs
p
a
c
e
s
齢
幽
噌
z
，
‘
、，
a
，
，
、
‘
・
晶
E
ルib2AP2 ルtp，
i
nwhicht
h
ef
i
b
e
r
so
f7rl a
r
ea
b
e
l
i
a
nv
a
r
i
e
t
i
e
s(
s
o7rl お p
r
o
p
e
r
)
;均 i
sap
r
i
n
c
i
p
a
l
a
l
g
e
b
r
a
i
ct
o
r
u
sb
u
n
d
l
e，w
i
t
hf
i
b
e
rTp comingfrom出 ec
e
n
t
e
ro
ft
h
eu
n
i
p
o
t
e
n
t
r
a
d
i
c
a
lo
fP
.A c
e
r
t
a
i
nd
i
s
c
r
e
t
eg
r
o
u
pfl，
pa
c
t
sont
h
et
o
w
e
r
;i
ta
c
t
sf
r
e
e
l
yonM，
j
(
w
i
t
hf
t，
p¥M
，
j =fp¥Dp)，t
r
i
v
i
a
l
l
yonM p，andh
o
r
r
i
b
l
yonAp(
u
n
l
e
s
sf
t，
pi
s
もr
i
v
i
a
l
)
.
L
e
tTpC Tp
，
ぉb
eaft
，
p
e
q
u
i
v
a
r
i
a
n
tsmootht
o
r
u
se
m
b
e
d
d
i
n
g
;ぬe
np
u
t
Mb
，
E=Mb×TPTp
，
L
aTp
，
:
Eb
u
n
d
l
eQ
v
e
rAp. AsP v
a
r
i
e
s，t
h
ea
b
o
v
eg
i
v
e
st
h
e“
b
u
i
l
d
i
n
gb
l
o
c
k
s
"f
o
r
c
o
n
s
t
r
u
c
t
i
n
gasmootht
o
r
o
i
d
a
lc
o
m
p
a
c
t
i
f
i
c
a
t
i
o
nM o
fM.
NeM，M Z 1 = M h - M
〉bethed
i
v
i
s
o
rMinhi
勺，i
nM j
，
，
:
E
'Z
2afl，
p- a
nd
呼 h
e
r
ed
e
n
oもe
sもhemaximalcompacts
u
b
g
r
o
u
p
T
p
i
n
v
a
r
i
a
n
tn
e
i
g
h
b
o
r
h
o
o
do
fZl(
o
fTp)，
andZ3口 Z2-Zl(
ad
e
l
eもe
dn
e
i
g
h
b
o
r
h
o
o
d
)
.
Fd
e
n
o
t
et
h
ec
a
n
o
n
i
c
a
le
x
t
e
n
s
i
o
nも
oM j
，
.
:
E(
1叫 e
r，a
l
s
oも
oM)o
fan叩 t
o
L
e
t:
FonJ
v
iト whichi
sa
i
w
a
y
so
It
h
eIormπ2&I
o
rsomev
e
c
t
o
r
morphicv
e
c
t
o
rb
u
n
a
i
e:
:onAp.Wer
e
c
a
l
lt
h
a
taθ
c
l
o
s
e
d(
0，
k)-formηonM w
i
t
hv
a
l
u
e
si
n:
F
，h
a
v
b
u
n
d
l
et
i
時 m
oderategrow
ぬ叫i
凶 凶y(
I
i
k
eana
u
t
o
m
o
r
p
h
i
cf
o
r
r
r
仏d
e
f
i
n
e
sacohomology
!
F
)
.Letr
[
η
1
]bei
t
sr
e
s
t
r
i
c
t
i
o
ni
n
c
l
a
s
si
nHk(M，
(
2
)
Hk(ft，
p¥Z1302Ht.p(Z131);
andηp も
sc
o
n
s
t
a
n
も
もermonfp¥D，w
h
i
c
hh
a
sar
e
s
t
r
i
c
t
i
o
nも
oZ2(
b
yr
e
d
u
c
t
i
o
n
t
h
e
o
r
y
)
. Wecomp凶 et
h
ecohomologyg
r
o
u
p
si
n(
2
)，
n
o
to
n
l
yf
o
rZlb
u
ta
l
s
of
o
r
Z2andZ3，
andp
r
o
c
e
e
dt
oshowt
h
a
tt
h
e
r
ea
r
ec
o
m
p
a
t
i
b
l
ep
r
o
j
e
c
t
i
o
n
s
Hk(f
げ¥
Z
j，
!
F
1
)→ H;l，P(Ap，
t
:
)・
(
a
ni
s
o
m
o
r
p
h
i
s
mwhenj=1
)
.
T
y
p
e
s
e
tbyA，MS
却
18-
E
2
Htp(AP35).
Theorem.r[71landhplhave6
h
esameimagei
n
，
T
h
i
si
st
h
ea
l
g
e
b
r
a
i
ca
n
a
l
o
g
u
eo
fもhe(
e
出 i
e
r
)t
o
p
o
l
o
g
i
c
a
lr
e
s
u
l
tf
o
rdeRhamc
o
h
c
ト
m
o
l
o
g
y
.
Top
r
o
v
ei
t，
wehadt
omakeas
y
s
t
e
m
a
t
i
cs
t
u
d
yo
fd
i
f
f
e
r
e
n
t
i
a
lf
o
r
m
sont
h
er
e
a
l
quo
もi
e
n
t
so
ft
o
r
u
sembeddings，
andhowi
tp
e
r
t
a
i
n
st
o(
1
)
. Asaf
i
n
a
lremark，
we
noもet
h抗 o
n
ec
a
nw
r
i
も
e
H
;
l，P(Ap，
&
)笠 EDH;;!(Mp，
R
q
(町 )
.
E
)γ
f
o
r出 eL
e
r
a
ys
p
e
c
t
r
a
ls
e
q
u
e
n
c
ei
s， 出
I
I
Iも
h
et
o
p
o
l
o
g
i
c
a
lc
郡司
，
c
a
n
o
n
i
c
a
l
l
ys
p
l
iも.
Qd
i
-
フラクタル集合上のラプラス作用素のスペクトル解析
大阪大学
基礎工学部
福島正俊
本要旨ではフラクタル集合上のラプラス作用素が導入された背景と経過を述べ
る.
フ ラ ク タ ル 集 合 は B.Mandelbrot[lJの導入した極めてあいまいな概念、であるが、
ここでは自己相似集合 即ち距離空間上に与えられた有阪個の縮小事像を不変に
す る コ ン パ ク ト 集 合 拡 を 指 す も の と す る (J.Hutchinson[2])。 与 え ら れ た 縮 小
写 像 の 不 動 点 の 集 合 Fo の m 図 反 復 像 を Fm と す る と 有 限 集 合 Fm の 極 限 の 閉
包 が 誌 に 一 致 す る 。 伊jえば Sierpinski gasket K は 辺 の 長 さ が 1 の 正 五 角 形
の漬点、を不動にする 3 つ つ の 1/2 相 似 写 像 で 定 ま る 。 辺 の 中 点 を 結 ん で 得 ら れ る
4 つ つ の 小 三 角 形 の う ち 逆 三 角 形 を 除 き 残 り の 8つ つ の 小 三 角 形 に 同 じ 操 作 を 施
すo この操作の繰り返しで得られる辺の長さが 2
-m の 小 三 角 形 の 頂 点 の 合 併 が
Fm に 他 な ら な い 。 フ ラ ク タ ル 集 合 の 数 学 的 研 究 は 当 初 そ の ハ ウ ス ド ル ブ 次 元 等 の
鶏何学的性質に関心が持たれたが、物理学者逮はそれを熱や披動を伝播する媒体
と し て 捉 え る が た め に Fm 上 の random walk や 差 分 作 用 素 そ し て そ の 囲 有 儲 や 躍
有関数の系列に関心を払っていた。
伊jえば R.Rammal-G.Toulouse[3] は
Sierpinski gasket に 対 し て 、 正 規 化 さ れ た 国 有 億 分 有 の 極 限 と し て の 状 態 密 度
の 挙 動 を 観 察 し て gasket の ス ペ ク ト ル 次 元 を 定 式 化 し た 。 こ れ が フ ラ ク タ ル 集
合上の解析学の前史である。
80 年 代 の 後 半 か ら 始 ま る フ ラ ク タ ル 集 合 上 の 解 析 学 に 於 て は 確 率 論 的 接 近 が 先
行 し た 。 先 ず S.Kusuoka[4] が Sierpinski gasket K 上 の 拡 散 過 種 (path が 連
続 な マ ル コ ブ 過 程 ) を Fm 上 の 市 ndom walk の 極 限 と し て 厳 密 に 構 成 す る こ と に
成 功 し た 。 上 で 見 た よ う に rando'm walk の 空 間 scale は 2-m だが、
時間
m
scaleを 5- に 取 っ て speed up す る こ と に よ り 自 明 で な い 拡 散 過 程 に 収 束 す る ひ
こ の よ う に し て 得 ら れ た 拡 散 過 穂 は K上 の 拡 散 過 穫 の う ち 適 当 な 対 称 性 を 満 た
す も の と し て 特 徴 付 け ら れ gasket 上 の ブ ラ ウ ン 運 動 と 呼 ば れ て い る 。 ブ ラ ウ ン
運動が構成されたことはその生成作用素として
gasket 上 に ラ プ ラ ス 作 用 素 が
intrinsic に 定 義 さ れ た こ と を 意 味 し そ こ で 解 析 学 を 展 開 す る 基 礎 が 提 供 さ れ た
こ と に な る 。 ほ ぽ 同 時 期 に [4] と は 独 立 に S
. Goldstein[5] が gasket 上 の ブ
ラウン運動を構成したと発表したが詳しい証明は述べられていない。
その後
M.T.Barlow-E.A.Perkins[B]が そ の 別 構 成 を 実 行 し 推 移 確 率 密 度 の 精 細 な 評 価 を 与
え た 。 そ し て T.Lindstrom[7] は Sierpinsi gasket，Koch curve，snow flake
等 を 含 む 有 限 分 岐 的 な 自 己 相 似 集 合 の 族 と し て nested fractals な る 族 を 導 入
し Barlow-Perkins の 方 針 に 沿 っ て そ の 上 の ブ ラ ウ ン 運 動 を 構 成 し た 。
一方、 J.Kigami[8] は gasket 誌 の 場 合 に Fm 上 の random walk に 対 応 ず る
差 分 作 用 素 の 繰 り 込 み 極 阪 と し て 得 ら れ る C(K)上 の 非 有 界 作 用 素 と し て ラ プ ラ ス
作用素を誼接解析的に構成した。
続 い て M.Fukushima T.Shima[9] は
、 K 上の
任 意 の 実 関 数 の 九 へ の 制 限 に 対 し て random walk に 対 応 す る 二 次 影 式 を 考 え る
と そ の (5/3)m 倍 が m と 共 に 増 大 す る こ と に 在 意 し 、 そ の 極 限 が 有 限 と な る K
上 の 関 数 族 上 に 正 則 で 局 所 性 を 持 つ Dirichlet 形式を構成した。
現在では
Dirichlet 形 式 を 作 る こ と が ブ ラ ウ ン 運 動 や ラ プ ラ ス 作 用 素 を 構 成 す る 最 も 手 っ
とり早い方法であることが知られている。
実際 S
. Kusuoka[
10] は Lindstrom
の nested fractals に 対 し 、 ま た J
.Kigami[11] は post critically finite
1
附
-20-
se1f-simi1ar sets と 呼 ば れ る 有 限 分 岐 的 な フ ラ ク タ ル 集 合 族 に 対 し て こ の 方 法
を系統的に展開している。
このように有限分岐的なフラクタル集合上のラプラス作用素が厳密に定式化さ
れたのに伴いその間有健，固有関数，スペクトルの研究が進行し，通常のユーク
[
9
J，[12
J幽-[18J).
リッ空間の場合と異なる特異な性質が解明されつつある (
[
1J B
. 河ande1brot， Fracta1s， form， chance， and dimension， Freeman andco，
San Francisco，977
[
2
J J.E.Hutchinson，Fracta1s and se1f simi1arity，Indiana Univ. 時a七h.J.
1981
)
， 713・747
30(
[
3
J R.Ramma1 and G.Tou1ouse，Random wa1ks on fracta1 structures and
perco1ation c1ustars，J.Physique Lett.43(1982)，L13 L22
[
4
JS
. Kusuoka，Diffusion processes on a fracta1，in "Probabi1istic
ed.by K.lto and N.lkeda，Kinokuniya
methods on Mathematica1 Physics"，
and North.Ho11and，1987，pp.251-274.
[
5
JS
. Go1dstein，Random wa1ks and diffusions o
n fracta1s，
in"Perco1ation
d
. by
theory and ergodic theory of infinite partic1e systems"， e
H.Kesten， IMA Math. App1.8， Springer，時 ew York， 1987， pp 121 128.
[
6
J M.T. Bar10w and E.A. Perkins，Brownian motion on the Sierpinski
543 623.
gasket，Probab.Th.Re1.Fie1ds 79(1988)，
[
7
JT
. Lindstrom，Brownian motion on nested frac七a1s，Memoirs of Amer.
Math.Soc. 420，1990
Japan J.App1.
[
8
JJ
. Kigami，A harmonic ca1cu1us on the Sierpinski spaces，
見a
th.6(
1989)，
259 290
[
9
JM
. Fukushima and T.Shima，On a spectra1 ana1ysis for the Sierpinski
1 35
gasket，Potentia1 Ana1ysis 1(1992)，
[10J S.Kusuoka，Diffusion processes on nested fracta1s，Lecture Note at
Nankai Univ. 1989，to appear in LNM Springer
Harmonic ca1cu1us on p・c.f. se1f-simi1ar se七s，to appear
[11JJ. Kigami，
in TAMS
[12JT. Shima，On eigenva1ue prob1ems for the random wa1ks on the
. Indus.App1.Math.8(1991)，
127・141
Sierpinski pre-gasket，Japan J
[13JT. Shima，Lifschtz tai1s for romdom Scrodinger operators on nested
fracta1s，Osaka J
. Math.29(1992)，749-770
[15]M. Fukushima，Dirich1e七 forms，diffusion processes and spectra1
dimensions for nested fracta1s~in "Ideas and methods in mathematica1
eds.by A1beverio，Fenstadf
analysis，s七ochastics， and app1ications"
Ho1den， Lindstrom， pp151-161， Cambridge Univ. Press 1992
[
16JJ• Kigami an
d 耳.L.Lapidus，羽 ey1's prob1em for the spec七ra1
distributions of Lapa1acian on p.c.f.se1f simi1ar fracta1s， Commun・
持a
th.Phys，
to appear
[17JL.Ma1ozemov，The in七egrated density of states for the difference
Lap1acian on the modified Koch graph，Commun.
欄
剛
開
帽
嗣
鍋
附
124
qL
1
g
)
オイラーヒ碍円曲保(平荻汽
久
"G・・得
1Atpムι 均(英択ノ SfM/~仇 )
c
しん
イポ
一
一
一
一
.
'
1
.
1
)
ユ/わ
斗十
γ山
之内九
え
fi
イ ilL
旬
h
q
r
u
Jd。
、
才
HA
持
d一、
、針ゑ
ノj
を自だ弘(工)，
J
:
ゃれいる.
6月30
く1)
ι=と 色
E
必工がい
なの
E
ム納チ5
l'
才 Ji
f
-島 ， 作 4
2ト 札 ヨ )~.
/
1f午
J
にl
q1 b
0) 2
.0 マヱ 4
1 ) 三 併 ヒ l1
.1
守
て
・ ¥1 る
うんま芝 f犬、 é~γ・\:1 ~山. (1) f程代・ B
.
jI
=
-おL5 白 ~fj. ~
彼の才乙玄 1"1毛 5
3
~う
ノ
ケラ主とし<...
(日。川魚
ε用け
(
ょ
)
持円曲ヰ~<...εj弔Il;?
(3)
c
め の 才 5玄 r
の 立 っ ち ヒ y.;1ろ '1 ・・~
ρ) "
E=
の
角
，
I
=
-
i
勘印し之才広の下両
出土品三と E 詑 e!l す~.
Hotf ~ 1
孝之ヒゆ!
仁 1，
ぇ
，
3.r
〕
Ef
fk 後
Cl?' ωJぇ o 1
.2.4 {) 7J¥"
J
Q)
/
どX)~)
(Z，
.
F1
ヰ
片 ょ の .=-;k
安淘の l引の之;~ ~1手ん宅、.
b(
.
h(z.)) -=:- Q(Z) ~
( め
Hotf ~埼くを z っ ι 'j :ん/‘ベ之.
f
J
.
.
.
t~第7 1とす
a
もの.
会之ミりよ
3五
I
:く
)
ごミミ九万
Z
h
引 当 行 ど
C =[
2A;.乙; ~
島和-<.
又
~，
1
J
1
に
杢
芸
ZG乙
c
I
V(
(
Z
):
:
:
ん (z.))
;
;
>
>
Xxk
"x I
¥
"
そふ)=
(n ， 伊)ベh~('Z))ノ Q， C~)ノ Q7. Cサ
ω
(
&
，
)
C
り
之
.
，J
と‘・定暴c
ぐχノt{，伊) E
鴎) ょう
I~、歪 {-;r:... 1主主才智久、
(M2
て
b
ど
り
'
2
.
.
(メ
)=
- 1/
主;~足すま
たり才 z
工 主 ( り 作 用 11 J
~筒
( JI 之 ， 3/~) I>\"1打
t
}
vJ
.
ーすノ (
I
) ヒ持月耐え
i
二ゐ
正 (2，b
) ヒす
I
tJ 待 の 令 作 是
ア-1 J萄 臥
E
e
:
舟 )I 'ê..司 ~L
c
C/D
(DI~
J
芝)符は
との
J
C
I
q"
' ιC
J 之
'
I
!
J
o'
f
I
仰
のr
-d
ιI
1 h
J
e
<
J~
)
J
'
"
四
>0
P
C
<
r
:
)
.
"
(1)
l
守搾丘が
s-)のえ f
宅
;
;
. ~J
"
3
，
4 1'
)〆得:>I
}
L~
2
.
.
つ字ツ
J a.~' 0 4 ぢ 勺
巴 (μ)
CI〆ム，
入l ::.の;を著作 l
釘 lz
.
.
.
.
最
お
の
負
手
P
a
C
E(
2
; ，
)
斗
れ衿ふ詳》が?号〉小ヨの之、
と
才 の供
E，
2
( ~)の
(
1
'
)
の
s
(C-
=-。五〉にレ t
丘三ヒ 6¥"μ 、
3
と~ .
l
く1
'
0
) t~..
I
す
i
乏 t を
k ~-=とはずく、、日はふ b"
λμ
-23-
J.
{
、
、
.
J
弘文官弘之 3-fP33e7x 十 之 !
?33.r・ 1
3
¥
ノ
包
，，，，
fIL
、
，
?大杯 j (0 の
¥
N
"
e
iω十い山崎帯電J1 : 本 相 い
REGULARITYINTI
l
¥
在E OFSOLUTIONST O
NONLINEARSCHRODINGEREQUATIONS
NAKAOHAYASHI
Departmento
fMathematics，
Facu
1
t
yo
fE
n
g
i
n
e
e
r
i
n
g
，
Kiryu3
7
6，
Japan
GunmaU
n
i
v
e
r
s
i
t
y
T
h
i
si
st
h
ej
o
i
n
twor
主w
i
t
hP
r
o
f
.K.Kato(Departmento
fMathematics，
Facu
1
t
yo
f
S
c
i
e
n
c
e，
Osakaむ叫v
e
r
s
i
t
y
，
，
Tお
o
y
戸
'
0
1
部1
協a
ka560Ja
;
却
.
p
a
;
温
吋
n
1
)
Wec
o
n
s
i
d
e
rt
h
er
e
g
u
l
a
r
i
t
yo
fs
o
l
u
t
i
o
n
st
ω
o
即
n
1
叩o
叫
n
u
i
n
e
a
;
位
rS
c
h
r
品δ
d
i
加
n
g
e
re
q
u
a
t
i
o
n
so
ft
h
e
form
噌
EF
h
、
、JE
41
(
t
A
tAUZ山)，
u
(
O
)=ゆ X 巴 R
包十
(
t，
x
)巴 股 × 設 へ
へ
whereF i
sap
o
l
y
n
o
m
i
a
lo
fd
e
g
r
e
epw
i
t
hcomplexc
o
e
錨c
i
e
n
t
s
.Wep
r
o
v
et
h
a
ti
ft
h
e
ti
si
nsomeGevreyc
l
邸 s
，
t
h
e
nt
h
e
r
ee
x
i
s
t
sap
o
s
i
t
i
v
ec
o
n
s
t
a
n
tT s
u
c
h
i
n
i
t
i
a
lf
u
n
c
t
i
o
n<
t
h
a
tt
h
es
o
l
u
t
i
o
n包 o
f(
1
)i
s担 t
h
eGevreyc
l
a
s
so
ft
h
esameo
r
d
e
ra
si
nt
h
ei
n
i
t
i
a
l
d
a
t
ai
nt
i
m
ev
a
r
i
a
b
l
etε[-T
，
T
]¥
O
.Inparticularweshowthati
ft
h
e凶 t
i
a
lf
u
n
c
t
i
o
n
ゆhasana
n
a
l
y
t
i
cc
o
n
t
i
n
u
a
t
i
o
nont
h
ecomplexdomainr
Al，
A2 = {
z巴 Cn;zjzzj+
i
y
，
j 一 ∞ < Xjく 十 ∞ ，
-A
)
I
X
j
l<Yj <Az十 (
t
a
n
α
)
I
X
j
l，
j= 1
，
2，
'
"，
n，
Az>
z-(t組 α
O
}，
where0<α=sin-1A1<π/2and0<Al<1
，
t
h
e
nt
h
e
r
ee
x
i
s
tp
o
s
i
t
i
v
ec
o
n
s
t
a
n
t
Tandssucht
h
a
tt
h
es
o
l
u
t
i
o
nuo
f(
1
)i
sa
n
a
l
y
t
i
ci
nt
i
m
ev
a
r
i
a
b
l
etE [-T
，
T
]¥
oand
h
a
sana
n
a
l
y
t
i
cc
o
n
t
i
n
u
a
t
i
o
non{
z
o口 t十 i
T
jα
1rgzol<s<π/2，
l
t
l<T}，
where
、
1
2
A
l
2Az
1+.
y
2
A1'3A
J
2
e
(
1十 R)
z+.
sinβ<min{~
when1
叫 <R.
Fort
h
ep
r
o
o
f
，
s
e
e[
1
]
1
.N.
H
a
y
a
s
h
iandK.Kato，
R
e
g
u
l
a
r
i
t
yi
nt
i
m
e0
1s
o
l
u
t
i
o
n
st
on
o
n
l
i
n
e
αrS
c
h
r
o
d
i
n
g
e
r
，
t
oa
p
p
e
a
ri
nJ
.Fun
c
t
.Ana
l
.
.
e
q
u
a
t
i
o
n
s
-24-
EVERSION OF THE CUBOCTAHEDRON
FRANCOISAPERY
Thef
i
r
s
tp
o
l
y
h
e
d
r
a
le
v
e
r
s
i
o
no
fもhes
p
h
e
r
eh
a
sbeenc
o
n
s
t
r
u
c
t
e
dbyB
.Morinusing
we
as
e
q
u
e
n
c
eo
fe
l
e
m
e
n
t
a
r
ymovest
odeformap
o
l
y
h
e
d
r
o
nwitht
w
e
l
v
ev
e
r
t
i
c
e
s
. Here，
wantt
oc
o
n
s
t
r
u
c
ta
n
o
t
h
e
rv
e
r
s
i
o
no
fs
u
c
hap
o
l
y
h
e
d
r
a
ls
p
h
e
r
ee
v
e
r
s
i
o
nd
e
f
i
n
e
dbyo
n
l
y
twos
t
e
p
s，
n
a
r
n
e
l
yt
h
ef
i
r
s
tone
も
，heso-calledpolyhedralgastrula，andtherniddleone，
t
h
es
o
c
a
l
l
e
dp
o
l
y
h
e
d
r
a
lh
a
l
f
w
a
yr
n
o
d
e
l
. Thee
v
e
r
s
i
o
ni
so
b
t
a
i
n
e
dbyl
i
n
e
a
ri
n
t
e
r
p
o
l
a
t
i
o
n
s
ts
t
e
pandt
h
er
n
i
d
d
l
es
t
e
p，
andbyas
y
r
n
r
n
e
t
r
yp
r
o
p
e
r
t
y
.Here
betweenv
e
r
t
i
c
e
so
ft
h
e五r
1
t
:
i
st
h
er
e
s
u
Theorem1・Theree
x
i
s
tapolyhedronC andah
o
r
n
o
t
o
p
yC X [
1，
1
]~ ]R3 whereC i
s
dennedbyat
w
e
l
v
ev
e
r
t
i
c
e
st
r
i
a
n
g
u
l
a
t
i
o
no
ft
h
es
p
h
e
r
e
，
s
u
c
ht
h
a
t
:
。
)f
t=f
(
.，
t
)i
sl
o
c
a
l
l
yo
n
e
t
oone
，andaf
E
nei
nr
e
s
t
r
i
c
t
i
o
nt
oe
a
c
hf
a
c
eo
fC，
f
o
r
al
1tE[
0，
1
，]
i
)f(x，
・
)i
sa
f
E
nei
nr
e
s
t
r
i
c
t
i
o
nω [
0，
1
，] f
o
ra
l
lxE C，
(
i
i
i
)!
Ii
sane
r
n
b
e
d
d
i
n
g(
o
n
e
t
o
o
n
e
)，
(山)出e
r
ee
x
i
s
t
sasymmetryσ w
i
t
hr
e
s
p
e
c
tt
oap
l
a
n
e，
s
u
c
ht
h
a
t
。
叩
t0σOρ-1
f
t= ρof
v
tε[-1，
1
]，
wherepd
e
n
o
t
e
st
h
er
o
t
a
t
i
o
no
fa
昭l
eπ/2aroundt
h
ev
e
r
t
i
c
a
la
x
i
sδ
2
.
ThepolyhedronC i
sacuboctahedronwheret
h
es
q
u
a
r
ef
a
c
e
shavebeena
p
p
r
o
p
r
i
a
t
e
l
y
r
t
h
o
g
o
n
a
l
d
i
v
i
d
e
di
n
t
otwot
r
i
a
n
g
l
e
si
ns
u
c
hawayt
oaddane
q
u
a
t
o
r
i
a
ls
q
u
a
r
e， 初 白woo
e
d
g
e
sont
h
ep
o
l
a
rs
q
u
a
r
e
s
. Theh
a
l
f
w
a
ys
t
e
pi
st
h
es
a
r
n
ea
si
nt
h
ep
o
l
y
h
e
d
r
a
lM
o
r
i
n
'
s
e
v
e
r
s
i
o
n，
andt
h
es
t
a
r
t
i
n
gs
t
e
pi
sg
i
v
e
nbyap
o
l
y
h
e
d
r
a
lv
e
r
s
i
o
no
ft
h
ee
r
n
b
b
e
d
d
i
n
go
ft
h
e
knowna
sg
a
s
t
r
u
l
ai
ne
r
n
b
r
y
o
l
o
g
y
，
whereもhen
o
r
t
hh
e
r
n
i
s
p
h
e
r
ei
spushedi
n
s
i
d
et
h
e
s
p
h
e
r
e，
s
o
u
t
hone，
w
h
i
l
et
h
ee
q
u
a
t
o
r
i
a
lc
i
r
c
l
eI
ss
h
r
i
n
k
e
d
.P
r
o
v
i
d
e
dwitht
h
i
se
v
e
r
s
i
o
n，
wea
r
ea
b
l
e
t
op
r
o
v
et
h
ef
o
l
l
o
w
i
n
gt
r
a
n
s
v
e
r
s
a
l
i
t
yr
e
s
u
1
t
.
Theorem2
. Thef
o
r
e
g
o
i
n
gpolyhedr
a
1e
v
e
r
s
i
o
nfi
st
r
a
n
s
v
e
r
s
a
1exceptf
o
re
l
e
v
e
nv
a
1
u
e
so
f
ta
twhicht
h
et
r
a
n
s
i
t
i
o
ni
sg
e
n
e
r
i
c
. Usingp
o
l
y
h
e
d
r
a
1v
e
r
s
i
o
n
soft
h
es
i
xg
e
n
e
r
i
ct
r
a
n
s
i
t
i
o
n
s
，
wea
r
el
e
a
dt
ot
h
ef
o
l
l
o
w
i
n
gs
e
q
u
e
n
c
e
:
Do(DoDo)(DoDo)(T十 T+)(D1D1)(D1D1D1Q D1
D1
)
(D1D1)(T-T-)(D2D2)(D2D2)D2・
P
a
r
e
n
t
h
e
s
i
si
n
d
i
c
a
t
et
h
a
t出 ec
o
r
r
e
s
p
o
n
d
i
n
gg
e
n
e
r
i
ct
r
a
n
s
i
t
i
o
n
so
c
c
u
rs
i
r
n
u
1
ta
n
e
o
u
s
l
y
.
N
o
t
a
t
i
o
na
r
et
h
o
s
ei
n
t
r
o
d
u
c
e
di
n"Ana
l
g
e
b
r
a
i
ch
a
l
f
w
a
yr
n
o
d
e
lf
o
rt
h
ee
v
e
r
s
i
o
no
ft
h
e
T
y
p
e
s
e
tb
yA MS-'I部
-25-
2
FRANCOISAPERY
s
p
h
e
r
e
"，
TohokuMath. J
.Vo
1
.44(
1
9
9
2
)，
1
0
3
1
5
0
.N
o
t
i
c
et
h
a
ti
ti
sp
o
s
s
i
b
l
et
osmooth
and，
t
h
a
n
k
st
oもhei
n
f
i
n
i
t
e
l
ymanye
x
t
r
a
t
h
ef
o
r
e
g
o
i
n
ge
v
e
r
s
i
o
nbyas
t
a
n
d
a
r
dp
r
o
c
e
d
u
r
e，
wecane
a
s
i
l
ys
i
m
p
l
i
f
yt
h
es
e
q
u
e
n
c
eo
fg
e
n
e
r
i
ct
r
a
n
s
i
t
i
o
n
s，
d
e
g
r
e
e
so
ffreedoms
oo
b
t
a
i
n
e
d，
s
ot
h
a
ti
tb
e
c
o
m
e
s
:
Do(DoDo)(T+T十 )(D1D1D1QD1D1)(T-T-)(D2D2)D2・
Duringt
h
ep
r
e
v
i
o
u
ss
i
m
p
l
i
f
i
c
a
t
i
o
叫 t
h
ed
o
u
b
l
es
u
r
f
a
c
e(immersedi
nR4)o
ft
h
ee
v
e
r
s
i
o
n品d
p
o
l
o
g
i
c
a
l
l
ychange，
a
swecanc
h
e
c
kbycomputingi
t
sE
u
l
e
rc
h
a
r
a
c
t
e
r
i
s
t
i
c，
a
c
c
o
r
d
i
n
g
n
o
t七o
t
oMorset
h
e
o
r
y
:
χ=5-9十 5=3-5十 3口1.
F
.
S
.
T
.，
F-68093MulhouseCedex，
F
r
a
n
c
e
.
ワ
白
。
円
ヲゴえラ才みゅよの支備五孝メ語講iZJlごつけて
才l
司法丈、工
土危こ
f主がよ
r~l 設/門 3 主 コ
ン
ハ /
71万れど乙争 1
3
ι イ本ノ flを M よ
1
}
の華街措ょ~ ~1Jo
f
f
.
:
:
J
2ぇ?
;?:?ゎ問~~ヵぐ白糸11 乙7s L L;.h- Jo
7
'J
'
)
イJ
t1
1
ヨ
何 め は 井B (i7r門) 1
/
，
ペ
パ m袋、何本毒立等)ヒノ
問践す
η
fコン/門ト孝外子手存)UJ
1
}
-号
室
ハ
存λノ
マl勺季折り靖よち)の f
芝1
{，いおか'.t0
このたイ可ず二党の Jうたふま穿〆 M ~。
'
i
!iI
-(P
Iωt
e
)f
内S-Jerがe
Sω
I
)
，
ii 門ヨが
下常事印字解て羽れ乏ノ
1
ト7 上的 C ペ知事街づf て、コン/マヶ f~をけ奇芹かれ l 列島ら ~-z: 1t13行〕パ
!可知之、 ω。
ー
砂
伊豆 (Ghjsノ広ゐ〉 介イヵと閉ゆ lbη 栄作品/じがしヒ j可知 τいが戸ノ
門 μc初予必ずコン川崎町~r-h 片手のI d
)fj.þ られ-Z: t13 ぞれレ乙向井~ l'
:
<
1
!
>~
0
五の立 7 の;:r~lt. I亡あらわ川雰宿 f手 J ~2τ い定 fxす~
手先滞針均た詩作鴻ょ主
!
.
.
V
{ピ:釘奇 J，
'
p
;1
'
ノ
f
ア
7
1イシ本書立件/:r-者手長 j
渇よ)をヂ寺フ。
6
ユ支j喜7
;
1与
(H~ j
I)モヲケる今持{本 ηC見知孝信乞す 3 こ り さ {11，
引
メ
訟
で，
のt
J
l
1
}
皮7
1
量 的， ~) {
;
}
:
.)/
R3的/ポ/こよ 3穿
i
J
')
'
1そ
れ業七月よi
X
.
=f1/~
l会I H
I
Aμ5v!urずと l さ j3 æ う存~) /;.):えち才ネ{ヌt't"h3.
:
r
.¥
1<
'らずみ牧奇j
えl亡舟 1
)1
与i0 ごこ τ、
は
長 t筒学忘 z
Z
L
七れん
一勾立に /-:J..} XIt
0
Q
淳
ゑf
1
f 門 J~d 〆 Zイあ f ぁ 3 è.11-/
与令書派
)
切 Zb72平有株イピ!て二 lμf打診包 7
sμ
=
j
1
，
月
経
ユ
τ、
み3
.
:e
:
.
0
。
9
1.
:
/7
1
1
L
l
臼持 lをうるえよ。
一27-
-J
，
t
れぞチル
!おあて=滅的内 lニ
ア 7Tlげ 弘 3芽メ詰めぞテ、〉レヒ I之
ニ史《よ与元不為がを売元 ~9
N.
3を/土色 i系
内 ZS/3lょのゆ&パ、ンいレ kずし 七~N を N よ内 .1 )すI
I
ニ
だ
れ司、て をり孝信 τ‘〉人(町長室事 eJ!¥何不安約内角がどす 30 デ
之J
ヂdを
ò /'J のL1主的威信向 r，司川引相~)"努t て~ j
r;
1
仰 を ゆ ち 1 減ぽj
}
)
{
可 l二
ア7
r
イy '('~"3 fηZす3 I
刈を N の
ず l之よ 3I
あ
なJ
切 と れ とJ 門 ι
/
之/苧M
ガるふんι
ぜ才 ι
35
安宿本為 l 1M tいて".:f 3
7t付/ま l支
{
号7z
";p，リ/ヰ菱断的 1
:
:
. アファイシ fぉ 3
" 字'
1
1を乍デ匂ヒイ3，"v
H
c
立
つ
Q
9々結え
J三1..~がプラフも持 <2宇'c. I手 ノ パ 宅 ノ 主 宝 ))w1';"たイヨ {
t
号t'tii
レラス τ
、、切断 lτtち ら ふ 3 コ)//¥07ト今津手イフf N〆 ザ ) ブ ヱ lしト切切の
茅l
I
r
J
1乞ヂ奇?で何 3ごとをもう o
守宅らム完全号芽 ri 立のヒ声、 f
} ど訪れ
干 炉
M 宅グラ 7~'l 1ì {
ド
ヌ1 7
'宅 F
イよれ茅義的内 Iごアブアイ Y 冷葬宿 z
Ei
i
叶
コY/付十字を手芹 f
J
:
1
)
三
め
千刑判o
'
li
.I 門 l
均に会'f.めUJ.矛ム芹トラスの主主ゴ
τ
;ニ
之
のI
}主管乏付ちす
キめが、 {}1弘事 ~o
(
/
)/
'
v
fをゴ才、、す}Jdftl7
.'
(ろもふ 3多ヰぽ
N
;
;
)
:
.
S与のおゐ/叫、/レ
7.‘あ'3"
(
ユ
)'
1
'
を fJl二初日以禁傷苧/111手/ J
ザ
)I骨付 γ 主討。
[
:
3J
チ，
1
1 {N，
引)から t
ちらJt.3 そデル t~苛初
坊!乞勺1 I 手 I記{名7TU矛ぅ'~ 0
-28-
τ?みし
回
-
.h
1
究
，
，
f
i
，
a
t
{
、
，&2
、﹀，J
.
.
、
、
、
•
¥
¥
.
¥
c
c
i vuutt144L7h;へ ~ìA 州(~ ，L.~ trr.，
(V...tC"~(("!ぃ (tcuωι
L
.
(
.
心
ρ
パ
レ
J
い
ぺ
.
¥
し しレい‘
1
， ¥'1'へ¥
V
ト
ヤ
い
lλ
や
円
'
、
T
民
1、
(
<
.
.
，
同
鳥
c
.
，
<
し
.
ム
ι
¥
'j
μ
t
い
い
仇
叶
，
i .，札し叫 し吋ぜて巾r
e
V'
)
河T
仙
f
問
?
角
ζ
k り~'\\.\'~\x a
し
，"
l
ιレ ヤ
.rUtl
~
eν
刈
，
ぺ
f
れ
、
L，vtd
ぃi 勺 ヤ
I
I
J
'
:lけは ~~ v
，
)(~ J 1) t
(\~.t1tC'~Q.<\ ¥)¥叫 bihttvutJ
C
i
.
)
<C(¥刊
仁
へ
kr
i
(
， <.
も
し に 品 川 バL
! 3t-M
~t.t ふい七hvutd1{χ~'. _
J
H H
A
人
，
H
K
Y
1
3
1
A仙
c
JÎ;l-t，~
t
Y¥
¥'
¥~ú，.J川にいが
.
I
~_(t""~ 、J. 山
¥ιJhL1P14丸.¥ ~川〈吐\1 一'九 )MRA-
1
(
，
.
(Q
A
l
しはに t
) .
+
t
し
1
.
. (
パ (l'2~-:1て:h.. k[
7
(
¥
， ， λJ)( 一 九 j
l
'
) ，
h
.'..1. 'v¥ul，.'....¥0f
.¥ .
~~、~\<
，
¥
，
(
し
.
¥
.
，¥
.k
: 仁(ム
C (
いt
.
w'
¥
l
u 1
:
，
，
，
，
.k，~ ¥
内d
4ι\Hf'f~-\.ぐ
，
.
<
c
l
' I:~") ~ω心 :ω c'"，\. (
t
ヘ
，1}
t
l
{
匂ν
北山 (ω4f) みが ιし
、 十L ι\~'\ い j
，
ν C
改
ヘ
凡
hh 弘
E
}
ト コ 示e
叫
(
心e
l
) O(
吋
(
νい
川
) ιλM
切
u
刈
λ
ι
七乙 J λ 初 J
4
ト
￨
リω
い
4
ふ
い
ω
ん
，
1
い
ω
札
丸
t
L
い
川
川
υ
い
l
凶附山
刈
切
A
叫
ω
叫
t
川
恥
川
ル
叫
μ
伽
以
υ
ω
ω
μ
3
4
〈ι
4 告抗払仏i札ll<. ¥.似
.
.
I
.
A
ベ
;久 (
J
'
-へ 払ルム一¥】'
f山 1
山
; M
九
川
ω
(
，
川
色
，
/
，
ル}
叱
Tし いι~l~"
~\
t
L
，
，
)
t
t
司1
V
'(
ctZt
ム
山
ι
κ
.
1.t..
十
V
色
A
州…州
『
ι
吋
ef
心
(
州
何
り
'
¥
け
i
い
).
;
ぺd!
川
ι
吋
ωω
吋
UL
む
L
'
(
!
.
凶ぞ何ぞ
工141tVLX 叫ん附j.w~ .fけ
い νCl ~ a¥ ~kl
に
k
1
.
1
C.¥
A
ζ(
:
り
)
c
:
:
e
向イ
T
引
寸)
(
;
，
:
((\~'
ニ
ム
o
ι
(j，吋唯
l:
ト
w
.v
l
h
¥
AG
¥
γノ
¥ f'，c. J，， ~t
f
1
C
"
t
Q
(
γ
¥E
(ト V1 eLド
c
v
A
(
E
7
1
5
f
t
l
}
JJ
乙ド)
tご{j
¥
~“ノ
~t'-( o.
J
:
~
主 uι~" A
¥
.
¥
.
.対立
.~
、
) '
w
L
()
Wしい にミミ九人ベバ ¥
韓
三
三
ニ
手3
3
""，'，む \~~l
、
叫
'
¥
<
"
'
"
'
.
.
.
¥ ..¥ l
t
t
" ' c ' ぺ 色d・
.
'
1
.
芳
仁
三
ニZ之、
j
ed，.み'
三s
か~，ふ ω\\~
dkJM)
コけを町二モく
，
1
(
1
，
.)
.
eC~ ¥
T
t
)
t
d
t吋
1
/
C
¥
ぷ M
t
<
机1
れ
1
u
仏
ωi
い
"
Z
¥
汁
汁 t
，~(日 f ニとく司 i 〉 he 〈も，\仏 仁
い
ト
い
、 札
1
.
) E
¥
，
:
、C*
ι仏J
~'^いい
L
¥
心
石
" 大
ふ
内ω 〆
ふ
い
ム
1 u <t日山¥r.c1
.
白
〈
‘ え
.
n
. c
、J 山
し
，
^
，
い
人
¥
いa.}~"， ，司i
川
ちい、
.
.
H
り し
1
沌
¥
f
.
J
.
{ V
ω
(
¥
け
l
巾
イ
竹
i
，
.
.
Qα
VV
;
.
e(
ω
t
)
¥
e
代
刊
叫
k
向
c
i
川
)
ド
川
!
リi U
l
'
¥
fλ ¥
し
川
刷
凶
w川A ト
υ
て
ヘ
火
則
九
川
ト
!
協
吋
ヤ
、
川
川
1
丸
7
l
斗
1
T
'
v
¥
9¥
l {
~~ f({ 州市~ .
し
仏U1m
'
吋
、
以
山
U
，
.
(
丸
ム
し
川
川
礼
kh
臥
?
U
ω1 ペ A
し
C
U
e
れ
、
タ
M
山
7
E
印刊川
{
内
句
寸
什
巾
l
ピ
.
ヘ
-29-
ゐ叫
州
k
ω
ω
υ {
ι
tし
l
u
よ
い
仇
吋
ト
い
い
札，o
Thee
f
f
e
c
to
fa
n
i
s
o
t
r
o
p
i
cg
r
o
w
t
hs
p
e
e
do
fani
n
t
e
r
f
a
c
eon
p
a
t
t
e
r
nf
o
r
m
a
t
i
o
nd
u
r
i
n
gt
h
egrowtho
fc
r
y
s
t
a
l
s
E
t
s
u
r
oYokoyama
F
a
c
u
l
t
yo
fComputerS
c
i
e
n
c
eandS
y
s
t
e
m
sE
n
g
i
n
e
e
r
i
n
g，
KyushuI
n
s
t
i
t
u
t
eo
fTechnology
Thef
o
r
m
a
t
i
o
no
fp
a
t
t
e
r
n
s註1c
r
y
s
t
a
lgrowthi
saf
r
e
e
b
o
u
n
d
a
r
y
甘i
e
n
t
problemi
nwhicht
h
ei
n
t
e
r
f
a
c
et
h
a
ts
e
p
a
r
a
t
e
st
h
ec
r
y
s
t
a
lfromanu
phasemovesundert
h
ei
n
f
l
u
e
n
c
eo
fn
o
n
e
q
u
i
l
i
b
r
i
u
mc
o
n
d
i
t
i
o
n
s
. The
l
o
c
a
lgrowthspeedo
fani
n
t
e
r
f
a
c
ecanbedeterminedbys
o
l
v
i
n
gt
h
e
d
i
f
f
u
s
i
o
ne
q
u
a
t
i
o
n
st
h
a
tt
a
k
ei
n
t
oa
c
c
o
u
n
tbothad
i
f
f
u
s
i
o
np
r
o
c
e
s
sf
o
r
仕l
et
r
a
n
s
p
o
r
to
fl
a
t
e
n
th
e
a
tand/ors
o
l
u
t
el
i
b
e
r
a
t
e
da
tt
h
ei
n
t
e
r
f
a
c
e，
and
お 1i
n
t
e
r
f
a
c
ek
i
n
e
t
i
cp
r
o
c
e
s
sf
o
r住 a
n
s
f
o
r
m
a
t
i
o
no
fanamorphousphase
i
n
t
oa仁r
y
s
t
a
l
l
i
n
ephasea
tせl
ei
n
t
e
r
f
a
c
ea
tar
a
t
edetermined byt
h
e
仕onf
roml
o
c
a
le
q
u
i
l
i
b
r
i
u
mc
o
n
d
i
t
i
o
n
s，
whichdependoni
n
t
e
r
f
a
c
e
d
e
v
i
a
c
u
r
v
a
t
u
r
eands
U
r
f
a
c
et
e
n
s
i
o
n
.
I
nt
h
i
ss
t
u
d
y
，
f
i
r
s
t
，
weexaminebyn
u
m
e
r
i
c
a
lmethodst
h
e
i
n
f
l
u
e
n
c
eo
fs
i
n
u
s
o
i
d
a
la
n
i
s
o
町o
p
i
e
so
fs
u
r
f
a
c
et
e
n
s
i
o
n紅 l
di
n
t
e
r
f
a
仁
，e
l
:
J
.
.
，
.
l
1
e
t
i
c
shavingf
o
u
r
f
o
l
ds
y
江 田l
e
町yo
nt
h
ef
o
r
m
a
t
i
o
no
rs
u
p
p
r
e
s
s
i
o
no
f
c
o
r
n
e
r
so
fat
w
o
d
i
m
e
n
s
i
o
n
a
lc
r
y
s
t
a
l
，
s
t
a
r
t
i
n
gfromac
r
y
s
t
a
lo
fc
i
r
c
u
l
a
r
shape，
underc
o
n
d
i
t
i
o
n
ss
u
c
h出 a
t出 egrowthi
sgovemedo
n
l
yby
:
!
l
t
e
r
f
a
c
ek
i
n
e
t
i
c
sp
r
o
c
e
s
s
e
s
. Ourr
e
s
u
l
t
sd
i
s
p
l
a
ymanyo
ft
h
ef
e
a
t
u
r
e
s
de
I
i
vedfromg
e
n
e
r
a
lc
o
n
s
i
d
e
r
a
t
i
o
nbyAng
e
n
e
tandG
u
r
t
i
n(
1
9
8
9
)
.
，
weshow仕l
es
e
v
e
r
ea
工
l
l
S
O官 opyo
fi
n
t
e
r
f
a
c
ek
i
n
e
t
i
c
s，
f
o
rwhich
Second
せl
ek
i
n
e
t
i
cc
o
e
f
f
i
c
i
e
n
th
a
ss
i
n
g
u
l
a
r
i
t
i
e
si
n出 eformo
fdeepc
u
s
p
s，
p
l
a
y
sa
veryimportantr
o
l
e治せl
ef
o
r
m
a
t
i
o
no
fp
o
l
y
h
e
d
r
a
lf
e
a
t
u
r
e
si
nt
h
e
absenceo
fs
u
r
f
a
c
et
e
n
s
i
o
n
，
sucha
sf
o
rsnowc
r
y
s
t
a
l
s，
f
o
rwhicht
h
e
甘o
l
l
e
dbybotht
h
e町 a
n
s
p
o
r
tp
r
o
c
e
s
st
h
r
o
u
g
ha
i
rtoward
growthi
scon
y
s
t
a
lS
U
r
f
a
c
e紅 l
dせl
ei
n
t
e
r
f
a
c
ek
i
n
e
t
i
cp
r
o
c
e
s
sf
o
ri
n
c
o
r
p
o
r
a
t
i
n
g
d日 仁r
m
o
l
e
c
u
l
e
si
n
t
oac
r
y
s
t
a
l
l
a
t
t
i
c
e
.F
i
n
a
l
l
y
，
wep
r
e
s
e
n
tt
h
eupdate
n
u
m
e
r
i
c
a
lmodelf
o
rt
i
m
ee
v
o
l
u
t
i
o
no
fani
n
t
e
r
f
a
c
et
h
a
ta
c
c
o
u
n
t
sf
o
rt
h
e
住a
n
s
p
o
r
to
fenergythroughb
u
l
kp
h
a
s
e
s， 出l
da
n
i
s
oせo
p
i
ci
n
t
e
r
f
a
c
e
k
i
n
e
t
i
c
sandS
U
r
f
a
c
et
e
n
s
i
o
n
.
-30-
2次元の曲率流れの方程式に対する一様収束評価付き数値解法
木村正人
京都大学数理解析研究所
@町
mail:[email protected]
七o
-u.ac.jp
本講演では、 2次元の曲率流れの方程式に対する新しい差分スキームを紹介し、それによっ
て数値的に得られる曲線(折れ線)が厳密解の曲線に“一様収束"する ζ とを示す。
2次先の曲率流れとは、時間 tをパラメーターとする滑らかな J
o
r
d
a
n曲線の族 {
f
(
t
)
}でその
外向き法線方向の速度りがー κ(κ はその点における曲率を表し、副線が凸ならば正とする)に
等しいものを雷う。問題は tコ Oにおける滑らかな J
o
r
d
a
n曲線 f
(
O
)を与え、 υ=… κを満足す
る{
r
(t
)
hとoを求めるととである。
今回、提案する差分スキームは次の様である。ム t> 0を微小な時間方向の差分ステップと
2
=l C R を厳密解 f
(
kムt
)を近似する叶菌の点とする。
し、{付}j
NumericalScheme
パラメーター με(0，
1
)，入>0
，nε Nを回定し、 h:=1/η" ムt:=入h2 と罷く。 f
(
O
)を近
いを取り、 kコ 0，1
，2，
...K対して、 f
(
(
k十 1
)ムt
)を {
v
j
}
?
=
1から次の
似する n偲の点{司 g
様に構成する。
1
.
4
:
=
i
ψ
?
十1
-'Pj
l，
l
k:
ロ
丈
ポ
ー
k
hh
J:三一一λ
守
二一?
と置き、
h
，-~_.
d
f，
3
{αnち~1
C R を次の連立
l--JJJ
一次方程式を解いて決める。
l
玄
;
-hbJ (
j= 1
・
，
n
)，
O
.
ェ
2
. 各 jK
対し、
品:
=
i
ψ
j
判
げ
v
j
!
?
iJ
.
.
J
.
.i
-ψ? ， 、
{tz
コ -2
，
，1
，2
)
，
¥
d
，1
~，
~，
/
ヲ
I
i
I
アi : = - J T & J
i
V
-
2
(Tl 一 γ
'
1
) ，/1 ..¥2(T2- T-2) ，_k一 乃 十 4T1+4T_l d_ 十 (
1-μ) 十 ム 十 αj
6
十
μd
1
1
d
2
と置き、 tロ (
k十 1
)ムtにおける数億解を
v
j
+
1
:
1
ψ
j十ムtげ
によって定める O
T_2
E
。
円
ム
ζ のスキームに対する主な誤差評価として今回次の様なものが得られた。
με(0，
1
)と T E(
0，
T
*
) (
T
*は厳密解の消滅時間)を任意に定め、それに対して十分小さく
(
o
)と刊に関するある仮定のもとで、
入を固定する。 r
d啓 /t::.tdist(ψ
]，
r
(
k
6
t
)
)
errorzj，
が n →∞の時、 n-2 のオーダーで OK
近付く。
本講演では得られた誤差評価をその証明の概略と共に定理の形で厳密に述べる。また、 OHP
による数値計算結果の紹介も合わせて行なう予定である。
0
.
3
0
.
2
5
0.5
0
.
2
0
.
1
5
0
.
1
0
.
0
5
0
-0.5
但
1
-1
ー0.5
0.5
円ト1111
0.5
o.
.
.
.
.
!
.
.
.
.
_
.
I
四
0.5
“
明
1
1
時
0.5
0.5
問
自民自白や
ト
1
明
-32-
目
0.5
“
ゆ
φ一 品 目 品
1
四
0.5
0.5
.
.
4
.
.
.
.
.
.
_
.
J
.
争
談話会での講演要皆です。
i
f
f
e
r
e
n
t
i
a
la
l
g
e
b
r
a
i
cf
u
n
c
t
i
o
n五e
l
d
sw
i
t
hnomovablea
l
g
e
b
r
a
i
cb
r
a
n
c
h
e
s
表題: D
要旨:梅村氏は『パンノレヴょに第一関数 P
rの既約性の第 2証明 Jという論文で、 ζ の
関数が 1階代数的微分方程式の解や代数群からつくられる関数などから代数的操作や
合成を経て得られるならば、実際には 1指代数的微分方程式の解を本質的には必要と
しない、という命題を述べています。証明には P
rの初期値に関する関数論的特質が
用いられていています。
との性質を微分代数的に言い換えるとどうなるかを考えてみました。完全に同じ内
i
c
a
r
dが考えた W
s
u
b
u
n
i
f
o
r
m
J
J(
F
o
r
s
y
t
h
容を表現するととはできませんでしたが、 P
の用語)に近い概念を得ました。それはつぎのようなものです。まず、動く代数的特
異点をもたないという概念を普通の解析的な言い方をまねて定義します。動く代数的
特異点をもたない微分方程式の一般解が、たとえ局所的に任意定数のまわりで代数的
な関数と微分代数的 K従属であっても、その一般解も局所的に任意定数のまわりで代
数的な関数とみる ζ とができるとき、その一般解を概一価であるといいます。講演で
はp
l
a
i
n といいました。 s
u
b
u
n
i
f
o
r
mと概一価の濃いがどとにあるかはまだよくわかっ
ていません。とのような一般解に対しては梅村氏の得たと同じような命題が成立しま
す。パンノレグェ第一関数は概一価になります。証明はその既約性によりますが、一価
u
b
u
n
i
f
o
r
m
性から示すとともできそうです。しかし、いまのと ζ ろ分か担ません。 s
k関係した結果のいくつかは概一個性でも成立します。
たとえば、つぎのようなととがいえます。
F(ωぺωω)を変数に関して問次とする。 F(ωぺw
'，
w
) 0の一般解が概一価であ
るためには、つぎの 2条件が同時にみたされるととが必要十分であるロ
1
) υ ω'
J
wは動く代数的分岐点をもたない。
2
) K
(v，
v
'
)
J
l
どにおけるすべての素因子 P，
v
(
t
'
)=0にたいして、微分 v
d
tの位数は
少なくとも -1であり、その留数は整数である。
=
以上です。
西岡啓一
…
33-
~~.""""""""".""""/.
Dule
九//
ι
νピオヰを六、の止三也、月号の少釘
y
l
9l~
/
7?
J午
メ/支ええごろ
ヨ
J1
んJYl/
eイイヰZ六、[f
c¥ なin
/e¥lイ ヒ Gいんかとによス
/~{)O 今ヒ民党見てれ九向く分比と~ tたな¥. ユ
f
告の
j
i
イて欲的/辛子KM¥J
;
i
i六、てめソ、全行マ¥64"みる 4く
¥
発見当初小ょの j
等安之 l
て ん η/
e
ve;
tヂ呈可の変えれ
位ヒ LJこヒム"')~11寝 j てなって L 品。 従未こり)切
Z
{
実 十今与え 旨内"之ペ¥イヒなヒ布、支色し〈法解決の式ま
I
でt みブ~ ;
)
¥
¥ /9cf
タか
~O 与桁イ寸ぞ、子仏乏チ乎乙
よ
リ
/
7
.
t 九
:
4
1
，'
i
-
j
九
;
込
弘
ふ
ω
l
ん
ν
e
吋で 3
劣
者 J/
.
)
J手
牝t'í六\~、の ヲ
F
刀Jつ
/
何
}
片
空 d
小¥
h
?
註
ι担
明
月
j
4
' 凧
三
r
2LY、ニの j27J主主今月1~え今/千\\フ dy 見込之小しず.~
枯れ凡切失 i 司列党で巧~
j
.
;
本の
六、 ηFえ的小jι I~ 方式\手え人だ手ごJ果、
j
乞
f
P
c
ti
"
Y
tJ
ι
νピ JMi
6
/
存の戸凡 J
tl1
巴J E /
!
/
Jイ弘之
オィ、主六\jτ 失速なある数~'f: 9
υ
l
叫ん乏ト
J
)~;者向ずることれ幻支え/約付託明付大/交友ふえ巧 j 乙
イ
?
え 3こ
え土/しず二つ iた
ヒ lJ
i
t
i
勿ヒ L
メ
マ
この 32L明オメムの
PCt~l }ω i~E 六、め〆れの AZ必向今(代、数
e
.ノ
;
jl
ヴJ
九
勺
丞l答えて、な )湾易) 1分類 7号二 ζ I
l
Z
Y
l
円
ぺU
A吐
L
Dnte
本講演では 1 以上のごとた j の A~え除名さえ /lfþt
l
7
乞
え i有大¥
(
1
) U 1n ~?YU;lrt\ノ 1-1) 川 wdλwJJVイノ O
仏
れ 7北~仇
Aん兵 ω
ωIAfLo川
t
A
ム
んfノ
吋
bJ
ふ
ぷ
北
A
ん
y
. μ
似
A Cω
/仇川.
u
1
イ子
ω
仰W芯
刀
祈
A んら~Jw
げ冶
Jf ψ
乙 F
L
引
仇
y
n
ρ
山
干
色
勺f
Y
ふJ
(
2ノ U附 グJU仇
/
J
ィ
'
/O
Y
Y
W
/
( VV'(;vtt~ムノ/イノ 0
1
1t
t
J
同 ル 仏μ つ
小4んがふLんふ)Vh..e..-" t-p1..ふム .J F
凶 J
y
k
v
tf
)
(
3ノ Wむんιム
ノ/
1ノ ルぞt!~ /Ò~~ムクイ mι
I
μ〆ル/イ
εr
v
t
f
J
;
C
1
[
)
ふり
-35-
JJ~~f
t
BOUND包D，
GLOBALSOLUTIONSOFA HARAUX羽T
EISSLEREQUATION
ANDTHEIRLARGETIMEBEHAVIOUR
BY
CLAUSDOHMEN
Wec
o
n
5
i
d
e
rt
h
eq
u
a
l
i
t抗 i
v
eb
e
h
a
v
i
o
u
ro
f5
0
1
凶i
o
n
so
fag
e
n
e
r
a
l
i
z
e
dH
a
r
a
u
x
ω
W
e
i
s
s
l
e
re
q
u
a
t
i
o
nwi出
m > 0，
p>1，
andγE{-1，
0，
1
}
:
N-1
v
"十 一 一 一 v
'+s
ηU
'十 αU十 γI
U
l
v
-1U = 0
i
nR+，
η
v
:コ I
U
l
m
-lU，
(内)
・
α，
β >0，
α(m-1)+2
β 1
，
V
'
(
O
)コ 0，
V
(
O
)= α >o
.
Ane
q
u
a
t
i
o
no
f出 i
st
y
p
ea
r
i
s
e
swhenr
a
d
i
a
l，
s
e
l
f
s
i
m
i
l
a
rs
o
l
u
t
i
o
n
s
=I
x
¥
rβ，
u
(
x，
t
)= raU(
η
)，
η
o
ft
h
ep
o
r
o
u
smediume
q
u
a
t
i
o
nw
i
t
hr
e
a
c
t
i
o
nterm-
(PME)
町一
L
l(
l
u
l
m
-1u
)= γl
u
lP-1u
i
n]RN
X
(
0，
T
)，
-a
r
es
t
u
d
i
e
d
.I
nt
h
i
sc
a
s
et
h
ep
a
r
a
m
e
t
e
r
s
α，
βareg
i
v
e
nby
l
β
α.- p
一
一
一
1'
p-m
一一
2
(
p-1
)
"
I
nc
a
s
eγ =0t
h
ep
a
r
a
m
e
t
e
r
sa
r
eo
n
l
ys
u
b
j
e
c
tt
ot
h
ec
o
n
d
i
t
i
o
n
〆
α ~m-
1
、
・ 4ρ=1，
1
)十
whichmeanst
h
a
tt
h
e
r
ei
saonep
a
r
a
m
e
t
e
rf
a
m
i
l
yo
fv
a
l
u
e
sa
d
m
i
s
s
a
b
l
ef
o
rs
e
l
f
s
i
m
i
l
a
rs
o
l
u
t
i
o
n
s
.T
h
i
s
c
o
r
r
e
s
p
o
n
d
sもoas
c
a
l
i
n
gi
n
v
a
r
i
a
n
c
e
:I
fUi
sas
o
l
u
t
i
o
n，
s
oi
sU
.
λ
(
η
)ロ λ2
U
(λm-lη
)f
o
rallλ>O
.Hence
I
i
z
eV
(
O
)= 1andv
a
r
yk
. Thiss
c
a
l
i
n
gi
n
v
a
r
i
a
n
c
ei
snol
o
n
g
e
rt
r
u
ei
nc
a
s
eγ i
=0，but
wecannorma
n
e
v
e
r
t
h
e
l
e
s
si
nt
h
i
spaperwewantt
oc
o
n
s
i
d
e
rαandsa
sparameもe
r
ss
u
b
j
e
c
to
n
l
yt
ot
h
i
sc
o
n
d
iもl
o
n
.
Therei
sav
a
s
t
el
i
t
e
r
a
t
u
r
eonn
o
n
n
e
g
a
t
i
v
es
o
l
ut
i
o
n
st
o(P
y
)，出 i
nmanymodelst
h
e
s
ea
r
eo
fs
pか
c
i
a
li
n
t
e
r
e
sも
.B
uti
nr
e
c
e
n
ty
e
a
r
ss
c
i
e
n
t
i
s
t
sbecamea
l
s
oi
nもe
r
e
s
t
e
di
ns
o
l
u
t
i
o
n
sw
i
t
hs
i
g
nc
h
a
n
g
e
s
.
S
e
l
f
s
i
m
i
l
a
rs
o
l
u
t
i
o
n
s，
however，
c
a
nbeu
s
e
dもod
e
s
c
r
i
b
et
h
el
a
r
g
et
i
m
ea
s
y
m
p
t
o
t
i
c
so
fg
e
n
e
r
a
ls
o
l
u
t
i
o
n
so
f
恥
C創 l
c
h
y
P
r
仙
mw
i
t
h耐 凶 d
a
t
ao
f附 l
z
e
…
制
(
s
e
e[
K
V
]
)
:R叫 h
l
ys
p
e
a
k
i
n
g，
i
fm >
匂ux.and
もh
ei
n
i
t
i
a
lda
もaU
ohaven
o
n
z
e
r
omassand，
i
fm > 1
，
compacts
u
p
p
o
r
t，
t
h
e
nt
h
es
o
l
u
t
i
o
no
ft
h
eCauchy-
problemc
o
n
v
e
r
g
e
s
.u
n
i
f
o
r
m
l
yi
n]RN t
ot
h
en
o
n
n
e
g
a
t
i
v
es
e
l
f
s
i
m
i
l
a
rs
o
l
uもi
o
n-known加 もh
eB
a
r
e
n
b
l
a
t
t
s
o
l
u
も
ion-wi
ぬ もh
esamem
a
s
s
.P
l
e
a
s
en
o
t
etha
もn
os
i
g
nr
e
s
t
r
i
c
t
i
o
ni
simposedonU
o・
TypesetbyA.
M
S
'
I
訴
-36-
2
S
i
m
i
l
a
rr
e
s
u
l
t
sa
r
ec
o
n
j
e
cもu
r
e
d-andi
np
a
r
t
sa
l
r
e
a
d
yp
r
o
v
e
d，
s
e
e伊V，
] [BHV]and[KV]-a
l
s
oi
nc
a
s
e
o
f
i
n
i
もi
a
ld
a
t
aw
i
t
hz
e
r
om出 S
;出 i
sa
s
y
m
p
t
o
t
i
c
sb
e
i
n
gd
e
s
c
r
i
b
e
dbys
e
l
f
s
i
m
i
l
a
rs
o
l
u
t
i
o
n
sw
i
t
hs
i
g
nc
h
a
n
g
e
s
.
もa
ndd
e
s
c
r
i
b
et
h
ep
o
s
s
i
b
l
el
a
r
g
et
i
m
e
I
nt
h
i
sp
a
p
e
rwee
s
t
a
b
l
i
s
ha
ne
x
i
s
t
e
n
c
eandu
n
i
q
u
e
n
e
s
sr
e
s
u
l
円
)
.I
tt
u
r
n
so
u
t出 叫 出i
sc
a
nb
edonei
nt
e
r
m
so
f
b
e
h
a
v
i
o
u
ro
fs
o
l
u
t
i
o
n
so
f(
k
:
2
3，
L Z A ηk
U
(
η
)・
T
h
i
sproblemi
sa
l
r
e
a
d
ys
o
l
v
e
df
o
rtwos
p
e
c
i
a
lc
a
s
e
so
f(円)，
namelyγ=0andγ:#0，
b叫 m = 1
.The
a
s
ewasc
o
n
s
i
d
e
r
e
di
n[BHV
，
][
D
1
]and[
H
]
:
f
i
r
sもc
I
nt
h
es
i
n
g
u
l
a
rc
a
s
em <1andt
h
el
i
n
e
a
rc
a
s
em = 1e
x
i
s
t
e
n
c
eandu
n
i
q
u
e
n
e
s
so
fg
l
o
b
a
l，
c
l
a
s
s
i
c
a
ls
o
l
u
t
i
o
n
s
iyd
e
r
i
v
e
dbye
n
e
r
g
ymethods，
w
h
e
r
e
a
si
nt
h
ed
e
g
e
n
e
r
a
t
ec
a
s
em >1t
h
es
o
l
u
t
i
o
nU i
si
ng
e
n
e
r
a
l
c
a
ne
a
s1
o
n
l
yc
o
n
t
i
n
u
o
u
s
.H
u
l
s
h
o
fi
n[
H
]showedt
h
a
tもh
ea
p
p
r
o
p
r
i
a
もec
o
n
c
e
p
to
fs
o
l
u
t
i
o
ni
s
?
o
c
(況
+
)
，
U εC
V Ec
l
o
c(
J
R+)，
u
，
V
'a
b
s
o
I
凶e
l
yc
o
n
t
i
n
u
o
u
s
.
Asa
b
s
o
l
u
t
ec
o
n
t
i
n
u
i
t
yi
noned
i
m
e
n
s
i
o
ni
se
q
u
i
v
a
l
e
凶 初 出eL
1
p
r
o
p
e
rもyo
fもh
ed
e
r
i
v
a
t
i
v
e，
出i
smeansU
'，
V
"εLfoc(R+)and出 edifferentialequationi
ss
a
t
i
s
f
i
e
di
naweaks
e
n
s
ew
i
ぬt
e
s
tf
u
n
c
t
i
o
n
si
nL'
i
:
c
(
R
+
)
.
S
i
g
nc
h
a
n
g
e
sf
o
rUo
c
c
u
r，
i
fando
n
l
yi
fV
'i
sn
o
tz
e
r
o叫 ap
o
i
nもwhereU v
a
n
i
s
h
e
s
.I
fV
'= 0a
ts
u
c
ha
p
o
i
n
t，
t
h
es
o
l
u
t
i
o
nh副 知 bec
o
n
t
i
n
u
e
dbyt
h
ez
e
r
of
u
n
c
t
i
o
n
.
Withint
h
i
sc
l
a
s
sH
u
l
s
h
o
fwasa
b
l
et
oe
s
t
a
b
l
i
s
hane
x
i
s
もe
n
c
eandu
n
i
q
u
e
n
e
s
sr
e
s
u
lもf
o
rs
o
l
u
t
i
o
n
so
f(
九
)
.
I
nc
a
s
eγ:#0o
n
l
yt
h
es
e
m
i
l
i
n
e
a
rc
a
s
em = 1h
a
sb
e
e
nc
o
n
s
i
d
e
r
e
d
. Amongo
t
h
e
rr
e
s
u
l
もsH
arauxand
g
l
o
b
a
l8
0
1
叫1
0
肌
Thel
i
m
i
もLa
l
w
a
y
se
x
i
s
t
s
W
e
i
s
s
l
e
ri
n[HW]p
r
o
v
e
de
x
i
s
t
e
n
c
eandu
n
i
q
u
e
n
e
s
so
fc
l
a
s
s
i
c
a
l，
sf
i
n
i
t
e
ji
fL=0，t
h
e
nもhes
o
l
uもi
o
nd
e
c
a
y
sexponen
もi
a
l
l
y
.
andi
b
u
tt
h
i
sp
a
r
t
i
c
u
l
a
rr
e
s
u
l
tc
a
ne
a
s
i
l
y
HarauxandW
e
i
s
s
l
e
ro
n
l
yd
e
a
l
tw
i
t
ht
h
ec
a
s
eo
faf
o
r
c
i
n
gtermγ=1，
1
.
bec
a
r
r
i
e
do
v
e
rt
ot
h
ec
a
s
eγ =I
nもh
ed
e
g
e
n
e
r
a
t
ec
a
s
em >1w
i
t
h
γ コ ー 1P
e
l
e
t
i
e
randT
e
r
r
r
削 1
(
[
P
T
)
)o
b
t
a
i
n
e
de
x
i
s
t
e
n
c
eo
fan
o
n
n
e
g
a
y
)wi出 compactsupport，
i
fpε(
m，
m十会).Thi88olutiongivesr
i
s
et
oav
e
r
ys
i
n
g
u
l
a
r
t
i
v
es
o
l
u
t
i
o
no
f(P
ME)，
i
.
e
. as
o
l
u
t
i
o
nmores
i
n
g
u
l
a
rt
h
a
nt
h
ef
u
n
d
a
m
e
n
t
a
ls
o
l叫 i
o
回. T
h
e
i
ra
p
p
r
o
a
c
hc
a
n
s
o
l
u
t
i
o
no
f(P
n
o
tb
ec
a
r
r
i
e
do
v
e
rもos
o
l
uもi
o
n
sw
i
t
hs
i
g
nc
h
a
n
g
e
s
.A
I
s
ot
h
eproblemo
fd
e
t
e
r
m
i
n
i
n
gt
h
eg
e
n
e
r
a
ll
a
r
g
e
t
i
m
eb
e
h
a
v
i
o
u
rwasl
e
f
to
p
e
n
.
Summarizingt
h
eknown間 u
l
t
s，も s
e
e
m
sもh
a
t出er
e
a
c
t
i
o
nもermγIUI
ト l
U凶
noq
u
a
l
i
t
a
t
i
v
ei
n
幽
f
l
u
e
n
c
eon出 el
a
r
g
et
i
m
eb
e
h
a
v
i
o
u
ro
fU.T
h
i
si
st
r
u
ei
n
d
e
e
df
o
raw
i
d
ep
a
r
a
m
e
t
e
rr
a
n
g
e
:
Theorem:
L
e
tm >0，
p >1a
ndαs
+γI
s
l
p
lS>0fora
l
ls
E(
0，
U
(
O
)
]
.ThenthereexistsauniquesolutionVof
(P
y
)
，i
.
e
.af
u
n
c
t
i
o
nU s
叫i
s
f
y
i
n
g
U EC
?
o
c(
1
R+)， V E cloAR+)， U，V
'a
b
s
o
l
u
t
e
l
yc
o
n
t
i
n
u
o
u
s，
whichs
o
l
v
e
sぬed
i
f
f
e
r
e
n
t
i
a
le
q
u
a
t
i
o
ni
naweaks
e
n
s
ew
i
t
ht
e
s
tf
u
n
c
t
i
o
n
si
nL'
i
:
c(
J
R
+
)
.MoreoverLalways
e
x
i
s
t
sandi
sf
i
n
i
t
e
.I
fL= 0，
t
h
e
nt
h
el
a
r
g
et
i
m
eb
e
h
a
v
i
o
u
ro
fV i
sa
sf
o
I
l
o
w
s
:
fm >1，
もh
enV h
a
scompacts
u
p
p
o
r
t
.
(
i
)I
-37-
3
(
i
i
)I
fm
=1，thenV decaysexpo附Itiall~ん
(
i
i
i
)I
fm く 1，
t
h
e
n7
J告
宅nV(η
):
:
;C andi
nc
a
s
eo
ff
i
n
I臼 l
ymanyz
e
r
o
e
sV c
o
n
v
e
r
g
e
st
ot
h
i
sc
o
n
s
t
a
n
t
.
もc
ho
f出 ep
r
o
o
f
:
Ske
Top
r
o
v
ee
x
i
s
t
e
n
c
e，
r
e
w
r
i
t
et
h
ee
q
u
a
t
i
o
na
s
V
'= W
N-1
W'=-7w-(α ー βN)U-γUP
V
(
O
)コ α
W(O)= O
.
C
l
a
s
s
i
c
a
lmethodsy
i
e
l
dal
o
c
a
ls
o
l
u
t
i
o
n，w
h
i
c
hc
a
nbee
x
t
e
n
d
e
dt
oag
l
o
b
a
lo
n
ei
nv
i
e
wo
f出 ee
n
e
r
g
y
e
s
t
i
m
a
t
e
品
{~IV'(η)12 吋
m
い
U
n
i
q
u
e
n
e
s
si
nc
a
s
em
:
:
:
:
;1i
sc
l
e
a
r，
f
o
rt
h
eo
t
h
e
rc
a
s
e
si
ti
sab
y
p
r
o
d
u
c
to
ft
h
ec
l
a
s
s
i
f
i
c
a
t
i
o
nr
e
s
u
l
t
.
ft=l
n
ηand
T
h
i
sc
l
a
s
s
i
f
i
c
a
t
i
o
ni
sdonebyana
n
a
l
y
s
i
so
ft
h
ep
h
a
s
ep
l
a
n
e泌 総rmso
生仇 ifm<1，
y
(
t
)
:コポ I
U
(w
-， ifm >1.
六t
):
コ 《 V(η)，仰):= f
'
(
t
)-i
V
'
(η
)
x
(
t
):=一一一，
V
(η
)
η
m
Theset
r
a
n
s
f
o
r
m
a
t
i
o
n
sw
e
r
ea
l
r
e
a
d
yu
s
e
dbyH
u
l
s
h
o
fe
.
a
l
.t
oc
l
a
s
s
i
f
yt
h
es
o
l
u
t
i
o
n
so
f(
P
"
'
(
)w
i
t
hγ =0
，
s
e
e
[
D
1
]and伊V
]
.Ther
e
s
uJ
tso
b白羽e
dも}悶ea
r
es
t
r
o
n
g
e
rt
h
a
nt
h
eo
n
e
so
b
t
a
i
n
e
dh
e
r
e，
制i
nc
a
s
e
[BHV]，
γ =0t
h
et
r
a
n
s
おr
m
a
t
i
o
n
sy
i
e
l
dautonomouss
y
s
もe
m
s
.
F
o
rd
e
t
a
i
l
swewouldl
i
k
et
or
e
f
e
rt
o[
D
2
]
.
L
i
t
e
r
a
t
u
r
e
:
. HULSHOF，J
.
L
. VASQUEZ“
，A verys
i
n
g
u
l
a
rs
o
l
u
t
i
o
nf
o
rもh
ee
q
u
a
t
i
o
nZt =
[BHV) F
. BERNIS，J
I
z
x
xI
m
lZXX andtheasymptoticbehaviourofgenerals
o
l
凶i
o
n
s
"，
P
r
e
p
r
i
n
tW90-25，
U
n
i
v
.L
e
i
d
e
n，
N
e
t
h
e
r
l
a
n
d
s(
1
9
9
0
)
[
D
l
) C
.DOHMEN“
，S
e
l
f
s
i
m
i
l
a
rS
o
l
u
t
i
o
n
so
ft
h
eP
o
r
o
u
sMediumE
q
u
a
t
i
o
nWitho
叫 S
i
g
nR
e
s
t
r
i
c
t
i
o
n
"
SFB2
5
6N
o
n
l
i
n
e
a
rP
a
r
t
i
a
lD
i
π
e
r
e
n
t
i
a
lE
q
u
a
t
i
o
n
s，
Bonn(
1
9
9
3
)，
s
u
b
m
i
t
もe
dt
oJournal
P
r
e
p
r
i
n
tN
o
.
2
6
7，
D
i
J
J
e
r
e
n
t
i
a
lE
q
u
a
t
i
o
n
s
[
D
2
] C
.DOHMEN，
L
a
r
g
eTimeB
e
h
a
v
i
o
u
ro
fS
o
l
u
t
i
o
n
so
faGen巴r
a
l
i
z
e
dH
a
r
a
u
x
λl
V
e
i
s
s
l
e
rE
q
u
a
t
i
o
n，
s
u
b
m
i
t
t
e
dt
oD
i
J
J
e
r
e
n
t
i
a
landI
n
t
e
g
r
a
lE
q
u
a
t
i
o
n
s
[
H
] J.HULSHOF，
Sim
i
I
a
r
iもys
o
l
u
t
i
o
n
so
ft
h
ep
o
r
o
u
smediume
q
u
a
t
i
o
nw
i
t
hs
i
g
nc
h
a
n
g
e
s，
J
.Ma
t
h
.
Ana.
l
Appl.157，
p
p
.
7
5
1
1
1(
1
9
9
1
)
[
H
V
) J.HULSHOF，J.L.VASQUEZ，
"TheD
i
p
o
l
eS
o
l
凶i
o
nf
o
rt
h
eP
o
r
o
u
sMediumE
q
u
a
t
i
o
ni
nS
e
v
e
r
a
l
S
p
a
c
eD
i
m
e
n
s
i
o
n
s
ぺIMAPreprintSerIes#842(1991)
] A.HARAUX，
F.B.W邸 SSLER，
N
o
n
U
n
i
q
u
e
n
e
s
sf
o
raS
e
m
i
l
i
n
e
a
rI
n
i
t
i
a
lV
a
l
u
eProblem，
l
n
d
i
a
n
a
[
HW
U
n
i
v
.
M
.
J
.31，
p
p
.
1
6
7
1
8
9(
1
9
8
2
)
[
K
V
] S.KAMIN，
J.L.VASQUEZ“
，AsymptoticBehaviouro
fS
o
l
u
t
i
o
n
so
ft
h
eP
o
r
o
u
sMediumE
q
u
a
t
i
o
n
w
i
t
hs
i
g
nc
h
a
n
g
e
s
ぺSIAMJ.Math.Ana/.22，
p
p
.
34
-4
5(
1
9
9
1
)
-38-
S
c
P
.1
6，¥
9
9
3 北海道大γ
t数学談話会原稿
近畿大学理工
泉街蹴
多重根をとる多項式は次数が高い
女
F=F(
x
) を多岐式とする。方程式 F=O が原点で t重棋をとれば Fの次数はもちろん 1以
上でなければならない。このことをじれの f
呼析集合上で考えるとどうなるか?
大 Vを oE(
c;"の近傍で定義された f
o
/
i
析-集合とする。収*J1J級数探 cl
x
l (
x口 (x1，
.
.
.
， Xn
)
}
の元のうちで V上の Oの近傍で Oとなるものの全体を Jとすると、これはじ l
x
lのイヂアルとなる。
剰余環 O五じ l
x
l/J はV上のlEW
Ji舗数の芽のなす探とみなされる。 X 1，
.
.
.，X n (の像)で生成さ
れる O のイデアル m は、 0 の唯一つの極大イデアルである。多項式 F に対して、
Flv=O がJj~( 点で、
till:根をとることを、 ν(F)詰 s
u
pl
p:FEmpl t となることと考える (Fの低次項をを Jの元
で相殺して T
a
y
l
o
r 展開が始まる斉次項の次数を高くするときその最大値がり o ν{引を、 FのV
上での 0における位数という。そこで d
e
g F と ν(引を比較する。そのために ν(F) の
d
c
g F に関する明大位数を定義する:
αV. 0三 I
i
m
γ
e
口
僻即寸白-白白
1
. (
[
2
]
) vを原点で正次元で成約とし、 Vの集合芽 V。を合む最小の代数的集合を [
V
o
]とする
と
、 α
V
.0孟 d
i
m [Vo]/dim Vo(
丞 1)となる。
これは [
Vo
]の Hi
I
b
er
t函数と V。
の S
a
m
u
e
l 函数を較べるとすぐ出る。 αV.o=∞となり iで等
号が成立しない例はある(上田氏)。
1
11
. (
[
1
，
] [
2
]
) 上の定理と同じ条件下で、次は同値である。
(
j
)
Vが代数集合の解析的既約成分である。
(
i
i
)
a>Oがあって、任意の Fに対して、 a
'
d
e
g F孟 ν(F)
0
(
ii
i
) α
V
.0口 l
。
これによって α
V
.0をVの 0における超越位数と呼んで、もさしっかえないであろう。今ある
(i)吟(i)
iの証明はたいへん長く難しい。簡単な証明があるはずである。(ii
)吟 i
i
)は自明。
i
)
i吟 0
)は iからただちに出る。
女 y
口 x
'
e
x
pxのグラフの原点における趨越位数は 2である。これは最も初等的な微分方恕式の初
期値に関する一意性から導かれる。この方法を応用すると次の一般化が得られる。
o
o
日
1
. (
[
3
]
)
2
:
:
φ
λ
(
x
)詰
2
:
: g
AIl (
x
)
'
e
x
p
γ
{
μ
(
x
)
む
三5435L171P …~
i
I
1
.
.
¥
(
[
孟 λ自 )
l話μE
五s -1;
5
;γ;
5
;1
(
fμgAIlεc[
x
] (x-(
x1ぃ .• ，x
)
)
;d
叫ん話1)を成分とする解析集合の i
悶の正問写像の芽
m
φ c m o - VとC(Gn がヲ i
き起こす局所環の準同型が単射 (
Vと
が φの像の解析的関包)であると
する。 SI三 di
m
"1
qD1fI十...十 QDIf
sI (
DI=a
/a
XI)とおくと、 α
vξ 話m
a
x Sl十 iとなる。
1
1がそのままでは適用できない y=x2 '
e
x
px2 のグラフの、原点における超越位数でも 2である
浪であるためのもっと良い十分条件は?
ことがわかる。 αが有 i
大 位数と次数の初互評価式は越路数論で大変重要な意味をもっている。多変数版 S
c
h
w
a
r
zの
I
c
m
m
a等、正JlI
J
岡数の明大度とも関係が深い。 (
c.
f[
1
]
)
l
l
] [
n
c
r
c
a
s
e， c
o
n
v
e
r
g
e
n
c
e a
n
d v
a
n
i
s
h
i
n
g o
f f
u
n
c
t
i
o
n
s a
l
o
n
g aM
o
i
s
h
e
z
o
n s
p
a
c
c
.
1
.M
a
t
h
.
K
y
o
t
oU
n
i
v
.3
2， 2
1
5
2
5
8(
19
9
2
)
. [
2
] Ac
r
i
!
e
r
i
o
n o
fa
l
g
e
b
r
a
i
c
i
!
yo
fa
n
a
l
y
t
i
cs
e
t
g
c
r
m
s
. P
r
o
c
.1
.A
c
a
d
. 6
8， 3
0
7
3
0
9 (
1
9
9
2
)
.
[
3
] T
r
a
n
s
c
e
n
d
e
n
t
a
l o
r
d
e
r o
f s
e
! g
e
r
m
s
予a
r
a
m
c
t
r
i
z
e
db
yr
a
t
i
o
so
fe
x
p
o
n
e
n
t
i
a
lp
o
l
y
n
o
m
i
a
l
s
. i
np
r
e
p
a
r
a
t
i
o
n
.
-39ー
女
Ons
t
a
t
ec
o
n
s
t
r
a
i
n
tp
r
o
b
l
e
mf
o
r1
s
to
r
d
e
rPDEs
小池茂昭
(埼玉大学・理学部)
1. 序
次のような B
ellman方程式を考える。
SA
噌
、
E
t
、
、
‘
，
，
，
，
，
守
2
f
{入u
(
x
)一(
g
(
x，
a
)，
D
u
(
x
)ト f
(い)ト oxEn
g:nxA→ Rn と f:nxA→ R は既知関
数で，適当な滑らかさ (
L
i
p
s
c
h
i
t
z連続)を仮定する o 包:百一→ R が未知
関数である。 A はコントロール・パラメーターと呼ばれる。
ζ とでは， D
i
r
i
c
h
1
e
tや Neumann開題でなく，制御理論において重要
t
a
t
e
s
p
a
c
ec
o
n
s
t
r
a
i
n
t (略して， SC) 問題を考える。
なS
(
1
)に対する SC問題の解は，形式的に次の値関数 (
v
a
l
u
ef
u
n
c
t
i
o
n
)
但し，
ncR'叫は宥界領域，
で表される。
V
(
x
)= i
n
f1
0 e一Atf(X(仰 が))dt
00
但し， α(
t
)は A K値を持つ可測関数，X
(
t
)は，その α
(・)を用いた次の微
分方程式の解である。
α
!
o
r t>0
(
t
)
j
d
t= g
(
X
(
t
川)f
。)
l
X
(
O
)
吋
n
更に， SC問題では，との X
(・)が 内にずっと留まるようま
n
fを取っている;つまり，
てi
(
3
)
X
(・)につい
X
(
t
)巴 nf
o
ra
l
1 t三O
.
勿論， (
3
)が任意の z
ε否(
(
2
)式の初期条件)に対して成立するために
で領域内に押し民すベクトル場 g
(
x，α
)(
f
o
rsomeα
εA
)
は，各点 xEθQ
の存在を仮定する。
…40-
8
0
n
e
r(
[
8
]
)は
，
ζの
Vが満たすべき境界条件を提唱し，連続関数の
範鴫で(その境界条件下で)一意性を示した。具体的には，次の式を満
たすものを， 8C問題の解とした。
(川 川 …
吋
Z，
山
)D
例
D
ω
川
匂
川
叫
(一
(
4
)
H(
μ
x
，
匂
叫
(
吋
♂
，
)D旬
叫(
x
吋
)
)三oon n
.
ととで， H:在 xRxRn→ R は次のものである o
H(a，
r
，
p
)口
TE{入T 一(
g
(い ，
)p
)-f
(
x，α)}
・
一般に，包に微分可能性は期待できないので，
の不等式である口
(
4
)式は粘性解での意味で
連続性の仮定(少なくとも境界付近で)をはずすと，技巧的な理由よ
り，一意性を得るのは大変困難である事を注意しておく。
2. 結論
我々は， [
8
]と向じ仮定の下，動的計画原理より， 8
0
n
e
rの提唱したも
のより多くの境界条件を値関数は満たすととを示し，その境界条件を満
たすものを 8C問題の解と定式化する ζ とで連続性を仮定する ζ となく
一意性を示した。(異体的に，その条件については [
I
K
]を参照。)
8
0
n
e
rが粘性解の範鴎で 8C問題を扱って以来，技巧的には，8C問題は，
D
i
r
i
c
h
l
e
t問題の一種と考えられてきたが，今回の新しい境界条件によって，
むしろ O
b
l
i
q
u
e(又は， Neumann)問題の一種と捉えられる事が分かつた。
参考文献
[
I
K
]H. I
S
H
I
IAND S
. KOIKE，
A newf
o
r
m
u
l
a
t
i
o
no
fs
t
a
t
ec
o
n
s
t
r
a
i
n
t
s
p
r
o
b
l
e
mo
ff
i
r
s
to
r
d
e
rPDEs，
s
u
b
m
i
t
t
e
d
.
O
p
t
i
m
a
lc
o
n
t
r
o
lw
i
t
hs
t
a
t
e
s
p
a
c
ec
o
n
s
t
r
a
i
n
t1
，
SIAM
[
8
]M.廷. SONER，
J
.C
o
n
t
r
o
landO
p
t
i
m
i
z
a
t
i
o
n，
24(
1
9
8
6
)5
5
2
5
6
2
.
蜘
-41…
校数時教の株主イ紋分イ/下 m~
'
L
SDb
D¥
e
v空間¥::づい之
務土佐先制
こミてい
i
本1f閉内の件、宣つ仁
!にわて下監薮
(静岡大教;t)
f今
イιすSよ
らG
す3
守雄ペ事与/方作!引意 t 号
fL30 こ司 去
め
う f
九
立 {件乍町?意
~_I 毛 ぷ
建
ミ
キ
与t
令i
い
ユ
斗
な
守
れ
!
ぺ時
i
討
3t
払
仏
山b
μ
l
e
ε 父
必
ド。仁 e~s の }問明是殻良 で
γ ‘ あG
ゐLれh.-_~_ _~か\"司 仁
口3] l~之!式志むま志￡む'\ぺ陪一
叫
ι
i
宅勺 B的 の h ρ
め1
之
金数暗殺什疑~.!長女ろをイ午 l弔意.i\・3 くわ l< 論じ・
さ れ て k々
。
目
安造~ß穏を土の持主イ故分作!弔素 t 事 γ 免議す~:
主
主L
守
ζ
ザく良川)こ¥ ¥1 E C
ぬ U
RIi1) ~
(
j
"
のすパ， <
:
.~イ島義弘主主寸 t 宿料
兵
二 C CMCIR~ x時) ( 0 Sく{三 ifs-<l〉 t
S
;
t ヱミ十 S-) ) 弘 、 ラ 金 持 株 主C均実数 _
_
s
J
ま
ず
‘
主
(
"
X
，
，
i 苫〉MM 〉 i ぎ C剖?〈:W竺}プー ~~I~\-}
で、定義、す丸山二
十e-S'ふ
1:.- J-tL 作!奇京…~~--;エタ~-t--
'
pu ¥
"
):
:
.
ー
1
1
<1
1
(fEL
一
Ul
t
) ~- -~ -e~~~)u両立正一〉
一一一一一一一一一-----~同
』
一
一
一
「
一
一
時
一
一
一
一
件
町
一
一
一
一
一
一
今
戸-ui-?-:主___~-- (){L)J一主jmhL主D 擬イ紛糾同友竺， ¥
I
ω
f-~一-f-FX-，， -Pρ-ょぬふ町一一逆.J-;.-二P--tJ3-ーし一切l_sy lt1 b 0
1L マ
くm
L 場L く。一一一一一一一一一一一一一一一
…
---3ι4
日 s
y山 -0L-，<---<tà.-;f腕刷四_!_Q)_..&A..$_1".~~;~ 'c.-~牛
，
静:
I
j
;
大学教護郊数学教笈
-42-
¥"
告数時され擬イ数分イ乍!司素ゃい¥
.
.
1~閉連_t~ ふ殺を問/=>-.， lt<:l ð:
t
ユコや宅二¥-=- 5
¥ltlτk之 ¥ ¥ ~多くの女献!ニ台\ で ψ九リ七孟7
t
禽守山守
いちす~ ~~&""2." I
串
寸 (
:0 コ S 十 t
l:o CSGJRー
ノー守合 εぷ)ーー壬叩
表れ
吟4
去のコみを持っていL
I
ω
<
京
、
¥之 t技
量1
制作!習b
4
4
1
5
1
?
[3J で‘ l
品事、転問をまの喝必 l
=
-
小、点、立すドリ，"苛、吉弘之，¥~
0
I
さら 1
:
. _L~_:J_~"主的型旦恒常h
ち末を丈 1
事主教f
若桜の一一
じて、、いぐ ~l___S_~b
Ql_e._~__~J羽
h可h 基本高等 t本主詩文ーミch-L.\、~.-6、;
1
士山。 \ev 室、問 η 上で、熊 \I<""\~ I>
4 去数時桜 1 二 L て守十~ 0
主
主
2
.
.
.
.
1Ltιif〔V)j
¥-¥(f円安川) =
=
℃突ゑ、 L
ノ~
sュ
弘子、ム <L~l~~l~L
一
一
:
内不良 E
~)στ 仁く山?仇川ぃ Mu 万一山
(U.
ミ
時
(イ畏し
立=叫守{ヌ) )
l
R
“
ヌ
:
'
E
:
工主約三
b
上のよう!な
セ
)
H
σ，
つヱ主義り長
J
I
K
I
m
つ一一三
ω
ι(市青静榊争河向臥久援拡義ι
)
之 のz
川
研
工
予J
一両三椛
枝
史
一
つ
三
三
?
汁
時
H
主
れ
は
一
殺
材
去
ネ
秘
榔
似
杉
f
}
6
<
.
ふ
寸
す
丸o
i
?
E数?咋管穀工
いτ主
バ
主
恥
¥
十句
仙
ι
丘町) d
: I占 ib~rt~ 間立'L
-t
同
七
ピ
‘
よ
め
うT
九
主 1\はそ乍生注注.~繁t~t
H
一
，'ij，間大学教l{f
主文学教:i{
f
l
l
-43-
参考文献
[
1
]H
.Kuman
o
-go，
P
s
e
u
d
c
トD
i
f
f
e
r
e
n
t
i
a
lO
p
e
r
a
t
o
r
s，
TheMITp
r
e
s
s，
1
9
81
.
[
2
]H
.G
.L
e
o
p
o
l
d，
Onf
u
n
c
t
i
o
ns
pG
.
!c
e
so
fv
αr
i
a
b
l
eo
r
d
e
ro
fd
i
f
f
e
r
e
n
t
i
a
t
i
o
n，
ForumMath.，
3(
1
9
9
1
)1-21
.
[
3
]A
.Negoro
，
S
t
a
b
l
e
l
i
k
ep
r
o
c
e
s
s:c
o
n
s
t
r
u
c
t
i
o
no
ft
h
et
r
a
n
s
i
t
i
o
nd
e
n
s
i
t
yαndt
h
eb
e
hαv
z
o
r
αm
plepαt
h
sn
eα7・t=0，
t
oappeほ i
nOsakaJ
.Math.
o
fs
-44-
特異平面曲線，巡極被覆，ザリスキー
埼玉大理酒井文雄
曲面論の応用によって，平面曲線に関する良い結果が得ら
れる乙どがある.宮岡型の不等式，被覆曲面の不変量など
が用いられる .Cを射影平面曲縁どすし，
Cの次数を dど
しておく . Cの各特異点のミルナー数の総和を全ミルナー
数ど呼び， μ(
C
)で表す.これは Cの特異度を計る度合い
o
g
-宮岡不等式
である . Cの特異点解消の全逆像に関する l
から，次の評価式が得られる.
不等式 I
2
μ(
C
)< 一三一(
2
d-
- 2v+l
3
d
)
また，被覆指数付きの宮岡型不等式の帰結どして，次の
評価式が得られる.
不等式 1
1Cが ADE特異点のみを持つ場合 ， d三 6なら
ば，不等式
μ(C)5it-d+ 玄 (j-1)
o
pεSingC .
f
.
p
が成立する。
次に Cで分岐する被覆を用いる方法を紹介する .C
のア
フィン部分の定義方程式を f
(
x，
引としておく .n を dの
n=f(x，
y
)を考える .C
約数どするどさ，巡回被覆曲面 z
-45-
の特異点 pは正規特異点長に対応する.この曲面の
非特
異射影モデル X党のネーター公式を変形するこどによって，
次の形の不等式が成立する"
I
I
不等式 I
2 1
， _"
3_
n
2
E CN十 b(X)
2 .n- 1.n- 1pεsing(C)y 1 n
μ (C)<(:+~)d~-~d+ 一一十一-
3.6n/
したがって ，X犯の消滅定理あるいは評価式があれば μ(
C
)
の新しい評価式が得られる.ザリスキーの次の結果は非常
に有用である.
X
=0である.
定 理 Cが既約で nが素数の巾ならば，ム (
n)=
上記の評価式はどれが最良どいうこどはなく，適用する
y
2_ x3=
=o
}のみを持
ケースによって異なる.通指尖点 {
つ d次既約平面曲線に適用してみる .s
(
d
)でそのような d
次曲線の特異点の個数の最大値どするど，不等式 1
1から，
2_ 斗
s
(
d
)く
三d
-1
6
8
が得られる.このこどから， l
i
m
s
u
ps
(d
)/d2 < 長が従う.平
野厚子さんは修論において l
i
ms
(Ck)/d
(Ck?=
=9/32どな
る曲線の列を構成した。
上記のザリスキーの結果は Cが既約でないどきには，そ
の成分の個数を
T どするどき，次の結果に拡張されるこど
が判明した.今後の応用が期待される.
定 理 n が素数の巾ならば，ム (X
nl
)
(
r-1)が成
n) <(
立する.
-46-
曲線の発展方程式の周期解
(東京学芸大・教育)
溝口紀子
T >0
，
K = (Rj2πZ)x(RjTZ)，
j:K → R とし
、
‘
‘
，
，
，
，
噌Eム
，
rt
、
、
Ut= 1代'
'
Uxx十 u-f
) i
nK
を考える。
1
)は 平面上の閉凸曲線の運動方程式
方程式 (
V =k-q
(河，
t
)
(
2
)
(ただし、 V: 内向き成長速度，k: 拘向き曲率，q:t
に関して T一周期的)を G
a
u
s
s媒介
変数
Z で表す之とによって得られる。このとき?
分条件として，
関凸曲線の運動を表すための必要十
1
)の解 uは
方程式 (
fπJLdz=o，M T )
(
3
)
(
x，
t
)
をみたさなければならない。
1
)に対して
方程式 (
次の結果を得る。
定 理. j
，
j
tEC
(
K
)，
j>0で?
2π
1
0仇
仰x=0，vt巴[げ)
n
W
;
ならば，(
3
)をみたすような方程式(1)の正舘解 U E
，
l
(
K
)が持する。
p>l
(証明) 方程式 (
1
)を解くために，まずJを smoothとし 1 次の近似方程式を考える:
+め2(uzJ-Jli-( +-L… f
)
)
(
'
U+ε
2
)
2
ご
ε('
U
)
'
U
t= (
'
U
匂
-47-
i
nK
(
4
)
ただし，
ι8mooth ，と~(8) 三 0 ，\1 8>0
と
，c
(
8
)コ 8+ε2YS どm
ε，
maX(8十ε
2，
7
7
Z
ε
)三ι(
8
)
:
:
;
3C max(8十ε
2，
m
ε)
，
¥
18>0，
1
unt
m <江[
(
V
2 ε
8
b>08
.
t
.b
8十一一一一
8十
一一一 f
20
，
¥
18>0をとる。
(
8十日 )
2(
，C
A
8
) )一
¥V
叫口
(
u十 ε2
?
(
uxx- b
u+v
)
¥
lvE
C
(
K
)に対して?
i
nK
の解 ~l が W;，l(K) で一意的に持するので ， T を υ に u を対応させるような写像とす
ると ，T:
C
(
K
)→
C
(
K
)連続， compacもになる。ゆ :R-→R を
i+-iL-(s+-L-f)?
ゆ(
8
)ロ {VV'(8+ε
2
)
2
¥
V ，C
A
8
)
10
8<0
とすると ，Toゅの 0でない不動点は方程式 (
4
)の正値解である。
次の
ap
r
i
o
r
i評価を得る:
ヨM ，
吋 >0:
I
f
l∞，I
f
t
l∞にのみ依春 8
.
t
.
Vε>0，
¥
1U >0:
8
0
1
.o
f(
4
)に対して
6三u
(
x，
t
):
;M ， ¥
I(
x，
t
)E J{
とのごとから，
適 当 な 凡 γ >O;R>rをとると
d
e
g(
I-T0 仇B
R
(
O
)，
O
)=0，d
e
g(
I-T0 仇B
r
(
O
)，
O
)=1
従って 1
¥
ε>0に対して
(
4
)の正値解%が春在する。
之のとき，
ヨC>Os.t.ilhez
110
だから
dz!<csVε>
u
c
(
x，
t
)+ ε2W~1 ー
h の極限 u は (
3
)をみたす 方程式 (
1
)の解である。 fが一般の場合は?
smoothな関数で近似すればよい。
-48-
S
c
h
r
δ
d
i
n
g
e
r作 用 素 に 対 す る 波 動 作 用 素 の L
P脊 界 性 と そ の 臨 用
東京大学数理科学研究科谷島賢二
この講演では
S
c
h
rるd
i
n
g
e
r作 用 素 の 対
H =Ho十 V，
Ho=ームロー (
δ
2
/
θ
x
i+・・・十 8 2 /θx~)
1
こ対する波動作用素
42A
、
‘
11I
'
'
i
i
t
He
t
H
o
日ノま=s-l
i
me
-i
t
→土∞
が，ポテンシャル V~こ対する適当な仮定の下で，任意の l~p~ ∞に
対して
L
P
(
R
m
)空 間 上 で の 有 界 作 用 素 に 拡 張 さ れ る こ と を 示 し ， そ の い
くつかの応用を与える。
Rmの 中 を ポ テ ン シ ャ ル V(x)による
力 の 場 内 で 運 動 す る と す る 。 粒 子 の 状 態 は L2(
R
m
)のlIu
l
l=1なる関数
質量が m の量子力学的粒子が
で記述され，その時間変化は
を用いた
S
c
h
r
o
d
i
n
g
e
r作 用 素 H =(
1
/
2
m
)ム+V
(
x
)
S
c
h
r
るd
i
n
g
e
r方 程 式
t
f
三口(ーム十 V
(
x
)
)
u
(
t，
x
)
d
t
(
2
)
の解作用素 e
x
p
(i
t
H
):
u→ e
x
p
(i
t
H
)
uによって与えられる。
e
i
t
H
uの t→ 土 ∞ に お け る 挙 動 と H の ス ベ ク ト ル 構 造 と の 閣 に は
;
(
H
)，連 続 ス ベ ク ト ル
密接な関係があり ，H の点スベクトル部分空間 L
部分空間 L~(H) はそれぞれ，粒子の束縛状態，散乱状態に対応する。即
ち，uE L
;
(
H
)の状態の粒子は未来永劫有限な領域に存在するのに対し，
uE L~(H) の粒子は t → 土 ∞ で 任 意 の 有 界 領 域 か ら 飛 び 出 し て し ま う o
散 乱 状 態 の 粒 子 は t→ 土 ∞ に お い て 無 限 速 に 飛 び 去 り ， そ こ で は
力の影響なしの状態に漸近すると期待されよう。そこで散乱理論では，
e
x
p
(
i
t
H
)
uの t→ 土 ∞ で の ふ る ま い を ， 波 動 作 用 素 (
1
)を 用 い て 調
べる。波動作用素 (
1
)が 存 在 す れ ば ， 自 由 運 動 rifHou i
こ漸近する状態
e- t ぽ U:l:， U土 ε L~(H) ， が存在するロまた，任意の e- t 叫.1" U 巴 L~(H) ， が
自由運動 l
こ漸近するか否かは，
Im
αg
eWまは L~(H)
と同値である。
が
?
(
3
)
(
3
)が成り立っとき，波勤作用素は完備であるという。 V
(
x
)
I
x
l→ ∞ に お い て V
(
x
)= O
(
l
x
l
-1-
，e>0の 様 に 減 衰 す れ ば ， 波 動
E
)
-49-
作用素は存荘して完備である。この時 ， w土は L 2 (Rm) から L~(H) への
ユユタリ作用素である
この搬な物理的な観点から興味のほかに，波動作用素は数学的にも興
味深い性質をもっ。定義から直ちに
e-itHW
土ロ
t
前
W土 e-i
(
4
)
が成立する o (
4
)から， F
o
u
r
i
e
r変換と f
u
n
c
t
i
o
n
a
lc
l
a
c
u
h
胞 を 用 い れ ば ，R
上の任意の B
o
r
e
l関 数 fl
こ対して，
f(H)Pc(H) 口 W土 f(Ho)W~
wま は こ つ の 作 用 素 f(Ho) と f(H) の 連 続 ス ベ ク ト ル 部
が成り立ち ，
f(H)九(
H
) を結ぶ作用素であることがわかる これから ，W土 の 作
用 素 論 的 な 性 質 を 知 れ ば ，f
(
H
) の性質はすべて ，f
(
H
o
)の性質から導
けることが知れる o 我々の主定理は次である。 m* (m- l
)
/
(
m-2
)，
2
(
x
)= (
1+I
x
I)
1
/
2 と書く。
分
D
口
(
x
)は Rm，m;:::3上の実数値関数で，適当な σ>2/m* に対し
保 定 1V
てF
(
(
x
)O"V)ELm"(Rm)，吏に次の
ρ}，(
2
)のいずれかを満たす。
1
.I
I
F
(
(
x
)σV
)
I
I
L
m
.
(
R
m
)は十分小さい。
ゑ 空 間 次 元 m =2m'-1 は奇数で
l
a
l:
;max{O，m'-4}を満たす任
意の α に対して
¥
(
dV/dx)
(
x
)
¥:
;Cc
.(
x
)
5，
C
.
C
.
o>max(m+2，
3m/2- 2
)
.
定 理 1V が上の仮定を満たし，更に Oは H の固有値でもレゾナンスで
もないとする口この時，任意の
l
<
p
:
:
;
;∞ に 対 し て ， 波 動 作 用 素 W土は
L
P
(
R
m
)上の有界作用素 i
こ拡張される。
この定理は伊jえば次のように用いられる。
定 理 2 定理 1の仮定が成り立つものとする G この時，任意の
2
:
:
;
;
p
:
:
;
;∞
l
/
p+l
/
qロ 1，に対して定数 Cp >0が存在して
¥
t
lm(1/p-l/2)1fI
I
q， fEL2nL
q
.
1e-itH九(
H)fI
I
p
:
:
;
;Cp
参考文献
凶
{
1
]Ya
弘巾，
o
p
e
r
‘
刀
a
αt
o
r
s
，
p
r
e
p
r
i
n
t
電
-50-
F
自 己 共 名 主 イ 乍 用 卦 毒 の R了 換 性 ‘
内 山
私はヒ jレベルト担問の縮小作用素の
最近
充
c
a
n
o
n
i
c
a
lm
o
d
e
lt
h
e
o
r
y について勉強してきたが，
自己共投作用素の可換性に興味を持ち，いくつかの結果を得たので，それを報告しま
す。
S1
巾(ベき)
T
有界作用素
(Tx， x) 註 O
アクレティブ
T 詮 Oと は す べ て の ベ ク ト ル
について
xについて
Re T 話 O なるとき
を意味する。
Tは
と呼ばれる。
補助定理(D
e
P
r
i
m
a，抗 i
c
h
a
r
d ) 全 て の n について
n
T
が
アクレティブ
T詰 O
=今
まず，これを次のように拡張しよう。
定 瑠 1.
コ
中
定瑠 2•
=今
これらで
定 理 3•
Re X詰 Re Y，全ての n について
X=T
a
a
n
Re X詰 Re Y，
X， Y
Y = T*
s，a.
は共に
S
X
n
x
n
+Y
が自己共投
s，a.
n
十
Y 話 O
， a.
ReX詮 ReY は必要で、ある。
A孟 0，B這 C
る
﹀一一で
。ぁ
可
A 換
n
C と
C
十'
nB
B は
AA
=今
ABn + BnA逗 o =今
系 1•
A 逗 o，
系 2.
O詰 A ， B す べ て の n ， t> 0について
=今
A と Bは 可 換
-51-
Aと Bは 可 換
A25
五 (A+tBn)2
~
スベクト jレ
I
J
境序
2.
自己共役作用素
A， B
が
E(
λ，
) F(九)，
A
.
.
!
.
.
.
B とは
定瑠 (0180n)
定理 4.
A~五 B
をもっとき
E(λ)孟 F(九)
0話 A ， B
A
SB
A
仲間 p
件
(すべての λ
) を意味する。
のとき
n
仲
スベクト jレ脇
~五
B
n
(すべての n)
t A ~五
(t> 0)
exp (
ぺ
系3
.
A
<
'B， Cが A， Bに 可 換 坊
定理 5•
exp (
t A) 孟
功
tB
exp
A+C..!-.B十 C
exp (
t(A+sB) )
，
(すべての s， t>O)
A と3は可換
A ， Bが有限狩列のときは条件をゆるめる事ができる。
系4
.
W31は作用素から成る線形空間
W 内の
X，Y話 O について
exp(j ( ー )
坤
定理 6.
W=W*
1
話 2(exp X +exp Y)
W の元は可換
日(
s
) は区間
で定義された実解析概数で，自己共役作用素を値にとる。
H(
s
)がスペクト jレj
噴序で単調ならば
52-
H(
s
) の元は全て可換である。
Semilinearheatequations
andtheNavier-Stokesequation
withd
i
s
t
r
i
b
u
t
i
o
n
sa
si
n
i
t
i
a
ldata
MasaoYamazaki(
H
i
もo
t
s
出 回h
iUn
iv
e
r
s
i
t
y)
T
h
i
si
saj
o
i
ポ w
orkwithH
.Kozono(NagoyaU
n
i
v
e
r
s
i
t
y
)
.
I
nt
h
i
st
a
l
kwec
o
n
s
i
d
e
rt
h
eCauchyproblemf
o
rs
e
m
i
l
i
n
e
a
rh
e
a
te
q
u
a
t
i
o
n
son]Rn
:
(
1
)
(
2
)
ZM=
ムu
(
t，
x
)十
州，
x)
)
u
(
O，
x
)=α(
x
)
l
n ]
0，
∞
[x設
へ
R
7
1
3
on I
wheref
(σ)i
sal
o
c
a
l
l
yL
i
p
s
c
h
i
t
zcontinωusf
u
n
c
t
i
o
nonC s
a
t
i
s
f
y
i
n
g
(
3
)
，
f
(
O
)= 0 and I
f
(σ)-f
(ρ
)
1:
;01σ-ρ1(
1
σ
i
γ
1十 I
p
l -l)
f
o
re
v
e
r
yσ?ρEC withsomeconstantsγ>1and0 > O
. At
y
p
i
c
a
l問 ampleo
ff
(σ)
閥抗s
f
y
i
n
g(
3
)i
sf
(σ)口 土 l
σ
￨
γ
1
σ
.
t
o
k
e
se
q
u
a
t
i
o
non]Rnf
o
rn三2
:
Wea
l
s
oc
o
n
s
i
d
e
rt
h
eCauchyproblemf
o
rt
h
eNa
v
i
e
rS
也
(
4
)
θu
δt-AztA十 (
u
.¥
7x
)叶
¥
7x
1
fロ O
l
n ]
0，
∞
[x]
R
ぺ
l
n ]
0，
∞
[
× Rn?
Rn
.
u
(
O，
x
)=α(
x
) on ]
¥
7x
'u=O
(
5
)
(
6
)
句rα(x
)s
a
t
i
s
f
i
e
s¥
7x・α(
x
)口 O
.
Supposet
h
r
o
u
g
h
o
u
tt
h
i
st
a
l
kt
h
a
tt
h
ei
n
i
t
i
a
lv
e
l
o
c
i
Wec
o
n
s
t
r
u
c
tnewf
u
n
c
t
i
o
ns
p
a
c
e
si
nt
h
esamewaya
st
h
eBesovs
p
a
c
e
s，
basedon仕l
e
P-spaces，
andt
oshow出
品
，i
ft
h
ei
n
i
t
i
a
ldataα(
x
)
Morreys
p
a
c
e
si
np
l
a
c
eo
ft
h
es
t
a
n
d
a
r
dL
b
e
l
o
n
g
st
osomef
u
n
c
t
i
o
ns
p
a
c
e
saboveandi
t
snormi
ss
u
f
f
i
c
i
e
n
t
l
ys
m
a
l
l，
thent
h
eCauchy
problems(
1
)
(
2
)and(
4
)
(
6
)admi
も 叫 脚 色i
m
e
g
l
o
b
a
ls
t
r
o
n
gs
o
l
u
七i
o
n
swithaboundnear
t= 0，
p
r
o
v
i
d
e
dt
h
a
tt
h
ef
u
n
c
t
i
o
nf
(σ)i
n(
1
)s
a
t
i
s
f
i
e
s(
3
)withsomec
o
n
s
t
a
n
tγ>1十 2
/
n
.
Web
e
g
i
nwitht
h
ede
五n
i
t
i
o
no
ft
h
eMorreys
p
a
c
e
s
.F
o
rpandqs
a
t
i
s
f
y
i
n
g1<q<P< ∞
，
t
h
eMorreyspaceM ~ i
sde
:
f
i
n
eda
s七hes
e
to
ff
u
n
c
t
i
o
n
su
(x)巴 L
f
o
c(]Rn
)s
u
c
ht
h
a
t
I
l
uIM~II
= s
u
p
_~up Rn/p-哨
xoEl
!
¥nR
>o
I
l
u
I
L
q
(
B
(
x
o，
R))I
1< ∞
?
whereB(
x
o，
R)d
e
n
o
t
e
s七hec
l
o
s
e
db
a
l
li
n]
Rnwi出 centerx
oandr
a
d
i
u
sR
.
F
o
rpandqa
sabove，
rε[1，
∞
!
子nd8ε，
R
] wei凶土oducethespaceλ ，
q，rl as
u
b
s
p
a
c
e
o
f5
'，
a
st
h
er
e
a
li
n
t
e
r
p
o
l
a
t
i
o
ns
p
a
c
e.
N
;
， q，
r口
((ーム)-81/2ML(-A)-S2/2Mi)o，
Hwhere
81 =
1
=8
2，
8E]
0，
1
[and8= (1-8
)
8
1十 8
8
2・
Thenwecans
t
a
t
eo
u
rmainr
e
s
u
1
tf
o
r(
1
)
(
2
)
;
r
T
y
p
e
s
e
tb
yAMS-'IEX
-53-
Theorem1
. Supposet
h
a
tf
(σ)s
a
t
i
s
f
i
e
s(
3
)wi油 somec
o
n
s
t
a
n
tγ >1十 2/n，
and1
e
t
p andqber
e
a
1numberss
u
c
ht
h
a
tγ < q:
:
;p and凶 a
tn
(γ -1
) < 2p< nγ(γ-1
)
.
Then t
h
e
r
ee
x
i
s
t ap
o
s
i
t
i
v
enumber 5
0 anda c
o
n
t
i
n
u
o
u
s
，strict1yincreasingfunction
ω
(
5
)∞ [
0，州制i
s
かmgω(0) 0 such that，f
o
re
v
e
r
y α(
x
)巴 N
P
;
J
2
2
/
(
γ-1) s
a
t
i
s
f
y
i
n
g5 =
の)iM;22/H15609there向 仲 切stsas01ution1仰 )of(1)
1
∞]
0，
∞[X ~n i
nt
h
e叩 a
抑C
印θ L
o
∞
o(
い
]
拘
0，
∞
叫，[幻
N;
2
2
F
/
パ
(刊刊)). T
.
'
時
h
es
山
仙
0
1
d
u
t
i
古
“
白
1
出
1
n
u
o
u
s
1
か
'
yd
ゐi
:
酔
f
i
e
r
沼
e
n
話
t
古
“
i
品
伽
a
b
1
e加
i
n tand 昔w
叫
抑l
印
C
ec
o
n
t
i
n
u
o
u
s
l
yd
i
泊
{
f
祉
e
r
e
n
対
叫
t
訂
品
i
a
b
l
e加
i
n♂ 問 ds
a
t
i
s
f
i
e
s
sup仰 が /
(
γ-1)-n/2pI
I
U
(
t，
・
)IM
引1:::;ω(5)andu(t，
・
)
→ αi
nt
h
ew
e
a
k
*t
o
p
o
l
o
g
yo
f凶 e
佃
F
s
p
a
c
eBZip-1)ast→十o
.
Example. Supposet
h
a
t1:
:
:
;
γ <p<∞
.Thenwehave
u(x) 口日 (Xjr~山 GM1CML，∞・
n
刷会(← -bf(ZI)21一 山一一
口 ( 叫 山 εペ
い
I
tf
o
l
l
o
w
s
U ;G1
jJ
j=2
~
2
3-n十 ザη 2-2n十 9
Ont
h
eo
t
h
e
rhand，i
fn 三 3，wehave 1+
ーn
<ρ(η)ロ
V2<2.
Hence，
f
o
re
v
e
r
yγε ]
p
(
n
)ス
[
， wehave1+2/n < γ
.P
u
t
t
i
n
gp 口 η(γ-1
)
/
(
3-γ)，
wehaven/p- 2/(γ-1
)= -1. Thei
n
e
q
u
a
1
i
t
yγ
2_ (
3-n
)γ… n > 0i
m
p
l
i
e
s
γ <p
.
F
u
r
t
h
e
r，
t
h
ei
n
e
q
u
a
l
i
t
y1<γ<2i
m
p
l
i
e
s(
3-γ)γ-2>0，
andh
e
n
c
e
2n
(γ-1)
n
(γ-1)<3-γ =2p<n
γ(γ-1)・
I
七f
o
l
l
o
w
st
h
a
tt
h
ed
i
s
t
r
i
b
凶i
o
nc
(
θu
/θX
1
)
(
x
)
c
a
的 et
a
k
e
n加も hei
n
i
t
i
a
lv
a
l
u
eo
fTheorem1
r
o
v
i
d
e
dt
h
a
tt
h
ec
ο
n
s
t
a
n
tci
ss
u
f
f
i
c
i
e
n
t
l
ys
m
a
l
l
.
w
i
t
hq口 市 p
4
)
(
6
)
.
v
V
en
e
x
ts
t
a
t
eo
u
rmainr
e
s
u
l
tf
o
r(
Theorem2
. Fore
v
e
r
ypandqs
u
c
h出回 1:
:
;q:
:
;p < ∞ andt
h
a
tn < p，
t
h
e
r
e町 田
i
s
tap
o
s
i
t
i
v
ec
o
n
s
t
a
n
t5
0 andac
o
n
t
i
n
u
o
u
s
，strictlyincreasingfunctionω(5)on[
0，
5
]
0
s
a
t
お
かmgω(0) =0 such that，ゐ'
re
v
e
r
y α(
X
) ελf;23satisiM
昭 ¥
7x ・α(
X
) =0
and5 = 11α(z)lM;2311 三 九 t
h仰
向 u
e
l
y切 s
t
sas
0
1
凶i
o
nu
(
い )of(
4
め
糾
吟
削
)
州
(
一
べ
(
5
め
例) 血
OO
C∞
]
伊
]
拘
州
0 ?
門
ぺ(
叩 du
(t
γ
，
.
)→ αi
nt
h
ew
e
a
k
*t
o
p
0
1
0
g
yo
ft
h
es
p
a
c
eBぷ
∞ ast→ +0.
ο
1
Example. We have p
.v. 一巳 λfiω(~) ， s
i
n
c
ei
ti
st
h
eH
i
l
b
e
r
tt
r
a
n
s
f
o
r
mo
ft
h
e
X
l
measure 5
(x
) εBf，
∞
(
l
R
) =Nt1 ，∞(~).
have p
.v
Z
土 EMiJn)C ペ仏(~n) おr
•.，
0，
p
.v
c(0，
¥
(
N
o
t
et
h
a
tp
.v. 一手 M1(~).)
手
)canbetaken
L
泌
.
1
.
'1/
出
Hence we
e
v
e
r
yp > n
. I
tf
o
l
l
o
w
st
h
a
t
。
t
h
ei
n
i
t
i
a
lv
a
l
u
eo
f叩
T
T
も
h
工
e
ωrem2悦
wt
ぬ
hqε [
1，
p
/
f
o
re
v
e
r
ynど2，
p
r
o
v
i
d
e
dt
h
a
tt
h
ec
o
n
s
t
a
n
tci
ss
u
f
f
i
c
i
e
n
t
l
ysmal
.
1
υ
P﹁
A 叫ゐ
非有基的集合論とその応用
北海道大学理学部数学教案
辻下徹
1
9
9
3
.
11
.1
0
自分自身を含む集合は、今世紀後半になって数学の世界から姿を消してしまっていたが、理論的
計算機科学のプロセス理論を数学的に基礎付ける試みのなかから 80年代後半に再び姿を現し、積
駆的な役割を果たしはじめている。 A
c
z
e
lはこの種の集合の振る舞いを明確に規定する公理 (AFA:
A
n
t
i
f
o
u
n
d
a
t
i
o
naxiom) を見いだし、 Z
e
r
m
e
r
o
-F
r
a
e
n
k
e
lの公現系の中の有基性公理を AFAに寵
き換えたもののモデルを構成し (
[
1])、非有碁的集合論 (
n
o
n
w
e
l
l
f
o
u
n
d
e
ds
e
tt
h
e
o
r
y
) 1を構築し
た(わかりやすい紹介としては [
2
，][
3
]がある)。
この集合論はプロセス研究にとどまらず、穏々の循環的様相を内包する現象の分析・理解を容
易にする障明な記述法を与えており、数学者に馴染み深い集合論の枠組の表現力を飛躍的に増大
させた。
談話会では、非存基的集合論の概要を解説し、その有用性を示す例をいくつか紹介した。
参考文献
[
1
]P
.
A
c
z
e
l，
Noηw
e
l
l
f
o
.
u
n
d
e
dS
e
t
s，
CSLIL
e
c
t
u
r
eN
o
t
e
sN
o
.1
4，
C
e
n
t
e
rf
o
rt
h
eStudyo
fL
a
n
L
e
l
a
n
dS
t
a
n
f
o
r
dJ
u
n
i
o
rU
n
i
v
e
r
s
i
t
y
，
1
9
8
8
.
g
u
a
g
eandI
n
f
o
r
τ
n
a
t
i
o
n，
，TheLiαr，AnEssαyonTruthα
η dC
i
r
c
1
山r
i
t
y，
OxfordU
n
i
v
.
[
2
] J.
B
a
r
w
i
s
eandJ.
Etchemendy
P
r
e
s
s，
1
9
8
7
.
H
y
p
e
r
s
e
t
s，
TheM
a
t
h
e
m
a
t
i
c
a
li
n
t
e
l
l
i
g
e
n
c
e
r，
1
3
(
4
，
)p
.
3
1
4
1，
1
9
91
.
[
3
]J
.
B
a
r
w
i
s
eandL.Moss，
1これを
H
y
p
e
r
s
e
tt
h
e
o
l
'yと呼ぶ人達もいる。
-55
内容の概略
@非有基的集合論の概要
- ZermeloF
r
a
e
n
k
e
lの公理系
一集合の p
i
c
t
u
r
e，
graphの d
e
c
o
r
a
t
i
o
n，
b
i
s
i
m
u
l
a
t
i
o
n
-A
c
z
e
lの非有基性公理 AFA
AFAの技術的意義
牢集合方程式系の解の一意性
*クラス作用素の器定点の存在
- AFAの象徴的意義
@応用倒
一非有基的文:自己参照文
*ゲーデル文:非有基的集合論の不完全性
牢状況理論:自己参照文
一知識論理のモデル
ープロセスの歴史表示から集合表現への変換
-趨準数学の基礎付け:内的集合論のモデルの構成
-56
R3での平衡ベクトルポテンシャルについて
山口博史(磁賀大学教脊学部)
序
。 3次元ユークリッド空路に置かれた任意の滑らかな電導体に十 1の電
荷を与えると，電荷はその表面に均衡に分布し、それより生じる議場が導体
内では垣等的に Oとなる状態、いわゆる平衝状態に到る。その時の電荷分布
は平衡電荷分布と言われる。これより空間内に平衡電場が生じる。この事実
はポテンシャル論の基盤の一つになっている。この講演では、ソレノイドの
一般化として、磁場についても同様のことが蓄えることを述べる。
霊童渡ε 先す、 R3のベクト Jレ場 J
(ぉ
)
ニ(
1
1，1
2，
1
3
)が次の二条件 (
l
).
f
;E
CO
'(
R
3
)，(
2
)d
i
vJ
(吋 =0，を満たす時、 J
d
v
vx
xを体積電流と雷う。但し、 d
はR3 の体積要素。空間内の任意の際曲線 γ に対して、 γ を通過する J
d
vx
の全噂流を J
b
'
)= J
(ν
)
.nydS
Q=γ とな
y で定義する。ここに、 Q は δ
ん
る曲面、
ny は
Q の点
U における単位外法線ベクトルを表す。
次に、 D は清らかな閤曲面 2 で圏まれた領域とし、
とする。曲恵お上のベクトル場
D'=R3¥(
DυI
:
)
J
(
x
)=(
1
1，1
2，
1
3
)が次のニ条件:
1
.f
iEC∞
(
I
:
)
2
.dS をおの面素とする時、超関数の意味でみ1d
v
"
，;
..
Jd
品(
n→∞)
となる体積電流の列 {
.
J
n
d
v
n
=
1，
2， が存在する
x}
'
C
，
を満たすとき、 .
JdS
x をお上の寵電流と言う。次のベクトル値積分を考える:
=村出お叫
B
(
x
) =村正条 xJ
(
y
)
A
(
x
)
(
ぉ
モR
3
)
(
xEDUD')
B
i
oふS
a
v
a
r
tに被って、 A
(
x
)を面電流 .
JdS
(
x
)
x のベクトルポテンシャル、 B
を JdS
(
x
)はおに沿って次の gαpを有する:
x より生じる磁場と言う。 B
J
1
1
E
O
B
(
z
)
J
出
。 B(x)二
九
。 x.
J(
x
o
)
xED
f
o
rXoEI
:
.
xED'
任意の閉曲線 γCDUD'に対して、 E 上の商竜流 .
JdS
x の 7を通過する全
=
V
電流を .
J[
γ
) lim
丹→∞ J
γ
]で定義する.但し、 {
J
nd
x
}
n
=
1，
2， は 2で述べ
n[
たものである。
平街面電波に関する主定現。
，
むから生じる DUD'
今、お上の商寵流 .
JdS
上の磁場 B
(
x
)が、偶々、 D'上で恒等的に Oになったとする。このとき、.JdS
"
，
可
t
Fhu
をお上の平街頭1
寵流と名ずける。そのベクトルポテンシャル A
(x)を平衡ベ
クトルポテンシャル、 B
(x)を平衡磁場と雷う。
定理.
{
γ
d
i
=
1，
2
γ
，
qを
D の 1次元ホモロジ…基底とする。このとき、
1.各 i(
1:
:
;i:
:
;q
)f
こ対して、 J
i
[
γ
j
]=O
i
j(
1:
:
;Vj:
:
;q
)を満たす平衡部
J
i
d
S
xが一意的に存在する.
2
. E上の任意の平衡商電流は {hdS
;
=
1，
2
，
.
.
， q の一次結合で表せる。
x}
王子高面電流はある種の撞値的性質を持つことが証明出来る。更に、記上
に条件:I
o
[
γ
'
j
]=O
i
j(
1三Vj:
:
;q
)を満たす詣電流 IodS
xが与えられたとす
る
。 I
o
d
S
:
o
(
x
)を生じる。その磁場は、自然に、条件:h
b
'
j
]二 O
i
j
vは磁場 B
を満たすE 上の面電流
ι
hl
S
xを生じる。 hdS
l
(
X
)を生じ、ム (
x
)
xは磁場 B
は、自然に、条件:1
i
j
]=O
i
jを満たす 2 上の面電流 1
S
2[
2d
xを生じる。以
下同様にして、逐次的に E上の面電流の列 I
odS
" が得ら
x
1hdS
X
112dS
x
1'
れる。このとき、この列{ん d
S
x
}
nは定理の 1に述べた平衡面電流 J
i
d
S
xに
収束することが証明される。却ち、物理的思考実験によって、平衡冨電流に
到達出来ることが分かる。
-58-
TWO-DIMENSIONAL NONLINEAR
ELLIPTIC EQUATIONS RELATED T O
TRUDINGER-MOSER'S INEQUALITY
TAKAYOSHI OGAWAtAND TAKASHI SUZUKI+
↑Departmento
fMathematics
Na
goyaUn
i
v
e
r
s
iもy
tDepartmentofMathematics
EhimeU
n
i
v
e
r
s
i
t
y
Wea
r
ec
o
n
c
e
r
n
e
dwitht
h
ef
o
l
l
o
w
i
n
gn
o
n
l
i
n
e
a
re
l
l
i
p
t
i
ce
q
u
a
t
i
o
n
s
:
iノ
、
、
、/i
ム
ー
(
ー
ムudued
u=0
，
z
ε B，
xEδfl，
whereB口 s
1
(
0
)C J
R
2i
sau
n
i
td
i
s
ki
nR2and入 i
sap
o
s
i
t
i
v
ep
a
r
a
m
e
t
e
r
. Wec
o
n
s
i
d
e
ra
f
a
m
i
l
yo
f801ut
i
o
n
so
f(
1
)s
a
t
i
s
f
y
i
n
g
ul
I
l
l
L
O
O→ ∞ 邸 入 → O
.
(
2
)
Theno
凶n
ea
.
r
i
t
yo
ft
h
ee
q
u
a
t
i
o
n(
1
)i
st
h
eS
o
b
o
l
e
vc
r
i
t
i
c
a
lexponenti
ntwod
i
m
e
n
s
i
o
n
.
F
o
ranydomainf
lC J
R
2，
I
ti
sw
e
l
lknownt
h
a
tt
h
eS
o
b
o
l
e
vs
p
a
c
eH
J
(
f
l
)i
sc
o
n
t
i
n
u
o
u
s
l
y
P(
f
l
)f
o
ranyp< ∞ buti
sf
a
l
s
ei
nt
h
ec
a
s
ep=∞
.Trudi時 e
r[
1
8
]showed
imbeddedi
nL
6
(
f
l
)withI
I
Y
'u
l
I
2口 1
，therearetwoconstantsα>0andG > 0such
t
h
a
tf
o
rany1l E H
t
h
a
t
か山
(
3
)
2
}
d
x:
:
;G
I!
l1
L
a
t
e
r，
Moser[
8
]s
i
m
p
l
i
f
i
e
dもhep
r
o
o
fandimprovedt
h
a
t(
3
)i
sa
l
s
ov
a
l
i
df
o
r
α
:
:
;47r. Here47r
i
st
h
eb
e
s
tc
o
n
s
t
a
n
to
ft
h
ei
s
o
p
e
r
i
m
e
t
r
i
ci
n
e
q
u
a
l
i
t
y
.F
u
r
t
h
e
re
x
t
e
n
s
i
o
n
sf
o
rt
h
i
si
n
e
q
u
a
l
i
t
y
，
s
e
eOgawa-Oza
.
wa[
1
1
]andOzawa[
1
3
]
.
Concerningo
u
rproblem(
1
)，
t
h
e
r
ea
r
etwod
i
f
f
e
r
e
n
ta
p
p
r
o
a
c
h
e
s
. Onei
st
h
ev
a
r
i
a
t
i
o
n
a
l
method."
'
¥
i
Vhcn"
¥
v
ec
o
n
s
i
d
e
rt
h
emaximizingproblemo
ft
h
ef
u
n
c
t
i
o
n
a
l
(
4
)
か山
2
}
d
x f
o
ruEHJ(!
l
)
，
1
1日 1
1
2
1
TypesetbyAMSτ
部
-59-
2
TAKAYOSHIOGAWAtANDTAKASHISUZUKIt
onab
o
t
(
ο
1
)
. Shaw[
1
5
]showedt
h
ee
x
i
s
t
e
n
c
eo
fap
o
s
i
t
i
v
es
0
1
u
t
i
o
no
f(
1
)f
o
re
a
c
hp町 ameter入 >0
n
(
s
e
ea
1
s
oA
c
l
i
m
u
r
t
i[
1
]
)
. Whent
h
edomaini
sab
a
l
li
nl
R，
t
h
emaximumcanbea
t
t
a
i
n
e
d
ldα=4π(
Carleson-Cha
時 [
5
]
)
.
bysomef
u
n
c
t
i
o
nevenwhenn= 2aI
Whent
h
ec
l
o
m
a
i
ni
sau
n
i
td
i
s
k，
a
1
1t
h
ep
o
s
i
t
i
v
esmooths
0
1
u
t
i
o
n
smustber
a
c
l
i
a
1
1
y
symmetricbyGida
.
s
N
i
N
i
r
e
n
b
e
r
g
'
sr
e
s
u1
t[
6
]
.T
h
e
r
e
f
o
r
et
h
eD
i
r
i
c
h
l
e
tprob1emmaybe
wn
もt
e
na
.
st
h
en
o
n
l
i
n
e
a
ro
r
d
i
n
a
r
yd
i
f
f
e
r
e
n
t
i
a
1e
q
u
a
t
i
o
n
:
(
5
)
{U~l~rr
~，;ー
zε[0， 1)
u
(
l
) 0， イ (
0
)=O
.
口
Bys
0
1
v
i時 (
5
)，
wecanob回
，i
nt
h
ed
e
t
a
i
l
so
ft
h
ep
r
o
p
e
r
t
i
e
so
ft
h
ep
o
s
i
t
i
v
es
o
l
u
t
i
o
no
f(
1
)，
whichi
sもhes
e
c
o
n
dmethod.At
此
ki
児ee
低X
1
凶
坑t
S
e
叩郎
n
l伺
C
eo
fr
吋
a
d
i
叫
a
1
抑
ysymmetrics
o
l
u
t
i
o
no
f(
1
)s
a
t
i
s
f
y
i
n
g
andprovedt
h
∞
I
l
u
l
l
L
∞→∞加入→ O
.
Ouraimi
st
os
p
e
c
i
f
ymorep
r
e
c
i
s
eb
e
h
a
v
i
o
ro
ft
h
ef
a
m
i
l
yo
fs
o
l
叫i
o
n
s{
(u，
入)}加入→ O
.
Wehaveもh
r
e
er
e
s
u
1
ts
.F
i
r
s
tones
t
a
t
e
sag
l
o
b
a
lb
e
h
a
v
i
o
ro
ft
h
es
o
l
u
七1
0
n
s
.
TheoremA. L
e
tubeap
o
s
i
t
i
v
es
o
l
u
t
i
o
no
f
(
l
)w
i
t
ht
h
eblowupc
o
n
d
i
t
i
o
n(
2
)
. Thati
s
I
l
u
l
l
L∞(的 =u
(
O
)→ ∞
a
.
s入 叶 O
.
.
v
e
Thenwela
u
(
x
)→ o
a
.
s入一→ O
0'
2
口ー・
n
u
岡山
一白
••
=ゆ>一
2d
euiμ
H2
7
A
J
つ
引
唱
4
一
ι
の
ふ
、
目
品
・
A
u z hいz h
、
也
(
8
)
ι
a
唱
(
7
)
入、入
m4m4m
、
314 A
(
6
)
pjariffB
i，
f
o
ra
1
1x巴 B¥
{
O
}
.Moreoverwehave
T
h
i
stheorems
a
y
st
h
a
tt
h
es
o
l
u
t
i
o
ns
a
t
i
s
f
y
i
n
g(
2
)mustblow-upo
n
l
ya
tt
h
eo
r
i
g
i
n
.The
i
n
e
q
u
a
l
i
t
y(
8
)showst
h
a
tt
h
es
0
1
u
t
i
o
nc
o
n
c
e
n
t
r
a
t
e
st
ot
h
eo
r
i
g
i
nw
i
t
hi
t
se
n
e
r
g
yd
e
n
s
i
t
y
2
lY' uI • Thelowerboundin(9)arisefromthesharpexponentoftheTrudingerinequality
(
3
)
.
Thes
e
c
o
n
c
lr
e
s
u
1
ti
sa m
i
c
r
o
s
c
o
p
i
cb
e
hαv
i
o
rn
e
a
rt
h
eo
r
i
g
i
n
. Whenwer
e
s
c
a
l
et
h
e
s
o
l
u
t
i
o
nbysomes
e
q
u
e
n
c
e，
もh
ent
h
es
o
l
u
t
i
o
nhasal
i
m
i
tf
u
n
c
t
i
o
n
.
nU
FO
TWO-DIl
¥
I
IENSrONALNONLINEARELLIPTICEQUATIONSRELATEDTOTRUDINGER-MOSER'SIN
Theo問 m B. The
児 i
sas
u
b
s
e
q
u
e
n
c
e{
(
um ，
入m
)}o
fafam
i
1
yo
fs
o
l
u
t
i
o
n
so
f(
1
)w
i
t
h(
2
)
andas
ca
.
l
i
昭 s
e
q
u
e
l
1c
eb'm}s
u
c
ht
ha
.tγm→ o
a
s入m→ o
whichs
a
t
i
s
f
y
2
u2(γmX)- u2(γm)→ 2
1
0
g
(一 寸 ) a
s入m →0
(
9
)
ムγ I
x
l
l
o
c
a
l
l
yl
山 f
o
1
'
1功 1
0nB ¥
{
O
}
.
Thel
i
m
i
tf
u
n
c
t
i
o
no
f(
9
)i
sane
x
a
c
ts
o
l
u
t
i
o
no
f…ムυ =2
ev. Remarkt
h
a
ts
i
n
c
et
h
e
∞nlinearityofourprol
巾 ml
Sロonhomogeneous，
t
h
eu
s
u
a
ls
c
a
l
i
n
gu→ γI
L
u
(γx
)doesnot
. (F
oro
t
h
e
rno
凶n
ean七yo
rt
h
eh
i
g
h
e
rd
i
m
e
n
s
i
o
n
a
lc
a
s
e，
s
e
eNa
g
a
s
a
k
i
S
u
z
u
k
i
workw
e
ll
[
9
]andI
toh[
7
]
.
)
Thep
r
・叩 e
r
t
y(
9
)was五r
st
1
yo
b
s
e
r
v
e
dbyCarleson-Cha
珂 i
nani
m
p
l
i
c
i
tw
a
y
.L
a
t
e
r
Struwe [
1
6
]o
b
t
a
i
n
e
das
i
m
i
l
a
rr
e
s
u
l
tf
o
rt
h
enon-compactmaximizings
e
q
u
e
n
c
ef
o
r吐l
e
l
.p
r
o
l
コ
lem(
4
)f
o
rt
h
ec
a
s
eα =4
7
仁 O
urr
e
s
u
l
tTheoremBi
s，
however，
必
di
古e
r
e
n
v
a
r
i
a
t
i
o
n
a
刊e
1
1
'
，
'
s
民 beca
凱.
u
s
ei
nourc
a
s
e，e
a
c
hf
a
.
c
to
ro
ft
h
es
e
q
u
e
n
c
e{
(Um，
入m)
}s
a
t
i
s
f
i
e
st
h
e
fromt
h
andt
h
e
r
e
f
o
r
ewe
e
q
u
a
t
i
o
n(
1
)
.I
V
I
o
r
e
o
v
e
revent
h
ee
n
e
r
g
yi
n
t
e
g
r
a
lmightblowupa
s入→ o
can∞
n凶
O
七 o
b
刈
コt
ね
凶
吋
a
l
は
山
m ap
r
巾
7
d
i
宵'
e
r
e
n
c
ef
色
:
r
‘omt
h
eva
ぽ
凶
r
討
j
a
ti
o
n
a
ls
e
t
抗
七m
g.
Fort
h
euniformc
o
n
v
e
r
g
e
n
c
e，
i
fweassumet
h
es
m
a
l
l
n
e
s
sont
h
ee
n
e
r
g
yf
o
rt
h
ea
s
y
m
p
t
o
t
i
c
t
h
e
n¥
'
.
'
ehavet
h
ei
o
l
l
o
w
i
n
g
.
s
o
l
u
t
i
o
n，
閃叫，
“
TheoremC. L
e
t{
(um，
Am)} b
et
h
esame出 i
nTheoremB
.I
fwea
d
d
i
t
i
o
n
a
l
l
yassume
t
h
a
t
忠
Eo詰 l TANumj2dz<伽
Thent
h
eCOllV臼 'g'
e
n
c
ei
nT
l
1
e
o
r
e
mB i
su
n
i
f
o
r
monB，
凶a
ti
s，
h
句E4
、
n
u，ノ
r'ak
u2(γmX)
2
u (γm)→ 2
1
0
g
(一一三す)
ム ゐ
+
1l
a
s入m → O
u
n
i
f
o
r
m
l
y0
1
1n
.
T、
h
e
ω
o1'e
r
u
ve
r114E1k
lノ
噌
噌
〆
'a
、
、 BE4ム
、
‘
一
一
ム
Lemma. L
c
tubea
.s
o
l
u
t
i
o
no
f
u=0，
X
E 0，
xEθO.
where0i
sa
.
1
1
j
'b
oundeddomaini
nJ
R
2
.
(
1
)I
f1
1ELJl(
n
)and♂
εLpl(0)with1<p< ∞，then
uEL∞ (
0
)
.
U
n1
(
2
)L
e
t{
(
u川九)}beafam
i
1
yo
f
.
s
o
l
u
t
i
o
n
st
o(
1
2
)w
i
t
h11
I
1
I1
うte
1
1::;ε<
l
l
p三 C，
n
釘 /
p
'
.Tl1en
I
l
u
n
l
l∞三 C i
nゐ!
p
e
n
d
e
n
to
fn
.
宅2・ふ
phv
TAKAYOSHIOGAWAt ANDTAKASHlSUZUKI+
4
REFERENCES
[
1
] Adimurthi，
E仇 s
l
e
n
c
eo
fp
o
s
i
t
i
v
es
o
l
叫i
o
n
so
ft
h
es
e
m
i
l
i
n
e
a
rD
i
r
i
c
h
l
e
tproblemw
i
t
hc
r
i
t
i
c
αlgrowthf
o
r
t
h
e7ト Lapla
.c
ia
.
叫 A
nn.S
C
U
O
.Norm.SUp.P
i
s
a11(
1
9
9
0
)，
3
9
3
4
1
3
.
[
2
]F
.
V
.AtkinsonandL.A.Peletier，Grounds
t
a
t
e
so
fーム u='f(u)andt
h
eEmde7
トF
owlere
q
uαt
i
o
n，
Arch
R
a
t
.l
¥
t
l
e
c
h
.Ana.
l93(
1
9
8
6
)，
1
0
3
1
2
7
.
[
3
]F
.
V
.Atkinsona
.
吋 L
.
A
.
P
e
l
e
t
i
e
r，
Grounds
t
a
t
e
sαndD
i
r
i
c
h
l
e
tproblemsf
o
r-su f
(吋 z
n民2，
A
r
c
h
.
R
a
t
.I
¥
'
l
e
c
h
.Ana
l
.96(
1
9
8
6
)，
1
4
7
1
6
5
.
[
4
] H.Brezisa吋 F
.Merle，Uniformestimateandblowupbehaviorforsolutionsof-su=V(x)巴 包 叩
twodimensions，
Commun.P.D芯 16(
1
9
9
1
)，
1223-1253.
[
5
]L
.Ca
山s
ona
吋 ふY
.A.Cha
珂 ，
Ont
h
ee
x
i
s
t
e
n
c
eo
fαne
x
t
r
e
m
a
lfunctionf
o
rani
n
e
q
u
a
l
i
t
yo
fJ.Moser
，
Bul
l
.S
c
.math.110(
1
9
8
6
)，
1
1
3
1
2
7
.
[
6
] B.Gidas，NiWふ/1.andL
.N
i
r
e出 e
r
g，Symmetryandr
e
l
a
t
e
dp
r
o
p
e
r
t
i
e
s仇 at
h
em
αximump
r
i
n
c
i
p
l
e，
Comm.I
v
l
a
t
h
.P
h
y
s
.68(
1979)，
209-243.
[
7
]T
.I
toh，Asymptotic behαv
i
o
ro
fs
o
l
u
t
i
o
n
so
fn
o
n
l
i
n
e
αr e
l
l
i
p
t
i
c 巴q
u
a
t
i
o
n
sw
i
t
ht
h
ec
r
i
t
i
c
a
lS
o
b
o
l
e
v
exponent，
l
ヲr
e
p
r
i
n
t，
TokaiU
n
i
v
e
r
s
i
t
y
.
伺
[
吋
8
]J
.Mo
回s
e
肌川
r" A 8
1
加
/
ω
，
口
(
t
J
:
r
[
9
司
] K.N刊 出 日 k
i日I
川l
C
ζ
dT.S山 u
叫k
i，
Asymptoticαn
a
l
y
s
i
sf
o
rtwodimensionale
l
l
i
p
t
i
ce
i
g
e
n
vαlueproblemsw
i
t
h
巴おp
onenlia
.
1
l
ν山 mina
.t
e
dnoninea
川
， i
e
s，
Asymptot
，
i
cAna
l
.3(
1
9
9
0
)，
1
7
3
1
8
8
.
J
T
O
o
fo
fTrudinger'
sinequαl
i
t
yandi
t
sα
p
p
l
i
c
αt
i
o
nt
on
o
n
l
i
n
eαrSchrodi
吋 e
r巴quαt
i
o
n
s，
[
1
0
]T.Ogawa，A 7
No凶 l
n
e
al' /
¥
n
a
l
.T
.
l
v
1
.A 14(
1
9
9
0
)，
765-769.
[
1
1
]T
.Ogaw日 ndT.Oza
.
wa
・
，Tr~Ldinger typeinequalitiesand~Lníq~Leness ofweaksolutionsforthenonlinear
Schro
・の・吋巴T 行 間 e
dpToblem，
J
.Math.Ana
l
.App.
l155(
1
9
9
1
)，
5
3
1
5
4
0
.
[
1
2
]T. Og日川日 ndTふ
4
向
7
η
z巴q
v
，
a
α
.
l
;
μ
i
t
ν
，Prepl'i
n
tNagoyaU
n
i
v
e
r
s
i
t
y，
[
1
司
3
]T.Oza
日
川
， 0
凡
コc
'
叫
，
担
[
1
4
]Sふ Pohozac川
v，
E匂 巴 例7ηザ
L
f
叩
u
η
7
1
c
tz
oη
山 sザ
0
'
ft
仏
h巴 e
q
u
a
t
i
oη ムu +入f
(
u
)=0，
Dokl
.Akad.Nauk.SSSR165(
1
9
6
5
)，
1408-1
<
111
.
i
担
1可
5
]Mei-Ch
吋
i
i出
S1
川t
日
a
¥
汎
1
1
川
川
1
129(
1
0
8
7
)，
3
.
1
!
)3
5
6
.
[
1
6
]M.Struwe，O
r
i
t
i
c
αlp
o
i
n
t
so
fembeddingso
f 時 i
n
t
oO
r
l
i
c
zs
p
a
c
e
s，
Ann.I
n
s
t
.HenriP
o
i
n
c
a
r
e，
Ana
l
.
No
凶 n
ea
なe
.5(
1
0
8
8
)，
425-464.
.Suzuki，
J
n
i
T
O
d
'
u
.c
t
i
o
nt
og
e
om
.e
t
.
r
i
cp
o
t
e
n
t
i
r
J
.
lt
h
.e
o
r
y，
F
i
J
n
c
t
i
o
n
a
lA
n
a
l
i
.
t
i
cMe
.
t
hodf
o
rPar
.
t
i
a
lDi恥 r
[
1
7
]T
e
n
t
i
a
lEquations(
S
p
r
i
n
g
e
rLectureNotesi
nMath.1
4
5
0
)，
H
.Fu
j
i
t
a，
T.
lkebe，
S
.
T
.Kurodae
d
s
.，
1990，
p
p
.8
8
1
0
;
3
.
[
1
8
]T.S山 u
k
i，
H
a
:
r
n
a
c
kp
r
i
n
c
i
p
l
ef
o
rs
p
h
e
r
i
c
αl
l
ys
叫 hα
rmonicf
u
n
c
t
i
o
n
s，
Ann.I
n
s
t
.HenriPoincare，
Ana
l
.
N
o
n
l
i
n
e
a
il
'e
.
[
1
9
]N.Tn
凶 時C
l
'，0
η i
mbedding i
n
t
oO
r
l
i
c
zs
pαceαnd some a
p
p
l
i
c
a
t
i
o
n
s，J
. 抵 抗h
.Mech. 17 (
1
9
6
7
)，
4
7
3
'
1
8
4
.
=
柵
，
“
川¥.れ川十
H
6
'
“
ワ
山
。
円
(
)
f
'
f
/
!
I
必んγん ρ
ゐんら>ょ ι
?
?
?
h
r
ー
必v
1
'
s
r
- ./?<.九，t~~f
A 尚一，
r
J•....v.ι 命
c< .
一一
一一ー一一一一一一一一-
Irdl....hL 之
~bJJllex.._..J{~必
-
hvØ;~.Ai;
.
. c~~c，L7o
手
}i
;
-
~lfQi~[e..ne.，...._
j
2
向1
L
'
.
r
'
.t&e ....CeJ."'t.uJ'ÿ.(/._....Æ.~御仁-'tL.t:.-kr.
一一一
b
一一一一一一一一一一一一一一d2与三 4~J~:r >
1ω
A
7
5
4
5
t
)
一一一奇え今-J~tI:..þtJ. 一一一
…
R
.
f
I
.
&
4 田正日一一一一
ω
r--J
一一品
何
~t'M.O叫ん札一 ).~4ι
4台
日
一
ω
…
一
Mー録制，d~iU/_....司令 __llt!!rl_一一必制。サムι-一色町一一ァ
戸二 f~.. T
f
1
.
.
.
.
C
r
:
f
.
:Ld{~J~~J 1
三-T '
P
SL(
ιl()一 一 一 一
ー
一一
一一一
ー
一
{
り
一一一一
一一
一一一一 6
3一一一一一一一一一一一一一…一一一一一一一一一一一一一一
子イ手 j
丹季ヒ
諸 説 jえ 雄
Djd'CRC-イ子 j
有害ヲエた守色 5
1
勾
二手 μ 笠乙郡鋭角区
一
花荒乎 &
ι ♂五イ手 j号
室
が
/
'
>
'
会 zjfdcjf一
子
五
ノ
3七 f/思j -:r:- jf ょの今夕え~ 7-~イェ
ヒ手金表忍芝t}t3こと
ノ
f
J
初荷 Iこ涜 I}〆
.
7 tmp;ZZPノ
1
;
'
ブ C上 ク 五 引 d
J訴
乙
Zな に i
は さ μ ザ グ ，1.:G/ ノ /;1吋 ρ 〆 L-~ o1
7
'Z∞
J
1
フ
キヂ lじ ℃ プ J;f均五テ多乙/乙」ι妥芝 t
l
c
3 亡と /Ji
:え
妥~ JニくすíJ~*- て t) 2
>
#
(C，.z，.. ょの jl~Y'/J ィ下珂棄の括タ鮮 D:::: γ。
ダ
ー
ア
ノY
I~- プ f均一十 a1f'mwLj ノえた匂心作/ば r a
.
c
i
I
'
c
z
.
1方/勾すゑ5J7'¥(/---竺一三 [
P
!
ま 53= 5
I
z
.j=-1 よ り }1 ミlレ
f
i
T匂み Y
/ γol:
tc
/
U
'
rr
:
zi
イf
'l
号寄ら7''
7
;
t3J'
トユアヅ
J
司L?
~竺41Z 有イ互に幻んした l旬~ヌどりー /ν
にLfク j
l
ま
ι
J
(
C
/
レ ム の ふo l
J
1?
)
d
es
f
i
J
z fJ J;.
p
グ =-0ノペヒ
(
J
去されノ
ー
~会ね
yψ 資の国有包/こえJメihLだ切符ヌと。ノ
l
レ jま / 初、仁を中 IL
:
: )こ Lj乞イ昼少の ~e均ヌ110 作
Sfi
n6Yl
J~ Jζ 長~
t
k
3こ と ガ ブ あ さ ふ た
i
o
ま
た S3ょ に [
p0 1
勾有為多乙 7lt 完ま a pofari
'
E
:qtl
l
c
.J::-.0伝比えたグクス:('(/多来停るiuzj
る
さ
れ33lf こ の 各 五 沙 j
'
1
1フy グ
イ'
f
J
.
昇
義 Dヲ ま 支j
寄
生イナヒ併存さ似ことを解説乙
初均五
1
2局
乙
1
l
J
.
. CA
1
:
d
i
R- s
'
，
21~" ←九tod~ を指タムえ理j
(
!
J
1
ι
J
'r
t
l
品わた
-64…
一般型曲面上の曲線について
京都大学数理解析研究所宮向洋一
斜本の性質をよく反映する j 、というのが、イタリア学派に端を発し、飯高によっ
「標準束は代数多t
て意識化された代数多様体分類理論の原理であり、 「多様体はその上の曲線によって統制される j と
いうのが森理論の背後にある哲学である。たとえば、標準東が負(微分幾何の雷葉でいえば R
i
c
c
i曲
率が正)であるような多様体は有理曲線の族で完全に覆われてしまうことが知られている。また逆に、
小平次元が非負(ほほ R
i
c
c
i出率が非正に対応、する)なら、有環曲線の族で完全に覆われることは決
してないことがすぐわかる。いいかえれば、有理由線が十分たくさんあることと、標準束が非負にな
らないこととがぴったり対応している。
しかし、小平次元(または R
i
c
c
i曲率)が Oのときは、アーベル多様体のように、有理曲線を一切
合まないものもあれば、その多様体に含まれる有理曲線の和集合が潤密になることもしばしばある。
実際、 K3曲面ではほとんど常に後者であるという D
.Mumford の結果がある。したがって小平次
元が中陪のときは、事態はさらに棲雑になる。
このように、多様体上の有理曲織の挙動は一般にはかなり複雑で統制するのが難しいが、小平次元
が最大、もしくは標準束が正のときは、有理曲線はあまりたくさんはないであろうことが、経験則と
して予想されてきた。さらに強く、 G
.Fa
1
t
i
n
g
s によって証明された Morde
l1予想の幾何学的類似とし
e
r
g
eLang は 1988年頃に次のような大胆な予想をたてた。
てS
X を一般型の(小平次元が最大値をとること。おおざっぱないいかたをすれば、 Ricci 曲
予想。
1
= X があっ
率が負であるということ)代数多様体とすれば、 X のなかに解析的関部分集合 y =
て、複葉平商から X への定数でない正則写像は、すべて Y のなかへの写像である。
この予想については、小林昭七の双曲幾何・微分幾何の立場からさまざまな試みがなされているけ
れども、二次元の場合でさえも、決定的結果は得られていない。(曲面に位相的条件をつけたときは、
F
.Bogomolovによる結果がある。)
この講演では、二次元の場合の Lang予想、の代数版が、部分的にではあるが成立するという S
.LU
(
Y
a
l
e大学)との共同研究を紹介した。すなわち、
X を一般製代数曲面とする。 X 上の有理曲線もしくは楠円曲線
定理。
ぎの(1) '
" (4) いずれかの性質をもつものは有眼個しかない。
(1)
(2)
(3)
(4)
C でその特異点がつ
C の特異点はすべて通常二重点。
C の特異点はすべて通常三重点(これは、講演後にできた結果)。
C の特異点の震複度はすべて 4以上。
C は通常特異点をもたない。
これらの性質は相補的であるから、一般の場合にも寵明可能と思われるが、テクニック上の難点が
あって、現時点ではまだできていない。
われわれの方法は、 C に付随した対数特異点をもっ有理 l形式にたいする Bogomolov -宮間ー
酒井型の不等式をもちいるもので、上記の定理は次の「エフェクティヴな J結果の系として得られる。
特に、このような曲線の儲数を上から評価することも原理的には可能で、ある。
X を一般製代数曲面とし、 X 上の種数 g の既約曲線 C でその特異点が上定理の
定理。
X
)
(1) '
" (4) いずれかの性震をもつものとする。このとき、 9 と X の Chern数の関数 A(g，
があって、 (C，K
)話 A(g，X
)が成り立つ。ここに K は標準因子を表わす。
-65-
刊
InJP
，
可Oama伽 and8addefinedanindexforasm∞
o
仙
Ot
出
hc
∞
om
岬p
l
取
e
侃x
， c
u
r
v
ei
n
v
a
1
byanh
o
l
o
m
o
r
p
h
i
cv
e
c
t
o
rお
f
i
e
1
dw
訓i
t
ぬ
hs
討i
碍
n
g
叫
u
1
a
ぽ
.
r
出
i
t
世i
e
出so
nacomp1exs
u
r
f
a
c
e，
a
tanyp
o
i
n
t
o
ft
h
ec
u
r
v
ewhichi
sas
i
n
g
u
l
a
rp
o
i
n
to
ft
h
ev
e
c
t
o
rf
i
e
l
d，
andwhichi
si
s
o
l
a
t
e
di
nt
h
e
c
u
r
v
eおrt
h
i
sp
r
o
p
e
r
t
Y
it
h
e
yp
r
o
v
e
d，
whent
h
ec
u
r
v
ei
scompactandwhent
h
es
i
n
g
u
l
a
r
t
h
a
tt
h
esumo
ft
h
e
p
o
i
n
t
so
ft
h
ev
e
c
t
o
rf
i
e
1
dwhicha
r
eont
h
ec
u
r
v
ea
r
ei
s
o
1
a
t
e
d，
c
o
r
r
e
s
p
o
n
d
i
n
gi
n
d
i
c
回 i
s七heOhernnumbero
ft
h
enorma1b
u
n
d
l
et
ot
h
ec
u
r
v
e， I
n同
1
A
.
L
i
n
sNetog
e
n
e
r
a
l
i
z
e
dt
h
i
sd
e
f
i
n
i
t
i
o
n明 dt
h
i
sf
o
r
m
u
1
at
ot
h
ec
出 e
wheret
h
ei
n
v
a
r
i
a
n
t
・ 1~明
c
u
r
v
emayh
a
v
es
i
n
g
u
l
a
r
i
t
i
e
s，
w
h
i
l
einj
，
r
お wegeneralizedthemforanydimensionto
n
v
a
r
i
a
n
tbyanh
o
l
o
m
o
r
p
h
i
cv
e
c
t
o
r
t
h
es
i
t
u
a
t
i
o
no
fasmoothcomplexs
u
b
m
a
n
i
f
o
l
dV i
長e
l
dw
i
t
hs
i
n
g
u
l
a
r
i
t
i
e
si
nacomp1exm
a
n
i
f
o
l
dW.
Wes
h
a
l
lnowg
i
v
eacommone
x
t
e
n
s
i
o
no
ft
h
e
s
etwos
i
t
u
a
t
i
o
n
st
ot
h
ec
a
s
ewhere
Vi
snowana
n
a
1
y
t
i
cs
u
b
v
a
巾 t
y(
n
o
tn
e
c
問 問i
l
ye
v
e
r
y
w
h
e
r
es
m
o
o
t
h
)o
fasmooth
comp1exm
a
n
i
f
o
1
dW.
[
0
8
] C.Camachoe
tP
.
8
a
d
:I
n
v
a
r
i
a
n
むv
a
r
i
e
t
i
e
st
h
r
o
u
g
hs
i
n
g
u
l
a
r
i
t
i
田 o
fh
o
l
o
m
o
r
p
h
i
c
v
e
c
t
o
r
f
i
e
1
d
s，
Ann
αl
s0
1M
a
t
h
s
.
1
1
5(
1
9
8
2
)5
7
9
5
9
5，
[
L
]D.Lehmann: R
e
s
i
d
u
sd田 s
o
u
sv
a
r
括協 i
n
v
a
r
i
a
n
t
e
sd
'
u
nf
e
u
出e
t
a
g
e由 同e
r，
Anη
αl
e
sd
e1
'
I
n
s
t
i
t
u
tF
o
u
r
i
e
r
，
vo
1
.4
1f
，回 c
.
1，
2
1
1
2
5
8，
(
1
9
9
1
)
.
首位e
凶 a
le
q
u
a
t
i
o
n
sandf
o
l
i
a
[LN]A
.
L
i
n
sN
e
t
o
:A
1
g
e
b
r
a
i
cs
o
l
u
t
i
o
n
so
fp
o
l
y
n
o
m
i
a
ld
i
Sp
吋n
g
e
rL
e
c
t
u
r
eN
o
t
e
s1345ρ986)，
Oomerenceonh
o
l
o
m
o
r
t
i
o
n
si
nd
i
m
e
n
s
i
o
ntwo，
Mexico，
1
9
2
2
3
2，
p
h
i
cdynamics，
6
6
Kuperberg.sC∞ counterexampletotheS
e
i
f
e
r
tConjecturel
.
owonthe3spherewithnoperiodict
r
a
j
e
c
t
o
r
i
e
s
Af
岨
PaulA
.SCHWE1TZER，
S
.
J
.
P
o
n
t
i
f
i
c
i
aU
n
i
v
e
r
s
i
d
a
d
eC
a
t
o
l
i
c
a
，
R
i
odeJ
a
n
e
i
r
o，
B
r
a
z
i
l
e
・mα
i
lαd
d
r
e
s
s
:p
a
u
l
s
@
m
a
t
.
p
u
c
r
i
o
.
b
r
1
n1
9
5
0S
e
i
f
e
r
t[
S
e
]showedt
h
a
te
v
e
r
yf
l
o
ws
u
f
f
i
c
i
e
叫 yCO c
l
o
s
et
ot
h
e
a
sap
e
r
i
o
d
i
ct
r
a
j
e
c
t
o
r
y
.
f
l
o
wa
l
o
n
gt
h
ef
i
b
e
r
so
ft
h
eHopff
i
b
r
a
t
i
o
n83→ 82h
3
Hea
s
k
e
dwhethere
v
e
r
yn
o
n
s
i
n
g
u
l
a
rf
l
o
won8 h
a
sap
e
r
i
o
d
i
ct
r
a
j
e
c
t
o
r
y
，
andt
h
ea
伍r
m
a
t
i
v
er
e
s
p
o
n
s
ebecameknowna
st
h
eS
e
i
f
e
r
tC
o
n
j
e
c
t
u
r
e(
a
l
ω
thoughhed
i
dn
o
tc
o
n
j
e
c
t
u
r
ei
t
!
)
.
o
u
n
t
e
r
e
x
a
m
p
l
ewasd
i
s
c
o
v
e
r
e
d[
S
c
]
.
T
h
ec
o
n
s
t
r
u
c
t
i
o
nu
s
e
d
l
n1
9
7
2aC1c
a“
p
l
u
g
ぺaflowonTJx1(whereTJi
st
h
et
o
r
u
sw
i
t
has
m
a
l
lopend
i
s
k
st
h
ei
n
t
e
r
v
a
l[
0，
1
]
)o
b
t
a
i
n
e
dbys
p
i
r
a
l
l
i
n
gt
h
eo
r
i
g
i
n
a
lf
l
o
w
removedand1i
2
l
i
n
e
s{
p
o
i
n
t
}x1i
nt
h
ed
i
r
e
c
t
i
o
no
ft
h
eDenjoyf
l
o
w[
D
]onT • Denjoy
2
s
ot
h
i
sc
o
n
s
t
r
u
c
t
i
o
na
l
s
oc
a
n
n
o
tbeC 2 •
p
r
o
v
e
dt
h
a
th
i
sf
l
o
wc
a
n
n
o
tbeC ，
Theni
nt
h
emid-1980冶 JennyH
a
r
r
i
s
o
n問 m
o
d
i
f
i
e
dt
h
i
sc
o
n
s
t
r
u
c
t
i
o
nt
o
2
g
e
taC2c
o
u
n
t
e
r
e
x
a
m
p
l
ebyp
r
o
d
u
c
i
n
gar
e
m
a
r
k
a
b
l
eC d
i
f
f
e
o
m
o
r
p
h
i
s
mo
f
t
h
ep
l
a
n
ew
i
t
hani
n
v
a
r
i
a
n
tf
r
a
c
t
a
lc
i
r
c
l
eonwhicht
h
ed
i
f
f
e
o
m
o
r
p
h
i
s
mh
a
s
五n
i
t
e，
s
oD
e
n
j
o
y
'
s
Denjoyb
e
h
a
v
i
o
r
. Thel
e
n
g
t
ho
ft
h
ef
r
a
c
t
a
lc
i
r
c
l
ei
si
n
argumentd
o
e
sn
o
ta
p
p
l
y
.
Twomonthsa
g
ot
o
p
o
l
o
g
i
s
t
st
h
r
o
u
g
h
o
u
tt
h
ew
o
r
l
dweres
u
r
p
r
i
s
e
dand
d
e
l
i
g
h
t
e
dbyKrystynaK
u
p
e
r
b
e
r
g
'
sC∞ c
o
n
s
t
r
u
c
t
i
o
no
fan
o
n
s
i
n
g
u
l
a
rf
l
o
w
3
on8 w
i
t
hnop
e
r
i
o
d
i
ct
r
a
j
e
c
t
o
r
i
e
s界
]
.SheusestheWilsonplug[W]on
E x1，
whereE i
st
h
ep
l
a
n
a
ra
n
n
u
l
u
s{
1 <r 三 3
}，
w
i
t
htwoc
i
r
c
u
l
a
r
t
r
a
j
e
c
t
o
r
i
e
sT1 andT2 a
t(
r，
z
)口 (
2，
1
/
4
)and(
r，
z
)コ (
2，
3
/
4
)r
e
s
p
e
c
t
i
v
e
l
y
，
i
nc
y
l
i
n
d
r
i
c
a
lc
o
o
r
d
i
n
a
t
e
s(
r，，
)
fz
)
. Heringeniousideai
st
operformtwo
“
s
e
l
fi
n
s
e
r
t
i
o
n
s
"o
fW i
1
s
o
n
'
sp
l
u
gi
n
t
oi
t
s
e
l
f
，
r
e
p
l
a
c
i
n
gi
n
t
e
r
v
a
l
si
nT1 and
九 byt
r
a
j
e
c
t
o
r
i
e
swhichs
p
i
r
a
laroundaminimals
e
ti
n
s
i
d
et
h
enewp
l
u
g
.
E
s
s
e
n
t
i
a
l
l
y
，thetrajectoriesenteringWilson'splugonthecylinderr口 2
a
r
ec
utopen，
andt
h
es
e
l
fi
n
s
e
r
t
i
o
np
e
r
f
o
r
m
st
h
esameo
p
e
r
a
t
i
o
nonT1 and
T2・
四
冊
Ac
a
r
e
f
叫a
n
a
l
y
s
i
s1凶 ngt
h
er
a
d
i
a
lcoor~inate r(
w
h
i
c
hi
sc
o
n
s
t
a
n
ta
l
o
n
g
t
r
a
j
e
c
t
o
r
i
e
si
nt
h
eWilsonp
l
u
g
)i
su
s
e
dt
oshowt
h
a
tt
h
er
e
s
u
l
t
i
n
gp
l
u
gon
-67-
H x1(whereH i
st
h
et
o
r
u
smInustwos
m
a
l
lopend
i
s
k
s
)hast
h
ef
o
l
l
o
w
i
n
g
p
r
o
p
e
r
t
i
e
s
:
n
d
s
ぺthati
s，
i
fat
r
a
j
e
c
t
o
r
yg
o
e
sfrom(
p
，
O
)t
o
(
1
)i
thぉ “matchede
(
q，
1
)f
o
rsomep
o
i
n
t
s払 qEH，
thenp= q
j
(
2
)therei
sap
o
i
n
tp EH s
u
c
ht
h
a
tt
h
et
r
a
j
e
c
t
o
r
ye
n
t
e
r
i
n
gt
h
ep
l
u
g
a
t(
p
，
0
)hasi
t
sω心 凶ts
e
tc
o
n
t
a
i
n
e
di
nt
h
ei
n
t
e
r
i
o
ro
ft
h
ep
l
u
g
;
(
3
)therei
snop
e
r
i
o
d
i
ct
r
a
j
e
c
t
o
r
yi
nt
h
ei
n
t
e
r
i
o
ro
ft
h
ep
l
u
g
.
F
r
omt
h
e
s
ep
r
o
p
e
r
t
i
e
si
tf
o
l
l
o
w
st
h
a
tt
h
ep
l
u
gcanbei
n
s
e
r
t
e
di
n
t
oaf
l
o
w
3
on8 (
o
r∞ anyo
t
h
e
r3
・m
anl
おl
d
)t
oopeni
s
o
l
a
t
e
dp
e
r
i
o
d
i
ct
r
a
j
e
c
t
o
r
i
e
s，
w
i
t
h
o
u
tc
r
e
a
t
i
n
ganynewo
n
e
s，
t
h
u
sy
i
e
l
d
i
n
gt
h
eC∞ c
o
u
n
t
e
r
e
x
a
m
p
l
e
.
2
TheKuperbergp
l
u
gcane
a
s
i
l
ybeembeddedi
n
t
oac
y
l
i
n
d
e
rn
x1
2
andthent
h
i
sc
y
l
i
n
d
e
rcanber
o
t
a
t
e
daroundR2x{
O
}i
nRn= R X Rη-2
t
oy
i
e
l
daC∞ p
l
u
gwhichsmoothlyopenscompactl
e
a
v
e
so
fc
o
d
i
m
e
n
s
i
o
n2
smoothf
o
l
i
a
t
i
o
n
sonn
'
"m
a
n
i
f
o
l
d
s
.
Twoi
n
t
e
r
e
s
t
i
n
gopenq
u
e
s
t
i
o
n
sr
e
m
a
i
n
:
1
.Whata
r
et
h
ep
o
s
s
i
b
l
eminimals
e
t
so
ff
l
o
w
son83?
2
.G
o
t
t
s
c
h
a
l
k
'
sProblem:Doest
h
e
r
ee
x
i
s
taminimalf
l
o
won83 (
t
h
a
t
af
l
o
wwithe
a
c
ht
r
a
j
e
c
t
o
r
yd
e
n
s
e
)
?
i
s，
R記FERENCES
，
Surl
e
sc
o
町 b
e
sd伊 n
i
e
sp
a
rl
e
se
q
ωt
i
o
n
sd
i
f
f
e
r
e
n
t
i
e
l
l
e
s
[
D
]A.Denjoy
a1
α叩 r
f
a
c
e伽 t
o
r
e，
J
.Math.PuresAppl
.1
1(
1
9
3
2
)，
3333
7
5
.
開]J
.Harrison，
A C2c
o
u
n
t
e
r
e
x
α
mplet
ot
h
eS
e
i
f
e
r
tC
o
n
j
e
c
t
u
r
e，
T
o
p
o
l
ogy27(
1
9
8
8
)，
249
・2
7
8
.
[
K
]K.Kuperberg，
A C∞ c
o
u
n
t
e
r
e
xα
mplet
ot
h
eS
e
i
f
e
r
tC
o
n
j
e
c
t
u
r
e仇
dim叩 s
i
o
nt
h
r
問 p
r
e
p
r
i
n
t，
1993(
p
r
e
l
i
m
i
n
a
r
y刊
ve
ぽr
路
悶
S
ω
n
)
.
[
S
c
]P
.
A
.S
c
h
w
e
i
t
z
e
r，C
o
u
n
t
e
r
e
x
a
m
p
l
e
st
ot
h
eS
e
i
f
e
r
t Co
ηj
e
c
t
u
r
eand
o
p
e
n
i
n
gc
l
o
s
e
dl
eαv
e
so
ff
o
l
i
a
t
i
o
n
s
，AnnalsofMath. 100(1974)ぅ 386-400.
l
o
s
e
di
n
t
e
g叫 c
u
r
v
e
s，/'η3叩 α
c
e
αndi
s
o
t
o
p
i
ct
w
o
[
S
e
] H. S
e
i
f
e
r
t，C
d
i
m
e
n
s
i
o
n
a
ldeformαt
i
.
o
n
s
，
P
r
o
c
.Ame
r
.Math.S
o
c
. 1(
1
9
5
0
)，
2873
0
2
.
Ont
h
eminimals
e
t
so
fn
o
n
s
i
n
g
u
l
αrv
e
c
t
o
rf
i
e
l
d
s
，
[W]F.W.Wilson，
Annalso
fMath.84(
1
9
6
6
)，
5
2
9
5
3
6
.
四
四
~68-
-69
Ends of leaves and classification of Lie folia七ions
Gi工ber七 日ec七or
Universit~ de Lyon - 1，France
BOUTSDEFEUILL巴SE
'
T
CLASSIFICATIO'NDES
FEUILLE'T~Â. GES DEL
IE
G
.HECTOR
.etS
.NIATSUl¥!IOTO
1 I
ntroduction
I
le
s
tb
i
e
nconnuquet
o
u
t
e
sl
e
sf
e
u
i
l
l
e
sd
'
u
nf
e
u
i
l
l
e
t
a
g
edeL
i
es
u
rune
v
a
r
i
e
t
ecompa
.
c
t
es
o
n
td
i
f
f
e
o
m
o
r
・
p
h
e
se
n
t
r
ee
l
l
e
s
. ne
s
ta
l
o
r
5n
a
t
u
r
e
lc
l
es
e
d
e
m
a
n
c
l
e
r
:
i
e
t
e
s11011 compactesq
u
ip
e
u
v
e
n
te
t
r
ef
e
u
i
l
l
e
sc
l
'
u
nf
e
u
i
l
i
)q
u
e
l
l
e
ss
o
n
tl
e
sv
ar
l
e
t
a
g
ec
l
eL
i
e
;
，
i
i
)c
l
a
n
sq
u
e
l
l
emesurel
et
y
p
ec
l
e
sf
e
u
i
l
l
e
sc
l
e
t
e
r
m
i
n
e1
'
a
l
g
らb閃 c
l
eL
i
e山 u
c
t
u
r
a
l
.
eduf
e
u
i
l
l
e
t
a
，
笈 ee
ts
o
n反r
O
U
1
)
ed
'
h
o
l
o
n
o
m
i
e
.
Dansc
et
r
a
v
a
i
l，011 e
t
u
d
i
e
r
ac
e
sdeuxq
u
e
s
t
i
o
n
senr
e
l
a
t
i
o
na
v
e
cl
'e
s
p
a
c
e
a
.f
e
u
i
l
l
e
t
y
p
e
.
d
e
sb
o
u
t
sc
l
e1
l
es
t
r
u
c
t
u閃 c
l
e日 c
l
i
c
l
a(
[
1
]
)nousp
e
r
m
e
t
t
r
a，
s
a
n
sp
e
r
t
ec
l
e
Let
h
e
o詑 mec
g
e
n
e
r
a
l
.
i
もe
，denous r
e
s
t
r
・
e
i
n
d
r
eauxc
asd
e
sf
e
u
i
l
l
e
t
a
g
e
s 1l1ll1ImaUX (
i
.
e
. 主
f
e
u
i
l
l
e
sd
e
n
s
e
s
)
. Lel
e
c
もe
u
rp
o
u
r
r
ae
t
e
n
d
r
elui-memel
e
sr
e
s
u
l
t
a
t
so
b
t
e
n
u
s
g
e
sRiemanniensg
r
.
a
c
eautheoremec
l
es
t
r
u
c
t
u
r
・
ec
l
eP
.¥
l
I
o
l
i
n
o
auxf
e
u
i
l
l
eもa
，
(
伊
]
)
.
2 D
escriptiondesr
e
s
u
l
t
a
t
s
S
o
i
e
n
ta
l
.
ol
'S 9u
nea
l
.
g
らb
r
ed
eL
i
eded
i
m
e
n
s
i
o
n五n
i
e，
Gl
egroupec
l
eL
i
e
connexee
tsimp1ementconnexec
o
rl
'e
s
p
o
n
c
l
a
n
te
t:
Fun9イ
'
eu
i
l
l
e
t
a
g
ec
l
eL
i
e
-70-
l
1
1i
n
il11a
ls
u
runev
a
r
i
e
t
ecompacteJ
i
J
. Ond
e
s
i
g
n
e
r
ap
a
r
i
)rcGl
es
o
u
s
g
r
o
u
p
ec
l
'
h
o
l
o
n
o
m
i
ec
l
eF，
i
i
)Ll
af
e
u
i
l
l
et
y
p
ee
tEnd(L)r
e
s
p
a
c
ec
l
es
e
sb
o
u
t
s
.
n
i
m
a
l
i
t
ede:
Fe
s
te
q
u
i
v
a
l
.
e
n
t
eal
ac
o
n
d
i
t
i
o
nr= G
.
Lal11i
Ons
ePI
・
o
p
o
s
ec
l
em
o
n
t
r
e
rl
e
sr
e
s
u
l
t
a
t
ss
u
i
v
a
n
t
s
:
lYαt
T
o
i
st
y
p
e
sp
o
s
s
i
b
l
e
sd'
e
s
p
αc
e
sd
eb
o
u
f
sp
o加、 L:unp
o
i
n
t，
Theoreme1 I
unc
o
u
p
l
ed
ep
o
i
n
t
s01
l'
l
lne
n
s
e
m
.
b
l
ed
eCαn
t
o
r
.
On n
o
t
e
r
aquec
e
tenoncee
s
tl
ec
o
r
r
e
s
p
o
n
d
a
n
te
x
a
c
t du t
h
e
o
r
らmed
e
F問 山l
e
凶h
a
l(
[
2
]
) pour l
e
sb
o
u
t
sc
l
e
sg
r
o
u
p
e
s deno
凶 3日 i
コ
l
e
sc
l
et
y
p
e五
1
1
l
.
L
'
a
n
a
l
o
g
i
ea
v
e
cl
at
h
e
o
r
匂 d
eg
r
o
u
p
e
se
s
te
nf
a
i
tb
i
e
np
l
u
sf
o
r
t
ee
tcomme
S
t
a
l
l
i
n
g
s(
[
6
]
)l
'
af
a
i
tpourl
e
sg
r
o
u
p
e
s，
onf
a
.i
tuned
e
s
c
r
i
p
t
i
o
nr
泌 c
i
s
ed
e
sc
a
s
o
u
t
s，s
o
i
tunCantorc
l
eb
o
u
t
s
.
ouLas
o
i
t2b
Theo時 me2 L
e
sc
o
n
d
i
t
i
o
n
ss
u
i
vαn
t
e
ss
o
n
te
q
u
i
v
a
l
e
n
t
e
s
:
りLα2b
o山 ;
i
i
)r (
e
t doncG
)e
s
tαb
e
l
i
e
ne
t'
i
le
:
z
:
i
s
t
e '1ln s
o
u
s
g
r
o'llp
er0
'Un1
了
0
'
/
、
med
αn
sG q
'
1
li
d~finit '
1
ln
es
'
l
li
t
ee
.
r
a
c
t
e
c r discret
0→ r。ー→ F一→ r/ro~ I
R
→0
i
μ
iりl
e
εf
e
ε
削
1
川
口
L
a
l
仇
l
e
ε
t
何
α句
{7
[
}
μ
ε F e
s
tA
I
μ
仰
o
，
3
γ
川
肘
叶
r
、
ω
t
o
n
陀
、
で
εTd
ed
i
μ
ケ
;
m
η1
e
'
/
η
I
訂
S1
.
0
'
/
η
1c
O'/
η
Lv
el'
η
l
αb
l
e
;白
c
ε
l
ん
'
1
lι
Z
c
ie
s
td
o
フn
cl
e
εc
lαs
s
z
予
戸
j
'
i
C
l
α
l
n
tdu[
}
伊7
、
刀
o
u
p
o
i
百
d
e
d
'
!
:
引
'
ho
l
0
1
η
wmied
eF.
“
Onremarqueraquer
on
'
e
s
tb
i
e
ns
会1・p
a
su
l
l
l
q
u
e
.
sc
o
n
d
i
t
i
o
n
s吉・L
L1
.
'
Uα
n
t
e
s・s
o
n
te
q'lLi
v
αl
e
n
t
e
s
:
Theoreme3 Lε
りEnd(L)~ α
c/1.t
o
'
/、
一71-
i
i
)i
le
;
I
:
I
s
t
e'
l
l1
21
l
n
i
q
ue' 8
o
w
3
g
r
o
u
p
ef
oC f f]'llie
s
td
i
s
t
i
n
g
u
edαI
1S f (
e
tdonc
d
α nsG)，d
i
s
c陀 tl
l
n
i
f
o門 ηedαn8G e
tt
e
lq'
l
lef
;f0 e
s
tl
i
b吋 .
i
i
i
)LefeuW
ε
t
a
g
e:
Fαp
O
l
l
rc/a
8
8
i
f
i
α1
7
.t.
u
nγ
ε 'lli
l
l
e
tα
ge"obtenup町、 s
'
u
s
p
e
n
s
z
o
n
d
el
apα
i陀 compαc
t
e (G;f
f
o
)
αI
lィl
e
s
s
u
sd'
u
nb
O
l
l
q
u
e
td
ec
el
"
、
des. Ce
of;
c
l
α
8
8
i
f
i
a
n
tαl
et
y
p
edl
lOm
otoP
1
.
e d'
U/
1
.
e
' Uα
1
'
1
.
・e
t
e
.
司
Corollaire4 Si f
le
s
tr
{
ヲo
l
l
l
b
l
e，non comnwtati
ce
，l
e
sf
e'
l
li
l
l
e
s de t
o
u
tf
l
f
e1
li
l
l
e
t
αged
eLieo
n
te
;l
'α
c
tεn日 n
t'
l
ln b
o
u
t
.
Coroll
討
a
l
r
問e5 S
幻i:
F山 s
tPα
ω
sη
m
，η
. 1I仇;り勺η
川
，)z
m
d
川
必
U
仙
α
d
山
d
l
i
山.
EnI・
esume，onp
e
u
tc
l
i
r
eque g
e
n
e
r
・
iquement"1
e
sf
e
u
i
l
l
e
sd
e
sf
e
u
i
l
l
e
t
a
g
e
s
. Lac
l
e
s
c
r
i
p
t
i
o
nd
e
sc
l
a
s
s
i
f
i
a
n
t
spermettra
c
l
eL
i
eo
n
texactementunbout
c
l
e
sa
p
p
1
i
c
a
t
i
o
n
si
n
t
e
r
e
s
s
a
n
t
e
s auxc
a
.
l
cu
1
sc
l
ec
o
h
o
m
o
1
0
g
i
e
sf
e
u
i
l
l
e
t
e
e
s，p
a
r
e
x
e
m
p
1
e
.
E
n
f
i
n，
onremarqueraquel
'
o
nc
o
n
s
t
r
u
iも a
i
s
e
m
e
n
tc
l
e
sexemplesc
l
e
st
r
o
i
s
t
y
p
e
sdes
i
t
u
a
t
i
o
n
.
刊
References
[
1
]E
.FEDIDA- S山 l
e
sf
e
ui
He
t
a
g
e
sc
l
eL
i
e
.C
.R
.A
.
S
.P
a
r
i
s，272(
1
9
7
1
)，
9
9
9
1
0
01
.
[
2
] H.FR
.EUDENTHAL-Uberc
l
i
eE吋 e
nt
o
p
川
刈
o
l
o
g
i
s
町
吋
c
h
e
rRa
何u
山l
日
1
pe
口
孔
.M
ath.Z
e
i
t
.，
:
3
:
3(
1
9
:
3
1
)，
69271
:
3
.
“
J3
司
] A.HAE
日F
礼
:'LIGER一Grol
，
)7
0
ω
9
7
.
1
1
6(
1
9
8
4
吋 山 山1
1
a
l
i
t
yi
nR
.iemannianf
o
l
i
a
t
i
o
n
s
. Com[
4
] X. l
¥
I
A
S
A- D
u
a
l
i
t
ya
t
.l
'
v
I
a
t
h
.H
e
l
¥
'
e
t
i
c
i、67(
1
9
9
2
)，1
7
2
7
.
men
[
5
司
]P
. MOLINO 一 G6
白
加
O
印 m合
e
仙
t
れ巾
r.
Kon.N
e
c
l
.入k
a
c
l
.，
A8
5(
1
9
8
2
)，
4
5
7
6
.
[
6
]J
.STALLINGS-GroupTheorya
n
c
lt
h
r
e
e
d
i
m
e
n
s
i
o
na
.lm
a
n
i
f
o
l
d
s
.Y
a
l
e
討t
yP
r
e
s
s，1
9
71
.
U
n
i
v
e
r
一72-
複雑系:デーモンの数理をめざして
津田一郎北大数学
提雑系、特に脳の理論を構築するためのひとつの試みとして、内部に巧妙な
機構を有するシステムを構成することを考えている o
システムの内部に存在して、システムの岳己組織能力や自律プ口グラムの
能力をもっ機構をここでは簡単にデーモンと呼んだ。
現在ニつの方向からヂーモンの構成を試みている o ひとつは変形された
多体ピリアードの反エルゴード性をとおして、もうひとつはフラクタルな
次元非カオスのモデルの構成をとおしてである。
アトラクターをもっ4
前者では、多数のピリアード球の秩序形成が観測された。これは、従来知ら
れている平衡構造、散逸構造の他に第三の構造が存在することを示峻している o
後者の構成は、スメイルのソレノイドを拡張し、四次元微分間相写像をその
アトラクターがあらゆる方向への射影において微分不可能になるように陽に
作ることによっている o 方程式の構成の仕方からこの系は公理 A力学系の例に
なっている o
一73-
AG
おN
ERALIZEDCUNTZALGEBRA O，
!
YOSHI
口
I
KAZU KA
'
I
D
i
v
i
s
i
o
no
fMa
叫
，
them凶
a
t
i
c
a
lS
c
i
e
n
c
e，
Os
a
k
.
akyoikuU
n
i
v
e
r
s
i
t
y
l
g
e
b
r
awithaf
a
i
t
h
f
u
lnormalt
r
a
c
i
a
ls
t
a
t
eT andN
L
e
tM beavonNeumanna
beavonNeumanns
u
b
a
l
g
e
b
r
ao
fM.Wec
o
n
s
t
r
u
c
tat
e
n
s
o
ra
l
g
e
b
r
aTN(M)r
e
l
a
t
i
v
e
toN;
(可馴(
M仰仲
T
f
j
y
(
M
)口 L2(
川
N
)
whereL2(M)andL
2(N)a
r
eH
i
l
b
e
r
ts
p
a
c
e
swithr
e
s
p
e
c
tt
ot
h
et
r
a
c
eγandQ
9
meanst
h
eN
r
e
l
a
t
i
v
et
e
n
s
o
rproduct@ Nand
∞@
'
2
二
時 (M)
TN(M)=
ThenTN(M)i
sa
l
s
oN-bimodt
出.
ForX EM ，
ac
r
e
a
t
i
o
no
p
e
r
剖o
ro
(x
)i
sde
f
i
.
n
edby
(0(Z)ω
X
lQ
9・
・ .Q
9X
pETft(M)
X
oET
f
j
y
(
M
)
.
Q
9x
pロ XQ
9X
lQ
9.
.
.Q
9X
Pl
o
(
X
)
X
O出 口0，
Thenana
n
n
i
h
i
l
a
t
i
o
no
p
e
r
a
t
o
ro
(x
)i
st
h
ef
o
l
l
o
w
i
n
g
;
{
:
川
ω
Q
9X
2Q
9.
..Q
9Xp=E
(
X
*
X
l
)
.
o
(
X
)
*
X
O= O
Q
9Xp
whereE i
st
h
ec
o
n
d
i
t
i
o
n
a
le
x
p
e
c
t
a
t
i
o
no
f且t
/o
n
t
oN wit
hr
e
s
p
e
c
tt
oT.
A Nrankoneoperator(
X
lQ
9・
・
・Q
9X
)悶 (
Y
lQ
9・
・
・Q
9Y
q
)i
sd
e
f
i
n
e
dby
p
“
{
(
X
IQ
9・
・
・Q
9X
)図 (
Y
lQ
9・
・
・Q
9Y
q
)
}
(
Z
lQ
9・
・
・Q
9Z
γ
)
p
XlQ
=Oq
，
r
9・
・
・Q
9X
lQ
9・
・
・Q
9Z
r，
ν
lQ
9・
・
・Q
9Y
q>N
p<Z
where
<Z
lQ
9・
・
・Q
9Z
q，
Y
lQ
9・
・
・Q
9Y
q>N=E(υ~... (
E
(
ν
;
(
E
(ν
rZl)Z2)...Z
q
)
.
T
y
p
e
s
e
tb
yAM8'I邸
-74-
L
e
t{
U
i
}
i
=
lbeaPimsner-Popabasesf
o
rM コN.Theno
(U
i
)a
r
ei
s
o
m
e
t
r
i
e
sf
o
r
O三iSn-1ando
(Un)maybeap
a
r
t
i
a
l
l
yi
s
o
m
e
t
r
ys
u
c
ht
h
a
t
乞 o(Ui)O(U
i
)
本 口
1
T
N(M)一1図 1
A N-compacto
p
e
r
a
t
o
ra
l
g
e
b
r
aKN(M)i
st
h
eC
*
a
l
g
e
b
r
ag
e
n
e
r
a
t
e
dbya
l
lo
fNrankoneo
p
e
r
a
t
o
r
s
. A C九 a
l
g
e
b
r
aPf
/i
sg
e
n
e
r
a
t
e
dbya
l
lc
r
e
a
t
i
o
no
p
e
r
a
t
o
r
sand
ani
d
e
n
t
i
t
yo
p
e
r
a
t
o
r
. Thent
h
eN compacto
p
e
r
a
t
o
ra
l
g
e
b
r
aKN(M)t
u
r
n
so
u
tt
o
beac
l
o
s
e
di
d
e
a
lo
fPf
/
.A quotientC九 algebra0ガofPf
/byKN(M)I
sc
a
l
l
e
da
g
e
n
e
r
a
l
i
z
e
dCuntza
l
g
e
b
r
a
.Thec
o
s
e
to
fo
(x
)i
nO'
f
!= Pグ/
KN (M)i
sa
l
s
od
e
n
o
t
e
d
(
x
)withoutanyc
o
n
f
u
s
i
o
n
.Notet
h
a
ti
fM = Cn andN = C，
。
ガi
saCuntz
byo
[
3
]
)
.Aguageactionαofthet
o
r
u
sTi
n
t
oA
u
t
(o
'
f
!
)canbedef
i
.
n
edby
a
l
g
e
b
r
a仇 (
αt
(
O
(
X
)
)= o
(
e
匂
)
， tET
.
Byt
h
eu
s
ef
oPimsner
ヂo
pab
a
s
e
s，
t
h
ef
i
x
e
dp
o
i
n
ta
l
g
e
b
r
a(O
'
f
!)Ti
si
s
o
m
o
r
p
h
i
c
t
oai
n
d
u
c
t
i
v
el
i
m
i
t拘
Mπ(
何
C)(
2
)N.
司
Theorem1
. HM コN i
saf
a
c
t
o
r
s
u
b
f
a
c
t
o
rp
a
i
rw
i
t
haf
i
n
i
t
ei
n
d
e
x[MN]
，then
t
h
e
r
ei
saguagei
n
v
a
r
i
a
n
ts
t
a
t
e
O'
f
!suchthat
∞
。
ゆ
(O
(
X
l
)・
・ .o
(
X
n
)
O
(
Y
m
)
*.
.
.o
(
Y
dつ
=Dn.m[MN]-nr(E(Xl.
.
.E(Xn-lE(XnY~)Y~_l) ・・ .Yr)
and>
1i
saumqueKMS-statew
i
t
hr
e
s
p
e
c
tt
ot
h
e伊 l
a
g
ea
c
t
i
o
nandi
n
v
e
r
s
et
e
m
p
e
r
a
t
u
r
el
o
g[MN
]
.
L
e
tG beaf
i
n
i
t
eg
r
o
u
p
.Wec
o
n
s
i
d
e
rt
h
etwof
o
l
l
o
w
i
n
gc
a
s
e
s
M
ロ
L∞(
G
)~α
G，
N=L∞(
G
)， canonicalt
r
a
c
eT onM
and
M = W(
G
)~é G， N = W*(G)
キ
c
a
n
o
n
i
c
a
lt
r
a
c
eT onM
う
whereαist
r
a
n
s
l
a
t
i
o
nonG andDi
sac
a
n
o
n
i
c
a
lc
o
a
c
t
i
o
no
fG
.
TheCuntza
l
g
e
b
r
aOIGIi
sg
e
n
e
r
a
t
e
dbyi
s
o
m
e
t
r
i
e
sS
g，
9εG
. A canonicalco
a
c
t
i
o
nD
1o
fGonOIGIi
sde
f
i
.
n
edbyD
l
(
S
g
)= S
g(
2
)入(
9
)
(
[
1
]
)
.A c
a
n
o
n
i
c
a
la
c
t
i
o
na1
o
fGonOIGIi
sd
e
f
i
n
e
dbyα1
(
S
g
)= S
h
g
.
欄
j
g
h
G
Proposition2
. Theg
e
n
e
r
a
l
凶
Cuntza
l
g
'
伽 asof
ご
i
s
o
m
o
r
p
h
i
ct
oOIGI~él G andOIGI~al G r
e
s
p
e
c
t
i
v
e
l
y
.
組
doZ12Ma
r
e
Proposition3
.(
{
2
}
) Thet
woc
r
o
s
s
e
dprod
前 向 。I
G
j ~él G andOIGIメ α1 G a
r
e
i
s
o
m
o
r
p
h
i
c言。 OIGI.
Proposition4
.L
e
tM
コNbe五出向 dimensional.algebrasandN becommutative.
入i
st
h
eP
e
r
r
o
n
F
r
o
b
e
n
i
u
se
i
g
e
nv
a
l
u
eo
fXtX whereX i
sa
d
j
a
c
e
n
tmatrixo
ft
h
e
i
n
c
l
u
s
i
o
nM コN.
Thenwehave
z
・
Fhu
，
門
(
1
)(O
f
r
J
)T isAF-algebrawb凶 Brattelidiagrami
st
b
er
e
p
e
t
i
t
i
o
no
fl
a
b
e
l
l
e
d
b
i
c
o
l
o
r
e
dgrapba
s
s
o
c
i
a
t
e
dw
i
t
bXtX
(
2
)o
WisisomorpbictoCuntz-Kriegera1gebra0A(
[
4
]
)wbereA i
st
b
ea
d
j
a
c
e
n
t
matrixo
ft
b
el
i
n
egrapbe
.
(XtX)o
fXtX.
11 0 ¥
L
e
tJ= {~ ~1) on(N，
N)-himoduleL2(N)E
8L2(M).ThegroupU(N
ぅM)i
s
d
e
f
i
n
e
dby
{AEB(L2
(N)E
8L2(
M
)
)
;
i
n
v
e
r
t
i
b
l
ewithA*JA J回 (NラN)o
p
e
r
a
t
o
r
}
.
口
四
ThenA EU(N
，
M)i
sr
e
p
r
e
s
e
n
t
e
dby
(
;
:
<
2
>
N
)
whereα
oEZ(N)hl'h2εN'n MandA1 EN'nM1・
o
n
t
i
n
u
o
u
s
l
yembeddedi
nAut(OW)by
Theorem5
M)i
sc
. TbegroupU(N，
l
{一 < h，
αA
h1>N 1- O
(
A
l
h
)
}
.
(
o
(
h
)
)= {
α
01- O
(
h
2
)
}Theorem6
A コC コD)beae
x
t
r
e
m
a
lcommutings
q
u
a
r
ew
i
t
b
. Let(AコBコD，
s
p
αn(CB)=s
αn(BC)=A
gandtbereexistsaconditiona
p
. Tben0会c
o
n
t
a
i
n
so
1
gby
e
x
p
e
c
t
a
t
i
o
nE from0会o
n
t
oo
E
(
o
(
h
)
)=o(Ec(h))
山 i
f
o
rhEA.Moreover¥
a
t
a
I
n
d
e
xE=伊，
D
]
.
ぬt
REFERENCES
.C
u
n
t
z，R担gularaction0
1
.J
1Hoplalgeb叩 sontheC*必 1gebrasgeneratedbyαHilbertspace，
P
r
e
p
r
i
n
tH
e
i
d
e
l
b
e
r
g1991
.
2
.J
.C
u
n
t
za
Someremarks0η t
n
dD
.E
.E
v
a
n
s，
h
eC a
l
g
e
b
r
αsa
s
s
o
c
i
a
t
e
dw
i
t
hc
e
r
t
a
i
nt
o
p
o
l
o
g
i
c
α
1
Markovch
，
加M
a
t
h
.S
c
a
n
d
.48(1981)，
235-240.
α
.E
.E
3
.D
Pub
l
.R
e
s
.I
n
s
t
.M抗 h
.16(1980)，
915-927.
v
a
n
s，OnOn，
r
i
e
g
e
r，A c
.C
u
n
t
z組 dW.K
l
a
s
s0
4
.J
n
v
e
n
t
i
o
n
1C*-α1gebras andtopologicalMarkovchain，I
251-268.
M
a
t
h
.56(1980)，
取
，
ロU
司
t
NulnericalApproxhnationstoInterfacesf
o
rSOlne
NonlinearDiffusionEquationswithAbsorption
ゐ
友枝謙ニ・，中木達率“
K
e
n
j
iTOMOEDAa
n
dT
a
l
s
u
y
u
k
iNAKAKI
1
.I
ntroduction.
Wea
r
ec
o
n
c
e
r
n
e
dw
i
t
ht
h
ep
r
o
p
a
g
a
t
i
o
l
lo
f出 時
malw
a
v
e
si
na
b
s
o
r
b
i
n
gmediumo
c
c
u
p
y
i
n
ga
l
lo
fRl
i
nw
h
i
c
ht
h
e
r
ei
st
h
ei
n
t
e
r
a
c
t
i
o
nb
e
t
w
e
e
nd
i
f
f
u
s
i
o
n
anda
b
s
o
r
p
t
i
o
n
.Tod
e
s
c
r
i
b
es
u
c
hap
h
e
n
o
m
e
n
o
l
lwe
mayu
s
et
h
en
o
n
l
i
n
e
a
rd
i
f
f
u
s
i
o
ne
q
u
a
t
i
o
nw
i
t
ha
b
s
o
r
p
t
i
o
nwhichi
sw
e
l
lknowna
st
h
ed
e
s
c
r
i
p
t
i
o
no
ft
h
e
f
l
o
wo
ft
h
el
i
q
u
i
d
st
h
r
o
u
g
ht
h
ehomogeneousp
o
r
o
u
s
medium. Ourproblem i
sw
r
i
t
t
e
ni
nt
h
ef
o
l
l
o
w
i
n
g
f
o
r
mo
ft
h
ei
n
i
t
i
a
lv
a
l
u
ep
r
o
b
l
e
m
:
Vt
a
s
e
s
:
t
h
ef
o
l
l
o
w
i
n
gもwoc
Case1
.T
heree
x
i
s
tI
lo
n
n
e
g
a
t
i
v
ef
u
n
c
t
i
o
n
sW
.
j
(
X
)E
CO
，
2
)w
i
t
hcompacts
u
p
p
o
r
ts
u
c
ht
h
a
t
(
R
l
)(
j=1
VO(X) 口 ω~(x) 十 ωg(x) ，
where[
α
1，
0
]口 suppw~(x) and[0 ， α21 口 suppω~(X)j
Case2
.v
O
(
x
)ECO
a
t
i
s
f
i
e
s
(
R
l
)s
=(vm)xx-cvP， X εR1，t>0， (1.1)
v
(
O，
x
)口 V
O
(
x
)，
xE R1，
(
1
.2
)
w
l
i
e
r
em(>1
)，
p(>0
)andc(>0
)a
r
ec
o
n
s
t
a
n
!
.
s，
a
n
d
V
O
(
x
)ECO(R1
)i
sn
o
n
n
e
g
a
t
i
v
candh
a
sC
OJll)川 ts
u
p
p
o
rt
.I
nah
e
a
t
e
dplasmavd
c
n
o
t
e
st
h
et
el1qwr.
at
u
r
e
Pd
e
s
c
r
i
b
e
st
h
el
o
s
s
e
sc
a
u
s
c
dbyr
a
.
d
i
a
もi
o
n
.
a
n
d-cv
Wemayt
a
k
ep =0
.
5f
o
rb
r
e
m
s
s
t
r
a
h
l
u
n
gr
a
.
d
i
at
Io
n
;2f
o
rs
y
n
c
h
r
o
t
r
o
nradiation~ (
[
1
]
)
.
and0
.
5:
;P:
sv
a
n
i
s
h
e
satp
o
i
n
t
s
S
i
n
c
et
h
ed
i
f
f
u
s
i
o
nr
a
t
emvm-1i
t
h
ei
n
i
t
i
a
ls
u
p
p
o
r
tpropaga
.
t
f
・
sa
tf
i
w
h
e
r
ev= 0，
n
i
t
es
p
e
e
d，
t
h
a
ti
s，
t
h
e
r
eapp日a
ri
n
t
e
r
f
a
c
ec
ur
v
e
sb
e
t
w
e
e
nt
h
er
e
g
i
o
nwherev> 0andt
h
er
e
g
i
o
nw
h
e
r
e
v =O
. The b
e
h
a
v
i
o
ro
ft
h
es
u
p
p
o
r
ti
sg
o
v
e
r
n
e
d
b
yt
h
ei
n
t
e
r
a
c
t
i
o
nbetweend
i
f
f
u
s
i
o
nanda
b
s
o
r
p
t
i
o
n
.
TheS
U
p
p
o
I
texpandsi
nt
h
ec
a
s
ewhered
i
f
f
u
s
i
o
nc
a
n
s
u
p
p
l
yh
e
a
tfromt
h
eh
o
ta
r
e
af
a
s
t
e
rt
h
a
na
b
s
o
r
p
t
i
o
nc
o
o
l
st
h
emedium.T
h
i
si
m
p
l
i
e
st
h
a
tsuppv
(
t，
・
)
n
e
v
e
rbecomed
i
s
c
o
n
n
e
c
t
e
d，
e
v
e
ni
ft
h
ei
n
i
t
i
a
lf
U
l
l
c
t
i
o
nV
O
(
x
)h回 z
e
r
o
si
nt
h
ei
n
t
e
r
v
a
I(
α
1，
α
2
)，
w
h
e
r
e
α
2
]口 SUppt x
)
.I
nt
h
eo
p
p
o
s
i
t
cc
a
s
e，
t
h
cs
u
p
i
α
1，
p
o
r
ts
h
r
i
n
k
sandbecomesd
i
s
c
o
n
n
c
c
t
e
d
. Mor巴o
v
e
r，
t
h
e
r
ei
st
h
ep
o
s
s
i
b
i
l
i
t
yo
ft
h
ei
n
i
t
iヰ1s
u
p
p
o
rも t
os
p
l
i
t
e
v
e
l
li
f1 x
)i
sp
o
s
i
t
i
v
eon
i
n
t
os
e
v
e
r
a
Id
i
s
j
o
i
n
ts
e
t
s，
(
α
1，
α
2
)
.T
h
i
sm
o
t
i
v
a
t
e
su
st
oi
n
v
e
s
t
i
g
a
t
et
h
ep
r
oか
I
e
m"Howdot
h
(
:
!s
u
p
p
o
r
t
.v
a
r
ywhentv
a
r
i
c
s
?
"F
o
r
t
h
i
se
n
dwec
O
l
l
s
i
d
e
rt
h
eb
e
h
a
v
i
o
ro
fsuppv
(
t，
・
)f
o
r
ペ
欄
ペ
V
O
(
x
)>0 o
n
(
α l!α
2
)
'
0
6
9
5
7
2
1
3
7，
FAX:・
"
0
9
4
0
3
5
1
7
1
0
(
1
.4
)
Froma
n
a
l
y
t
i
c
a
lp
o
i
n
t
so
fv
i
e
w，
t
h
e
r
ea
r
esom巴 r
e
s
uI
t
sc
O
l
l
c
e
r
n
i時 t
h
eb
e
l
川 i
o
ro
fsuppv
(
t，
.
)
， which
I
lo
w
s
.F
o
rp 主 1suppv
(
t，
・
)expands
i
ss
t
a
t
e
da
sf
o
出 t
i
n
c
r
e
a
s
e
s，
w
h
i
c
hi
m
p
l
i
e
st
h
a
tt
h
e
r
ed
o
e
s1
1
0
ta
p
p
e
a
rt
h
es
p
l
i川 河 o
fsuppv
(
t，
・
)i
n C時 間 1a
l
l
d2
(
[
1
，
][
2
J，
[
3
，
][
4
]
)
.F
o
r0 <p <1t
h
e
r
ea
r
eK
e
r
s
1
1
e
r
'
s
，] which i
su
s
e
f
u
lt
od
e
t
e
r
m
i
n
e wl
叫 t
問
r
e
s
u
l
t
s[
5
suppv
(
i
，
:
)becomesdisconnectedo
rn
o
ti
nCase1
(
s
e
eTheorem2andRemark2
)
.I
nCase2t
l
i
ep
o
s
s
i
b
i
l
i
t
yoft
h
ei
n
i
t
i
a
lsuppor
tt
os
p
l
i
twasn
u
m
e
r
i
c
a
l
l
y
s
u
g
g
e
s
t
e
dbyRosenauandKamin[
7
]
.
I
nt
h
i
st
a
l
k，
wet
r
e
a
ts
u
c
haproblemfromn
u
m
e
r
i
c
a
lp
o
i
n
t
so
fv
i
e
wi
nt
h
es
p
e
c
i
f
i
cc
a
s
ewherem+p=2
and0く pく 1
.Byu
s
i
n
gt
h
ed
i
f
[
e
r
e
n
c
ea
p
p
r
o
x
i
m
a
t
i
o
n
sw
h
i
c
hc
o
n
v
e
r
g
et
ot
h
ee
x
a
c
ts
o
l
u
t
i
o
n，
wep晶子
t
i
a
I
I
yimproveK
e
r
s
n
e
r
'
s[
5
1i
nCase 1
，andobtain
t
h
es
u
f
f
i
c
i
e
n
tc
o
n
d
i
t
i
o
nu
n
d
e
rw
h
i
c
ht
h
ei
n
i
t
i
a
ls
u
p
p
o
r
tb
e
g
i
n
st
os
p
l
i
ti
n
t
oa
tI
e
a
s
ttwod
i
s
j
o
i
n
ts
e
t
si
n
Case2
.
凶
2
.M l
.
Un R
e
s
u
l
t
s
.
F
o
rt
h
es
p
a
c
emeshht
e
n
d
i
n
gt
oz
e
r
owea
r
ea
b
l
et
o
¥s
t
r
u
c
tt
h
enum山 a
ls
山 畑s九 三 u
;
/
(
m
一九u
c
Ol
c
l
t
o
n
v
e
r
g
e
sもot
h
eu
o
l
l
i
f
o
r
m
l
yc
l
l
i
q
u
eweaks
t
h
a
t u
o
rv勺)EW (
l
u
t
i
o
l
lo
)f
s
e
e[
[
8J
f(
)
.Here
1
.
1
)
(
1
.2
6
J，
v
"
-大阪工業大学一般教育科
.・福揖教育大学数学教室
連絡先
(
1
.3
)
E
m
a
i
l
:句 MSOl@JPNOITlO
…77-
帽
“
““
t
h
en
u
m
e
r
i
c
a
ls
o
l
u
t
i
o
nU
h
(
t，
X
)i
su
山
もl
t
ed
必i
f
π
f
e削
pr
叩o
刈
x
imat
i
拘
onc
お
f
o
rt
υ
仙
hes
o
l
u
叫
t
t
i
o
no
ft
h
e，
f
お
'
o
I
lo
凶
wi
!
lgp
r
o
b
l巴m
m
(
1
.
1
リ
)
一
(
1
.吟
2
)by印s
e
t
ti
時 U = v 一1.
i
n
s
t
e
a
do
fο
.
Ut=m山 :X:X 十 α(
U:
x)
2-c
'，
包(
0，
x
)口 U
O
(
x
)=
=(vO(x))m-l，
(
2
.
1
)
(
2
.
2
)
w
l
t
e
r
ea立 法I'c
'口 (m-1)c，
andW i
st
l
t
es
e
to
fa
l
l
n
o
n
n
e
g
a
t
i
v
ef
u
n
c
t
i
o
n
s伊(
x
)εCO(R1
)w
i
t
hcompact
S司p
p
o
r
tw
l
t
i
c
hs
a
t
i
s
f
y
'
(
i
)!
T(
x
) 三 tp(x)m-l E BV(Rl) and !
T
:
x
Cx
)E
L∞(Rl)nBV(R1)j
(
u
)
ι (x)i
sa
b
s
o
l
u
t
e
l
y∞
c
o
n
t
u
山
もim
附
ande
s
s品 f
I!
T
:
x
:
x
(x
)i
sf
i
n
i
t
e
.
ι
F
o
rs= 1h
i
ss
u
f
f
i
c
i
e
n
tc
o
n
d
i
t
i
o
nc
o
i
n
c
i
d
e
so
u
r
s
.F
o
r
s= 1十1::(
1
:
:>0
)h
i
ss
u
f
f
i
c
i
e
n
tc
o
n
d
i
t
i
o
ni
s
吋 ( い )(
守
)2+4<(
1れ
)
(
1十 ml
:
:
)三
句.u:
(
2
.
7
)
Ours
u
f
f
i
c
i
e
n
tc
o
n
d
i
t
i
o
ni
s
吋(日(守 )
2
仙(長)2
.得手三句.u:
(
2
.
8
)
j= 1，
2
)
Wef
i
l
l
dt
h
a
tt
h
ec
o
n
d
i
t
i
o
n
simposedonKj(
by(
2
.
8
)a
r
ew
e
a
l
倒
thant
h
o
s
eimposedby(
2
.
7
)
.
Theorem 3
.I
n Case2
，l
e
tV
O
(
x
)E W andα1 く
s
1<'
11く '
1
2く s
2く α2・Assume
Theorem 1 For v
O
(
x
) E W ，assume M and 1
:
a
r
ep
o
s
i
t
i
v
ec
o
n
s
t
a
nt
ss
u
c
ht
l
l
a
t u~( x
) と M [01
u
O
(
β
t
)
、
xE [
α
1，
α1十 1
:
:
)
. L
e
t{
c
n
}
n
=
O
.
lム bet
h
enumeri
I
l
u
O∞
l
Ie
s
s.
in
fTU~z.r("')
NJc
a
li
n
t
e
r
[
a
c
e
sw
i
t
hC
O=α1・ Then，
[01e
a
c
hp
o
s
i
t
i
v
e
i
l
u
O
l
I
Ll(判 .η}
r
(
2
.
9
)
>0
h
e
r
ee
x
i
s
tp
o
s
i
t
i
v
ec
o
n
s
t
a
n
t
sT
c
o
n
s
t
a
n
tM'<M t
(c'-allu~II~)( ''/l-'Yl)一 mlluO Il∞ TV(u~)
h
)
"
， (cn)さ M'[
o
ra
l
l九三 T and
andhS
U
c
l
lt
h
a
t(u
h<h
.MoreoveI
，thenumericalinterfacecUlve.
c
h
(
t
)， f
o
rj口 1，
2
. Thent
h
e
r
ee
x
i
s
tt>0 andxE [
.
，
.
1
Y'12
]
w
h
i
c
hi
sd
e
f
i
n
e
d byp
i
e
c
e
w
i
se
l
i
n
e
a
r
l
yI
I
It
e
r
p
o
l
a
t
i
n
g s
，
t
(
x
)口 oandu
，
t
(
s
j
)>0(
j 1，
2
)
.
u
c
ht
h
a
tu
c
n
)(
nさ 0
)，
c
o
n
v
e
I
g
e
su
n
i
f
o
r
m
l
yt
ot
h
ee
x
a
c
t
(
t
n，
o
n
eon[
0，
η
.
twhich
Thistheoremshowst
h
ee
x
i
s
t
e
n
c
eo
ft口 ta
supp仰に)b
e
g
i
n
st
os
p
l
it
. However，
wed
o
n
'
tknow
Fromt
h
ec
o
n
s
t
r
u
c
t
i
o
no
ft
l
l
ed
i
f
f
e
r
e
n
c
es
c
l
l
e
m
e，
t
h
e wl
叫 h
e
rsuppv
(
t，
・
)i
sconnectedo
rnotf
o
rt>.
i
I
山 r
f
a
c
e
s{ι}，
問
。
，1
，
2
…
， areapproximately
n
u
m
e
r
i
c
a
lI
w
r
i
t
t
e
na
s
〉
幽
=
守刷吋
c
'
k
吐
α(
Ui
:
)
:
x
(c
n十 2
h
)
k
n
+
l
'
i
:
)
:
x(
c
n
)
k
n
+
1 = t
(
2
.
3
)
n+1- t
n，
C
n
+
1
口
C
n十
(U
whichp
l
a
y
sanimportantr
o
l
ei
nd
e
t
e
r
m
i
l
l
i
n
gt
h
eb
e
1
附 i
o
ro
fsuppv
(
t，
.
)
.
Theorem 2
.I
n Case 1
，assumeイ(
x
)E W (
j口
1
，
2
)
.PutWj(x)口 (
ωJ)m一l
(
X
)(
j 1，
2
)・
S
I
I
P
P
0
5
e
=
:
x(
0
)
)
2， a((W
)
:
x(
+0))2>c
'
.
a((W
)
2
1
(
2.
4
)
。-2
2
Figure
Then t
l
l
e
l
ee
x
i
s
t ap
o
s
i
t
i
v
ec
o
n
s
t
a
l
l
tT such t
h
a
t
sconnected[01e
a
c
htE[
O，
T
]
.
suppv
(
tγ)i
Suppose
=
a
l
l
(
W
j)
:
x
l
l
，
! <c
' (
j 1，
2
)
.
(
2
.
5
)
T
l
l
e
ns自ppv
(
t，
・
)
お disconnected[01eachtE(
0，
T
.
)，
wheleT. 口 min(T
*，
T2
)andTj i
st
h
ee
x
t
iJ/c
t
i
o
n
1
1.
1
)w
i
t
l
lv
O
(
x
)口 ω
?
(
z
)
.
t
i
m
eoft
h
es
o
l
u
t
i
o
nof(
Remark 1
. I
ti
sc
l
e
a
rt
h
a
tt
h
ei
fおも a
s
s
e
r
t
i
o
no
f
h
eo
r
d
e
r
so
fv
a
n
i
s
h
i
n
go
f
Theorem 2hold~ ，: when.t
t
h
ef
u
n
c
t
i
o
n
s(
ωJ(x))m-1(
j= 1，
2
)a
tx =0a
r
el
e
s
s
.
t
h
a
n1
Remark2
. Kersner[
5
]o
b
t
a
i
n
e
dt
h
es
c
c
o
n
da
s
s
e
r
t
i
o
nofTheorem2byc
o
n
s
t
r
u
c
t
i
n
gt
h
es
u
p
e
r
s
o
l
u
t
i
o
n
s
f
o
rもhei
n
i
t
i
a
lf
u
n
c
t
i
o
n
s
j=1，
2
)
. (
2
.
6
)
V
O
(
x
)口 Kj((αj_x)xyl(m-1) (
x
Numericals
o
l
u
t
i
o
nwith
m =1
.5，
p= 0
.
5，
c口 1
0and
0
.
0
2
5，
0
.
0
5，
0
.
0
7
5，
0
.1
.
t口 0，
References.
[
1
] M.B
e
r
t
s
c
h，R
.K
e
r
s
n
e
ra
n
dL
.
A
.P
e
l
e
t
i
e
r，Non1
in
e
a
r
，
.
l9(
1
9
8
5
)，
9
8
7
1
0
0
8
.
Ana
[
2
]M
.
E
.G
u
r
t
i
na
n
dR
.
C
.MacCamy
，Math. B
i
o
s
c
i
.，33
3
5
4
9
.
(
1
9
7
7
)，
[
3
]M
.
A
.H
e
r
r
e
r
oa
n
dV
a
z
q
u
e
z，
SIAMJ
.M
a
t
h
. Ana
，
.
l18
1
4
9
ω
1
6
7
.
(
1
9
8
7
)，
[
4
]A
:
S
.K
a
l
a
s
h
n
i
k
o
v，
Z
h
.
.V
y
c
h
i
s
.
lMat. iMat. F
i
z
.，1
4
8
9
1
9
0
5
.
(
1
9
7
4
)，
[
5
]R
.K
e
r
s
n
e
r，
V
e
s
t
n
i
k
.M
o
s
k
.U
n
i
v
e
r
s
.M
a
t
.，
33(
1
9
7
8
)，
4
4
51
.
[
6
]T
.N
a
k
a
k
i，
H
ir
o
s
h
i
m
aM
a
t
h
.J
.，
1
8(
1
9
8
8
)，
3
7
3
3
9
7
.
P
h
y
s
i
c
a8D(
1
9
8
3
)，
2
7
3
2
8
3
.
[
7
]P
.R
o
s
e
n
a
ua
n
dS
.Ka出 n，
[
8
]K
.Tomoedaa
n
dT
.N
a
k
a
k
i，
AppJ
.M
a
t
h
.L
e
t
t
.
5(
1
9
9
2
)，
4
1
4
7
.
-78-
1
ふ みG
ル
ル
I
'
1
し
J
l
母 体 内 {-J"
r
ユ
マ
1， Ls]
ト
ルいえれ /
U
?
/
I v上 町
ム
ν
l
i
似 ぷ 切4
の
εム f
ν Fャ
Eζ
ム
O'
々
r
t
ぷ<
X μv
ル…ム Yι FεA
A二二ルト ム十 1 乞コおく
て
ー
・
，
ムd)
"
i
/
t
t
ι
c
b
vす る ぬ
つ
句
一
言
ohtf
。
、 上?ミ
F
(J -1
て石ム
ι
ι
¥J
F 二
学
ν
ξ
フタ
k
n 0' 之ヰヰ
r ζ6¥:.対 l. r
~-vrJ':人
i
X乃 采 イ 河 口 九 l
=
/
;C?)
〉
，
マLι
¥
!
l
) (J f
グ七吋瓜 ι~ 乙初?V;V&X でおるヒ\ J
.
内かq
yで
川V
、‘，，
i
i
i可る。
~ q る。
rU:/
ムヵT
て
定義 .
1
2号
、
芝l
l
iべ、る。
にそって
iス " ‘ 託 1
τ 弁ι
為
i
y¥
1¥
4
オ 蛮削除芳昌寺)
十
'
.
.
:
:
:
:
;
-
ますれ全f.\~色合 i こ[ト\
勺
~
1
1
:
.
.
ー宥
v
l
oぎ J ぎO{-l
イ;=4{J-74比一.6)
i 恥、、t:...乙~
A 町イ《 F 制 ~v
;~下.
長
ギ
二
{
I 1
三之
-r(~ )
:
コ C
.
.
.
(
o )よイ~-I )玄
Jt
二.
乞
ロ
手
、
)
¥
、
) I
R
乙
イ
，
-1
¥
入
一 1)(
，
(
ベ
=
乙f
{
;入
。
ー
マ
必(.6):.-::: (
1
(
0 ，
A
e
，
)..牟・
kl {;本と可る
L
l
t
7
l
イP-nP4必
し
d
~CÁ
)
r
ζ"
l之
よって
之
i
-Ifる.
o
ムの j.t{Vn今 -~>~V ~ ~[ム] 芝
だ [χ1
Al
ム]二 す
スJ
-I
η
J
t
二
I
.
o =
-l
文
~‘ L
iする
工A
"1
‘文作
!スイ，<、
ρ
-79-
上
フ
て 主
ζ長寸ゐ，
く 丸 ) {弐川、ー，ズィ r
~ ~4 )
A
主4
ム
δC
d
.
ゐz
!
必>
'V-
ι
ι
4ム ムム({n.い仇九-v
ムψ
f， i
.
、
、BEEF''
taEE
I
l
ー
‘l
，
，
明日
ηjZjzt
〉
〉 ヴ¥
'-1 〉 ‘
ι1る.
存
同マf心，~
‘
‘
ハ乞?ミ.
E32
1j
，
f
+ !4e
aet¥
j
h，
+
〉km
，
ノ
，
，
す
?
と
十
‘けリ
‘
l
，
、
t1)
I
…
ムヴA ι
6仇 ず ら
の[-明dvに い て
、
方、 長t う~\て、、る
4
~んv.;k-a-t
イ= l
イo
12'/
:孟盟~
ぃ‘刊
』正一
+
、
、
一般内
旬 、
a
e
'
t
IT
E
E
a
'
'
'
'
と吃毛- 1 る.
寸る t
、
.
，
、
，
，
‘
、
、
o
D.(~ ‘
>
、
〆
v
三 月 iて
f九(九}今(ケ)十、十 (
j
j
i
f
<
">
:"
'
-
:
，
'
}
‘
B
ムウ
I
寸
1f
、IEEEJ
fjlk
明、 4
1111
+
FIttL
{一
nJ
r
i
、
正 内容をk
心 る 字可、今、
¥
l
ルヘノ) ~-ÆJf f
I
.[AJ少
l
1
;
"下
F
定 義 1る
乞
てて
42bhICH7
M
_.'
，
r
~-I
A
/
t
'
i
f
l
1
A)
，k
)ε
;
a
C
{
イ
¥
.
6)=: -fとなる
¥"，"' ~
o<4
1 ると
r
}
-l ;
)乏え
J
(
.
;¥
.
什 1)
臼んしず hu~ル
上
;
J
L I~
円伍
ι
…ぷ
んナ
ωヂ & ダ が
J
存在する，
l
o壬 ベ三~ 01.- 2 )
匂ザ~
ι
)
.n
t
e
.
ゐ
レ
1
7
1
1
こ勺、、て
1
1
.•
純集合、..t~ ぅ 1，ト 1 る
f
、、i
l
，
審
、
、
、
主笠ムリ仏ん〕
d
1(= l
I
Lo，-":l
i
o
.)ι .
.
a +1 ι qるた '
i
えl
o 月
イ差し
q、
(1メ
ょ
た [.M ん 〆 ほd乙叫必ダ品存在 '
.
ll
.
6)とえたiJゐ &
1
0
.
必
。 =t ，
M
〈H 1 4
.
f
:
.
;
<
'
;
/
-80ー
1さ 4く
さ O
{-f
J
R三 で 門 持 に 《 三 と
ら
，h 布、、官、 3 万 台 ¥ ?
t
.
6I
J
"
~ 、、ラ
f
3
"
c
J
C
dμ
何
v
の 場 合 b矛え
rJj主主妙手、うわ ~t てくる ρ
寸なわ主.
P
r
Dh
I
ew
&..~ωw 仰17dff 《イe
L か¥_ :
:y
¥r
d
民間で
支こ? とハ請うそで
ムモ
r時1
{iえづ‘・けよ.
l/
U14 京 内 課 題
で去る
h
e
~CL~配Vhv' 乙óh\1Loん ，，) j(〆凶じら
I
(
!
.
イち根元ーの場令における同
におる住忌i) ) 芳 毎
主塁
t
v
e
l
つのめず去作¥:...勺いて生ヘ‘¥
で志る主配)め
寺1
三
-dr
ξ
η
¥
て
1こ 寸 " ¥
L;
乏
.
ニ
フ
1 之子-1 i
三
、
、
o
ιt rJv.y仏ÅÑ'l" vι~x ~ l
，
d
.
¥
)
:区 天 内
llL
1)~νLo ， d ， J 問、，ぷ CÁ
三内之主
ナ今‘性
o
l~cl
十 J{ O
.-I ~
)
~
qる
o
()
(~ )ん→ l(
A
ぬ
¥
2~-2) ゐべ 2ff) んけ-+ f
a
(
仏
今考~ ~7(
[HJ 日比 1f~~ 有限鋭利七挙体的複イネ《札合立論
科 教 的 組 合t
ん九放 Z
竪祈言語，・記銘ι
Z
品 η 桁九¥，
[
s
J R、 P
.s
十C
¥
.
t
nl
e
l
/~
114-122
CombihQfot
-ics
v
t
l COr
1
地
t
l
1h
tけけ i
Qv>
AI
c
Je
hC¥ 11 sirlく n
t
¥
l
AS'2r I
-81-
'
9
f
3
設e
writingSystems and Homotopy
-L
.、
，
h訴 法 よ ち ( 常 邦 夫 )
Recently， so called rewriting 七echniques have been of in七erest
in various areas such as algebra， logic and compu七er sciences， not
only from a practical poin七 of view but also from a 七heore七ical
point of view.
Here we consider only string rewriting systems， that is，
rewr
・
iting sys七ems on a free monoid. As is well known， if a monoid
is presented by a finite complete system，七 he word problem for the
monoid is solvable. Thus， it is an impor七ant and interesting
question to ask how much it is universal. 工s there a good condi七ion
charac七erizingmonoids wi七h fini七e complete presentation ?
工n 1987 Squier proved that if a monoid M is defined by a finite
comple七e rewri七ing system， then the monoid algebra of M over the
integers Z satisfies the homological finiteness condition FP ， and
3
using this fact he gave a monoid which has a solvable word problem
but cannot be presented by a finite complete system. 工n his next
paper he in七roduced another (probably more general) finiteness
property on finitely presented monoids. He considered some
rela七ions called the homotopy rela七ions between paths in the graph
associated wi七h a fini七e monoid presen七ation. 工f the full homotopy
relation is finitely generated， the presentation is said to be of
finite deriva七ion type. Squier proved that this finiteness property
is an intrinsic condition of the monoid not depending on its
individual presentation. Moreover he proved that if a monoid M is
presented by a fini七e comple七e system， then M has finite derivation
type.
日xhibiting a monoid which has FP
<
x
>
but does not have finite
derivation 七ype， he could succeeded 七o show that 七he property FP
∞
does not implies the existence of a finite complete presentation.
Recently， Otto， Cremanns and Lafont showed 七ha七 if a monoid has
finite deriva七ion 七ype then it satisfies FP
3
By means of the homotopy relations we can define the
fundamental groups of a presen七ation. These notions are natural and
interesting in themselves. 工n my talk 工 will discuss basic
properties of the homotopy relations and 七he fundamental groups of
monoid presen七ations.
-82-
BoundsonC
a
s
t
e
l
n
u
o
v
oM
U
l
n
f
o
r
dr
e
g
u
l
a
r
i
t
y
四
崎誓
(長野高専)
本講演は、 L.T.Hoa氏(I
n
s
t
i
t
u
t
eo
fMath.，Hano
i)との共同研究である。
Kを標数 Oの代数間体とし、 Xを d次元の
の非退化な間部分多様体とする。また、
標環を P = K[X
，
・
・
・，
XN]、Xの座標環を R =PjIとする。
o
Xの C
a
s
t
e
l
n
u
o
v
か Mu
mfordr
e
g
u
l
a
r
i
t
yとは、
p
%
p
%の鹿
Hi(P弘I
x(1'- i
)
)=0f
o
ri三1
を満たす最小の整数 r
のことをいい、 7・=regXと書く。
さて、この regXは
、 Xのイデアル Iのシジジーの生成元の次数を制御する重要な最であるが、
次の予想がある。
[
E
i
s
e
n
b
u
d
G
o
t
o予想]
regX:
;degX-codimX十 1
さらに、次の概念を導入する。 Xが k-Buchsbaumとは、
(X
，
.
.
.，
XN/E
D
e
E
zHi(P
弘Ix(
1
:
)
)=0f
o
r1:
;i:
;d
o
のときにいう。
さて ，k三 1とし ，Xが k
B
u
c
h
s
b山 m であると仮定しよう.さて、 1
9
8
8年以来、(1)[
8
-V2
，
]
(
2
)[H-M払 V，] (
3
)[
乱V]により，次のことが示されてきた。
(
1
)
d
regX :
; f(degX-l)jcodimXl十 (
2
)
k十 l
-l
(
2
)
egX :
:
; f(degX-l)jcodimXl+(
2d- 1
)た十 1-d
d
(
d十 1
)
regX :
; f(degX-l)jcodimXl十 一 .
:
:
:
.
.
!
.
.
.
k十 1-d
l
'
τ
(
3
)
次は、我々の主定理である。
Theorem同
町班]
rdegX-1
1
+(d十 1-depthR)(2k-1
)十 k十 1
.
"
e
g
X
:
:
:
; I 一一一u-~ I
IcodimX I
最近、 N
a
g
e
lと 8
c
h
e
n
z
e
l
[
t
心S
c
h
]が、我々と異なった方法で、同様の結果を得ている。
-83-
以降，次の概念で話を進める .R
を無限体 J(上の g
r
・
adedr
i
n
gとする .Rは J(上 1次の元で生
成されているとする.また， dimR=dとし ，Rの同次極大イデアルを m とする.このとき，
αi
(
R
)=max{nl[Hん(
R
)
]
n/
:O
}
と定義する.また，
regnR=m
a
x
{
αi
(
R
)十
i
I
i
三n
}
と定義する.特に，
α(
R
)=αd
(R)regR=regoR=r
e
g
拘
t
hRR
とする.さきほどの代数多様体 X との対応でいえば，
regX=regR十 l
となる.
次が，主定理の証明での重要な補題である.
MainLemma[H-M]上の条件の下で，Rを k-Buchsbaum，即ち iヂdに対して ，mkH
ふ(R)コ
Oとする.このとき，
regnR三α(
R
)+d+(
2
k-l
)
(
d-n)十た
が成立する.
n
i
f
Ol'
mP
o
s
i
t
i
o
nP
r
i
n
c
i
p
l
e
(c
f
.
[
H
]
)より，我々の主定理は得られる.
上の MainLemmaと U
-84-
参考文献
[
G
] S.Goto，
Ont
h
eαs
s
o
c
i
αt
e
dgmdedr
i
n
g
so
fpαmmeteri
d印 l
si
nB，
l
I
'c
h
s
b
αumr
i
n
g
s，
J.
A
l
g
e
b
r
a
8
5
(
1
9
8
3
)
芯
巴
]D
.
E
i
s
e
r
山
[
EG
8
8
(
1
9
8
4
)
L
i
n
e
a
rf
r
e
er
:
r
s
o
l
u
t
i
o
n
s and r
n
i
n
i
r
n
a
lm
u
l
t
i
p
l
i
c
i
t
y，J.
A
l
g
e
b
r
a
[
明 J.
H
a
r
r
i
s，
Curvesi
np
T
O
j
e
c
t
i
v
es
p
αc
e，
S
e
肌
[
乱 MR-V] L.T.Hoa，R.M.班 II・o
-瓦o
i
g，W.Vogel，0
η 削 mer
吋i
化
α
C
a
l 仇n
υ叩α
r
吋
α
i
仰η
t
ωs ザ
0'
fl
o
c
叩
α'
G，均
l
印
l
y Cω
o
h
ε
r
M
ぽ
4
α
C
αu
l
α
ayschemesi
npn，
豆i
r
o
s
挺
h
ima1
¥
班
i
.
l
a
t
h
.J
.もoa
p
p
e
a
r
[
HM]L.T.Hoa，
C
.
M
i
y
a
z
a
k
i，
Boundson，
Cα
stelnuovo-Mumfordr
e
g
u
l
a
r
i
t
yf
o
rg
e
n
e
r
a
l
i
z
e
dCohenc
αu
l
α
，yg
r
α
，d
e
dr
i
n
g
s
，
p
r
e
p
r
i
n
t
Mα
同
W.Vogel，
Castelnuovo-Mumfordr
e
g
u
l
αr
i
t
yandh
y
p
e
r
p
l
a
n
es
e
c
t
i
o
n
s
，
J
.A
l
g
e
b
r
a，
[
H
V
] L.T.Hoa，
t
oa
p
p
e
a
r
[
H
o
]C
.
H
o
c
h
s
t
e
r，Contractedi
d
e
αl
sfromi
n
t
e
g
r
a
le
x
t
e
n
s
i
o
n
so
fr
e
g
u
l
αrr
i
n
g
sNa
goyaMath.J
.
5
1
(
1
9
7
3
)
[
NS
c
h
]U.Nagel，
P
.
S
c
h
e
n
z
e
l，
Cohomologic
αla
n
n
i
h
i
l
αt
o
r
sand，
Cα
s
t
e
l
n
u
oω -M
，
l
I
'm
fordr
e
g
u
l
a
r
i
t
y，
p
r
e
p
r
i
n
t
叩
[
S
-V
1
] J.
S
t
u
c
k
r
a
d，
W.Vogel，Castelnuovoboundsf
o
rc
e
r
t
a
i
ns
叫 叩r
i
e
t
i
e
si
npn，
Math.Ann.
2
7
6
(
1
9
8
7
)
[
S
-V
2
] J.
S
t
u
c
k
r
a
d，
W.V
o
g
e
l，C
a
s
t
e
l
nω ω b
o
u
n
d
sf
o
rl
o
c
αl
l
yCohenM
α
c
αu
l
a
yschemes，
Math.
Na
c
h
r
.1
3
6
(
1
9
8
8
)
“
Towardsαt
h
e
o
r
yo
fαg
e
n
e
r
a
l
i
z
e
dCohen-M
α
，c
a
u
l
αymodules，
Na
g
o
y
aMath.J.
[
T
] N.
V
.
T
r
u
l
l
g，
1
0
2
(
1
9
8
6
)
-85-
TheGradientTheoryofthePhaseTr
ansitions
inCahnHilliardFluids
withtheDirichletboundaryconditions
幽
石 毛 和 弘 (KAZUHIRO1SHlGE)
Departmento
fl
V
Iathema
.
t
i
c
sヲ Fa
.
c
u
l
七yo
fS
c
i
e
n
c
e
Tokyo1
n
s
t
i
t
u
t
eo
fTechnology
Oh-okayama、
五
在e
guro-ku，
Tokyo，
152，
Japan
刊 s
t
i
g
a
t
et
h
easymptoticbeh
a
.
v
i
o
ro
fmi
山 市z
e
r{
叫 }e>o(asE-→0
)
1
nt
h
i
snotewew
i
l
li
n
o
ft
h
ef
o
l
l
o
w
i
n
gv
a
r
i
a
t
i
o
n
a
lp1'oblem:
ト
ベ
間
2
l
¥
7u
l十
i
;
w
(
巾
nisaboundeddomainin~N
where
a
nandgisaLipschitz
withC2 smoothboundary
n
t
o日n Thistypeo
c
o
n
t
i
n
u
o
u
sf
u
n
c
t
i
o
nfromoni
fproblemi
e
l
a
t
e
dt
ft
sr
ot
h
estudyo
h
e
r
a
n
s
i
t
i
o
n
so
a
h
n
H
i
l
l
ia
rd笠u
i
d
s
.
phaset
ft
h
eC
.
LetW(u):
bea
.continuousnonnega
.
t
i
v
ef
a
.
nd1
n
l
y
u
n
c
t
i
o
n，
)=0i
fando
'
1
'
(u
間 π →~
o
n
s
t
a
n
t
sKlandK2 sucht
.
tt
h
e
r
ee
x
i
s
ttwoc
h
a
t
i
fu= αors
.Weassumetha
1
寸
ノ
，
I
、
ゐ
、
、
f'B1
1i
[K
]{2r
1，
f01
"a
1
1υ~
;T
1
'
V
(
υ
)
V(u
):
sup
ピ
11，
1
(2]"
uEθ[
and
:
)
ε
[
}
.
C
2
1
n
.
g
(3
九I
)
(
1
.2
ιan.
f
o1' a
1
1、1;
j
加
臼l
出
wew
i
l
li
n
t
r
o
d
u
c
ea
u
a
.町
R民
e
nn
os
t
a
t
eもhemaintheorem，
1
no
r
d
e
rt
e
f
i
n
e
dby
Forα，
bε時
b
)bethemetricd
ぺ letd(α，
口川?
70
J
111riJ
a
，
，
一
一
、
1i
α
‘，，.
，
.
j
川 γ 、
‘
，
Ef
、 ， 、 B，
什勺一一
γ
、
、
rB''BLrsE
nunU
C
可
γ
ε
，
ナb
'
'
'
'
u
u
rt
Ttw
l，J
・
、
，
fz
t
、
TιU
31J
、
、 .s'''
‘
、
、〆'e
j，
M
ヴー
、
、
‘
〆'1、
1
噌Eム
r
つ
，
Ff
噌
τ
v
，
‘
す
A
F
I
'
'
'
'
'
A
U
f-3︿12t
ri
a
-'i
lJ
一
一
、
、70
α
、
e
s
，
，
，G
o
t
e
.
i
nt
h
e
o
1
'emo
ft
h
i
sn
t
a
t
eourma
Wenows
.
TypesetbyAMS'
I
部
-86-
Theorenl1
. S叩 '
p
o
s
et
h
a
tf
u
n
c
t
i
o
nT
Vs
a
t
i
s
f
i
e
s(
1
.1
)a
n
c
lt
l
1
a
t9s
a
t
i
s
f
i
e
s(
1
.
2
)
.ForE >0
，
l
e
tUf beas
o
l
u
t
i
o
no
ft
h
ev
a
r
i
a
t
i
o
n
a
lp
r
o
b
l
e
m
:
州
[
1¥7
l山
E
ju
j
2十 ;W(tL)idz
I
V1
，
2(n: 何 日
I
f
t
1
ぽee
x
i
s
tap
o
s
i
t
i
v
es
e
q
u
e
n
c
e{
εd立1 a
.
nda
.i
i
.
z
nc
t
i
o
nU
O
(
x
)εL1
(n:I
R
n
)sucht
h
a
t
.
l
i
mEi 口 Oα吋
(
1
.3
)
z
叶 C
泊
l
i
m1
仏 =U
o i
nL1(n:
町n
)，
zーc
泊
t
h
e
nt
h
ef
u
n
c
t
i
o
nU
oi
scha
.
1
'
a
c
t
e
'
1
i
z
e
dby
W(1
川x
)
)= 0f
o
ra
.
l
m
o
s
ta
.
l
l;1" E 、
口 t
l
m
t1
8パ句作)ロ
(
31
'
01
'a
l
m
o
s
ta
l
l♂
α0
'
1
ξn.
Moreovert
h
es
e
tEoロ {xモn
¥
u
O
(
;
1
:
)= α
}i
sa
.s
o
l
u
t
i
o
no
ft
h
ev
a
r
i
a
t
i
o
n
a
lproblem(
P
o
)
:
(
P
o
)
i
n
f
{d
(α，
s)Pn(E)十
Id(vlδn(♂
)
， g(x))d行 N-l
Jδ
n
n
，
Pn(E)< ∞，
v
Ec
。
¥
α
χ E+sχ E
，
}
whe
'
1
ePn(E)i
s.
ap
e
r
i
m
e
t
e
ro
fE 1
nna
.
ndv
¥δ
ni
st
l
1
e士r
a
c
e01
'vt
oon. Fu
rthermorewe
have
民か¥¥7U
2
Ei1
+2JI
δ
n
n
θ
十
市
お
M
ι
d
(叫
)
Pn(E
=2d
州
)
川
向
九
iwMdz口斗
Q
行
g(
)
d
1
d
(α
x)
2I
i
民
、，
吋
以
N一
斗1+
Jδ
Q
¥
θ
Eo
g
千
冗{N一
d(
sぱ
)
μ
d
(
♂
吋)
.
ラ
仇
→1
ホ
Eo
ry01
st
h
er
Hereo*E
educedbounda
.
'Eo・
oi
h
e
r
ee
Remark. I
ti
sn
o
tr
e
s
t
r
i
c
t
i
v
et
ha
x
i
s
t
sa
..
s
u
b
s
e
q
u
e
n
c
e{UEi}
.
o
58umet
.
tt
a
t
i
s
f
Y
1
oa
昭
ご 1s
古B
n1
r
o
v
e
c
lbyI
o
l
l
o
w
.Tar
J
:
:i
ft
(
1
.
3
)
.1
'
a
c
t，t
l
1
e1
'
0
5p
.Fonseca
.& L
h
e
r
ee
x
i
s
tc
o
n
s
t
a
n
t
sC
'
I
l
唱 1
a
n
c
lR sucht
l
1
a
t
H
i
)三C
'¥
u
¥
ム(u
切
明 l
t
u
l
2R，
i
s
f
y
i
h
e
r
ee
t
h
e
nt
x
i
s
t
sas
u
b
s
e
q
u
e
n
c
e{
Ufi}
a
.t
1
.
3
)
.
昭 (
立 1s
-87ー
S
i:
n
gul
晶、 S
ol叫 l
U.i脚 f
o
rSemi
U
l
'
learEUip事i
cEqua
.
tions
SONG-SUN L1N
DぉPA:
a
T MおNTOF A.
P
.
PLIED MATl
王E M
A
:
TlOS
;
ONAL ClIIA
O T UN
.(j U.
NIV忍RSITY
NATJ
I
I
st
'
!
'
tc
:
u
u，
TAIWAN 300
REPUBLIC 01
' Cl
i
INA
ABSTRACT.
Westudyt
h
ee
:
x
I
l
:
;t
e
n
c
eandIIlu
l
t
i
p
l
i
c
i
t
yo
fp
o
s
j
t
i
v
es
i
n
g
n
l
a
rs
o
l
u
t
i
o
n
so
fs
e
m
i
l
i
n
e
r
u
:
o
u
.When出 egrowtho
iもhenon
日n
e
町 f
U
I
l
c
t
i
o
ni
ss
u
p
e
r
c
r
i
t
i
c
a
l，
weprovet
h
e
r
e
equ叫 i
e
x
i叫 5 a
.P
OS
J:説明 n吋 凶l
ysymmetricS
il1g
u
l
a
.
I
・ s
o
h
U
i
O
l
lO
l
l鼠
・n
j
t
ebaUo
rwholes
p
a
c
e
.明
、
a
l
s
os
i
s
l
i
d
J
J
L
M問 時 初 日c
e0
1p
o
s
i
主i
v
es
I
n
g
u
i
a
rs
o
i
u
t
i
o
l
l
SonvaJ:
i
o
u
sdoma
お18 Whe
Il仕Hi
:
'
growtho
fn
o
n
l
i
n
e
a
rf
u
n
c
t
i
o
ni
ss
u
b
c
r
i
t
i
c
a
l
.
-88-
け
ら
a
h
;
n
c
7
. C
Ha"j<:.~ Oôl
t
ヲ"'-~{\わ吋
k
ヘ6hwdfcq?zi
十ゥ U山
予
l
!
.
y
(
¥
i
¥¥
Y
Ier
a
r
吋
、
l
u
c
内品
去十
、1rq
。
。
ちiιhi
b
必..tふ
fc
.
;
.
.
.
.
.
.
.
.
円
、d
)
)
iu
.
.S
hnuγa--
千
p
h
t
川 町il~ ¥心
t
、
乙
心~
'
ヲ
J帆
円
hH
t
h品
三Mgg14 喝
守1
1
:前
畑
、lz:mq
‘.J
n
、
、
寸~~
fIA'L~'ιmctt;匂
寸ο内
。 f{l
3
i
υ02
(\，-\ 0
V
n
i
v
プ咋(.~I'\
1
AsSTf
ミAC
下
‘
3
i
H
可乙
子
0
丸
'
t
c
.
L~
，"l
コ
ιh乙Y
.
<
j
f~，.必
A
川 1ぶ川、1¥，)
り
ー
ぺ
1
υ
ムψii
.
¥
i
'
¥
勺内
'
Z
¥
'
'
l
う
サeGh y\~q~\
色ら
ï~\~.
¥
i
C
、
'
"
~r比れゲ
叫1凡
ヤ
‘
ム
￡
"
，
ふ
と
ヨ
L
"
"
hH
J
い .
ι'
'
1
fiOVι
Ì'\:";ゅ~.
2
V
¥Q
LVt
ぢ トt
、
乙
し
Sr~ef~
L
ト
》
γjj
i
'
h
，
と
~Jω仕切
'
.
.
v
;
I
r
+
'
¥
1
.
，
以L
W乙
レ
:
品
。
A
m
1
，
1
州
、
、 b~
c
f He
5
AE
l
V
i+h
叩
く手ト
，
'
(
;州ヤ
ぜ いJ
n1
ι
1
'
(
α
J
;必n
町
子
c-J J:~
ダー→包
h Gl rmo i'1;'乙'n~f
I
'
N
.
¥
ド
t
Ln
¥
C
I
.¥'1'::'向
怖
1
ι
I
V.
lY"
，
乙
九
e
一
・
+
t
i
'S
e
cいザ仏 G~'Ä-
1仇
札
何
t
+
r
o
m
:nve ぅ守~5<J，ぇ
{
Y
'
h
¥Oポ
、r
"
、
hYmoI'¥)
乙/
b
、
l
.
， (1
o
¥
:
;
γL
W乙
(
h
;n
h
i\"\~削~ z
s
e
n~r~ '
j
V
J
e
er
P
α
p.
礼
、
，¥
5
i川判
よh
U
OO
可
ハ
射 芳 合 格J
)
¥
I
岱j
色町長子灸〉こ コ い 之
ネや~Ã~宝 3長乞不均
x
ユ
ー 7'
)
"
ノ
ド
グ
手 ト魚、河 J アアァイ将校会話ょ h
J
)射 彰3
紋ふ委託f() I;
;
J
そ れ を や):::l-?'J‘州通弘若手J ア乃グン生命群ノ射彰金投点十=ぁ γ
h
/よい I~ 切 a 小注'襲l:.~笥べ d~ とろぶものど'あふ
2. 射彰?ねふ銭、}~ 1ユ喚
l
-t毛 〉 町 、 苫
b
J
jBめ 弓 な も
> fNめれふ ~ã ネ jヲト
ボ'有沌を向持L~jかねふす手伝U 患で言乙 fu~ 、.}v ;
?
.);)、
L之 みふイよ 1
i
ま
，J
h
t
p
)tおのゆゐ左手 j~に定:門zfZJY) ー-7 IP~ z
"忍サヲちと J 苦の)~ ;
:
.
)
ミ
ん手金 J'主持品糸
苦:0: =~さサ十 G 走z 十 ιち十 F を
I
E去十んして、、
J 支
り =m~ヮ +C さえ十 &2.) 十 ó l
'd 一色りど}す句、、
3。 乙め之ふ
，
，
'
J
:
>
，めあ吟 ゆ喝 z令 z
J
o-.}3久しむ、ふ 金子葱ノ射ま~}寄支少をてず吉司令j主~ J人 z
"み 3 五
工
3 き二町~ d
を;¥糸乃、
L
3
J
E
;
3
1
傘Eぬ が ι。
3
. 鴻みど Id，
ω ノ苦吟号ぇ，ご均しZ
去
ぇJ
tいふ苛?の 2
fB
安
へ
~
a~ぇ
十
. ・ 、 .
bて
cき
=0
し γ~ω ヨ
'r
と
ヲ
~O)
叫ノ
Z
I 一 gえ
ð1~
十
+
-
zv
へジ〉
4
γノ
作んさ
ヌ
﹄
芝{
6 忌3
十
ずる
司
z
ー
ゐ
'
{
' WJ.ι~
叫ん z
れこそノ
乏1)
(
0
.
〆J C/33
<l，もノ C
:
:
'
ヮ
、
、
芝
、3
t1 '
+〆 l~
十
4
E
;
+乙〆
e(
;.免きみ) ρ-A:LUy エふげよ
1>'
，，.
a
34
13ノ
ff﹂
(a
.
f
， +t
il 一c) l
切
""
芝
と
3A
y
j
Lヲ Z
5
a内
じ1
;
;."ことノ
= 0
m
凋
-90-
j、
子
3
す
W
t
s
ヲ1}s
k
i
L 判ノ季五ゐ&抜高め令 1や(林義~" ))φ 銭、河川伊奈ぞ乍
主 ~jf<.
i
=
.
- )J ミ
ユ と と む し zu。
b
:
4--.ニめよ与乍品営住め
U
夫九与矢口ヲ川"2 <fくゐ 3 性へん j~IJ 結 J エづソJe，
3
令 ぽ )I
R p;v町通えゅキ一!の曲i'ID '
>
;A"~ (
/
)J
引 じ 主2 のゆゐ Eっく
込ヒ、、〉対 fviごみ.，..
>W 1，.
W叫Y\~~ω 徐警えとふ IJ-tLUJ3むふれま ~~'a
ι合O
I
"
c
1O
Y
J 才本長特め
主も与が:>1.
1
5L
n
5
"
.A
.婚の .
:
t
a
aJ)'、
>
l
D
ゐ E弘
べ 1tと め
J
BぷJん J
. "'~え riえと FS‘れ之、\ 10
I
ゐZ
あ げ 志村川 77アグン弘法i
パ3
A
口
J
寸、、))A~ C I
p
3t-持';;ヲニレ=J'コ "2.) I
p
3内 向 I
1
bAおと!忍与ニ¥::.，.¥=ろa-o
~
'
6
: 門之上良善之、コゃん子与手ゐ丁門ぺ=干る彦外》ノょぺフト M
主的手挙準町争地域~.乞け 10
パ3，
=Jl
!
.e吋
J
門之内ベアドレ込
弘)D 芯 A
主
1
Dx)lJ
X"l'ヱ::>'"
い 吟 λノ
ト
t
.'
V
Xl;¥のト λ小 E
古(
X
.
/'
1
)きい、<.:
J
)
xY =- 凡了十-[1(λJり
ま
用手弘.=>
/)x~4
ぐみ絹~ 1 :
Dx~詔 -
sλ
S
十t:(X)
官''J:島 t
もの凹凸と為的ろムコナ、形式jピみコ'2 ，
、i
的支移悲喜
宅金 j18'""
' }
'
J
.
.
下‘Jτ oe 乍~ ~ '
d
'
e
.
，
l
.
盟
r~h ラ 1 "
''
・
〉
ニ4
へe
1b
.足 L J 〉
。
主もぞ・〉
長.
b
'
"=JP~ J乙 ず 高 小 ぜ 今 1
=
こ仇とき
;送先門 z b t・77
ァグシゐ.
J
)、 ゅ ゐ 戸
川
Id 7771ン b
) ，:否、生匂ノー才
=0
J
かり = sS-a
2
l
l
h
t
r
s)J
.
げが射影不公ノトゆるい L
:
J
，
kろ し } 云
'd
'ð 身寸!5ß~ ，こ J'~ 乍ゐ特
別 納 紋 a 持}Jlゆみb ¥こケフ之、、 L、
6
. ニの抗的技会ーな
x
;~
w〆
川口アブアグン〔ヒト=射む〉不必!)-..ど'
2み E ょう乍めら的組ぬぐっく *1 ニとノ ~ll の川、、~ e
.
ち Lヒ
乏
晶
、L
w"とつく三銭巧凶>;;きま毛れであ 3 ニバ終?りミヒ之h み~
，
a
;)身1~ 的句協令、:::
jシ
J'
I
.
えさるrJb7
I
D，
:
:
:
:
釘
し
之
'd
弘 吉 6ち十戸，) ~)官乙さえ+も足り
v
.
r=
=(C'C}'-れ
c
.
)
支 + U Lャ c
2.ち十'l::
%
.
J
;
'
(
.
"
.
1
，
，
;
'
レ
Z
c i 官 (-t~ :
t
:
.
J
4
i)
t
&)c=
=(
Czs二
弘Cノム-的)十件(勺十九一士制正)) I
:
:
!
.
:
z
.
.
2
J
(
.
L
C
z
f十 件 c
(.
c
p
+h-t
{
t
.
C
)
y
)
).
1
1
:
:
‘3うピふ忌。
出
i
可
n
u
a
A特
O
.
t
.
O
-92-
可換環論の歴史
名古屋大学
松村英之
9
4
.2
.1
0
)
(
19
イデアルの概念の導入は代数的整数論の必要から、 1
8
7
0年代に D
e
d
e
k
i
n
d によってな
されたのであった o しかし可換環論の中心となるのは昔も今も多項式環であるから、多項
式のイデアル論に(1)基底定理、 (
2
)s
y
z
y
g
y の有限性、 (
3
) 担i
1
b
e
r
t 関数、などの基本的な
.H
i
l
b
e
r
t(
1
8
6
2
1
9
4
3
) の2
大論文
定理を証明した D
U
b
e
rd
i
eT
h
e
o
r
i
ed
e
ra
l
g
e
b
r
a
i
s
c
h
e
nF
o
r
m
e
n活
(a
t
h
.A
n
n
.1
8
9
0
)，
U
b
e
rd
i
ev
o
l
l
e
nI
n
v
a
r
i
a
n
t
e
n
s
y
s
t
e
m
e(
i
b
i
d
.1
8
9
3
)
の出現をもって可換環論の誕生の持とすれば、可換環論は約 1
0
0
年の歴史をもっと言って
よかろう。
.L
a
s
k
e
r の大作
多項式のイデアル論では、 ドイツの E
ZurT
h
e
o
r
i
ed
e
rM
o
d
u
l
nu
n
dI
d
e
a
l
e(
M
a
t
h
.
A
n
n
.1
9
0
5
)
において多項式イデアルの準素イデアルへの分解が証明された。またイギリスの
F
.
S
.
M
a
c
a
u
l
a
y(
1
8
6
2
1
9
3
7
) は1
9
1
0
年代にきわめて深い研究を行って、その仕事は今でも
影響を残している。
.
S
t
e
i
n
i
t
z
(
1
8
7
1
1
9
2
8
) の体論 (910)によって促進され、まもなく
代数学の始象化は E
可換環論にも及んだ。 F
r
a
e
n
k
e
l がアルチン環を論じ、京大の国正造 0886-?)がデデキント
環の公理系を与えたのはいずれも 1
9
1
0年代であった。 E
. 前o
e
t
h
e
r
(
1
8
8
2
1
9
3
5
)は
I
d
e
a
l
t
h
e
o
r
i
ei
nR
i
n
g
b
e
r
e
i
c
h
e
n(
M
a
t
h
.
A
n
n
.1
9
2
1
)、
A
b
s
t
r
a
k
t
e
rA
u
f
b
a
ud
e
rI
d
e
a
l
t
h
e
o
r
i
ei
na
l
g
e
b
r
a
i
s
c
h
e
nZ
a
h
l
-und
F
u
n
k
t
i
o
n
e
n
k
o
r
p
e
r
n(
i
b
i
d
.1
9
2
7
)
において抽象化の威力を示し、昇鎖律から準素分解定理を導き、また整関の概念の重要性を
示した。
3
0
年代は可換環論にとって重要な時期である。 E
.
K
r
u
l
l
(
1
8
9
9
1
9
7
0
)は局所化、完犠化
などの手法を確立し、いわゆる主イデアル定理を説明してネータ一環の次元論を築き、また
ネータ一環の範囲を越えて一般付値論を創始したり、整拡大の理論の基礎を築いたりした。
A
l
1
g
e
m
e
i
n
eB
e
w
e
r
t
u
n
g
s
t
h
e
o
r
i
e(
C
r
e
l
l
e，1
9
3
1
)
D
i
m
e
n
s
i
o
n
s
t
h
e
o
r
i
ei
nS
t
e
l
1
e
n
r
i
n
g
e
n
(
i
b
i
d
.1
9
3
7
)
I
d
e
a
l
t
h
e
o
r
i
e
(
E
r
g
e
b
n
i
s
s
ed
.草a
t
h
.，
S
p
r
i
n
g
e
r，1
9
3
5
)
.
註g
ez
u
rA
r
i
t
h
m
e
t
i
kk
o
m
m
u
t
a
t
i
v
e
rI
n
t
e
g
r
i
t
五t
s
b
e
r
e
i
c
h
eI
I
I
(
M
.
Z
.1
9
3
7
)
B
e
i
t
r
-93-
我が国では秋月康夫(19
0
2
1
9
8
4
)が
、1
9
3
5
年前後に、降鎖律から昇鎖律が従うことを示し、
また、ネーター整域の整関包についての深い結果を得た o
4
0年代では C
h
e
v
a
l
l
e
y
(
1
9
0
9
1
9
8
4
) が局所環を極大イデアルの幕による位棺環として考
える立場を明確にして一般論を整理した。また局所環の重複度を初めて定義した。
O
nt
h
et
h
e
o
r
yo
fl
o
c
a
lr
i
n
g
s(
A
n
n
.o
fM
a
t
h
.
1
9
4
3
)
I
n
t
e
r
s
e
c
t
i
o
n
so
fa
l
g
e
b
r
a
i
canda
l
g
e
b
r
o
i
dv
a
r
i
e
t
i
e
s(
T
r
a
n
s
.
A
M
S1
9
4
5
)
I
.
S
.
C
o
h
e
n は完備局所環の係数環の存在を示して、完備化の有用性を大きく増した。
O
nt
h
es
t
r
u
c
t
u
r
ea
n
di
d
e
a
lt
h
e
o
r
yo
fc
o
m
p
l
e
t
el
o
c
a
lr
i
n
g
s
(
i
b
i
d
.
1
9
4
6
)
r
u
l
l の仕事を代数幾何に応用して目覚ましい成果を上げたのみ
Z
a
r
i
s
k
i
(
1
8
9
9
1
9
7
0
)は K
a
r
i
s
k
iM
a
i
nT
h
e
o
r
e
m や、整問
ならず、可換環論にもいろいろな貢献をした。いわゆる Z
な局所環の完備化が整聞になるかという問題の研究などがそれであり、後者は永田や
G
r
o
t
h
e
n
d
i
e
c
k の却a
g
a
t
ar
i
n
g，e
x
c
e
l
l
e
n
tr
i
n
g の理論に発展した o
5
0年代はきわめて実り多い時代であった。 4
0
年 代 に 恥i
l，
C
h
e
v
a
l
1
e
y，
Z
a
r
i
s
k
i によって
.
C
a
r
t
a
nや
厳密な代数的基礎を与えられた代数幾何学が多くの若者を引き付け、一方 H
S
.
E
i
l
e
n
b
e
r
g の築き上げたホモロジー代数が可換環論にも応用されて大成功を収めたから
である。
.S
a
m
u
e
l(
19
2ト?)が重援度の理論を、次数環の Hi
1bert 関数の立場から定義して、
まず P
分かりやすく、かっ自然なものにした。
L
an
o
t
i
o
nd
emultipliciteenalg
る
b
r
ee
te
ng
e
o
m
e
t
r
i
ea
l
g
e
b
r
i
q
u
e
(
1
9
5
1
)
.
永田雅宣(19
2
7
-)
は H
e
n
s
e
l 環の理論を作り、ネータ一環の素イヂアル鎖の問題(19
5
6
)や
H
i
l
b
e
r
t の第 1
4問題(19
5
8
) に否定的解決を年え、また重複度の立場から C
o
h
e
n
M
a
c
a
u
l
a
y
環の概念に到達した。
また、森替四郎と永田は、ネーター整域の整関告について徹底的な
研究を行った o
Serre (
1
9
2
6
)は代数的連接層論 (
F
A
C1
9
5
5
)によって代数幾何学に大革命を引き起こし
たが、関じころ交わりの重複度が T
o
rのオイラー標数で表せることも見出した。また、アメ
u
s
l
a
n
d
e
r
(
1
9
2
6
)とD
.
B
u
c
h
s
b
a
u
m
C
1
9
2
9
)、イギリスの N
o
r
t
h
c
o
t
tとD
.配e
e
s(
19
1
8
-)
リカの盟. A
も、ホモロジー的手法を大いに発展させた。 S
e
r
r
e による正則局所環の特徴づけ
)が正則
局所環〈誼， m
←
→
p
r
o
j
.dim霊1
mが有限 ←
→ g
l
o
b
a
ld
i
mRが有限
H
i
l
b
e
r
t のs
y
z
y
g
y
定理に直接結び付くものであると共に、古
はきわめて重要な定理であり "
典論とホモロジー的方法の繋ぎ目とも雷えよう。
ホモロジー代数のもうひとつの産物は正別列および深さの概念である。局所環 R につ
i
mR は d
e
p
t
h霊より大きいか等しく、等しいときに宜は C
o
h
e
n
M
a
c
a
u
l
a
y
いて一般に d
(略して C盟)であると替われる。宜加群についても同様に定義する。この概念はそれ以後
-94-
の可換環論の中心的問題のーっとなる。
6
0年代のはじめに永田は L
o
c
a
l Rings(1962) を書いて、彼自身の結果を中心として
K
r
u1
1 以後の発展を集大成した o とくにその第 6
輩では、擬幾何学的局所環と題して、のち
に永田環と呼ばれる重要な環のクラスを導入してその理論を独力で建設した。
B
o
u
r
b
a
k
i のa
l
g
e
b
陀 c
ommutative(1961-)は
、 Serreがはじめて系統的に論じた f
l
a
tの
概念から記述を始めるなどの特徴があり、また準素イデアル分解の理論を、より本質的な
associated prime の理論に発展させた。
Grothendieck の E.G.A.(1960-1961)は代数幾
何学の全面的な書き直しを意図し、また実現したたものだが、そこでは可換環論は代数幾何
学と殆ど融合されている。とくに新しい創造として、第 4
章第 2
部(19
6
5
)で展開された
excellent ring の理論は、永田環よりも更に狭いがより使いやすいクラスを定義して幾
つかの極めて深い定理を証明した。また彼は局所コホモロジーの理論を(その一部はすで
に S
erre の FAC に i
m
p
l
i
c
it に現れているが)組織的に展開して H
a
r
v
a
r
dで講義した。(19
61)。これはやがて可換環論の最も重要な道具のーっとなる。
H.Bass の Gorenste.
i
n環の理論(19
6
3
)も新しい領域を開いた o
正則→完全交差→ Gorenstein→Cohen・
M
a
c
a
u
l
a
y→Buchsbaum→FLC
という局所環の h
ierarchy は6
0年代から 1
0
年代にかけて完成した。
Hironaka の特異点解消(19
6
4
)は代数幾何学のみならず可換環論プロパーにも影響を
otthaus の 1
9
8
0年の仕事〈後述〉はこれを使っている。
持った。たとえば R
M.Artin の近似定理(19
6
9
)は、へンゼル局所環 Aに係数を持つ方程式が完備化で解をも
てば、もとの環で解をもっというもので、 1
0年代に Peskine-Szpiro や Hochster によって
大いにに利用された。
H
a
r
t
s
h
o
r
n
e
: ResidueandDuality(1966) は Grothendieck の dualizingcomplex の
理論を完成したもので、スキームと層の一般的立場から書かれているが、可換環論にも有
効な手段を提供した。
1
0
年代でもっとも目立ったのは C
ohen-Macaulay環の理論の発展とその応用であろう o
行列式イデアルなどの C M性は H
ochsterなどによって証明された。
Herzog-Kunz (
1
9
1
1
)は Cohen-Macaulay環に対して基準加群というものを定義しその
性質を明らかにした。これも原型は G
rothendieck にあるが、環論で広く使われるように
orenstein環の研究に役立った。
なったのは彼等以後であり、特に G
日o
chster は homological conjectures と呼ばれる一連の問題を整理して提出し、 big
Cohen-Macaulay module の存在を体を含む局所環に対して証明して局所環論を大きく前
進させた(19
1
5
)。
-95-
トポロジーや組み合わせ論とのつながりは Hochster，
Reisner，
Stanley などによって
7
0年代に開拓された新しい分野である o Stanley は Cohen-Macaulay環の H
i1
b
e
r
t 関数
の性質を使って球面の三角形分割に関する組み合わせ論的予想、を解いた。
Cohen-Macaulay環より広い Buchsbaum環の理論は Stuckrad-Vogel: Towarda theory
9
7
8
)で建設され、後藤四郎とその協力者下回、
o
f Buchsbaum singularities (
A
m
e
r
.
J
.
M
.1
鈴木、山岸等によって豊かなものにされた o
8
0
年代以降
雪o
t
t
h
a
u
s
: excellent ring(Qを含む)の上の形式的べき級数環の excellence(
19
8
0
)
は7
0年代における Seydi，松村、 Greco，Valabrega，Rotthaus などによる excellentring
の研究に一応の終止符を打った。
小駒
non-catenaryn
o
r
m
a
l ring の例(19
8
0
)
F
o
x
b
y
: Homological theoryof complexesof modules (
1
9
8
1
)は、方自群でなく護体を
対象とすることによって強力な理論が得られることを示した。この理論はさらに Avramov
との共同の、局所準向型の分類理論に発展しつつある。また P
a
u
I Roberts は dualizing
module や 代 数 幾 何 学 の Fulton の交差理論を用いていくつかの homological 予想、を
解いた o
Auslander，
Herzog，吉野
maximalCohen-Macaulay modules の分類
Stanley， 日比)
組み合わせ論への応用 (
t
i
g
h
tc
10sure の理論(日ochster，Huneke，渡辺敬一、 K.Smith)
computational commutativealgebra の発展 (Buchberger による Grobnerbasis の理
a
c
a
u
l
a
y
'
(アメリカ)，
論、計算ソフト M
(
2ocoCL
(イタリア) )
行列式イデアルの研究 (
Bruns
.
，
Vetter)
行列式イデアルの自由分解体uchsbaum官
，eyman，橋本、蔵野)
nHd
nhu
c
o
m
p
l
e
t
e
l
yp
o
s
i
t
i
v
emeasureをもっ i
n
t
e
g
r
o
d
i
f
f
e
r
e
n
t
i
a
le
q
u
a
t
i
o
nの
r
e
s
o
l
v
e
n
tの正則性について
藤田安啓
〈富山大・理〉
(
0，∞)上の C∞ 函 数 ゆ が e
x
p
o
n
e
n
tとは?ゆ (0+)= 0か っ ゅ の d
e
r
i
v
a
t
i
v
eが完全単
調であることとする。以下，ゆ(+∞)=∞なる e
x
p
o
n
e
n
t全体を Zで表す。
/
ψ(
z
)は完全単調になるので， [
0，∞)上の測度 W
(
d
t
)が一意
ゆを εに対して， 1
に決まり，
B J
，
t
z
s
、
、f
ik
1
0
.
0
0
)が
e
-t
zW
(d
占
t伴
∞
伊
，) ψ(
z
)，
z>O
となる。このようにして， ψEEに対して決まる灘度 W
(
d
t
)を c
o
m
p
l
e
t
e
l
yp
o
s
i
t
i
v
e
m
e
αs
u
陀という。
さて，複素 B姐 a
c
hs
p
a
c
eX 上の i
n
t
e
g
r
o
d
i
f
f
e
r
e
n
t
i
a
le
q
u
a
t
i
o
n
(
2
)
叫 い -44AU(t-s)W(d札
t>O
を考える。ここで， W
(ds)は completelyp
o
s
i
t
i
v
emeasure，また -Aは X 上の一
2
)は記憶を持つ熱
様有界な Co-semigrouple-uhoの生成作用素である。方程式 (
方程式のモデルなどとして研究され，解の存在・一意性は解析的手法や確率論的手
法により示されている。
この講演の目的は，
任意の複素 Banachs
p
a
c
eX に対して， -Aが X 上の一様有界な
Co-semigroupの生成作用素であるかぎりいつでも， (
2
)の r
e
s
o
l
v
e
n
tR
(t
)が
e
c
t
o
rに解析接続される
正の t一軸を含むある s
(
t
)の正則性は， R
(
t
)の
ための， ゆについての必要十分条件を示すことである。 R
e
c
t
o
rでの R
(
t
)の
， tコ Oでの
有界作用素としての種々の評価を導く。また，この s
e
g
u
l
a
r
i
t
yについても考える。
連続性や作用素 A についての r
最後に，この問題と C
arasso-Katoの定理との関連について述べる。
-97-
RESIDUE AND MASLOV CLASSES OF SOME
LAGRANGIAN IMMERSIONS WITH SINGULARITY
HARUO SUZUKI
Departmento
fMathematics
HokkaidoU
n
i
v
e
r
s
i
t
y
e
-m
a
i
ls
u
z
u
k
i
@
m
a
t
h
.
h
o
k
u
d
a
i
.
a
c
.
j
p
，
n)beasymplecticvectorbundleoverad
i
f
f
e
r
e
n
t
i
a
b
l
e(
口 C∞)manifold1
¥
1
1with
L
e
t(E
as
y
m
p
l
e
c
t
i
cs
t
r
u
c
t
u
r
en
.Let:
Ebeac
l
o
s
e
ds
e
to
f1
¥
t
IandLaLagrangiansubbundleo
f
t
h
er
e
s
t
r
i
c
t
e
ds
y
m
p
l
e
c
t
i
cv
e
c
t
o
rbundleE
IM¥E. vVetakeu
s
u
a
l
l
ya
s:
Ethes
e
to
fs
i
n
g
u
l
a
r
p
o
i
n
t
so
faLagrangiansubbundleo
fEandt
h
e
nwec
a
l
l:
Et
h
es
i
n
g
u
l
a
r
i
t
y0
1t
h
eLαg
r
αn
g
zα
η
s
u
b
b
u
n
d
l
eL
.Bymakingu
s
eo
fD.Lehmann'st
e
c
h
n
i
q
u
e，
f
o
roddChernp
o
l
y
n
o
m
i
a
l
sC払
2h
ト.旬』→-ぺ.
onecand
e
f
i
n
eか r
e
s
i
d
u
ec
l
a
s
sresh(L，
:
E
)E H4h-2(J
l
t
f，
1
¥
t
Iお
¥;R)onもhesi時 ularity:
Eo
f
t
h
eLagrangiansubbundleL，
i
f:
EhasaneighborhoodlYwhichi
sasubmanifoldw
i
t
h
boundaryandr
e
t
r
a
c
t
st
o:
Ebydeformation.
L
e
tU beanopens
e
tr
e
t
r
a
c
t
i
n
gt
olVbyd
e
f
o
r
m
a
t
i
o
n，
L
oaLagl'angiansubbundleo
I
Eluandμh(
E
l
u¥
!
:，
L
o
l
u
¥
E
'L
l
u¥
E
)t
h
eMaslovc
l
a
s
s
e
sonE
lu¥2・Thenoneobtainst
h
a
t
r
e
s
h
(
L，
:
E
)
口 eo8勺l
h
(
E
l
u
¥
!
:，
L
o
l
u¥
!
:，
L
l
u
¥
E
)
h-3(U¥お;R)→ H4
h-2
where8
*:H4
(U
，
U¥
:
E
)a
r
ec
o
n
n
e
c
t
i
n
ghomomorphismso
fc
o
h
o
h-2
h-2
，
U¥:
E
)
， ande:H4
(
U，
U¥:
E
;R)→ H4
(
1
¥
1
/，
1
1
f¥
mologye
x
a
c
ts
e
q
u
e
n
c
ef
o
rt
h
ep
a
i
r(U
:
E
;R)a
r
ee
x
c
i
s
i
o
ni
s
o
m
o
r
p
h
i
s
m
s
.
L
e
t1
v
lbe制 作 d
i
m
e
n
s
i
o
n
a
lm
a
n
i
f
o
l
d，
(V
，
nv)asymplectic2n-ma
凶f
o
l
dand1:
1
¥
/
/→ V
amapwhichi
sd
i
f
f
e
r
e
n
t
i
a
b
l
eo
u
t
s
i
d
eac
l
o
s
e
ds
e
t:
EoC 1
1
1
.M
oreover，wesupposet
h
a
t
I
1川 町
i
si
s
o
t
r
o
p
i
c，
t
l叫 i
s，
(
凡
i
H¥
!
:
o
)吋lv= O
.Wes
e
t
:
E={xEX¥
:
Eo
lk
e
rムx
I手O}U:
Eo
-98-
f
*(TV) ofthetangentbundleTVbyfhasanaturalsymplectic
s
t
r
u
c
t
u
r
en
fi
n
d
u
c
e
dfromn
vbyf
.ThetangentbundleL= T(
1
¥
1¥
:
E
)i
sac
a
n
o
n
i
c
a
l
l
y
Thep
u
l
l
b
a
c
k EJ 口
M
¥:E・Ift
h
e
r
e
embeddedL
a
g
r
a
n
g
i
a
ns
u
b
b
u
n
d
l
eo
ft
h
es
y
m
p
l
e
c
t
i
c2
n
v
e
c
t
o
rb
u
n
d
l
eEJI
e
x
i
s
t
sanopens
e
tc
o
n
t
a
i
n
i
n
gas
u
b
m
a
n
i
f
o
l
dw
i
t
hboundarywhichi
saneighborhoodo
f:
E
andr
e
t
r
a
c
t
st
o:
Ebyd
e
f
o
r
m
a
t
i
o
n，
かr
e
s
i
d
u
ec
l
a
s
s
e
sr
e
s
h，
f
(:
E)
ε H4h-2(j
¥
l
1，
1
¥
1
1¥
:
EjR)a
r
e
d
e
f
i
n
e
d
.
L
e
tD bet
h
eR2-bundlea
s
s
o
c
i
a
t
e
dw
i
t
ht
h
eS
l
b
u
n
d
l
eU(n)jO(n)→ U(
η)
j
U
(
l
)・O
(
n
)
.
n(n+1) ，
，
y
V
ec
o
n
s
t
r
u
c
taL
a
g
r
a
n
g
i
a
nimmersionCf:
D→ Cー す ー +
1w
i
t
has
i
n
g
u
l
a
rs
e
t:E~ (
w
h
i
c
h
c
o
n
t
a
i
n
si
n
t
e
r
i
o
rp
o
i
n
t
s
)fromt
h
eL
a
g
r
a
n
g
i
a
ni
m
m
e
r
s
i
o
nf U(n)fO(n) → c~乎立 of
J
.M.MorvanandL
.N
i
g
l
i
oandp
r
o
v
e
聞
TheoremA. ¥
V
ehaveh
r
e
s
i
d
u
ec
l
a
s
s
e
s
r
m
町
陀e
悶匂
S
叫
仰
h
3ぷ
8丸~)
口
(
h=l
三; h>
1，
anda
l
l
1
¥
J
a
s
l
o
vc
l
a
s
s
e
so
fFID¥:
E
.f
o
rd
e
g
r
e
e< 託 子 立 川 hr
e
s
p
e
c
tt
ot
h
es
t
a
n
d
a
r
dh
o
r
i
z
o
n
t
a
l
r
en
o
n
t
r
i
v
i
a
.
l
L
a
g
r
a
n
g
i
a
nsubbundlea
Thec
o
t
a
n
g
e
n
tb
u
n
d
l
eT勺1
¥
1
1o
fam
a
n
i
f
o
l
dl
l
1h
a
sac
a
n
o
n
i
c
a
ls
y
m
p
l
e
c
t
i
cformn
.YVe
1
1w
h
i
c
hi
saL
a
g
r
a
n
g
i
a
nimbeddingo
u
t
s
i
d
es
i
n
g
u
l
a
r
c
o
n
s
i
d
e
rad
i
f
f
e
r
e
n
t
i
a
b
l
emapi
n
t
oT*1
叩
i
t
y
. Thet
a
n
g
e
n
tbundleTT*1
¥
1o
ft
h
ec
o
t
a
n
g
e
n
tb
u
n
d
l
eT*I
I
Io
faRiemannianm
a
n
i
f
o
l
d
(
1
1
1，
γ
)s
p
l
i
t
si
n
t
oad
i
r
e
c
tsumo
fh
o
r
i
z
o
n
t
a
landv
e
r
t
i
c
a
ls
u
b
b
u
n
d
l
e
s
. Byt
h
i
ss
p
l
i
t
t
i
n
g，
t
h
eRiemannianm
e
t
r
i
cγonj
¥
l
1i
n
d
u
c
e
saRiemannianm
e
t
r
i
c9onT*j
¥
l
1w
hichi
scom'
1
1
.Fromt
h
er
e
s
u1
to
fJ.
M
.Morvan，
oneg
e
t
s
p
a
t
i
b
l
ew
i
t
ht
h
es
y
m
p
l
e
c
t
i
cs
t
r
u
c
t
u
r
enofT*1
TheoremB. L
e
t(
J
1
.
1，
γ
)beaf
l
a
tRiemannianm
a
n
i
{
o
l
do
{d
i
m
e
n
s
i
o
nn，
N ann
d
i
m
c
n
s
i
o
n
a
l
d
i
f
f
e
r
e
n
t
i
a
b
l
em
a
n
i
{
o
l
dandl
N → T*j
¥
l
1ad
i
f
f
e
r
e
n
t
i
a
b
l
emap w
h
i
c
hお aL
a
g
r
a
n
g
i
a
n
imbeddingo
u
t
s
i
d
eac
l
o
s
e
ds
e
t:
EcN. S
L
I
p
p
O
S
Ct
h
a
t:
E1
1
Man
e
i
g
h
b
o
r
l
lOo
dw
h
i
c
hお a
submanifoldw
i
t
hboundaryandr
e
t
r
a
c
t
st
o:
Ebyd
e
t
c
r
m
I
n
a
t
i
o
n 汀 N¥お i
saminimal
sめ m
a
n
I
{
o
l
di
n(
T
*l
l
1，
g
)byl
l
N¥
，
E
: then附 l
l
a
v
e
r
e
s
l(
l，
お)口
-99
o
.
L
e
tK beano
r
i
e
n
t
a
b
l
ed
i
:
f
e
r
e
n
t
i
a
b
l
e2
m
a
n
i
f
o
l
dandα :K→ 1
，
[a
nimbeddingo
f
Kw
i
t
has
i
n
g
u
l
a
rp
o
i
n
tp巴 K i
n
t
oaRiemannian3
m
a
n
i
f
o
l
d
.L
e
tD beas
m
a
l
lc
l
o
s
e
d
d
i
s
karoundpi
nl
o
c
a
lc
o
o
r
d
i
n
a
t
es
y
s
t
e
m
sonK
.Changingt
h
econormalb
u
n
d
l
emapo
v
e
r
D ¥{
p
}，onecanmakeamapo
fc
o
n
o
r
r
r
.
叫 b
u
n
d
l
ea :K x R → T*1
¥
1
1w
i
t
hs
i
n
g
u
l
a
r
i
t
y
:
E=D xR.Bymakingu
s
eo
far
e
s
u
l
tby1
.Vaisman，
oneo
b
t
a
i
n
s
TheoremC. L
e
t(
1
¥
f
，
γ
)bea3
s
p
a
c
ef
o
r
mandK a2
m
a
n
i
f
o
l
d
.L
e
tα :K→ l
I
fb
ea
d
i
f
f
e
r
e
n
t
i
a
b
l
eimbeddingw
i
t
has
i
n
g
u
l
a
rp
o
i
n
tp，
D as
m
a
l
ld
i
s
karoundpi
nl
o
c
a
lc
o
o
r
d
i
n
a
t
e
s
y
s
t
e
m
sonK anda :K xR → Tサ It
h
emapo
fc
o
n
o
r
m
a
lb
u
n
d
l
eo
fα w
i
t
hs
i
n
g
u
l
a
r
i
t
y
:
E= D x日 I
ft
h
ec
o
n
o
r
m
a
lb
u
n
d
l
eo
v
e
rK ¥{
p
}i
saminimals
ゆ manl
あl
di
n(
T
*M ，
g
)，
t
h
e
nweh
a
v
e
r
e
s
l
(
a，
:
E
)=o
.
-100-
q
r
平均砂十名手宥向別手 o9J
手
持
1
:
: "7リミグ
久域内的教科学￡似拡主3
援
有向芦]防御
名ま袈
pj
.
'
¥
)
1
.
ω
(例 … 叩 小
(
C
ω~~~~I~事，:1-
ω
山
仰
υ
a 1ネザみる.
酔
l
防恥皆均字
ω 干
初
均僻
昨
?
パ府タ~仰~も別叫処司￡
trOtJ.μ~J沼:fJ;;.球和夫ド6抑
￥
仙
る
1M'叫d元心呪;..~ム品 i手令月ずみる.
(
1
:
.
)
よか，.b!
l
:ぜ
ω(2)と
C
4
J(J3)似
の
λ作
・}
ずi
;
t
J
.
;
l
f
)
i
.
.
乏/;J:. αJ仰 /ei1
f
f
;
均J
1
j
r
I
J
t
1
i
Jρ 叩味之 L
G
I
J(
f
J
)(C
ノ
， 1
r
J
:
. ~ ，
:
e
. I<;?0 r
;
:3f
:
1
デ9 アf峻;tLzd， ぎ:
z
"
. σZ思ゐ~ i
'T，
;1
.
1
一般のタ向刻助命 I~ 7
7
1乙
ω
)
(ß)
ωk 月板 Ij.-~理 O'ï{ゑ Lぴリ・?
;
，!
f
}
!
i
Q手~~手
l
;
'
J
.
e
.I ω K，-~. ω 府戯曲 Jユ球~
~ ~) H
:
:f
.
A
n
<
必 ω 府d
b
i
i
o跡 形 ?
L('l) ム-Ð~ルムグ l
お
，o
/
J
i
J/
~ f
-i勾?
刷会 7"?'
似ノ I~ }，掛か炉tJ:j
<
:
:
t
.
.
:
tI ゥ K?-{) り兵 6・静~ k=~
>(
)
.f
;
t
.
?Z
.
川沖縄府.t/JJ~訟/~~~官争点欣，
σ)It A
.V.A
ふω J r 1
:よY兵之手作T
:
:
<'1ト刃向 11M例ルム'Jt./Jl'2-~伊仙併がよ持d設局竣乏
問
制 i
叱久伊 f
;
.九州，
}s
作
{
I
.
，
?
主
ま
要
1
:q};tj曲鹿 τ/
狩
[
，
，
'
(
:
，
f
7
φ 創造長のめ(.
'
0
"
の戸仰向。
ω 袋'
4
1
;
A芯絡が話。血校の考l
!l::):.Y.どり1J'-
F.対立乙• c
: 片 手 城p
に
，
IJ
.j建~
(~)の授}Ji)t.f:. J
:
.tz
/
:
t•
。 片 宮 即 点 的 伊 山.a::::.t>
ち
3回
お秘売;』そr
l
eT
;
j1
f
j
向
府I
I
B
ゐ伊豆衣.
，
‘L
奇
1
肪e
t
l
Js l
i
F c.n似 ~Er& ・ þ'? か才釦 d線以ムピニ時;.2.殺の押
時 f手，[1/ 日 . sIa
:
.か摘に宏之切羽:帰 ι
ぢフ.
1
1
ú=t>om"，*) 伽仰ムぷふもの的tιM つ fプ~~ω Ij:!l/lJiIlJ
コわ~q;1，諜 I~
t
'
"1
.
1 (河村J/7.i.-
/
t
I
"~・1t 1
1
'
O
a
'
J~ .
ム~Ø!/ít) ヲタβ7;jJ:!?d
I
J
O
l
J/
:
4
才
j駅徒，
f
o
.
吃こで.ム必A 生期日'JfJ 教主今乏2Æ若~'
e
.
J
n
a
.
'
J
1
/
1
1
.
.
生
'
h
]1= ;J/tJ麦均こ (:lJ官邸.ど冶~.
を
のT
均的忍ず 7
?
/
e怖 句 仲 卸1
'J:メ原油か -1
J
t
{
/
:
;i
!~r:: ~ ~完，.1砂rj.砂~1! i: ιぷ~
室j旬ずの乏惑をゐ亘す〈昨冬 1>"~?J . 庭内.ム必ム11
M
a
7ずの手長止今是認 ε込あえ場語、五
倒的以為~μ机，ゐw必&:."・ム句〈ん化み併 市ぷん均~~t. p 老グデJF.J吃 F
μ必与ど :
A
!
i
J
lt=J;'t~ 1
5
濁，
:
1/
(
I2
.
妻
i
t
;1
:
.j，と
'1均会すご μ
巧jo‘
7公v
匂勺説会ま一被'
{
Cにある
-101-
受z掛1t Jt. も~/:'. 釦吸われ乙動仰いき OKdえ R{仰MCZ腐へ材3R/::'
?
笹
川
/
'
1.線拷I:..t..-乙 mιァ…ゐ't-'~仰向ル叫んぷん fザ九 v~γ
1恥~.. E 刈~II 乙~~仏おい伽仏ii1e. ~~~
μけbωz 初
3
t必むw
わ 仰 の 戸 井 弘'
7
sf
r
;
I
IJb
'
.
!
?•
同ゐY 仏 3込1 =Z V e
ムdムι安政 1:必ず会議局者ま ;C1J ゆ るrf
e
U
.OJ:
t
.
t
$Þ'~ 符え ~3.
-~1? φ 易療 å~ ;
r
.
a
.
.
.;(.3) a
曳
ず
t
f
.
しi
e
blnlWJI)tレ (/100):
(6)
H
コ問 IJT
=
i
t
. ~~ωdμ孔 i怠啄 J 本主走屯の誌明 i
田印刷
一
一
一。
Mλ
、
ノ
1
予j
UH
、ャムず
HO
抗日
，
‘
‘
、
，
，
‘
、
f
も
ν
﹁
べjFfiF
fトJ rト J
i
.
e
.
。
c
1
i
猿
わ
ら
内
ト1~畑~h;.
ザあP
f
f
'
d
ω曹.
F
:t
n
r
r
J
.
似
よ
し
1'"叩明治作品ゐ'Y¥.I .
川式、の ihwd陶今 efpseJ. …~仏ケωゆι への減J長 f手λ十九.
t捜〈ぬ弘~)
V'WlO
ム~ム…J必む句ωゆ叫…beJ.J.叫ん夜均十Jψ必ケ 化 即 答 ヤ
作μ5L
田今
V
j
"
)
_HIn$;わ会・7
5
q
J
S話 f匂 clV=
A
Hl
Hl
"
V
"-J
v'"‘-
0
.
.
.
.
.
I
R
"
t
M
'IA
，
o 小~Ã:t'M比例ゆ~..D_.
j
.
jい も いγ +立;
:
:
:
i
J
J
P
謀議竹町
H
l
J
'
c
>
¥
t
じ
盟
法
市
ど
f吋
l吋
もf
v 弘仏r
吋
I
ド
作
刈
i
. 吟
咋
叩
?
ト
=0
くI~ μ寺川一1)
h
“九
附則i中~'"州寸 .
戸
抑糊さ外肘蜘
4
村
仲
下
T=を味恥ぜ払門ル…附点年必ふ以
dγ4
ミのお域主 l
有
l
Ia:
t
l
'
:よ
り
γ
升仇手
倒え l
i
.
を捜 γzω ….，jC(J..&今JWZßヴ&弘一…みJ 竹山 ~f<.W，foJ
~札付んι k~ ゆるγp g v.~
-102-
哨
Z
JV
γ
く
叫い
叫川丸
aキ
ι
同司ふる ん
国今
γ;It¥.
s
片的L
・
制球官・偽 I
J
V
戸.
秒後.毛主多く司ぷ校名山稽止め角度吋一語引い・なされT
=.
~t
:
.--'~.丸・仰い鞠ゅゐば悦ムd:A仏 s~仲Jμι/'= かlZ-t. i
V
i
J
色
村
し
正
金
額
に
の MムIwu胤~1fr ø)積分瓦￡たずすお札もの柄引事作穆f:I: <
>
'
>
$
き
果
.
~~I-: c1n1弁dι均必〆 μめをー脅かじ ιT= 伊φ~μムケゐω〆
作u
左用 U 之の稽乏の〉舌来~.. f;事仲 ZIJ~
これ合ヅ若菜/劣
づ4片アグいそ7 1
.
'
も ?μゅんW$ ザ~ st
~
仏
.
l
t
J
V
f
i
ι
瓦参照.
7
山.ユれみ (J)1
D
J
D
'
.
:
'
&野次事長 l
予i
ま
;?〉和論の必ルの愛場吋~.t，
o
i
>.
2
.
:
'
れJ
食用意ど微妙'j"
A
7
tの 認 識
p)
tリ 急 手 タ
f己広長=/:，t.1rJiJ:， 9~ .
各 城 戸 弘Y
草
一1
0
3.
.
.
，
.
.
均質型空間(Coifman
一
一
一公
薮田
奈良女子大・理
X = (X，
d，
μ
)を Coifrnanベ
九T
e
i
s
sの均質型空間とする。すなわち、 X は位相空間
で
、 dは擬距離
d
(
x，
y
)三0， d
(
x，
y
)= 0特 x=y，
d
(
，
♂y
):
;K1(
d
(x，z
)+d
(z，
y
))
x，
y，
z E X，
μは B
o
r
e
l測度で
。(B(x，2r)):;
K2
B
(
x，
r
)
)
μ(
<μ
xE X，r>0
を満たす。ただし B
(x，
r
)は，中心 Z E X，半径 γ>0の球で・あって、 {B(x，
r
)
}
r
>
Oが
Z
の近傍系になっているものとする。また次の条件を満たすものとする。 0 <ヨ
α
:
:
:
;
1
う
ヨ
K3>0S
.
t
.
I
d
(
x，z
)-d
(
y，
Z
)
I:
;K3(
d
(
x，z
)+d
(
y，z
)
)
l
-d
(
x，
y
)α
O'
f
o
rx，
y，
zεX.
均質型空間では、 dと同値な擬距離で、上を満たすものがあるので、これは実質的な制
限ではない。さらに、もし μ
(X)口 ∞ な ら ば
(
*
)
ヨ
x
oEXァ
ヨo>0S
.
t
.B
(
x
o，
2
r
)¥B(♂0
，
r
)=
1
=o
f
o
rrど r
o
を仮定する o
l
:
:
:
;
p
<∞，ゆ (
x，
r):Xx時十一→日+とする。 fEL
f
o
c
(
X
)と球 B=B(α，
r
)に対
して，
ψ
叫
か
A
即問口おかい)一
h
口
戸
志
占
お
7f
川
μ
f
B
l
d
，
l
f
= ホ (f-l(~) Llf(x)ー
か
￨
叫
M九 (
f
， B)
l/p
T
y
p
e
s
e
tbyAMS-τ
E
i
'
C
-104-
とおき，
bmoφ，p(X) 口~
fELioc(X):supMO
仰
l
B
I
l
f/
I
B
M
O
"
"
p= supMO
仰
B
(
f
，B
)< ∞ }
(
f
，B
)，
I
l
f
l
l
b
m
o
"
"
p=IIfllBMo""p+IfB(xo，
l
)If
o
r五xedXo EX
と定義する。もし μ(
X)< ∞ならば任意の
に対して /
If
l
I
B
M
O
"
"
p十 I
I
f
l
l
L
Pと
Xo EX
I
I
f
l
l
B
M
o
"
"
p十 I
f
B
(
x
o，
1
)I
は関値なノルムである。 bmoφ ，
p
(
X
)は I
I
f/
lb
mo仰 を ノ ル ム
としてパナッハ空間になる。
X 上の函数 g が bmoφ ，
p
(
X
)上の pointwisemultiplierであるとは?任意の
fε
bmoゅ，
p(X)に対して各点ごとの積 fgが bmo仰 (X)の元になることを言う。 g が
bmo仰
(
X
)上の
p
o
i
n
t
w
i
s
em
u
l
t
i
p
l
i
e
rであれば，関グラフ定理により g は有界作用
素であることがわかる。
ゆが次の条件を満たすとする。
μ
f
恒
三i
<
.
5
:Azc
t
0<8 <r，
μ
ア >0，
附 ) ) 山 年d
t<
.
5
:A3 臥 ザ リ(
a，
7
'
)
，
よく単色!
l
<AA
A
4…ゆ(
b，
7
'
)
(
4
)
削
つ
(
3
)
年
<
⋮T
s一
(
2
)
<
ム一りん
1一
1 /
"
ゆα
(，
8
)/
"A
Al ミ夜a，
7
'
) ""-.L"l.1，
(
1
)
d
(α，
b
)<
.
5
:r
，
一 一 引
た だ し んl
U
ψ
D
2
U
ψ
D
3
U
ψ
b4
Uγi
l
i
=
l，
2，
3，
4
)は
7
'
， 8 >0
，α，
bε Xに依らない定数とする。
このとき次の定理が成り立つ'2
THEOREM1
.9は bmoゅ，
p
(
X
)上の pointwisemultiplierである。
や今
9Ebmoψ ，
p(X)nL∞(
X
)
.ただしゅ口ゆ!(骨*十ヂ*)，
グα
(，
7
'
)=
またこのとき
[
m
a
x
(
Z，
d
(
x
o，
a
)，
r
)ゆ(zoj)fmx(2j(zha)，
T
)ゆ
α
(，
t
)
ーす~dt ，
α，
7
'
)
口 j
-7-
(
t
ぺ
I
gの作用素ノルムは I
l
g
I
I
B
M
0
，
t
1p十 I
l
g
I
l
L
∞と同値になる。
特に μ(
X)< ∞のときはヨ7'0 >0S
.
t
. X = β(
x，
7
'o
)f
o
ra
l
lxεX.となり，次の
定理が成り立つ。
u
gム
匂
﹁円
n
u
THEOREM 2
. 9は bmoφ ，
p(X)上の pointwisemultip1
ierである。
宇=今
9E bmoψ ，
p(X)nL∞(
X
)
. ただし
，
/ (2roc
t
(αt
)
ψ
(
α，
r
)=ゆ
α
(，
r
)/ /~
n~ ，
UJ
またこのとき g の作用素ノルムは IIgllBMO川 十 IIgllL∞と陪値になる。
1
7
]で準備中です。均質型空間に関するいくつかの文献と pointwise
詳しい内容は、 [
mu
1
tipliers に関するものを挙げておきます。
References
[
1
] H.Aimar，
S
i
n
g
u
l
a
ri
n
t
e
g
r
a
l
s乱吋 approximatei
d
e
n
t
i
t
i
e
sons
p
a
c
e
so
fhomogeneousもype，
Tra
n
s
.Amer.Math.S
o
c
.，
292(
1
9
8
5
)，
1
3
5
1
5
3
.
[
2
] H. A
imar，Rearrangement andcontinuityp
r
o
p
e
r
t
i
e
so
fBMO(ゆ
)functionsonspacesof
Ann.S
c
i
.Norm.S
u
p
e
r
.P
i
s
a，
Cl
.S
c
i
.I
V
.S
e
r
.，
18(
1
9
9
1
)，
3
5
3
3
6
2
.
homogeneoustype，
[
3
]B
.Bordin，
HPe
s
もi
matesf
o
rweaklys
t
r
o
n
g
l
ys
i
n
g
u
l
a
ri
n
t
e
g
r
a
lo
p
e
r
a
t
o
r
sons
p
a
c
e
so
fhomoStudiaMath.，
85(
1
9
8
3
)，
2
1
8
2
3
4
.
geneoustype，
Extensionso
fHardys
p
a
c
e
sandt
h
e
i
ru
s
ei
na
n
a
l
y
s
i
s，
B
u
l
l
.
[
4
]R.R.CoifmanandG.Weiss，
83(
1
9
7
7
)，
569-645.
Amer.Math.S
o
c
.，
[
5
]R.R
.CoifmanandG.Weiss，Ana
l
y
s
eharmo
凶 quenonc
ommutatives
u
rc
e
r
t
a
i
n
se
s
p
a
c
e
s
}間nog
色n
es，
LNIM2
4
2
(
1
9
7
1
)，S
p
r
i
n
g
e
rV
e
r
l
a
g，
B
e
r
l
i
n
.
[
6
] G. David，J
.L
. Journe，Opる
r
a
t
e
u
r
sde Calderon-Zygmund，f
o
n
c
t
i
o
n
sp
a
r
a
.
山 田c
r
e
t
i
v
e
se
t
i
n
t
e
r
p
o
l
a
t
i
o
n，
Rev.Mat.I
b
e
r
oAmer.，
1(
1
9
8
5
)，
1
5
6
.
側
[
7
]P
.G.Lemarie，
AIgらb
r
e
sd
'
o
p
e
r
a
t
e
u
r
se
もs
emi-groupesdePoissons
u
rune
s
p
a
c
edenature
らn
e，
Pub
l
.
間a
t
h
.Orsay84・3(
1
9
8
4
)
.
homog
L
i
p
s
c
h
i
t
zf
u
n
c
t
i
o
n
sons
p
a
c
e
so
fhomogeneousもype，
Adv.
[
8
] R.A.MaciasandC
. Segovia，
Math.33(
1
9
7
9
)，
2
5
7
2
7
0
.
[
9
] R. A. MaciasandC.Segovia，
A decompositioni
n
t
oatomso
fd
i
s
t
r
i
b
u
t
i
o
n
sons
p
a
c
e
so
f
Adv.Math.33(
1
9
7
9
)，
2
7
1
3
0
9
.
homogeneoustype，
[
1
0
]R.A.MaciasandC.Segovia，
S
i
n
g
u
l
a
ri
n
t
e
g
r
a
l
song
e
n
e
r
a
l
i
z
e
dL
i
p
s
c
h
i
t
zandHardys
p
a
c
e
s，
S
t吋 i
aMath.，
65(
1
9
7
8
)，
5
5
7
5
.
[
1
1
]J
ヘO.S
t
r
るmbergandA.T
orchinsky，WeightedHardys
p
a
c
e
s，
LNIM1381(
1989)，Springer
Berlin-Heidelberg-NewYork.
V
e
r
l
a
g，
[
1
2
]Uchiyama，
Thef
a
c
t
o
r
i
z
a
t
i
o
no
fHPont
h
espaceo
fhomogeneoustype，
P
a
c
i
f
i
cJ
.Math.，
92(
1
9
8
1
)，
453-468
[
1
3
]Y.Gotoh，
OnB M O
，
"m
u
l
t
i
p
l
i
e
r
song
e
n
e
r
a
ldomains，
p
r
e
p
r
i
n
t
.
.
[
1
4
]S
.Janson，
Onf
u
n
c
t
i
o
n
swithc
o
n
d
i
t
i
o
n
sont
h
emeano
s
c
i
l
l
a
t
i
o
n，
Ark
.f
o
rMat.14(
1
9
7
6
)，
1
8
9
1
9
6
.
-106-
[
1
5
]E
.Nakai，
P
o
i
n
t
w
i
s
em
u
l
t
i
p
l
i
e
1
'
sf
o1' f
u
n
c
t
i
o
n
so
fweightedboundedmeano
s
c
i
l
l
a
t
i
o
n，
Studia
1
0
5
1
1
9
.
Math.105(
1
9
9
3
)，
[
1
6
]E
.Nakai乱 ndK.Yab
凶 a
，Pointwisemultipliersfo1' functionsofboundedmeanoscillation，
J
.Math.S
o
c
.Japan37(
1
9
8
5
)，
2
0
7
2
1
8
.
o
i
n
t
w
i
s
em
u
l
t
i
p
l
i
e1'sf
o1' f
u
n
c
t
i
o
n
so
fweightedboundedmean
[
1
7
]E
.NakaiandK.Yabuta，P
o
s
c
i
l
l
a
t
i
o
nons
p
a
c
e
so
fhomogeneoust
y
p
e，
i
np1'epa
1
'a
t
i
o
n
.
Somef
u
n
c
t
i
o
ns
p
a
c
e
sd
e
f
i
n
e
du
s
i
n
gt
h
emeano
s
c
i
l
l
a
t
i
o
no
v
e
1
'c
ubes，
Ann.Scuola
[
1
8
]S
.Spanne，
No1'm.Sup.P
i
s
aCl
.Sc.
i19(1965)，
593-608
時 a
，
BoundedT
o
e
p
l
i
t
zope
1
'a
t
o1'sonHlanda
p
p
l
i
c
a
t
i
o
n
so
ft
h
ed
u
a
l
i
t
ybetween
[
1
9
]D.A.Stege
Hl andBMO，
Ame1'. J
.Math.98(
1
9
7
6
)，
5
7
3
5
8
9
.
107-
-801-
J
L
!
p
υ
す
戸?字予 つ うI
守可戸汁
Jレ
仰
7
η# ガ
ヲ
プι つ 例 市
'
'
eア
"
?~
O，
，
?
サ同
p
'
"
"
'
?
;
?
幻
F.
J
r
"
'
I J
!
ι
L
ハフヨ uク
l
'
1
?
勺
デl
:
I
f
S
47一品百T m
ド ヲ ク O" W
ヌ♂
ラ{ p
)0-
p
Y
f
d
Fフ
均一t:<.;-i-1lA-?/ll?内
f
一一一
O
:
:
;
j
ヴ?
;
:
7
.
:
Jグプ砂ず L
tl
e
J
L
f
r
ー
ア
フ
t
守:
.
/
:
J
'
;
'
:
，P 匂 l
L
tl
'
fl?u
.
'
C
;
4
ザヌ汐んす
UC
J
~?
~内ず ð Cf
r
;
)
j
/
p
1
.
/
'
"
O
パJ
.
J
(
;
)
)l
7
jー
11.1
…，
子いy
.
:
:
J
。s
:p 7
bゲ弓/ヲ〆コ
乃
.
.
.
.
l
1
:
7
dゲ
プ
ノ
匂i.t'ノ U
ρ
r
b U.'
!
d
，
'
1V-'7ι
ペZ
γ云 υ
1.#7'
よ
、
チ ク プ/
.
.
;
)
51
.
10
e
J
W
"
v
L
.
t
υ号
グ
ク
ア
フ
S，5YY.Jぢ f
U
γW7
戸
5
7 61~乙
y:'YI:Jμノ
J_S-I-Vd-t
k..(
υJ
-oc
て
L
ぢ!
yノ り υ
3
;
ッ
つ，
;
(
O
'
7:
;
/
P
ノ dfL
l
.
'
2
ヲ
コ
(
.
.
f
;
タJ
づ
けノ灼 M
1
4
j
汐
l
<
.
!
マ
/
く
。
匂 U九
J
S
'
e
J
/ヂ
ゲ tCe:
J
f
'
S勺
ト
5e
e
?
S
'タチコ J:J-'1
jf
f
ノ E
.
7L
f/L<I
，
f
o
V
d
-601-
. .
.
O
v
r tデモr
U升
可♂71A...t
ρ
bU
4
，
7
μ 1 7(1-7
p
iJ c
'
γ
r:
L
1
R
e
6
S
.
}
ラム
f巧 門7
.
.
A
ρ
ラグ /
727伊 ザ
マ
グ
千
ヲ
ず91.1 Sd6'
P
山
'Sす?;7:J/Y
IA
し
ι
7フサ('1
p
J
J
ρ
.
汐ヤヲザ
19ZU
/
9
r
Sn
.
J
)
'
1
r
j<J
:
9
β SOC
i
ρ
。
ヲ
チ
r
d
γ
/
グP(S
1
.
.
V
V
ψ')
l
'
J
2
γ
.
/ゲ/ヲグが
.
戸汐/，
(
.
仔
け
S-^
ずI
J
C
l
f
1
;
7
"
1
1
-
1
0
rゆヲ .
J
f
'!S
>
l
1
:
Jl 汐バ
r
プC
v;
7 行J
0
"
&
/仰
戸 fdS )
p
d
.
!
:
>
<
-i
:
.
?
j :
;
;
l
.
.
? Sし 乙 仔
:
'
l
'
;
M}:.?サ切
'(向
ロア
p
マγ'9ク片ゴ
(
;
J
1
:
i
'u t7
'
1
fbl
A
Q
;
?
j
V7
ツグ
チ
マ
グ
p
f，
}
?'
1
1
- 句
プ
ム
ゲ
1
.
:
7 ~(;7
¥j ~プ汐 CJ Þ'l.サ -2 C!
Su.e/f1;1J-1，e:7?
r
.
?
'
n
"
l
:
?
ゴノ
九.(/:7
。
み
イ
ク
f
SI
ω
C~7 μ 似て片
d
'rム吋フ
η727L<!
;7
1:7な司令
F
p
73
プνMLddy d
J7 夫
会
?
っ
ヴ SiH
J
ヤ
包<，I.，A-"7!
e
J
:
1
tr
r
;
)
A
A
Uθ '
fb" 仰
~;("'7
J
.?
ィα
r
I
[//lA/ρ
官L
プ
♂
(
/
7
ρ
h
.
J
'
丹f"V'"t
7
(
f
/7νゎ?今:
l
:
[
仇+'?
P/'/
c
;
工)
c-吋
p
γ'j/?r7t
ん
7
;
t
r
.""7:;?LM
J
V
Z
J弘
fヲ
内
r<
[
f
I
I
<
:
;
'
:
'
t
ム
?吋千勺 ~'7/')
7
S5-?(:?pe
t
)
(
'
7
.
f
Jl?γ
勾V
才 k/(j
O
MODIFIEDNASHTRIVIALITYOFFAMILYOFZEROSETS
OF鼠 EALPOLYNOMIALMAPPINGS
圃
名 工 大 揺 井 敏 純 ( 兵 庫 教 嘗 大 小 池 敏 司 氏 3名 古 屋 大 塩 田 昌 弘 武 と の 共 同 研 究 )
多項式写像の零点集合芽の分績を考える際、零点集合の族がいっ自明化されるかとい
う問題を考えるのは自然、である。
1
-(
例 (
H.WHITNEY). Wt(
:
l
l，
y
)口句作 -y
)
(:
l- t
y
)，
t>1
. (R，
Wt
0
)，
0
)は 4本 の 直
2
1
2
線 で あ り 、 位 相 的 に は 自 明 な 族 で あ る 。 し か し (R，
-(
Wt
0
)，
0
)と (R
，
Wt
;
l
(
O
)，
0
)が
1
1
口
C 同 値 に な る 事 と t t'が間値であり、 C 伺 鑑 で は 〈 も ち ろ ん C∞ 開 催 で も ) 岳 明 化
されない。
2
一 般 に い わ ゆ る 単 純 特 異 点 で な け れ ば こ の よ う に “m
o
d
u
l
i
"が あ ら わ れ て し ま う 。 位
o
d
u
l
i
"はあらわれないが、:ll2十 y2n-1コ
コ 0
，
η
( と1
)が
指 開 値 に つ い て は こ の よ う な “m
原点で定める集合芽がすべて詞じになるなど病的な現象があらわれ、位栢開催で分類を
するのはあまり f健全である Jとは言えない o 従って次のような問題にいきあたる。
関題.できるだけ g
e
n
e
r
l
cな条件の下で、多項式写像の零点を分類するのに自然で、かっ良
い同値関係は何か?
ここで次の事実に注目する。
実 (
T.C.Kuo)・π:M→
実解析的に自明な族である。
R2 を原点 blowupとすれば (M，
(W
r
)
・・
1
(
0
)，
7
r
-1
(
0
)
)は
t07
e
我々は多項式の零点集合を考えているのだから実解析問値をもちだすのは真に自然、と
は雷いがたい。ここで次の定理を思いだそう。
，
1z多様体の対 (
M
i
'Ni
)戸口 12
)に対して、
定 理 ( 塩 田 ). コ ン パ ク ト Nas
1
(M
N2) が
1z間値である。
間 値 な ら ば Nas
2，
c
(M
1
7N1) と
ashというのは s
e
m
i
a
l
g
e
b
r
a
i
cかっ r
e
a
la
n
a
l
y
t
i
cの こ と で あ り 代 数 的 な 対 象
ここで N
を含み陰関数定理等が成り立つ最小のカテゴリーである。
定理 .M C R を境界を持つ Nas
1z多様体、 N1
，
…，
Nqを M の Nas
1z部分多様体で t
JNiC
t
JM なるものとする。 No口 t
JM と書くとき、 No
，，
Nq が n
ormalc
r
o
s
s
i
n
gと{反定する o
p:M→ Rkを properontos
u
b
m
e
r
s
i
o
nで p:MINizn---nlViz:lvj1n---nmg一
+EthF
(
0:
;i
，
…，
i
8:
:
;q
)が properontosubmersionと仮定すれば、 <
pl
p
1
(
0
)口 i
dを 満 た す
1
n
…
〆
Nas
1z問型 ψ=( ，
p):(M;N17…
，
Nq)→ (M;N17…
，
Nq)n
p
1
(
0
)xR"が存在する。
，
こ の 定 理 の 系 と し て (M(
W
t0 11")
1
(
0
)バー 1
(
0
)
)(
t>1
)は Nashの意味で自明である
五e
dNasht
r
i
v
i
a
l
i
z
a
t
i
o
nの定義をしよう。
事 が わ か る 。 こ こ で modi
ぺ
t:(R 0
)→ (RP，
0
)(
tE1)を多項式写像の多項式族、 F:(R
九 x1
，
0x1
)→
定 義 .f
(RP，
0
)を F
(ぉ;t
)= f
t
(ぉ)で定まる写鎮とする。 I
I
:M → R叫 x1を properNa
s
1
z
1
1
modi
五c
a
t
i
o
n，
牢 E 1I
こ対し M 口 I
I
- (R x，
)
* π =IIIMとする。 (R f
t
-(
0
)，
0
)が
叫
110-
ぺ
modi
五e
dNasht
r
i
v
i
a
l
i
z
a
t
i
o
nv
i
aI
Ia
l
o
n
g1を許容するとは次の (
i
)，
(
i
りを満たす N
ash向
型芽
畳:(M
，
(
I
I0
と位相 i
奇型芽
F
)
l
(
O
)，II-1
(
0
)
)→ (M，(π Oム
)
一1
(
0
)，0
)X 1
ゆ:(
R
叫 x1
，F
-1(
0
)，0
)→ (
R
ぺf
;
l
(
O
)，O
)X 1
が存在する時を言う。
(
i
) (πxi
d
)0 曇=ゆ o
I
I
(
i
i
)ゅ
はt
l
e
v
e
lp
r
e
s
e
r
v
i
n
g
も し 宜 =πxi
d
rととれるとき (R
ぺft-1(0)，0)は modi五edNashtrivializationviaπを
許容すると言う事にする。
さてムを
R叫内の問自多面体で、各頂点 P に対し錐 σ'p = U>o'r・
(
.
d
.-P)が常に第一
1
'
象限 R~ を含むようなものとする。すると半群 σpnz叫が R 上生成する代数 R[σ'pnz勺
は多項式環 R[R~ nz
可=R[Zlぃ
・
・
，:
ln
]を 部 分 代 数 と し て 含 む 。 代 数 R
[
σ'pn
zn]の 設
備 点 全 体 の 集 合 を Upと審くとき、 Upに自，然 l
こr
e
a
la
l
g
e
b
r
a
i
cv
a
r
i
e
t
yの構造が入り、そ
れらは自然、に貼り合って r
e
a
lt
o
r
i
cv
祝 日t
yと呼ばれる r
e
a
la
l
g
e
b
r
a
i
cv
a
r
i
e
t
yPt
:
.が構成 Z
さ
れる。また先ほどの i
n
c
l
u
s
i
o
nR
[
Z
l
'…
，
:
l
ln
]C R
[
σ'pnz
n
]が 定 義 す る 写 像 Pt
:
. → R叫は
p
r
o
p
e
ra
l
g
e
b
r
a
i
cmodi
五c
a
t
i
o
nである。これは掠点、 blowupを特別な場合として含み、
特異点解出の具体的構成に威力を発陣するものである。各}蓑点 P に 対 し て 半 群 σpnz
叫
が群 Z叫 の あ る 基 底 で 生 成 さ れ る と き ，Pt
:
. は非特異実代数多様体となる。
f
(
命 題 . 忽1ド・・?忽九)を擬斉次多項式で原点で孤立特異点を定義するものとする。犯 :
:
:
;
3な
らば非特異な Pt
:
. が存在して、 Pt
:
. → R叫が
(R f
1
(
0
)
)の特異点解消を与える。
ぺ
このことは一般の況では成り立たない事に住意。
t
(:
ll'…
，
:
l
ln
)(
tE 刀 を 型 α
(1，
.
.
.
， an;
d
)り 擬 斉 次 多 項 式 の 族 で 原 点 で 孤 立 特 異 点
定 理 .f
を定義するものとする。
(
i
)n
:
:
:
;3ならば (R
ぺf
1
(
0
)，0
)は modi五edNashtrivializationviathemapPt:. →
R a
b
o
v
e
.を許容する。
(
i
i
)一 般 の 況 に つ い て (R f
1
(
0
)，0
)は modi五edNashtrivializationviathemap
π:R
叫 x Rヨ(忽 1ぃ
・
.
，:
ln
;包)日(
u
a
1
Z
l
l・
・3dnh)巴 R乱 を 許 容 す る 。 こ こ で 写 像
7
r
'
は g
e
n
e
r
i
c
a
l
l
y2
:
1で あ る が m
o
d
i
f
i
e
dNasht
r
i
v
i
a
l
i
z
a
t
i
o
nv
i
a7r'の意味は上と向
耳
ぺ
様に定義したものとする。
擬斉次多項式でなくても菰立特異点を定義するような多項式写畿の零点の族が同時特
異点解消を許せば(例えば f
tが Newton図 形 一 定 で n
o
n
d
e
g
e
n
e
r
a
t
eかっ c
o
n
v
e
n
i
e
n
tの
時)上の (
i
)型 の 定 理 が 、 半 探 斉 次 多 項 式 族 の 定 義 す る 写 像 の 零 点 族 に つ い て は よ の (
u
)
型 の 定 理 が 成 立 す る 。 最 後 に modi
五e
dNash向僅類の有限性に関する結果を述べる。
ぺ
ぷ
p
)を 次 数 が ? を 超 え な い 多 項 式 写 像 f:(R 0
)→ (
R
P，0
)全 体 の 集 合 と
定 理 .P[ n，
p
)の 表 す 多 項 式 写 像 を f
tと書く事にする。 2 を 原 点 の 近 傍 で 原 点 以 外
する。 tE p[1'](π，
にも零点の特異点があるような多項式写像全体のなす集合とする o すると有限個の分割
P[
1
']
(n，
p
)…:E Q1U...U Qdが存在して次を瀧たすようにできる。
=
(
i
)各 Qiは Nash多様体。
(
i
i
) (R
ぺft-1(0)，0)(
tEQi)は m
o
d
i
f
i
e
dNasht
r
i
v
i
a
l
i
z
a
t
i
o
na
l
o
n
gQiを許容する。
-111-
1994年 3月 1
6日 1
6
:
0
0
・1
7
:
0
0北海道大学理学部数学教室談話会にて講憤
tEム
1i
qb
無限次退化エゴロフ型作用素の局所可解性と準楕円性
京都大学独立大学院
人間・環境学研究科
森本芳鄭 (
Y
o
s
h
i
n
o
r
iMorimoto)
要旨.主要型擬微分作用素の局所可解性と準椅円性の研究は、 1
9
5
7年の HansLewyに
よる、局所的にも解が存在しない偏微分方観式の発見以来、多くの研究者によって意欲的に
なされてきた。これらの研究の中から、擬微分作用素の正準変換に関する E
gorov原理や、
e
a
l
s
-F
e
f
f
e
r
m
a
nクラスの作用素、或いは Hormader古典的な擬微分作用素を拡張した、 B
Weylc
a
l
c
u
l
u
sなど、いわゆる超局所解析の方法の多くが創出された。しかしながら、主要
i
r
e
n
b
e
r
g
-T
r
e
v
e
sが与えた(曹)条件の十分性の問
型擬微分作用素の局所可解性に関して、 N
0数年来、未解決である(偏微分作用素の場合は B
e
a
l
sF
e
f
f
e
r
m
a
n
(
'
7
3)、空間次元
題は、 2
2の場合は L
e
r
n
e
r
(
'
8
8
)によって解決。また、(曹)条件の必要性の証明は Hormanderの本
(
'
8
5
)に与えられている)。最近、 L
e
r
n
e
r
(
'
9
2
)は、この N
i
r
e
n
b
e
r
g
-T
r
e
v
e
s予想について、部
分的ではあるが否定的結果を与えた。彼は、ある特別な"無限次退化"をする主要型擬微
i
r
e
n
b
e
r
g
-T
r
e
v
e
s条件(引を満たしても L2 の意味では局所可解
分作用素の併について、 N
にならないことを示した。一方、(世)条件を満たす Rnにおける 1階の主要型擬微分作用素
Pは
i
eb
r
a
c
k
e
t
s条件 (
C
.
H
)
rを満たせば、 Pの
次の有限次退化を保障する HormanderL
、 r
n
共役作用素 P携に対して次の劣楕円型評価式が成立する VK cR c
ompact，
ヨ CK >0;
叩
(
1
)
I
I
u
l
1
8:
;CK(IIP*ull十 I
l
u
l
l
)，uεCt
;
'(
K
)，
8=1
j
(
r十 1
)
.
逆に、 P
*に対する劣楕円型評価式 (
1
)から、 Pは条件(曽)と (
C
.
H
)
rをみたすことが従う。こ
れが、 E
g
o
r
o
v
ω
H
o
r
m
a
n
d
e
r
(
'
7
5
-'
7
9
)によって証明された劣楕向型作用素定理で、評価式 (
1
)
2
から、 Pの L 局所可解性と P
*の準楕向性を容易に訴すことができる。条件(曹)と (
C
.
H
)
r
から評価式 (
1
)を導く証明は、粗く言って、数度にわたる超局所化(m
i
c
r
o
l
o
c
a
l
i
z
a
t
i
o
n)
の議論によって作用素 P
*を Mizohata作用素 Dt十 i
t
l
l
D
x
l或いは Egorov作用素
(
2
)
Dt 十 itS(D x1 十 tkx~IDx l) i
nRtX R~-\ s，
b之O偶数， k>0奇数
gorov作用索 (
2
)に対しでも、評価式 (
1
)を示す
に帰着させることにより遂行される。 E
事は、藍接的にはできず再度、条件 (
C
.
H
)
rと(引を用いて、超局所的に Mizohata作用
素或いは E
gorov作用素に帰着させる議論が必要である。これ故、 (
2
)において関数ドま
たはがを無限次の零点をもっ関数に置き換えると、条件 (
C
.
H
)γが成立せず、このような
Egorov型作用素に対する準楕円性とその共役作用素の局所可解性は全く未知であった。
2
)に お い て 、 均 月 ) イ 時(
IO"I
-)d叫
講演では、作用素 (
J>
z
i
κ>0，こ霞き換えた場合
8
を考察し、更に、 t
と をある種の無限次の零点をもっ関数に置き換えた場合についても
得られた結果を述べた。
唱，
aA
124
円
ぺυ