線形代数学B 演習問題

線形代数学 B 演習問題
1. 次の連立方程式を解け．
{
{
x + y = 200
(1)
x + y = 200
(2)
x + 1.001y = 200.1
x + 1.001y = 200.2
2. 次の行列を行基本変形により簡約化して，その階数を答えよ．




1
3
5
3
9 1 13
2
6
11 


2
6 1 7
(1)
(2) 
−3 −9 −14
−1 −3 0 −5
3
4
16
3. 次の行列の行列式を求めよ．ただし，ω は x3 = 1 の解のうち 1 とは異なるものとする．


)
(
2 −3 −4
3 −2
(2) 1 0 −2
(1)
4 1
0 −5 −6

1
1
(3) 
3
−2

1 −1 3
2 −3 1 

1 1 −1
3 −1 2


1 ω ω2 ω3
 ω ω2 ω3 1 

(4) 
ω 2 ω 3 1 ω 
ω3 1 ω ω2

sin θ cos φ
sin θ sin φ
cos θ
(5)  r cos θ cos φ r cos θ sin φ −r sin θ
−r sin θ sin φ r sin θ cos φ
0


1 + x1 y1
x 1 y2
 x2 y1
1
+
x2 y2


.
.
..
..
(6) 

 xn−1 y1
xn−1 y2
y1
y2
···
···
..
.
x1 yn−1
x2 yn−1
..
.
···
···
1 + xn−1 yn−1
yn−1
x1 yn
x2 yn
..
.






xn−1 yn 
yn
4. 2 つの行列 A, B を


0 a b
A = a 0 c  ,
b c 0
 2

a + b2
bc
ac
a2 + c2
ab 
B =  bc
2
ac
ab
b + c2
とおく．
(1) A2 = B であることを示せ．
(2) det B を求めよ．
1
5. 次のベクトルの組は１次独立であるかどうかを調べよ．
 
 
 
( )
( )
( )
2
1
1
1
3
2
(1) a1 =
, a2 =
, a3 =
(2) a1 = 1 , a2 = −1 , a3 = 2
2
2
1
1
1
3


 
1
1



0 , a2 = −1
(3) a1 =
−1
1
 
 
 
2
1
1





5
(4) a1 = 1 , a2 = −1 , a3 =
1
1
−1
6. 次の集合 L が R3 の部分空間であるかどうかを調べよ．
また，部分空間になっているものについては その次元を求めよ．
 
 x1
(1) L = x2  ∈ R3

x3


2
2
2
x1 + x2 + x3 5 1

7. （発展）2 つの平面ベクトル ⃗a =
 
 x1
(2) L = x2  ∈ R3

x3


3x1 − x2 = x3

( )
( )
a1 ⃗
b
, b = 1 が 1 次独立であるための必要十分条件は
a2
b2
⃗a =
\ ⃗
0,
⃗b =
\ ⃗
0,
⃗a /\/ ⃗b
であることを証明せよ．
\ V2 かつ
8. V1 と V2 はともに Rn (n = 3) の部分空間で，V1 =
dim V1 = dim V2 = n − 1
であるとする．このとき，dim(V1 ∩ V2 ) = n − 2 であることを証明せよ．
9. （発展）A を n 次正方行列で，A2 = A を満たすものとする．
V = {x ∈ Rn | Ax = 0},
W = {x ∈ Rn | Ay = x となる y ∈ Rn が存在する }
とおくとき，以下の設問に答えよ．
(1) V, W はともに Rn の部分空間であることを示せ．
(2) Rn = V ⊕ W であることを示せ．(Hint：x = (x − Ax) + Ax と表せることを利用する)
ただし，Rn = V ⊕ W とは Rn = V + W かつ V ∩ W = {0} となることである．
2
10. 次の写像は線形写像であるかどうか答えよ．
( )
(
)
x1
2x2
2
2
(1) f : R → R , f (
)=
x2
3x1 − 4x2
( )
x
(3) f : R → R, f ( 1 ) = 4x1 + 3x2
x2
( )
x
2
(5) f : R → R, f ( 1 ) = sin x1 + ex2
x2
2


( )
x1
x
(2) f : R2 → R3 , f ( 1 ) =  x2 
x2
x1 + 1
( )
x
(4) f : R2 → R, f ( 1 ) = x21 + x2
x2
( )
2x
2
(6) f : R → R , f (x) =
−x
11. 線形写像 f, g は次の条件をみたしている．
f : R2 → R3 ,
g : R2 → R3 ,
 
( )
1
1
f(
) = 2 ,
0
3
 
( )
1
2
g(
) = 2 ,
1
1
 
( )
4
0
f(
) = 5
1
6
 
( )
−1
5
g(
)= 0 
3
1
( )
( )
x1
x
このとき，f (
), g( 1 ) を具体的に x1 , x2 の式で表せ．
x2
x2
12. 次の線形写像 f の Im(f ) と Ker(f ) の次元を求めよ．
 
(
)
x1
x1 − 3x2 + x3
3
2


(1) f : R → R , f ( x2 ) =
2x1 + 5x2 − x3
x3
 


x1
x
−
2x
−
x
1
2
3
x2 



x2 + x3 + x4
(2) f : R4 → R3 , f (
x3 ) =
x1 − 3x2 − 2x3 − x4
x4
13. （発展）写像 f : R → R が線形写像ならば，ある実数 a を用いて
f (x) = ax
(x ∈ R)
の形で表されることを示せ．
また，一般に線形写像 f : Rn → Rm は実数を成分にもつ m × n 行列 A を用いて
f (u) = Au
の形で表されることを示せ．
3
(u ∈ Rn )
 
(
)
x1
2x
+
x
1
2
14. 線形写像 f : R3 → R2 , f (x2 ) =
について，以下の問いに答えよ．
x2 + 3x3
x3
     
( ) ( )
1
0
0
1
0
3
2






(1) R の標準基底 0 , 1 , 0 と R の標準基底
,
に関する f の表現行列
0
1
0
0
1
を求めよ．
     
( ) ( )
−1
1
1
−1
−1
3
2






1 , −1 , 1
と R の基底
,
に関する f の表現行
(2) R の基底
1
−1
1
1
−1
列を求めよ．
15. 次の行列に逆行列があればそれを求め，ないものはその理由を述べよ．

(
)
(
)
−3
4 −2
2 −3

(1)
(2)
(3) −2
3 1
−4 6
2





2 1 −1
3 −4 −3
4





1
3
(5) −2 2
(6)
(4) 1 −2 2
2 1
1
2 −1 0
−2





3
1
1 −1
2 1
1
1
2
−1 −1 −1 0 
3 0 −2 1 
4


(7) 
(8) 
(9) 
−3 −1 −2 1 
0 −1 0 −2
−2
−1 0
0
1
3 1
1
1
2
16. 次の行列の固有値を求めよ．




6 −3 −7
2 2 −6
1
(1) −1 2
(2) 0 −1 2 
0 −2 3
5 −3 −6




1
2 1
1 3 −2
(4) −1 4 1
(5) −3 13 −7 
2 −4 0
−5 19 −10




0 0 0
1
−4 0
0
3
−2 0 −2 0 
 3 −1 0 −3


(7) 
(8) 
 3 1 3 −1
0
0 −1 0 
−2 0 0
3
−6 0
0
5


3
2
1
2 −1 1 

−1 −1 −2
1
2
3

2
0 −4
(3)  2 −2 −4
−4 8
6


5 −2 4
0
2
(6)  2
−2 1 −1


−1 −1 −1 −2
1
1
1
0

(9) 
2
1
2
2
1
1
0
3
17. 問題 16 の行列について，各固有値の固有空間の次元を求めよ．
また，行列が対角化可能かどうか判定し，可能なものは対角化せよ．
4

2
2
2
1
−1 −1

1
2
2 −1
−2 2
線形代数学 B 演習問題解答
1. (1) x = y = 100
(2) x = 0, y = 200
2. 階段行列は一例で他にも考えられるが，階数はすべて同じになる．




1 0 0
1 3 0 0
0 1 0


(2) 
(1) 0 0 1 0 階数は 3
0 0 1 階数は 3
0 0 0 1
0 0 0
3. (1) 11
(2) −18
(4) (ω − 1)3
(3) 98
(6) 第 n 行の xk 倍を第 k 行から引くと (k

1 0
0 1

 .. ..
. .

0 0
y1 y2
(5) r2 sin θ
= 1, 2, · · · , n − 1)

···
0
0
···
0
0

..
.. 
..
.
.
.

···
1
0
· · · yn−1 yn
と変形できるから，行列式は yn となる（各自確かめよ）．
4. (1) 直接計算すればよい
(2) サラスの公式より det A = 2abc である．よって，行列式の性質
det(XY ) = (det X)(det Y )
を利用して
det B = det(A2 ) = (det A)2 = 4a2 b2 c2
（直接 det B を計算してもよいが，やや面倒）
5. (1) 1 次独立ではない
(a1 − 3a2 + 4a3 = 0 etc.)
(2) 1 次独立である
(並べた行列の行列式が −9 または階数 3)
(3) 1 次独立である
(並べた行列が階数 2)
(4) 1 次独立ではない
(並べた行列の行列式が 0 または階数 2)
5
6. (1) L は部分空間ではない．何でもよいが，例えば
 
 
1
2
a = 0 ∈ L だが 2a = 0 ̸∈ L
0
0
\ ∅ であって
(2) L は部分空間である．実際に L =
i. u, v ∈ L =⇒ u + v ∈ L
ii. c ∈ R, u ∈ L =⇒ cu ∈ L
が成り立つことを確認すればよい（各自確かめよ）．
また，L に属する任意のベクトル a は
  

 
 
x1
x1
1
0







x2
a = x2 =
= x1 0 + x2 1 
x3
3
−1
3x1 − x2
と表せるので，例えば
 
1

a1 = 0 ,
3


0
a2 =  1 
−1
が L の基底となることを示せばよい（各自確かめよ．また，基底の組は他にもある）．
よって，L の次元は 2 である．
\ ⃗
\ ⃗
0, ⃗b =
0 であ
7. 平面ベクトル ⃗a, ⃗b が 1 次独立であるとする．このとき，定義よりまず ⃗a =
⃗
⃗
⃗
⃗
る．次に，もし a // b であると仮定すると，b = k a となる実数 k が存在する．これより
k⃗a − ⃗b = ⃗0
となるが，これは自明でない線形結合をもたないこと（1 次独立の定義）に矛盾する．ゆえ
に，⃗a /\/ ⃗b が成り立つ．
\ ⃗
逆に ⃗a =
0,
⃗b =
\ ⃗
0,
⃗a /\/ ⃗b であるとする．このとき
c1⃗a + c2⃗b = ⃗0
\ 0 と仮定すれば
とおくと，もし c2 =
⃗b = − c1 ⃗a
c2
となってしまうので，これは ⃗a /\/ ⃗b に矛盾する．したがって c2 = 0 であり，c1⃗a = ⃗0 より
c1 = 0 が成り立つ．よって，自明な線形結合しかもたないので ⃗a, ⃗b は 1 次独立である．
\ V2 より V1 ( V1 + V2 ⊂ Rn であるから
8. V1 =
n − 1 = dim V1 < dim(V1 + V2 ) 5 dim Rn = n
よって，dim(V1 + V2 ) = n となる．ゆえに，次元公式
dim(V1 + V2 ) = dim V1 + dim V2 − dim(V1 ∩ V2 )
より
dim(V1 ∩ V2 ) = dim V1 + dim V2 − dim(V1 + V2 ) = (n − 1) + (n − 1) − n = n − 2
6
9. (1) V について
\ ∅
• A0 = 0 より，0 ∈ V なので V =
• u, v ∈ V とすると
A(u + v) = Au + Av = 0 + 0 = 0
であるから，u + v ∈ V
• c ∈ R, u ∈ V とすると
A(cu) = cAu = c0 = 0
であるから，cu ∈ V
よって，V は Rn の部分空間である．
W について
\ ∅
• A0 = 0 より，y = 0 とすればよいので，0 ∈ W となる．ゆえに W =
• u, v ∈ W とすると，u = Ay1 , v = Ay2 となる y1 , y2 ∈ Rn が存在する．よって
u + v = Ay1 + Ay2 = A(y1 + y2 )
より，y = y1 + y2 とすればよいので，u + v ∈ W
• c ∈ R, u ∈ W とすると，u = Ay1 となる y1 ∈ Rn が存在する．よって
cu = cAy1 = A(cy1 )
より，y = cy1 とすればよいので，cu ∈ W
よって，W は Rn の部分空間である．
(2) V + W ⊂ Rn は明らかなので，逆の包含関係を示す．任意の x ∈ Rn に対して
x = (x − Ax) + Ax
と表してやると，A2 = A より
A(x − Ax) = Ax − A2 x = Ax − Ax = 0
∴ x − Ax ∈ V
また，Ax ∈ W であるから
x = (x − Ax) + Ax ∈ V + W
よって，Rn ⊂ V + W なので，Rn = V + W が成り立つ．
次に，V ∩ W = {0} であることを示す．{0} ⊂ V ∩ W であることは (1) よりわかる
ので，逆の包含関係を示す．任意の x ∈ V ∩ W をとると，x ∈ V より Ay = x となる
y ∈ Rn が存在し，x ∈ W より Ax = 0 となる．よって
x = Ay = A2 y = A(Ay) = Ax = 0
より，x = 0 である．ゆえに，V ∩ W ⊂ {0} であるから，V ∩ W = {0} が成り立つ．
以上のことより，Rn = V ⊕ W （直和）となることが示せた．
7
10. 線形写像であるものは (1), (3), (6) の 3 個
( )
( )
( )
( )
( )
1
0
x1
1
0
11. e1 =
, e2 =
とおくと，
= x1
+ x2
= x1 e1 + x2 e2 と表せるから
0
1
x2
0
1
 
  

( )
1
4
x1 + 4x2
x
f ( 1 ) = f (x1 e1 + x2 e2 ) = x1 f (e1 ) + x2 f (e2 ) = x1 2 + x2 5 = 2x1 + 5x2 
x2
3
6
3x1 + 6x2
( )
( )
( )
2
5
x
a1 =
, a2 =
とし， 1 = c1 a1 + c2 a2 と表せたとすると
1
3
x2
( ) (
)( )
x1
2 5
c1
=
1 3
x2
c2
( ) (
)−1 ( ) (
)( )
c1
2 5
x1
3 −5
x1
∴
=
=
1 3
−1 2
c2
x2
x2
よって， c1 = 3x1 − 5x2 , c2 = −x1 + 2x2 となる．ゆえに
 
  

( )
1
−1
4x1 − 7x2
x
g( 1 ) = g(c1 a1 + c2 a2 ) = c1 g(a1 ) + c2 g(a2 ) = c1 2 + c2  0  = 6x1 − 10x2 
x2
1
1
2x1 − 3x2
なお，表現行列の考え方を用いると（本質的には同じであるが）簡単に答えは求められる．
12. (1) 線形写像 f は行列を用いて
 
 
) x1
(
x1
1 −3 1  
x2
f (x2 ) =
2 5 −1
x3
x3
と表せる．この行列は行基本変形により
(
)
(
)
1 −3 1
1 −3 1
7−→
2 5 −1
0 11 −3
となり，階数は 2 である．よって，dim(Im(f )) = 2 となる．
また，dim(Ker(f )) = 3 − 2 = 1 である．
(2) 線形写像 f は行列を用いて
 
 

 x1
x1
1 −2 −1 0  
x2 
x2 



1
1 
f ( ) = 0 1
x3 
x3
1 −3 −2 −1
x4
x4
と表せる．この行列は行基本変形により






1 −2 −1 0
1 −2 −1 0
1 −2 −1 0
0 1
1
1  7−→ 0 1
1
1  7−→ 0 1
1 1
1 −3 −2 −1
0 −1 −1 −1
0 0
0 0
となり，階数は 2 である．よって，dim(Im(f )) = 2 となる．
また，dim(Ker(f )) = 4 − 2 = 2 である．
8
13. f : R → R を線形写像とする．a = f (1) とおくと，任意の実数 x について
f (x) = f (x · 1) = xf (1) = ax
となる．よって，線形写像はこの形しかない．
一般の場合については各自確かめてみよ．問題 11(1) の考え方がヒントとなる．
(
)
2 1 0
14. (1)
0 1 3
(2) 与えられた基底に関する f の表現行列は

 (
)
(
)−1 (
) −1 1
1
5
5
1
−
−1 1
2 1 0 
2
2
2
1 −1 1  =
3
3
1
−1 −1
0 1 3
−
−
−
2
2
2
1
1 −1
となる．
（余力があるものは基底となっていることも確認せよ）
15. 与えられた行列の右側に単位行列をつけて，左半分が単位行列となるように行基本変形すれ
ば右半分に逆行列が現れる．左半分が単位行列にならないときは，正則でないことになる．


1 2 2
例えば A = 2 0 2 の逆行列は
1 1 0






1 2 2 1 0 0
1 2
2
1 0 0
1 2
2
1 0 0
2 0 2 0 1 0 7−→ 0 −4 −2 −2 1 0 7−→ 0 1
2
1 0 −1
1 1 0 0 0 1
0 −1 −2 −1 0 1
0 −4 −2 −2 1 0

2 




1 0 0 − 13 31
3
1 0 −2 −1 0 2
1 0 −2 −1 0 2


1
1




1 0 −1 7−→ 0 1 2
1 0 −1 7−→ 0 1 0 3 − 3 31 
7−→ 0 1 2
1
1
− 23
0 0 6
2 1 −4
0 0 1
1
3
6
0 0 1 13
− 23
6
 1 1
2 


−3 3
3
−2 2
4


1  2 −2 2  となる．
より，A−1 =  13 − 13 31  =
（各自確かめよ）
6
2
1 −4
1
1
−2
3
6
3
問題の解答は以下の通り．
(1)
1
10
(
1 2
−3 4

)

4
2 0
(4) 1 −3 −4 5
10
−5 0 5


1
1
0
1
 0 −2 1 −1

(7) 
−1 0 −1 0 
1
1
0
2
(2) 存在しない


1
3
2
6
3
(5)  2
−2 −5 −2


−1 0
0
1
 18 2
3 −14

(8) 
−6 −1 −1 5 
−9 −1 −2 7
9


1 0 2
(3) 0 1 1
2 −1 2
(6) 存在しない
(9) 存在しない
16. 固有多項式（特性多項式）は次のようになる．
(1) (λ − 1)(λ + 1)(λ − 2)
∴ λ = 1, −1, 2
(2) (λ − 1)2 (λ − 2)
∴ λ = 1, 1, 2
(3) (λ − 2)3
∴ λ = 2, 2, 2
(4) (λ − 1)(λ − 2)2
∴ λ = 1, 2, 2
(5) (λ − 1)2 (λ − 2)
∴ λ = 1, 1, 2
(6) (λ − 1)2 (λ − 2)
∴ λ = 1, 1, 2
(7) (λ − 1)2 (λ − 2)2
∴ λ = 1, 1, 2, 2
(8) (λ − 2)(λ + 1)3
∴ λ = 2, −1, −1, −1
(9) (λ − 1)3 (λ − 2)
∴ λ = 1, 1, 1, 2
17. n 次正方行列 A の固有値 λ の固有空間を E(λ) とする．A が対角化可能かどうかについて
は，すべての固有値 λ について dim E(λ) が固有方程式における λ の重複度と等しいかを
調べればよい．その際，固有空間の次元に関して
dim E(λ) = n − rank(A − λI)
が成り立つことを利用する．対角化には固有ベクトルからなる基底を求めて，それを並べた
ものを P とし，P −1 AP を計算すればよい．
（重要なので講義でしっかりと勉強すること）
(1) dim E(1) = 1
dim E(−1) = 1
dim E(2) = 1
=⇒ 対角化可能
\ 2
(2) dim E(1) = 1 =
dim E(2) = 1
=⇒ 対角化不可能
\ 3
(3) dim E(2) = 1 =
=⇒ 対角化不可能
(4) dim E(1) = 1
dim E(2) = 2
=⇒ 対角化可能
\ 2
(5) dim E(1) = 1 =
dim E(2) = 1
=⇒ 対角化不可能
(6) dim E(1) = 2
dim E(2) = 1
=⇒ 対角化可能
(7) dim E(1) = 2
dim E(2) = 2
=⇒ 対角化可能
(8) dim E(2) = 1
dim E(−1) = 3
=⇒ 対角化可能
\ 3
(9) dim E(1) = 2 =
dim E(2) = 1
=⇒ 対角化不可能
10