平方根（根号をふくむ式の乗法・除法）

第 3 学年○組
数学科学習指導案
平成２５年６月７日(金) 第５校時
授業者
教諭 ○○○ ○○
生徒数 男子１５名 女子１６名 計３１名
１
題」材 第２章 平方根（根号をふくむ式の乗法・除法）
２
題材について
（１）題材観
小学校の学習では、整数・小数・分数の概念と計算について学習している。中学校第１学年
では、数を正の数と負の数まで拡張し、数の概念についての理解を深め、文字を用いることを
理解していく。また、小学校で学習した数の四則計算と関連づけて計算の意味を理解し、処理
方法を身に付けている。第２学年の文字式の計算では、多項式の加法・減法、単項式の乗法・
除法を学び、同類項をまとめるなどの基本的な手順を学ぶ。そして第３学年では、新しい数と
して正の数の平方根について理解し、数の概念についての理解を深める。また、二次方程式や
関数 y  ax 、三平方の定理の学習をする上で、この平方根の意味や根号の意味や根号の式を
2
ふくむ式の計算の学習をしっかりと身に付けておかなければならない。
（２）生徒観
【 省 略
】
（３）指導観
本時は、根号をふくむ式の計算を初めて取り扱う。平方根の乗法・除法で a  b 
ab
が成り立つことを理解させることに重きを置く。無理数の乗法は３×５＝１５のように根号の
中の数の積に根号をつければよいかどうかを、電卓による近似値の計算や根号のついた有理数
の積を基にして判断させていきたい。
まず導入課題として、２つの四角形を掲示して、
（A：面積が４
の正方形 ②縦が 2 cm、
横が 8 cm の長方形）既習事項の確認も兼ねて A の一辺の長さを問い、A と B のどちらが大
きいかを考察させる。その後、２つの四角形を方眼用紙に図示したり電卓を用いるなどして、
それぞれの面積が等しいことを確認する。その際、面積を求める際に a  b 
a  b と計算
できるのではないかと予測させ、既習事項を基にして示していく。
a  b  a  b を考察する際に 4 人グループによる話し合い活動を行い、どうしてこの
数式が成り立つのかを話し合う。グループごとに説明する活動と、他のグループの発表を聴く
ことにより、様々な考えで a  b 
a  b が成り立つことに気づかせたい。授業の最後には、
根号をふくむ式の乗法・除法のやり方や本時の授業で新たにわかったことを自分の言葉でまと
めさせ、本時の学習内容の理解度を確認する。学力差もあるので、数学の苦手な生徒には計算
の方法が分かるだけでも評価するつもりである。
Ａ評価： a  b を二乗して、その後に両辺の正の平方根をとって a  b 
ab
が成
り立つことを理解し、様々な計算問題を解く際にいかすことができる。
Ｂ評価：
３
の中の数をかけることで、根号をふくむ式の乗法ができる。
目標及び内容
数の平方根について理解し、数の概念の理解をいっそう深めるとともに、数を用いてものごとを広く、
深く考察・処理することができるようにする。そのために、
ア 新しい数の存在を知り、その数の必要性を理解する。
イ 数の平方根の意味を理解し、電卓などを用いてその近似値を求めることができる。
ウ 数の平方根の中には有理数でないものがあることを知り、いろいろな数を数直線上に表したり、
小数で分類したりすることを通して、有理数・無理数についての理解を深める。
エ 根号を含む簡単な式の計算や変形ができるようにする。
４
指導計画
１節 平方根
２節 根号をふくむ
式の計算
１
平方根
３時間
２
平方根の値
１時間
３
有理数と無理数
１時間
１
根号をふくむ式の乗法・除法
４時間（本時 1/4
２
根号をふくむ式の計算
３時間
章末問題
時間）
２時間
【本時の指導】
本時の目標
①
②
③
根号をふくむ式の乗法の計算に、すすんで取り組もうとしている。[数学への関心・意欲・態度]
a  b  a  b となることを、既習事項を基に導くことができる。[数学的な見方や考え方]
根号をふくむ式の乗法の仕方について理解している。[数量や図形に関する知識や理解]
学習活動と予想される生徒の反応
指導上の留意点
１．課題①を提示する。
課題①
√8cm
右の図のように、面積が
４
の正方形 A、縦が 2cm
A
√2cm
B
横が 8cm の長方形 B があ
ります。このとき、
(1) 正方形 A の一辺の長さは何 cm ですか。
(2) A と B はどちらの面積が大きいでしょうか。予想してみ
・16cm と誤答
しないよう留
意する。
・
「面積が４の正
方形の一辺の
長さはいくつ
か」と問い、
既習事項を確
○評価と□指導
○(1) 2cm
認する。
○(2)「A の方が大きい」
「B が大きい」
・直観でよいので、三択で問いか
「同じ大きさ」
ける。
２．課題①を深める。
これまで学習したことがらを使い、
いろいろな方法で、長方形 B の面積を
求めてみよう。
・プリントを配布する。
・長方形の面積の出し方を基にし
て B の面積を表す式を確認す
る。
○√２×√８が、長方形 B の面積を表して
いることを確認する。
・方眼紙で√２や√８の長さを表
○これまで学習したことがら
せることを考えさせる。
・方眼紙を使って√２や√８の長さを表せ
教 「とびらのページ」P38,39
た ○
・平方根の意味
・平方根の定義について確認する。
教 P40,41
○
・電卓で平方根の近似値が求められた
教 P44
○
を確認する。
○ワークシートや電卓を配布する。
・ワークシート等を使って、個人
○自力解決の場面
で考える場面と、その後、グル
○グループで考え、伝え合う（説明し合う）
ープで考え、伝え合う（説明）
場面
場面を設定する。
＊4 人のグループに分かれて話し合い、結
果を考察し合う。(数学的活動)
方法①
・方眼紙に長方形 B を書き込み、面積を
・机間指導時に、話し合いのはか
どらないグループを支援する。
A
求め、√２×√８＝４ を知る。
B
方法②
・方眼紙に書き込んだ長方形 B の図から
√８＝√２×２ を知り、
√２×√８＝√２×√２×２
＝２×２
＝４
・(方法２)√８＝２×√２であるこ
とに気付いた生徒がいた場合、
を得る。
紹介してもらう。
方法③
・あくまで近似値であることに注
・電卓を使って√２、√８の近似値を求め、
意させる。
２つの近似値の積を計算し
√２×√８＝４ を得る。
方法④
・既習事項を基にして、式を導く
・提示された式変形
よう助言する。
( 2  8) 2
 ( 2  8)  ( 2  8)
・式の意味が説明できるかに重き
をおく。
 2 2 8 8
 28
 16
・√16＝４であることを、既習事
項として確認する。
両辺の正の平方根をとって、
2  8  16 ＝４
の意味を考え、理解する。
※グループの中で、√２×√８＝４になること
のいろいろな説明をお互いにし合い、理解を
深める。
・発表者の考えに耳を傾ける。
○意見のまとまったグループに発表しても
らう。
・発表者は、大きな声で発表する。
・いろいろな考え方（①～④）を
・グループで意見をまとめる。
発表してもらう。
３．課題②を提示する。
課題②
平方根の乗法のきまりを考えよう。
方法④に示された式変形の
√２×√８＝√１６
の部分より
√a×√ｂ＝√a×b
を予想する。
４．検証する。
a  b  a  b となることを証明しよう。
乗法の交換法則と ( a ) 2  a を基にして、
・生徒に問いかけながら聞いてい
く。
・交換法則についてふり返る。
( a  b )2
 ( a  b) ( a  b)
・ ( a ) 2  a についてふり返る。
 a a b b
 ab
・平方根の概念についてふり返る。
両辺の正の平方根をとって、
a  b  a  b ■ ・机間指導で支援する。
・√９など、√の中が平方数の場
５．練習問題を解く。
合は自然数に直すことに気をつ
ける。
・本日の授業で分かったことを、
自分の言葉でまとめる。
６．計算方法を確認し、根号をふくむ乗法
について自分の言葉でまとめる。
まとめ
a  a  a となる性質と平方根の定義を用いることによって、
a  b  a  b の公式が得られる。