応用線形代数演習問題解答例

応用線形代数 演習問題解答例 2008
山田 直記
計算間違いやミスプリントがあるはずです。注意して利用して下さい。
1
数ベクトル空間 Rn
Rn の基本的な性質
1.1
問題 1.1 加法 (1)：

   
 
    
x1
y1
x 1 + y1
y1 + x1
y1
x1
 ..   ..  
 
  ..   .. 
..
..
 . + . =
=
= . + . 
.
.
xn
yn
xn + yn
yn + xn
yn
xn
加法 (2)：省略。加法 (3) と (4) は本文にあり。
スカラー倍 (1)：

 
  
x1
1 x1
x1
 ..   ..   .. 
1 .  =  .  =  . 
xn
1 xn
xn
スカラー倍 (2)： 省略。
スカラー倍 (3)

  

 

x1
y1
x1 + y1
a(x1 + y1 )
 .   . 

 

..
..
a  ..  +  ..  = a 
=

.
.
xn
yn
xn + yn
a(xn + yn )
 

 
 
ax1
ay1
x1
y1
 ..   .. 
 .. 
 .. 
=  .  +  .  = a .  + a . 

axn
ayn
xn
yn
スカラー倍 (4)：省略。
問題 1.2 (1) n が (1) の性質ををみたすとすると 0 = 0 + n = n である。
1
(2) x ∈ Rn に対し x0 , x00 が (2) の性質をみたすとすると
x0 = x0 + 0 = x0 + x + x00 = 0 + x00 = x00
である。
1.2
Rn の標準的な内積
問題 1.3 (1) (x, x) = x21 + · · · + x2n = 0 である。(x, x) = 0 となること
は x21 + · · · + x2n = 0 と同値だから x1 = · · · = xn = 0 で、x = 0 と同値
である。
P
P
(2) (x, y) = ni=1 xi yi = ni=1 yi xi = (y, x) である。
(3)(i) (xi + x0i )yi = xi yi + x0i yi による。(ii) (cxi )yi = c(xi yi ) より明
らか。
問題 1.4 x = 0 の場合は A = 0 となり、2 次方程式にならない。このと
きは両辺が 0 になるので、結論は正しい。等号が成立するのは、x, y が
B
1 次従属のときである。実際、2 次方程式が重解 t0 = − をもつので、
A
(t0 x + y, t0 x + y) = At20 + 2Bt0 + C = 0 より tx + y = 0 でなければな
らない。
問題 1.5 (1) kxk = 0 ⇔ (x, x) = 0 ⇔ x = 0, (2) kcxk2 = c2 kxk2 ,
(3) kx + yk2 = kxk2 + 2(x, y) + kyk2 5 kxk2 + 2kxkkyk + kyk2 =
(kxk + kyk)2 .
(cx, y)
c(x, y)
問題 1.6 (1) ∠(cx, y) = arccos
= arccos
= ∠(x, y),
kcxkkyk
ckxkkyk
µ
¶
(x, y)
(2) ∠(cx, y) = arccos −
= π − ∠(x, y) すなわち、補角に
kxkkyk
なる。
2
ベクトル空間と線形写像
2.1
ベクトル空間
2.2
部分ベクトル空間
問題 2.1 (1) x ∈ W とすると −x ∈ W なので x + (−x) = 0 ∈ W で
ある。
(2) ki ui (i = 1, . . . , n) である。 k1 u1 + k2 u2 ∈ W なので
k1 u1 + k2 u2 + k3 u3 = (k1 u1 + k2 u2 ) + k3 u3 ∈ W
である。これを順次繰り返せばよい（数学的帰納法）。
2
問題 2.2 例 2.3 より原点を含む平面は部分空間である。原点を含まなけ
れば問題 2.1 (1) より部分空間ではない。原点を通る直線は、定ベクトル
a ∈ R3 を用いて
L = {ta | t ∈ R}
と表せるので ta + sa = (t + s)a, k(ta) = (kt)a より部分空間である。原
点を通らない直線は、上と同じ理由により部分空間ではない。
2.3
基底と次元
問題 2.3 u, v ∈ hu1 , . . . , ur i とする。 u = k1 u1 + · · · + kr ur , v =
`1 u1 + · · · + `r ur と表せる。
u + v = (k1 + `1 )u1 + · · · + (kr + `r )ur ∈ hu1 , . . . , ur i
αu = (αk1 )u1 + · · · + (αkr )ur ∈ hu1 , . . . , ur i
である。
問題 2.4 {e1 , . . . , en } は一次独立である。また、任意の x = (x1 , . . . , xn ) ∈
Rn は x = x1 e1 + · · · + xn en と表されるから Rn = he1 , . . . , en i である。
2.4
線形写像
問題 2.5 (1) f (ku + mv) = f (ku) + f (mv) = kf (u) + mf (v) であ
る。逆を示す。 m = 0 とすれば f (ku) = kf (u), k = m = 1 とすれば
f (u + v) = f (u) + f (v) である。
(2) f (ku) + mv) = ku + mv = kf (u) + mf (v) .
問題 2.6
f (u + v) = A(u + v) = Au + Av = f (u) + f (v),
f (ku) = A(ku) = kAu = kf (u).
à !
à !
à !
0
0
1
問題 2.7 0 =
∈ W で f (0) =
である。 u =
∈W で
0
0
−1
à !
à !
−1
−1
であるか
である。 ku ∈ W でもあり f (ku) = k
f (u) =
−1
−1
ら、 f (W ) は原点を通る直線 x − y = 0 である。
問題 2.8 (i) u, v ∈ ker(f ) とする。 f (u + v) = f (u) + f (v) = 0,
f (ku) = kf (u) = 0 より u + v ∈ ker(f ), ku ∈ ker(f ) となるので ker(f )
は V の部分空間である。
3
(ii) w1 , w2 ∈ f (V ) とする。 w1 = f (u1 ), w2 = f (u2 ) (u1 , u2 ∈ V )
と表される。 w1 + w2 = f (u1 + u2 ) と表されるので w1 + w2 ∈ f (V ),
kw1 = f (kw1 ) なので kw1 ∈ f (V ) である。従って f (V ) は W の部分
空間である。
2.5
線形写像と行列
問題 2.9 v = p1 v 1 + · · · + pn v n と表される。
f (v) = p1 f (v 1 ) + · · · + pn f (v n )
= p1 (a11 w1 + · · · + am1 wm )
+ p2 (a12 w1 + · · · + am2 wm )
..
.
+ pn (a1n w1 + · · · + amn wm )
= (a11 p1 + a12 p2 + · · · + a1n pn )w1
+ (a21 p1 + a22 p2 + · · · + a2n pn )w2
..
.
+ (an1 p1 + an2 p2 + · · · + amn pn )wm
すなわち f (v) ∈ W を f (v) = q1 w1 + · · · + qm wm と表すとき、係数に
ついて
 
 
q1
p1
 .. 
 .. 
 .  = A . 
qm
pm
 
 
0
0
.
.
 .. 
 .. 
 
 
 
 
である。特に、 v i = 1 (i, wj = 1 (j ととれば
.
.
.
.
.
.
0
0


p1
 .. 
 .  = p1 v 1 + · · · + pn v n ,


q1
 .. 
 .  = q1 w1 + · · · + qm wm
pn
qm
なので
f (v) = Av
4
が成り立つ。
問題 2.10
à ! à !
Ã
!
Ã
!
x1
x2
x1 + x2
2(x1 + x2 ) + 3(y1 + y2 )
+
) = f(
)=
f(
y1
y2
y1 + y2
5(x1 + x2 ) − (y1 + y2 )
à !
!
à !
! Ã
Ã
x2
x1
2x2 + 3y2
2x1 + 3y1
)
) + f(
= f(
+
=
y2
y1
5x2 − y2
5x1 − y1
à !
x
f (k
) の計算は省略する。 V , W の基底を標準基底にとると
x
à !
Ã
!Ã !
x
2 3
x
f(
)=
y
5 −1
y
なので
Ã
!
2 3
A=
5 −1
である。
問題 2.11 V , W の基底を標準基底にとると
 

 
 
x
x+z
1 0 1
x
 

 
 
f (y ) =  y − z  = 0 1 −1 y 
z
2x + 3y + z
2 3 1
z
なので


1 0 1


A = 0 1 −1
2 3 1
である。線形写像であることの計算は省略する。
問題 2.12 標準基底で考えると


a b


A = p q 
r s
である。線形写像であることの計算は省略する。
Ã
!
a p r
問題 2.13
で表される線形写像が一つの例である。
b q s
5
2.6
別の基底との関係
2.7
線形写像の和と合成
問題 2.14 本文で計算しているように (f + g)(v i ) = (a1i + b1i )wi + · · · +
(ami + bmi )wm であるから、f + g に対応する行列は (aij + bij ) である。
行列の計算から
A + B = (aij ) + (bij ) = (aij + bij )
であるから、f + g に対応する行列は A + B である。
問題 2.15 (kf )(v i ) = kf (v i ) = ka1i w1 + · · · + kami wm であるから kf
に対応する行列は kA である。
問題 2.16 次のように確かめられる。
(g ◦ f )(ku) = g(f (ku)) = g(kf (u))
= kg(f (u)) = k(g ◦ f )(u)
(g ◦ f )(u + v) = g(f (u + v)) = g(f (u) + f (v))
= g(f (u)) + g(f (v)) = (g ◦ f )(u) + (g ◦ f )(v)
3
3.1
応用例など
微分方程式
問題 3.1 ϕ(t) = 2e2t − 3e−t .
問題 3.2 ϕ(t) = e2t + et .
問題 3.3 ϕ(t) = (1 − 2t)e2t .
問題 3.4 ϕ1 (t) = cos t, ϕ2 (t) = sin t ととることができ ϕ(t) = cos t +
2 sin t である。
à !
Ã
!
à !
u1
1/u1
1
問題 3.5
に対する逆ベクトルは
, 零ベクトルは
で
u2
1/u2
1
ある。計算規則をみたすことは省略する。
問題 3.6 (−1)x はスカラー倍、−x はベクトル x の逆ベクトルである。
これらは一致する。
à !
à !
à ! à !
à !
2
1
2
1
u1
= log u1
+ log u2
と表されるから
,
問題 3.7
u2
1
2
1
2
は V を生成している。また、
à !
à ! à !
2
1
1
c1
+ c2
=
1
2
1
6
à ! à !
2
1
すなわち 2c1 = 1, 2c2 = 1 とすると c1 = c2 = 0 であるから
,
1
2
は一次独立である。故にこの二つのベクトルは V の基底になっている。
3.2
次元定理
問題 3.8 f : V → V が一対一とする。0 6= v ∈ ker(f ) とすると f (v) =
f (0) = 0 となり一対一であることに反するから ker(f ) = {0} である。
dim{0} = 0 なので dim f (V ) = n となる。 f (V ) は n 次元ベクトル空間
の n 次元部分空間になるので一致しなければならない。すなわち f は上
への写像である。
逆に f が上への写像とすると dim f (V ) = dim V = n となり dim ker(f ) =
0 でなければならない。故に ker(f ) = {0} となり f は一対一である。
問題 3.9 fW : W → V を fW (w) = f (w) (w ∈ W ) とする。fW が線形
写像であることは明らかである。次元定理より
dim fW (W ) = dim W − dim ker(fW )
で ker(fW ) = ker(f ) ∩ W であるから、結論が成り立つ。
問題 3.10 (i) と (ii) が同値であること。A = (a1 , . . . , an ) と列ベクトル
で表すと rank A = n であることは {a1 , . . . , an } が一次独立であること
になり、 |A| = det(a1 , . . . , an ) 6= 0 と同値である。
(iii) と (iv) が同値であることは問題 3.8 で示されている。
(i) または (ii) と (iii) または (iv) が同値であること。 f が一対一であ
るとすると上への写像でもある。次元定理から ker(f ) = {0} であり、こ
れは連立一次方程式 Ax = 0 の解が 0 に限ることを表すので |A| 6= 0 で
ある。逆も同じである。
3.3
行列の指数関数
7
4
アフィン写像
問題 4.1 (1)
   


y1
b1
a11 a12 Ã !
   
 x1

+ b2  = y2 
a21 a22 
x2
y3
b3
a31 a32
と表して、条件を代入すると連立 1 次方程式が得られる。これを解けば
よい。


 
0 −4 Ã !
2

 x1
 
ϕ = −2 4 
+ 1
√
x2
3
2 1
(2)
Ã
a11 a12 a13
a21 a22 a23
!
 
à ! à !
x1
b1
y1
 
=
x2  +
b2
y2
x3
と表して、条件を代入すると連立 1 次方程式が得られる。これを解けば
よい。
Ã
!Ã ! Ã
!
12
4
− 11
x
10
−
1
5
5
5
ψ=
+
33
6
64
−
x2
−22
5
5
5
問題 4.2 (1) ψ ◦ ϕ = ψ(Ax + b) = B(Ax + b) + c = BAx + Bb + c, (2)
ϕ−1 (y) = A−1 y − A−1 b.
問題 4.3 (1) (x0 , x) = α と表された直線が y = Ax + b と写ったと
すると、(t (A−1 )x0 , Ax + b) = (x0 , A−1 (Ax + b)) = (x0 , x + A−1 b) =
α + (x0 , A−1 b) より、(y 0 , y) = β をみたすので、直線上にある。(2) 平面
は (x0 , x) = α と表されるので (1) の証明がそのまま適用できる (数学の
一般性！)。直線は平面と平面の共通部分だから、ϕ(A ∩ B) ⊂ ϕ(A) ∩ ϕ(B)
により像も直線になる。
問題 4.4 y = x + b とすると x = y − b = τ−b (y) である。
1
1
1
問題 4.5 y = λx+b とすると x = (y −b) となり、 ϕ−1 (x) = x− b
λ
λ
λ
なので相似変換である。
問題 4.6 kϕ(x) − ϕ(y)k = kλ(x − y)k = λkx − yk である。すなわち
kϕ(x) − ϕ(y)k
は倍率を表している。幾何学的には、もとの線分と写さ
kx − yk
れた線分の長さの比である。
問題 4.7 変換は
à !
3
ϕ(x) = 2x +
2
8
à !
−3
と表されるので、倍率は 2、相似の中心は
である。
−2
問題 4.8 ϕ(ϕ(x)) = ϕ(−x + b) − (−x + b) + b = x であることによる。
¡ ¢
問題 4.9 ϕ(x) = −x + 2 ab となる。三角形は各自描いてみよ。
問題 4.10 (1) x1 軸対称に写す。(2) x1 軸方向に 2 倍し、x2 軸方向には
− 12 倍する。さらに、x1 軸対称に写す。(3) x1 軸方向はそのまま、x2 軸
¡¢
¡¢
¡¢
を直線 y = 12 x に写す。 e1 = 10 , e2 = 01 とするとそれぞれ f 1 = 10 ,
¡¢
¡ ¢
f 2 = 21 に写るので、 xx12 は x1 f 1 + x2 f 2 に写る。
問題 4.11 (1) kψ ◦ϕ(x))−ψ ◦ϕ(y)k = kϕ(x)−ϕ(y)k = kx−yk による。
(2) ϕ(x1 ) = y 1 , ϕ(x2 ) = y 2 とすると ky 1 − y 2 k = kϕ(x1 ) − ϕ(x2 )k =
kx1 − x2 k である。この関係式は、ky 1 − y 2 k = kϕ−1 (y 1 ) − ϕ−1 (y 2 )k =
kx1 − x2 k でもある。
5
R2 の合同変換
問題
問題
問題
問題
問題
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
6
R2 のアフィン変換
¡ ¢
ρθ ◦ ρ−θ = 10 01 を確かめればよい。
¡¢
p = 11 , θ = π2 ととると ϕ(x) = τp ◦ ρθ ◦ τ−p (x) である。
各自本文に即して確かめよ。
各自講義を振り返って確かめよ。
¡¢
¡¢
(1) p = 31 , θ = arccos 13 (2) p = 00 , θ = arccos(− 79 )
¡¢
問題 6.1 固有値は 1 重複度は 2 で、固有ベクトルは a 10 (a 6= 0) で
ある。
問題 6.2 (1) (0, 0), (1, 0), (2, 1) を結ぶ三角形である。(2) (0, 0), (−1, 0),
(0, 2) を結ぶ三角形である。
7
定理 6.1 の証明
問題 7.1 次の問題の解を参考にせよ。
問題 7.2 定理の証明を振り返ると
Ã
! Ã 1
! Ã√
!Ã
√
− √310
10
0
1 2
1
10
=
2
3
1
√
√
0
− √10
3 4
0
10
10
7
5
!
1
と分解できる。それぞれ軸を傾ける変換、回転、軸方向の拡大・縮小を表
す行列である。これに平行移動を加えると上の問題の解になる。
9
8
R3 の合同変換
問題 8.1 kApk2 = (Ap, Ap) = (t AAp, p) = kpk2 = 1, (Ap, Aq) =
(t AAp, q) = (p, q) = 0 による。
10