a a → lim S S → lim

コ ー シー が確 立し た 無限 和の 世界
漸化式
② a n を求めずに ③ a n の変化の様子
↓ ①漸化式を解く
極限を話題に
a n lim a n
n
↓
を話題に
0
0
[等式変形と不等式変形]
S n lim S n
n
カルダーノ 1501
デカルト 1596
オイラー1707
コーシー
発散 不明
虚数
デカルト座標
e i
級数
関数
ニュートン 1642 微積分の基本定理
ライプニッツ 1646 微積分
テイラー1685 テイラー展開
マクローリン 1698 ﾏｸﾛｰﾘﾝ展開
1 0
フーリエ 1768 フーリエ級数
ガウス 1777
ガウス平面
リーマン 1826
カントール
超限集合論
デデキント
ポアンカレ 1854
１
[Ｄｅｆ]級数：数列 {a n } に対して順序を変えたり括弧を付けたりしないで初項から順にたしたもの
有限級数 a1
例
a 3 L a n と 無限級数 a1
a2
a3 L an
a2
L がある
１−１＋１−１＋・・・ を勝手に（）をつけて （１＋１＋・・）−（１＋１＋・・）
（１−１）＋（１−１）＋・・・、１＋（−１+１）＋（−１＋１）＋・・・として考えたら混乱
n
◇ 有限級数を部分和という。 S n ＝
a k ＝ a1
a3 L an
a2
k 1
◇ 無限級数を単に級数ということが多い。 S ＝
a k ＝ a1
a3 L an
a2
L
k 1
◇ あのライプニッツとオイラーの間違い
いずれも有限確定値でないものを S,T としたから
1 1 1 1 L ？ 1 1 1 1 L 1 (1 1 1 1 L)
1
x2
L
1
1 x
x
x2
L ＝？Q xT
QT
T
1 S ∴S
S
1
誤（ライプニッツ）
2
数列
↓
0 誤(オイラー)
an
→
混乱に終止符
↓
ak , a1 a2 a3 L を {a n } の無限級数といい、 S n
→
S n で無限級数を定義した。[Start][重要]
◇ コーシーは lim
n
無限級数の定義 形式
lim a n
n
lim S n
n
k 1
n
その収束・発散を 部分和の極限 lim
n
収束するとき，極限である和を
（極限記号）で表す。
ak
k
で判定すると Cauchy（コーシー）は定義した。
ak
k 1
1
つまり部分和の極限が存在するとき級数は収束すると定義しその値を
a k と書くことにした。
k 1
[混乱のもと] 記号
a k はⅰ）形式的級数 ⅱ）収束する場合のその和 の２通りの意味に使い分けられる。
k 1
[あのね] 「コーシって中国の人？」
（それは「孔子」Ｃauchy はフランス人）
◇ 一般的に成り立つ公式
・「 lim a n
a k は発散」 lim a n
0
n
［大学] lim | s n
sm | 0 ⇔
m ,n
・
k 1
発散
n
a k ：収束（必要十分条件・コーシー）
k 1
、
ak
liman 0
0 は発散判定の十分条件
n
k 1
？
収束
と有限確定値に級数が収束するときは
bk
k 1
( pa k
qb k )
p
k 1
ak
q
k 1
[注意]
(a k
bk )
×
k 1
（ p, q は n に無関係な定数）
bk と
ak
k 1
bk
k 1
k 1
k 1
ak
bk
ak
×
は収束するときも成り立たない。
k 1
bk
k 1
有限和も同様に和差は成立するが 積商は成立しない。
n
n
kx
k
1
k
1
×
k
n
xk
k
1
k
1
1
1
n (n
2
1)
1
1
xn
x
（誤）
で書かれるとひっかかる
n
k
1
1
k (k
×
1)
(誤)
1
n
k (k
k
1)
1
２
◇
具体的な数列の無限級数 定義より部分和 S n を求め lim S n を判定する
n
①無限等差級数 a (a d ) (a 2d ) (a 3d ) L
は明らかで
, d 0 のとき
に発散で話題にされない
d 0 のとき
2
3
②無限等比級数 a ar ar
ar L
の結果は公式に
n
a (1 r )
a
lim
( r 1)
if a 0
1 r 1
n
S
lim S n
Ｑ
1 r
1 r
n
lim na ( r 1) 発散 上記以外のとき
n
[超重要公式]無限等比級数
[誤] S
a ar
①−②より (1
ar
0 または 1 r
a
2
ar
r )S
a
3
L
③無限（等差*等比）型級数
①， rS
a
S
1
a
1 のとき収束し、その和 S
ar
ar
2
とするのは 間違い
ar
3
1 r
L ②
定義に反する
r
1 2 x 3x 2
4x3
5x 4
L
は重要
■準備はさみうち論法でよく使われる不等式（二項定理を利用してはさみうちへ）二項不等式
0 のとき (1 h ) n
■
lim nx n の問題，（等差×等比）型の極限[重要] n の指数（難）＞ n の２次式（易）
n
C0
n
n
1 のとき， lim nx n
x
0（
n
[証明]（ア） x
のとき
n
(1 h ) n
n | x |n
0
等差×等比型数列の無限和→
Sn
−） xS n
x)S n
1
2x
3x 2
1
x
|x|
nx n
2
Sn
xn
x)2
1
n(n
2
□（誤） S
−） xS
x)S
x
nx (x
1)
nx n
(x
1 x
1)
n
1) (x
1)
1 2x 3x 2 L
1x 2 x 2 3x 3
1 x x2
x3
1
1
x
( 1
1
n 1
n
1 x
1 x
x
(h
1 h
(n 1) x n
L
x
1
0 ) とおける
[類似・比較]
x
n
lim x lim n
x
n
e
2
1 2
x
e
1 x
x , (x
2
2 n n C 0 n C1 n C 2
n
0
n ( n 1) 2 n
1 nh
h
2
S n rS n を作る 超重要[☆☆☆]
L
1x 2 x 2
1
(1
0 の不定形で 0 に収束）
0 のとき 明らか
（イ） 0 | x | 1
(1
1 nh
n
1
(1
C1 h
C 2 h 2 ・・・・＋ n C n h n
n ( n 1) 2
h
2
h
1)
n
0)
￥ 超重要等差×等比型の和は
1
nx n
nx
n
Sn
rS n より
戦場・犯人逮捕・囲碁将棋しばしば使われる作戦行
動の１つ・はさみ討ちの妙技 はさみうち論法は最
重要テーマ（テストに良く出る） 片側が定数の場合
は、ハサミウチ論法というよりは極限の定義である
1
( 1 x 1) のとき
(1 x ) 2
発散 ( 以外 )
L
∴S
1
(1 x) 2
[級数の定義に従ってないので誤]
[級数の定義は部分和の極限]
３
1
1
1
L
1 2 2 3 3 4
1 1
1 1
1 1
（誤） S
(
) (
) (
) L 1
1 2
2 3
3 4
1 1
1 1
1 1
1 1
（正） S n
(
) (
) (
) (
) L
1 2
2 3
3 4
4 5
④無限分数級数
⑤無限整式列級数 1
2
L
3
は定義から
「･････」は危険！
は間違い，定義に従っていないから
(
1
n
1
1
1 (正解)
n 1
n 1n
（部分和の極限で）
) 1
は明らか
N
明らかに 無限大に発散
⑥一般調和級数
1
lim (
n
1
1
2
1
1
2
1
3
1
1
LL
3
4
1
) ←部分和の極限
n
L
部分和のハサミウチ
の収束・発散は，部分和 S n を階段図形の面積と見てはさみうち論法へ
n 1
1
1
dx
x
1
2
1
1
3
1
4
1
n
LL
n
1
1
y
積分
f ( x)
0
1
dx
x
１
区分求積 リ−マン和の極限
1 のとき発散である
対比
↑これはリーマン和ではない
以下省略するが [知ッ得] 実は
1 のとき収束，
特に
1 のとき 調和級数
n 1
1
1
1
1
1
dx 1
LL
1
dx
1
1
x
2
3
4
n
x
1
1
1
log(n 1) 1 1
1 log n
LL
2
3
4
n
1 1 1
ゆえに log(n 1)
より1
Lは
2 3 4
n 1
少しずつ小さくなる数を無限に加えるとは？
y
1
x
n-1ｎn+1
１２３４
単調減少←重要
［コツ］階段をずらすか関数をずらす
階段図形
階段をすべり台で挟む
無限級数の発散判定条件（収束判定条件は一般にはない．等比にはあるが）
①
a n が収束
lim a n
証 lim a n
lim ( S n
n
n
は真
0
n
n 1
n
Sn 1)
② よってこの対偶も正しい
lim S n
n
lim a n
n
1
と存在するから
0
1
は発散
an こ れが発 散の
判定に使える
発散判定条件
は真
n 1
lim a n
n
反例調和級数
1
1
2
1
3
1
L
4
は収束 は成り立たない
an 0
n 1
一般項は０に収束するが，この級数は
| a n | が収束（絶対収束）⇒
n 1
n
lim S n
級数の収束・発散検査はまずスクリーニングを実施
③ 逆は必ずしも真ならず
④[大学]
lim S n
0
n
[覚え方]
lim S n
a n は収束
に発散する[証明も重要]
絶対収束と条件収束がある
n 1
４
◇無限級数の収束・発散の判定手順
（手順１） まず等比か調べる 等比ならば公式で なければ手順２へ
初項
１−公比
（ア）初項＝０ または
1 ＜公比＜１のとき収束し 和は
（手順２） 一般項の極限 lim a n を調べる lim a n
n
（イ）以外は発散
0 なら発散 ←発散判定の十分条件
n
0 なら収束か発散か判らないから手順３へ
lim a n
n
（手順３） 定義に従う部分和 S n を求め lim S n を調べる 無限和を無限和として決して考えないこと．
n
あくまで部分和の極限として定義されている（コーシーの定義）.等比のみ公式で例外と思え
（手順４） 部分和が求められないものは求めないで lim S n を調べる
n
階段図形 ， ハサミウチ論法 ， 積分数列では積分不等式利用
高校では まず級数があってその収束・発散を論ずるだけであるが さらにこれらは関数の
展開公式 逆に、級数でもって新しい関数を定義してしまうこと（特殊関数）に発展する。
■級数のテーマ
（A）まず級数があり,収束するか発散するかの判定
1 1 1
①1
L
調和級数
2 3 4
1
1
1
②1
L 一般調和級数，
2
2
2
3
42
1 1 1
③1
L
メルカトール級数
2 3 4
1 1 1
④1
L
ライプニッツ級数
3 5 7
（Ｂ）級数の形に定数や関数を表す
○テーラー展開
○マクローリン展開 いろいろな関数を整関数で表す
2
x
xn
① ex 1 x
(
x
)
L
L
2!
n!
x3
3!
② sin x
x
③ cos x
1
x2
2!
④ log( 1
x)
x
⑤ (1
⑥
x)
1
C0
x5
5!
L
( 1) n 1 x 2 n 1
( 2 n 1) !
L
(
x
)
x4
4!
L
( 1) n
(2n
L
(
x
)
x3
3
x4
4
x2
2
C1 x
x2
C2 x 2
1
L
x 2n
2 )!
2
( 1) n 1 x n
n
C3 x3
L
L( 1
( 1
x 1)
x 1)
x3
L ( 1 x 1) 無限等比級数の和
1 x
この①②③の式の x を複素数まで拡張して，複素関数を定義すると
ei
cos
i sin が得られ
πを代入して e i 1 0 「人類の至宝」を得る
1
x
５
○定数の級数による表現
1
1!
1
②
1
4
3
① e
1
③ log 2
1
1 1
1
L
L
2 ! 3!
n!
1 1 1
LL
5 7 9
1
2
1
3
1
4
L
④ １=0.9+0.09+0.009+0.0009+・・・・
○フーリエ展開
関数のフーリエ級数表示
① f ( x) x (
x
x
整関数を三角関数で表す
)
1
1
1
2{sin x
sin 2 x
sin 3 x L ( 1) n 1 sin nx L}
2
3
n
② f ( x) | x | (
4
|x|
{cos x
2
x
(
x
)
(
x
, n は奇数）
)
1
cos 3 x
32
1
1
cos 5 x L
cos nx L}
2
5
n2
○特殊関数
６